X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO EM LIVROS DIDÁTICOS Ana Cláudia Fernandes Universidade Estadual da Paraíba campus Monteiro Tony Regy Ferreira da Silva Universidade Estadual da Paraíba campus Monteiro José Joelson Pimentel de Almeida Universidade Estadual da Paraíba campus Monteiro Resumo: Este trabalho apresenta uma análise de dois livros didáticos de matemática, a partir de critérios relacionados aos fundamentos histórico-epistemológicos dos sistemas de numeração. Para isto, utiliza-se como referencial o texto de Berlingoff e Gouvêa (2008), que tratam de explicar e apresentar em seu livro A matemática através dos tempos uma abordagem histórica para os sistemas de numeração, e parte da obra de Caraça (1951), em que trata deste tema. Como resultado, percebe-se uma grande preocupação dos autores e editores dos livros didáticos em didatizar o conteúdo matemático, mas ainda apresentando excertos históricos de maneira fragmentada, sem propor qualquer discussão de natureza epistemológica dos conteúdos. Palavras-chave: Sistemas de numeração; Fundamentos epistemológicos da matemática; História da Matemática. INTRODUÇÃO A análise crítico-reflexiva de várias questões que dizem respeito ao âmbito escolar no ensino de matemática por meio uma abordagem que está entrelaçada à filosofia da educação matemática. Deste modo, questões referentes a conteúdos trabalhados em sala de aula e a recepção que os alunos têm para com o conteúdo proposto são de importante preocupação desta área. Questionar também a veracidade do conhecimento que está em jogo e qual o valor que ele tem para com os que dele dispõe, ou seja, a importância da verdade pela qual está sendo afirmada uma dada definição matemática é imprescindível à aprendizagem dos 1

2 alunos. Além disso, a filosofia da educação matemática contribui para analisar e avaliar todo esse universo de questionamentos, pois, sendo reflexiva, busca entender a complexidade dos inúmeros fatores que compõe as ações em sala de aula. O seu espaço de ação não fica restrito à escola, mas vai além dela, estudando e refletindo sobre o contexto da aprendizagem como um todo. No entanto, se faz presente uma preocupação que a filosofia da educação matemática tem como nuclear na escola, com uma análise de perspectiva crítica das idéias centrais que formam o currículo ou a proposta pedagógica. Neste trabalho apresenta-se uma análise sobre o texto de Berlingoff e Gouvêa (2008), que pretende uma explicação histórica sobre os sistemas de numeração. Continua com uma análise de livros didáticos a fim de averiguar como se abordam os sistemas de numeração em alguns livros voltados ao ensino de matemática no ensino fundamental. Para essa investigação utilizamos dois livros: Projeto Araribá (2006) e Dante (2005). Para complementar o estudo, faz-se presente algumas considerações sobre Caraça (1951) no que tange aos sistemas de numeração. Ao final, faz-se uma análise dos livros didáticos, no que concerne aos sistemas de numeração. OS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POR SUA HISTÓRIA E EPISTEMOLOGIA Como escrever números de forma lógica e eficiente? Este é um problema que esteve presente na humanidade desde que existiam objetos a serem contados. Mas para serem contados e, posteriormente, registradas as quantidades respectivas, usavam-se apenas marcas em ossos ou outros artefatos. Berlingoff e Gouvêa (2008) apresentam uma forma essencialmente histórica de abordagem dos sistemas de numeração. De início, mostram a necessidade da criação de um sistema de numeração que propiciasse uma maior facilidade para aprimorar as operações matemáticas e com isso solucionar problemas do dia-a-dia, como aqueles de controle e armazenamento de pertences e os de natureza financeira com o crescimento substancial da sociedade. No decorrer desse crescimento, as culturas aperfeiçoaram seus métodos e técnicas e, junto a isto, houve uma expansão da idéia e do uso da contagem. 2

3 Eles tomam como exemplo as mudanças ocorridas com o sistema de numeração egípcio, devidas sobretudo ao melhoramento dos seus modos de representar e operacionalizar quantidades. Para o aperfeiçoamento desse sistema foram inseridos mais símbolos e organizados de tal maneira que quando a operação aditiva fosse executada a soma dos símbolos teria que ser exatamente igual ao número desejado. Eis os símbolos usados pelos egípcios e seus equivalentes no nosso sistema de numeração: Bastão Calcanhar Rolo de Flor de Dedo Peixe Homem corda lótus apontando Figura 1: Símbolos egípcios e os seus equivalentes no sistema indo-arábico. Verifica-se que o sistema de numeração egípcio é aditivo. Por exemplo, o número 312 pode ser escrito na forma:. Para saber o seu equivalente no sistema decimal, deve-se somar seus valores individuais: = 312. Ele é também um sistema não-posicional, pois a ordem dos algarismos pode ser alterada. Usando o mesmo exemplo: equivale a, dentre outras possibilidades. As informações relacionadas ao sistema egípcio de numeração foram obtidas por meio de inscrições esculpidas em monumentos e outros artefatos duráveis. O sistema de numeração babilônico surgiu na Mesopotâmia no período entre 2000 e 200 a.c. Esse sistema utilizava três símbolos em forma de cunha, que eram escritos em tábuas de barro. Havia ainda outro sistema de numeração também desenvolvido na Mesopotâmia bastante interessante, um sistema sexagesimal. No entanto esses sistemas de numeração podem gerar leituras equivocadas, principalmente relacionadas a ambigüidades ocasionadas pelas posições dos símbolos. A civilização maia possuía um sistema de numeração parecido com o sistema babilônico que não apresentava ambigüidades. Os maias representavam seus números apenas com dois símbolos. Para representação de números grandes o agrupamento era 3

4 utilizado. Esse sistema de numeração é aditivo e multiplicativo, obedecendo à posição dos números. Para a representação do zero foi criado um símbolo, para evitar que os usuários desse sistema se confundissem, como ocorria com os babilônicos. Figura 2: Símbolos maias e seus equivalentes no sistema indo-arábico. O sistema de numeração grego, por sua vez, dispunha de 25 letras do seu alfabeto e mais 2 símbolos, sendo 9 para as unidades, 9 para dezenas e 9 para as centenas. Já os números maiores que mil tinham uma marca para diferenciá-los, explicitando que eram multiplicados por Figura 3: Símbolos gregos e seus equivalentes no sistema indo-arábico (Eves, 2002, p. 35) A civilização romana teve seu sistema aceito em várias sociedades, possuindo certos usos até os dias atuais. Esse sistema de numeração é aditivo, mas não posicional (tendo pequenas controvérsias). Para a indicação da operação multiplicativa, coloca-se uma barra em cima do símbolo, indicando a multiplicação por Uma característica importante que esse sistema de numeração possui é a idéia da subtração para formação de outro número. 4

5 Diante de fatos históricos é notável que a contagem dos dedos contribuísse substancialmente para a criação do nosso sistema de numeração, o sistema decimal indoarábico. A simplicidade de efetuar as operações é marca especial desse sistema, pois podemos calcular diretamente números com números, evitando assim complicações nas operações. Os avanços tecnológicos permitiram que os números que antes eram escritos em papiros agora fossem escritos em papéis ou em máquinas de calcular. Um exemplo disso são as calculadoras. O INÍCIO DA CONTAGEM De acordo com Caraça (1951), as necessidades humanas exigiram que em determinados momentos se fizessem contagens. Independentemente do lugar onde ele vive e da sua classe social, a cada momento, nas mais diferentes situações e momentos históricos, o homem realiza contagens. No entanto, os diferentes grupos sociais usam sistemas de numeração que estejam de acordo com o seu desenvolvimento históricocultural. Depois de vencida a barreira das atividades primitivas de contagem e utilização das suas primeiras representações, o homem cria a imagem do que realmente seria a idéia de número. Até hoje, existem tribos indígenas que só conhecem os números que antecedem o 5 e 6, e outras conhecem um pouco mais. Isso retrata as condições econômicas e culturais desses povos, que demandam um maior ou menor recurso e conhecimento dos números. Dependendo assim de freqüentes relações comerciais entre tribos para aumentar o conhecimento numérico, ou seja, as relações com outros povos e também as relações comerciais que envolvam números, ampliam seus conhecimentos, pois é justamente esse vínculo que os fará pensar de uma forma mais ampla. No entanto, há que se considerar nesta análise também a necessidade que cada povo ou tribo possui, o que demanda uma evolução ou não de seu sistema em uso. Com isto queremos dizer que utilizar um determinado sistema não configura uma melhor ou pior posição em termos de desenvolvimento cultural. Os fatores humanos, que destacam as condições humanas individuais e a vida social, mostram que a contagem inicia-se com o hábito de contar com os dedos, daí a origem do nome dígito. A base do nosso sistema de numeração é 10, mesma quantidade de dedos das mãos do homem. 5

6 Depois da criação de um símbolo para representar o nada, ou para ocupar um lugar vazio, civilizações foram aperfeiçoando essa criação através do pensamento sobre o desempenho do símbolo zero. Com a idéia da correspondência podemos dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada elemento de um conjunto de coisas a serem contadas um elemento de outro conjunto de elementos de controle (os números), sucessivamente, tornando a correspondência uma das principais idéias da matemática. OS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO NOS LIVROS DIDÁTICOS Para alcançar o objetivo desse trabalho, como uma das atividades da disciplina Fundamentos Epistemológicos da Matemática, fez-se uma verificação da proposta de contextualização para o ensino de sistemas de numeração em alguns livros didáticos. Para isto, foram escolhidos livros didáticos adotados em escolas estaduais na região de Monteiro PB, cidade onde está instalado o campus da Universidade Estadual da Paraíba. Os livros escolhidos foram Projeto Araribá Matemática, obra coletiva organizada pela Editora Moderna (2006), e Tudo é Matemática, de DANTE (2005), ambos da 5ª série ou 6º ano do ensino fundamental, ambos avaliados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). O primeiro deles, Projeto Araribá, dispõe o conteúdo de sistemas de numeração de modo simplificado, abreviado, abordando em primeira ordem os sistemas de numeração egípcio e romano. Descrevendo o sistema egípcio com alguns detalhes de sua história, inclusive mostrando um mapa atual da África, no qual está destacado o Egito. A apresentação do sistema de numeração romano ocorre de forma análoga. Em seguida são apresentadas várias atividades que se remetem à história desses sistemas de numeração, inclusive uma que pede a comparação entre os sistemas estudados e os sistemas chineses e maias, orientando aos alunos que façam uma pesquisa sobre estes. A proposta é que os alunos reflitam sobre a história e a sua importância para as suas vidas e para a construção dos conceitos existentes atualmente. A exposição do sistema de numeração indo-arábico é feita ao final, mostrando um pouco de sua história, como ocorreu o seu desenvolvimento pelos indianos que habitavam o vale do rio Indo, e a sua difusão pelos árabes, inclusive fazendo menção ao contexto geográfico, localizando a área do rio Indo nos dias atuais ao mencionar que em tal região hoje se localiza o Paquistão. 6

7 Para ilustrar, mostra o mapa da região, com destaque para o rio Indo e para o Paquistão. Suas características são abordadas, especialmente uma explicação sobre o caráter decimal e posicional deste sistema. A escrita e a leitura dos referidos números é bem apresentada, com exemplos que retratam aqueles com os quais os alunos se deparam diariamente, quando assistem jornais televisivos, escutam os noticiários no rádio ou lêem revistas, linhas, jornais impressos etc. No segundo livro, Tudo é Matemática, os sistemas de numeração são apresentados no segundo capítulo. Esse livro aborda a importância do surgimento dos números e, dando início ao sistema de numeração egípcio, algumas questões são colocadas como desafio, algumas relacionadas à história e outras às operações e propriedades. O sistema de numeração maia é apresentado mostrando sua história e suas propriedades. Apresenta também o sistema de numeração romano de acordo com a exposição das propriedades e da sua história. Ao falar de cada sistema de numeração, apresenta pelo menos uma ilustração que nos remete ao povo que o criou (a estátua de Nerfeten ao povo egípcio; uma escultura no altar de Chac Mool, com uma pirâmide ao fundo, ao mencionar os maias; as ruínas do Coliseu, para lembrar os romanos). Vale dizer que ainda apresenta esboços cartográficos da localização atual destas regiões. Por fim, ao apresentar o sistema de numeração decimal indo-arábico, enfatiza em primeiro lugar a sua história, como ocorreu essa grande descoberta e a valiosa contribuição árabe para com esse sistema. São mostradas suas características e propriedades, seguidas de exercícios. Nota-se, nos dois livros analisados, uma ausência de preocupações acerca da natureza do conhecimento tratado associadas à forma como os alunos podem aprendê-lo. Por exemplo, as dificuldades de aprendizagem relacionadas ao zero não são consideradas. CONSIDERAÇÕES FINAIS Na forma de abordagem dos sistemas de numeração por Berlingoff e Gouvêa (2008) há uma predominância da história da matemática, ainda que haja uma apresentação de propriedades dos sistemas de numeração. 7

8 Nos livros didáticos analisados, Projeto Araribá e Tudo é Matemática, há uma preocupação em didatizar os conceitos, mas mostram também a relação do conteúdo com a sua história, embora ainda de maneira fragmentada, tendo uma preocupação maior com as propriedades e até com aplicações ao dia-a-dia. No livro de Caraça (1951) é bastante presente a forma histórica de apresentar a origem dos números, o princípio da contagem, as características históricas que esses assuntos trazem consigo. Pretendendo ser um compêndio para aprendizagem de conceitos da Matemática, tecnicamente falando, apresenta a evolução dos sistemas de numeração, mas o faz com grande rigor, na composição matemático-formal de seu texto. Essa análise mostra diferentes abordagens relacionadas a um único tema conteudinal, o que pode configurar diferentes abordagens para o seu ensino. Todas as obras têm sua importância, cada qual prevendo a sua esfera de circulação e interlocutores definidos. O livro de Berlingoff e Gouvêa tem por objetivo refletir sobre conceitos matemáticos a partir de sua evolução histórica. Os livros didáticos possuem objetivos comuns, quais sejam se constituírem em obras didáticas para utilização em sala de aula e, no caso dos sistemas de numeração, estabelecer uma relação entre a evolução dos conceitos, a sua utilização hoje na sociedade e as propriedades envolvidas nos sistemas de numeração. Por fim, o livro de Caraça apresenta a evolução histórica e conseqüentemente a evolução de seus conceitos, enfatizando as propriedades matemáticas. No entanto, os livros didáticos analisados não apresentam de fato uma preocupação com a natureza do conhecimento a ser ensinado aos alunos, desconsiderando questões referentes ao modo como se aprende os conceitos, qual a sua relevância e o porquê de sua presença proposta para a faixa etária à qual se destina, não obstante a presença de aspectos históricos e de exemplos de aplicações ao cotidiano dos alunos. Essas considerações certamente fazem parte dos guias ou manuais do professor, uma vez que esta é uma exigência do Plano Nacional do Livro Didático, no entanto nós não os analisamos, constituindo-se em um dos limites de nosso trabalho. O sistema de numeração decimal, que preteriu todos os demais sistemas na maior parte do mundo dito civilizado, merece uma atenção quando de seu ensino, uma análise crítico-reflexiva acerca de sua aceitação, suas vantagens e também sobre as dificuldades inerentes à sua aprendizagem. Lembrando Bicudo e Garnica (2006), quando afirmam que 8

9 cabe à filosofia da educação matemática a análise crítica sobre os pressupostos ou idéias centrais envolvidos na articulação do currículo ou da proposta pedagógica, acreditamos serem necessárias essas reflexões na seleção de conteúdos, na forma com que esse conteúdo é didatizado (ou formatado para o ensino), compreendendo-se também as formas como os estudantes podem aprendê-lo, segundo a natureza do conhecimento. É certo que um estudo nesse âmbito deve permear as práticas dos professores, uma vez que estes devem se engajar em atividades com fundamentos epistemológicos. Logo os livros didáticos devem compreendê-lo, uma vez que a formação contínua dos professores também se dá no âmbito de sua prática docente cotidiana. REFERÊNCIAS BERLINGOFF, William P. e GOUVÊA, Fernando Q. A matemática através dos tempos: Um guia fácil e prático para professores e entusiastas. São Paulo: Edgard Blücher, BICUDO, Maria Ap. V. e GARNICA, Antonio V. M. Filosofia da Educação Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, CARAÇA, Bento de J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa, 1951 DANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática. Livro do professor. 5ª série. São Paulo: Ática, EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3. ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, PROJETO ARARIBÁ. Obra Coletiva. Matemática. 5ª série. São Paulo: Moderna,