Método das Tabelas para Validade

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1 Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 10 Método das Tabelas para Validade Sumário 1 Simbolização de argumentos Observações Exercício resolvido Método das tabelas Observações Exercícios resolvidos Neste texto, continuamos com o estudo dos argumentos e da validade de argumentos. Abordamos um dos principais métodos para a determinação da validade e da invalidade de argumentos: o método das tabelas. Depois de estudarmos este texto, vamos ser capazes de: decidir se um argumento é válido ou não, usando uma tabela de avaliação. 1

2 1 Simbolização de argumentos Do que foi visto anteriormente, surge o problema da validade de argumentos, isto é, o problema de decidir se um dado argumento é válido ou não. Vamos ver, agora, como esta questão pode ser resolvida com o uso de tabelas, quando o argumento só envolve enunciados construídos por aplicação dos conectivos. Forma de um argumento Assim como as resoluções dos problemas da equivalência e da reescrita da negação de enunciados pressupõem a simbolização dos enunciados envolvidos, a determinação da validade de argumentos também pressupõe a simbolização das premissas e das conclusões dos argumentos. A partir de agora, sempre que for conveniente, vamos separar as premissas da conclusão de um argumento por meio de um traço horizontal, como. A determinação da estrutura (também chamada forma) de um argumento consiste na execução de 3 passos: ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ϕ 1. Determinar os enunciados atômicos que compõem as premissas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n e a conclusão ϕ. 2. Determinar uma legenda para os enunciados determinados no Passo Simbolizar as premissas e a conclusão do argumento, usando as letras empregadas no Passo 2. Exemplo 1 (a) Consideremos o seguinte argumento: 2 é par ou 2 é quadrado perfeito. Se 2 é primo, então 2 não é par. 2 não é quadrado perfeito. 2 não é primo. 2

3 Os enunciados atômicos que compõem as premissas e a conclusão do argumento são 2 é par, 2 é quadrado perfeito, 2 é primo Assim, podemos definir a seguinte legenda para o argumento: p : 2 é par. q : 2 é quadrado perfeito. r : 2 é primo. Utilizando esta legenda para simbolizar os enunciados que compõem o argumento, temos que o argumento possui a seguinte forma: (b) Consideremos o seguinte argumento: p q r p q r Se Djalma estuda e Joel não atrapalha, então Djalma é aprovado em MD. Se Djalma estuda, então Joel não atrapalha. Djalma é aprovado em MD. Os enunciados atômicos que compõem as premissas e a conclusão do argumento são Djalma estuda, Joel atrapalha, Djalma é aprovado em MD Assim, podemos definir a seguinte legenda para o argumento: p : Djalma estuda. q : Joel atrapalha. r : Djalma é aprovado em MD. Utilizando esta legenda para simbolizar os enunciados que compõem o argumento, temos que o argumento possui a seguinte forma: 1.1 Observações (p q) r p q r Observação 1 Para simbolizar um argumento, basta reconhecer as premissas e a conclusão do argumento e simbolizá-las, usando uma legenda para todos os enunciados atômicos que compõem estas premissas e conclusão. 3

4 1.2 Exercício resolvido Exercício 1 Simbolizar os seguintes argumentos: (i) (ii) Se Djalma fala inglês fluentemente, então Djalma é admitido na empresa. Djalma fala inglês fluentemente. Portanto, Djalma é admitido na empresa. Se Tiririca é cantor, então Xuxa é cantora. Tiririca não é cantor. Logo, Xuxa não é cantora. (iii) Se 2 = 3, então 0 = 1. Se 0 = 1, então a inflação vai chegar a 0% no mês de junho. 2 = 3. Logo, a inflação vai chegar a 0% no mês de junho. (iv) (v) (vi) (vii) (viii) Se Djalma não tem 18 anos, então Djalma não tem carteira de motorista. Djalma não tem carteira de motorista. Assim, podemos concluir que Djalma não tem 18 anos. 2 é par ou 3 é par. Se 2 é par, então 4 é par. 3 não é par. Portanto, 4 é par. Se a é real, então: a é irracional ou a é racional. a não é racional. Logo, se a é real, então a é irracional. Se Djalma vai às compras, então: André fica em casa se, e somente se, Cláudia fica em casa. Cláudia fica em casa. Portanto, Djalma vai às compras ou André fica em casa. Maria não faz mestrado se Maria não termina a graduação. Maria casa ou Maria faz mestrado. Não é o caso que Maria casa. Assim, Maria faz mestrado se, e somente se, Maria termina a graduação e Maria não casa. Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) Legenda: Simbolização: f a f a (ii) Legenda: f : Djalma fala inglês fluentemente a : Djalma é admitido na empresa t : Tiririca é cantor x : Xuxa é cantora Simbolização: 4

5 t x t x Simbolização: a : Djalma tem 18 anos c : Djalma tem carteira de motorista Simbolização: (iii) Legenda: p q q r p r ( a) ( c) c a p : 2 = 3 q : 0 = 1 r : a inflação vai chegar a 0% no mês de junho (iv) Legenda: (v) Legenda: d : 2 é par t : 3 é par q : 4 é par Simbolização: d t d q t q (vi) Não estamos assumindo que ser irracional é a negação de ser racional. Legenda: r (i q) r : a é real q i : a é irracional Simbolização: Apresente uma resolução al- r i q : a é racional ternativa para esta questão, considerando que ser irracional é a negação p : Djalma vai às compras de ser racional. (vii) Legenda: q : André fica em casa Simbolização: r : Cláudia fica em casa p (q r) r g : Maria termina a graduação (viii) Legenda: m : Maria faz mestrado p q c : Maria casa Simbolização: ( g) ( m) c m c m (g ( c)) 2 Método das tabelas A determinação da validade (ou da invalidade) de um argumento simbolizado é baseada nas seguintes ideias: Afirmar que o argumento ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ϕ é válido em todos os contextos em que as premissas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n são simultaneamente V a conclusão ϕ também é V em todas as interpretações para ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ϕ em que as premissas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n são simultaneamente V, a conclusão ϕ também é V 5

6 em todas as interpretações para ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ϕ em que a conjunção ϕ 1 ϕ 2... ϕ n é V, a conclusão ϕ também é V não existe uma interpretação para ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ϕ na qual a conjunção ϕ 1 ϕ 2... ϕ n é V e a conclusão ϕ é F não existe uma interpretação para ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ϕ na qual a implicação (ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ) ϕ é F na última coluna da tabela de avaliação da implicação (ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ) ϕ ocorre somente V. Assim, a determinação da validade de um argumento pode ser resolvida na execução de 5 passos que compõem o Método das Tabelas para a validade de argumentos: 1. Simbolizar o argumento, obtendo o argumento simbolizado com premissas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n e conclusão ϕ; 2. Listar todas as interpretações dos enunciados ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, ϕ; 3. Completar a construção da tabela da implicação (ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ) ϕ; 4. Verificar se na última coluna da tabela da implicação ocorre somente V, ou não; (ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ) ϕ 5. Se a resposta à pergunta anterior é sim, concluir que o argumento é válido; se a resposta à pergunta anterior é n~ao, concluir que o argumento é inválido. Exemplo 2 (a) Consideremos o seguinte argumento: João tem cabeça grande. Se João tem cabeça grande, então João é intelectual. João é intelectual. 6

7 Uma legenda para o argumento é: p : João tem cabeça grande q : João é intelectual Utilizando esta legenda para simbolizar os enunciados que compõem o argumento, temos que o argumento possui a seguinte forma: p p q q Logo, a implicação associada ao argumento é: (p (p q)) q Construindo a tabela da implicação, temos: ϕ : (p (p q)) q p q p q p (p q) ϕ V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Como na última coluna da tabela só ocorre V, o argumento é válido. Neste caso, concluímos que as premissas justificam a conclusão, pois a tabela de avaliação de (p (p q)) q mostra que caso admitamos que João tem cabeça grande e que se João tem cabeça grande, então João é intelectual, somos obrigados a aceitar que João é intelectual. (b) Consideremos o seguinte argumento: Uma legenda para este argumento é: João faz faculdade. João estuda Filosofia. João é intelectual. p : João faz faculdade q : João estuda filosofia r : João é intelectual Utilizando esta legenda para simbolizar os enunciados que compõem o argumento, temos que o argumento possui a seguinte forma: 7 p q r

8 Logo, a implicação associada ao argumento é (p q) r Construindo a tabela de avaliação da implicação, temos: ϕ : (p q) r p q r p q ϕ V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V Como na última coluna da tabela de avalição de ϕ (na verdade, apenas na segunda linha) ocorre o valor F, temos que o argumento é inválido. Neste caso, concluímos que as premissas não justificam a conclusão, pois a tabela de avalição de (p q) r mostra que mesmo que admitamos que João faz faculdade e que João estuda filosofia, não somos obrigados a aceitar que João é intelectual. 2.1 Observações Observação 2 Em resumo, temos o seguinte: Para verificar se um argumento é válido, ou não, basta fazer o seguinte: 1. Simbolizar o argumento, obtendo o argumento simbolizado ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ϕ 2. Construir a tabela de avalição da implicação associada ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ϕ 3. Se a tabela da implicação tem apenas V na sua última coluna, o argumento é válido. Caso contrário, o argumento é inválido. 8

9 2.2 Exercícios resolvidos Exercício 2 Verificar a validade dos argumentos listados no Exemplo 1. Exercício 3 Verificar a validade dos argumentos listados no Exercício 1. Exercício 4 Verificar a validade dos seguintes argumentos. Caso seja necessário, antes de simbolizar o argumento, reescreva-o de maneira mais adequada. (i) (ii) (iii) (iv) (v) O alarme disparou, pois o porteiro ou o segurança está mentindo. O alarme disparou, se o porteiro não está mentindo. Logo, se o segurança não está mentindo, o alarme disparou. Não é verdade que eu gosto de quiabo e de jiló. Aliás, também não gosto de agrião. Se gostasse de agrião, não gostaria de jiló. Assim, não gosto de agrião e: se gostasse de quiabo, gostaria de jiló. Se trabalho, ganho dinheiro e posso me divertir. Se não trabalho, não ganho dinheiro e não posso me divertir. Consequentemente, se ganho dinheiro, posso me divertir. Se o aluno tem tempo, mas não é estudioso, ele não é aprovado. Por outro lado: se ele é estudioso, mas não tem tempo, ele é aprovado. Daí, o aluno é aprovado se, e somente se, é estudioso. Todos os que brigam com suas sogras aborrecem seus cônjuges. Estes aqui não brigam com suas sogras. Assim, estes aqui não aborrecem seus cônjuges. Exercício 5 Sabemos que os seguinte fatos são verdadeiros: Sócrates está disposto a visitar Platão, se Platão está disposto a visitá-lo. Porém, Platão não está disposto a visitar Sócrates, se Sócrates está disposto a visitá-lo. Mas, Platão está disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não está disposto a visitá-lo. Pergunta-se: Sócrates está disposto a visitar Platão, ou não? Antes de ler as resoluções, tente resolver os exercícios usando os conceitos estudados. 9

10 Resolução do Exercício 2: (a) Implicação associada ao argumento: ϕ : ((p q) (r ( p)) ( q)) ( r). Tabela: ψ 1 {}}{ p q p ψ 2 {}}{ r ( p) ψ 3 {}}{ q ψ 1 ψ 2 ψ 3 r ϕ p q r V V V V F F F F F V V V F V F V F F V V V F V V F F V F F V V F F V F V V V V V F V V V V V F F F V F V F V V V F F V V F F V F V V V F F V F F F F V V V F V V Válido, pois na última coluna da tabela de ϕ ocorre somente V. (b) Implicação associada ao argumento: ϕ : (((p ( q)) r) (p ( q))) r. Tabela: ψ 1 {}}{ (p ( q)) r ψ 2 {}}{ p ( q) ψ 1 ψ 2 ϕ p q r q p ( q) V V V F F V F F V V V F F F V F F V V F V V V V V V V V F F V V F V F V F V V F F V V V V F V F F F V V V F F F V V F V V V V F F F V F V V V F Inválido, pois na última coluna da tabela de ϕ ocorre F. Respostas do Exercício 3: Para resolver este exercício adequadamente, siga o padrão das resoluções do Exercício 2: (i) Válido. (ii) Inválido. (iii) Válido. (iv) Inválido. (v) Válido. (vi) Válido. (vii) Inválido. (viii) Válido. Resolução parcial e respostas do Exercício 4: Argumentos reescritos: (i) Se (o porteiro está mentindo ou o segurança está mentindo), então o alarme disparou. Se [não (o porteiro está mentindo)], então o alarme disparou. Logo, se [não (o segurança está mentindo)], então o alarme disparou. (ii) Não (eu gosto de quiabo e eu gosto de jiló). Não (eu gosto de agrião). Se eu gosto de agrião, então [não (eu gosto de jiló)]. Logo, [não (eu gosto de agrião)] e [se eu gosto de quiabo, então eu gosto de jiló]. Você tem uma reescrita alternativa para este argumento? Se sim, discuta-a com os outros alunos da turma. (iii) Se eu trabalho, então (eu ganho dinheiro e eu posso me divertir). Se não (eu trabalho), então [não (eu ganho dinheiro) e não (eu posso me divertir)]. Logo, se eu ganho dinheiro, então eu posso me divertir. (iv) Se [(o aluno tem tempo e não (o aluno é estudioso)], então não(o aluno é aprovado). Se [o aluno é estudioso e não (o aluno tem tempo)], então o aluno é aprovado. Logo, o aluno é aprovado se, e somente se, o aluno é estudioso. (v) Se (ele é bem formado ou 10

11 ele faz boa prova), então ele passa no concurso. Ele faz boa prova e não (ele é bem formado). Logo, ele passa no concurso e não (ele é bem formado). Você tem uma reescrita alternativa para este argumento? Se sim, discuta-a com os outros alunos da turma. Agora que temos os argumentos reescritos, para resolver este exercício adequadamente, devemos simbolizar cada argumento e seguir o padrão das resoluções do Exercício 2: (i) Válido. (ii) Inválido. (iii) Válido. (iv) Inválido. (v) Válido. Resolução do Exercício 5: Analisando os enunciados, chegamos à legenda: p : Sócrates está disposto a visitar Platão. q : Platão está disposto a visitar Sócrates. Assim, os enunciados podem ser simbolizados, respectivamente, como: q p p ( q) ( p) q A pergunta é se algum dos enunciados p ou p decorre dos enunciados dados. Ou seja, se algum dos argumentos q p p ( q) q p p ( q) ( p) q ( p) q p ou p é válido. Analisando as implicações associadas a cada argumento, através das suas tabelas, concluímos que o argumento da esquerda é válido e o da direita é inválido (confira esta informação!). Assim, Sócrates está disposto a visitar Platão. c 2014 Márcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 11