CAPÍTULO 2 MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS
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- Fernanda Bento Castelo
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1 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS.. Intrduçã Um mdelament matemátc de um tema dnâmc é defnd cm um cnjunt de equaçõe que repreentam a dnâmca d tema precamente u, pel men, envelmente bem. Obervar que um mdel matemátc nã é únc para um dad tema. Um tema pde er repreentad de muta manera dferente e, prtant, pde haver mut mdel matemátc para mem tema. A dnâmca de mut tema ejam ele elétrc, mecânc, térmc, ecnômc, etc., pde er decrta em term de equaçõe dferenca. Ta equaçõe dferenca pdem er btda utlzand-e a le da Fíca que gvernam um tema partcular, pr eempl, a Le de Newtn d tema mecânc e a Le de Krchhff d tema elétrc. A repta de um tema dnâmc a uma entrada pde er btda e a equaçõe envlvda frem relvda. Smplcdade veru precã: É pível melhrar a precã de um mdel matemátc aumentand ua cmpledade. Em algun ca, ncluím centena de equaçõe para decrever um tema cmplet. Na btençã de um mdel matemátc, n entant, devem etabelecer um cmprm entre a mplcdade d mdel e a precã d reultad da anále. Se nã fr neceára precã etrema, n entant, é preferível bter apena um mdel razavelmente mplfcad. De fat, geralmente etarem atfet e pderm bter um mdel matemátc adequad a prblema b cnderaçã. N entant, é mprtante ntar que reultad btd da anále ã váld mente à medda que mdel e aprma de um dad tema dnâmc real.
2 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS.. Stema elétrc Crcut RLC Sére: L R Seja crcut RLC ére mtrad a lad e C e 0 Aplcand a Le de Krchhff btem a egunte equaçõe d L R C C e e 0 Eercíc : Obtenha a equaçõe que decrevem cmprtament d crcut elétrc aba. R R e C C e 0.3. Stema mecânc e cmpnente Le fundamental de Newtn: F ma T Jα Element de mvment de tranlaçã F ma Varáve: Frça, delcament lnear, velcdade lnear, aceleraçã lnear. Maa M: Armazena a energa cnétca d mvment de tranlaçã Kg F M F frça N F ma M maa kg delcament m d F M
3 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 3 Mla lnear K: Armazena energa ptencal N/m F frça N F ma F k K elatânca N/m delcament m F K 0 nde a maa da mla é deprezada! Amrtecedr B: Caracterza element que abrve energa. Repreenta atrt para mvment de tranlaçã N/m/. F B B cefcente de frcçã-vca F ma F frça N delcament m d F B 0 Eempl: Obtenha a equaçã que repreenta tema tranlacnal amrtecedr vc-mla-maa clcad aba: F M K Onde: M maa F frça delcament K elatânca B cefcente de frcçã-vca B F Ma F K B d u M d d d M B K F
4 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 4 Element d mvment de rtaçã T Jα Varáve: Trque, delcament angular, velcdade angular, aceleraçã angular. Inérca J: Armazena a energa cnétca d mvment de rtaçã kg.m u T T Jα T J w Jα J w J mment de nérca kg.m w velcdade angular rad/ T trque aplcad a tema N.m θ pçã angular rad α aceleraçã angular rad/ T J θ nde d θ θ Amrtecedr B: Cefcente de frcçã vca Nm/rad/ T Jα T w B T Bw 0 Mla de trçã K: Nm/rad T K T Jα T Kθ 0 θ Eempl: Obtenha a equaçã que repreenta tema mecânc rtacnal mtrad aba. T Jα T J w B w T Bw J u J w Bw T
5 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 5.4. Tera bae para mdelament de tema mla-maa Cndere um crp de maa m pre a uma mla de cntante K. Quand crp etá em equlíbr etátc, a frça que atuam bre ele ã: eu pe P e a frça T δ t TKδ t eercda pela mla, de módul Indefrmad T Kδ t, nde δ t repreenta a defrmaçã da mla. Equlíbr P Prtant, PKδ t. Supnham agra que crp é delcad de uma dtânca da ua pçã de equlíbr e é lta em velcdade ncal. O tema clará em trn daquela pçã de δ t equlíbr. A frça que atuam bre Indefrmad Equlíbr crp ã: eu pe P e a frça eercda pela mla, que, neta pçã, tem módul T Kδ t. Am, a reultante da frça que agem bre crp é dada pr: F F F P Kδ t F K uma vez que PKδ t. Pr fm, tem que F ma, u eja d F K m
6 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 6 Vbraçõe amrtecda O tema vbratór cnderad anterrmente f upt ent de amrtecment. Na realdade tda a vbraçõe ã amrtecda, em mar u menr grau, pela frça de atrt. Eta frça pdem er cauada pr atrt ec u de Culmb entre óld rígd, pr atrt flud quand crp e delca em um flud, u pr atrt ntern entre a mlécula de um crp etátc. Um tp de amrtecment de epecal nteree é amrtecment vc, cauad pel atrt flud em velcdade baa u mderada. N atrt vc, a frça de atrt é prprcnal à velcdade d óld. Cm eempl lutratv, cnderem um crp de maa m upen pr uma mla de cntante K, e upnham que unm a maa a um êmbl de um clndr cnfrme mtrad na fgura aba. O módul da frça de atrt é gual a K d b m K F b é chamada cefcente de atrt vc, u cefcente de amrtecment vc, e depende da prpredade fíca d flud Equlíbr bem cm da cntruçã d êmbl- b b clndr. A equaçã d mvment é d d F ma : F P K δ t b m Relembrad que P Kδ t, terem: d d F b K m
7 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 7 Eempl: K b F ma B A F K m K A B K K b 0 m F F ma K b A K b k m m A K u K b k m 0 m B B k b m b u k b m 0
8 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 8 3 F ma K b b 0 K 0 b 0 y b 0 b 0 y K y y K Eercíc: Obtenha mdel matemátc d tema aba. a b K b K m m K K b y b m m y
9 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 9.5. Funçã de tranferênca A funçã de tranferênca de um tema de equaçõe dferenca lneare nvarante n temp é defnda cm a relaçã da tranfrmada de Laplace da aída funçã repta para a tranfrmada de Laplace da entrada funçã ectaçã, b a hpótee de que tda a cndçõe nca ã nula. Cndere tema lnear nvarante n temp defnd pela egunte equaçã dferencal: n n m m a0 y a y... a n y a n y b0 b... bm b n m m nde y é a aída d tema e é a entrada. A funçã de tranferênca dete tema é btda tmand-e a tranfrmada de Laplace de amb membr da equaçã, cnderand-e que tda a cndçõe nca ã nula, u Funçã de tranferênca G L [aída] L [entrada] Cndçõe nca nula Y b0 G n X a b m m n 0 a... b m... a b n m a n Uand cncet da funçã de tranferênca, é pível repreentar a dnâmca d tema pela equaçõe algébrca em. Se a ma alta ptênca de n denmnadr da F.T. fr gual a n, tema é chamad tema de n-éma rdem. Ob.: A aplcabldade d cncet da funçã de tranferênca é lmtada a tema de equaçõe dferenca lneare e nvarante n temp. Cmentár bre funçã de tranferênca a A funçã de tranferênca é uma prpredade de um tema em, ndependente da magntude e da natureza da entrada u funçã ectaçã. b A funçã de tranferênca nclu a undade neceára para relacnar a entrada à aída; n entant, ela nã frnece qualquer nfrmaçã cncernente à etrutura fíca d tema. A F.T. de mut tema fíc dferente pdem er dêntca
10 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 0 c Se a funçã de tranferênca de um tema fr cnhecda, a aída u repta pde er etudada para vára frma de entrada cm vta a entendment da natureza d tema. d Se a funçã de tranferênca de um tema fr decnhecda, ela pde er etabelecda epermentalmente ntrduznd-e entrada cnhecda e etudand-e a aída d tema. Eempl: Obtenha a funçã de tranferênca d crcut RLC mtrad aba, nde e é a entrada e e é a aída. L R E G e C e 0 E Aplcand a le de Krchhff para tema, btem a egunte equaçõe: d L R e C C e Achand a tranfrmada de Laplace da equaçõe e, admtnd cndçõe nca nula, btem: LI RI I E C I E C Iland I em tem: I CE Subttund em tem: LC E RCE E E u LC RC E E Am, a funçã de tranferênca d crcut RLC dad é: E G E LC RC
11 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS Eercíc: Obtenha a funçã de tranferênca GE /E d crcut elétrc mtrad na fgura aba: R R C C Eempl: Cnderand tema rtacnal mecânc mtrad na fgura aba, btenha ua funçã de tranferênca, end que a velcdade angular é a aída e trque é a entrada. T J w B Aplcand a egunda le de Newtn a tema, btem: T Jα J T Bw J w w u J w Bw T Aplcand a tranfrmada de Laplace em amb lad da equaçã e cnderand a cndçõe nca nula, btem: J Ω BΩ T Am, a funçã de tranferênca d tema é dada pr: Ω G T J B
12 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS Eercíc: Obtenha a funçã de tranferênca d tema mtrad na fgura aba. Cndere a frça F cm entrada e delcament cm aída. K B K F Eercíc: Obter a funçã de tranferênca X /X de cada um d tema mecânc mtrad aba. N dagrama, degna delcament de entrada e delcament de aída. a b c b K K b m b y b K K Repta: a X b X m b b b c X X b K bk K k k X b K X b K K
13 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 3.6. Lnearzaçã de mdel matemátc nã-lneare Um tema é nã-lnear e a ele nã e aplca prncíp da uperpçã. Am, para um tema nã-lnear a repta a dua entrada nã pde er calculada tratand-e uma entrada de cada vez e adcnand-e reultad. Eempl de equaçõe dferenca nã lneare ã: d d d d d Aenwt d 0 3 Embra muta relaçõe fíca ejam repreentada muta veze pr equaçõe lneare, na mara d ca a relaçõe rea nã ã eatamente lneare. De fat, um etud cudad de tema fíc revela que mem chamad tema lneare ã realmente lneare apena em faa lmtada de peraçã. Na prátca, mut tema eletrmecânc, hdráulc, pneumátc, etc., envlvem relaçõe nã-lneare entre a varáve. Pr eempl, a aída de um cmpnente pde aturar para na grande na entrada. Pde haver, pr utr lad, um epaç mrt que afeta em relaçã a pequen na. O epaç mrt de um cmpnente é um pequen nterval de varaçõe na entrada, dentr d nal cmpnente é nenível. Nã-lneardade d tp le quadrátca pde crrer em algun cmpnente. Pr eempl, amrtecedre utlzad em tema fíc pdem er lneare em peraçõe de baa velcdade, prém pdem trnar-e nãlneare para alta velcdade, e a frça amrtecedra pde trnar-e prprcnal a quadrad da velcdade de peraçã. Eempl de curva caracterítca para eta nã-lneardade ã mtrad aba: 0 aída aída aída entrada entrada entrada
14 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 4 O prcedment para determnar a luçõe de prblema que puam tema nã-lneare, em geral, ã etremamente cmplcad. Devd a eta dfculdade matemátca nerente a tema nã-lneare, nrmalmente é neceár ntrduzr tema lneare equvalente n lugar daquele nã-lneare. Ete tema lneare equvalente mente ã váld dentr de uma faa lmtada de peraçã. Uma vez que um tema nã-lnear é aprmad pr um mdel matemátc lnear, vára ferramenta lneare pdem er aplcada para fn de anále de prjet. O prce de lnearzaçã de tema nã-lneare é mprtante, p pela lnearzaçã da equaçõe nã-lneare é pível aplcar numer métd de anále lnear que prduzrã nfrmaçã bre deempenh de tema nãlneare. O prcedment de lnearzaçã apreentad aqu é baead na epanã da funçã nã-lnear em uma ére de Taylr em trn d pnt de peraçã e a retençã apena d term lnear. Para que pam deprezar term de rdem ma alta da epanã em ére de Taylr, ete term deprezad devem er pequen, t é, a varáve e devam apena lgeramente da cndçõe de peraçã. Para bter um mdel matemátc lnear para um tema nã-lnear, uprem que a varáve varam mut puc em relaçã a alguma cndçã de peraçã. Cndere um tema cuja entrada é t e cuja aída é yt. A relaçã entre yt e t é dada pr yf. Se a cndçã de peraçã nrmal crrepnde a, y, entã a equaçã yf pde er epandda em ére de Taylr em trn dee pnt de peraçã cm egue: df d f y f d! d Onde a dervada df/d, d f/d,... ã calculada em. Se a varaçã é pequena, pdem deprezar term de mar rdem em. Am, pdem ecrever:... y y k nde y f e k df d
15 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 5 u de utra frma: y y k. Cnderand que y y é a varaçã em y, pdem fazer y y y e para e entã tem y k, que ndca que a varaçõe na aída ã prprcna à varaçõe na entrada egund uma relaçã lnear. Eempl: Seja tema cuja relaçã entrada-aída é dada pr y. Cndere que pnt de peraçã nmnal dete tema é 3 e lnearze mdel em trn dete pnt. O tema y f é y, u eja, y f. A epanã em ére de Taylr é dada pr y y k nde df k, u eja, k. Lg, k6. 3 d Am tem que y y 6 u cnderand em term de varaçõe. y 6 Mdel lnearzad nde y y y Am, para bter valr da aída y para uma determnada varaçã na entrada tem y 6 nde y y y. y lnear 6 Deta frma, e a entrada nã fr varada, u eja, e 0 entã a aída vale y9. De fat, e utlzarm tema nã-lnear rgnal bterem mem reultad. Se tverm uma varaçã um puc mar, entretant, cm pr eempl 0,5 utlzand mdel lnearzad btem y.
16 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 6 A pa que utlzand mdel rgnal tem y, cm, tem que, e am 3,5. Lg, reultad btd para 0, 5 é y3,5,5 reultad ete que é envelmente dferente daquele btd atravé d mdel lnearzad err de %. Se bervarm a fgura aba pderem analar melhr a quetã da valdade d mdel lnearzad. y y y 6 varaçõe Oberve que para pequena a curva que decreve y y y tema real pde er aprmada pr uma reta tangente à curva n pnt. Nte, entretant, que e cnderarm varaçõe mare na entrada mut grande a reta nã cncde ma cm a curva rgnal, u eja, mdel lnearzad nã erve ma para repreentar tema real tema nã-lnear. A anále bre a valdade d mdel equvalente é uma tarefa batante cmplcada e deve er feta de acrd cm que e epera bter de precã d reultad. Em algun ca pde-e cnderar elevad um err da rdem de 5% e em utr pdem permtr err na faa de 0%, pr eempl. É mprtante realtar que ete um cmprm entre precã d reultad e mplcdade d mdel, u eja, e deejam um mdel ma prec nrmalmente btem um mdel ma cmple, e à medda que mplfcam tal mdel, ele paa a nã repreentar tema real de frma tã fel e eata. Agra cndere um tema nã-lnear cuja aída y é uma funçã de dua entrada e, de md que y f,. Para bter uma aprmaçã lnear para ete tema nã-lnear, pdem epandr eta equaçã em uma ére de Taylr em trn d pnt de peraçã,.
17 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 7 Am tem-e que:...!, f f f f f f y nde a dervada parca ã calculada em e. Pert d pnt de peraçã term de rdem ma alta pdem er deprezad. O mdel matemátc lnear dete tema nã-lnear na vznhança d pnt de peraçã nrmal é entã dad pr k k y y nde, f y, f k, f k A técnca de lnearzaçã apreentada aqu é válda na vznhança da cndçã de peraçã. Se a cndçõe de peraçã varam amplamente, n entant, ta equaçõe lnearzada nã ã adequada, e equaçõe nã-lneare devem er utlzada. É mprtante lembrar que um mdel matemátc partcular uad na anále e n prjet pde repreentar precamente a dnâmca de um tema real em certa cndçõe de peraçã, ma pde nã er prec para utra cndçõe de peraçã. Eempl: Cndere tema dad pr 4 5 t t t y nde yt é a aída e t e t ã a entrada. Ete tema tem um pnt de peraçã nmnal dad pr 3 e 9. Obtenha um mdel lnear equvalente para pnt de peraçã,. Sabem que yf,. Send am, a lnearzaçã é btda pr k k y y nde f k, f k
18 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 8 4 Am tem que y y 5 e entã y 5 3 Mdel lnearzad nde y y y equaçõe aulare Para bter valr da aída para pnt de peraçã nmnal utlzam mdel nã-lnear, u eja y 5 4 nde 3 e 9. Lg, y 3 e entã a aída d mdel lnearzad é y y 3 nde y 5. 3, Vam cnderar varaçõe de 0% em trn d pnt de funcnament, u eja, 0, 3 e 0, 9. Am tem que: y,5 0,6 0, 9 e entã y y y 3,9 Analand mdel nã-lnear y 5 4 para 0, 3 e 0, 9 tem que 3, 3 e 9, 9, e entã: y 5 3,3 4 9,9 y 3, Oberve que valr btd atravé d mdel lnearzad dfere d reultad btd atravé d mdel nã-lnear. Uma vez que mdel nã-lnear é cnderad mdel real d tema e mdel lnearzad é uma mplfcaçã dete, devem verfcar e err entre a dua repta é gnfcatv, u e pde er deprezad. O cálcul de err é dad, de frma genérca, pr: valr real valr btd err % 00% valr real
19 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 9 Para a cmparaçã entre a repta btda cm mdel lnearzad e mdel nã-lnear fazem: err % Repta d mdel nã-lnear Repta d mdel lnearzad.00% Repta d mdel nã-lnear 3, ,9 Send am, para eempl anterr tem err % 00% 3,94938 err % 0,365% Oberve que ete err f calculad para a repta cnderand a varaçõe na entrada gua a 0, 3 e 0, 9. Se a varaçõe na entrada frem mare, n entant, err% erá mar, até que pde er tã elevad de frma a nã pderm utlzar mdel lnearzad n lugar d mdel nã-lnear. Cndere pr eempl a egunte varaçõe na entrada e 7 e calcule err% cmparand a repta btda cm d mdel. Oberve que err%7,4%..7. Stema de Nível de Líqud Cndere tema de nível de líqud mtrad na Fgura.. Se a válvula de entrada d tanque fr aberta de certa quantdade, haverá um flu de líqud paand pela mema. Apó algun ntante a taa de flu vazã de entrada erá cntante dentada pr Q. Cm a entrada de água n tanque, mem erá nundad até que, em um dad ntante, nível etablza num valr H. Nete ntante a vazã de aída valerá brgatramente Q, u eja, a vazã de entrada de água é gual à vazã de aída, nã havend ma varaçã n nível.
20 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 0 Q q Q h H Q q Q Fgura. Stema de nível de líqud cm tanque mple. nde Q vazã de líqud em etad etacnár m 3 / H altura d nível de líqud em etad etacnár m q varaçã na vazã de entrada m 3 / q varaçã na vazã de aída m 3 / h varaçã na altura de nível de líqud m A partr d pnt de equlíbr dad pr Q, H, e a abertura da válvula de entrada fr mdfcada, haverá uma varaçã na vazã de entrada de líqud q. Eta varaçã prvcará uma varaçã na altura d nível de líqud h e, cnequentemente, uma varaçã na vazã de aída q. Nte que utlzam letra maúcula cm uma barra bre a mema para ndcar valre etacnár pnt de equlíbr e letra mnúcula para ndcar varaçõe em trn d pnt de equlíbr. Send am, para ndcar a equaçã geral que englba tant valr da varável n pnt de equlíbr H quant a varaçõe em trn dete pnt h, utlzarem uma letra maúcula, ma em a barra H. Am, para mdelament d nível de líqud tem H h H A taa de varaçã na quantdade de líqud armazenad n tanque é gual à taa de varaçã de vlume de líqud n mem. N entant, uma vez que a área da eçã tranveral d tanque é cntante, a taa de varaçã n vlume de líqud depende apena da taa de varaçã d nível de líqud, cnfrme equaçã aba: dv dh A Q Q
21 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS De nde e btém que dv d A H h Q q Q q dh A dh Q Q q q nde V vlume de líqud dentr d tanque m 3 A área da eçã tranveral d tanque m dh taa de varaçã da altura d nível de líqud n tanque m/ dv taa de varaçã d vlume de líqud n tanque m 3 / d H Sabem que em equlíbr nã há varaçã d nível de líqud, prtant 0. Sabem anda que n equlíbr a vazã de entrada de líqud é gual a vazã de aída, u eja, Q Q Q. Deta frma tem que: dh A q q Nte que a taa varaçã d vlume de líqud n tanque depende da dferença entre a varaçã na vazã de entrada q e a varaçã na vazã de aída q. Oberve que e a varaçã da vazã de entrada fr mar que a varaçã da vazã de aída, haverá uma taa de varaçã ptva n vlume de água n tanque atravé d aument d nível de líqud n mem. Ante de cntnuar mdelament matemátc de tema de nível de líqud vam ntrduzr cncet de Capactânca e Retênca Hdráulca para facltar a decrçã da caracterítca dnâmca dete tema. Capactânca C: é defnda cm end a varaçã na quantdade de líqud armazenad neceára para cauar uma varaçã untára na altura de nível de líqud. 3 varaçã na quantdade de líqud armazenad m C varaçã na altura d nível de líqud m
22 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS Ob.: Nte que, da mema frma que a capactânca elétrca, a capactânca hdráulca tem dmenõe de área. Send am, a capactânca de um tanque é gual à área da eçã tranveral dete tanque. Oberve anda que a capacdade m 3 e a capactânca ã dferente. Uma vez que a vazã de entrada men a vazã de aída durante um pequen nterval de temp é gual à quantdade de líqud adcnal armazenada n tanque, tem que nde q C q q dh q é a varaçã na quantdade de líqud armazenad m 3 e dh é a varaçã na altura d nível de líqud m Ecrevend de utra frma, tem dh C q q Ob.: Cmparand a equaçõe e pdem ntar que a capactânca d tanque realmente equvale a área de ua eçã tranveral. Retênca R: degna a pçã mpta à paagem de um flud pr uma válvula u pr utra retrçã qualquer. Cndere flu atravé de uma retrçã clcada na aída de um tanque, cnfrme mtrad na Fgura.. A retênca a flu de líqud neta retrçã é defnda cm a varaçã na altura de nível n tanque neceára para cauar uma varaçã untára na taa de flu, u eja: R varaçã n nível de líqudm 3 varaçã na taa de flu m / Cnderand a defnçã de retênca, btém-e que R dh dq
23 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 3 Nete ntante, para que pam cntnuar n etud bre mdelament matemátc de tema de nível de líqud é mprtante aber que na anále de tema envlvend flu de flud é neceár dtngur regme de flu em flu lamnar e flu turbulent, de acrd cm valr d númer de Reynld. Se númer de Reynld fr mar d que 300, entã flu é turbulent. O flu é lamnar e númer de Reynld fr menr d que 300. O flu de flud turbulent, na mara da veze, tem que er repreentad pr equaçõe dferenca nã lneare, enquant que tema envlvend flu lamnar pdem er repreentad pr equaçõe dferenca lneare. Dede que a relaçã entre a taa de flu e nível de líqud dfere d flu lamnar para flu turbulent, cnderarem amb ca n que e egue. Flu Lamnar Cndere tema de nível de líqud da Fgura.. Nete tema, líqud flu atravé da válvula de carga clcada na aída d tanque. Se flu atravé deta retrçã fr lamnar, a relaçã entre a taa de flu e a altura d nível de líqud n tanque é lnear, cnfrme mtrad na Fgura.. Fgura. Curva da altura de nível de líqud em funçã da taa de flu n regme lamnar.
24 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 4 Uma vez que n regme de flu lamnar a relaçã entre a taa de flu e a altura de nível é lnear, pdem ecrever eta relaçã da egunte frma: Q KH Analand a defnçã de retênca berva-e que a mema cnte na nclnaçã da reta que relacna a taa de flu e a altura de nível de líqud. Am, cm tal nclnaçã é cntante para qualquer pnt de equlíbr Q, H, a retênca para flu lamnar é cntante e erá dentada pr Rl. Deta frma vem que R l dh dq H Q h q tanα Nrmalmente valr da retênca ferecda pr uma retrçã nã é cnhecd, ma pde er determnad mednd-e valre de altura de nível de líqud e da vazã de líqud na aída d tanque, etand tema em um pnt de equlíbr Q, H, u eja: H R l 3 Q É mprtante lembrar que cm a retênca n flu lamnar é cntante, entã ua determnaçã pde er feta para qualquer pnt de peraçã Q, H. Am, tend determnad valr da retênca ferecda pela retrçã, a relaçã entre q e h n flu lamnar é dada pr: h q 4 R l Oberve que a retênca n flu lamnar é cntante e análga à retênca elétrca. Subttund 4 em tem-e De nde e btém que dh q C h R l dh R l C h Rl q 5
25 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 5 Obtend a Tranfrmada de Laplace, tem: Rl C H H Rl Q tema é Se q é cnderada a entrada e h é a aída, a funçã de tranferênca d H Q R R C l l Nte que eta funçã de tranferênca repreenta um tema de prmera rdem cuja cntante de temp é dada pr R l C. Flu Turbulent: Cnfrme eplcad anterrmente, n regme de flu turbulent ete uma relaçã nã lnear entre a taa de flu e nível de líqud, a qual pde er eprea da egunte frma: Q K H Oberve que a relaçã entre a taa de flu e a altura de nível de líqud é da frma quadrátca, cnfrme mtrad na Fgura.3. H Q K Q Fgura.3 Curva da altura de nível de líqud em funçã da taa de flu n regme turbulent.
26 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 6 Uma vez que a retênca cnte na nclnaçã da reta tangente á curva que relacna a taa de flu cm nível de líqud, pde-e bervar que n flu turbulent a retênca nã é cntante e depende d pnt de equlíbr em trn d qual e etá perand. Send am, para cada pnt de peraçã dtnt teme um valr dferente para a retênca ferecda pela retrçã. Nte que quant mar fr a taa de flu, mar é a nclnaçã da reta tangente à curva mtrada acma, u eja, mar é a retênca ferecda pela retrçã. Send am, n mdelament matemátc de um tema de nível de líqud cm flu turbulent é neceár determnar a retênca aprprada para pnt de equlíbr em trn d qual e deeja perar. Se flu atravé da retrçã fr turbulent, a taa de flu em etad etacnár é dada pr: Q K H Uma vez que a retênca cnte na nclnaçã da reta tangente à curva de relaçã entre flu e nível de líqud, a mema pde er btda da egunte frma: R t dh dq Cnfrme vt anterrmente, n flu turbulent abe-e que Q Am, H K Q K H De nde e btém que: dh dq Q K H K Lg, para um determnad pnt de peraçã H H e Q Q tem-e que K Q H e am dh dq H Q H H Q R t Prtant, valr da retênca n flu turbulent para um dad pnt de peraçã vale: H R t 6 Q
27 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 7 Nte que para cada pnt de equlíbr btém-e um valr dferente para a retênca R t. N entant, e trabalham em trn de um pnt de equlíbr, mantend pequena a varaçõe na altura d nível e na taa de flu, n afatand bem puc d pnt de equlíbr, valr de R t pde er cnderad cntante, p a reta tangente cncde cm a curva real. Em mut ca prátc valr d cefcente K nã é cnhecd. A retênca R t pde er determnada, entã, cntrund-e gráfc da curva da altura de nível cm funçã da taa de flu, baead em dad epermenta, e calculand-e pterrmente a nclnaçã da curva para pnt de peraçã deejad. Um eempl de um gráfc dete tp é mtrad na Fgura.4, nde pnt P é pnt de peraçã em etad etacnár. Oberve que a lnha tangente à curva n pnt P ntercepta a rdenada n pnt H. Prtant, a nclnaçã deta tangente é H Q. Uma vez que a retênca R t n pnt de peraçã P é dada pr R t H Q, a retênca é a nclnaçã da curva n pnt de peraçã, cnfrme defnd anterrmente. P Fgura.4 Curva epermental para determnaçã da retênca n flu turbulent
28 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 8 Cndere a cndçã de peraçã na vznhança d pnt P. Defna um pequen dev na altura d nível a partr d valr de regme etacnár cm h e a crrepndente pequena varaçã da taa de flu cm q. Entã, a nclnaçã da curva n pnt P pde er dada pr: tanθ h q H Q R t A aprmaçã é válda apena e dev na altura de nível e na taa de flu ã pequen, de frma que a reta tangente nã dfere mut da curva real. frma: Tend determnad valr da retênca, pde-e reecrever a equaçã da dh C q h R Ou anda cm: t R t dh C h Rt q 7 Ob.: Nte que a equaçõe 5 e 7 ã dêntca, ecet pel tp de retênca cnderad. Lnearzaçã da equaçã nã lnear que decreve tema de nível de líqud O mem reultad pde er btd fazend-e a lnearzaçã d mdel matemátc nã lnear d tema de nível cm flu turbulent, cnfrme mtrad a egur. A equaçã geral é dada pr dh C Q Q Ma cm Q K H, tem dh C Q K H 8 Em regme etacnár tem-e dh C Q K H dh Sabe-e que n equlíbr nã há varaçã n nível de líqud, u eja, que 0. Sabe-e anda que Q Q. Deta frma, cnclu-e que K Q H.
29 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 9 Iland dh K dh na equaçã 8 btém-e f Q, H Q H C C Epandnd em ére de Taylr e deprezand term de a dh dh K rdem, tem Q Q H H C C H u mar Subttund dh dh Q K Q H, tem-e Q Q H H C CH dh Ma 0, q Q Q e h H H Lg Fazend h H dh d dh C C C q H R t Q Q H h Obtém-e dh C h q 9 R t Pdem reecrever a equaçã 9 na frma R t dh C h Rt q Obtend entã a Tranfrmada de Laplace, tem Rt C H H R t Q tema é Se q é cnderada a entrada e h é a aída, a funçã de tranferênca d H Q R R C t t 0 Nte que, da mema frma que para flu lamnar, eta funçã de tranferênca repreenta um tema de prmera rdem cuja cntante de temp é dada pr R t C.
30 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 30 Stema de Nível de Líqud cm Interaçã Seja tema de nível de líqud cntend d tanque nterlgad pr um can, cnfrme mtrad na Fgura.5. Cnderand que flu atravé d can é lamnar, a retênca a flu de líqud neta retrçã é defnda cm a varaçã na dferença de nível entre d tanque, neceára para cauar uma varaçã untára na taa de flu, u eja: R varaçã na dferença de nível m varaçã na taa de flu m 3 / Fgura.5 Stema de nível de líqud cm d tanque. Cnderand a defnçã de retênca, apreentada acma btém-e h h R q
31 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 3.8. Stema análg Stema que pdem er repreentad pel mem mdel matemátc, ma que ã dferente fcamente ã chamad de tema análg. O cncet de tema análg é mut útl na prátca pela egunte razõe: a A luçã da equaçã dferencal que decreve tema fíc pde er dretamente aplcada a tema análg em qualquer utr camp. b Uma vez que um tp de tema pde er ma fácl de manejar epermentalmente que utr, em vez de cntrur e etudar um tema mecânc u tema hdráulc u pneumátc, pdem cntrur e etudar eu análg elétrc, p tema elétrc u eletrônc ã, em geral, ma fáce de tratar epermentalmente. Eta eçã apreenta analga entre tema mecânc e elétrc. O cncet de tema análg, n entant, é aplcável a utra epéce de tema, e analga entre tema mecânc, elétrc, hdráulc, pneumátc, térmc e utr pdem er etabelecd. Analga mecânc-elétrca O tema mecânc pdem er etudad pel u de eu análg elétrc, que pdem er ma faclmente cntruíd d que mdel d crrepndente tema mecânc. Há dua analga elétrca para tema mecânc: a analga frça-tenã e a analga frça-crrente. Analga Frça-Tenã: cndere tema mecânc e elétrc mtrad aba. k L R F M e C B
32 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 3 d d A equaçã dferencal para tema mecânc é M B K F d Enquant a equaçã dferencal para tema elétrc é L R e C Em term da carga elétrca q, eta últma equaçã trna-e d q dq L R q e 3 C Cmparand a equaçõe e 3 verfcam que a equaçõe dferenca para d tema ã dêntca. Ete tema ã denmnad tema análg, e term que cupam pçõe crrepndente na equaçõe dferenca ã chamad de grandeza analógca. Analga Frça-Crrente: cndere tema mecânc e elétrc mtrad aba. k F L R C M L R C e B A equaçã dferencal para tema mecânc é d d M B K F Cnderand agra tema elétrc. Aplcand a le de Krchhff relatva a crrente, btem e de Onde L e R C C L,, R 3 e de Am, L e R C C L,, R 4 L R C S Nte que flu magnétc cncatenad Ψ é relacnad cm e pela egunte equaçã dψ e. Am pdem reecrever 4 da egunte frma: d Ψ dψ C Ψ R L S
33 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 33 Regra utlzada para fazer analga mecânc-elétrca - Analga Frça-Tenã: A cada pnt que e delca n tema mecânc, e n qual tem-e partcular nteree, crrepnde uma malha-fechada n crcut elétrc. Neta malha ã clcad element elétrc análg a mecânc, cnfrme tabela mtrada a egur. SISTEMAS MECÂNICOS Frça F trque T Maa M mment de nérca J Cefcente B de atrt vc Cntante K da mla Delcament delcament angular θ Velcdade velcdade angular θ SISTEMAS ELÉTRICOS Tenã e V Indutânca L Retênca R Recíprc de capactânca Carga q Crrente C - Analga Frça-Crrente: A cada pnt que e delca n tema mecânc, e n qual tem-e partcular nteree, crrepnde um nó n crcut elétrc análg, nde e lgam fnte de crrente e utr element análg a mecânc, de acrd cm a tabela a egur. SISTEMAS MECÂNICOS Frça F trque T Maa M mment de nérca J Cefcente B de atrt vc Cntante K da mla Delcament delcament angular θ Velcdade velcdade angular θ SISTEMAS ELÉTRICOS Crrente Capactânca C Recíprc da Retênca Recíprc da Indutânca R L Enlace de flu magnétc Ψ Tenã e V
34 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 34 Eempl: Obtenha tema elétrc análg a tema mecânc mtrad na fgura aba. a Uand analga Frça-Tenã b Uand analga Frça-Crrente F K B K M M Reluçã: a Sabem que cada pnt que e delca n tema mecânc crrepnde a uma malha fechada n crcut elétrc. Terem, prtant, dua malha n crcut elétrc. Sabem também que uma velcdade n crcut mecânc crrepnde a uma crrente n crcut elétrc. Am, cm tem nteree em determnar dua velcdade,, crcut elétrc terá dua crrente dtnta,, uma em cada malha. L L St. Mec F St. Elét. V nde - C K R C C M B K L R C q e O entd da crrente e é determnad analand-e a velcdade. Se, entã amrtecedr nã fre qualquer frça. Lg, para que a tenã n retr eja nula quand, é neceár que a crrente tenham entd pt em R.
35 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 35 b Da mema frma que n tem anterr, a reluçã dete tem pde er feta atravé da bervaçã da etênca de d pnt nde n nterea cnhecer a velcdade e. Nte, n entant, que na analga frça-crrente, uma velcdade é análga a uma tenã e, deta frma, tem d nó n crcut, repreentad aba pr V e V d pnt de tenã. V R V St. Mec F St. Elét. L C L C M B K C R L nde L e K R. B Ψ V Oberve que, da mema frma que n tema mecânc, nde a frça bre amrtecedr B depende da velcdade e, a crrente bre a retênca R depende da tenõe V e V. Eercíc: Obtenha a funçã de tranferênca encntrad n tem a d eempl anterr. I G d crcut análg V
36 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 36 Dagrama de blc Um dagrama de blc é uma repreentaçã da funçõe deempenhada pr cada cmpnente e d flu de na. A varáve ã lgada uma à utra atravé de blc funcna, em entd únc, ndcand eplctamente uma prpredade unlateral. Blc X G Pnt de ma Y X E nde Y GX C nde EX C Dagrama de blc de um tema realmentad X E Y G - C H Funçã de tranferênca de malha aberta FTMA É a razã d nal almentad C para nal de err atuante ES e é dada pr: C FTMA G H E P C H Y e Y G E Lg C H G E
37 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 37 Funçã de tranferênca de malha fechada FTMF É a razã d nal de aída Y para nal de entrada X e é btda da Y egunte frma: FTMA X nde Y G E ma E X C e C H Y. Am E X H Y e Y G X G H Y Y [ G H ] G X e entã Y G X G H Stema realmentad ujet a uma perturbaçã dtúrb A fgura aba mtra dagrama de blc de um tema de malha fechada ujet a uma perturbaçã P. P X E Y G G - H Cnderand que tema é lnear, e que pu dua entrada X e P, pdem aplcar prncíp da Superpçã para a aída Y da egunte frma: Eamnand efet da perturbaçã P X0 Redeenhand dagrama de blc, tem P - G Y G H Y G P G G H
38 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 38 - X Y G H G Eamnand efet da entrada X P0 Redeenhand dagrama de blc, tem H G G G G X Y Repta devd à aplcaçã multânea da dua entrada X H G G G G P H G G G Y Y Y [ ] P X G H G G G Y Prcedment para cntruçã de dagrama de blc - Ecrever a equaçõe que decrevem cmprtament dnâmc de cada element retr, capactr, mla, maa,...; - Obter a tranfrmada de Laplace da equaçõe admtnd cndçõe nca nula; 3- Repreentar cada equaçã tranfrmada pr Laplace ndvdualmente em frma de blc; 4- Mntar element em um dagrama de blc cmplet.
39 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 39 Eempl : Repreentar crcut mtrad na fgura aba uand dagrama de blc. e R - - C e Retr Capactr t - e t R t e t - e t t C 0 - I [ E E ] - E I R C 3- E I 3- - E I E R C 4- E - RC E E G E G H RC Eempl : Obtenha uma repreentaçã em dagrama de blc para tema aba. R R e C C e Equaçõe n temp: C a t R t [ t t ] 0 C e C b [ t t ] R t t 0 c t e t C
40 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 40 - Equaçõe na freqüênca aplcand Laplace: a E R I I I 0 C C b I I RI I 0 C C C c I E C - Agrupand term em elmnar qualquer varável: a C E I CR C I C b I I CC R C C c E C I E C R I C C CR C C C I C E C Eempl 3: Obtenha uma repreentaçã d dagrama de blc para tema elétrc aba: R e a R e C C e - - E E I R Ea C E C I I a Ea E I Ea RI R E - E I I C E R a I - I C E Ea C R
41 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 4 Eercíc: Obtenha uma repreentaçã em dagrama de blc para tema mtrad aba. a b F K K B m b K F Onde F é a entrada e a aída. Onde F é a entrada e a aída. c T J w B Onde T é a entrada e w a aída. d e L R L K b e R C e C b 0 K y Onde e é a entrada e e a aída Onde é a entrada e a aída.
42 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 4
43 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 43 Um dagrama de blc cmplcad, envlvend muta malha de realmentaçã, pde er mplfcad pr um rearranj pa a pa, uand a regra de álgebra de dagrama de blc. Na mplfcaçã de um dagrama de blc deve-e lembrar que: - O prdut da F.T. n entd dret deve permanecer mem. - O prdut da F.T. a redr de um laç deve permanecer mem. Prcedment para a reduçã de dagrama de blc Pa : Cmbne td blc em cacata uand a tranfrmaçã 4. Pa : Cmbne td blc em paralel uand a tranfrmaçã 5. Pa 3: Elmne tda a malha de retraçã ecundára uand a tranfrmaçã 3. Pa 4: Delque pnt de ma para a equerda e pnt de junçã para a dreta da malha prncpa uand a tranfrmaçõe 6, 9 e 0. Pa 5: Repta pa de a 4 até que a frma canônca eja btda. A tranfrmaçõe,, 3, 7, 8, e ã alguma veze úte e a eperênca cm a técnca de reduçã determnará ua aplcaçõe. Eercíc: Smplfque dagrama de blc mtrad aba. H X - G G G3 - Y H
44 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 44 Eempl : Reduza egunte dagrama de blc à frma canônca. G3 X - G G4 G Y H H Pa : G G4 GG4 G3 Pa : G G G3 Pa 3: GG4 GG 4 G G H 4 H Pa 4: nã e aplca Pa 5: repetçã d pa - GG4 G G H 4 G G3 H X - GG 4 G G3 G G H 4 Y H
45 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 45 Eempl : Reduza egunte dagrama de blc à frma canônca. X - - K Y S 0, X - - K Y S 0, X - K K Y Frma canônca 0, G FTMF G H K K K FTMF 0,K K 0,K K K FTMF K 0,K X K K 0,K Y
46 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 46 Eempl 3: Reduza dagrama de blc egunte a uma frma de malha aberta. H X a f G g G G3 h f - f - c d Y b H G4 Sluçã: Uma vez que pa, e 3 nã e aplcam, paam dretamente a pa 4. Delcam entã pnt de ma f para dep de G, deand ret nalterad. X a G f g - - G c G b H Tranfrmaçã 7 Em eguda, delcam pnt de junçã b além de G. X a G f g - - G c G b G H Tranfrmaçã 9 Redpm pnt de ma f e g uand a egunte regra: W Z - X Y W X - Z Y
47 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 47 a G - g G c - f - G G H Tranfrmaçã mtrada acma Cmbnam, entã, blc em paralel na malha de retraçã: H G - g g G c G G H Tranfrmaçã 5 Cmbnam blc em cacata: H G - g G c GH G Tranfrmaçã 4 Elmnam a malha de retraçã ma nterna, Tranfrmaçã 3 H X a G g - G G G H G H G3 d h Y G4
48 CAPÍTULO MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS 48 Cmbnand blc em cacata e elmnand a malha de retraçã em H : Tranfrmaçã 4 e 3 X a G GG3 G G H G H G G H 3 h Y G4 Fnalmente, a tranfrmaçõe 4 e 5 n dã: X GG G3 G4 GG G4H GG4H GG3G4H G G H G H G G H 3 Y Tranfrmaçã 4 e 5
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