PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP. Fernanda Roberta Ravazi Bailo

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Fernanda Roberta Ravazi Bailo Produto da dissertação: Análise dos usos da variável presente no Caderno do Aluno na introdução à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II de 2008 e 2009 MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA São Paulo 2011

2 RESUMO O presente produto, originário de uma pesquisa qualitativa de cunho documental do Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, tinha como objetivo investigar quais os diferentes usos da variável emergem da sequência de ensino, que compõe as quatro Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano) volume , sugerida na Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II do ano de Para o seu desenvolvimento utilizamos uma ferramenta teórico-metodológica denominada Modelo 3UV, tal modelo apresenta uma interpretação do conceito de variável em três principais usos no ensino em álgebra escolar incógnita específica, número genérico e uma relação funcional. Além disso, investigamos se as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) também estão presentes nestas Situações de Aprendizagem. Como resultado desta pesquisa, concluímos que o Modelo 3UV, as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões de álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) podem ser identificadas nas Situações de Aprendizagem analisadas, porém, de acordo com o Modelo 3UV nestas situações são enfatizados os usos da variável como incógnita específica e número genérico. Nas concepções de álgebra de Usiskin (1995) não está presente a concepção de Álgebra como estudo de estruturas e nas dimensões da álgebra segundo o PCN (BRASIL, 1998) não está contida a dimensão da Álgebra estrutural. Portanto, este trabalho tem como produto propiciar a diferenciação entre os distintos usos das variáveis para melhor instrumentalização do professor e estará disponível para consulta dos docentes em versão digital em separado da dissertação intitulada: Análise dos usos da variável presente no Caderno do Aluno na introdução à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II de 2008 e Palavras-chave: Educação Algébrica, Diferentes usos da variável, Modelo 3UV, Material Didático, Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008.

3 SUMÁRIO INTRODUÇÃO PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ANÁLISES DAS SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e álgebra - 6 Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças Situação de Aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações e a regra de três CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS

4 4 INTRODUÇÃO Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental II PCN (BRASIL, 1998) e vários pesquisadores como Booth (1995), Demana e Leitzel (1995), House (1995) e Scarlassari (2007), discutem a respeito das dificuldades encontradas pelos alunos ao estudar Álgebra e a relevância da compreensão do conceito de variável. Entretanto, pesquisas recentes como Silva (2009) apontam que alunos na fase de conclusão do Ensino Fundamental (8ª série/9 ano) apresentam dificuldades em relação ás variáveis e suas distintas utilizações. Já Rodrigues (2008) em sua pesquisa verificou que estudantes, na fase de conclusão do Ensino Médio (3 ano), também manifestam estas dificuldades e Queiroz (2008) constatou em seu trabalho que professores destes níveis de ensino têm problemas em relação ás variáveis e suas diferentes utilizações. Como podemos notar tanto alunos, na fase de conclusão do Ensino Fundamental II como do Ensino Médio, apresentam dificuldades os diferentes usos das variáveis e Demana e Leitzel (1995, p. 74) ainda ressaltam: É um fato bem conhecido que os alunos têm dificuldade com o conceito de variável e que essa dificuldade pode ser decisiva para um fracasso em Álgebra. Diante da relevância do conceito de variável para o ensino da Álgebra e as dificuldades que os estudantes apresentam a respeito deste tema, temos como objetivo nesta pesquisa investigar quais os diferentes usos da variável emergem da sequência de ensino, que compõe as quatro Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano) volume , quando se inicia formalmente o ensino da Álgebra, sugerida na Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II do ano de A escolha pela análise desse material é em razão de deste conter Situações de Aprendizagem envolvendo a introdução ao estudo da Álgebra, que o mesmo deve ser utilizado por todos os professores e estudantes da Rede Estadual de Ensino do Estado de São Paulo. Então está pesquisa tem como produto propiciar a diferenciação entre os distintos usos das variáveis do referido material, para melhor instrumentalização do professor. A seguir apresentaremos os procedimentos metodológicos.

5 5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Para realização desta pesquisa, inicialmente foi efetuada a leitura da Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), com o intuito de verificar, em qual bimestre da 6ª série tínhamos a introdução ao estudo da Álgebra e descobrimos que estava presente no 4º bimestre. Após a familiarização com o instrumento de análise, resolvemos os problemas/atividades propostas nas quatro Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno da 6ª série/7º ano Volume , durante sua resolução consultamos o que era proposto no Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009) e no gabarito do Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2009a) apresentado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, posteriormente iniciamos nossa análise. Em cada problema/atividade das Situações de Aprendizagem, analisamos quais aspectos da variável, segundo o Modelo 3UV, estavam presentes. Além disso, verificamos quais concepções de álgebra de Usiskin (1995) e quais dimensões da álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), podiam ser identificadas. A seguir apresentaremos as Situações de Aprendizagem contidas no Caderno do Aluno da 6ª série volume , seus objetivos segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009), suas soluções apresentadas pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo em forma de gabarito e suas respectivas análises.

6 6 ANÁLISES DAS SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e álgebra Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009): Na Situação de Aprendizagem 1, o foco das atividades é o reconhecimento de padrões, em figuras e em sequências numéricas. Um dos objetivos da Álgebra é justamente a representação de regularidades por meio da linguagem simbólica da Matemática. Apresentamos uma série de atividades envolvendo a descoberta de padrões e regularidades e sua posterior representação na forma algébrica. (SÃO PAULO, 2009, p. 9). Nesta Situação de Aprendizagem são apresentadas treze atividades subdivididas em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com a seção Você aprendeu?, apresentada na Figura 1. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA 1. Observe com atenção a sequência abaixo: Qual é o próximo símbolo que deve ser colocado na sequência para que seja mantido seu padrão? I. II. III. IV. V. a) O símbolo I. b) O símbolo II. c) Os símbolos II ou III. d) Os símbolos I ou IV. e) Os símbolos II ou IV. 2. Por que é possível escolher mais de um símbolo para continuar o padrão da sequência? 3. Desenhe uma sequência usando como padrão o símbolo da figura III, apresentado na Atividade Desenhe os 7 primeiros símbolos da sequência, apresentados na Atividade 1, numerando-os conforme sua posição. a) Qual símbolo deve ser colocado na 20ª posição da sequência? E na posição 573? b) Escreva uma regra que permita identificar o símbolo correspondente a cada uma das posições da sequência. Figura 1 - Atividades 1, 2, 3 e 4 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 3-4

7 7 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 1. Alternativa e. Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo símbolo será / \. Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será apenas /, o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a alternância das barras / e \. Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito com o seguinte tipo de pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras / e \ em alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada posição da sequência são do tipo /\/, ou ainda do tipo /\/\? 2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos na sequência a) Na 20ª posição será o símbolo II.. Na 573ª posição, o símbolo I.. b) O símbolo I. está associado às posições pares, e o símbolo II. às posições ímpares. Exemplos de resposta: nas posições ímpares a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares a linha está deitada para a esquerda; quando a posição indica um múltiplo de 2 teremos \, caso contrário teremos /. Análise Vale ressaltar que na resposta apresentada pelo gabarito na atividade 3, há vírgulas e na sequência estas não aparecem, portanto, seria aconselhável nesta sequência não se colocar as vírgulas. Já a resposta dada para a atividade 4 (a) esta incorreta, pois na 20ª posição será o símbolo I., ou seja \. Já na posição 573ª será o símbolo II., ou seja /. Na série de atividades apresentadas em Você aprendeu? observamos que a pré-álgebra está presente, uma vez que é dada uma sequência de padrão figurativo,

8 8 cuja finalidade é explorar a identificação do padrão da mesma e sua representação é feita por meio de palavras e figuras. Além disso, fazemos o uso de recursos aritméticos para investigar os termos da sequência, e atribuímos números para detectar suas posições. Neste episódio foram utilizados os números naturais pares (ou múltiplos de 2) e os números naturais ímpares. Nestas atividades embora em sua resolução não apareçam letras e o foco seja regularidades, temos de acordo com o Modelo 3UV os aspectos G1, G3 e G5 da variável como número genérico. Nas atividades 1, 2, 3 e 4 é necessário o aspecto G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber regras e métodos em uma sequência; na 4 (a) temos o aspecto G3, já que deverão deduzir a regra em uma sequência; e na 4 (b) é indispensável o aspecto G5, uma vez que necessitarão simbolizar enunciados e regras, na qual representarão este padrão por meio de palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente. Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL,1998) não identificamos nenhuma das duas. A meu ver, isto se justifica em virtude de tanto as concepções quanto as dimensões da álgebra, focarem o uso da variável letra e como podemos observar em nenhuma destas atividades tivemos a presença de letras, e sim da variável palavra. Nas Figuras 2 e 3, apresentamos a Lição de casa com as atividades 5 e Escreva uma regra de identificação dos símbolos para cada uma das sequências a seguir: a) Sequência 1 b) Sequência 2 c) Sequência 3 d) Sequência 4 Figura 2 - Atividade 5 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 4-5

9 9 6. Tendo como base as sequências apresentadas na atividade anterior, desenhe: a) a figura que ocupa a 20ª posição na Sequência 1. b) a figura que ocupa a 73ª posição na Sequência 2. c) a figura que ocupa a 123ª posição na Sequência 3. d) a figura que ocupa a 344ª posição na Sequência 4. Figura 3 - Atividade 6 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 5 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 5. a) Símbolo I: nas posições indicadas por múltiplos de 3. Símbolo /: quando o resto da divisão da posição por 3 for 1. Símbolo \: quando o resto da divisão da posição por 3 for 2. b) Símbolo : quando a posição for um número ímpar. Símbolo : quando a posição for um número par. c) Símbolo : quando a posição for um múltiplo de 3. Símbolo : quando a posição não for um múltiplo de 3. d) Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1. Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for a) A figura que ocupa a 20ª posição na sequência 1 é \. b) A figura que ocupa a 73ª posição na sequência 2 é. c) A figura que ocupa a 123ª posição na sequência 3 é. d) A figura que ocupa a 344ª posição na sequência 4 é.

10 10 Análise Nesta seção Lição de casa, temos ainda um modelo de pré-álgebra, na qual são apresentadas sequências de padrão figurativo com a intenção de explorar a identificação do padrão da mesma. A representação deste padrão é feita por meio de palavras e figuras, tendo o uso de recursos aritméticos para identificar os termos da sequência; neste caso, foram utilizados os múltiplos, os divisores, o resto da divisão. Nas atividades 5 e 6, ocorre o mesmo que nas anteriores (Você Aprendeu?). Apesar de na resolução, cujo foco é regularidades não aparecerem letras temos segundo o Modelo 3UV os aspectos G1, G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo indispensável na atividade 5 o aspecto G1, já que precisarão reconhecer padrões, perceber regras e métodos em sequências; o aspecto G3, pois necessitarão deduzir regras em sequências; e o aspecto G5, porque deverão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais, representando este padrão por meio de palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente. Já na atividade 6 temos apenas o aspecto G3. Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) como nas atividades da seção anterior (Você aprendeu?), não tivemos a presença da variável letra. Logo, não identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra. Nas Figuras 4 e 5, temos novamente a seção Você aprendeu? com as atividades 7, 8, 9 e o 10 em forma de Desafio. 7. Observe a sequência a seguir e responda às perguntas: a) Qual é a próxima figura da sequência? b) Escreva uma regra para determinar a posição de cada símbolo da sequência. c) Qual é figura que ocupa a posição 263 dessa sequência? Figura 4 - Atividade 7 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 6

11 11 8. Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em 180 regiões e estabeleceu o seguinte calendário de entrega: 2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira Sábado Região 1 Região 2 Região 3 Região 4 Região 5 Região 6 Região 7 Região 8 Região 9 Região 10 Região 11 Região a) Cite cinco regiões da cidade que recebem o gás às sextas-feiras. b) Que regiões da cidade recebem gás aos sábados? c) Em que dia da semana a região 180 recebe a entrega de gás? E a região 129? d) Como podemos descrever, em palavras, as regiões servidas pela entrega de gás às quintas-feiras? 9. Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de repetição do algarismo das unidades e, em seguida, responda às perguntas: a) Quais são os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem? b) Explique por que esse padrão acontece. c) Para quais expoentes da potência de 7 o resultado será um número terminado em 1? d) Para quais expoentes da potência de 7 o resultado será um número terminado em 7? e) Qual é o algarismo da unidade do resultado da potência 7 179? Desafio! 10. Qual é o algarismo da unidade do resultado da expressão numérica ? Resposta: Figura 5 - Atividades 8, 9 e 10 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 6-8 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 7. a) É a figura. (paus) b) A figura ocupa as posições 4, 8, 12, 16,..., ou seja, posições correspondentes a um múltiplo de 4. As posições ocupadas por são as de número 2, 6, 10, 14, 18,..., ou seja, posições em que temos um múltiplo de 4 acrescido de 2 ou, dizendo de outra maneira, são as posições marcadas por números que deixam resto 2 na

12 12 divisão por 4. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura são identificadas por múltiplos de 4 acrescidos de 3 (ou números que deixam resto 3 na divisão por 4 ), e as posições da figura são identificadas por múltiplos de 4 acrescidos de 1 (ou números que deixam resto 1 na divisão por 4 ). c) Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será. 8. a) Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29. b) Todas as regiões que são múltiplas de 6: 6, 12, 18, 24,..., 180. c) Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras. d) Regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6 ou regiões cujo número é um múltiplo de 6 acrescido de a) Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem. b) Porque qualquer número terminado em 1, quando multiplicado por 7, resulta em um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por 7, termina em 9. Um número, terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em 3. E, um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando ao início do ciclo. c) Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12,... d) Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9, 13,... e) Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado da potência terá o algarismo da unidade igual a 3. Desafio! 10. Resposta: 5. Nesse item, teremos que descobrir inicialmente a casa da unidade das potências e 7 150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de 150 por 4. No primeiro caso, o resto é zero, o que implica casa das unidades igual a 1. No segundo caso, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos, portanto, que a soma implica somarmos dois números que têm casas

13 13 das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da soma). Como = 15, a casa da unidade de será 5. Análise Nesta seção Você aprendeu? também temos um modelo de pré-álgebra, em que mais uma vez ocorre o que foi mencionado nas atividades anteriores, isto é, busca explorar a identificação do padrão da sequência e a sua representação é feita por meio de palavras e figuras. Ainda temos o uso de recursos aritméticos para identificar os termos da sequência, nestes também foram empregados os múltiplos, os divisores, o resto da divisão e na atividade 9, temos uma sequência numérica. Ressaltamos que segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009, p.14) Investigações sobre o resto de uma divisão podem ser utilizadas sempre que temos uma sequência em que determinado padrão aritmético se repete. Nestas atividades 7, 8 e 9 ainda não aparecem letras em sua resolução e o foco é regularidades, mas de acordo com o Modelo 3UV temos os aspectos G1, G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário na atividade 7 (a), 8 (a) e (b), 9 (a) o aspecto G1, uma vez que necessitarão reconhecer padrões e perceber regras e métodos em sequências; já na 7 (b) e (c), 8 (a), (b) e (c), 9 (b), (c), (d) e (e) temos o aspecto G3, pois precisarão deduzir regras em sequências; e na 7 (b), 8 (d) e 9 (b) temos o aspecto G5, porque deverão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais, na qual representarão este padrão por meio de palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente. Já segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) como nas atividades das seções antecedentes, não tivemos a presença da variável letra, consequentemente não identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra. De acordo com o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009): Nos problemas anteriores, trabalhamos com sequências figuradas e numéricas e nosso principal objetivo foi identificar regularidades e representá-las com o uso da linguagem escrita ou de recursos aritméticos. Nossa próxima atividade tem o objetivo de estabelecer um ambiente favorável para o uso de letras na representação dos padrões identificados de forma indutiva. (SÃO PAULO, 2009, p.16-17).

14 14 Como podemos notar até o presente momento durante as resoluções das atividades, não foram utilizadas letras. Mas nas atividades seguintes teremos o uso de letras para representar os padrões identificados. Na Figura 6, apresentamos a seção Você aprendeu? com as atividades 11 e Observe as sequências de bolinhas e responda às perguntas: a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar a posição 5 e 6. b) Preencha a tabela associando o número de bolinhas com a posição da figura. Posição Número de bolinhas c) Quantas bolinhas terá a figura que ocupa a 10ª posição? d) E a figura que ocupa a 45ª posição? e) Descreva, em palavras, o padrão de formação dessa sequência. 12. Considere, agora, a mesma sequência da atividade anterior representada por bolinhas coloridas. a) Que lógica foi utilizada para colorir as bolinhas? b) Qual é a única bolinha que não tem forma par e está presente em todas as figuras? c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém a figura 4? E a figura 5? d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém na figura 18? E na figura 31? e) Qual é a figura da sequência que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas bolinhas essa figura possui no total? f) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula que determine o número N de bolinhas de cada figura. Figura 6 - Atividades 11 e 12 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 8-9

15 a) Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação b) 5 6 Posição Número de bolinhas c) 19 bolinhas. d) 89 bolinhas. e) Resposta pessoal. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o padrão da sequência há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral, podemos agrupá-las em duas categorias: as das representações chamadas recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e as das não recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência em palavras é: somar sempre duas bolinhas a mais em cada etapa com relação à etapa anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras, seria: o número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição. 12. a) Nessa figura marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em todas as posições, e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição. b) A vermelha. c) 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5. d) Na figura 18 haverá 17 pares, e na figura 31, 30 pares. e) Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, correspondentes aos 25 pares (25.2) mais a bolinha vermelha. f) N = (P 1) ou N = 2.P 1. Análise Ressaltamos que na atividade 12 (b), devemos observar com atenção quando está escrito: bolinha que não tem forma par, mas a bolinha tem forma par? E nas resoluções apresentadas pelo gabarito para atividade 12, no item (a) precisamos

16 16 também, prestar atenção em em tons de azul, isto poderia ser substituído por de mesma cor, já nos itens (e) e (f), é utilizado o ponto no lugar do sinal de multiplicação, em que (25.2) poderia ser trocado por ( 25 2), N = (P 1) por N = ( P 1) e N = 2.P 1 por N = 2 P 1. Nesta seção Você aprendeu? novamente, temos atividades que procuram explorar a identificação do padrão da sequência; e sua representação é feita por meio de palavras e figuras; já na atividade 12 item (f), pela primeira vez foi solicitado o uso de letras para representar o padrão da sequência. Na atividade 11, em sua resolução ainda não aparecem letras, mas de acordo com o Modelo 3UV temos os aspectos G1, G2 e G3 da variável como número genérico. Sendo indispensável no item (a) e (b) o aspecto G1, pois deverão reconhecer padrões e perceber regras em uma sequência; já nos itens (b), (c) e (d) temos o aspecto G3, porque precisarão deduzir regras e métodos gerais em uma sequência; e no item (e) temos o aspecto G5, visto que necessitarão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais, na qual representarão este padrão por meio de palavras, ou seja, será necessário escrever retoricamente. Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) na atividade 11, também como nas atividades das seções anteriores, não tivemos a presença da variável letra, portanto, não identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra. Na atividade 12 item (f), temos o aparecimento de letras para escrever uma fórmula que determina o número N de bolinhas de cada figura, utilizando a letra P para identificar a posição da figura. Segundo o Modelo 3UV, nesta atividade, temos os aspectos G1, G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário nos itens (a), (b) e (c) o aspecto G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber regras em uma sequência; já nos itens (d) e (e) temos o aspecto G3, porque necessitarão deduzir regras e métodos gerais em uma sequência; e no item (f) temos os aspectos G2 e G5, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2) e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). Como nesta atividade, temos a variável letra, que aparece para generalizar padrões de uma sequência, de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

17 17 dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) identificamos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada. Para finalizar esta Situação de Aprendizagem, na Figura 7 apresentamos a seção Lição de casa com a atividade Em cada uma das sequências a seguir, faça o que se pede. I. Desenhe a próxima figura da sequência. II. Calcule o número de bolinhas das figuras que ocupam a 5ª e a 20ª posição. II. Escreva uma fórmula que relacione o número N de bolinhas com a posição P que ocupa a figura na sequência. Sequência 1 II. 5ª : / 20ª : III. N = Sequência 2 II. 5ª : / 20ª : III. N = Sequência 3 II. 5ª : / 20ª : III. N = Sequência 4 II. 5ª : / 20ª : III. N = Sequência 5 II. 5ª : / 20ª : III. N = Sequência 6 II. 5ª : / 20ª : III. N = Figura 7 - Atividade 13 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p

18 18 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 13. I II. 9 bolinhas e 24 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 1: N = P+4 I II. 17 e 62 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 2: I N = P+2(P+1) II. 17 e 77 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 3: I N = 1+4(P-1) II. 19 e 79 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 3: I N = 4.P-1 II. 23 e 98 bolinhas, respectivamente. III. Sequência 5: I N = 5P 2 II. 20 e 80 bolinhas, respectivamente.

19 19 III. Sequência 6: N = 4P Análise Na seção Lição de casa, temos também atividades que buscam explorar a identificação do padrão da sequência, para isto utilizam recursos aritméticos e letras para representar deste padrão. Nesta atividade, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos G1, G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário o aspecto G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber regras em sequências; o aspecto G2, já que deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; o aspecto G3, uma vez que necessitarão deduzir regras e métodos gerais em sequências; e por fim o aspecto G5, porque precisarão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais. Como na atividade 13, temos a variável letra, que aparece para generalizar padrões de uma sequência. De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção e a dimensão Álgebra como aritmética generalizada. Podemos observar, nesta primeira Situação de Aprendizagem, durante as resoluções das atividades foram necessários quatro aspectos que constituem a variável como número genérico, segundo o Modelo 3UV, faltando apenas o aspecto G4; os aspectos G1, G3 e G5 apareceram com maior frequência, estando presentes em todas as atividades, com exceção da atividade 6 que teve somente o G3; o aspecto G2 ocorreu apenas nas atividades 12 e 13, quando tínhamos a variável letra. Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos nas atividades 12 e 13 a Álgebra como aritmética generalizada, já que foram nestas atividades que tivemos a variável letra, em que a mesma aparece para generalizar padrões de uma sequência.

20 20 Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009): A Situação de Aprendizagem 2, explora a relação entre fórmulas e equações. Entendemos que o trabalho com fórmulas é uma estratégia valiosa para trabalhar com equações sem a preocupação explícita de resolvê-las. A fórmula possui um contexto que lhe é inerente e que favorece a compreensão e a aprendizagem do aluno. Nessa Situação de Aprendizagem, o objetivo principal é fazer com que o aluno realize operações com expressões algébricas sem se preocupar com técnicas e métodos de resolução. (SÃO PAULO, 2009, p. 9). Também, destaca que A ideia central que deve nortear o trabalho com fórmulas é a de que as letras servem para representar um valor numérico qualquer. (SÃO PAULO, 2009, p. 21). Ressaltamos que durante as análises no que se refere às fórmulas segundo Ursini et al (2005, p. 80) [...] fórmulas geométricas, interpretando as letras como número genérico [...]. Nesta Situação de Aprendizagem são apresentados onze problemas, envolvendo fórmulas na geometria, fórmulas de média aritmética, fórmula do imposto de renda, fórmula para o cálculo do Índice de Massa Corpórea (IMC) e fórmulas da Física. Estes problemas estão subdivididos em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com uma Pesquisa individual, na qual dois exemplos de fórmulas são solicitados aos alunos, como mostra a Figura 8. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES E FÓRMULAS 1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no espaço abaixo e escreva um parágrafo sobre o que você sabe sobre elas (para que são usadas, como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm, etc.). Dicas de pesquisa: Você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet. Fórmula 1: Fórmula 2:

21 21 Figura 8 - Problema 1 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de fórmulas em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que os alunos devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma fórmula. Além disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas encontradas. Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a respeito de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os resultados de suas pesquisas. Análise Nesta seção Pesquisa individual, os temas a serem abordados são: letras para representar números ou grandezas. De acordo com o Modelo 3UV, temos o aspecto G2 da variável como número genérico, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de um número genérico, indeterminado, que pode assumir qualquer valor. Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, já que teremos uma relação entre grandezas e serão utilizadas fórmulas. Na Figura 9, apresentamos a seção Você aprendeu? Contendo o problema 2 utilizando Fórmulas na Geometria. Porém, segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009): Podemos iniciar esta atividade solicitando aos alunos que procurem no livro ou no caderno todas as fórmulas relacionadas ao cálculo de áreas e perímetros que eles aprenderam. A partir desta lista, o professor pode desenvolver uma série de atividades exploratórias, envolvendo a interpretação da sentença matemática presente na fórmula, o significado das letras que a compõem, a obtenção de

22 22 resultados a partir de valores numéricos, etc. (SÃO PAULO, 2009, p.22). Fórmulas na Geometria 2. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentença matemática correspondente a essa operação. P = = b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm? P = = c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, representando o comprimento e a largura, respectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse retângulo. P = = d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do retângulo. Usando essa fórmula, calcule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a mede 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm. e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu perímetro vale 22 m, descubra qual é a medida de seu comprimento. f) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retângulo para que seu perímetro seja igual a 36 cm. Figura 9 - Problema 2 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 2. a) P = = 20 b) P = 22,5 + 22, P = P = 129 c) P = a + a + b + b

23 23 Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se escrever P = 2.a + 2.b. d) P = 2.a + 2.b = 2. 8, ,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm. O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm. e) 22 = 2.a a = 6 m f) Solução em aberto. Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro. Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = b, ou 36 = b. Ou seja, o valor de b seria 10. Análise Notamos que nas resoluções apresentadas pelo gabarito, nos itens (a), (b) e (f) não estiveram presentes as unidades de medida na resposta do problema, nos itens (c), (d), (e) e (f), precisamos observar com atenção, pois o ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação. Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 2, cujo objetivo é explorar as letras para representar números e grandezas, e ainda o valor numérico de uma fórmula, neste caso, relacionada à geometria para o cálculo do perímetro de um retângulo. Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3, G4 e G5 da variável como número genérico. Nos itens (a), (b), (d), (e) e (f) é necessário o aspecto I1, pois deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema. Já para os itens (d), (e) e (f) também são indispensáveis os aspectos I2, I4 e I5, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4) e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). No item (c) são necessários os aspectos G2, G3, G4 e G5, já que deverá interpretar a variável

24 24 simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); manipular (simplificar, desenvolver) a variável simbólica (G4) e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). Já em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre grandezas, neste caso, foi utilizada a fórmula do perímetro de um retângulo. Além disso, no item (c) temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão generalizar modelos, e nos itens (a), (b), (d), (e) e (f) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema. Na Figura 10, temos a seção Lição de casa, com o problema 3: 3. A fórmula para o cálculo da área de um l.h triângulo qualquer é A =, onde A 2 representa a medida da área, l a medida de um lado é h, a medida da altura do triângulo em relação a esse lado. Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, representado ao lado. a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área para um retângulo de lados a, b e c? b) Use a fórmula do item anterior para calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm. c) A área de um triângulo é conhecida e igual a 144 cm 2. Use a fórmula l.h A = para 2 descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse triângulo. I. 12 cm e 25 cm. II. 14 cm e 24 cm. III. 16 cm e 18 cm. IV. 17 cm e 17 cm. d) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm 2 e que um dos catetos mede 10 cm, determine a medida do outro cateto. Figura 10 - Problema 3 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação

25 25 3. a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao a.b outro cateto, podemos escrever a fórmula da área como A =. 2 É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e da altura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas letras (l e h) por outras duas letras (a e b) b) A = a b = = 448. Portanto, A = 448 cm². 2 2 c) III. 16 cm e 18 cm. a. b A = = = 144cm d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido, e, por isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e 10. b a por 10, obtemos a seguinte igualdade: 40 =. A equação a seguir corresponde 2 à seguinte pergunta: Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2 resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8. Análise Observamos que no problema 3, onde temos a expressão área de um triângulo, a meu ver, deveria ser substituída por a medida da área de um triângulo e quando é apresentada a fórmula para este cálculo o ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação e o mesmo acontece durante as resoluções apresentadas pelo gabarito. Na seção Lição de casa temos o problema 3, que tem como objetivo explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma fórmula. Neste caso, também é utilizada uma fórmula relacionada à geometria, mas agora para o cálculo da medida da área do triângulo. No terceiro problema, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da variável como número genérico. No item (a) são necessários os aspectos G2, G3 e G5, pois deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados,

26 26 regras ou métodos gerais (G5). Nos itens (b), (c) e (d) são indispensáveis os aspectos I1, I2, I4 e I5, visto que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada, considerando as restrições do problema (I1); interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação como a representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como estudo de relação entre grandezas e dimensão da Álgebra funcional, uma vez que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula para a medida da área de um triângulo. Além disso, no item (a) temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, visto que precisarão generalizar modelos. Já nos itens (b), (c) e (d) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema. Na Figura 11, temos a seção Você aprendeu? com o problema 4, contendo Fórmulas de Média Aritmética. Fórmulas de Média Aritmética 4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática. a) Calcule a média aritmética das notas obtidas. b) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M (a, b) de dois valores quaisquer, representados pelas letras a e b. c) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M (a, b, c) de três valores quaisquer, representados pelas letras a, b e c. d) Use a fórmula encontrada no item anterior e calcule a média aritmética dos números 19, 24 e 35. e) Um aluno obteve 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser realizada, qual nota ele deve obter para que média aritmética das três provas seja igual a 6? Resposta:

27 27 Figura 11 Problema 4 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 16 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 4. a) M = (6 + 7,5) 2 = 13,5 2 = 6,75. b) Generalizando a ideias de que a média aritmética entre dois valores é obtida somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como: M a b = ou M (, ) = ( a + b) 2 2 b + ( a, b ) a. Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos parênteses na sentença matemática. c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por d) Solução: M ( 19,24,35) = = M a + b = 3 + ( a, b, c ) e) Substituindo os valores das provas P1 e P 2, e o valor da média desejada na fórmula, obtemos a seguinte equação: c 5,5 + 7,5 + P = ou P = Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do tipo: qual é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar nenhum procedimento de resolução de equação, um aluno da 6ª série é capaz de responder a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18. Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número procurado é 5. Análise Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 4, cujo o objetivo é explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma fórmula, neste caso é utilizado a fórmula de Média Aritmética. Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Nos itens (a), (d) e (e) é necessário o aspecto I1, uma vez que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; já os itens (d) e (e)

28 28 são indispensáveis também os aspectos I2, I4 e I5, pois terão que interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). Nos itens (b) e (c) são necessários os aspectos G2, G3 e G5, já que deverão reconhecer interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). Já com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula de Média Aritmética. Além disso, nos itens (b) e (c) temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão generalizar modelos. E nos itens (a), (d) e (e) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e apresentar a solução do problema. Na Figura 12, apresentamos a Pesquisa individual, em que é solicitado aos alunos fazerem uma pesquisa a respeito do que são os impostos, quem os arrecada, para onde vai o dinheiro e o que é o Imposto de Renda. Fórmulas na Economia 5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de renda, tendo como base as seguintes perguntas: O que são os impostos? Quem arrecada? Para onde vai o dinheiro? O que é o Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a seguir. Figura 12 - Problema 5 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 17

29 29 Já na Figura 13, temos Leitura e Análise do Texto, em que são apresentados dois textos a respeito do Imposto de Renda: Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? A mordida do leão dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do Adolescente. CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época. Disponível em: < 0,,ERT html>. Acesso em: 21 jul O surgimento do Leão No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como símbolo da ação fiscalizadora da Receita Federal e, em especial, do imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas mesmo assim, a campanha foi lançada. A escolha do leão levou em consideração algumas de suas características: 1) É o rei dos animais mas não ataca sem avisar; 2) É justo; 3) É leal; 4) É manso, mas não é bobo. A campanha resultou numa identificação pela opinião pública do leão com a Receita Federal, e em especial com o imposto de renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não use a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos contribuintes. Disponível em: < fazenda.gov.br/memoria/irpf/curiosidades/ curiosidades.asp#surgimentodoleão>. Acesso em: 23 jul Explique o significado da expressão mordida do leão, que aparece na matéria apresentada na seção Leitura e Análise de Texto. Figura 13 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2

30 30 Fonte: São Paulo, 2009a, p Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros, dicionários, revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos alguns sites que trazem informações a respeito de impostos e do imposto de renda. O papel dos impostos: Imposto de renda: Acessado em 29 set A ideia central que deve ser discutida com os alunos é a de que os impostos são contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das empresas para promover investimentos públicos (construção de ruas, pontes, usinas, etc.), implantar e manter serviços públicos (água, luz, telefone, etc.). Há diversos tipos de impostos, cada qual com uma finalidade. Existem os impostos sobre a venda de produtos, sobre a produção das indústrias, sobre os serviços e operações financeiras, sobre a propriedade, etc. O imposto de renda é um imposto cobrado sobre os rendimentos provenientes do trabalho de uma pessoa (como o salário mensal). Ele é calculado a partir de uma porcentagem (alíquota) cobrada de forma crescente, isto é, um imposto maior para quem ganha mais. 6. A expressão mordida do leão refere-se ao valor que é cobrado por meio do imposto de renda, considerado muito alto pelos contribuintes. Análise Notamos que, embora, durante as resoluções destes problemas envolvendo a Fórmula do Imposto de Renda sejam utilizada calculadora, acho um pouco pré-maturo esta abordagem na 6ª série. Como os problemas 5 e 6 são para apresentar o assunto referente ao Imposto de Renda não notamos nenhum aspecto de acordo com o Modelo 3UV, nenhuma das concepções de álgebra de Usiskin (1995) e nenhuma das dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998). Na Figura 14 é apresentada a seção Você aprendeu? com os problemas 7 e 8 contendo a Fórmula do Imposto de Renda.

31 31 A fórmula do Imposto de Renda 7. A tabela a seguir mostra o cálculo que deve ser feito para a cobrança do Imposto de Renda no Brasil (no ano de 2007). Ela informa a porcentagem que deve ser cobrada de cada faixa de rendimento (salários, aluguéis e outras remunerações). Veja que até determinado valor o contribuinte é isento, isto é, não precisa pagar Imposto de Renda. Além disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do imposto calculado. Tabela progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Física para o exercício de 2008, ano-calendário de 2007 Base de cálculo mensal em R$ Alíquota % Parcela a deduzir do imposto em R$ Até 1313, De 1313,70 até 2625,12 15,0 197,05 Acima de 26 27,5 525,19 Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponível em: < Acesso em: 27 jul Para efetuar os cálculos propostos a seguir, você poderá usar a calculadora. a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 1 500,00 de rendimento mensal. b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 15%. Represente o imposto a ser pago pela letra I a remuneração pela letra R. c) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%. d) Calcule o valor do Imposto de Renda para os seguintes valores: I. R$ 2 500,00 II. R$ 3 000,00 III. R$ 6 000,00 8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior. a) Calcule a porcentagem efetiva de imposto cobrado em cada caso: Remuneração = R$ 2500,00 Imposto = R$ Imposto = %. Remuneração Remuneração = R$ 3000,00 Imposto = R$ Imposto = %. Remuneração Remuneração = R$ 6000,00 Imposto = R$ Imposto = %. Remuneração b) O que você pode concluir com base nesses resultados? c) As remunerações de R$ 3 000,00 e R$ 6 000,00 estão sujeitas à mesma alíquota de imposto (27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada não é a mesma. Qual

32 32 Figura 14 - Problemas 7 e 8 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 7. a) 1ª etapa: calcular 15% de R$ 1500, = = 225. São R$ 225, ª etapa: parcela a deduzir ,05 = 27,95 O imposto a ser retido é de R$ 27,95. b) I = 15%. R 197, 05 ou I = 0,15. R 197, 05 c) I = 27,5%. R 525, 19 ou I = 0,275. R 525, 19 d) Para R$ 2 500,00 usamos a fórmula com alíquota de 15%. O imposto a ser cobrado é de R$ 177,95. Para os outros dois valores, usamos a fórmula com alíquota de 27,5%. O imposto sobre R$ 3000,00 é de R$ 299,81, e sobre R$ 6000,00 é de R$ 1124, a) Remuneração = R$ 2500,00 Imposto = R$ 177,95. Imposto 7,1 %. Remuneração Remuneração = R$ 3000,00 Imposto = R$ 299,81 Imposto 9,9 %. Remuneração Remuneração = R$ 6000,00 Imposto = R$ 1124,81 Imposto 18,7 %. Remuneração b) Sobre a maior remuneração (R$ 6000,00) incide imposto proporcionalmente maior (18,7%).

33 33 c) A razão é que o valor a ser deduzido do imposto (R$ 525,19) é fixo. Dessa forma, para um salário menor, a parcela a deduzir é proporcionalmente maior que para um salário maior. Por essa razão, o imposto efetivo sobre o valor de R$ 6000,00 é maior do que o cobrado sobre o valor de R$ 3000,00. Análise Ressaltamos que no problema 8 devemos observar com atenção o registro, visto que quando aparece Remuneração = R$ 2500,00 Imposto = R$ Imposto = %, Remuneração notamos que ocorreu uma mistura entre a língua portuguesa e a linguagem matemática. Embora, isto também apareça em alguns livros didáticos como podemos dividir palavras?, além disso, neste mesmo registro, o sinal de igual que antecede o símbolo de porcentagem (%), a meu ver, deveria ser substituído pelo símbolo de aproximadamente ( ), porém no enunciado do problema temos o sinal de igual e no gabarito do mesmo, o símbolo de aproximadamente. Ainda no gabarito, onde aparece I = 15%. R 197, 05 em matemática não é possível operar com 15 estes símbolos, pois 15% no registro matemático é ou 0, 15 e mais uma vez o 100 ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação. Nesta seção Você aprendeu? temos os problemas 7 e 8, cujo objetivo é explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma fórmula, que neste caso é utilizada a Fórmula para o Imposto de Renda. Nestes problemas, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Nos itens (a) e (d) do problema 7 e (a) do 8 é necessário o aspecto I1, já que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; já no item (d) do 7, são indispensáveis também os aspectos I2 e I5, uma vez que terão que interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos (I2); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). Nos itens (d) do 7 e (a) do 8, além do I1 é necessário o aspecto I4, pois precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações

34 34 ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos. Nos itens (b) e (c) do problema 7 são indispensáveis os aspectos G2, G3 e G5, visto que deverão reconhecer e interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a Fórmula para o Imposto de Renda. Além disso, nos itens (b) e (c) do problema 7 temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão generalizar modelos; já no item (d) do 7 e no problema 8 temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e apresentar a solução do problema. Na Figura 15 é apresentada a Leitura e Análise de Texto relacionado ao Índice de Massa Corpórea (IMC). Fórmula relacionada à saúde O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilograma de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido pela Organização Mundial de Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a proporção saudável entre a massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso (subnutrição ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindo-se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como mostra a fórmula a seguir: P I =, onde P é o peso, em quilograma, e a é a altura, em metro. 2 a Observação! Usamos comumente a palavra peso para nos referir à massa de uma pessoa, embora, na Física, tais termos possuam significados distintos. A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o valor do IMC. Classificação IMC (kg/m 2 ) Magreza severa Menor que 16 Abaixo do peso Menor que 18,5 Peso normal Entre 18,5 e 24,99 Sobrepeso/pré-obesidade Entre 25,0 e 29,99 Obesidade Entre 30,0 e 39,99 Obesidade de alto grau Maior que 40 Fonte: adaptado da OMS. Disponível em: < Acesso em: 16 jul

35 35 Figura 15 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 21 Na Figura 16, temos e a Lição de casa com o problema 9. Figura 16 - Problema 9 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 22 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 9. a) I = 65 25, 4 2 1,6 sobrepeso. 9. Com base nos dados fornecidos, resolva as questões a seguir. Para efetuar os cálculos, você poderá usar a calculadora. a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg está em que categoria da tabela? Resposta: b) Os resultados a seguir referem-se às medidas de peso e altura de um grupo de adultos. Calcule o IMC para cada par de medidas e classifique-os conforme a tabela fornecida. Pessoa A: 72 kg e 1,72 m - Pessoa B: 84 kg e 1,77 m - Pessoa C: 54 kg e 1,60 m - Pessoa D: 60 kg e 1,82 m - c) Qual é o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar dentro da categoria de peso normal segundo a tabela? Resposta: Esse valor encontra-se no intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de b) Pessoa A: IMC 24,34, peso normal. Pessoa B: IMC 26,81, sobrepeso. Pessoa C: IMC 21,1, peso normal. Pessoa D: IMC 18,11, abaixo do peso.

36 36 c) Para ser classificada como Normal, o IMC deve ser menor que 25. Substituindose os valores fornecidos na fórmula, temos: 25 = ou 25 =. P P 2 1,73 2,99 Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se reduz a saber qual é o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é aproximadamente 75. Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg para que seu IMC se situe na categoria de peso normal. Análise Observamos na Leitura e Análise de Texto onde aparece a expressão a é a altura, a meu ver, deveria ser substituída por a é a medida da altura. Além disso, acho um pouco delicado o professor abordar este tipo de assunto na 6ª série, será que ele está preparado para falar a respeito disso? Nesta seção Lição de casa, temos o problema 9, na qual a intenção é explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma fórmula, neste caso é utilizado a Fórmula do Índice de Massa Corpórea (IMC). Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos em todos os itens os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica, sendo necessário o aspecto I1, já que precisarão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra), que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I4, uma vez que necessitarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e o aspecto I5, pois terão que simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações. Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e apresentar a solução do problema. Ainda temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre

37 37 grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula do IMC. Nas Figuras 17 e 18, apresentamos a Leitura e Análise de Texto, agora com Fórmulas da Física, e o Você aprendeu? com os problemas 10 e 11. Fórmulas da Física Uma das fórmulas mais conhecidas na Física é a que relaciona a distância aproximada (d), em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em segundos, de queda: D = 5. t 2 Os resultados obtidos por meio dessa fórmula são válidos para objetos em queda livre que estejam próximos à superfície da Terra, desprezando os efeitos de resistência do ar. A partir dessa fórmula, podemos determinar, com relativa precisão, a distância em metros que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, a partir de repouso, em função da aceleração provocada pela gravidade terrestre. 10. Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demorou 7 segundos para atingir a água. Use a fórmula citada da seção Leitura e Análise de Texto e calcule a altura aproximada dessa ponte. Resposta: 11. Um paraquedista saltou de um avião a 3500 metros de altura. Considerando desprezível a resistência do ar, calcule a distância percorrida em queda livre pelo esportista a cada segundo, nos primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com os valores da distância percorrida (d) e do tempo (t) em segundos encontrados. Tempo t (segundos) Distância d (metros) a) Assinale, no desenho, as distâncias percorridas pelo paraquedista a cada segundo de queda.

38 38 Figura 17 - Leitura e Análise de Texto e os problemas 10 e 11 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p b) Há proporcionalidade direta entre a distância percorrida e o tempo de queda livre? Justifique. Figura 18 - Continuação do problema 11 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 24 Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos d = 5.7, ou seja, d = 245. Ou seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos. Portanto, a altura aproximada da ponte é de 245 metros. 11. Tempo t (segundos) Distância d (metros) a) Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 metros; entre 2 e 3 segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos, 45 metros. c) O paraquedista deve abrir seu paraquedas quando estiver a uma altura de metros do solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3500 metros de altura, determine o tempo de queda livre antes que ele acione o paraquedas. Resposta: b) Não, pois a razão entre a distância percorrida e o tempo não é constante. Se dobrarmos o tempo (de 1 para 2), a distância aumenta em 4 vezes. c) Ele vai percorrer 2000 metros ( ) em queda livre. Substituindo esse 2 valor na fórmula, obtemos: 2000 = 5. d. O valor de t que satisfaz a igualdade acima é 20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedista será de 20 segundos.

39 39 Análise Nesta seção Você aprendeu? temos os problemas 10 e 11, cujo intuito é explorar as letras para representar números e grandezas e o valor numérico de uma fórmula, nesta atividade é utilizada uma Fórmula da Física. Nestes problemas, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I3, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos F1, F2, F3 e F4 da variável como uma relação funcional. Nos problemas 10, e 11 (a) e (c), é necessário o aspecto I1, já que precisarão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I4, pois terão que determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e o aspecto I5, uma vez que necessitarão simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para construir equações. No item (c) do problema 11, temos também o aspecto I3, pois deverão substituir a variável pelo valor que faz com que a equação seja um enunciado verdadeiro, além disso, é indispensável o aspecto F1, visto que deverão reconhecer a partir do problema verbal, a existência de uma correspondência entre os valores das duas variáveis envolvidas; os aspectos F2 e F3, já que precisarão determinar o valor de uma das variáveis quando se conhece o valor da outra; e o aspecto F4, uma vez que deverão reconhecer a variação conjunta das duas variáveis envolvidas na expressão analítica.

40 40 Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL,1998) em ambos os problemas temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão Álgebra das equações, visto que necessitarão resolver e apresentar a solução do problema. Ainda temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, uma vez que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada uma da Fórmula da Física. Nesta Situação de Aprendizagem 2, observamos que no decorrer das resoluções dos problemas foram necessários os aspectos que constituem a variável como incógnita específica, número genérico e uma relação funcional, segundo o Modelo 3UV. Porém os aspectos I1, I2, I4, I5 e G2, G3, G4, G5 apareceram em quase todos os problemas e sentimos falta do aspecto G1. Já os aspectos F1, F2, F3 e F4 só apareceram no último problema. Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção de Álgebra como aritmética generalizada, uma vez que precisaram generalizar modelos; a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, visto que necessitaram resolver os problemas; a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, uma vez que tivemos relações entre grandezas, em que precisaram utilizar fórmulas. Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009): Na Situação de Aprendizagem 3, o foco do trabalho é a resolução de equações. Exploramos duas linhas principais. A primeira envolve um tipo de resolução mais imediato, ao enxergar uma equação como uma pergunta do tipo: Qual é o número que satisfaz determinadas operações aritméticas? Por meio de um raciocínio aritmético, o aluno é capaz de resolver determinado tipo de equação usando apenas operações inversas. A segunda linha de resolução está relacionada à ideia de equivalência. Faremos uso da analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança, a fim de facilitar a compreensão dos alunos com relação a certos procedimentos, como somar ou subtrair um mesmo termo em ambos os lados de uma equação. Nesse caso, discutiremos as vantagens e os limites do uso dessa imagem para

41 41 ajudar na compreensão dos processos de resolução de equações. (SÃO PAULO, 2009, p. 9). Nesta Situação de Aprendizagem são apresentadas dez atividades, subdividas em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com a seção Você Aprendeu? com cinco atividades (1 ao 5), apresentadas na Figura 19. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 EQUAÇÕES E FÓRMULAS 1. Escreva a equação que representa o problema e descubra a resposta, se houver. a) Qual é o número cujo dobro somado a 5 resulta em 19? Equação: Solução: b) O triplo de um número menos 12 é igual a -3. Qual é esse número? Equação: Solução: c) Qual é o número cuja quarta parte menos 5 é igual a zero? Equação: Solução: d) O quadrado de um número natural acrescido de 19 é igual a 100. Qual é esse número? Equação: Solução: 2. Escreva uma pergunta que represente na equação dada. Em seguida, determine o valor de x. a) 3 x + 12 = 21 x b) + 4 = 6 3 c) 2.( x + 1) = 12 d) 2 x + 1 = 12 x 1 e) 3 = 0 4 Figura 19 - Atividades 1 e 2 da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação 1. a) Equação: 2. x + 5 = 19. Solução: 7.

42 42 b) Equação: 3. x 12 = 3. Solução: 3. x c) Equação: 5 = 0. Solução: d) Equação: x + 19 = 100. Solução: a) Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? x = 3 b) Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? x = 30 c) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5 d) O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5, 5 e) A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse número? x = 13 Observação: Oriente os alunos a olharem para as equações como uma pergunta, cuja resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmético. Não é necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos registrem as contas, outros façam de cabeça e outros tenham um tipo de notação própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma técnica específica. Por exemplo, no item e, como a diferença entre então x 1 4 é igual a 3, x 1 vale 12 e, portanto, x é igual a 13. x 1 4 e 3 é zero, Análise Na seção Você aprendeu? temos as atividades 1 e 2, sendo a que a primeira atividade utiliza a linguagem materna e espera-se que traduzam para a linguagem algébrica, encontrando uma equação e posteriormente descubram o valor que satisfaça esta equação, ou seja, a solução. Porém, eles podem resolver a atividade 1 por meio de um raciocínio aritmético. A atividade 2 utiliza a linguagem algébrica (equação) e é solicitado que escrevam uma pergunta (linguagem materna) que represente a equação dada e em seguida determinem o valor de x, ou seja, encontrem a solução. Observamos que tanto em livros didáticos como neste material o valor a ser descoberto (incógnita), na maioria das vezes, é representado apenas pela letra x. Achamos importante salientar que atividades do tipo 2 não são habitualmente pedidas nos livros didáticos. Segundo o Modelo 3UV, nestas atividades, temos os aspectos I1, I2, I3, I4 e I5 da variável como incógnita específica. Na primeira atividade é necessário o

43 43 aspecto I1, pois necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I3, visto que terão que substituir a variável que faz com que a equação seja um enunciado verdadeiro; o aspecto I4, já que precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e o aspecto I5, visto que necessitarão simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para construir equações. Entretanto, se resolverem pelo raciocínio aritmético, temos apenas os aspectos I1 e I4. Já na atividade 2 temos todos estes aspectos com exceção do I5. De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) na atividade 1 temos a concepção e a dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão traduzir o problema para a linguagem algébrica. Em ambas as atividades 1 e 2 temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, visto que terão que resolver o problema e apresentar sua respectiva solução. Na sequência temos as Figuras 20 e 21, na qual é apresentada uma analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança de dois pratos e a igualdade da equação. O equilíbrio na balança e a igualdade na equação 3. Antigamente, para determinar a massa de um produto qualquer, utilizava-se uma balança de pratos. Seu funcionamento é bem simples. Em um prato, coloca-se o objeto cuja massa deseja-se saber. No outro prato, colocam-se peças de diferentes tamanhos, com massas padronizadas (500 gramas, 300 gramas, etc.). Quando os pratos estiverem no mesmo nível, em equilíbrio, a massa do abacaxi equivalerá à soma das massas das peças colocadas no outro prato. Sabendo que o abacaxi da figura tem massa igual a 1,95 kg, quais peças devem ser colocadas no outro prato para que a balança fique equilibrada? 4. Sabendo que a balança de pratos está em equilíbrio e a massa do melão vale 1,15 kg, descubra a massa da peça desconhecida.