A forma e o campo de gravidade da Terra

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1 Instituto de Astronomia, Geofísica e C. Atmosféricas - USP AGG Elementos de Geofísica Prof. Francisco Yukio Hiodo Monitor: Danillo Silva de Oliveira Sala: E-206; Fone: danillo@iag.usp.br A forma e o campo de gravidade da Terra São Paulo Agosto de 2009

2 INTRODUÇÃO Desde a célebre relação terra-maçã descoberta pela primeira vez por Newton, a atração mútua entre todas as massas tem sido reconhecido como um fenômeno universal. Este fenômeno é responsável por familiarizar o fato de que um corpo libertado perto da Terra irá cair com velocidade crescente. A taxa de aumento da velocidade é chamado a aceleração gravitacional, g, ou, simplesmente, que a gravidade Galileu provou ser a mesma para todos os corpos num determinado local sobre a Terra. Se a terra fosse uma casca esférica perfeita de estrutura uniforme e concêntrica, a força de atração sobre um corpo deitado em sua superfície seria a mesma em todos os lados, e a gravidade teria um único valor constante. Na realidade, a nossa terra é não uniforme, não esférica, e rotativa, e todos esses fatos contribuem para as variações de gravidade durante a sua superfície. No entanto, essas variações são relativamente pequenas, e sua medição exata só é possível com a ajuda de instrumentos extremamente sensíveis. As medidas e análises sobre as variações de gravidade ao longo da superfície terrestre, tornaram-se ferramentas poderosas na investigação da Terra. As variações de gravidade que estão relacionados com a Terra a partir de uma forma esférica são de especial interesse em geodésia, a ciência que estuda a forma da Terra. Por outro lado, as variações de gravidade, que refletem contrastes laterais na densidade das rochas do subsolo são de primordial interesse para o geólogo na extração de informações acerca das estruturas em várias profundidades. Esta informação está sempre sujeita a uma certa ambigüidade inerente à interpretação de dados do campo gravitacional, embora, na prática, a ambigüidade seja reduzida consideravelmente por informações geológicas adicionais disponíveis a partir de outras fontes independentes. Como uma ferramenta geofísica, o método gravimétrico possui muita coisa em comum com o método magnético. Ambos procuram anomalias provocadas por mudanças nas propriedades físicas de rochas do subsolo. Além disso, ambas requerem, fundamentalmente, técnicas de interpretações semelhantes. A utilidade e as aplicações dos dois métodos, no entanto, variam consideravelmente em função da relativa proeminência do contraste da propriedade física envolvida em várias situações geológicas. Inicialmente serão esboçados os princípios físicos que são fundamentais para uma boa compreensão das medidas de gravidade e suas interpretações. Será discutido também, em breve, o papel das medidas gravimétricas em estudar a isostasia e a estrutura crustal da Terra.

3 A FORMA E O CAMPO DE GRAVIDADE DA TERRA Os filósofos e sábios antigos só conseguiam especular sobre a natureza e forma da Terra em que viviam. As viagens eram limitadas e só existiam instrumentos simples. As observações mostravam que a superfície era convexa: 1. Os raios solares continuam a iluminar o céu e as montanhas, mesmo após o desaparecimento do Sol, 2. Os navios pareciam afundar devagar no horizonte, 3. Durante um eclipse parcial da Lua, a sombra da Terra aparecia curvada. Para a Mitologia Grega, a Terra era uma região em forma de disco. No século 6 A.C., o filósofo grego Anaximander visualizava o céu como uma esfera celestial que circundava uma Terra plana no seu centro. Pitágoras ( A.C.) e seus seguidores foram os primeiros a especularem que a Terra era uma esfera. Esta idéia foi também proposta pelo influente filósofo Aristóteles ( A.C.). A primeira estimativa do tamanho da Terra foi feita por Eratóstenes ( A.C.), que morava em Alexandria, uma colônia Grega situada no Egito. Eratóstenes sabia que na antiga cidade de Siena os raios de sol de meio dia incidiam verticalmente, pois iluminavam os fundos dos poços, enquanto que em Alexandria observava-se uma sombra no mesmo horário. Usando um relógio de sol, ele observou que, no solstício de verão, os raios de sol faziam um ângulo de 7,2 com a vertical em Alexandria, figura 1. Eratóstenes também acreditava que Siena e Alexandria se encontravam no mesmo meridiano. Ele também sabia que a distância entre Siena e Alexandria era de 5000 estadias. Com isto, Eratóstenes estimou que a circunferência da Terra era de aproximadamente estadias. Uma estadia Grega representava o percurso ( 185m) de corrida em forma de U, onde corridas e outros eventos de atletismo ocorriam. A estimativa de Eratóstenes é equivalente então

4 a km, a qual representa cerca de 15% maior do que o valor atualmente conhecido de km. Estimativas de um grau de meridiano foram feitas no século 8 durante a dinastia Tang na China e por astrônomos árabes no século 9, na Mesopotâmia. Entretanto, pouco progresso foi feito na Europa até o início do século 17. A invenção do telescópio neste século possibilitou pesquisas geodéticas mais precisas. Em 1671, o astrônomo Francês, Jean Picard ( ), fez um levantamento por triangulação do comprimento de um grau de arco do meridiano. Deste resultado, calculou-se o raio da Terra como sendo de km, impressionantemente próximo do valor atualmente conhecido de km. Figura 1: Método utilizado por Eratóstenes para estimar a circunferência da Terra. A FORMA DA TERRA Em 1672, outro astrônomo Francês, Jean Richer, foi enviado por Louis XIV para realizar algumas observações astronômicas na Ilha Equatorial de Cayene. Ele observou que um relógio de pêndulo ajustado para bater em Paris a cada segundo, atrasava cerca de dois minutos e meio por dia. Isto é, seu período era mais longo. O erro era muito grande para ser atribuído àquele instrumento preciso. Aquela observação gerou muito interesse e especulação, mas foi somente explicado cerca de 15 anos mais tarde, por Newton, através das leis de gravitação universal e de movimento. Newton sugeriu que a forma de uma Terra em rotação deveria ser a de um elipsóide oblato: ela deveria ser achatada nos pólos, formando um bojo no equador.

5 Para visualizar isto, imagine buracos até o centro da Terra e que eles sejam preenchidos com um líquido (água, por exemplo). O movimento de rotação da Terra produz uma força centrífuga que é máxima no equador (oposta à atração gravitacional) e se anula nos pólos. Isto faz com que diminua a pressão hidrostática no centro da Terra, a qual não pode mais sustentar o peso da coluna ao longo eixo polar. A força centrífuga, assim, faz com que a água seja puxada para fora no equador. Se considerarmos a Terra como uma esfera hidrostática, a forma de uma terra em rotação seria a de um elipsóide (oblato) de revolução. Newton assumiu uma densidade constante ao longo da Terra e chegou a conclusão que o achatamento seria de 1 : 230 ( 0,5%) ( f = (a c) a, a é o eixo maior do elipsóide). Este valor é maior do que o que se conhece hoje, que é de 1 : 298 ( 0,3%). O aumento no período do pêndulo de Richer pode ser agora explicado: Cayenne fica próximo do equador, onde o raio é maior e a atração gravitacional é menor. Além disso, a força centrífuga oposta é maior (próximo do equador). Estes dois efeitos juntos resultam em um valor menor da gravidade em Cayenne do que em Paris. Duas expedições organizadas pela Académie Royale des Sciences, uma para Lapônia, próximo do Círculo Ártico e outra para o Peru, próximo ao equador, com o intuito de se medir o comprimento de um grau de arco de meridiano, confirmaram a predição de Newton de que a forma da Terra é a mesma de um elipsóide oblato. Figura 2: Argumento de Newton para explicar o achatamento da Terra em rotação foi baseado no equilíbrio hidrostático entre duas colunas de pressão, uma polar e uma equatorial.

6 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS Lei de Newton da gravitação Um corpo de massa m em movimento possui um momento de inércia. Para mudarmos este movimento é necessário aplicarmos uma força F a este corpo. A segunda lei de movimento de Newton estabelece que a razão de mudança do momento de uma massa é proporcional a força que atua sobre ela e acontece na direção da força. Se aplicarmos uma força F a uma massa m, ela adquire uma aceleração a, dada por: F = ma (1) A unidade de força no Sistema Internacional é o Newton (N). Ela é definida como sendo a força que dá a uma massa de um quilograma, uma aceleração de 1m/s 2. Nós conhecemos a célebre observação de Newton da maçã em queda, a qual ele relacionou com a atração gravitacional que a Terra exercia sobre a maçã. Entretanto, a genialidade de Newton foi reconhecer que o campo gravitacional que faz com que a maçã caia é a mesma que mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém os planetas girando em redor do Sol. Newton deduziu que a atração gravitacional F entre duas partículas de massas m e M, separadas pela distância r, é proporcional ao produto destas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas: F = G m M r 2 (2) onde r é o vetor unitário na direção da coordenada r, direcionada para fora do centro de referência da massa M. O sinal negativo indica que a força F age na direção oposta, em direção da massa M. A constante G é denominada de Constante da Gravitação Universal. Na época de Newton não havia como determinar a constante G. O método a ser seguido, seria determinar a força exercida entre duas massas no laboratório. A determinação experimental de G, extremamente difícil, foi conseguida somente depois de mais de um século após a formulação de Newton, por Lord Charles Cavendish, em Depois de uma série de medidas apuradas da força de atração entre duas esferas, Cavendish determinou o valor de G = 6, m 3 kg 1 s 2. Um valor atual é 6, m 3 kg 1 s 2.

7 Aceleração gravitacional Na física, o campo de uma força é mais importante do que a magnitude da força. O campo é definido como sendo a força exercida em uma unidade de material. Por exemplo, o campo elétrico que um corpo carregado cria em uma certa posição é a força que ele exerce sobre uma carga elétrica unitária situada naquele local. A força exercida sobre um corpo na superfície da Terra é devido à atração da Terra. Quando os efeitos de rotação, densidade e não uniformidade da forma da Terra são descartados, a força exercida sobre um corpo de massa m é onde, M E é a massa da Terra e R a medida de seu raio. F = G M Em R 2 (3) A força que age sobre o corpo é, também, determinada pela 2 a lei de Newton, F = m a g, onde a g é a aceleração que seria causada pela atração gravitacional da Terra quando um corpo for deixado cair livremente. Desta forma a aceleração gravitacional a g pode ser considerada como a força exercida pela Terra sobre uma unidade de massa e pode ser expressa como: a g = F m = GM E R 2 (4) No sistema SI, aceleração é dado em m/s 2. No sistema c.g.s., a aceleração é em cm/s 2,na geofísica esta unidade é referida como gal, em homenagem a Galileu. O valor de a g possui uma média mundial de cerca de 980gal ou 9,8 m s 2 em unidades do SI sobre a superfície da Terra, com um intervalo total de variação do equador aos pólos de cerca de 5gal ou aproximadamente 5% de a g. As pequenas variações na aceleração da gravidade causadas por estruturas geológicas são medidas em milésimos de esta unidade, ou seja, em miligal (mgal), de uso extremamente amplo em geodésia e geofísica. Até recentemente, as anomalias de gravidade devido às estruturas geológicas foram examinadas com instrumentos de campo com uma precisão de cerca de um décimo de um miligal, que foi chamada de uma unidade de gravidade(ou unidade gravimetrica), que é usada como uma subunidade da aceleração da gravidade no SI (1g.u. = 1 µm/s 2 ). Instrumentos modernos são capazes de medir diferenças de gravidade a um milionésimo de um gal, ou microgal (µgal), que está se tornando a unidade prática de investigações gravidade. O valor da gravidade na superfície da Terra é de cerca de 9,8ms 2, e assim a sensibilidade das medições modernas da gravidade é cerca de 1 parte em 10 9.

8 Teorema da casca Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro. A terra pode ser considerada como um conjunto de cascas esféricas, uma dentro da outra e cada casca atraindo uma partícula fora da superfície terrestre como se a massa de cada casca estivesse no centro da casca. Portanto, a Terra pode ser considerada como uma partícula localizada no centro da Terra com massa igual a da Terra. No caso da maçã e da Terra. A Terra atrai a maçã com uma força de 0,8 N. A maçã deve atrair a Terra com a mesma intensidade de 0,8 N, aceleração produzida na maçã pela atração gravitacional da Terra é de 9,8m/s 2, aceleração produzida na Terra pela atração gravitacional da maçã é de m/s 2. É comum considerarmos a aceleração que um corpo em queda livre apresenta (denominado g), como sendo a aceleração gravitacional que agora chamamos de a g. Normalmente, também consideramos que g possui um valor constante sobre a superfície da Terra. Entretanto, o valor de g que mediríamos, difere de a g que calcularíamos pela equação 4. Por exemplo, medidas recentes de g no pólo (g p ) e no equador (g e ) forneceram valores g p = 9,832177m/s 2 e g e = 9,780318m/s 2, respectivamente, o que nos fornece uma diferença de 5.186mgal. Existem três razões para que isto ocorra: 1. A Terra não é uniforme; 2. Ela não é uma esfera perfeita (elipsóide com raio equatorial 21 km maior que o raio polar). A distância ao centro de massa da Terra é menor nos pólos do que no equador, o que produz um aumento da gravidade em direção aos pólos. Cálculos mostram que este efeito seria responsável por uma diferença de mgal, entre a gravidade no pólo e a gravidade no equador 3. Ela está em rotação. A aceleração centrífuga (figura 3) se opõe à aceleração da gravidade que é zero nos pólos e tem seu valor máximo no equador. Portanto, este efeito produz um aumento de g em direção ao pólo. Cálculos mostram que este aumento é de mgal. Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga é igual a: a c = ω 2 R, onde ω é a velocidade angular da Terra e R é a distância ao eixo de rotação. ω = 2π T (T é o período de rotação da Terra, 24 horas). A soma vetorial da aceleração gravitacional (a g ) e da aceleração centrífuga (a c ) é denominada aceleração da gravidade (g), ou simplesmente gravidade:

9 g = a g + a c (5) Figura 3: A aceleração da gravidade (g) varia de ponto para ponto na superfície da Terra. A aceleração da gravidade em um determinado local resulta da soma vetorial das acelerações gravitacional (a g ) e da centrífuga (a c ). A Aceleração da gravidade g não é radial e sua intensidade atinge valores máximos nos pólos e mínimos na região equatorial. Os efeitos dois e três descritos acima se somam, produzindo uma diferença entre os valores de g no pólo e no equador de: 6.000mgal mgal = 9.975mgal Entretanto, como mostrado acima, medidas de g nos pólos e no equador indicam uma diferença menor, de mgal. Isto decorre do fato que a Terra, tendo um raio equatorial maior do que o raio polar contém também uma massa maior no equador, o que faz aumentar a atração gravitacional nesta região. Entretanto, este efeito não supera os efeitos produzidos pelo achatamento da Terra e pela aceleração centrífuga. Newton também mostrou que: Uma casca uniforme de matéria não exerce nenhuma força gravitacional sobre uma partícula localizada dentro dela. Portanto, temos dois fatores que influenciam a aceleração da gravidade no interior da Terra

10 (figura 4): 1. a diminuição da distância ao centro da Terra (r), o que tenderia a aumentar o valor de g em direção ao centro e, 2. as camadas mais externas, de acordo com a afirmação acima, teriam influência nula, o que acarretaria em uma diminuição no valor de g. Como a densidade do núcleo é muito mais alta que a do Manto, a gravidade se mantém aproximadamente constante (em torno de 10m/s 2, ver fig. 4) até a profundidade de 2.900km (interface Manto-Núcleo), decaindo, então, progressivamente até zero, no centro da Terra. Figura 4: Variação da gravidade e da pressão com a profundidade. ENERGIA POTENCIAL Energia potencial é a energia que um objeto tem em virtude de sua posição em relação à origem de uma força. Podemos considerar a energia potencial de uma maçã em uma árvore que decorre da força de gravidade produzida pela Terra. Quando a maçã cai, ela perde energia potencial, a qual é transformada em energia cinética. Para computar a energia potencial, nós precisamos realizar um trabalho, o qual corresponde a exercer uma força igual e oposta a força gravitacional (F). Supondo uma força F constante, e uma altura h, o trabalho realizado será W = F h. Esta é a energia potencial quando a maçã está na árvore. Se a força constante mover

11 um objeto de uma distância dr (na direção da força), o trabalho realizado será dw = F dr e a mudança de energia potencial de p será dado por: de p = dw = F dr Potencial gravitacional O campo gravitacional em torno de um ponto de massa é um campo vetorial, como mostrado na figura 5(a). Este campo é determinado pela força de atração em um campo de atração gravitacional exercida sobre uma unidade de massa e o campo de vetores são direcionados para o centro de atração da massa. O potencial em um dado ponto em um campo gravitacional é definido como o trabalho realizado pela gravidade para mover uma unidade de massa de uma distância infinita para o ponto em questão. Se a unidade de massa é trazida do infinito, pude-se mostrar que a energia necessária para movê-lo para uma posição final à distância, R, atraído a partir de uma fonte de massa M é GM/R. Em outras palavras, o potencial gravitacional U g, freqüentemente referido como potencial Newtoniano, é U g = GM R (6) Um campo gravitacional pode ser representado por superfícies sobre as quais o potencial é constante, conhecidas como superfícies eqüipotenciais. Os vetores força são normais a estas superfícies, de modo que não haja qualquer componente da força ao longo delas. A superfície de uma massa ou fluido em um campo gravitacional coincide com uma superfície eqüipotencial, e por esta razão o potencial é uma entidade física de grande importância no estudo da forma do nível superficial do mar da Terra. A função potencial, U g, também desempenha um papel importante na teoria da atração; a derivada negativa de U g determina a atração da gravidade na correspondente direção (ou seja, g z = U g z ). Alguns conhecimentos sobre a teoria do campo potencial é essencial para apreciar os métodos de análise e interpretação dos dados de campo potencial, tais como gravimétricos, magnéticos e elétricos. Superfícies equipotenciais Uma superfície equipotencial é uma superfície em que sobre ela o potencial é constante. Para uma esfera de massa determinada o potencial gravitacional (equação 6) varia somente com a distância R do seu centro. Um certo valor de potencial, digamos U 1, é realizado a uma

12 distância constante radial R 1. Assim, a superfície equipotencial em que o potencial possui o valor U 1 é uma esfera com raio R 1 ; uma superfície equipotencial diferente U 2 é uma esfera com raio R 2. As superfícies equipotenciais da massa esférica original formam um conjunto de esferas concêntricas (figura 5(b)), uma das quais (por exemplo, U 0 ) coincide com a superfície da massa esférica. Esta superfície equipotencial particular descreve a figura da massa esférica. O trabalho realizado por uma força F em um deslocamento dr é F dr cosθ, que é zero quando cosθ é zero, isto é, quando o ângulo θ entre o deslocamento e a força é 90, e o trabalho para se movimentar sobre a superfície equipotencial será nula. Se nenhum trabalho é feito em um movimento ao longo de uma superfície equipotencial gravitacional, a força e a aceleração do campo gravitacional devem agir perpendicularmente à superfície. Esta normal à superfície equipotencial define a direção vertical, ou direção da linha de prumo, (figura 5(c)). O plano tangente à superfície equipotencial em um ponto define a horizontal naquele ponto. (a) Ilustração do campo gravitacional em torno de um ponto de massa (M). As linhas de campo são mostradas pelas setas e as superfícies eqüipotenciais pelos círculos. (b) Superfícies equipotenciais de uma massa esférica formam um conjunto de esferas concêntricas. (c) A normal à superfície equipotencial define a direção vertical, o plano tangente define a horizontal. Figura 5: Superfícies equipotencias para uma massa M esférica formam um conjunto de esferas concêntricas (U g = GM/R). A força e a aceleração do campo gravitacional devem agir perpendicularmente a esta superfície. A normal a uma superfície equipotencial define a direção (da linha de prumo) vertical. O plano tangencial a um equipotencial define a horizontal naquele ponto. Massa e densidade média da Terra A massa da Terra pode ser estimada dos valores de gravidade na superfície, após corrigidas todas as pequenas contribuições à gravidade causadas pela rotação. Para este efeito, a relação dada pela equação 4 pode ser aplicada. Durante o século 18 tentativas de medida G foram muitas vezes consideradas como experimentos para determinar a massa da Terra, ou equivalentemente,

13 a densidade média da Terra. Os resultados de Cavendish mostraram que a densidade média (ρ E ) foi cerca de 5,4g/cm 3 (ou 5, kg/m 3 em unidades do SI), e esta foi uma das primeiras provas de que o interior da Terra consiste de um material consideravelmente mais denso que as rochas superficiais. Utilizando valores mais precisos para g e G, foram obtidos, em 1970, os seguintes valores para a massa e a densidade da Terra: M E = 5, kg; ρ E = 5,517g/cm 3. Se considerarmos a Terra para uma primeira aproximação, como uma esfera com E massa e raio R, podemos escrever uma equação para estimar a massa da Terra na forma E = R2 a g G (7) A aceleração gravitacional na superfície da Terra é apenas ligeiramente diferente de gravidade média, cerca de 9,81ms 2, o raio da Terra é 6371km, e a constante gravitacional é 6, m 3 kg 1 s 2. O valor encontrado para a massa da Terra é 5, kg. Este número não é tão significativo como a densidade média da Terra, que pode ser calculado dividindo a massa da Terra por seu volume 4 3 πr3. O valor obtido para a densidade média é de 5515kgm 3, que é aproximadamente o dobro da densidade das rochas da crosta terrestre. Isso indica que o interior da Terra não é homogêneo, e implica que a densidade deve aumentar com a profundidade na Terra. O momento de inércia, I, da Terra também fornece algumas informações sobre a distribuição de massa no interior da terra. I não pode ser diretamente medido, mas pode ser determinado das dimensões, massa, gravidade e velocidade angular da Terra. O valor para I foi determinado apartir de observações das órbitas de satélites, e é 0,331M E R 2. Se a Terra fosse uma esfera uniforme seu momento de inércia seria 0,4M E R 2. Assim, a Terra tem um menor momento de inércia do que uma esfera uniforme. Isto significa que a massa está concentrada em direção ao centro da terra. O conhecimento da densidade média e do momento de inércia é importante para se estudar a densidade distribuição interna no interior da Terra, porque qualquer modelo de densidade aceitável deve satisfazer estas observações. A figura da Terra A superfície verdadeira da Terra é irregular, formada em parte por continentes e oceanos. Para propósitos geofísicos, entretanto, a Terra é representada por uma superfície plana e fechada, a qual é chamada de figura da Terra. A forma da Terra e a gravidade estão intimamente ligadas, de modo que a figura da Terra é considerada como tendo a forma de uma superfície equipotencial de gravidade, em particular a

14 que coincide com o nível médio dos mares. Como a terra não é uma esfera perfeita, a sua forma aproxima-se muito com a de um fluido perfeito para que seja mantido um equilíbrio entre as forças gravitacionais tende a tornar-se esférica, e as forças centrífugas de rotação tendem a achatá-la. Desde a introdução das medidas de pêndulo, a análise dos dados de gravidade ao longo da superfície terrestre, tem desempenhado um importante papel em descrer a forma da Terra em termos de uma superfície de referência ideal. Embora a forma mais precisa parece ser uma superfície de referência esférica, em vez de um elipsóide de revolução, esta última é mais conveniente para a utilização, uma vez que menos constantes estão envolvidas. A melhor aproximação matemática para esta figura é a de um elipsóide oblato, ou esferóide, figura 6. A determinação precisa das dimensões da Terra (isto é, seus raios equatorial e polar) é o principal objetivo da geodésia. Análises atuais da forma da Terra têm como base observações precisas de órbitas de satélites artificiais da Terra. Estes dados são ajustados para definir o melhor elipsóide oblato, o qual é denominado Elipsóide Internacional de Referência. Em 1980, especialistas em Geodésia e Geofísica (a International Association of Geodesy) definiram um elipsóide de referência (Geodetic Reference System, GRS80) cujo raio equatorial, a, mede 6378,136km e o raio polar, c, mede 6356,751km. O raio da esfera equivalente (R = (a 2 c) 1/3 ), mede 6371,000km. Comparado com a esfera de melhor ajuste, o esferóide é achatado de 14,2km em cada pólo e no equador, ele difere de 7,1km. O achatamento polar f é definido como: f = a c a (8) A melhor e mais recente estimativa do achatamento é f = 3, = 1/298,257. Devido a este achatamento, g é nitidamente menor no equador do que os pólos, a diferença atual é cerca de 5200mgals (ou 5, m/s 2 ). O Elipsóide Internacional de Referência é uma boa aproximação da superfície equipotencial de gravidade, mas é, na realidade, uma conveniência matemática. A superfície equipotencial física da gravidade é chamada de Geóide e reflete a verdadeira distribuição de massa dentro da Terra. Ele difere pouca coisa do Elipsóide teórico, e por definição, o geóide é em toda a parte horizontal, e a direção da gravidade seria normal a esta superfície. Se a terra fosse um fluido perfeito, sem variações laterais de densidade, corresponderia à sua superfície de referência, ou aos chamados esferóides normais. Ao usar qualquer esferóide

15 Figura 6: Comparação do Elipsóide Internacional de referência (1980), superfície equipotencial, com uma esfera de mesmo volume. de referência para trabalhos práticos, deve-se referir uma superfície eqüipotencial à alguma superfície física sobre Terra. Longe dos continentes, o geóide coincide com a superfície livre dos oceanos, excluindo as perturbações temporárias das marés e ventos. Sobre os continentes, o geóide é afetado pela massa da Terra localizada sobre o nível médio dos mares, figura 7(a), e poderá estar relacionada com a superfície da água em canais estreitos ao nível do mar, como se estes fossem estendidos para o interior do continente. A massa dentro do elipsóide provoca uma atração gravitacional descendente em direção ao centro da Terra, mas um monte ou montanha, cujo centro de gravidade está fora do elipsóide provoca uma atração para cima. Isto provoca uma elevação local do geóide acima do elipsóide. O deslocamento entre o geóide e o elipsóide é chamado de ondulação do geóide, a elevação causada pela massa acima do elipsóide é uma ondulação positiva. Na teoria, assume-se a distribuição da massa da Terra sob o elipsóide como sendo homogênea. O efeito causado por um excesso local de massa sob o elipsóide será desviar e reforçar a gravidade local. O potencial do elipsóide fica mais longe do centro da Terra. A superfície equipotencial é forçada a distorcer-se para cima permanecendo normal a gravidade. Isto dará uma ondulação positiva do geóide ao longo de um excesso de massa sob o elipsóide (figura 7(b)). Por outro lado, um défice de massa abaixo do elipsóide irá desviar o geóide abaixo do elipsóide, causando uma ondulação negativa no geóide. Como resultado da topografia irregular e distribuição heterogênea de massa no interiot da Terra, o geóide é uma superfície

16 equipotencial acidentada. E, portanto, no caso atual da Terra, o geóide e o esferóide de referência não coincidem devido às distorções locais do geóide causadas pelas irregularidades de densidade no interior da terra e pelas irregularidades topográficas em sua superfície, resultando em em anomalias locais de gravidade. Sobre uma região de excesso de massa, há um potencial adicional, U, que faz com que a superfície eqüipotencial deforme-se para fora. (a) (b) Figura 7: (a) Excesso de massa acima do elipsóide e (b) um excesso de massa abaixo do elipsóide, elevam o geóide acima do elipsóide. N é a ondulação do geóide. A combinação entre dados de satélites e medidas de gravidade na superfície da Terra foi usada para definir um modelo de superfície do geóide (Goddard Earth Model 10 - GEM10). Uma comparação global entre o elipsóide de referência e o modelo GEM10 mostra ondulações do geóide com comprimentos de ondas longos. Estas feições de larga escala não podem ser associadas a anomalias de crosta rasa ou mesmo da litosfera. Elas devem ser decorrentes de heterogeneidades que se estendem a profundidades do manto inferior, mas sua origem não é ainda bem entendida. Para uma única anomalia de massa em uma outra forma uniforme em terra, a ondulação N do geóide será dado por: gn = U (9)

17 onde g é o valor médio da gravidade entre dois pontos. Em ambos os lados da região de excesso de massa, a linha de queda é desviada em para dentro, figura 8. Em uma região de massa deficiência efeito seria o oposto. Figura 8: Ondulação do geóide (N) e deflexão da vertical causada por uma anomalia de massa. Ondulações locais do geóide fornecem informações valiosas sobre as estruturas do subsolo da terra. Por outro lado, depressões e elevações em grande escala da superfície do geóide, como determinado por observações de satélite, refletem em profundidade as anomalias de densidade cuja fonte deve estar localizada dentro do manto. Medidas absolutas de gravidade Método da queda livre Os métodos atuais de medidas de gravidade são baseados em observações de objetos em queda livre. Para um objeto em queda livre, começando em uma posição Z 0, com velocidade inicial u, a equação de movimento para a posição z em um instante t é dada por: Z = Z 0 + ut gt2 (10) Um sistema sofisticado, onde a passagem do objeto é detectada por um feixe de luz monocromática, é usado para determinar o tempo de queda livre do corpo. Embora este aparato seja compacto, ele não é suficientemente adequado para as pesquisas gravimétricas. Neste sentido, foram desenvolvidos aparelhos que fazem medidas relativas de gravidade, chamados gravímetros.

18 Medidas relativas de gravidade O gravímetro Os primeiros gravímetros são baseados na Lei de Hook. Uma massa m suspensa por uma mola de comprimento S 0 causa uma extensão da mola levando-a para um novo comprimento S. A lei de Hook diz que a mudança de comprimento da mola é proporcional à força restauradora da mola e, assim, ao valor da gravidade g: F = mg = k(s S 0 ) (11) onde k é a constante elástica da mola. O gravímetro é calibrado em um local conhecido. Se a gravidade é diferente em outro local, a extensão da mola muda e a variação de gravidade pode ser computada. Este tipo de gravímetro é dito do tipo estável. Ele foi substituído por gravímetros mais sensíveis (do tipo instável ou astático). Estes aparelhos usam uma mola de comprimento zero (tão pequena quanto possível). Ela é construída com uma fibra helicoidal. Quando a mola é esticada, a fibra da mola é torcida; o giro total ao longo do comprimento é igual à extensão da mola como um todo. A operação do gravímetro é mostrada na figura 9: Uma massa m é sustentada por uma barra na qual é preso um espelho. A posição da barra é detectada por um feixe de luz refletida no espelho (detectado por um microscópio). Se a gravidade muda, a mola é esticada ou encolhida e a posição da barra é alterada, a qual é detectada pelo feixe de luz. Um parafuso situado na parte superior do gravímetro (figura 9), quando girado, altera a tensão da mola e restaura a posição horizontal da barra. O movimento do parafuso está calibrado para fornecer a mudança da gravidade, geralmente, na unidade mgal. O gravímetro é leve, robusto e portátil. Depois de nivelado, ele pode fazer medidas precisas de diferenças de gravidade em poucos minutos, com precisão de 0.01mgal. Correções a serem efetuadas: 1. Deriva do instrumento Se o gravímetro é colocado em algum lugar e monitorado por algum tempo, veremos que as medidas variam suavemente com o tempo (as quais podem ser de até centenas de mgals). A deriva do instrumento pode decorrer de mudanças nas propriedades elásticas da mola do gravímetro induzidas por variações de temperatura. Este efeito pode ser minimizado colocando-a em uma câmara evacuada. Em adição, as propriedades elásticas da mola não são perfeitas. Este efeito pode ser corrigido, embora seja pequeno nos gravímetros atuais. A correção pode ser obtida repetindo-se a medida realizada em al-

19 Figura 9: Gravímetro - medidas relativas de g. gumas estações durante o dia e assim construir uma curva de deriva, a qual pode ser utilizada para corrigir as medidas em outras estações de medidas (figura 10). Para fazer esta correção, a hora de cada medida deve ser anotada. 2. Efeito de marés terrestres O gravímetro está sujeito ao efeito da atração das marés. A teoria das marés é bem conhecida e seu efeito na gravidade pode ser computado precisamente em qualquer local e horário. Novamente, necessitamos que o horário seja anotado. 3. Levantamentos gravimétricos O objetivo dos levantamentos gravimétricos é o de localizar e descrever estruturas de subsuperfície decorrentes dos efeitos de gravidade causadas por densidades anômalas. Normalmente, uma rede de estações é utilizada para as medidas, espaçadas de acordo com os objetivos do levantamento. Em estudos ambientais, uma investigação detalhada requer distâncias de poucos metros entre as estações de medidas. Em levantamentos regionais, tais como os utilizados para prospecção de interesse comercial, as distâncias entre as estações pode ser de vários quilômetros. Se a área não for muito grande, uma

20 estação pode ser utilizada de base (base de referência) e as diferenças de gravidade entre todas as outras bases e a base de referência são medidas. O levantamento em escala nacional, as diferenças de gravidade podem ser determinadas relativas a uma base onde o valor absoluto da gravidade é conhecido. Figura 10: Compensação das leituras de gravidade em decorrência da deriva do instrumento.