MÉTODO SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS EM ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS

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1 ISSN MÉTODO SEM MALHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS EM ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS Felício Bruzzi Barros 1 & Sergio Persival Baroncini Proença 2 Resumo O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, é brevemente descrito. Idealiza-se o comortamento do material (concreto) ela Mecânica do Dano Contínuo. No rimeiro exemlo, as vantagens de alicação do método em roblemas não-lineares são salientadas. Obetivando-se a determinação de um estimador de erro, roõe-se a adatação do Método dos Resíduos em Elementos. A estimativa do erro é realizada ara o rocedimento de solução do Método de Newton-Rahson. A boa qualidade do estimador é comrovada em cada asso da análise não-linear de uma chaa solicitada à comressão. Finalmente, são comentadas as ersectivas da utilização do estimador num rocedimento de solução -adatativa. Palavras-chave: método dos elementos finitos; métodos sem malha; análise não-linear; mecânica do dano; estimador de erro; adatatividade. 1 INTRODUÇÃO O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, STROUBOULIS;; BABUSKCA; COPPS, K. (2000) e DUARTE; BABUSKCA, I (2000), ode ser interretado como uma variação do Método dos Elementos Finitos, MEF, que comartilha diversas características com os métodos sem malha. A aroximação local é construída emregando-se uma malha convencional de elementos que serve aenas ara se definir uma artição da unidade, sobre a qual é realizado o enriquecimento das funções de forma. Tal enriquecimento é nodal e ode ser olinomial ou não, conforme o tio de roblema modelado. Neste trabalho, o MEFG é exlorado ara a análise de roblemas com não-linearidade física, articularmente estruturas de concreto. O comortamento do material é idealizado ela Mecânica do Dano Contínuo, alicando-se o modelo de Mazars, MAZARS (1984). De acordo com esse modelo o meio é suosto elástico mas com rigidez reduzida or efeito da danificação rogressiva. Como exemlo de alicação, o roblema de uma viga de 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, fbruzzi@terra.com.br 2 Professor do Deartamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, ersival@sc.us.br

2 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 92 concreto armado é analisado. Mostra-se que a resosta não-linear da estrutura, observada exerimentalmente e reroduzida mediante uma análise convencional de elementos finitos com uma malha bastante fina, ode ser obtida elo MEFG utilizando-se uma malha com oucos elementos. Na segunda arte do trabalho o Método dos Resíduos em Elementos, MRE, ODEN et al. (1989), é adatado à formulação do MEFG tendo-se em vista o futuro estabelecimento de um rocesso - adatativo no contexto da análise não-linear física. Uma chaa de concreto comrimida or uma força de volume é então analisada. A medida global do erro de aroximação adotado, calculada mediante a contribuição de cada um dos elementos, é comarada com uma outra medida de erro calculada globalmente a artir dos resultados de uma análise convencional cua solução é considerada muito róxima da exata. Conclui-se que, reseitando-se certas hióteses iniciais, a medida de erro formulada ode ser utilizada com sucesso como indicador ara um rocesso - adatativo em roblemas de análise não-linear. 2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS 2.1 Formulação O MEFG tem sua formulação oriunda de duas linhas de desenvolvimento dos métodos sem malha emreendidas or: Babuska e colegas, sob a denominação inicial de Método dos Elementos Finitos Eseciais, BABUSKA; Caloz; Osborn (1994), e osteriormente como Método dos Elementos Finitos Partição da Unidade, MELENK; BABUSKA (1996). ; Duarte e Oden a artir dos trabalhos DUARTE; ODEN (1995) e DUARTE; ODEN (1996), corresondentes à formulação do método das Nuvens, e em ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ (1998) como uma abordagem do MEF em forma híbrida com o MEF. A construção das funções de forma do MEFG tem or base o conceito de artição da unidade, PU, ODEN; REDDY (1976), que se caracteriza or conferir caacidade de aroximação a um conunto de funções cua soma é igual a um. Considere-se uma malha convencional de elementos finitos definida a artir de N um conunto de N ontos nodais { x } = 1 em um domínio aberto e limitado Ω de interesse. Sea, então, ω uma região, ou nuvem como definida em DUARTE; ODEN (1995), formada or todos os elementos que concorrem no onto nodal x. O conunto das funções interoladoras de Lagrange associadas ao nó x, define uma função PU de suorte comacto ω de tal modo que:

3 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise Considere-se, também, os conuntos formados or indeendentes definidas em cada nó x com suortes na nuvem q funções linearmente ω : As funções de forma φ do MEFG, atreladas ao nó enriquecimento, ou multilicação, das funções PU corresondentes à nuvem cada comonente do conunto (2), ou sea: x, são construídas or ω, or Para melhor entender o comortamento das funções resultantes desse roduto toma-se, como exemlo, o esquema da Figura 1 ara o caso de aroximações 2 definidas em Ω R. Nela, encontram-se reresentados a PU de ordem 1 (função bilinear) geradora de uma aroximação C, uma função esecial arbitrária e o 0 resultado do roduto (3) entre essas duas funções. A função esecial é escolhida ara conferir à função roduto certas roriedades locais, reresentativas do roblema aroximado. Como resultado a função de forma corresondente aresenta as características aroximadoras da função esecial, ao mesmo temo que herda o suorte comacto da PU. Consegue-se, assim, graças ao suorte comacto de φ, que a aroximação sea construída sem enalizar a continuidade entre os elementos da malha inicialmente adotada. Figura 1 - Esquema de enriquecimento da Partição da Unidade. As funções do conunto (2) odem ser olinomiais ou não, deendendo do tio de solução que se queira aroximar. Pela maneira como é realizado, o enriquecimento ode variar entre elementos e ainda assim chega-se a uma aroximação sem ``costura'', DUARTE; BABUSKCA (2000), sem a necessidade de se estabelecer, como ocorre no MEF hierárquico, condições de restrição que garantam a continuidade dos

4 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 94 diferentes camos aroximadores. Além disso, o emrego das funções do MEF ara a PU evita roblemas relacionados à integração numérica e à imosição das condições de contorno, encontrados em algumas formulações sem malha, como o Método dos Elementos Livres de Galerkin, BELYTSCHKO; LU.; GU (1994), e o Método das Nuvens, DUARTE; ODEN (1995). A aroximação u ~ ( x ) é, dessa maneira, obtida ela seguinte combinação linear das funções de forma: onde b i são novos arâmetros nodais em corresondência a cada comonente das funções enriquecidas. 2.2 O MEFG na elasticidade linear bi-dimensional Sea o seguinte roblema de valor de contorno, PVC, que exrime, em forma forte e em função dos deslocamentos cinematicamente admissíveis, o equilíbrio em 2 um onto genérico do domínio Ω R : sendo: T u = [ u x u y ] o vetor das comonentes de deslocamentos nas direções dos eixos x e y; Γ D região do contorno em que as condições de Dirichlet são definidas; Γ N região do contorno em que as condições de Neumman são definidas; σ tensor de tensões; b força volúmica; t forças de suerfície no contorno Ω ; û e tˆ vetores de deslocamento e tração rescritos; n versor que descreve a orientação do contorno Γ. N A corresondente forma variacional ode ser descrita como: onde: u é definido no esaço de Hilbert de ordem 1; os oeradores variacionais são definidos como:

5 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise v x y é o vetor das funções teste de deslocamento nas direções dos eixos x e y; ε ( ) reresenta o oerador de gradiente; T = [ v v ] l z a dimensão do coro elástico na direção z aqui tomada como constante. A aroximação de Galerkin corresonde à solução do seguinte roblema, em um sub-esaço de dimensão finita construído elas funções do MEFG: em que u ~ e v ~ são definidas, cada uma, a artir da exressão (4), ou sea: Introduzindo-se, então, a matriz L que realiza os gradientes e determina o camo de deformações a artir dos deslocamentos, o oerador B que relaciona os deslocamentos generalizados U às deformações ε : ode-se chegar ao seguinte sistema de equações: Sendo C o tensor das roriedades elásticas do material, K e F definidos como: Quando as funções de forma Φ são obtidas elo roduto da PU, olinomial, or monômios, elas formam um conunto linearmente deendente e, or essa razão, a matriz de rigidez torna-se semi-definida ositiva. O sistema de equações (11) admite, ortanto, infinitas soluções ara a arcela de U corresondente aos arâmetros enriquecedores b ; ainda assim a unicidade da solução de Galerkin é reservada. i

6 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 96 Para resolver tal sistema emrega-se, neste trabalho, a estratégia iterativa sugerida em STROUBOULIS; BABUSKCA; COPPS (2000). 3 ANÁLISE NÃO-LINEAR O material considerado neste trabalho é o concreto e a não-linearidade física decorre da roagação de defeitos ou dano inicial, simulado ela Mecânica do Dano Contínuo. O modelo constitutivo adotado é o de Mazars, MAZARS, J (1984), ara o qual o concreto é considerado como um meio elástico em rocesso de dano evolutivo. A abordagem é não-local, DAVENE; SAOUIDIS; PIAU (1989), em que se alica o critério de danificação a artir de médias onderadas das deformações em uma região em torno do onto de interesse. Tal região, definida elo raio r nl está associada à dimensão do maior agregado no concreto. O roblema não-linear é resolvido iterativamente elo método de Newton- Rahson. Sendo i t o símbolo ara iterações, o algoritmo de resolução é o seguinte: tendo como condições iniciais: onde Δ t é a variável de controle do rocesso incremental associada ao asso de ( ) carregamento imosto e Δ U i t é o acréscimo do vetor de deslocamentos na iteração ( i 1) i t do asso t + Δt.O vetor de forças residuais é reresentado or Ψ t t, + Δt Fint reresenta o vetor de forças internas equivalentes à uma distribuição equilibrada de t+δt tensões e Fext o vetor generalizado de força externa. Observa-se que ara a matriz t+ Δt de rigidez emrega-se, neste estudo, a forma secante K sec, obtida de: onde 0 < D < 1 corresonde à variável de dano escalar do Modelo de Mazars. De forma geral, a estrutura ara a solução do roblema não-linear é idêntica à usada tradicionalmente no MEF. Excetua-se, é claro, a maneira com que os vetores e matrizes, resentes nas exressões acima, são montados. Um detalhe imortante a ser considerado corresonde ao critério de arada do rocesso iterativo. Em razão da deendência linear das funções de forma ara o caso de enriquecimento olinomial no MEFG, o ideal é que se utilize ara o controle da convergência a norma energia incremental dada or:

7 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise A razão ara esse fato está na deendência linear das funções de forma ara o caso de enriquecimento olinomial, discutida na seção 2.1. Como são admitidas ( ) infinitas soluções ara os arâmetros b de Δ U i t é ossível que se tenha a convergência da solução sem que a norma L 2 dos deslocamentos i ΔU ( i t ) L2 tenha se anulado. De forma análoga, a convergência do resultados não imlica, necessariamente em se ter uma norma L 2 nula ara vetor de forças residuais generalizadas, Ψ ( i t 1) L2. O roduto interno entre ( i t 1) Ψ e ( i t ) Δ U reserva o significado associado à energia de deformação, não sofrendo influência de uma eventual deendência linear das funções de forma, como oderia ocorrer com as normas isoladas de deslocamento ou forças residuais, BARROS, F.B. (2002). 4 VIGA DE CONCRETO ARMADO O roblema ilustrado na Figura (2), corresonde a uma viga de concreto armado, bi-aoiada, com seção transversal retangular e submetida a duas forças verticais F osicionadas simetricamente com relação ao meio do vão. O momento constante, que solicita a região entre as duas forças, induz uma distribuição difusa de micro-fissuras ao longo deste trecho. A seguir, são aresentados os dados relativos às roriedades do aço (subíndice s) e do concreto (sub-índice c). Entre eles estão, também, os arâmetros dos modelos de Mazars e o raio adotado na abordagem não-local: Figura 2 - Viga em concreto armado - geometria e detalhe de armaduras - medidas em cm. Os arâmetros ara o Modelo de Mazars foram obtidos or identificação aramétrica em ensaios aresentados em ÁLVARES (1993), onde também se encontram os resultados exerimentais utilizados ara confronto. Com relação ao

8 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 98 aço, considerou-se um comortamento elástico linear. Entre os meios concreto e aço admitiu-se aderência erfeita. 4.1 Análise numérica Duas análises estáticas bi-dimensionais foram realizadas. As malhas de elementos finitos emregadas estão reresentadas na Figura 3. A Malha I aresenta elementos com funções de aroximação bi-lineares e um número total de graus de liberdade NGL=1376. Já na Malha II, foram utilizados oucos elementos com enriquecimento de grau variável ara cada nuvem. Nesse caso, o conunto de funções (2) emregado ode ser reresentado como: Figura 3 - Condições de contorno e discretização adotadas. Os monômios i tem valores nulos no onto nodal x e foram normalizados or uma dimensão característica da malha, no caso a maior diagonal dos elementos que ertencem à nuvem ω. Essas características imostas tiveram o obetivo de eliminar a interferência das dimensões do roblema na aroximação numérica, além de garantir, ara as funções de forma, as roriedades do delta de Kronecker em relação aos nós. O arâmetro q ( ) corresonde ao número de funções necessário ara que a aroximação reroduza exatamente olinômios comletos até o grau. A seguir são listadas outras considerações admitidas nas análises:

9 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise condições de contorno: ara se manter a coerência com a formulação bidimensional as restrições nodais e as forças concentradas foram substituídas, resectivamente, or um vínculo de face no elemento adacente ao aoio e uma carga distribuída q; aroximação das armaduras: utilizou-se ara as malhas I e II a técnica de embutimento da armadura, descrita em RANJBARAN (1991). Aenas a armadura ositiva foi considerada; integração numérica: realizada através da quadratura de Gauss- Legendre. Para a Malha I foram utilizados 2 or 2 ontos or elemento. Já ara a Malha II, foi emregado um conunto de 4 or 4 ontos ara os elementos róximos do aoio e da força q. Para os demais elementos, de dimensões maiores, foram adotados 6 or 6 ontos de integração ara catar a evolução do dano; análise não-local: a utilização de r nl = 3 cm tem um efeito regularizador, fazendo com que o dano, no limite, se concentre em bandas de largura finita, garantindo, com isso, a obetividade da resosta numérica; tolerância e assos de carregamento: como critério de convergência do algoritmo de solução iterativa, adotou-se uma tolerância de 0,5% ara a norma energia incremental em relação à norma obtida ara o rimeiro asso elástico. Os rimeiros 4 assos incrementais do carregamento reresentaram, cada um, 9% da força total alicada (30 kn), sendo seguidos or um asso com 4%, 26 assos com 1% e os 17 últimos assos com 2%. Esta forma adotada ara alicação do carregamento se deve à elevada não-linearidade observada a artir de 12 kn; montagem da matriz de rigidez: ara evitar o mal-condicionamento da matriz e rigidez, ara efeitos de sua atualização quando da realicação do resíduo, o dano foi limitado (D<0,87); Figura 4 - Análise estática. No gráfico da Figura 4, os resultados exerimentais de ÁLVARES (1993) são confrontados com os resultados das análises numéricas. As curvas descrevem a história do carregamento F (equivalente à resultante da carga distribuída q)

10 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 100 relacionando-o ao deslocamento vertical (medido no meio do vão, na face inferior da viga, como mostrado na Figura 3). Pode-se afirmar que as resostas são raticamente coincidentes ara as análises com as malhas I e II, aroximando-se satisfatoriamente dos resultados exerimentais. Otou-se or interromer a análise no nível de força corresondente a 30 kn. Acima desse nível caracteriza-se, exerimentalmente, a lastificação das armaduras, não considerada nesta modelagem. As Figuras 5(a) e 5(b) ilustram a distribuição do dano, ara o nível de força 14,4 kn com as malhas I e II, resectivamente. Nota-se que a região de distribuição do dano, obtida com as duas malhas, é bem semelhante. Na 5(a), orém, ocorre uma maior concentração, o que ode ser exlicado elo elevado nível de refinamento h da Malha I se comarado ao da Malha II. Testes realizados com aroximações olinomiais de ordem inferior e suerior à aresentada na Figura 3(b) indicaram que à medida que se eleva a ordem olinomial da aroximação, mais róxima a distribuição do dano fica do observado na Figura 5(a). Figura 5 - Maa da distribuição do dano. 5 MEDIDAS DE ERRO EM ANÁLISE NÃO-LINEAR A definição da medida de erro ara o roblema não-linear, obtida com base na formulação do MRE aresentada em ODEN et al. (1989), é escrita a seguir, resumidamente. Maiores detalhes odem ser encontrados em BARROS, F.B. (2002). Sea um roblema com não-linearidade física cua a resolução é conduzida elo rocedimento descrito na seção 3. Admite-se que o equilíbrio á estea verificado até o asso t. Sendo assim, no asso t+δt o roblema que se rocura resolver equivale a encontrar t+ Δt u tal que:

11 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise onde: t+ Δt t+ Δt b e tˆ são as força de volume e de suerfície no asso t+δt; t+ Δt û é o deslocamento rescrito ao final do asso t+δt em Γ D. t+δt Considere-se, agora, a aroximação u da solução no asso t+δt, onde reresenta o grau máximo do olinômio caaz de ser reroduzido. Os conuntos de funções emregados ara o enriquecimento da solução são definidos como em (17). Por conveniência, o esaço das funções de aroximação é caracterizado ao nível dos elementos e ode ser reresentado or: onde domínio Ω. v refere-se à restrição da função K v ao elemento finito ertencente ao Ao final do asso t+δt ode-se definir a função erro de aroximação como: A artir daí, uma oção seria substituir a (19) na (18) no sentido de se obter o PVC exresso em função do erro. Uma ulterior medida do erro, exressa or meio de uma conveniente norma, oderia servir como controle da qualidade da solução obtida no asso. Inicialmente, é imortante observar que devido à não-linearidade do meio, as roriedades de rigidez do mesmo, no caso da danificação, resultam diferentes comarando-se, or exemlo a solução t+ Δt t+δt u e a solução aroximada u, corresondente a um certo grau de refinamento; a conseqüência disso é que: Por outro lado, admitindo-se que a variação de rigidez sea contínua com o refinamento da solução numérica, ode-se tomar como válida a seguinte aroximação: Com as relações (20) e (19) inseridas na (18), ode-se então exrimir o t+δt seguinte PVC, do qual resulta uma estimativa e ara o erro de aroximação t+δt e :

12 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 102 onde são definidos as funções de resíduo no domínio e contorno: A qualidade dessa estimativa deende fortemente de que t+ Δt u e t+δt u esteam bastante róximos, de modo que a rigidez local utilizada em (20) resulte suficientemente recisa. Tal condição ode ser atendida no roblema não-linear tomando-se equenos assos de carregamento. Para que o roblema (21) ossa ser formulado ara cada elemento isoladamente, uma nova condição de contorno natural deve ser considerada nas fronteiras de cada elemento com seus vizinhos. Emregando-se, então, a exressão (20) ara se definir as tensões normais à face dos elementos, ode-se estabelecer que: Como não se conhece a função t( t+ Δt u), utiliza-se em seu lugar, como estimativa, a tensão média, t( t+ Δt u), dos valores calculados no elemento em questão$ e seus vizinhos. Dessa forma, a condição (23) torna-se: Para se obter a forma aroximada de Galerkin do roblema (21), considera-se o seguinte esaço de aroximação definido como: As funções de tal esaço devem ser, ortanto, ortogonais ao esaço X no sentido do oerador de interolação local Π. Esse oerador realiza a roeção de funções do esaço de Hilbert sobre o esaço das funções de aroximação ou sea: Assim no esaço definido em (25) encontram-se aenas os monômios de ordem maior do que.

13 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise Seam, então, as aroximações indicadora de erro e função teste resectivamente: e ~ t + Δ t e t+δt v 0 denominadas função onde os seguintes vetores e matrizes são definidos: O sistema de equações resultante ara o elemento K no asso t+δt ode ser reresentado na forma: onde são emregados: matriz de rigidez (em que C tg reresenta a exressão tangente ara a relação tensão-deformação no modelo de dano de Mazars, BARROS, F.B. (2002)): vetor de forças residuais nodais generalizadas:

14 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 104 t+ Δt θ Um comentário esecífico a reseito do vetor,que aarece na (34) merece registro. O roblema variacional que resulta no sistema (32) ela maneira como é definido, isto é, or elemento e sem condições de contorno essenciais, a menos que sea um elemento que interceta a orção do contorno Γ D caracteriza-se como um roblema de Neumman. Para que aresente solução única é necessário que os dados, reresentados or: K constituam vetores equilibrados. Para satisfazer essa condição, uma nova distribuição de tensões que equilibrem esses dados deve ser introduzida ao roblema, de forma consistente com sua formulação. Para isso emrega-se a estratégia roosta em LADEVÈZE; MAUNDER (1996), em que essas tensões equilibradoras são determinadas ao longo da face dos elementos, gerando-se um vetor que, ara o t+ Δt K resente roblema, é reresentado ao final de cada asso t+δt elo termo θ. No caso esecífico do MEFG, aenas as comonentes de forças residuais associadas à PU são imortantes ara o equilíbrio e, or isso, as demais comonentes, atreladas às funções enriquecidas, não são consideradas no equilíbrio dos dados utilizados no sistema (32). t t Deois que a função + Δ e ~ é determinada ara cada elemento, uma medida global do erro ode ser introduzida, emregando-se valores locais da norma energia: onde ara cada elementos tem-se: t t Resta, finalmente, inferir sobre a qualidade de + Δ e ~ obtido ela (32) a artir t+δt das contribuições de cada elemento, como aroximação de e global. Como á mencionado anteriormente, o cálculo roosto ara o estimador foi decorrente da nãolinearidade do roblema analisado. É imortante ara sua validade que haa um controle sobre o tamanho dos assos no rocedimento de solução incremental: quanto menores melhor é a aroximação resultante. Um outro asecto a ser considerado e roveniente, agora, da suosta validade do estimador, está relacionado à ossibilidade de controle do erro a cada asso mediante uma análise adatativa. Nesse sentido, a medida local (36) oderia ser emregado como indicador ara o enriquecimento da solução segundo o MEFG, em t+δt determinadas regiões do meio, evitando-se que a resosta u afaste-se muito de t+ Δt u ao longo da história de carregamento.

15 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise CHAPA DE CONCRETO Figura 6 - Chaa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em mm. No exemlo descrito a seguir, rocura-se avaliar a qualidade da medida global~(35) como estimativa do erro ara um roblema com não-linearidade física. A cada asso de carga, a norma~(35), calculada ela contribuição de valores locais, é comarada a uma medida clássica sobre todo o volume, baseada em energia, resultante do seguinte roduto interno: A razão entre os dois valores determina o índice de efetividade global θ. Se esse índice estiver róximo da unidade, significa que a medida (35) é caaz de reresentar bem o roduto interno (37). O roblema analisado está ilustrado na Figura 6 e corresonde a uma chaa de concreto, com esessura l z = 10 cm, solicitada à comressão or uma força de 3 volume b = 100 MN/m. As condições de contorno naturais são reresentadas or 2 uma tensão de reação q = 45 MN/m ao longo da face AB que imede o seu deslocamento na direção x. Os vínculos utilizados como condições de contorno essenciais têm a função de eliminar os movimentos de coro rígido. A análise, considerando-se um estado lano de tensão, foi realizada emregando-se a malha da 7(a), com aroximação linear, ortanto, or simlificação, sem o enriquecimento do MEFG. Para o cálculo da medida de erro (35), alicou-se o rocedimento descrito na seção (5). Para o emrego da (37), adotou-se a solução numérica encontrada com a malha de 2400 elementos, ilustrada na Figura 7(b).

16 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 106 Figura 7 - Malhas utilizadas com aroximação linear - medidas em mm. Para simular o comortamento do meio, utilizou-se o Modelo de Mazars, neste caso com abordagem local. Os seguintes arâmetros do modelo foram adotados: Para a reresentação das funções indicadoras de erro (27) em cada elemento K emregou-se o seguinte esaço de funções bolha: gerado elas funções de forma associadas a cada nó x : onde h corresonde à medida da diagonal dos elementos usados ara a análise. Para a resolução numérica e alicação do MRE foram feitas as seguintes considerações: montagem da matriz de rigidez: formulação secante ara as matrizes utilizadas em (14) e formulação tangente, de acordo com as exressões (33) ara o cálculo das funções de erro; integração numérica: na malha de 2400 elementos foram usados 2 or 2 ontos de Gauss-Legendre. Já na malha de 8 elementos, ara melhor reresentar a distribuição do dano foram emregados 12 or 12 ontos de Gauss-Lobatto. O emrego da quadratura de Gauss-Lobatto visou facilitar o cálculo das arcelas da exressão (34) definidas nas faces dos elementos; equilíbrio: a convergência do rocesso iterativo de solução do Método de Newton-Rahson foi averiguada elo critério em energia, adotando-se uma tolerância de 0,001% com relação ao rimeiro asso elástico. A força de

17 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise volume b e a de suerfície q foram introduzidas em 65 incrementos: um rimeiro asso com 10% do total do carregamento, seguido de 26 assos com 2% e outros 38 com1%. A caacidade máxima encontrada ara a chaa equivale a 76% do carregamento inicialmente revisto, corresondente ao asso 41. Os resultados em deslocamentos são exibidos no gráfico da Figura 8; no eixo das abscissas reresentam-se os deslocamentos horizontais medidos no onto médio da face CD da Figura 6 Figura 8 - Reosta global da estrutura. A título de ilustração, na Figura 9 mostram-se as distribuições de dano, ao final do asso 41, ara as análises realizadas com as malhas de 2400 e 8 elementos. Figura 9 - Maa da distribuição do dano no asso 41. O erro relativo estimado ara a aroximação da malha com 8 elementos foi de 12,84% ara o rimeiro asso elástico,chegando a 16,55% ao final do asso 41. A medida (35) foi avaliada or meio do índice global de efetividade θ, calculado em cada asso e reresentado no gráfico da Figura 10. De acordo com os resultados obtidos, conclui-se ela boa qualidade do estimador de erro adotado. Deve-se, entretanto, observar que determinadas características deste roblema favoreceram a excelência dos resultados. O dano, como mostrado nos ``maas de dano'' da Figura 9 está limitado a 06. Como conseqüência, a relação tensão-deformação é ainda ascendente em todos os elementos e, or isso, a matriz tangente ôde ser usada nos roblemas locais ara ao cálculo das funções indicadoras de erro. Além disso, foram usados

18 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 108 assos bem equenos, esecialmente a artir do instante em que se observa uma maior a evolução do dano. Figura 10 - Índice de efetividade global em cada asso. 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesse trabalho, a formulação do MEFG foi brevemente revista com o obetivo de introduzi-la no contexto da análise não-linear física. Algumas considerações foram feitas ara tal abordagem e o roblema de uma viga de concreto armado foi então aresentado. Os resultados mostraram a eficiência da técnica de enriquecimento nodal do MEFG ara aroximar a resosta global da estrutura. A rincial vantagem com relação às análise convencionais com o MEF consiste na simlicidade com que o refinamento não-homogêneo ode ser realizado, sem a necessidade que condições de restrição seam imostas às funções de aroximações entre elementos. Para melhor aroveitar a otencialidade dessa estratégia, visando o estabelecimento de um rocedimento -adatativo, foi roosta uma medida de erro baseada no MRE. Sua avaliação foi feita em um roblema de uma chaa de concreto solicitada or forças de volume que rovocam a danificação da eça or esmagamento. Os bons resultados obtidos aontam ara o emrego dessas medidas de erro como indicadoras de enriquecimento nodal em um rocedimento -adatativo, cua imlementação será assunto de um róximo artigo. 8 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o aoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) do Brasil. 9 REFERÊNCIAS ÁLVARES, M. S. (1993). Estudo de um modelo de dano ara o concreto: Formulação, identificação aramétrica e alicação com o emrego do método dos elementos finitos. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo.

19 Método sem malha e método dos elementos finitos generalizados em análise BABUSKA, I.; Caloz, G.; Osborn, J. E. (1994). Secial finite element method for a class of second order ellitic roblems whith rough coefficients. SIAM Journal on Numerical Analysis,.31, n.4, BARROS, F. B. (2002). Métodos Sem Malha e Métodos dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. São Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. BELYTSCHKO, T.; LU., Y; GU, Y. (1994). Element-free Galerkin methods, International Journal for Numerical Methods in Engineering, n.37, DAVENE, L.; SAOUIDIS, C.; PIAU, J. M. (1989). Un code de calcul our la revisión du comortement de structures endommageables en vetón, en vetón armé ou en vetón de fibres, Série: Vetón , Instituit Technique du Batiment et des Travaux Publics. DUARTE, C. A.; BABUSKCA, I. (2000). Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics roblems. Comuter & Structure, v.77, n.2, DUARTE, C. A.; ODEN, J. T. (1995). H clouds: a meshless method to solve boundary-value roblem, Technical reort, TICAM, The University of Texas at Austin. DUARTE, C. A.; ODEN, J. T. (1996). H clouds: an h Meshless Method. Numerical Methods for Partial Differential Equations. John Wiley & Sons, Inc., LADEVÈZE, P.; MAUNDER, E. A. W. (1996). A general method for recovering equilibrating element tractions. Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering, n.137, MAZARS, J. (1984). Alication de la mécanique de l endommangement au comortement non lineaire et à la ruture du betón de structure, Tese (Doutorado) - Université Paris 6. MELENK, J. M.; BABUSKA, I. (1996). The artition of unity finite element method: basic theory and alications. Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering, n.39, ODEN, J. T.; Demkowicz, L.; Rachowicz, W.; Westermann, T. A. (1989). Toward a universal h- adative finite element strategy, art 2. a osteriori error estimation. Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering, v.77, ODEN, J. T.; DUARTE, C. A.; ZIENKIEWICZ, O. C. (1998). A new cloud-based finite element method. Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering, n.153,

20 Felício Bruzzi Barros & Sergio Persival Baroncini Proença 110 ODEN, J. T.; REDDY, J. N. (1976). An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements, Pure and Alied Mathematics. John Willey & Sons, Inc. RANJBARAN, A. (1991). Embedding of reinforcements in reinforced concrete elements imlemented in DENA. Comuters & Structures, v.40, n.4, STROUBOULIS, T.; BABUSKCA, I.; COPPS, K. (2000). The design and analysis of the generalized finite element method, Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering, v.181, n.1/3,