Implementação e Análise de Algoritmos BSP/CGM em um Beowulf e no InteGrade

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1 Imlementação e Análise de Algoritmos BSP/CGM em um Beowulf e no InteGrade Christiane Nishibe Dissertação de Mestrado Orientação: Prof. Dr. Edson Norberto Cáceres Área de Concentração: Ciência da Comutação Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu aoio financeiro da Fundect. dct ufms Deartamento de Comutação e Estatística Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Junho de 29

2 Imlementação e Análise de Algoritmos BSP/CGM em um Beowulf e no InteGrade Este exemlar corresonde à redação final da dissertação devidamente corrigida e defendida or Christiane Nishibe e arovada ela comissão julgadora. Camo Grande/MS, Junho de 29. Banca Examinadora: Prof. Dr. Edson Norberto Cáceres (Orientador) (DCT-UFMS) Prof. Dr. Siang Wun Song (IME-USP) Prof. Dr. Henrique Mongelli (DCT-UFMS)

3 Agradecimentos Ao meu orientador, rofessor Dr. Edson Noberto Cáceres, ela dedicação, aciência e rincialmente or todo conhecimento e atenção desde a iniciação científica até a conclusão deste trabalho. Ao Prof. Henrique Mongelli, or semre me ajudar, comartilhando seu conhecimento nos meus momentos de dúvidas. Ao Prof. Siang Wun Song or todas as dicas e contribuições ara a conlusão do trabalho, além de toda a recetividade nas minhas assagens or São Paulo. Aos amigos elas divertidas conversas, elos bons momentos de desconcentração e acima de tudo or todo aoio. A todos que contribuíram, direta ou indiretamente, no desenvolvimento deste trabalho: Muito Obrigada! ii

4 Resumo Com o avanço da ciência e da tecnologia nas mais diversas áreas surgiram roblemas que necessitam cada vez mais de alto oder comutacional. Inicialmente, ara resolver esses roblemas, eram utilizados comutadores aralelos de grande orte e elevado custo. Em seguida, no entanto, tornou-se mais eficiente e barato montar clusters com PCs que trabalham em conjunto ara oferecer um alto oder de rocessamento a um custo menor que o método anterior. Recentemente, orém, vem sendo desenvolvido a ideia de interligar clusters disersos geograficamente, formando uma única grade comutacional e uma dessas roostas é o middleware InteGrade. Visto que a utilização de grades comutacionais ara elevar o oder de rocessamento disonível ara a solução dos mais diversos roblemas vem se tornando mais comum, o rincial objetivo do nosso trabalho é avaliar o desemenho do InteGrade em relação ao cluster. Para fazer essa avaliação, estudamos roblemas aralelos com diferentes asectos de comutação e de comunicação e os imlementamos utilizando o modelo BSP/CGM (Bulk Synchronous Parallel/Coarse Grained Multicomuter). Entre os roblemas estudados estão o Problema da Mochila -, o Problema da Árvore Geradora e or fim o Problema do Fecho Transitivo. Todos os algoritmos foram imlementados utilizando o adrão MPI (Message Passing Interface) e a linguagem C. Palavras-chave: Algoritmos BSP/CGM, Algoritmos Paralelos, Problema da Mochila -, Árvore Geradora, Fecho Transitivo. iii

5 Abstract As the science and technology advanced in all diverse areas, roblems which require more and more comuter ower to be solved were risen. In the beginning, these roblems were solved by high erformance arallel comuters which were huge and very exensive. After that, though, making clusters with PCs which worked together to offer a higher rocessing caacity at a lower cost than the revious one became more efficient and inexensive. Recently, however, the idea of linking geograhically sread clusters making a single comuter net, which one of the roosals is the middleware InteGrade, has been develoed. Once using grid comuting to imrove the available rocessing caacity to solve the range of the most different roblems has become more common, the main objective of our work is to comare the erformance between InteGrade to the cluster s. To value this we have studied the arallel roblems with different comuter and communication asects and imlemented it using the BSP/CGM model (Bulk Synchronous Parallel/Coarse Grained Multicomuter). The studied roblems were - Knasack Problem, the Sanning Tree Problem and Transitive Closure Problem. All the algorithms were imlemented using the MPI attern (Message Passing Interface) and C language. Keywords: BSP/CGM Algorithms, Parallel Algorithms, - Knasack Problem, Sanning Tree, Transitive Closure. iv

6 Conteúdo Introdução 2 Fundamentos 3 2. Notacão e Terminologia Reresentações de Grafos Modelos de Comutação Paralela Desemenho Modelos de Comutação Paralela InteGrade Ambiente Comutacional Problema da Mochila O Problema Algoritmo Sequencial Algoritmos Paralelos O Algoritmo de Frente de Onda Resultados Exerimentais Árvore Geradora 2 4. O Problema Algoritmo Paralelo Algoritmo de Cáceres et al Resultados Exerimentais Fecho Transitivo 26 v

7 Conteúdo dct-ufms 5. O Problema Algoritmos sequenciais Algoritmo de Warshall Algoritmo de Busca Algoritmos Paralelos Algoritmo de Alves et al e Castro Jr Algoritmo de Vieira Algoritmo de Jenq e Sahni Resultados Exerimentais Resultados do Algoritmo de Alves Resultados do Algoritmo de Vieira Resultados dos Algoritmos de Jenq Conclusão 4 Referências Bibliográficas 43 vi

8 Caítulo Introdução O conceito de aralelizar atividades ara ganhar temo existe há muito temo. Mas, do onto de vista comutacional, a comutação aralela surgiu em meados da década de 98. Nessa éoca, os rimeiros comutadores começaram a ser rogramados como máquinas aralelas reais. Três razões fizeram com que a comutação aralela se tornasse rática e se desenvolvesse raidamente. A rimeira delas foi o avanço nas tecnologias de hardware. A segunda, o desenvolvimento de softwares ara esses sistemas. E a terceira, o desenvolvimento da área de algoritmos aralelos. A comutação aralela é utilizada, rincialmente, na resolução de roblemas em que o volume de cálculos e dados é grande. Além disso, a comutação aralela vem ermitindo que roblemas comlexos sejam solucionados e alicações de alto desemenho sejam desenvolvidas. Aesar do grande avanço tecnológico, máquinas altamente esecializadas e com alto desemenho comutacional são extremamente caras. Ao invés de gastar grandes quantias em clusters dedicados, que assam a maior arte do temo ociosos, o middleware Inte- Grade ermite a utilização de recursos comutacionais já existentes ara a realização de todo trabalho que demande alto oder de rocessamento. A fim de avaliar o comortamento do InteGrade com diferentes roblemas aralelos imlementamos algoritmos com diferentes classes de rodadas de comunicação, diferentes tamanhos de dados trocados entre os rocessadores além de variarmos a quantidade de rocessadores que cada rocessador trocava dados. Sendo assim, ara obter uma análise do comortamento do InteGrade, rojetamos algoritmos aralelos e imlementamos no InteGrade e num Beowulf ara três diferentes roblemas: Mochila -, Árvore Geradora e Fecho Transitivo. O Problema da Mochila - é um roblema clássico de otimização combinatória sendo um roblema de rogramação inteira com uma única restrição. Possui assim, uma enorme quantidade de alicações [24, 32, 48]. Em rincíio, qualquer roblema de rogramação inteira ode ser transformado neste roblema [24]. As dificuldades da solução do Problema da Mochila - são as dificuldades tíicas da rogramação inteira. Bons algoritmos ara a solução deste roblema são interessantes ara a área.

9 dct-ufms A Árvore Geradora de um grafo é um roblema fundamental em Teoria dos Grafos. Tal estrutura geralmente aarece como subrotina de roblemas mais comlexos. Entre eles, comonentes biconexos e decomosição em orelhas ou, ainda, no teste de lanaridade de grafos [7]. O Fecho Transitivo de um grafo dirigido é um imortante subroblema de diversas alicações comutacionais em redes de comutadores, sistemas aralelos e distribuídos, banco de dados e no rojeto de comiladores [4]. Os algoritmos aralelos que foram imlementados nesse trabalho utilizaram o modelo BSP/CGM. O modelo BSP (Bulk Synchronous Parallel) foi roosto or Valiant [49] em 99. Além de ser um dos modelos realísticos mais imortantes, foi o rimeiro a considerar o custo de comunicação. O modelo CGM (Coarse Grained Multicomuter), aresentado or Dehne et al [2], e o termo granularidade grossa vêm do fato que o tamanho do roblema n é estritamente maior que o número de rocessadores, ou seja, n. No Caítulo 2, aresentamos conceitos em teoria dos grafos utilizados no desenvolvimento do trabalho. Descrevemos também os rinciais modelos comutacionais aralelos e o InteGrade, descrevendo suas funcionalidades rinciais, além de descrever o ambiente comutacional. O Caítulo 3 descreve o Problema da Mochila - e um algoritmo sequencial ara resolver esse roblema. O caítulo mostra a roosta de uma solução aralela, utilizando o modelo BSP/CGM com rogramação dinâmica. Aresentamos, também, os rinciais assos do algoritmos além de analisarmos a comlexidade e a corretude do algoritmo roosto. No Caítulo 4, aresentamos a imlementação do algoritmo BSP/CGM roosto or Cáceres et al [8] ara a comutação da árvore geradora de um grafo biartido. Aresentamos, também, os temos obtidos com a execução do rograma bem como uma análise de seu comortamento no InteGrade. O Caítulo 5 aresenta os resultados obtidos com três algoritmos BSP/CGM ara o Problema do Fecho Transitivo. No Caítulo 6, aresentamos as conclusões e comentários finais. 2

10 Caítulo 2 Fundamentos Este caítulo aresentará uma visão geral de alguns conceitos que serão utilizados no decorrer do trabalho. Na Seção 2., discutiremos sobre grafos, suas definições e reresentações. Na Seção 2.2, aresentaremos os rinciais modelos de comutação aralela. Na Seção 2.3, descreveremos o InteGrade, sua arquitetura e as bibliotecas que ossui. Na Seção 2.4, mostraremos o ambiente comutacional que será utilizado na execução dos algoritmos. 2. Notacão e Terminologia Esta seção descreve alguns conceitos de Teoria dos Grafos, utilizados neste trabalho que são encontradas em [47]. Definição Um grafo G = (V, E) corresonde a um conjunto finito não-vazio V de elementos chamados vértices e um conjunto E de ares de vértices de V, chamados arestas. Se as arestas forem ares ordenados (v, w), o grafo é denominado orientado ou digrafo. Se as arestas forem ares não-ordenados (v, w), o grafo é dito não-orientado. Se (v, w) é uma aresta não-orientada, v e w são adjacentes. Se (v, w) é uma aresta orientada, v é redecessor de w e w é sucessor de v. Neste trabalho, exceto quando esecificado, consideramos que V = n e E = m. Definição 2 Em um grafo não-orientado, define-se grau de um vértice v V, denotado or d v, como sendo o número de arestas e E adjacentes à v. Em um grafo orientado, o grau de entrada de v é o número de arestas convergentes a v. O grau de saída de v é o número de arestas divergentes de v. Definição 3 Uma sequência de vértices v,..., v k, tal que (v i, v i+ ) E, i k é denominado caminho de v a v k. Diz-se então que v alcança ou atinge v k. 3

11 2.. Notacão e Terminologia dct-ufms Definição 4 Um ciclo, ou circuito, é um caminho onde v = V k. Um grafo que não ossui ciclos é denominado acíclico. Definição 5 Um sub-grafo G 2 = (V 2, E 2 ) de um grafo G = (V, E ) é um grafo tal que V 2 V e E 2 E. Definição 6 Seja G = (V, E) um grafo não-orientado. Um grafo é denominado conexo se, ara todo ar de vértices v e w em V, existe um caminho entre v e w. Definição 7 Seja S um conjunto e S S. Diz-se que S é maximal em relação a uma certa roriedade P, quando S satisfaz a roriedade P e não existe subconjunto S S, que também satifaz P. Ou seja, S não está roriamente contido em nenhum subconjunto de S que satisfaz P. Definição 8 Denominam-se comonentes conexos de um grafo G aos sub-grafos maximais de G que sejam conexos. A roriedade P, neste caso, é equivalente a ser conexo. Definição 9 Denomina-se árvore um grafo T = (V, E) que seja acíclico e conexo. Se um vértice v da árvore T ossuir grau igual a, então o v é uma folha. Caso contrário, v é um vértice interno. Definição Um grafo G = (V, E) é biartido quando seu conjunto de vértices V ode ser articionado em dois subconjuntos V e V 2, tais que toda aresta de G une um vértice de V a outro de V Reresentações de Grafos As duas formas utilizadas neste trabalho ara se reresentar digrafos são: matriz de adjacências e lista de adjacências. A Figura 2. ilustra um digrafo D = (V, E) (a), a lista de adjacências (b) e a matriz de adjacências (c) (a) (b) (c) Figura 2.: Reresentação comutacional de um grafo. A lista de adjacências em geral, é usada quando m é muito menor que n 2, ou seja, são utilizados na reresentação de grafos esarsos. Quando os grafos são densos, m 4

12 2.2. Modelos de Comutação Paralela dct-ufms está róximo de n 2, ou quando recisamos resonder com raidez se existe uma aresta conectando dois vértices dados, uma reresentação utilizando matriz de adjacências é mais eficiente. A reresentação de um grafo G = (V, E) em uma lista de adjacências, consiste em um arranjo de n listas, uma ara cada vértice em V. Para cada u V, a lista de adjacências, contém onteiros ara todos os vértices v tais que existe uma aresta (u, v) E. Utilizando uma matriz de adjacências ara reresentar o grafo G, suomos que os vértices são rotulados de,..., n. Então sua reresentação consiste em uma matriz M n n, tal que M i,j = se (i, j) E e caso contrário. 2.2 Modelos de Comutação Paralela Na década de 98 começaram a surgir os comutadores aralelos. O rincial objetivo da comutação aralela é solucionar roblemas com grande quantidade de informação no menor temo ossível. Tais roblemas aarecem em diversas áreas, como na revisão do temo, no rocessamento de imagens ou ainda modelagem e simulação de sistemas. Segundo JáJá [35], um comutador aralelo é simlesmente uma coleção de rocessadores, tiicamente do mesmo tio, interconectados de uma certa maneira a ermitir a coordenação de suas atividades e a troca de dados. No entanto, a criação de algoritmos aralelos modifica-se sensivelmente, ois, na criação de algoritmos aralelos, é reciso considerar a arquitetura aralela a ser utilizada, uma vez que esta afeta o desemenho dos algoritmos Desemenho Um sistema de comutação aralela deende de um grande conjunto de arâmetros, tais como o a quantidade de rocessadores, o tamanho das memórias locais, o esquema de comunicação e os rotocolos de sincronização; tornando o rojeto, a avaliação e a análise de algoritmos aralelos mais comlexa do que no modelo sequencial. O temo de execução de um algoritmo aralelo não deende aenas do tamanho da entrada de dados, mas também da arquitetura utilizada e da quantidade de rocessadores utilizados. O rocessamento aralelo roorciona um aumento de caacidade e velocidade de rocessamento e ara quantificar esse aumento, utiliza-se diferentes arâmetros, entre eles seedu e eficiência. Seja T o temo gasto elo melhor algoritmo sequencial ara resolver um determinado roblema e T o temo gasto or um algoritmo aralelo utilizando rocessadores ara resolver o mesmo roblema. O seedu (S ) reresenta quão mais ráido é o algoritmo aralelo em relação ao sequencial. 5

13 2.2. Modelos de Comutação Paralela dct-ufms S = T T O caso ótimo ocorre quando S =, ou seja, na medida que aumentamos o número de rocessadores, aumenta-se diretamente a velocidade de rocessamento. Algumas vezes o seedu fica acima de, é o chamado de seedu suerlinear. A eficiência do rocessador mede a utilização efetiva dos rocessadores e é definida or: E = S Como normalmente o seedu é menor que, a eficiência, nestes casos, fica entre e. Um valor de E (N) aroximadamente igual a, ara algum, indica que o algoritmo aralelo executa aroximadamente vezes mais ráido usando rocessadores do que o faria usando aenas rocessador. Dificilmente obtém-se eficiência igual a ois há erdas na aralelização do algoritmo, com sobrecarga de comunicação e sincronização entre os rocessadores Modelos de Comutação Paralela No modelo sequencial, odemos estabelecer uma relação entre os desemenhos das imlementações e dos seus resectivos algoritmos através de suas comlexidades. Na comutação aralela, não temos um modelo de comutação único como acontece no modelo sequencial. Isto faz com que cada algoritmo seja analisado, em termos de comlexidade de temo e uso de recursos, dentro do seu modelo. Sendo assim, há alguns modelos que servem de aradigma ara simlificar a análise dos algoritmos aralelos. Modelo PRAM O rimeiro modelo de comutação aralela existente foi o Parallel Random Access Machine - PRAM. Os algoritmos rojetados ara este modelo não levam em conta a comunicação e assumem que o número de rocessadores,, disoníveis é da mesma ordem do tamanho do roblema, N, ou seja, é um roblema de granularidade fina. Quando esses algoritmos eram imlementados nas máquinas aralelas existentes, geralmente os seedus obtidos eram muitas vezes desaontadores. Em muitos casos, o custo (temo multilicado elo número de rocessadores) obtido elos algoritmos aralelos era bastante suerior ao do algoritmo sequencial. Um outro onto, também crucial, era a falta de ortabilidade das imlementações (muito deendente da toologia). O mesmo não ocorre quando esses algoritmos são imlementados nos clusters e Beowulfs, ois nesses sistemas temos grandes quantidades de memória local e o número de rocessadores é estritamente menor que a quantidade de dados N, ou seja, << N. 6

14 2.2. Modelos de Comutação Paralela dct-ufms O modelo PRAM é formado or uma coleção de rocessadores, cada um com uma memória local, executando em aralelo e comunicando-se através de uma memória global comartilhada. O modelo ossui variações baseadas na forma como a maniulação concorrente a uma mesma osição de memória global é efetuado: EREW Exclusive Read, Exclusive Write: leitura e escrita exclusiva, ou seja, não ermite qualquer acesso simultâneo a uma mesma osição de memória. CREW Concurrent Read, Exclusive Write: ermite a leitura simultânea de uma mesma osição de memória or mais de um rocessador, mas não a escrita simultânea. CRCW Concurrent Read, Concurrent Write: ermite simultaneidade na leitura e na escrita na mesma osição de memória or diversos rocessadores, orém são necessários critérios ara solucionar o roblema de escrita concorrente. Entre as olíticas adotadas ara decidir qual dos rocessadores efetuará efetivamente a escrita temos: escrita comum: todos os rocessadores devem escrever o mesmo valor. escrita arbitrária: ermite que qualquer rocessador obtenha sucesso na escrita. escrita rorietária: define uma rioridade entre os rocessadores e aquele com maior rioridade terá sucesso na escrita. Modelo BSP No início dos anos 9, Valiant [49] introduziu um modelo simles que fornece uma revisão razoável do desemenho da imlementação dos algoritmos rojetados nesse modelo nas máquinas aralelas existentes, rincialmente as de memória distribuída. Esse modelo de granularidade grossa, denominado Bulk Synchronous Parallel - BSP, além de ser um dos modelos realísticos mais imortantes, foi um dos rimeiros a considerar os custos de comunicação e a abstrair as características de uma máquina aralela em um equeno número de arâmetros. Uma máquina BSP consiste de um conjunto de rocessadores com memória local. A comunicação é feita através de algum meio de interconexão, gerenciados or um roteador, que envia mensagens onto-a-onto entre ares de rocessadores. Além disso, o modelo oferece facilidades de sincronização entre os rocessadores. Um algoritmo BSP consiste numa sequência de suerassos searados or barreiras de sincronização. Em um suerasso, a cada rocessador é atribuído um conjunto de oerações indeendentes, consistindo de uma combinação de assos de comutação, usando dados disonibilizados localmente no início do suerasso, e assos de comunicação, através de instruções de envio e recebimento de mensagens. A Figura 2.2 ilustra os suerassos de um algoritmo BSP. Os suerassos são searados or uma barreira de sincronização a cada L unidades de temo. A barreira de sincronização é realizada ara determinar se o suerasso foi 7

15 2.2. Modelos de Comutação Paralela dct-ufms Figura 2.2: Algoritmo BSP [28]. comletado or todos os rocessadores; assegurando que os dados recebidos elos rocessadores estarão disoníveis ara o róximo suerasso. O modelo ossui os seguintes arâmetros: N: tamanho do roblema; : número de rocessadores com memória local; L: eriodicidade ou temo máximo de um suerasso; g: taxa de eficiência de comutação e comunicação; corresondente à razão entre a caacidade comutacional e a caacidade de comunicação do sistema. Neste modelo uma h-relação em um suerasso corresonde ao envio e/ou recebimento de, no máximo, h mensagens em cada rocessador. A resosta a uma mensagem enviada em um suerasso somente será utilizada no róximo suerasso. Modelo CGM O modelo Coarse Grained Multicomuter - CGM, roosto or Dehne et al [2], tinha o roósito de ser um modelo róximo às máquinas aralelas com memória distribuída existentes. Este modelo é arecido com o BSP, no entanto utiliza aenas dois arâmetros: o número de rocessadores e o tamanho da entrada N. Uma máquina CGM consiste de um conjunto de rocessadores, cada um com memória local de tamanho O( N ). Os rocessadores odem estar conectados or qualquer meio de interconexão. O termo granularidade grossa (coarse grained) vem do fato de que o tamanho do roblema, N, é consideravelmente maior que o número de rocessadores, ou seja, N >>. Um algoritmo CGM consiste de uma sequência de rodadas, alternando fases bem definidas de comutação local e comunicação global, searadas or uma barreira de sincronização (Figura 2.3). Normalmente, durante uma rodada de comutação é utilizado o 8

16 2.3. InteGrade dct-ufms melhor algoritmo sequencial ara o rocessamento dos dados disonibilizados localmente. Em cada rodada de comunicação, cada rocessador troca no máximo O( N ) dados com outros rocessadores. Figura 2.3: Algoritmo CGM [28]. Um algoritmo CGM é um caso esecial de um algoritmo BSP onde todas as oerações de comunicação de um suerasso são feitas na h-relação. Conforme observado or Dehne [2], os algoritmos CGM, quando imlementados, se comortam bem e exibem seedus similares àqueles revistos em suas análises. Para estes algoritmos, o maior objetivo é minimizar o número de suerassos e a quantidade de comutação local. 2.3 InteGrade O Projeto InteGrade ( tem como objetivo a construção de um middleware que ermita a imlantação de grades sobre recursos comutacionais não dedicados, fazendo uso da caacidade ociosa normalmente disonível em instituições úblicas e rivadas ara a resolução de roblemas que demandem alto oder comutacional. O InteGrade é um rojeto desenvolvido em conjunto or cinco instituições: Deartamento de Ciência da Comutação (IME-USP), Deartamento de Informática (PUC-RIO), Deartamento de Informática (UFMA), Instituto de Informática (UFG) e Deartamento de Comutação e Estatística (UFMS). O middleware InteGrade [26] ermite a formação de grades comutacionais oortunistas, ou seja, ermite a formação de um aglomerado de comutadores, a artir de máquinas já existentes em um gruo de instituições. Os serviços administrativos que são executados nos nós de gerenciamento da grade são escritos na linguagem Java de forma a oferecer a maior ortabilidade ossível. Já os comonentes executados nas máquinas dos usuários que comartilham arte de seus recursos com a grade são desenvolvidos nas linguagens C e Lua ara minimizar o consumo de memória e assim não rejudicar a qualidade de serviço desses usuários. A comunicação entre os nós da grade é feita através do adrão CORBA [36]. 9

17 2.3. InteGrade dct-ufms A unidade estrutural de uma grade InteGrade é o aglomerado (cluster). Um aglomerado é um conjunto de máquinas agruadas or um determinado critério, como ertinência a um domínio administrativo. Tiicamente o aglomerado exlora a localidade de rede. Entretanto tal organização é totalmente arbitrária e os aglomerados odem conter máquinas resentes em redes diferentes. Na Figura 2.4 odemos observar alguns elementos de um aglomerado InteGrade. Estes módulos são resonsáveis or diversas tarefas necessárias à grade. Gerenciador do Aglomerado GUPA GRM AR Nó Dedicado LRM Nó Comartilhado LUPA LRM Nó de Usuário LUPA LRM... NCC ASCT Figura 2.4: Arquitetura intra-aglomerado do InteGrade [27]. Os rinciais comonentes da arquitetura do InteGrade são descritos a seguir. LRM (Local Resource Manager): executado em todas as máquinas que comartilham seus recursos com a grade. Este comonente é resonsável ela coleta e distribuição das informações referentes à disonibilidade de recursos locais, ermitindo a execução e controle de alicações submetidas or usuários da grade. GRM (Global Resource Manager): módulo resonsável elo gerenciamento dos recursos de um aglomerado, ela interação com outros aglomerados e elo escalonamento da execução de alicações. O GRM mantém uma lista dos LRMs ativos e, ao receber uma requisição ara execução de uma alicação, escolhe um LRM que atenda às necessidades da alicação. LUPA (Local Usage Pattern Analyzer): resonsável ela análise e monitoramento dos adrões de uso. O LUPA é utilizado junto com o LRM nos nós rovedores de recursos. O LUPA fornece subsídio às decisões de escalonamento, fornecendo uma ersectiva robabilística sobre a disonibilidade de recursos em cada nó. GUPA (Global Usage Pattern Analyzer): auxilia o GRM nas decisões de escalonamento ao fornecer informações coletadas elos diversos LUPAs. AR (Alication Reository): armazena de forma segura os executáveis de alicações submetidas or usuários ara execução na grade.

18 2.3. InteGrade dct-ufms EM (Execution Manager): resonsável or gerenciar os checkoints das alicações e acomanhar a execução de todas as tarefas das alicações em execução em um dos aglomerados da grade. O LRM e GRM informam ao EM quando alicações iniciam e terminam a sua execução e o EM coordena o rocesso de reinicialização de tarefas que estavam executando em nós que falharam ou se tornaram indisoníveis. ASCT (Alication Submission and Control Tool): é a ferramenta que ermite que usuários da grade realizem requisições de execução de alicações, controlem a execução destas alicações e visualizem seus resultados. Diferentemente de outras grades já existentes, o InteGrade não visa aenas alicações bag-of-tasks. Mesmo considerando a grande latência existente numa grade, alicações que utilizam o modelo BSP/CGM estão sendo rojetados visando minimizar o número de rodadas de comunicação dos algoritmos e o tamanho das mensagens trocadas elos nós do InteGrade. Entre as alicações desenvolvidas estão: Algoritmos Básicos e Algoritmos de Ordenação: Foram desenvolvidos algoritmos básicos de soma e soma de refixos, além de um algoritmo de ordenação, ois muitos dos algoritmos BSP necessitam de algoritmos de ordenação eficientes em suas sub-rotinas. Um resolvedor SAT ara o Integrade: O Problema de Satisfabilidade-SAT e um dos roblemas NP-comletos mais estudados atualmente e se resume a, dado uma fórmula do cálculo roosicional, encontrar uma atribuição de valores atômicos que tornam a fórmula verdadeira. O objetivo é imlementar um resolvedor ara o SAT que seja caaz de dividir o roblema ara otimizar o temo de busca or uma solução usando rogramação distribuída, no modelo BSP. Multilicação de Matrizes: Utilizada num grande número de roblemas. Obter uma solução eficiente ara esse roblema no InteGrade amliará o número de otenciais usuários. Utilizando algoritmos sistólicos ara multilicação de matrizes obteve-se bons seedus. Programação Dinâmica e Algoritmos Gulosos: Considerando que os algoritmos de similaridade de sequências e maior subsequência comum (LCS) de Alves et al [2] rojetados ara o modelo BSP/CGM foram imlementados em um Beowulf e trocam um número equeno de mensagens em cada rodada de comunicação, essas alicaçães estão sendo imlementadas no InteGrade. Assim como, os algoritmos ara o Problema da Mochila - [, 2]. Imlementacão de Algoritmos FPT: A comlexidade arametrizada é um método romissor ara se lidar com a intratabilidade de alguns roblemas, rincialmente aqueles cuja entrada ode ser dividida em uma arte rincial e um arâmetro. A arte rincial da entrada contribui olinomialmente na comlexidade total do roblema, enquanto a aarentemente inevitável exlosão combinatorial fica confinada ao arâmetro. Para esta classe de roblemas, há um algoritmo FPT ara o roblema da k-cobertura or vértices utilizando o middleware do InteGrade aresentado or Mongelli e Sakamoto [39].

19 2.4. Ambiente Comutacional dct-ufms A versão mais recente do InteGrade ermite o desenvolvimento de alicações aramétricas (bag-of-tasks), MPI e BSP. Alicações aralelas escritas em C/C++ do tio BSP utiliza a biblioteca BSPlib do InteGrade, que usa mesma API da imlementação de Oxford (htt:// org/imlmnts/oxtool). Para ossibilitar a execução de rogramas escritos em C/C++, Fortran 77 e Fortran 9 usando MPI, o InteGrade imlementa uma versão adatada da biblioteca MPICH2 (htt:// A imlementação do MPI elo InteGrade facilita sua utilização ois não há a necessidade de modificação dos códigos-fontes já existentes. 2.4 Ambiente Comutacional Todas as exeriências foram realizadas no cluster do DCT-UFMS, que ossui máquinas com diferentes velocidades de rocessamento e memória. A Tabela 2. mostra detalhadamente a configuração de cada máquina. A comunicação entre os rocessadores é realizada através de um switch Gigabit Ethernet. Cada nó executava o sistema oeracional Fedora 6, gcc 4..2, LAM/MPI 7..2 e InteGrade.4. Máquinas Processador Cache Memória AMD.5 GHz 256 KB.5 GB 2 P4 2.8 GHz 24 KB 2 GB 3 P4 2.6 GHz 52 KB 2 GB 4 P4 2.8 GHz 52 KB 2 GB 5 P4 2.6 GHz 52 KB 2 GB 6 P4.8 GHz 52 KB 2 GB 7 P4 2.6 GHz 52 KB 2 GB 8 AMD.6 GHz 256 KB GB 9 AMD.6 GHz 256 KB GB AMD.6 GHz 256 KB GB AMD.6 GHz 256 KB GB Tabela 2.: Configuração das máquinas do cluster. Os algoritmos descritos neste trabalho foram imlementados utilizando a linguagem C e a biblioteca MPI ara troca de mensagens. O MPI foi escolhido or se tratar de um adrão na rogramação or troca de mensagens, garantido a ortabilidade do rograma. Os resultados obtidos, em segundos, não abrangem os temos gastos com a distribuição inicial dos dados e o envio dos resultados ao final do rograma. Consideram aenas as etaas de rocessamento local e comunicação. 2

20 Caítulo 3 Problema da Mochila - Neste caítulo, aresentaremos um algoritmo aralelo ara solucionar o Problema da Mochila - que utiliza rogramação dinâmica em sua solução e baseia-se na ideia do algoritmo aresentado or Alves et al [2]. Na Seção 3. definiremos o roblema. Na Seção 3.2, descreveremos um algoritmo sequencial com rogramação dinâmica ara solucionar o roblema. Na Seção 3.3, aresentaremos o algoritmo de frente de onda que utiliza rogramação dinâmica ara solucionar o Problema da Mochila - gastando O() rodadas de comunicação, onde é a quantidade de rocessadores. Por fim, mostraremos, na Seção 3.4, os resultados obtidos com a imlementação do algoritmo frente de onda. 3. O Problema O Problema da Mochila - consiste em um conjunto S = {, 2,..., n} de n itens distintos, cujo i-ésimo item ossui um valor v i, digamos em reais e um eso w i, digamos em quilos, onde v i e w i são inteiros. Seja W um inteiro que reresenta a caacidade máxima da mochila que será utilizada ara transortar os itens. O roblema a ser resolvido é: quais itens devem ser escolhidos a fim de encher a mochila com os itens mais valiosos sem exceder a caacidade máxima? n max{ v i z i : i= n w i z i W, z i {, }}. i= 3.2 Algoritmo Sequencial O Problema da Mochila - ertence à classe dos roblemas NP-comletos [23]. Contudo, este roblema ode ser resolvido sequencialmente em temo O(nW ). Este limite não é olinomial ara o tamanho da entrada visto que lg W bits são necessários ara codificar a entrada W. Esta solução é chamada de seudo-olinomial [23]. 3

21 3.2. Algoritmo Sequencial dct-ufms Existem basicamente duas abordagens ara encontrar a solução exata do Problema da Mochila -: rogramação dinâmica (PD) e branch-and-bound (B&B). Quando os arâmetros v i e w i são gerados indeendentemente e temos um roblema muito grande, a aroximação (B&B) é, na média, mais eficiente quando imlementada em máquinas sequenciais [38]. Quando os arâmetros estão interligados, a aroximação PD comortase melhor do que B&B [5, 6]. O rimeiro algoritmo ara o roblema da mochila baseado em rogramação dinâmica foi desenvolvido or Gilmore e Gomory [25]. A rogramação dinâmica é uma técnica ara a solução de vários roblemas de decisão e otimização. A metodologia da rogramação dinâmica decomõe o roblema que está sendo tratado numa sequência de assos de decisão ou otimização inter-relacionados, que são solucionados um aós o outro. A solução ótima ara um roblema é obtida através da decomosição do roblema em subroblemas, comutando a solução ótima ara cada subroblema e recombinando essas soluções ara obter o resultado ótimo ara a solução global do roblema. Diferentemente dos outros métodos de otimização, tais como rogramação linear ou branch-and-bound, a rogramação dinâmica não é uma técnica geral. Todo roblema de otimização dever ser rimeiramente traduzido numa forma mais adequada ara que a abordagem de rogramação dinâmica ossa ser utilizada. Essa adequação ode ser bastante difícil e a definição da formulação (em rogramação dinâmica) que soluciona o roblema eficientemente aumenta ainda mais a dificuldade da tarefa. Utilizando PD, o Algoritmo soluciona sequencialmente o Problema da Mochila - em temo O(nW ). Denotaremos f(r, c), com r n e c W, os valores da solução ótima ara o Problema da Mochila - com um conjunto de objetos [, r] e eso c. Consequentemente, f(n, W ) é o valor da solução ótima. A relação de recorrência é: f(r, c) = max{f(r, c), f(r, c w r ) + v r }, c W, r n Algoritmo Mochila - Entrada: () v i e w i, i n; e (2) W. Saída: f(n, W ) : for c to W do 2: f(, c) ; 3: end for 4: for r to n do 5: for c to W do 6: if c < w k then 7: f(r, c) f(r, c); 8: else 9: f(r, c) max{f(r, c w r ) + v k, f(r, c)}; : end if : end for 2: end for Na bibliografia, vários algoritmos aralelos foram roostos ara o Problema da Mo- 4

22 3.3. Algoritmos Paralelos dct-ufms chila -. A seguir, aresentamos os algoritmos aralelos que estão mais relacionados ao nosso trabalho. Este roblema clássico de otimização combinatorial ossui uma enorme quantidade de alicações [24, 32, 48]. Além disso, este é um roblema de rogramação inteira com uma única restrição. Em rincíio, qualquer roblema de rogramação inteira ode ser transformado neste roblema [24]. As dificuldades da solução do Problema da Mochila - são as dificuldades tíicas da rogramação inteira. Bons algoritmos ara o Problema da Mochila - são interessantes ara a área de esquisa em rogramação inteira. 3.3 Algoritmos Paralelos Andonov et al [4] aresentaram um algoritmo sistólico ara solucionar o roblema da mochila. A comlexidade do algoritmo é Θ(nW/ + n), utilizando uma toologia em anel com rocessadores. Além disso, o algoritmo ossui uma fase de backtracking ara solucionar o roblema. Almeida et al [] roosuseram um algoritmo reduzindo o roblema da mochila integral ao roblema de caminhos máximos. Os autores também mostraram que algoritmos desenvolvidos ara solucionar o Problema da Mochila - odem ser transformados em soluções eficientes ara o roblema da mochila integral. Aresentando um novo algoritmo com comlexidade O(W 2 / + n) com rocessadores em um anel. Arruda [5] estudou a relação entre aralelismo e redução no esaço de busca através da eliminação de objetos dominados. Estamos interessados em rojetar um algoritmo aralelo que ossa ser imlementado em máquinas aralelas disoníveis e obter temos de execução comatíveis aos revistos no modelo BSP/CGM, indeendentemente do tio de interconexão de rede utilizado. Aresentamos um algoritmo BSP/CGM ara o Problema da Mochila - que está baseado na idéia wavefront (frente de onda) ou comunicação sistólica de Alves et al [2]. Sua rincial vantagem é que cada rocessador comunica-se com oucos rocessadores, o que o torna otencialmente mais conveniente ara alicações em grades comutacionais. Nosso algoritmo gasta O( nw ) de comutação local e O() rodadas de comunicação, onde é o número de rocessadores O Algoritmo de Frente de Onda Nesta seção aresentamos um algoritmo BSP/CGM que gasta O() rodadas de comunicação ara comutar a solução do Problema da Mochila - com n itens e eso máximo W. Utilizaremos rocessadores, cada um com memória local O(W n ). Primeiro daremos a ideia rincial ara comutar a matriz com a solução ótima f utilizando rocessadores. Para cada conjunto S = {, 2,..., n} de itens, o vetor w, onde w[i] é o eso de cada item i, e o vetor v, onde v[i] é o valor do item i, são divididos 5

23 3.3. Algoritmos Paralelos dct-ufms em artes, de tamanho n, e cada rocessador P i, i, recebe a i-ésima arte de w (w[(i ) n +.. i n ]) e v (v[(i ) n +.. i n ]). Esta ideia está ilustrada na Figura 3.. A notação Pi k significa o trabalho do rocessador P i na rodada k. Assim, inicialmente P começa a comutar na rodada. Então P e P 2 odem trabalhar na rodada ; P, P 2 e P 3 na rodada 2, e assim sucessivamente. Em outras alavras, aós a comutação da k-ésima arte da submatriz f i (denotada or fi k ), o rocessador P i envia ara o rocessador P i+ os elementos da fronteira direita (coluna mais a direita) de fi k. Estes elementos são denotados or Ri k. Utilizando Ri k, o rocessador P i+ ode comutar a k-ésima arte da submatriz f i+. Aós rodadas, o rocessador P recebe R e comuta a rimeira arte da submatriz f. Na rodada 2 2, o rocessador P recebe R e comuta a -ésima arte da submatriz f e termina a comutação. n P P 2 P 2 3 P P P 2 2 P n P 2 W P k i W R k i P P 2 P 2 2 Figura 3.: Um escalonamento de O() rodadas de comunicação. É fácil verificar na Figura 3. que o rocessador P só inicia seu trabalho quando o rocessador P termina sua comutação, na rodada. Portanto, temos um balanceamento de carga muito ruim. Visando uma melhor distribuição de carga, tentamos fazer com que cada rocessador inicie seu rocessamento o quanto antes. Isto ode ser feito diminuindo o tamanho da mensagem que o o rocessador P i envia ara o rocessador P i+. Em vez de considerarmos mensagens de tamanho W, consideramos mensagens de α W e testamos diversos tamanhos de α. O Algoritmo 2 trabalha da seguinte maneira: deois de calcular fi k, o rocessador P i envia Ri k ara o rocessador P i+. O rocessador P i+ recebe Ri k de P i e calcula f k+ i+. Aós 2 rodadas de comunicação, o rocessador P recebe R 2 e calcula f. Se utilizarmos α < todos os rocessadores estarão trabalhando simultaneamente deois da ( 2)-ésima rodada. Testamos diferentes valores ara α a fim de encontrar um bom equilíbrio entre o trabalho de cada rocessador e o número de rodadas do algoritmo. A Figura 3.2 mostra como o algoritmo funciona quando α = /2. 6

24 3.3. Algoritmos Paralelos dct-ufms Algoritmo 2 α---knasack Entrada: () A quantidade de rocessadores; (2) O identificador i de cada rocessador, onde i ; e (3) A caacidade W da mochila e os subvetores v i e w i de tamanho n; (4) A constante α. Saída: f(r, c) = max{f[r, c w[r]] + v[r], f[r, c]}, onde c W e (j ) n + r j n. : for k do α 2: if i = then 3: for α(k ) W + r αk W and c n do 4: comute f(r, c); 5: end for 6: send(ri k, P i+ ); 7: end if 8: if i then 9: receive(ri, k P i ); : for α(k ) W + r αk W and c n do : comute f(r, c); 2: end for 3: if i then 4: send(ri k,p i+ ); 5: end if 6: end if 7: end for Utilizando o esquema da Figura 3.2, odemos notar que na rimeira rodada, aenas o rocessador P trabalha. Na segunda rodada, os rocessadores P e P 2 trabalham. Na rodada k, todos os rocessadores P i trabalham, onde i k. Deendendo do valor de α < os rocessadores iniciam seu trabalho mais cedo. n P P 2 P 2 3 P P P 2 2 P P 2 W P P P 2 P + 2 P +2 3 P 2 2 P 2 P + P +2 2 P 2 n P +2 P k i α W R k i P 2 P 2 2 P 3 2 Figura 3.2: Um escalonamento de O() rodadas de comunicação e α = /2. Teorema 3. O Algoritmo 2 utiliza O( W n) comutação local com ( + ) 2 rodadas α de comunicação. 7

25 3.4. Resultados Exerimentais dct-ufms Prova. O rocessador P envia R k ara o rocessador P 2 aós comutar o k-ésimo bloco α W W n de linhas da submatriz f. Aós rodadas de comunicação, o rocessador P α termina seu trabalho. Similarmente, o rocessador P 2 acaba seu trabalho aós rodadas α de comunicação. Assim, deois de 2 + i rodadas de comunicação, o rocessador P α i finaliza seu trabalho. Visto que temos rocessadores, aós ( + ) 2 rodadas de α comunicação, todos os rocessadores terão acabado seu trabalho. Cada rocessador utiliza um algoritmo de rogramação dinâmica sequencial ara comutar a solução ótima da submatriz f i ara o Problema da Mochila -. Consequentemente este algoritmo utiliza temo O( W n ) de comutação local em cada rocessador. Teorema 3.2 No final do Algoritmo 2, f(n, W ) armazenará a solução ótima ara o Problema da Mochila - com n itens, valores v i e esos w i, i n e caacidade W. Prova. O Teorema 3. rova que aós ( + ) 2 rodadas de comunicação, o rocessador P termina seu trabalho. Essencialmente, estamos comutando um algoritmo de α rogramação dinâmica sequencial ara o Problema da Mochila - e enviando as fronteiras ara o rocessador da direita, a corretude do algoritmo aarece naturalmente com a corretude do algoritmo sequencial. Portanto, aós ( + ) 2 rodadas de comunicação, α f(n, W ) armazenará a solução ótima ara o Problema da Mochila - com n itens, valores v i e esos w i, i n, caacidade W. 3.4 Resultados Exerimentais Nesta seção, tratamos dos resultados obtidos com o algoritmo BSP/CGM ara o Problema da Mochila - descrito anteriormente. Os dados de entrada usados em nossos testes foram gerados de forma aleatória. O rograma recebe como entrada o número de itens n que serão gerados e caacidade da mochila W. De maneira aleatória o rograma gera ara cada item i um valor v i e um eso w i, ambos inteiros. Deois de gerada a lista com os valores e esos dos n itens, o rograma armazena em um arquivo, o número de itens, a caacidade da mochila e a lista dos itens com o eso e o valor de cada item. A Tabela 3. mostra o número de itens e a caacidade da mochila ara cada teste utilizado nos exerimentos. Instância n W I I I I Tabela 3.: Número de itens e a caacidade da mochila. 8

26 3.4. Resultados Exerimentais dct-ufms Na Tabela 3.2, odemos avaliar o desemenho do algoritmo no Beowulf. Nas instâncias I e I 2, observamos que quando aumentamos o número de rocessadores até 4, conseguimos uma melhora no temo de execução, mas quando utilizamos 8 rocessadores a comunicação acaba sendo maior que a comutação local, aumentando o temo de execução. Nas instâncias I 3 e I 4, os temos do algoritmo também decrescem à medida que aumentamos o número de rocessadores. P I I 2 I 3 I Tabela 3.2: Temo em segundos ara o Problema da Mochila - utilizando o Beowulf. A Tabela 3.3, aresenta o temo execução do algoritmo no InteGrade com MPI. À medida que aumentamos o número de rocessadores, conseguimos uma melhora exceto na instância I, quando temos 8 rocessadores a comunicação acaba sendo maior que a comutação local e o temo de execução aumenta. Nas demais instâncias semre há uma melhora no temo a medida que aumentamos o número de rocessadores. P I I 2 I 3 I Tabela 3.3: Temo em segundos ara o Problema da Mochila - utilizando InteGrade. Aesar do overhead gerado elos módulos do InteGrade, os temos de execuções ficaram róximos aos temos gastos na execução do algoritmo no Beowulf. Ou seja, em alicações onde há ouca comunicação entre os rocessadores o InteGrade aresenta resultados ositivos. A Figura 3.3 aresenta o gráfico gerado utilizando os resultados contidos nas Tabelas 3.2 e 3.3. A fim de melhorar o balanceamento de carga do algoritmo, testamos diferentes valores de α, /2 α /32. As Tabelas 3.5 e 3.4 mostram o desemenho no Beowulf e no InteGrade, resectivamente. Nesse exerimento utilizamos a instância I 4. Nos dois, casos odemos observar a melhora no temo de execução do algoritmo à medida que aumentamos o número de rocessadores e diminuímos o valor de α. O melhor resultado foi obtido quando utilizamos = 8 e α = /6. Quando utilizamos α = /32, o temo de execução aumenta indeendente da quantidade de rocessadores. Isto ocorre orque, embora o rocessador inicie seu trabalho mais cedo, a quantidade de rodadas de comunicação aumenta, aumentando o temo de execução do algoritmo. Mesmo variando o valor de α, o comortamento do algoritmo no InteGrade ermanece 9

27 3.4. Resultados Exerimentais dct-ufms Temo (s) Cluster I Grid I Cluster I2 Grid I2 Processadores Cluster I3 Grid I3 Cluster I4 Grid I4 Figura 3.3: Gráfico de comaração entre o Beowulf e o InteGrade. P α = /2 α = /4 α = /8 α = /6 α = / Tabela 3.4: Temo de execução ara diferentes valores de α no Beowulf. o mesmo, ou seja, o temo se mantém róximo aos resultados obtidos no Beowulf aesar do aumento na quantidade de rodadas de comunicação. P α = /2 α = /4 α = /8 α = /6 α = / Tabela 3.5: Temo de execução ara diferentes valores de α no InteGrade. 2

28 Caítulo 4 Árvore Geradora Este caítulo trata do Problema da Árvore Geradora. Na Seção 4. definiremos o roblema. Na seção seguinte, discutiremos diferentes algoritmos aralelos existentes, aresentando o algoritmo de Cáceres et al [8] no modelo BSP/CGM que utiliza O(log ) rodadas de comunicação. Por fim, na Seção 4.3, mostraremos os resultados obtidos com a imlementação do algoritmo. 4. O Problema Seja G = (V, E) um grafo com n = V vértices e m = E arestas. Uma árvore geradora T = (V, E ), é um subgrafo de G que é uma árvore e contém todos os vértices de G, ou seja, V = V e E E. Na Figura 4., odemos observar, em (a), o grafo G e, em (b), sua árvore geradora T (a) (b) Figura 4.: O grafo G e sua árvore geradora T. O Problema da Árvore Geradora de um grafo é um roblema básico em teoria dos grafos e serve como base de outros subroblemas ara muitas alicações. Sequencialmente, este roblema é resolvido eficientemente alicando-se uma busca em rofundidade ou uma 2

29 4.2. Algoritmo Paralelo dct-ufms busca em largura. O algortimo de busca em rofundidade não ossui uma imlementação aralela eficiente [43]. 4.2 Algoritmo Paralelo Hirschberg et al [3] aresentaram no modelo PRAM CRCW um algoritmo que calcula os comonentes conexos de um grafo com n vértices em temo O(log 2 n) e utilizando n 2 rocessadores. Utilizando o mesmo modelo, Shiloach e Vishkin [45] aresentaram um algoritmo que gasta temo O(log n) e utiliza m + n rocessadores. Melhorando trabalhos já aresentados, Halerin e Zwick [3] mostraram um algoritmo aleatório PRAM EREW que encontra comonentes conexos do grafo em temo O(log n) e utilizando O((m + n)/ log n) rocessadores. Bader e Cong [7] imlementaram os algoritmos de Shiloach e Vishkin [45] e Hirschberg et al [3] e desenvolveram um novo algoritmo randômico ara comutar a árvore geradora em multirocessadores simétricos. Baseado no algoritmo PRAM roosto or Shiloach e Vishkin [45], Dehne et al [22] rouseram um algoritmo BSP/CGM que comuta uma árvore geradora e os comonentes conexos do grafo gastando O(log ) rodadas de comunicação e O( m+n ) comutação local em cada rodada, onde é o número de rocessadores, esse algoritmo utiliza a solução do Euler tour no grafo de entrada, que é baseada na solução do roblema do list ranking. Cáceres et al [8] aresentaram um outro algoritmo aralelo no modelo BSP/CGM ara calcular a árvore geradora. Este algoritmo também gasta O(log ) rodadas de comunicação e O( n+m ) de comutação local or rodada, mas não deende da solução do Euler tour, nem do list ranking. Ao invés disso, ele utiliza uma ordenação de número inteiros, o que ode ser imlementado eficientemente no modelo BSP/CGM or [3] Algoritmo de Cáceres et al O algoritmo roosto or Cáceres et al [8] encontra uma árvore geradora em um grafo biartido. Aesar da entrada do algoritmo ser um grafo biartido, os autores mostram que o algoritmo funciona ara qualquer grafo, ois todo grafo ode ser transformado em um grafo biartido. Antes de descrevermos o algoritmo, defininiremos algumas estruturas que utilizaremos no algoritmo. Considere um grafo biartido H = (V, V 2, E), sendo V = {u, u 2,..., u n } e V 2 = {v, v 2,..., v n2 } o conjunto de vértices e E seu conjunto de arestas. Um strut ST em V é uma floresta geradora de H tal que cada v i V 2 incide em ST com exatamente uma aresta de E e (u j, v i ) é uma aresta de ST se e somente se (u k, v i ) não é uma aresta de H, ara qualquer v k V, k < j. Um vértice u V é chamado de zero-diferença se o grau de u em H é igual ao grau de u em ST. 22

30 4.2. Algoritmo Paralelo dct-ufms O Algoritmo 3 descreve os assos do algoritmo de Cáceres et al [8]. Dado um grafo biartido H = (V, V 2, E) com V = n, V 2 = n 2 e E = m, a entrada do algoritmo são as arestas ordenadas lexicograficamente e então distribuídas entre os rocessadores. O rimeiro asso do algoritmo é obter uma floresta geradora através de um strut ST em H. Em seguida, calcula-se a quantidade de vértices zero-diferença. Se o número de vértices zero-diferença for um, então o roblema é facilmente resolvido adicionando-se uma aresta qualquer de H ST incidente em cada vértice não zero-diferença de ST. Caso existam dois ou mais vértices zero-diferença é necessário fazer uma comactação no grafo. Para cada vértice zero-diferença u V comacte todos os vértices v i V 2 incidente em u juntando todos os vértices v i no menor vértice de v i. Isto é feito até que exista aenas um vértice zero-diferença. Algoritmo 3 Árvore Geradora Entrada: Um grafo biartido H = (V, V 2, E) onde V = {u,..., u n }, V 2 = {v,..., v n2 } e E = m. Uma aresta(u i, v i ) de E ossui o vértice u i em V e o vértice v i em V 2. As m arestas estão igualmente distribuídas através dos rocessadores. Saída: Uma árvore geradora de H. : Fase I 2: Inicialize V V ; V 2 V 2 ; E E; 3: for log vezes do 4: for cada v i V 2 do 5: Escolha o menor vértice u j dentre todas as arestas (u, v i ) e marque a aresta (u j, v i ). Seja ST o conjunto de arestas marcadas; 6: end for 7: Calcule o grau de cada vértice u V em H(V, V 2, E); 8: Calcule o grau de cada vértice u V em H ST (V, V 2, E); 9: Utilizando os graus dos vértices comutados anteriormente, conte o número de vértices zero-diferença; : if o número de vértices zero-diferença = then : O algoritmo acaba; 2: end if 3: Comacte o grafo roduzindo o grafo H(V, V 2, E); 4: end for 5: Fase II 6: Comute uma floresta geradora com as arestas de H(V, V 2, E) que não ertencem a ST e remova aquelas cujo grau(u)=, onde u V ; 7: for i to log do 8: P 2i+ envia sua floresta geradora ara o o rocessador P 2i ; 9: O rocessador P 2i calcula uma nova floresta geradora; 2: end for Teorema 4. O Algoritmo 3 comuta a árvore geradora de H = (V, V 2, E) gastando O(log ) rodadas de comunicação e O( m+n ) de comutação local em cada rodada. 23