Por que História? Por que História da Matemática?

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1 Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano História da Matemática Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira Por que História? A história não deve ser encarada como um grande relato ou uma descrição minuciosa de datas e fatos. É imprescindível que a história como ciência sirva para compreensão dos anseios de um povo num determinado momento, suas dúvidas, questionamentos e contradições. Propondo o estudo da história das ideias científicas estamos auxiliando no entendimento dos conceitos utilizados no dia-a-dia por milhares de pessoas. Num curso de graduação que visa a educação, não basta formarmos um indivíduo extremamente capaz se não os dotarmos de um pensamento crítico sobre seus atos. Formar técnicos que reproduzem os procedimentos sem questionamentos é muito mais eficaz para as classes dominantes, do que instruirmos cientistas questionadores do aparelho ideológico presente. Contudo todas as mudanças se iniciam pelas bases. Por que História da Matemática? Segundo o Prof. Dr. Hans Wussing, um dos maiores estudiosos de História da Matemática mundial, o programa História da Matemática enfoca: a) história dos problemas e conceitos; b) as interligações entre matemática, ciências naturais e técnica; c) biografias; d) organizações institucionais; e) a matemática como parte da cultura humana; f) influências sociais ao desenvolvimento da matemática; g) a matemática como parte da formação geral do indivíduo; h) análise história e crítica das fontes literárias. O item a) possui maior amplitude internacional pois considera a gênese de cada conceito utilizado na matemática. Porém, devido à escassez de fontes originais no Brasil, é a área que possui maior dificuldade de ser efetivada. Com relação aos itens b), e) e f) pode-se dizer que existe um grande campo investigativo inclusive no Brasil. Nessa área serão desenvolvidos trabalhos referentes ao impacto sofrido pela identidade nacional devido à implementação da ciência ocidental. Também neste tópico será investigada a relação entre o desenvolvimento da matemática e suas formas de divulgação e transmissão, seja através da formação de novos bacharéis ou licenciados. Os itens c), d) e h) são praticamente inexplorados no Brasil e estão abertos para pesquisa. É no item g) que dedicaremos maior atenção pela sua íntima ligação com a educação matemática. Ao desenvolver estudos relativos às contribuições da História da Matemática para a Educação Matemática, deve-se ter muita cautela pois pode-se incorrer ao erro de simplesmente assumir a disciplina como elemento motivador ao desenvolvimento do conteúdo. Sua amplitude extrapola o campo da motivação e engloba elementos cujas naturezas estão voltadas a interligação entre conteúdo e sua atividade educacional. O programa História da Matemática pode ser organizado em quatro frentes: História da Educação Matemática, que engloba temas tanto para compreensão do desenvolvimento da Matemática no Brasil como para o de seu Ensino; Concepções dos professores de matemática em relação à história da matemática, tema que está intimamente ligado à formação dos professores; A História da Matemática na formação do matemático e do professor de matemática, tema que irá contribuir para que o profissional saiba a gênese dos pressupostos básicos que irá trabalhar; A utilização da História da Matemática como recurso pedagógico, é um tema extremamente delicado e de difícil grau de viabilização, que deve ser estudado com muito rigor e critério.

2 2 Deve-se sempre fazer um esforço para que o curso de história da matemática seja, antes de tudo, um curso de matemática, introduzindo exercícios que farão os estudantes especularem propriamente as indagações que outrora os matemáticos de outras épocas tiveram. Espera-se, sobretudo, que durante este curso o estudante aprenda muita matemática, além de história. Como surgiu a matemática na vida humana? A curiosidade humana sempre elaborou perguntas interessantes. Observe algumas delas: em qual lugar do mundo eu estou e onde posso ir? quanto tempo já se passou desde que nasci? como posso dividir um terreno da forma mais justa com minha família? quantas ovelhas possuo no meu rebanho? como posso construir uma moradia para me abrigar dos fenômenos climáticos? posso deixar um vaso mais bonito? de que forma posso melhorar a locomoção de grandes objetos? qual a melhor forma de trocar mercadorias que tenho com as quais eu preciso? Estas e muitas outras questões foram surgindo com o passar do tempo e foram as principais motivadoras da matemática. A palavra matemática vem da união das raízes matema (conhecer, entender, explicar) e tica que vem da palavra techne (técnica) que significaria um conjunto de técnicas para conhecermos melhor algo concreto ou abstrato. Com o passar dos séculos a matemática se desenvolveu muito e hoje existem várias áreas especializadas que nem se relacionam com a primeira definição de matemática conhecida (pouco remotamente a matemática era conhecida como ciência da forma e número). Devemos deixar claro que o senso numérico não é exclusivo da raça humana. Alguns estudos indicam que os animais sabem distinguir conjuntos simples como o nada, a unidade e a quantidade, assim como outras teorias nos informam que recém-nascidos também demonstram esta capacidade. Porém somente através do estudo e do tempo conseguimos desenvolver plenamente nossas capacidades matemáticas. Provavelmente a primeira vez que o homem se envolveu com alguma noção matemática foi através da geometria. Assim que desenvolveu a habilidade de caçar para sua sobrevivência, o homem deve ter notado que as pedras mais pontiagudas serviam melhor para a construção de lanças do que as pedras planas. Ao longo do caminho para níveis mais avançados de civilização, a enumeração precedeu a numeração e a numeração precedeu o número. Um exemplo de enumeração é quando relacionamos objetos (pedras, nós, etc.) com os animais de um rebanho, enquanto que na numeração há a necessidade de criar uma linguagem com palavrasnúmeros. Os Tokens Nos anos 1990, a pesquisadora Denise Schmandt-Besserat, especialista em arte e arqueologia do antigo Oriente, propôs uma tese inovadora de que a forma mais antiga de escrita teria origem em um dispositivo de contagem. Ela observou que as escavações traziam à tona, de modo regular, pequenos tokens objetos de argila que apresentavam diversos formatos: cones, esferas, discos, cilindros, etc. Esses objetos serviam às necessidades da economia, pois permitiam manter o controle sobre produtos da agricultura, e foram expandidos, na fase urbana, para controlar também os bens manufaturados. Fonte: ROQUE, Tatiana (2012) p. 29

3 3 Com o desenvolvimento da sociedade, aperfeiçoaram-se métodos para armazenar esses tokens. Um deles empregava invólucros de argila, como uma bola vazada, dentro dos quais eles eram guardados e fechados. Os invólucros escondiam os tokens e, por isso, em sua superfície, eram impressas as formas contidas em seu interior. O número de unidades de um produto era expresso pelo número correspondente de marcas na superfície. Uma bola contendo sete ovoides, por exemplo, possuía sete marcas ovais na superfície, às vezes produzidas por meio da pressão dos próprios tokens contra a argila ainda molhada. Fonte: ROQUE, Tatiana (2012) p. 30 A substituição de tokens por sinais foi o primeiro passo para a escrita. Os contadores do quarto milênio a.e.c. devem ter percebido que o conteúdo dos invólucros se tornava desnecessário em vista das marcas superficiais, e essas marcas passaram a incluir sinais traçados com estilete. Ambos os tipos de sinais eram derivados dos tokens e não consistiam de figuras representando os produtos em si, mas os tokens para conta-los. Trata-se de uma maneira de contar bem diferente da nossa. Eles não representavam números, como 1 ou 10, mas eram instrumentos particulares que serviam para contar cada tipo de insumo: jarras de óleo eram contadas com ovoides; pequenas quantidades de grãos, com esferas. Os tokens eram usados em correspondência um a um com o que contavam: uma jarra de óleo era representada por um ovoide; duas jarras, por dois ovoides; e assim por diante. Como temos conhecimento da matemática antiga? Entre os registros fósseis encontrados mais importantes sobre matemática estão ossos com marcações indicando, provavelmente, a quantidade de animais de um rebanho. Um exemplo disso é o osso Ishango, com mais de 8000 anos de idade, encontrado em Ishango, no Zaire, mostrando números preservados por meio de entalhes no osso. Outros artefatos encontrados foram pedras e blocos de barro com ranhuras e cordas com nós utilizadas também para os mesmos fins. if Porém para conhecermos mais sobre as origens da matemática devemos dar preferência para fontes mais consistentes, ou seja, as fontes documentadas também chamadas de fontes primárias. Entre as fontes primárias mais antigas encontramos as placas de argila babilônicas e os papiros egípcios.

4 4 Placas de Argila A civilização babilônica viveu há mais de 3000 anos a.e.c. na Mesopotâmia, região onde encontra-se atualmente o Iraque e o Oriente Médio. Desde metade do século XIX arqueólogos descobriram nesta região mais de tábuas de argila com inscrições cuneiformes (em forma de cunha) que nos informam o cotidiano dos povos que habitaram esta região (sumérios, acadianos, caldeus e assírios). Feitas de argila enquanto úmidas serviam de base para escrita feita com estiletes cuja extremidade possuía triângulos isósceles penetrantes; posteriormente as placas eram cozidas para sua melhor preservação. Destas, cerca de 400 foram identificadas como estritamente matemáticas constituídas de tábuas e listas de problemas matemáticos. Talvez a mais notável das tábuas matemáticas analisadas seja aquela conhecida como Plimpton 322, assim chamada por pertencer a coleção de G. A. Plimpton da Universidade de Columbia, catalogada sobre o número 322. A tábula foi escrita no período Babilônio Antigo ( a.e.c.) e um dos primeiros a descrever seu conteúdo foi o estudioso Otto Neugebauer. Originalmente a tábua possuía quatro colunas (hoje só restam três) contendo, em sua maioria, ternas pitagóricas, fato que indica que os babilônios utilizavam a relação pitagórica empiricamente muito tempo antes do advento da cultura helênica. Papiros Egípcios Uma das mais importantes fontes conhecidas sobre a matemática antiga encontra-se num papiro chamado Papiro Rhind também conhecido como Papiro de Ahmes que data de aproximadamente 1650 anos antes da Era Comum. Ahmes foi o escriba que transcreveu os 85 problemas propostos e resolvidos num papiro que mede 5 metros de comprimento por 30 centímetros de largura. O papiro Rhind recebeu este nome pois foi comprado por um antiquário escocês chamado A. Henry Rhind ( ) que viajou ao Egito por problemas de saúde. Atualmente a maior parte deste papiro encontra-se no Museu Britânico na Inglaterra e outra parte no New York Historical Society. Outros papiros famosos são o Papiro de Moscou ou Golenischev (1850 a.e.c.) e o papiro de Berlim. Tales, a Escola Pitagórica e Os Elementos de Euclides Na cidade-estado de Mileto, encontramos as primeiras tentativas de organizar a matemática de uma forma mais coesa com os trabalhos de Tales. Também na Grécia Antiga, pouco tempo depois, criou-se uma irmandade conhecida como escola pitagórica, cujo expoente mais conhecido foi Pitágoras de Samos. Um dos costumes da época era o de que os trabalhos desenvolvidos pelos discípulos fossem creditados ao seu mestre, fato que pode ter ocorrido com Pitágoras. Assim como Tales a escola pitagórica produziu grande quantidade de conhecimento matemático, porém, como costume da época, os ensinamentos eram transmitidos oralmente de forma informal. Tudo o que conhecemos sobre os trabalhos de Tales e Pitágoras estão nos relatos de Heródoto ou na obra de Euclides de Alexandria. Aproximadamente em 300 a.e.c. o matemático grego Euclides de Alexandria lançou sua obra Os Elementos cujo conteúdo abrangia a geometria, a teoria dos números e a álgebra. Atualmente as traduções baseiam-se em originais encontrados no século IV d.e.c., ou seja, uma lacuna de aproximadamente sete séculos. Provavelmente esta perda ocorreu devido a raridade e ao alto custo dos livros de antigamente (eram manuscritos), pois a imprensa foi descoberta somente no início do século XV. Conclusão Do osso Ishango, passando pelas tábuas babilônicas, os papiros egípcios e a tradição oral da Grécia Antiga concluímos que grande parte da matemática antiga foi apresentada indiretamente, apesar de alguns destes serem considerados fontes diretas. Para finalizar, engana-se quem acredita que tais documentos trazia uma matemática elementar ou rudimentar. Devido suas necessidades que envolviam grandes edificações, administração de altas produções, construção de sistemas de irrigação, agrimensura e aquisição de sistemas métricos a matemática exposta nos papiros e nas placas possui extremo grau de complexidade.

5 Número 5 O conceito de número é um conceito abstrato que necessita da compreensão dos conceitos de enumeração e numeração. Para conferir se determinado conjunto estava completo ou não se criou a enumeração. Um exemplo de enumeração é aquele utilizado pela tribo bugilai em Papua-Nova Guiné, que conferia os itens de seu conjunto utilizando os dedos das mãos. Posteriormente, os povos sentiram necessidade de estipular palavras para designar quantias: eram as palavras-número. Nesta mesma tribo palavras como tarangesa, meta kina e dala significam, respectivamente, os números 1, 2 e 10. Alguns povos chegaram até a 39 palavras utilizando as partes do corpo. A princípio podemos estranhar este tipo de convenção mas devemos lembrar que alguns sistemas de medidas conservam a nomenclatura utilizando-se partes do corpo. No sistema britânico de medidas encontram-se o pé, as polegadas, a jarda, etc... Caso procuremos num dicionário as definições para número teremos as seguintes características: conjunto: reverteu-se a ideia de sequência utilizada na enumeração e na numeração; utilização de um conjunto de marcadores como dedos, riscos ou seixos; utilização de uma correspondência biunívoca entre o conjunto de marcadores e o conjunto numérico: o cardinal de um conjunto independente da natureza de seus elementos; objetivo para a resposta quantos?. Sistemas de Numeração Deve-se deixar claro que existe uma grande diferença entre sistema de numeração e sistemas numéricos. Enquanto num sistema de numeração existe a criação de símbolos e regras para operá-los, nos sistemas numéricos há a formulação teórica de cada um. Sabe-se que a enumeração de um conjunto foi elaborada através de diversas necessidades e que, posteriormente, houve o desenvolvimento das palavras-número. Porém o que fazer quando o conjunto de marcadores se mostra insuficiente? Duas são as alternativas a serem feitas: a) aumentar a quantidade de marcadores (medida provisória); b) organizar os marcadores em grupos básicos. Neste caso devemos considerar duas situações: I. podemos repetir o mesmo marcador mais que uma vez adicionando seus valores. É o que denominamos extensão por repetição, fato que deu origem aos sistemas aditivos. II. podemos criar um sistema posicional onde o valor de cada marcador varia de acordo com a posição ocupada na notação. Um exemplo da utilização de marcadores é o sistema dos homens de contar, um sistema envolvendo garatujas de homens simbolizando em cada dedo levantado uma unidade (logo um homem vale 10 unidades). Neste caso enquanto que nos sistemas de repetição a representação de dois homens com as mãos abertas e um com uma das mãos fechadas significa 25, no sistema posicional a representação deste numeral seria o primeiro homem com dois dedos levantados e o segundo homem com uma mão aberta. Bases Quando se tornaram necessárias contagens mais extensas houve a necessidade de criar um novo sistema de contagem. Isto foi feito dispondo os números em grupos básicos de elementos servindo-se do processo de correspondência empregado. O esquema utilizado compreendia basicamente da escolha de uma base b para atribuição dos números 1, 2,..., b. Para os números maiores que b os nomes eram essencialmente combinações dos números escolhidos previamente.

6 6 Pelo fato de possuirmos dez dedos é comum que a base adotada frequentemente fosse a base decimal. Algumas etimologias, como na língua inglesa, apontam resquícios da composição da base decimal: as palavras one, two,..., ten são designadas para os números de um até dez; ao chegar no número eleven (onze) alguns filólogos indicam a combinação de ein lifon (um acima de dez), da mesma forma que twelve (doze) provem de twe lif (dois acima de dez), e assim por diante. Outras bases primitivas indicam os números 2, 3 e 4 em algumas sociedades. Exemplos: em Queensland eles contavam um, dois, dois e um, dois e dois, muito; alguns pigmeus africanos contam a, oa, ua, oa-oa, oa-oa-a e oa-oa-oa; algumas tribos da América do Sul contam um, dois, três, quatro, mão, mão e um,... Provavelmente, o sistema vigesimal (base 20) foi amplamente usado na época em que o homem andava descalço. Os índios americanos e o sistema de numeração maia são exemplos de civilizações que utilizaram esta base. O sistema sexagesimal foi utilizado pelos babilônicos e continua em vigor para a notação de tempo e ângulos. Basicamente, os sistemas de numeração se classificam em: sistemas de numeração por agrupamentos simples; sistemas de numeração por agrupamentos multiplicativos; sistemas de numeração cifrados; sistemas de numeração posicionais. I - Sistemas de Agrupamentos Simples Nessa modalidade encontram-se sistemas do tipo 1, b, b 2,..., b n. Qualquer número deste sistema pode ser expresso pelo uso destes símbolos aditivamente, repetindo-se cada um deles o número necessário de vezes. Um exemplo de sistema por agrupamentos simples é o hieroglífico usado no Antigo Egito a aproximadamente a.e.c.. É notório que o sistema hieroglífico evoluiu posteriormente para o sistema hierático (usado pela classe sacerdotal) e para o sistema demótico (usado pelos comerciantes), porém tanto o hierático quanto o demótico não se enquadram nesta categoria. Os símbolos utilizados pelo sistema hieroglífico, assim como os valores atribuídos a cada um deles, são: Exemplo: O número 1978 podia ser escrito da seguinte maneira, em hieróglifos, temos OBS.: embora esse número esteja escrito da esquerda para direita era costume da época escrever os símbolos da direita para esquerda.

7 7 Outro exemplo de sistema por agrupamentos simples é o babilônico antigo que possuía base sexagesimal a cerca de a.e.c.. Os números menores que 60 eram escritos através de agrupamentos simples de base 10. Para o número 1, ou potências de 60, o símbolo usado era um triângulo voltado para baixo ( ), enquanto que para o número 10 rotacionava-se o estilete na argila e tínhamos o símbolo. Exemplos: 6 96 = = = 2 x = = 6 x Como exemplo final de um sistema de agrupamentos simples, encontramos os numerais romanos. Neste caso os símbolos básicos I, X, C, M (cujos valores são 1, 10, 10 2, 10 3, respectivamente), são acrescidos de V, L e D (que representam 5, 50 e 500). O princípio subtrativo segundo o qual um símbolo menor colocado antes de um símbolo maior significa a diferença entre as duas unidades, raramente era utilizado nos tempos antigos. Por exemplo o numeral 1944 era representado por MDCCCCXXXXIIII, enquanto que na notação atual se tornou comum representar MCMXLIV. Devemos levar sempre em conta que o I só pode preceder o V ou o X, o X só pode preceder o L ou o C e o C só pode preceder o D ou o M. II Sistemas de Agrupamentos Multiplicativos Em alguns casos os sistemas de agrupamentos simples evoluíram para os sistemas de agrupamentos multiplicativos. Neste tipo de sistema, após escolher uma base b, escolhe-se símbolos que representem os números 1, 2, 3,..., b 1 e um segundo conjunto de símbolos para b, b 2, b 3,... Para escrever os numerais devemos multiplicar o valor dos símbolos da primeira sequência pelo valor dos símbolos da segunda. Por exemplo, se designarmos os nove primeiros termos da primeira sequência como os números de1 a 9, e estipularmos para a segunda sequência como a, b e c, o numeral 5625 poderá ser escrito como: 5625 = 5x x x = 5 x x x = 5c6b2a5 O sistema de numeração chinês-japonês tradicional é um exemplo de sistema de agrupamento multiplicativo. Escrito verticalmente de cima para baixo, são estipulados nove símbolos principais mais três símbolos cujos valores são 10, 100 e Abaixo encontra-se um exemplo dos símbolos utilizados na China Antiga (é bom lembrar que os ideogramas evoluíram dependendo do período estudado):

8 III Sistemas de Numeração Cifrados Num sistema de numeração cifrado, depois de escolher uma base b, adotam-se os símbolos para 1, 2, 3,..., b 1, b, 2b,..., (b 1)b, b 2, 2b 2,..., (b 1)b 2,... e assim por diante. Embora se deve memorizar uma grande quantidade de símbolos, é possível escrever os numerais de uma forma bem mais compacta que os demais sistemas de numeração. Na Grécia Antiga houveram vários tipos de sistemas de numeração, dentre os quais aquele conhecido como jônico ou alfabético, usado por volta de 450 a.e.c., exemplo de sistema de numeração cifrado. Neste sistema às 27 letras do alfabeto grego (24 letras conhecidas e 3 em desuso) eram atribuídos valores: às nove primeiras representavam os números de 1 a 9; às nove próximas eram atribuídos os valores de 10 a 90 (de dez em dez) e para as nove últimas os valores atribuídos variavam de 100 a 900 (de cem em cem). Observe abaixo os símbolos (em letras minúsculas), nomes e valores do sistema de numeração jônico: 1 alfa 10 iota 100 rho 2 beta 20 kappa 200 sigma 3 gama 30 lambda 300 tau 4 delta 40 mu 400 upsilon 5 epsilon 50 nu 500 phi 6 (obsoleta) digamma 60 xi 600 chi 7 zeta 70 omicron 700 psi 8 eta 80 pi 800 omega 9 teta 90 (obsoleta) koppa 900 (obsoleta) sampi Exemplos: 12 =, 21 =, 247 =. Observações: para números maiores fazia-se barras ou acentos sobre as letras do alfabeto; outros exemplos de sistemas de numeração cifrados foram os egípcios (hierático e demótico), hindu, hebreu, sírio e arábico antigo.

9 IV Sistemas de Numeração Posicionais 9 Neste sistema, depois de escolhermos uma base b, adotam-se símbolos para 0, 1, 2,..., b 1. Estes símbolos, geralmente designados dígitos, podem escrever qualquer tipo de número N do tipo: n n1 2 N anb an 1 b... a2b a1b a0 no qual 0 a i b, i 0,1,..., n. Desta forma um símbolo básico em qualquer posição de um numeral dado representa um múltiplo da potência da base. O nosso próprio sistema de numeração indo-arábico, é um exemplo de sistema de numeração posicional. Por exemplo, o dígito 2 em 206 significa 2 x 10 2, enquanto que o mesmo dígito em 27 representa 2 x 10. O sistema de numeração babilônico, inicialmente considerado como um sistema de numeração por agrupamentos simples, desenvolveu um caráter posicional em 300 a.e.c.. Como sistema misto, ora sexagesimal ora decimal, para os números menores que 60 seu caráter por agrupamentos simples continuou vigorando, porém para números maiores que 60 houve a necessidade de criar uma representação das potências de 60 ausentes em algumas notações. Esta ausência era representada por duas cunhas inclinadas, mas só era válida quando a ausência da potência ocorria dentro do número. Assim: = 3 x x = 3 x x = Desta forma os babilônicos introduziram o conceito de zero posicional, apesar deste ser usado apenas parcialmente... Referências BARONI, Rosa L. S.; NOBRE, Sérgio. A pesquisa em História da Matemática e suas relações com a Educação Matemática in BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. São Paulo, Editora Unesp, BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996, 2ª edição. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da Unicamp, FOMIM, S. Sistemas de Numeração. São Paulo, Editora Atual, GUNDLACH, Bernard H. Tópicos da História da Matemática: Números e Numerais. São Paulo, Editora Atual. PEDROSO, Hermes Antônio. História da Matemática. São José do Rio Preto, Unesp, Disponível em: < ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro, Zahar, University of St Andrews, Scotland School of Mathematics and Statistics. Disponível em: <