O Desejo do Absurdo. Introdução. Resultados e Discussão. Rafael Tavares Juliani (PG) -

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1 O Desejo do Absurdo Rafael Tavares Juliani (PG) - rafaeljuliani@gmail.com Palavras Chave: história, demonstração, absurdo. Introdução A demonstração por absurdo, conhecida como REDVCTIO AD ABSVRDVM, do latim: redução ao absurdo, consiste em supor verdadeira a negação de uma tese e se por meio de um raciocínio dedutivo for encontrada uma contradição (absurdo), que parte das hipóteses, a tese é verdadeira. Claramente, esse tipo de raciocínio faz uso do princípio do terceiro excluído, no qual uma hipótese só pode ser verdadeira ou falsa, e do princípio da não contradição, pois não admite que as duas hipóteses, a própria e sua contradição, sejam verdadeiras. Esse tipo de raciocínio começa a aparecer nos pré-socráticos: Anaximandro, Parmênides e Zenão. A demonstração por absurdo também aparece nas obras de Aristóteles em vários momentos. Ele também indica uma demonstração por absurdo na prova da incomensurabilidade da raiz de dois, que foi a primeira crise na matemática. O ambiente grego era propício porque os pensamentos dos gregos estavam sempre baseados em dicotomias: a unidade ou a pluralidade; o ser ou o não ser. Os Primeiros Usos Resultados e Discussão Segundo Bertrand Russel, em História do Pensamento Ocidental 1, Anaximandro, que viveu no sexto século antes de Cristo, usou o método de redução ao absurdo em sua tentativa de demonstrar a evolução do ser humano. Anaximandro argumenta que se o homem sempre foi como é hoje, ele não teria sobrevivido. Isso porque os bebês humanos necessitam de um grande período de proteção e cuidado. Segundo ele, o homem teria evoluído de um animal que pudesse prover a sua subsistência de forma bem mais rápida. E ele indica o peixe como esse animal. Essa pode ser uma demonstração por absurdo, mas Anaximandro se precipitou na conclusão. Ele poderia ter ficado sem indicar o animal, ou ter imaginado que o próprio homem poderia ter essa característica de rápida provisão em tempos mais remotos. Grimberg, em Parmênides e a Matemática 2, mostra que os três princípios da lógica identidade, não contradição e terceiro excluído vêem dos pensamentos do eleático Parmênides contidos nos fragmentos, que chegaram até nós, de seu poema Sobre a Natureza. Grimberg também indica uma reductio ad absurdum no fragmento número 8: ainda uma só palavra resta do caminho: que é ; sobre este há bem muitos sinais : que sendo ingênito também é imperecível....pois que origem sua buscarias? Por onde, de onde se distenderia? Não permitirei que tu digas nem penses do não ente : pois não é dizível nem pensável que seja enquanto não é 2. Se o não ser pode ser pensado, então o não ser é, e isso seria um absurdo. Segundo Grimberg, esse é o primeiro raciocínio por redução ao absurdo escrito que chegou até os dias atuais. Embora Parmênides tenha nascido depois da metade do sexto século antes de Cristo, ou seja, depois da morte de Anaximandro, as obras desse último não chegou até nossos dias. O que se sabe sobre suas idéias são por citações de terceiros como Simplício e Aristóteles. No entanto acredito que o crédito da idéia deveria ser dado a Anaximandro. Zenão de Eléia, discípulo de Parmênides, influenciou fortemente a matemática com o seu método dialético e de redução ao absurdo, mesmo que ele não tenha sido um matemático. Segundo Diógenes Laércio, em Vidas e Opiniões de Eminentes Filósofos 3, Aristóteles considerava Zenão como o inventor da dialética. Parece que na maioria dos seus argumentos, ele queria combater as mônadas pitagóricas, ou seja, o atomismo de Pitágoras como diz Russel 1. Mas no diálogo Parmênides de Platão, pelo menos com respeito a pluralidade ou a unidade do ser, Zenão diz que elaborou seu raciocínio com o intuito de mostrar que as idéias dos adversários conduzem a mais contradições que as idéias de Parmênides. Nos atendo mais a questões de proveito para a matemática, consideremos o seguinte argumento de Zenão: Aquilo que, seja lá o que for, deve ter alguma magnitude. Se não tivesse magnitude alguma, não existiria. O mesmo pode ser dito de cada parte. É o mesmo dizer isso uma vez e dizer isso sempre. Não se pode dizer que parte alguma seja a menor. Assim, se as coisas são muitas, precisarão ser pequenas e grandes ao mesmo tempo. Na verdade precisam ser tão pequenas que não tenha tamanho, pois a divisibilidade infinita mostra que o número de partes é infinito, que requer unidades sem magnitude e, portanto, qualquer quantidade destas unidades também não tem

2 magnitude. Ao mesmo tempo, porém, a unidade deve ter alguma magnitude e, por conseguinte, as coisas são infinitamente grandes 1. Esse argumento indica que é uma crítica aos pitagóricos e essa é a visão defendida por Russel, pois os pitagóricos acreditavam que uma linha tinha um número finito de indivisíveis chamados de mônadas. O que é crucial aqui é a idéia de divisibilidade infinita, pois se torna insustentável com a idéia de unidades. A divisibilidade infinita é mais útil a matemática, por isso as mônadas pitagóricas foram esquecidas 1. O argumento de Zenão acima é composto por duas demonstrações por absurdo. Na primeira ele assume o princípio da unidade, da divisibilidade ad infinitum e de que as unidades não têm tamanho, chegando a um absurdo de que as coisas não têm tamanho. Na segunda ele assume o princípio da unidade, da divisibilidade ad infinitum e de que as unidades têm tamanho, chegando 1a um absurdo de que as coisas têm tamanho infinito. Porém, os pensamentos mais famosos de Zenão são os quatro paradoxos sobre o movimento. Esses quatro paradoxos se encontram na obra Física 4 de Aristóteles. Cada paradoxo é uma espécie de redução ao absurdo. O mais famoso dos quatro paradoxos é o de Aquiles, o grande corredor da antiguidade, e a tartaruga. Conforme Zenão, se for dada uma vantagem para a tartaruga, em uma corrida, Aquiles nunca irá alcançá-la. Pois quando Aquiles alcançar o ponto de onde a tartaruga largou, ela já estará um pouco a frente. Depois quando ele chegar a essa nova posição a tartaruga estará mais um pouco a frente e assim infinitamente. No outro paradoxo, semelhante ao do Aquiles e da Tartaruga, Zenão afirma que um corredor não consegue completar um percurso porque primeiro ele precisaria atingir a metade do percurso, depois a metade dessa metade e assim infinitamente. Os dois paradoxos se sustentam na impossibilidade de passar por infinitos pontos em um tempo finito. No outro paradoxo, Zenão parece dizer que não adianta supor que o espaço não possa ser infinitamente dividido, pois também se encontraria um outro paradoxo, como se o tempo fosse mais rápido do que realmente é. Ele considera três segmentos de linhas com um números iguais de unidades finitas e paralelos. Apenas um se encontra em repouso, mas os outros dois se movimentam em direções contrárias com velocidades iguais. Um vindo do início ao ponto médio do que está em repouso e o outro do ponto médio ao final. Enquanto as duas que estão em movimento percorrem toda a extensão de ambas, elas só percorrem a metade da que está em repouso. Owen argumenta, em Zeno and the Mathematicians - Aristotelian Society em 1957, que esse paradoxo é pouco eficaz e o elabora de uma forma um pouco diferente, concluindo assim: quando os dois segmentos de linha que estão em movimento percorrem uma unidade, terão passado meia unidade do que está parado, o que não pode, pois a unidade não divisível. O outro paradoxo é o da flecha, que a própria, quando em vôo, ocupa um espaço igual a si mesma em qualquer instante, portanto está em repouso. Em contraposição a Russel, Aristóteles não vê os paradoxos como uma crítica aos pitagóricos. Aristóteles chama os paradoxos de Zenão de teoremas, o que indica que ele acreditava que Zenão estava tentando comprovar a impossibilidade do movimento, não mostrando absurdos de teorias pitagóricas. Segundo Russel, Aristóteles poderia concordar com Zenão se não fosse o preconceito 1. Aristóteles alega que existe dois tipos de considerar o infinito: um em relação às extremidades e outro em relação à divisibilidade, com isso ele ataca os paradoxos de Zenão. Fazendo essa distinção ele considera o todo primeiro, o percurso, e depois as divisões. Esse todo não seria um processo dessas infinitas partes, mas poderia ser dividido infinitamente e isso valendo tanto para o espaço quanto para o tempo também 4. É importante destacar que o material historiográfico de onde vêem os paradoxos é de um opositor de Zenão. Russel alega que Aristóteles não explicava bem as idéias de 1 Platão embora transmitisse com fidelidade. Será que os paradoxos de Zenão também foram transmitidos com fidelidade? Mas a verdade que isso não tem tanta interferência, talvez nenhuma, na questão desse trabalho. Porque com respeito ao método por via indireta nada foi falado. A demonstração por absurdo foi aceita por mais de dois mil anos. É bem verdade que Zenão não foi o primeiro a usar o método, mas foi o primeiro a usar como uma das principais ferramentas de demonstração. Seu Uso na Matemática Aristóteles é conhecido como aquele que estabeleceu a lógica e o Organon 4 é um conjunto de obras dele, em que trata de assuntos que hoje se chama lógica. O uso da reductio ad absurdum na matemática, pode-se dizer que começa com Aristóteles. Nos Primeiros Analíticos, uma das obras do Organon, ele fornece uma explicação de como é o proceder de uma demonstração por absurdo e apresenta um exemplo: a incomensurabilidade do lado de um quadrado e sua diagonal. Pois todo aquele que efetua um argumento por absurdo deduz silogisticamente o que é falso e prova a conclusão original através das hipóteses, quando algo absurdo resulta da suposição da sua negação; por exemplo, a diagonal do quadrado é incomensurável com o lado, porque os números ímpares são iguais aos pares se supor que a diagonal é comensurável 4. Um silogismo é quando de duas premissas se pode tirar uma conclusão. Quando duas premissas produzem, necessariamente, uma conclusão. É por

3 isso que o absurdo tem que está nas premissas, não pode ser externo. A incomensurabilidade da diagonal do quadrado em relação ao seu lado resulta do teorema de Pitágoras. O fato de existir grandezas que não podiam ser representadas por números racionais, ou seja, a totalidade dos números conhecidos na época, gerou uma crise no pensamento pitagórico, o qual afirmava que tudo era número. A comprovação de que essas grandezas incomensuráveis existem foi feita através de demonstração por absurdo e Aristóteles dá uma dica de que na época a prova estava baseada na distinção entre números pares e ímpares 4. Usando notação moderna, a prova a que se refere Aristóteles deve ser mais ou menos assim: Do teorema de Pitágoras tem-se que a diagonal é igual ao lado vezes a raiz de dois. Assim, supor que a diagonal seja comensurável, é o mesmo que supor 2 como um número racional. Então suponha 2= p/q, onde p e q são números naturais primos entre si, ou seja, uma fração irredutível. Então 2q 2 = p 2, logo p 2 é par, o que implica que p também é par. Mas q não pode ser par, pois se fossem não seriam primos entre si. Sendo assim, considere q como um número ímpar, então q 2 também é ímpar, o que é um absurdo, pois q 2 = p 2 / 2 e p 2 /2 é par (um par ao quadrado dividido por dois continua sendo par). A demonstração por absurdo é muito usada por Aristóteles e se tornou uma grande ferramenta de demonstração matemática. Euclides de Alexandria (séculos VI e III a.c.) em seus Elementos 5 também a usou em várias demonstrações. Devido a sua estruturação lógica, Os Elementos se tornou um best-seller da geometria. Nele, Euclides apresenta definições, axiomas e postulados para a partir deles obter as proposições ou os teoremas. Os axiomas são as verdades auto-evidentes que podem ser utilizadas em qualquer assunto, já os postulados eram necessariamente sobre geometria. Hoje em dia, postulados e axiomas são sinônimos. O controverso quinto postulado de Euclides foi utilizado por ele para demonstrar que os ângulos alternos internos formado por uma reta que corta duas outras retas, paralelas entre si, são iguais. Essa demonstração é parte da proposição XXIX e é feita por redução ao absurdo. O quinto postulado não é tão simples como os demais, na verdade, parecia um teorema do sistema. Por exemplo, o primeiro postulado diz que pode-se traçar uma linha reta de um ponto para um outro qualquer. Isso é uma coisa bem simples de que ninguém duvidaria que fosse verdade, assim como os outros postulados, no entanto o quinto diz: 4 Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos. O quinto postulado possui um texto enorme e com uma complexidade de teorema. No final do século XVIII da era cristã, o matemático escocês John Playfair introduziu um axioma equivalente, porém com um texto menor: em um mesmo plano, por um ponto fora de uma reta só se pode traçar uma paralela à reta dada. Apesar disso tudo, ninguém duvidaria que o postulado fosse verdade. Mas os matemáticos se incomodaram com ele e queriam promovê-lo a teorema, ou seja, mostrar que ele dependia dos outros postulados. Assim começaram as tentativas de demonstrá-lo, usando só os quatro postulados anteriores. Todas as demonstrações, porém, eram falaciosas, pois acabavam usando, sem perceber, o próprio postulado nas demonstrações 6. O primeiro matemático a conseguir resultados na sua tentativa de demonstrar o quinto postulado foi o monge italiano Girolamo Saccheri no século XVIII. Essa tentativa se encontra no livro dele intitulado EVCLIDES AB OMNI NAEVO VINDICATVS 7 (Euclides Livre de qualquer erro). Seu método foi por via indireta, por redução ao absurdo. Assim, como se queria mostrar que ele era dependente dos demais postulados, bastava supor que ele era independente e tirar um absurdo disso. Saccheri escreve que vai abordar três erros de que Euclides é acusado: o primeiro diz respeito ao quinto postulado; o segundo sobre a sexta definição do livro, sobre proporções; e o terceiro sobre a quinta definição do livro seis, sobre a combinação de razões. Segundo ele, a fama de Euclides é injustamente atacada. Aqui só será tratado o relativo as paralelas. A frase HOC AVTEM ABSVRDVM EST (mas isso é um absurdo) é frequente no seu texto, pois ele usa a redução ao absurdo várias vezes. Saccheri usou nas suas demonstrações os quatro primeiros postulados e as vinte e oito primeiras proposições de Euclides. Pois ele queria provar que supondo falso o quinto postulado ocorreria um absurdo. Então traçou um segmento AB e levantou duas perpendiculares iguais: AC e BD. Ele provou que os ângulos do topo ACD e BDC são iguais, além de várias outras demonstrações. Restando, assim, três hipóteses: os ângulos do topo são retos, obtusos, ou agudos. A hipótese do ângulo reto poderia ser descartada, já que o quinto postulado foi considerado falso. Validando a hipótese do ângulo obtuso, prova que vale o quinto postulado e alega um absurdo se apoiando na preposição vinte e oito de Euclides. Seria algo como não existir paralelas. E ainda para não deixar dúvidas, ele recorre a uma das suas demonstrações de que considerando a hipótese do ângulo obtuso, em um triângulo retângulo a soma dos dois ângulos não retos é maior que dois retos, o que contraria a proposição dezessete de Euclides. Cabe lembrar também, que se a hipótese do ângulo obtuso valida o quinto postulado, então tem-se um absurdo, pois ele foi considerado falso. No livro Filosofia da Matemática 6 de Stephen Barker relata

4 que Saccheri abandonou essa hipótese por ter admitido que um segmento podia ser prolongado indefinidamente, no entanto isso é errado se o quinto postulado não for considerado como verdadeiro. Saccheri não comete esse erro. Na hipótese do ângulo agudo, Saccheri diz ser um longo embate e o seu desejo de encontrar um absurdo o atrapalha. Ele acreditou achar um absurdo pelos resultados estranhos que obtinha como por exemplo: a soma dos ângulos internos de um triângulo serem sempre menor que dois retos; mas nada contrariava as suposições iniciais, sendo assim, era uma demonstração por absurdo falaciosa. O quinto postulado é de fato um postulado. Não pode ser demonstrado 6. Esses resultados que Saccheri obteve era de uma nova geometria, mas ele não percebeu o quão importante eram essas maluquices que encontrou e julgou um absurdo. Sua atitude é perfeitamente compreendida, dado as estranhezas dos resultados. Tão estranhos que mais tarde no século XIX, Gauss não publicou as descobertas que fez independente dos trabalhos de Saccheri. Quem primeiro publicou os resultados que obteve dessa nova geometria, que ficou conhecida por geometria não-euclidiana, foi o matemático russo Lobachevski 6. Ele recebeu o crédito dessa nova geometria, mas não na época em que viveu, pois pagou pela coragem de publicálas. Ele foi considerado um lunático e foi discriminado. As Críticas A demonstração por absurdo foi aceita por todos, mas durante o século XX, começaram as críticas. No entanto, essa críticas foram direcionadas ao princípio do terceiro excluído, que afeta a redução ao absurdo, como explicado na introdução. O que se pergunta é por que, só depois de tantos anos, apareceram essas críticas. Talvez, a possibilidade de construção de uma nova geometria possa ter ajudado. É certo que a existência de outros sistemas geométricos gerou várias questões filosóficas. Como poderia existir mais de um sistema geométrico verdadeiro? A crítica ao princípio do terceiro excluído foi feita pelo matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Ele é considerado o fundador da escola intuicionista. Dentre suas idéias, aqui será abordado uma de suas primeiras (sobre o princípio do terceiro excluído) e que interessa o presente trabalho. Uma outra crítica dele foi a idéia do infinito atual, dado como já pronto. Assim como Aristóteles, ele sustentava a idéia de um infinito potencial. Brouwer dizia que validar o princípio do terceiro excluído é supor que todo problema matemático tenha solução, pois tem que ser, ou falso, ou verdadeiro. Ele sustentava que poderia haver problemas nem falso nem verdadeiro, um indecidível, ou seja, sem solução. Usando suas idéias, seus seguidores mostraram exemplos na matemática como: saber se o número n = Π' Π é positivo, negativo ou nulo, onde Π' é igual a expansão decimal de Π até 100 zeros sucessivos. Na perspectiva intuicionista, negando o infinito atual, não foi possível determinar 8. Na verdade, Brouwer aceitava a demonstração por absurdo, mas não aceitava que do absurdo da antítese provasse a veracidade da tese, visto que esta última também poderia ser absurda. Os teoremas da incompletude do matemático austro-húngaro Kurt Gödel trouxeram uma maior importância para a crítica de Brouwer ao princípio do terceiro excluído. Pois segundo os teorema de Gödel, a matemática não está livre de indecidíveis. Por mais que se acrescente um novo axioma no sistema para conseguir resolver um problema, nada garante que não surgirão novos indecidíveis. Conclusões A redução ao absurdo sempre pareceu natural, pois sua aceitação havia sido unânime, sem qualquer objeção. Talvez pelo eterno costume, dos seres humanos, de criar uma dicotomia em todos os assuntos. O pensamento grego tinha muitas dicotomias como: a pluralidade e a não-pluralidade; o ser e o não ser; entre outras. No entanto, com o desenvolvimento da matemática, cada vez mais rigorosa, surgiram críticas ao terceiro excluído, tornando a redução ao absurdo questionável e considerada por alguns como ilógica, conforme o uso habitual. Mesmo com toda credibilidade que os teoremas de Gödel deram à crítica do terceiro excluído, os matemáticos não desistiram dessa poderosa ferramenta de demonstração que é a redução ao absurdo, pois, como foi visto nesse trabalho, ela está muito presente nas descobertas matemáticas, como por exemplo nos dois grandes momentos da matemática: a incomensurabilidade e as geometrias não-euclidianas. Embora ela não afete na existência das geometrias euclidianas. Um matemático a utiliza constantemente, principalmente em demonstrações de unicidade e existência. Sem ela seria necessário abandonar muitos resultados. Hilbert, matemático alemão do século XX, da escola formalista, não podia conceber uma matemática sem a redução ao absurdo, pois chegou a dizer que a matemática sem a lei do terceiro excluído era como um astrônomo sem telescópio 8. Uma boa idéia da importância e do risco da demonstração por absurdo pode ser observada com a frase do matemático britânico Hardy, também do século XX: A REDVCTIO AD ABSVRDVM, tanto amada por Euclides, é uma das mais belas armas de um matemático. É um gambit mais requintado do que qualquer outro em um jogo de xadrez: um

5 jogador de xadrez pode oferecer em sacrifício um peão ou mesmo qualquer outra peça, mas o matemático oferece a partida 9. Para se ter uma matemática mais poderosa, e não uma bem fraca, se admite o princípio do terceiro excluído e a redução ao absurdo. Referências 1 Russel, B. História do Pensamento Ocidental. Ediouro: Rio de Janeiro, (Parmênides e a Matemática, Grimberg, G. E.) acessado em Junho acessada em Junho de acessado em Junho de Euclides, Os Elementos. Universidade de Coimbra: Coimbra, Barker, S. F. Filosofia da Matemática. Trad.: Hegenberg, L. e Da Mota, O. S.; Zahar Editores: Rio de Janeiro, Saccheri, G. Euclides Vindicatus. Trad.: Halsted, G. B.; The Open Court Publishing Company: Rio de Janeiro, Oliveira, P.; Tese de Mestrado, Universidade de Lisboa, Portugal, o, acessado em Junho de 2008.