Fractais, Caos e Álgebra Linear

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1 Fractais, Caos e Álgebra Linear Autor: Rita Mendonça e Costa Nº80784 Engenharia Aeroesacial Álgebra Linear Professor Paulo Pinto Instituto Suerior Técnico Janeiro 2015 Um ouco de História No final do século XIX e no início do século XX, múltilos (e bizarros) conjuntos de ontos do lano Euclidiano começaram a aarecer na Matemática. Ainda que, inicialmente, fossem aenas curiosidades, estes conjuntos designados fractais raidamente ganharam imortância. Actualmente, reconhece-se que estes conjuntos revelam e descortinam fenómenos biológicos e físicos anteriormente considerados aleatórios, barulhentos, ou caóticos. O termo fractal é da autoria de Benoît Mandelbrot, e rovém do latim frangere (verbo que significa artir/fragmentar). Esta origem revela-se bastante legítima, tendo em conta que muitos fractais odem ser transformados em fragmentos mais equenos (que são semelhantes ao fractal maior). Ainda assim, quando um fractal é «aumentado», mantém-se tão comlexo quanto a figura original! Desta forma, os fractais retratam erfeitamente a noção de «mundos dentro de mundos». Quanto mais amliado estiver um fractal, maior detalhe é ossível distinguir. Na realidade, estas figuras resultam de múltilas iterações da alicação de modelos matemáticos, sendo que o rincíio de auto-semelhança reresenta a chave ara a criação de fractais. Gaston Julia ( ) descobriu grande arte dos conceitos em que a geometria de fractais se baseia. Aos 25 anos, o matemático ublicou o trabalho que o tornaria conhecido durante muito temo; ainda assim, Julia deixou as suas investigações estagnarem durante os 60 anos seguintes. Só mais tarde (com Mandelbrot) foi ossível retomar os estudos de Gaston Julia; no final da década de 70, com a oularização dos comutadores, Benoît Mandelbrot ôde desenvolver a arte gráfica associada aos fractais, juntando os resultados da sua esquisa ao trabalho de Julia. Nascera assim a geometria de fractais. Presentes na Natureza em diversas manifestações, os fractais têm ocuado os interesses e o estudo de inúmeros matemáticos, que, nas suas investigações, têm exosto resultados extraordinários e surreendentes acerca destes fenómenos.

2 Conjuntos auto-semelhantes Um conjunto em R 2 é considerado limitado se for ossível rodeá-lo or um círculo adequadamente grande e fechado se contiver todos os ontos da sua fronteira com o exterior. Já dois conjuntos em R 2 dizem-se congruentes se uderem tornar-se coincidentes aenas através de rotações e translações aroriadas em R 2. Consideraremos também as noções de conjuntos disjuntos e não disjuntos. Definição: Seja T: R 2 R 2 a transformação linear que efectua o escalamento de um factor s. Se Q é um conjunto em R 2, então T (Q) (o conjunto das imagens dos ontos em Q, através da transformação T) é uma dilatação (se s> 1) e uma contracção (se 0<s<1). Em ambos os casos, dizemos que T (Q) é o conjunto Q escalado de um factor s. Alicações de Fractais Medicina: Actualmente, sabe-se os ulmões, o vírus da SIDA, as fracturas ósseas e os batimentos cardíacos são de natureza fractal. Ciência: A utilização da geometria de fractais tem-se revelado articularmente útil na localização de etróleo, na identificação de falhas geológicas e na revisão de sismos. Por outro lado, sabe-se também que o comortamento das chuvas ácidas e a evolução da corrosão odem ser modelados utilizando geometria fractal. Até a Teoria do Big Bang e a comreensão da estrutura do Universo odem ser melhorados com fractais!! Indústria: No fabrico de molas, utiliza-se geometria fractal ara testar os rodutos com maior raidez (or exemlo, é agora ossível testar molas em 3 minutos, em vez de 3 dias ). Existem também modelos estatísticos (baseados em geometria de fractais) utilizados ara testar a tensão alicada em lataformas etrolíferas e os efeitos da turbulência em aeronaves. Sabe-se também que os algoritmos associados à comressão de imagens e de modificação da sua definição envolvem geometria de fractais. Finalmente, é ainda aceite que a meteorologia (mais concretamente, o estudo dos fenómenos atmosféricos) e a bolsa tenham uma natureza rofundamente fractal Militar: Uma «egada» fractal ode ser utilizada ara distinguir características naturais de um lugar de asectos construídos elo Homem (em maeamento or rádio e na localização de submarinos, or exemlo). Natureza: Em cristais de gelo, em conchas até na couve-flor! (ver imagem ágina 4). Cinema: A utilização de fractais na construção de aisagens e de texturas na indústria cinematográfica é recorrente. Por exemlo, no filme Parque Jurássico, as gotas de chuva na ele dos dinossauros foram disostas num adrão utilizando um modelo fractal.

3 Fractais, Caos e o Efeito Borboleta Muitas alicações matemáticas e modelos físicos assumem, à rimeira vista, um comortamento caótico e aleatório. No entanto, estes sistemas escondem um elemento de ordem mais rofundo (or exemlo, a criação de números aleatórios, a arritmia cardíaca até mesmo as mudanças na mancha vermelha de Júiter e os desvios na órbita de Plutão!). Nas alavras de James Gleick: «Na última década, físicos, biólogos, astrónomos e economistas têm criado uma nova forma de comreender o crescimento da comlexidade da Natureza. Esta nova ciência, o caos, oferece uma nova forma de encontrar ordem e adrões onde anteriormente só o aleatório, o errático e o imrevisível em suma, o caótico tinham sido encontrados.» E, na famosa série de debates com Niels Bohr, acerca da Física Quântica, Albert Einstein declarou que «Deus não joga aos dados com o Universo». Contudo, o caos imlica, segundo Joseh Ford (Instituto de Tecnologia da Geórgia): «Deus joga aos dados com o Universo. Mas são dados viciados. E o maior objectivo da Física neste momento é descobrir as regras segundo as quais estes foram viciados e usálas em nosso rório roveito.». A noção de caos desenvolveu-se significativamente a artir dos estudos do meteorologista Edward Lorenz, que trabalhava no MIT. Em 1960, utilizando um comutador equiado com tecnologia de onta, Lorenz criou uma simulação meteorológica utilizando um sistema simles de equações (tendo em conta que a máquina utilizada não ossuía oder comutacional nem memória ara um modelo matemático mais sofisticado). Introduzidas as condições iniciais e realizada a simulação, o cientista rocurou analisar um caso articular em maior detalhe. Deste modo, reintroduziu as condições iniciais. No entanto, diminuindo a exactidão dos valores em aenas algumas casas decimais, Lorenz ficou abismado com a diferença de resultados obtida. Eserando aenas equenas diferenças, o meteorologista verificou, erlexo, que o segundo modelo raidamente divergia do rimeiro. A artir daqui, formou-se a noção de que os sistemas muitíssimo comlexos (como or exemlo, a meteorologia) são extremamente sensíveis às condições iniciais. Erros equenos roagam-se raidamente! Lorenz chamou a este fenómeno O Efeito Borboleta: «o bater das asas de uma borboleta na China oderia causar uma temestade de neve em Chicago!». Só aquando da ublicação do artigo O Período Três imlica o Caos (Period Three Imlies Chaos, James Yorke e Tien-Yien Li) é que a alavra «caos» foi cunhada com o significado matemático que hoje lhe conhecemos.

4 Imagens Enquanto a matéria é comosta or unidades discretas (átomos que or sua vez são também constituídos or unidades discretas mais equenas), também as imagens são constituídas or unidades discretas ixels. Um ixel é um quadrado equeno, que reresenta um determinado valor de cor. Quando reunidos, os ixels que comõem uma imagem formam um mosaico (a rória imagem). A imagem ode ser reresentada or uma matriz m x n, em que m reresenta o número de linhas de ixels e n reresenta o número de colunas. Assim, cada entrada da matriz que contém um determinado valor numérico reresenta uma determinada cor. Se designarmos or A a imagem abaixo, A= [ ] reresenta a imagem acima. (Nota: as entradas da matriz têm, neste caso, valores arbitrários). Arnold s Cat Ma Um exemlo articular do caos é uma alicação designada Arnold s Cat Ma (em homenagem ao matemático russo Vladimir I. Arnold, que descobriu este fenómeno utilizando a imagem de um gato). É uma demonstração simles e elegante, e ilustra alguns dos rincíios fundamentais do caos nomeadamente, a ordem escondida or detrás de uma evolução aarentemente aleatória de um sistema. Neste rocesso, uma imagem sofre uma transformação que, à rimeira vista, torna aleatória a organização original de ixels.

5 Contudo, se sofrer transformações (aliás, iterações) suficientes, a imagem rimitiva reaarece (como que or magia ). Para descrever esta alicação, é necessário introduzir algumas noções sobre aritmética modular. Se x é um número real, então a notação x mod 1 designa o único número no intervalo [0, 1[ que difere de x or um número inteiro. Por exemlo: 2.3 mod 1 = mod 1 = mod 1 = mod 1 = 0 Se x é um número não negativo, então x mod é simlesmente a arte fraccionária de x. Se (x, y) for um ar ordenado de números reais, então a notação (x, y) mod 1 é equivalente a (x mod 1, y mod 1). Por exemlo: (2.3, 7.9) mod 1 = (0.3, 0.1) Observe-se que ara todo o número real x, o onto x mod 1 encontra-se no intervalo [0,1[ e que ara cada ar ordenado (x, y), o onto (x, y) mod 1 encontra-se no quadrado unitário (isto é, os quadrados cujos vértices são os ontos (0,0); (1,0); (0,1); (1,1)). No caso da alicação de Arnold, esta é uma transformação de R 2 ara R 2 definida or T: (x,y) (x+y, x+2y) mod 1 Ou, em notação matricial: T ([ x y ]) =[ ] [x y ] mod 1 Factorizando: T ([ x y ]) =[1 0 1 ] [ ] [x y ] mod 1 Esta última exressão exrime com clareza que a alicação de Arnold é, no fundo, uma comosição de um cisalhamento na direcção do eixo x (de factor 1) com um cisalhamento na direcção do eixo y. Como as alicações estão sujeitas ao factor mod 1, todos os ontos sofrem transformações no interior do quadrado unitário. Nota: É irrelevante se a alicação mod 1 é alicada antes ou deois do cisalhamento. 1ºPasso: Fazer (x, y) (x + y, y) 2ºPasso: Fazer (x, y) (x. x + y) 3ºPasso: Fazer (x, y) (x, y) mod 1 (ara que a imagem transformada ossa ter dimensão igual à imagem de artida, e ara que assim se ossam fazer novas iterações).

6 Para alicações de carácter comutacional, verifica-se que é bastante mais conveniente alicar a transformação mod 1 aós cada um dos assos, em vez de a alicar aenas no final da iteração. Ficam, ortanto, os dois assos seguintes: 1ºPasso: Fazer (x, y) (x + y, y) mod 1 2ºPasso: Fazer (x, y) (x. x + y) mod 1 Alicações reetidas As alicações caóticas (como é o caso da alicação de Arnold) surgem normalmente em modelos físicos em que uma determinada oeração é alicada reetidamente. Por exemlo, as cartas num baralho são misturadas quando são baralhadas sucessivamente! Assim, estamos interessados em analisar o efeito, em S, de alicações reetidas (isto é, iterações) de Arnold. Utilizando sucessivamente as transformações aresentadas, verificase que a imagem do gato retorna à sua forma original aós 25 iterações, e que, em algumas iterações intermédias, a fotografia é decomosta em bandas mais claras e mais escuras que aarentam ter uma orientação articular. Tentemos, então, exlicar estes fenómenos. Pontos eriódicos O rimeiro objectivo será exlicar or que motivo a figura retorna à sua configuração original aós 25 iterações. Para este efeito, será talvez útil ensar numa imagem no lano x y como uma atribuição de cores aos ontos do lano. No caso das imagens geradas em ecrãs de comutador ou noutros disositivos digitais, as limitações de hardware obrigam a que a fotografia seja dividida em unidades discretas

7 ixels (ver secções anteriores). Deste modo, a atribuição de cores a cada um dos ixels ara formar uma imagem designa-se or maa de ixels. Se estudarmos uma figura com 101 x 101 ixels, então cada um destes é definido através de um ar de coordenadas único, da forma (m/101, n/101), que identifica o canto inferior esquerdo de cada ixel. Vamos agora analisar um caso mais geral: uma fotografia com x ixels. Temos, assim, um maeamento erfeitamente definido: a imagem tem 2 ixels, uniformemente esaçados e situados a uma distância de 1/ uns dos outros, tanto na direcção do eixo x como na direcção do eixo y. As coordenadas de cada ixel são da forma (m/, n/), em que m e n são inteiros que variam entre 0 e -1. Na alicação de Arnold, a transformação assume a forma: T ([ m n 1 1 ]) =[ 1 2 ] [ m n ] mod 1 = [ m+n m+2n ] mod 1 O ar ordenado ((m+n)/, (m+2n)/) mod 1 é da forma (m /, n /), onde m e n variam entre 0 e -1. Esecificamente, m e n são o resto da divisão de m+n e de m+2n or, resectivamente. Consequentemente, cada onto da forma (m/, n/) é transformado num onto da mesma forma. Como a alicação de Arnold transforma cada ixel de S noutro ixel de S, e como existem aenas 2 ixels diferentes, então é forçoso que cada ixel tenha de retornar à sua osição original aós 2 iterações na alicação de Arnold (no máximo!). Como cada um dos ontos retorna à osição inicial aós a n-ésima alicação de Arnold (mas não antes disso), então afirma-se que esse onto tem eríodo n, e que o conjunto das suas n iterações distintas forma um n-ciclo. Existem alguns casos articulares desta alicação; or exemlo, os ontos que têm eríodo 1 (o onto (0,0) é o exemlo mais evidente) e que, or esse mesmo motivo, se designam ontos fixos. No caso da alicação de Arnold, é ossível rovar que o onto (0,0) é o único onto fixo. Período do maa de ixels Quando escolhemos dois ontos do maa, P1 e P2 (cujos eríodos são q1 e q2), interessanos saber aós quanto temo (aliás, aós quantas iterações) ambos os ontos retornam às resectivas osições iniciais. Vejamos então: Se P1 retorna à sua osição inicial aós q1 iterações (mas nunca antes disso) e P2 retorna à sua osição inicial aós q2 iterações (mas nunca antes disso), então ambos os ontos regressam às suas osições de origem em qualquer número de iterações que seja simultaneamente um múltilo de q1 e de q2. Em geral, esta noção assume um ael bastante imortante, e, no caso da alicação de Arnold, tem uma utilização concreta: aós quantas iterações se consegue alcançar novamente a imagem original?

8 Ora, ara um maa de ixels, designa-se normalmente or Π() o menor número inteiro que é divisível elo eríodo de todos os ontos do maa. Ainda que seja relativamente revisível que Π() aumente com o aumento de, verifica-se, surreendentemente, que existem inúmeras irregularidades neste comortamento. Por exemlo, uma imagem 101 x 101 tem um eríodo de 25, enquanto uma imagem de 124 x 124 tem um eríodo de 15. Não existe, assim, nenhuma função que ermita definir com clareza a relação entre estas duas grandezas; no entanto, existem algumas regras emíricas que modelam aroximadamente a evolução de e de Π(). 1. Π() = 3 se e só se =2 x 5 k, ara k=1,2, 2. Π() = 2 se e só se =5 k ou =6 x 5 k, ara k=1,2, 3. Π() 12/7 ara todos os outros valores de. O lano de mosaicos Vamos agora ensar na alicação de Arnold de uma maneira um ouco diferente. Como foi definido anteriormente, sabemos que esta alicação não é uma transformação linear devido à aritmética modular. Contudo, existe uma maneira alternativa de definir esta alicação, evitando este asecto. Consegue-se assim analisar a transformação utilizando todas as roriedades inerentes a uma transformação linear (o que facilita sobremaneira o estudo). Imaginemos que o quadrado unitário, S, onde se enquadra a imagem, é um mosaico, e que o lano x y se encontra coberto de mosaicos (isto é, muitas imagens todas juntas). Se alicarmos a transformação que caracteriza a alicação de Arnold a todo o lano, sem utilizar a aritmética modular, então a orção da imagem contida em S é idêntica à imagem que seria obtida se esta fosse utilizada. No fundo, o maa de ixels é idêntico em ambos os casos, mas no caso dos mosaicos a alicação de Arnold reresenta uma transformação linear! Imorta referir, contudo, que esta modificação acarreta algumas imlicações; ainda que não altere o maa de ixels, modifica o modo como se rocessa a eriodicidade dos ontos do maa. Sabíamos que, com a utilização da aritmética modular, cada onto retornava ao seu estado de origem aós n iterações. No caso do lano de mosaicos, cada onto de eriodicidade n é substituído or um onto da mesma cor aós n iterações. Proriedades da alicação de Arnold Valores e vectores rórios da matriz associada à transformação Como é ossível verificar a artir da determinação de valores e vectores rórios da matriz associada à transformação, em cada alicação, o rimeiro valor rório rovoca uma exansão na direcção do rimeiro vector rório de um factor de (rimeiro

9 valor rório), e o segundo valor rório rovoca uma exansão na direcção do segundo vector rório de um factor de 3 5 (segundo valor rório). 2 Por exemlo, um quadrado que esteja centrado na origem e cujos lados sejam colineares com os vectores rórios da matriz será deformado segundo estas duas direcções, originando um rectângulo que ossui exactamente a mesma área do quadrado original (tendo em conta que o determinante da matriz é igual a 1). Para exlicar as bandas que aarecem nas sucessivas iterações da alicação, vamos considerar que S (o quadrado onde se encontra a imagem do gato) faz arte do «lano de mosaicos» (ver secção anterior). Seja um onto de S cujo eríodo é n. Como estamos a analisar o lano de mosaicos, existe seguramente um onto q, com a mesma cor de, que em iterações sucessivas se move em direcção à osição originalmente ocuada or, ocuando finalmente essa osição na n-ésima iteração. Este onto é q=(a -1 ) n =A -n, orque A n q=a n( A -n )=. Deste modo, com as iterações sucessivas, os ontos de S vão-se afastando rogressivamente das suas osições iniciais, enquanto, ao mesmo temo, outros ontos do lano (com cores corresondentes), se aroximam dessas osições iniciais, comletando a sua «viagem» na iteração final do ciclo. Como se verifica a artir dos cálculos, são as «linhas de corrente» situadas, aroximadamente, nas direcções dos vectores rórios v1 e v2, que rovocam o aarecimento das bandas mais claras e mais escuras nas iterações sucessivas da alicação de Arnold. Pontos não-eriódicos Até agora temos considerado aenas o efeito da alicação de Arnold em ontos da forma (m/, n/), ara um número arbitrário (inteiro e ositivo). Através do raciocínio exosto até aqui, temos a garantia de que esses ontos são eriódicos. Mas ensemos agora num onto arbitrário, da forma (a,b), escolhido em S. Sabemos que esse onto será racional se e só se ambas as coordenadas forem racionais. Então e só nesse caso sabemos que cada onto racional é eriódico, orque reresenta um ixel desde que se faça uma escolha adequada de (isto é, que se assuma ara um valor adequado à dimensão da imagem). Definição: Todos os ontos racionais são eriódicos, e vice-versa. ( ): Um onto (a/b, c/d) ode semre ser escrito na forma ((ad)/(bd), (cb)/(bd)): basta fazer =b.d e está rovado. ( ): Para esta imlicação, um ouco mais trabalhosa, seria necessário mostrar que ara todas as soluções da equação [ x y ] =[ ] [x y ] mod 1, x e y são quocientes de números reais (e ortanto, racionais).

10 Portanto odemos concluir que, sendo os ontos irracionais não-eriódicos, iterações sucessivas destes mesmos ontos originam semre ontos distintos em S. É ossível testar estas iterações ara ontos irracionais utilizando mecanismos comutacionais. Um teste gerado a artir de comutador ara um onto irracional ( iterações) mostra que as reetições não arecem agruar-se em nenhuma região articular de S, esalhando-se cada vez mais e formando uma mancha mais densa a cada iteração. Assim, dizemos que um conjunto A de ontos de S é denso em S se um círculo centrado em qualquer onto de S abranger ontos de A, indeendentemente do seu raio. Sabe-se que o conjunto dos ontos racionais é denso em S e que as iterações da maioria dos ontos irracionais são densas em S. Definição de Caos Uma alicação T de S em si rório diz-se caótica se: 1) S contém um conjunto denso de ontos eriódicos da alicação T; 2) Existe um onto em S cujas iterações sob T são densas em S. Aqui temos a noção de um elemento de ordem e de um elemento de desordem, a artir da qual se tinha criado a noção de caos! Efectivamente, no caso da alicação de Arnold, sabemos que os ontos eriódicos se movem em ciclos regulares, mas que os ontos com iterações densas se movem de modo desorganizado e ineserado, escondendo a regularidade dos ontos racionais (eriódicos). É esta fusão que, em última análise, caracteriza as alicações caóticas. Bibliografia: htt:// (jogo interactivo ara criação de fractais) htt://math.youngzones.org/fractal%20webages/sierinski_fractals.html htts:// htt:// htt://ages.hysics.cornell.edu/~sethna/teaching/562_s03/hw/set02_dir/cat ma.df htts://ubithesis.ubi.t/bitstream/ /1875/1/relat%c3%b3rio%20de%2 0Est%C3%A1gio%20-%20Jo%C3%A3o%20Br%C3%A1s.df htt://demonstrations.wolfram.com/arnoldscatma/ Elementary Linear Algebra: Alications Version; Anton, H.; Rorres, C. 11 th edition, Wiley.