O único ponto singular de γ é o ponto (0,0). Assim o ponto umbílico é o único ponto singular de α 1

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1 2.5 Linhas de curvatura das frentes de ondas na vizinhança dos umbílicos Darbouxianos 95 O único ponto singular de γ é o ponto (0,0). Assim o ponto umbílico é o único ponto singular de α 1 k. Portanto não ocorre a mudança de cores e o comportamento das linhas de curvatura da frente de onda α 1 k na vizinhança de (0,0) é dado pela figura 2.23.

2 CAPÍTULO 3 Linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 3.1 Introdução A geometria extrínseca e intrínseca de uma superfície singular é tema de vários livros e artigos, por exemplo, [2], [9], [11], [13], [16], [17], [21] e [22]. Neste capítulo, vamos estudar o comportamento das linhas assintóticas numa vizinhança de um ponto singular. Vamos começar considerando uma superfície regular α e a partir desta vamos construir uma superfície β que poderá possuir singularidades. Isto será feito na seção 3.2. Na seção 3.3 vamos mostrar que o comportamento das linhas assintóticas de α é semelhante ao comportamento das linhas assintóticas de β. Assim, vamos estudar as linhas assintóticas de α usando os resultados do capítulo 1, o que será feito na seção 3.4. b a Figura 3.1: Andorinha.

3 3.2 Aplicação tangencial Aplicação tangencial Em "A projective invariant for swallowtails and godrons, and global theorems on the flecnodal curve"de Ricardo Uribe-Vargas [22], temos várias relações entre uma superfície regular e uma superfície singular com uma singularidade tipo swallowtail (andorinha). Alguns destes resultados são obtidos com uma parametrização para a superfície regular chamada de parametrização de Platonova e dada por onde λ 0 e λ 1/2. ρ(u,v) = (u,v, v2 2 u2 v + r 2 u4 ), Como nosso estudo será local, nossa superfície regular será um gráfico cuja parametrização será denotada por α. A superfície singular é obtida olhando em R 3 a imagem da aplicação, que associa cada ponto do gráfico de α o plano tangente de α naquele ponto. Esta superfície singular é parametrizada usando a transformação de Legendre (veja [1]) com relação a α. O que queremos fazer nesta seção é introduzir esta parametrização da superfície singular, que vamos chamar de aplicação tangencial e denotar por β. A parametrização α é dada por α(u,v) = (u,v,w(u,v)), onde w é uma função diferenciável. Na próxima seção, vamos estudar algumas relações de α com β envolvendo a equação diferencial das linhas assintóticas de ambas. A transformação de Legendre τ de w(u,v) é dada por τ(u,v) = (u,v), w(u,v) w(u,v) = uw u (u,v) + vw v (u,v) w(u,v). Assim, a transformação de Legendre de α será dada por β(u,v) = ( w(u,v),τ(u,v)) = (w u (u,v),w v (u,v),uw u (u,v) + vw v (u,v) w(u,v)). 3.3 Equação diferencial das linhas assintóticas da aplicação tangencial O que vamos fazer nesta seção é mostrar que a equação das linhas assintóticas de β é igual a equação das linhas assintóticas de α multiplicada pelo numerador da curvatura

4 3.3 Equação diferencial das linhas assintóticas da aplicação tangencial 98 gaussiana de α. Com isso, na próxima seção vamos estudar o comportamento das linhas assintóticas de β analisando as linhas assintóticas de α. Como definimos na seção anterior, seja α tal que α(u,v) = (u,v,w(u,v)). (3-1) Com isso, temos que α u = (1,0,w u ), α v = (0,1,w v ), α u α v = ( w u, w v,1), α uu = (0,0,w uu ), α uv = (0,0,w uv ), α vv = (0,0,w vv ). E assim vamos calcular os seguintes coeficientes e, f, g: e = α uu,α u α v = w uu, f = α uv,α u α v = w uv, g = α vv,α u α v = w vv, onde e α u α v, f α u α v, g α u α v são os coeficientes da segunda forma fundamental de α. Vamos definir K α = eg f 2 e assim K α é a curvatura gaussiana de α. α u α v 4 A equação diferencial das linhas assintóticas de α é dada por edu f dudv + gdv 2 = 0. Agora vamos fazer o mesmo para a aplicação tangencial β definida na seção anterior e dada por β(u,v) = (w u (u,v),w v (u,v),uw u (u,v) + vw v (u,v) w(u,v)). (3-2) Derivando β temos que β u = (w uu,w uv,uw uu + vw uv ) = (e, f,ue + v f ), β v = (w uv,w vv,uw uv + vw vv ) = ( f,g,u f + vg), β uu = (e u, f u,e + ue u + v f u ), β uv = ( f u,g u, f + u f u + vg u ), β vv = ( f v,g v,g + u f v + vg v ). E com isso,

5 3.3 Equação diferencial das linhas assintóticas da aplicação tangencial 99 β u β v = ([ f 2 eg]u,[ f 2 eg]v,eg f 2 ) = ( u, v,1)k α, β u β v 2 = (1 + u 2 + v 2 )K α. (3-3) Seja P α o conjunto dos pontos parabólicos de α (veja a seção 1.1). Seja S β o conjunto dos pontos singulares de β (veja a seção 1.2). Temos o seguinte resultado: Proposição 3.1 β(p α ) = S β. Demonstração. O conjunto dos pontos singulares de β é dado pelos pontos (u,v) tais que β u β v (u,v) = 0. Da igualdade acima (3-3) temos que (u,v) é ponto singular de β se e somente se K α (u,v) = 0, ou seja, se e somente se (u,v) é um ponto parabólico de α. Agora, sejam l, m e n tais que onde l = β uu,β u β v = K α e, m = β uv,β u β v = K α f, n = β vv,β u β v = K α g, l β u β v, m β u β v, n β u β v são os coeficientes da segunda forma fundamental de β. A equação diferencial das linhas assintóticas de β é dada por ldu 2 + 2mdudv + ndv 2 = 0. (3-4) Seja A α = {A α,1,a α,2,p α } a configuração assintótica de α e seja A β = {A β,1,a β,2,p β } a configuração assintótica de β (veja a seção 1.1). Então temos o seguinte resultado: Proposição 3.2 A α,1 A α,2 = A β,1 A β,2. Demonstração. Temos que ldu 2 + 2mdudv + ndv 2 = K α (edu f dudv + gdv 2 ) = 0.

6 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 100 Com isso na região onde K α 0, temos que ldu 2 + 2mdudv + ndv 2 = 0 se e somente se edu f dudv + gdv 2 = 0. Assim, o que faremos na próxima seção é fazer com que a origem seja um ponto singular de β e portanto um ponto parabólico de α. E então vamos estudar o comportamento das linhas assintóticas na vizinhança deste ponto singular analisando a equação diferencial das linhas assintóticas de α. 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular Como vimos nas seções anteriores, a aplicação tangencial β parametriza uma superfície que pode conter singularidades e suas linhas assintóticas se comportam como as linhas assintóticas da superfície regular α. Assim, o que vamos fazer nesta seção é impor condições para que (0,0) seja um ponto parabólico de α e, portanto, um ponto singular de β, e analisar o comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de (0, 0) usando a superfície regular α e os resultados da seção "Equações diferenciais implícitas onde o discriminante é um ponto isolado ou uma cruz"(1.4), já que o comportamento das linhas assintóticas na vizinhança do ponto singular (0,0) de β será o mesmo que o comportamento das linhas assintóticas na vizinhança do ponto parabólico (0,0) de α. Seja α(u,v) = (u,v,w(u,v)). Como vamos estudar uma vizinhança de (0,0) então vamos fazer uma expansão de Taylor em w(u, v). Para o estudo do comportamento das linhas assintóticas vamos precisar que esta expansão envolva os termos até ordem 5. Assim w(u,v) = a 00 + a 10 u + a 01 v + a 20 2 u2 + a 11 uv + a 02 2 v2 + a 30 6 u3 + a 21 2 u2 v + a 12 2 uv2 + a 03 6 v3 + a u4 + a 31 6 u3 v + a 22 4 u2 v 2 + a 13 6 uv3 + a v4 + a u5 + a u4 v + a u3 v 2 + a u2 v 3 + a uv4 + a v5 + O(6). O termo O(6) representa os termos de ordem superior a 5. Vamos fazer a 00 = 0 para que α(0,0) = (0,0,0). Calculando as derivadas parciais de w em (0,0) teremos que w u (0,0) = a 10 e w v (0,0) = a 01.

7 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 101 Assim vamos fazer a 10 = a 01 = 0 para que β(0,0) = (0,0,0), lembrando que β = (w u,w v,uw u + vw v w). O discriminante da equação diferencial das linhas assintóticas de α é dado por 1 (0) onde = K α = f 2 eg. Fazendo os cálculos, teremos que (0,0) = a 20 a 02 a 2 11, u (0,0) = a 02 a 30 + a 20 a 12 2a 11 a 21, v (0,0) = a 02 a a 20 a 03 2a 11 a 12. Mas, agora, olhando para β temos que a curva de pontos parabólicos de α, cuja imagem é o discriminante 1 (0), coincide com a curva de pontos singulares de β. Como β é contínua então os pontos β(u,v) onde (u,v) 1 (0) irão formar uma curva espacial contínua. Uma observação é que os pontos (u,v) 1 (0), mencionados acima, também estão em uma vizinhança de (0,0), já que estamos estudando somente esta vizinhança. Como queremos que (0, 0) seja ponto parabólico de α e, portanto, ponto singular de β então vamos fazer a 11 = a 20 = 0. Assim α será dada por α(u,v) = (u,v,w(u,v)) onde e teremos que w(u,v) = a 02 2 v2 + a 30 6 u3 + a 21 2 u2 v + a 12 2 uv2 + a 03 6 v3 + a u4 + a 31 6 u3 v + a 22 4 u2 v 2 + a 13 6 uv3 + a v4 + a u5 + a u4 v + a u3 v 2 + a u2 v 3 + a uv4 + a v5 + O(6), (0,0) = 0, u (0,0) = a 02 a 30, v (0,0) = a 02 a 21. (3-5) Agora vamos dividir em dois casos. No primeiro caso vamos colocar a condição de o discriminante ser uma curva regular. No segundo caso vamos colocar a condição de o discriminante ser um ponto isolado ou uma cruz Linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular onde o discriminante é uma curva regular Seja α(u, v) = (u, v, w(u, v)), onde w(u, v) é dada por w(u,v) = a 02 2 v2 + a 30 6 u3 + a 21 2 u2 v + a 12 2 uv2 + a 03 6 v3 + a u4 + a 31 6 u3 v + a 22 4 u2 v 2 + a 13 6 uv3 + a v4 + a u5 + a u4 v + a u3 v 2 + a u2 v 3 + a uv4 + a v5 + O(6).

8 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 102 de α é dada por Sejam e = w uu, f = w uv e g = w vv. A equação diferencial das linhas assintóticas e(u,v)du f (u,v)dudv + g(u,v)dv 2 = 0. O discriminante da equação diferencial das linhas assintóticas de α é dado por 1 (0) onde = eg f 2. Temos que (0,0) = 0. Vamos demonstrar o seguinte resultado: Proposição 3.3 Suponha que o discriminante 1 (0) seja uma curva regular na vizinhança de (0,0). Se a 30 0 então o comportamento das linhas assintóticas de β na vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.2, e o ponto (0,0) é um ponto singular tipo cúspide de β. Se a 30 = 0 e a 02a 40 < 3 então o comportamento das linhas assintóticas de β na a 2 21 vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.3(a), e o ponto (0,0) é um ponto singular tipo andorinha de β. Se a 30 = 0 e 3 < a 02a 40 < 25 a 2 8 então o comportamento das linhas assintóticas de 21 β na vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.3(b), e o ponto (0,0) é um ponto singular tipo andorinha de β. Se a 30 = 0 e a 02a 40 então o comportamento das linhas assintóticas de β na a 2 21 vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.3(c), e o ponto (0,0) é um ponto singular tipo andorinha de β. > 25 8 Figura 3.2 Para que 1 (0) seja uma curva regular devemos garantir que u (0,0) 0 ou v (0,0) 0 para obter o que queremos pelo Teorema da Função Implícita. Assim a 02 deve ser diferente de zero e pelo menos um dos dois coeficientes, a 30 ou a 21, deve ser diferente de zero. Temos que

9 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 103 (a) Sela (b) Nó Figura 3.3 (c) Foco e(0,0) = 0, f (0,0) = 0 e g(0,0) = a 02. Seja H tal que H(u,v, p) = e(u,v) + 2 f (u,v)p + g(u,v)p 2, onde p = dv du. O campo de Lie-Cartan sobre M = H 1 (0) é dado por X H = H p u + ph p v (H u + ph v ) p. Temos que H(0,0, p) = a 02 p 2. Assim o único ponto da forma (0,0, p) que pertence a M é o ponto (0,0,0). Agora, H p (0,0,0) = 0 e H u (0,0,0) + ph v (0,0,0) = a 30 Assim, se a 30 0 então o campo de Lie-Cartan é regular em (0,0,0) e o comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de (0,0) terá a forma da figura 3.2. A curva dos pontos parabólicos de α será dada por: v = a 30 a 21 u + O(2). Como vimos na seção 3.3, a curva dos pontos parabólicos de α corresponde à curva dos pontos singulares de β. Seja ω(u) = (ω 1 (u),ω 2 (u)) tal que ω 1 (u) = u e Então ω 2 (u) = a 30 a 21 u + O(2). (3-6)

10 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 104 β(ω(0)) = β(0,0) = (0, a 30 a 21,0). Assim, se a 30 0 então (0,0) não é um ponto singular da curva das singularidades de β na vizinhança de (0,0) dada por β(ω(u)). por Um campo diferenciável regular ϑ ao longo de ω tal que dβ(ϑ(u)) = 0 é dado ϑ(u) = (ϑ 1 (u),ϑ 2 (u)) = (1, a2 21 a 30a 12 a 02 a 21 u + O(2)). (3-7) Assim, temos que det ( ω 1 (0) ω 2 (0) ϑ 1 (0) ϑ 2 (0) ) = det ( 1 a 30 a ) = a 30 a Assim, de 1-31, temos que (0,0) é um ponto singular do tipo cúspide de β. Se a 30 = 0 então (0,0,0) é uma singularidade do campo de Lie-Cartan. A matriz jacobiana DX H (0,0,0) de X H em (0,0,0) é dada por DX H (0,0,0) = 2a 21 2a 12 2a a 40 a 31 3a 21. Os autovalores não nulos λ 1 e λ 2 de DX H (0,0,0) são dados por λ 1 = a a a 02a 40 e λ 2 = a a a 02a 40. Assim λ 1 λ 2 = 2(3a 2 21 a 02a 40 ). Portanto temos que (0,0,0) é uma singularidade tipo sela hiperbólica se a 02 a 40 a 2 21 < 3. figura 3.3(a). Se O comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de (0, 0) é dado pela 3 < a 02a 40 a 2 21 < 25 8, então (0, 0, 0) é uma singularidade tipo nó hiperbólico. O comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de (0,0) é dado pela figura 3.3(b). Se a 02 a 40 a 2 21 > 25 8,

11 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 105 então (0, 0, 0) é uma singularidade tipo foco hiperbólico. O comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de (0,0) é dado pela figura 3.3(c). A curva de pontos parabólicos será dada por: v = [ 2a2 21 a 02a 40 ]u 2 + [ 6a3 21 a a 2 02 a 40a 31 a 2 02 a 21a 50 6a 02 a 21 a 12 a 40 ]u 3 + O(4). 2a 02 a 21 6a 2 02 a2 21 Seja γ(u) = (γ 1 (u),γ 2 (u)) tal que γ 1 (u) = u e γ 2 (u) =[ 2a2 21 a 02a 40 2a 02 a 21 ]u 2 + [ 6a3 21 a a 2 02 a 40a 31 a 2 02 a 21a 50 6a 02 a 21 a 12 a 40 6a 2 ]u 3 + O(4). 02 a2 21 Então β(γ(0)) = β(0,0) = (0,0,0). Assim (0,0) é um ponto singular da curva das singularidades de β dada por β(γ(u)). Seja λ tal que λ = β u β v. (3-8) de β. Então λ v (0,0) = a 02 a Assim (0,0) é um ponto singular não degenerado Um campo diferenciável regular η ao longo de γ tal que dβ(η(u)) = 0 é dado por η(u) = (η 1 (u),η 2 (u)) = (1, a 21 u + a 12a 40 a 21 a 31 u 2 + Au 3 + O(4)), a 02 2a 02 a 21 onde A = 3a 21 a 2 12(2a 2 21 a 02 a 40 ) + a 21 [3a 21 a 03 (2a 2 21 a 02 a 40 ) a 02 (3a 2 21a 22 3a 02 a 22 a 40 + a 02 a 21 a 41 )] + a 02 a 12 (3a 2 21a 31 3a 02 a 31 a 40 + a 02 a 21 a 50 ). e Com isso temos que det ( ( d γ 1 du det (u) u=0 η 1 (u) γ 1 (0) γ 2 (0) η 1 (0) η 2 (0) γ 2 (u) η 2 (u) ) ) = det ( ) = 0 = 3a2 21 a 02a 40 a 02 a 21 = λ 1λ 2 2a 02 a 21.

12 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 106 λ 1 λ 2 0. Assim de 1-31 temos que (0,0) é um ponto singular tipo andorinha de β se Um exemplo é dado fazendo a 21 = 2, a 02 = 1 e a 40 = 12r. Com isso obtemos a parametrização de Platonova mencionada no início: α(u,v) = (u,v, v2 2 u2 v + r 2 u4 ). Se r < 1 então temos sela hiperbólica. Se 1 < r < então temos nó hiperbólico. Se r > então temos foco hiperbólico Linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular onde o discriminante é uma cruz ou um ponto isolado Na seção anterior estudamos o primeiro caso onde colocamos condições para o discriminante ser uma curva regular. Agora vamos estudar o segundo caso, onde vamos supor que o discriminante é uma cruz ou um ponto isolado. Seja α(u, v) = (u, v, w(u, v)), onde w(u, v) é dada por w(u,v) = a 02 2 v2 + a 30 6 u3 + a 21 2 u2 v + a 12 2 uv2 + a 03 6 v3 de α é dada por + a u4 + a 31 6 u3 v + a 22 4 u2 v 2 + a 13 6 uv3 + a v4 + a u5 + a u4 v + a u3 v 2 + a u2 v 3 + a uv4 + a v5 + O(6). Sejam e = w uu, f = w uv e g = w vv. A equação diferencial das linhas assintóticas e(u,v)du f (u,v)dudv + g(u,v)dv 2 = 0. O discriminante da equação diferencial das linhas assintóticas de α é dado por 1 (0) onde = eg f 2. Temos que (0,0) = 0. Se (0,0) é um ponto crítico de do tipo sela então o discriminante 1 (0) é uma cruz na vizinhança de (0,0). Se (0,0) é um ponto crítico de do tipo isolado então o discriminante 1 (0) um ponto isolado. Vamos demonstrar o seguinte resultado: Proposição 3.4 Se (0,0) é um ponto crítico de do tipo sela então o comportamento das linhas assintóticas de β na vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.4(a) e o ponto (0,0) é um ponto singular D + 4 de β.

13 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 107 Se (0,0) é um ponto crítico de do tipo isolado então o comportamento das linhas assintóticas de β na vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.4(b) e o ponto (0,0) é um ponto singular D 4 de β. O que queremos agora é que o discriminante 1 (0) seja uma cruz ou um ponto isolado. Para que isto ocorra, a origem (0,0) deve ser um ponto crítico não degenerado de = w 2 uv w uu w vv, ou seja, devemos garantir que (0,0) = u (0,0) = v (0,0) = 0 para que (0,0) seja ponto crítico e devemos garantir que deth (0,0) 0 para que (0,0) seja não degenerado. Lembrando que H é a matriz hessiana de. Uma observação é que a parametrização de Platonova não entra neste caso, pois seu discriminante é uma curva regular. Derivando w obtemos os coeficientes e, f e g de α: e = w uu = a 30 u + a 21 v + O(2), f = w uv = a 21 u + a 12 v + O(2), g = w vv = a 12 u + a 03 v + O(2). Assim (0,0) = 0, u (0,0) = a 02 a 30, v (0,0) = a 02 a 21. p p (a) Cruz - 1 Sela. (b) Ponto isolado - 3 Selas. Figura 3.4

14 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 108 O determinante da matriz hessiana H de em (0,0) é dado por deth (0,0) = 4(a 30 a 12 a 2 21)(a 21 a 03 a 2 12) (a 30 a 03 a 21 a 12 ) 2. Como devemos garantir que deth (0,0) 0 então a 30 e a 21 não podem se anular ao mesmo tempo. Assim, vamos fazer a 02 = 0 para garantir que (0,0) seja ponto crítico. Seja H tal que H = e + 2 f p + gp 2, onde p = dv du. Seja M = H 1 (0). O campo de Lie-Cartan sobre M é dado por: X H = H p u + ph p v (H u + ph v ) p. Como H p (0,0, p) = 0 então (0,0, p) é uma singularidade de X H somente se p é raiz de φ onde φ é dada por φ(p) = H u (0,0, p) + ph v (0,0, p) = a a 21 p + 3a 12 p 2 + a 03 p 3. Temos que Seja α 1 (p) tal que φ (p) = 3a 21 p + 6a 12 p + 3a 03 p 2. α 1 (p) = 2a a 12 p + 2a 03 p 2. Se (0,0, p) é uma singularidade de X H então (0,0, p) será uma singularidade hiperbólica do tipo sela se φ (p)α 1 (p) < 0 e (0,0, p) será uma singularidade hiperbólica do tipo nó se φ (p)α 1 (p) > 0. Mas φ (p)α 1 (p) = 6(a a 12 p + a 03 p 2 ) 2. Portanto, se (0,0, p) é uma singularidade do campo de Lie-Cartan, então (0,0, p) é uma singularidade hiperbólica do tipo sela. Para encontrar as singularidades precisamos resolver a equação φ(p) = H u (0,0, p) + ph v (0,0, p) = a a 21 p + 3a 12 p 2 + a 03 p 3 = 0. A natureza das raízes de uma equação cúbica é dada pelo seguinte resultado que está no capítulo IV "Transformation of Equations", seção 43 "Criterion of the nature of

15 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 109 the roots of a cubic", página 84 de [5]: Dada a equação a 0 p 3 + 3a 1 p 2 + 3a 2 p + a 3 = 0, sejam H e G (veja a página 72 de [5]) dados por H = a 0 a 2 a 2 1 e G = a 2 0a 3 3a 0 a 1 a 2 + 2a 3 1. Se G 2 + 4H 3 < 0 então as raízes de φ(p) são todas reais e distintas. Se G 2 + 4H 3 > 0 então φ(p) tem uma raiz real e duas raízes complexas. Se G 2 + 4H 3 = 0 então φ(p) tem duas raízes iguais. Se G = H = 0 então φ(p) tem três raízes iguais. Mas no caso da equação temos que φ(p) = a a 21 p + 3a 12 p 2 + a 03 p 3 = 0, e assim H = a 03 a 21 a 2 12 e G = a 2 03a 30 3a 03 a 12 a a 3 12, G 2 + 4H 3 = a 2 03detH (0,0). Portanto G 2 + 4H 3 0. Se deth (0,0) < 0 então (0,0) é um ponto crítico do tipo sela e φ(p) tem uma raiz real e duas raízes complexas. Assim o comportamento das linhas assintóticas de β na vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.4(a). Se deth (0,0) > 0 então (0,0) é um ponto crítico do tipo isolado e φ(p) possui três raízes reais. Assim o comportamento das linhas assintóticas de β na vizinhança de (0,0) é dada pela figura 3.4(b). A matriz dβ(0,0) é dada por dβ(0,0) = assim, a matriz dβ(0,0) tem posto 0. Seja λ(u,v) = , E β G β F 2 β, onde E β, G β e F β são os coeficientes da primeira forma fundamental de β. Então

16 3.4 Comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de um ponto singular 110 λ u (0,0) = λ v (0,0) = 0. Assim, (0,0) é um ponto singular degenerado. Agora seja H λ (u,v) a matriz hessiana de λ. Na seção vimos que se deth λ (0,0) > 0 então (0,0) é um ponto singular tipo D + 4 e na seção vimos que se deth λ(0,0) < 0 então (0,0) é um ponto singular tipo D 4. Mas deth λ (0,0) = deth (0,0). Portanto se deth (0,0) < 0 então (0,0) é um ponto singular tipo D + 4 deth (0,0) > 0 então (0,0) é um ponto singular tipo D 4. e se

17 Referências Bibliográficas [1] ARNOLD, V. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, [2] ARNOL D, V. Catastrophe theory. Springer-Verlag, [3] BRUCE, J. W.; TARI, F. On binary differential equations. Nonlinearity, 8(2):255, [4] BRUCE, J.; FIDAL, D. On binary differential equations and umbilics. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 111A: , [5] BURNSIDE, W.; PANTON, A. The Theory of Equations: With an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Forms. Hodges, Figgis, Grafton-Street., Link para download no archive.org: [6] DARBOUX, G. Leçons sur la Théorie des Surfaces, vols. I, II, III, IV. Paris: Gauthier Villars, [7] DO CARMO, M. Geometria diferencial de curvas e superfícies. Sociedade Brasileira de Matemática, [8] FORSYTH, A. Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Cambridge, University Press, Link para download no archive.org: [9] FUKUI, T.; HASEGAWA, M. Singularities of parallel surfaces. Tohoku Math. J. (2), 64(3): , [10] GARCIA, R.; SOTOMAYOR, J. Structural stability of parabolic points and periodic asymptotic lines. Matemática Contemporânea, 12:83 102, [11] GARCIA, R.; SOTOMAYOR, J. Differential equations of classical geometry, a qualitative theory. 27 o Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, Brazil, July 27 31, Publicações Matemáticas do IMPA. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). 256 p., 2009.

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