Criando Fractais através de softwares e materiais concretos SEMAT 3 a 6 de Novembro de 2015 Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues (UNESP/Bauru)

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1 Criando Fractais através de softwares e materiais concretos SEMAT 3 a 6 de Novembro de 2015 Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues (UNESP/Bauru) 1

2 A Conteúdo I. Introdução 3 II. Desenvolvimento Histórico 4 III. Fractais Clássicos 4 IV. Softwares para construção de Fractais 17 V. Desenvolvendo atividades concretas para a construção de Fractais 54 VI. Bibliografia 58 2

3 Resumo: Esta apostila trata de uma introdução à Geometria Fractal, a qual oferece métodos para analisar e descrever objetos e formas naturais superando as limitações da Geometria Euclidiana, sendo, por exemplo, a criação de objetos com dimensão fracionária. Esses objetos foram denominados Fractais por Benöit Mandelbrot, iniciador dos estudos dessa nova Geometria. I. Introdução: A natureza em geral é constituída por diversas formas nas quais predominam a irregularidade e o caos. Tentar simplificá-las usando figuras da geometria clássica, como triângulos, círculos, esferas seria inadequado. Em contrapartida, encontramos uma boa aproximação para estas formas na geometria fractal, cujas estruturas fornecem certa ordem ao irregular. Por tal motivo ela está intimamente ligada à ciência do Caos podendo até ser considerada a linguagem do caos. Este minicurso tem como objetivo fazer um estudo introdutório da Geometria Fractal. Nesta nova geometria, diferente da Euclidiana aprendida no curso de Matemática, é possível encontrar objetos com dimensão fracionária. Benöit Mandelbrot foi quem primeiramente utilizou a palavra fractal baseando-se no adjetivo fractus que vem do verbo frangere, em latim, cujo significado é quebrar, fragmentar. As principais características de um fractal são: a auto semelhança e a complexidade infinita, pois os fractais são obtidos a partir de processos recursivos, isto é, a aplicação de uma mesma regra de construção infinitamente dentro de si mesmos. Assim, eles tornam-se figuras com grande beleza e complexidade, as quais cada parte é semelhante ao todo. O auxílio da informática também foi de extrema importância para o desenvolvimento da geometria fractal. Existem aplicações dessa geometria em diversas áreas: na biologia (lei de crescimento), ciência da computação (Meio-tom digital) e na arte, por exemplo. Neste minicurso descreveremos alguns dos fractais considerados clássicos, tais como Curva de Koch, Peano e Hilbert, Conjunto de Cantor, Triângulo e Tapete de Sierpinski e Esponja de Menger, Fractal Dürer, Conjunto de Mandelbrot e Conjunto de Julia. Tal estudo foi feito quanto à contagem, 3

4 perímetro, área e volume, além de verificar as características principais e desenvolvimento histórico. Também pretendemos utilizar três softwares Nfract, Cabri-Geometry e Geometricks para a construção de fractais analisando seus pontos positivos e negativos. II. Desenvolvimento Histórico da Geometria Fractal: Muitos matemáticos, ao longo da história, como George Cantor, Giusepe Peano, Helge Von Koch e Waclaw Sierpinski estudaram algumas figuras que não se enquadravam nas definições da geometria euclidiana. Tais figuras ficaram conhecidas como monstros matemáticos. Tempos depois, com os estudos de Benoit Mandelbrot, considerado o pai da Geometria Fractal, esses monstros matemáticos passaram a ser chamados de Fractais Clássicos. Mandelbrot nasceu em 1924 na cidade de Varsóvia (Polônia), de uma família judia da Lituânia. Em 1936, mudou-se para Paris. Após a Segunda Guerra Mundial, ingressou na Escola Normal passando, pouco tempo depois, à Escola Politécnica. Seu tio Szolem Mandelbrot juntamente com outros jovens matemáticos participavam do grupo Bourbaki que na época buscava reconstruir a matemática francesa deixando-a mais formal e rigorosa, ignorando o aspecto geométrico. Porém, Benoit Mandelbrot não defendia essas ideias. Em 1948 foi estudar Ciência Aeroespacial nos Estados Unidos e após isto conseguiu um cargo na IBM Centro de Pesquisas Thomas Watson, trabalhando com problemas de economia. Lá ele soube pelos engenheiros que havia um ruído nas linhas telefônicas que interferia nos sinais e eles não conseguiam eliminar devido à irregularidade dos ruídos. Mandelbrot resolveu esse problema utilizando um trabalho de Georg Cantor chamado Poeira de Cantor. Depois disso, continuou procurando problemas de cientistas de qualquer área para aplicar suas ideias. A geometria fractal de Mandelbrot reflete a natureza cheia de irregularidades e fragmentação. Uma de suas indagações foi Que extensão tem o litoral da Grã-Bretanha? cuja possível resposta varia de acordo com a escala de medição. Teve muitos de seus trabalhos publicados. Sua obra mais famosa é The Fractal Geometry of Nature, New York, Freeman, Faleceu em 14 de outubro de 2010, aos 85 anos. O Fractal de Mandelbrot é o mais famoso fractal gerado através de uma função interativa. 4

5 Figura 1: Fractal de Mandelbrot. III. Fractais Clássicos: Vamos apresentar alguns dos Fractais Clássicos. Nesses fractais iremos calcular, após o processo iterativo, o perímetro, a área e até o volume em alguns casos. Dessa forma podemos visualizar alguns resultados interessantes. III.1 Triângulo e Tapete de Sierpinski Iniciamos o processo a partir de um triângulo equilátero de lado 1 cm. Desse triângulo retira-se outro cujos vértices são os pontos médios do inicial obtendo o nível 1 do fractal. Repetindo o mesmo processo para os três triângulos restantes obteremos o nível 2 do fractal e assim por diante até o nível n. O limite desse processo gera o Triângulo de Sierpinski. Analisaremos seu perímetro e sua área. III.1.1. Perímetro: Figura 2: Triângulo de Sierpinski. O triângulo inicial possui três lados de medida 1 cm, portanto, seu perímetro é 3 cm. No nível 1, há três triângulos cujos lados medem 1/2 cm, isto é, metade do anterior. Assim, o perímetro será 3/2 cm. Já no nível 2 serão nove triângulos com lados medindo 1/4 cm, então o perímetro será 3. 9/4 cm. Concluímos que no nível n o perímetro será 3. (3/2) n cm. A tabela abaixo ilustra o cálculo do perímetro deste fractal. Nível Nº de Medida do lado Perímetro (cm) 5

6 Triângulos (cm) ½ 3. (3/2) = 9 (½) 2 = ¼ 3. (3/2) N 3 n (½) n 3. (3/2) n Percebemos que a cada nível o perímetro será 3/2 do anterior. Como 3/2 > 1, concluímos que no nível n, quando n tende ao infinito, o perímetro será infinito. De fato, III.1.2. Área: lim n n Sendo o triângulo inicial equilátero com lados de 1 cm, sua área A = 3/4 cm 2. No nível 1 é retirado do inicial, um triângulo de área 1/4 de A. Então, restam 3 triângulos congruentes totalizando uma área de 3/4 de A. No nível 2 serão 9 triângulos de área 1/16 e assim por diante. A tabela abaixo ilustra o cálculo da área do Triângulo de Sierpinski. Nível Nº de Área de cada triângulo Área Total Triângulos (cm 2 ) (cm 2 ) 0 1 A A 1 3 A/4 (3/4). A A/4 2 (3/4) 2. A N 3 n A/4 n (3/4) n. A Concluímos que a área fica 3/4 menor a cada nível. Assim, como 0 < 3/4 < 1 no limite desse processo a área será zero. De fato, lim n n 3. A 0. 4 Com o mesmo princípio usado no triângulo podemos partir de um quadrado de lado 1 cm, dividi-lo em 9 quadrados congruentes e retirar o do meio. Após isso, repetimos o mesmo procedimento nos 8 quadrados restantes. Continuando com esse processo obteremos o fractal conhecido como Tapete de Sierpinski. 6

7 III.2 Curva de Koch Figura 3: Tapete de Sierpinski. Iniciamos a construção desse fractal com um segmento de reta unitário. Dividimos o segmento em três partes, e no terço médio substituímos por um triângulo equilátero sem sua base. Na iteração seguinte repetimos o segundo passo para cada um dos quatro segmentos restantes. E assim repetimos infinitamente. Figura 4: Curva de Koch. Da mesma forma que a curva de Koch, pode-se construir a ilha de Koch ou Floco de Neve de Koch, porém, ao invés de iniciar o processo com apenas um segmento, inicia-se com três segmentos congruentes formando um triângulo equilátero de lado unitário. 7

8 Figura 5: Ilha de Koch. III.2.1. Perímetro: Consideramos o triângulo inicial formado por três segmentos de medida 1 cm, seu perímetro será 3 cm. No nível 1 do fractal, cada lado do triângulo divide-se em quatro segmentos de medida 1/3 cm. Assim, o perímetro será /3 cm. No nível 2, cada um dos quatro segmentos de cada lado formará mais quatro segmentos de medida 1/9 resultando no perímetro de 3. (4/3) 2. Nível Nº de segmentos Comprimentos de casa segmento Perímetro = 12 1/3 3. 4/3 = = 48 (1/3) 2 = 1/9 3. (4/3) n 3. 4 n (1/3) n 3. (4/3) n Observando a tabela acima pode-se verificar que o comprimento da figura a cada nível é 4/3 do anterior. Logo, no nível n o comprimento será 3. (4/3) n. Como 4/3 > 1, quando n tende ao infinito o perímetro será infinito. III.2.2. Área: lim n n. O triangulo inicial é equilátero, portanto sua área é A = 3/4 cm 2. No nível 1 podemos perceber que são acrescentados à figura inicial três triângulos de área = A/9. No nível 2 somam-se quatro triângulos cuja área é /9 em cada um dos três lados da figura. No nível 3 mais 4 2 triângulos de área (1/9)². nos três lados e assim por diante. Dessa maneira, a área total da figura será a soma (Sn) de uma Progressão Geométrica (P.G.) infinita de razão 4/9 (0 < 4/9 < 1) adicionada à área inicial A. Assim, temos: Sn = (4/9). + 3(4/9) (4/9) n. Percebemos que o fator 3. é comum em todas as parcelas da soma. Então vamos colocar 3. em evidência. Sn = 3.. [1+ 4/9 + (4/9) (4/9) n ] Agora, aplicaremos a fórmula da soma de uma P.G. infinita: Sn = a 1 /(1- q), onde Sn é a soma, a 1 é o primeiro termo e q é a razão da P.G. 8

9 Sn = 3.. [ 1/(1 4/9) ] Sn = 3.. [ 1/(5/9) ] Sn = 3.. [9/5] Sn = 27/5. Com isso, a área total (A T ) será: A T = A + 27/5. Como = A/9 e A = 3/4 cm 2, temos: A T = A + 27/5. A/9 A T = A + 3/5. A A T = 8/5. A A T = 8/5. 3/4 cm 2 = 2 3/5 cm 2 0,7 cm 2 Logo, a área da ilha de Koch é aproximadamente 0,7 cm 2. Enquanto seu perímetro é infinito, sua área é finita e menor que 1 cm 2. III.3 Esponja de Menger Para a construção deste fractal consideramos um cubo de aresta 1 cm, dividimos ele em 27 cubos (por planos secantes e ortogonais às faces) que possuirão arestas de 1/3 cm. Agora retiramos o cubo central e os cubos centrais de cada face. Repetindo esse processo indefinidamente em cada um dos cubos restantes obtemos a Esponja de Menger. Este será o único fractal tridimensional que descreveremos neste relatório. Neste caso, foi feito o estudo de sua área, como nos outros e o cálculo do seu volume. Figura 6: Esponja de Menger. 9

10 III.3.1 Área: Seja F a área da face do cubo inicial, assim a área total (A) deste é 6F. No nível 1 do fractal são retirados de cada face um quadrado de área F/9, sendo no total retirados 6F/9. Porém, na parte interna da figura serão acrescentados a área de 4 quadrados de área F/9 em cada uma das 6 faces. Então, a área restante (A 1 ) será: A 1 = 6.F 6.F/ F/9 = 6.F + F.(24/9 6/9) = 6.F + 18.F/9 = 6.F + 2.F = 8.F Logo, a área aumentou de 6F pra 8F, ou seja, teve um aumento de 8/6 = 4/3 em relação ao nível anterior. Dessa forma, em cada nível a área será 4/3 da área anterior. Como 4/3 > 1, quando o número de níveis para obter-se o fractal tender ao infinito a área será infinita. lim n n 4. A. 3 III.3.2 Volume: Primeiro consideramos um cubo de aresta 1 cm, sendo assim seu volume é 1 cm 3. No nível 1 divide-se ele em 27 cubos de volume 1/27 do total. Desses são retirados 7, restando 20 cubos na figura. Assim, o volume restante será 20/27 cm 3. No nível 2, em cada um dos 20 cubos de volume 1/27 cm 3 são retirados 7 cubos de volume 1/27 do anterior, ou seja, (1/27) 2 cm 3. Assim, restarão 20 cubos de volume (1/27) 2 em cada um dos 20 iniciais. Logo, o volume será (20/27) 2. Dessa forma, no nível n o volume do fractal será (20/27) n. Nível Nº de cubos Volume de cada cubo Volume total /27 20/ (1/27) 2 (20/27) n 20 n (1/27) n (20/27) n Observa-se na tabela acima que o volume em cada nível é 20/27 do anterior. Como 0 < 20/27 < 1, no limite desse processo o volume será nulo. Então, o volume da Esponja de Menger é zero enquanto que sua área é infinita, isto é, 10

11 n 20 lim n 27 III. 4 Conjunto de Cantor 0. George Cantor ( ) foi um importante matemático que focou seus estudos na fundamentação da matemática e o primeiro a estudar a Teoria dos Conjuntos no século XIX. Em 1883, publicou um trabalho sobre um determinado conjunto conhecido hoje como Conjunto de Cantor ou Poeira de Cantor. Existem dois métodos para se obter esse fractal, o geométrico e o numérico. Para a construção deste fractal pelo método geométrico iniciamos com um segmento de reta de 1 cm. Dividimos esse segmento em três partes iguais e retiramos a do meio, restando dois segmentos de medida 1/3 cm cada. Dividindo novamente cada um dos segmentos restantes ficaremos com 4 segmentos de medida 1/9. Repetimos este processo em cada segmento restante indefinidamente para obter o Conjunto de Cantor. Figura 7: Conjunto de Cantor. No método numérico, supomos que o segmento de reta inicial seja o intervalo fechado C = [0, 1] dentro do conjunto dos números reais. Quando o dividimos em três partes iguais e retiramos o terço médio ficaremos com o intervalo C 1 = [0, 1/3] U [2/3, 1]. Aplicando o mesmo processo nos intervalos [0, 1/3] e [2/3, 1] obteremos o intervalo C 2 = [0, 1/9] U [2/9, 1/3] U [2/3, 7/9] U [8/9, 1]. Assim, no nível n obteremos o intervalo C n que será a união disjunta de 2 n intervalos fechados de comprimento 1/3 n cada. O Conjunto de Cantor é o conjunto de todos os pontos que permanecem após as infinitas etapas. Nível Intervalo Número de segmentos Comprimento de cada segmento Comprimento total 0 C = [0, 1] C 1 = [0, 1/3] U [2/3, 1] 2 1/3 1/3 2 C 2 = [0, 1/9] U [2/9, 1/3] U [2/3, 7/9] U 4 1/9 4/9 11

12 [8/9, 1] n C n 2 n 1/3 n (2/3) n Como 0 < 2/3 < 1, no limite deste processo, quando n tender ao infinito, temos: n 2 lim n 3 0. Concluímos que o comprimento do Conjunto de Cantor é zero. III. 5 Curva de Peano Giusepe Peano ( ), importante matemático italiano, em 1890 publica um trabalho aprofundando noções de continuidade e dimensão. Nesse trabalho também publica sua famosa curva, também conhecida como monstro de Peano, como uma proposta de curva para cobrir totalmente uma superfície plana. Para a construção dessa curva inicia-se com um segmento de reta. Em seguida, substitui-se esse segmento por uma curva com nove segmentos de medida 1/3 do inicial como na figura abaixo. Então, cada um dos novos segmentos deve ser substituído pela curva da mesma forma e assim sucessivamente. Figura 8: Curva de Peano. O comprimento dessa curva pode ser calculado da seguinte forma: suponhamos que o segmento inicial tenha medida 1 cm. No próximo nível há 9 segmentos de medida 1/3 cm resultando em 9/3 = 3 cm de comprimento. No nível seguinte cada um dos 9 segmentos formarão mais 9 resultando em 9 2 = 12

13 81 segmentos de medida 1/3 do anterior, ou seja, (1/3) 2 = 1/9 cm, portanto, o comprimento será de 81 x 1/9 = 9 = 3 2. Observamos que a cada nível o comprimento é multiplicado por 3, tendendo assim ao infinito. Assim, no nível n o comprimento será 3 n cm. No limite deste processo, quando n tender ao infinito, temos: lim n 3 n. Então, podemos afirmar que o comprimento da Curva de Peano é infinito. III. 6 Curva de Hilbert David Hilbert ( ), em 1891 publicou sua curva de cobertura da superfície de um quadrado. A Curva de Hilbert pode ser construída da seguinte forma: inicia-se com um quadrado de lado unitário. Divide-se este quadrado em quatro quadrados semelhantes e ligam-se os pontos centrais de cada um deles com três segmentos consecutivos. Após isto, substitui-se cada quadrado por mais quatro com a mesma construção da curva inicial e os conectamos com um segmento na mesma ordem dos anteriores. Assim, repete-se o processo indefinidamente. A curva é formada pelos segmentos e não pelos quadrados. Figura 9: Curva de Hilbert. Inicialmente temos um quadrado de lado 1 cm. No nível 1 formamos 3 = 4 1 segmentos de medida 1/2 cm. No nível 2 teremos 15 = segmentos de medida 1/4 cm. No nível 3 serão 63 = segmentos de medida 1/8 cm. Concluímos que no nível n teremos 4 n 1 segmentos de medida 1/2 n cm cada. Nível Número de Comprimento de Comprimento segmentos cada segmento total = 3 1/2 1 = 1/2 3/ = /2 = 1/4 2 15/ = 63 1/2 3 = 1/8 63/8 13

14 n 4 n 1 1/2 n (4 n 1)/( 1/2 n ) Observando a tabela acima percebemos que o comprimento da curva vai aumentando a cada nível. No limite deste processo, quando n tender ao infinito, temos: lim n lim 4 n n 1 lim 4 n 1 lim n n n n n 1/ 2 1/ 2 1/ n n 3n n n 3 n 8 2 lim 2 2 lim lim 2.7. n Assim, como a Curva de Peano, a Curva de Hilbert também possui comprimento infinito. n 4 1/ n 1 1/ n n III.7 Fractal de Dürer Para iniciar a construção deste fractal, consideremos um hexágono regular ABCDEF de lado l = 1 cm. No lado AB, construímos dois hexágonos de lado l/3 em cada um dos extremos A e B de tal forma que um de seus ângulos coincida com o hexágono regular inicial e tenham um vértice em comum. Repetimos essa ação em cada lado do hexágono inicial. No total, construímos mais 6 hexágonos regulares menores, formando um ao centro um hexágono regular estrelado. A seguir removemos os triângulos intermediários e o hexágono regular estrelado central para obtermos o nível 1 da construção do fractal. Para obtermos o Fractal Hexagonal tipo Dürer, repetimos esse processo em cada um dos novos hexágonos regulares, e assim iterativamente. 14

15 III.7.1. Perímetro Figura 9: Fractal Hexagonal tipo Dürer. Inicialmente consideramos um hexágono regular de lado l = 1 cm, então o perímetro deste hexágono será 6.l. No nível 1 temos 6 hexágonos regulares de lado l/3, assim o perímetro será 6 2.l/3 = 6.2.l = 12.l. No nível 2 temos 6 2 hexágonos regulares de lado l/9, totalizando um perímetro de 6 3. l/9 = 24.l. Nível Número de Perímetro de hexágonos cada hexágono Perímetro Total l 6.l l/3 6 2.l/3 = 12.l l/ l/9 = 24.l n 6 n 6. l/3 n 6 n+1.l/3 n Observamos na tabela acima que o perímetro no nível n é 6 n+1.l/3 n. Simplificando esta expressão temos: 6 n+1.l/3 n = 6 n.6.l/3 n = 3 n.2 n.6. l/3 n = 2 n.6. l (1) No limite desse processo, quando n tender ao infinito tem que o perímetro do Fractal Hexagonal tipo Dürer é infinito. De fato, como 2 > 1, temos: aplicado o limite já na expressão simplificada em (1), temos: lim n n 2.6. l. 15

16 III.7.2. Área Para o cálculo da área, inicialmente temos um hexágono regular de lado l = 1 cm, portanto sua área é A = 6. (L 2 3/4). No nível 1 a área será dada pela soma das áreas de 6 novos hexágonos semelhantes ao inicial, porém, de lado L/3. No nível 2 a área será dada pela soma das áreas de 36 novos hexágonos, semelhantes ao inicial, porém, de lado L/9. Número de Área de cada Nível Área Total hexágonos hexágono 0 1 A = 6. (L 2 3/4) 6. (L 2 3/4) [(L/3) 2. 3/4] 6 2. [(L/3) 2. 3/4] [(L/9) 2. 3/4] 6 3. [(L/9) 2. 3/4] n 6 n 6. [(L/3 n ) 2. 3/4] 6 n+1. [(L/3 n ) 2. 3/4] Observando a tabela acima podemos verificar que no nível n da construção deste fractal a área será a soma das áreas de 6 n novos hexágonos, sendo a área de cada um desses: 6. [(L/3 n ) 2. 3/4] = 6. [L 2 /(3 2 ) n. 3/4]. (2) Como L representa a medida do lado do hexágono, L é necessariamente um número positivo, então 0 < L/3 < 1. Quando n tende a infinito, a área de cada um dos novos hexágonos tende a zero. De fato, usando a expressão já simplificada na equação (2), temos: III.8 Conclusões: lim 6. n l 2 2 n /(3 ). 3 / 4 0. Em cada um dos monstros matemáticos citados acima podemos perceber uma das características de um fractal: a auto semelhança ou auto similaridade, pois cada pequena parte do fractal se assemelha ao todo, mas está em uma escala diferente. Além disso, todos eles são gerados por processos recursivos, isto é, a repetição de um mesmo processo indefinidamente. Nesta apostila conhecemos um pouco dos fractais clássicos, bem como algumas de suas características (auto semelhança e complexidade infinita). Além disso, com o cálculo do perímetro, área e volume verificamos que alguns deles possuem um perímetro infinito, enquanto que sua área é nula. Em contrapartida, na Geometria Euclidiana encontramos somente figuras com perímetro, área e volume finitos e não nulos. Portanto, os fractais não estão presentes na Geometria Euclidiana, e sim em uma nova geometria, a Geometria Fractal. 16

17 IV-Softwares para construção de Fractais IV-1.1 Cabri-Geometry O software Cabri-Geometry II foi desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Frank Bellemain da Université Joseph Fourrier de Genobre, França. O nome Cabri vem das palavras da linguagem francesa Cahier de brouillon interactif, que significa Caderno de rascunho interativo. O programa consiste em um sistema gráfico para realizar construções da geometria clássica com régua e compasso virtuais, possibilitando investigar suas características. O Cabri possui um ambiente totalmente interativo que possibilita a manipulação dos objetos construídos com ferramentas na tela do computador e não com textos de programação. Além disso, no software, é possível realizar macroconstruções, criando novas figuras a partir de outras já construídas o que facilita a criação de alguns níveis de fractais. Entretanto, não tem uma ferramenta específica para a criação de fractais. Na figura acima, podemos visualizar a interface do programa com as 11 caixas de ferramentas que ele oferece. Essas ferramentas são respectivamente: 1. Ponteiro: Ferramenta para movimentar os objetos e a tela com o cursor. 17

18 2. Pontos: Ferramenta para marcar pontos quaisquer ou pontos de interseção na figura. 3. Retas: Ferramenta para a criação de segmentos, retas, semirretas, polígonos e vetores. 4. Curvas: Ferramenta para criar circunferências, arcos e cônicas. 5. Construir: Ferramenta que possibilita a construção de ratas paralelas, perpendiculares, bissetriz, ponto médio e outros. 6. Transformar: Ferramenta para transformar as figuras, utilizando simetrias, translação, rotação e outras. 7. Macro: Ferramenta para a criação de novas ferramentas baseadas em objetos iniciais e finais marcados nas construções feitas. 8. Verificar propriedades: Ferramenta para verificar se pontos são colineares, se retas são paralelas e outras propriedades geométricas. 9. Medir: Ferramenta que mostra a medida de comprimento, área, ângulo e outras das figuras geométricas construídas. 10. Exibir: Ferramenta para colocar textos, animações, entre outras. 11. Desenhar: Ferramenta que permite mostrar ou esconder objetos, colorir, entre outras opções. IV Geometricks O software Geometricks foi desenvolvido pelo dinamarquês Viggo Sadolin e é representado no Brasil pelo Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba da UNESP/Rio Claro. Este programa vem incluso no livro Geometricks do próprio autor do software. Como o Cabri-Geometry, o Geometricks possui um ambiente interativo para a construção de figuras da geometria plana na tela do computador. Com ele é possível criar pontos, retas, calcular áreas de figuras geometrias e muitas outras possibilidades. A interface do programa também é semelhante a do Cabri como podemos visualizar na figura abaixo. 18

19 Uma de suas principais diferenças em relação ao Cabri-Geometry é que ele não tem uma ferramenta para criar novas ferramentas a partir de objetos iniciais e finais de construções anteriores. Porém, o programa possui uma ferramenta específica para a criação de fractais com a interação de formas. A partir de um conjunto de ternas, estabelecidas pelo usuário, o programa é capaz de gerar um fractal e também pode mostrar os níveis de 1 a 10 do fractal separadamente. IV 1.3 NFract O software Nfract foi produzido pelo professor Francesco A. Perrotti da FATEC, Taquaritinga e acompanha o livro "Descobrindo a Geometria Fractal escrito por Ruy Madsen Barbosa em O programa gera fractais a partir de um polinômio do 7º grau com variável complexa: Az 7 + Bz 6 + Cz 5 + Dz 4 + Ez 3 + Fz 2 + Gz + H. Os coeficientes A, B, C, D, E, F, G e H podem ser escolhidos pelo usuário, quando esses variam de -1 a 1 o fractal é gerado mais rapidamente. Na figura abaixo podemos visualizar a interface deste software. Na janela da esquerda são digitados os coeficientes do polinômio e na janela da direita é mostrada a figura do fractal clicando em fx Calcular. 19

20 Construção do Conjunto de Cantor no Cabri II: passos abaixo: Para construir alguns níveis do Conjunto de Cantor utilizando o software Cabri II podemos seguir os 1) Criar um segmento qualquer. 2) Construir uma semirreta com origem em um dos extremos do segmento formando um ângulo menor que 90º com o segmento. 3) Construir uma circunferência cujo centro é a origem da semirreta e raio qualquer. Em seguida construir mais duas circunferências de mesmo raio da anterior e com centros na intersecção da circunferência anterior com a semirreta. 20

21 4) Construir uma reta passando pelo ponto de intersecção da última circunferência e pelo outro extremo do segmento. 5) Construir duas retas paralelas à reta anterior e passando pelo centro das suas últimas circunferências construídas. 6) Marcar os pontos de intersecção dessas retas com o segmento inicial. 7) Utilizando a ferramenta Esconder/Mostrar, selecionar todos as figuras menos o segmento inicial e os quatro pontos marcados nesse segmento. 8) Selecionar a ferramenta Objetos iniciais e em seguida selecionar o segmento inicial. Lembrando que este passo é muito importante para o Software fazer a construção de outros níveis do fractal corretamente. 21

22 9) Esconder o segmento inicial selecionando esse segmento com a ferramenta Esconder/Mostrar. 10) Criar um segmento unindo um dos extremos do segmento inicial com o ponto mais próximo marcado na figura. Em seguida criar outro segmento da mesma forma com o outro extremo do segmento inicial. 11)Selecionar a ferramenta Objetos finais e em seguida selecionar esses dois segmentos. 12)Utilizar a ferramenta Definir macro..., digitar, por exemplo, Conjunto de Cantor para o nome da construção. 13)Com a ferramenta Conjunto de Cantor que foi criada selecionar cada um dos segmentos na figura para criar o nível 2 do fractal. 14)Para criar os próximos níveis basta clicar em cada um dos novos segmentos formados com a mesma ferramenta. 22

23 IV- 2.1 Construção da Curva de Koch no Cabri II: Para construir alguns níveis da Curva de Koch utilizando o software Cabri II podemos seguir os passos abaixo: 1) Criar um segmento qualquer. 2) Construir uma semirreta com origem em um dos extremos do segmento formando um ângulo menor que 90º com o segmento. 3) Construir uma circunferência cujo centro é a origem da semirreta e raio qualquer. Em seguida construir mais duas circunferências de mesmo raio da anterior e com centros na intersecção da circunferência anterior com a semirreta. 23

24 4) Construir uma reta passando pelo ponto de intersecção da última circunferência e pelo outro extremo do segmento. 5) Construir duas retas paralelas à reta anterior e passando pelo centro das duas últimas circunferências construídas. 6) Marcar os pontos de intersecção dessas retas com o segmento inicial. 7) Utilizando a ferramenta Esconder/Mostrar, selecionar a semirreta, as três retas, as três circunferências e os pontos de intersecção destas com a semirreta. Assim, ficará aparecendo apenas o segmento de reta inicial e com dois pontos marcados nele que o dividem em três partes iguais. 24

25 8) Selecionar a ferramenta Objetos iniciais (no sétimo ícone do software) e em seguida selecionar o segmento inicial. Este passo é muito importante, pois os objetos iniciais precisam ser bem definidos para que o Software possa construir o fractal da maneira correta. 9) Construir uma circunferência clicando em um dos pontos que dividem o segmento em três partes e no extremo do segmento mais próximo deste ponto. Em seguida construir outra circunferência da mesma forma, mas a partir do outro ponto que divide o segmento em três partes. 25

26 10) Marcar uma das intersecções das duas circunferências. Depois, com a ferramenta Esconder/Mostrar selecionar essas duas circunferências e o segmento inicial. 11) Construir quatro segmentos ligando os quatro pontos que restaram na figura. 12)Com a ferramenta Esconder/Mostrar clicar nos quatro pontos extremos dos segmentos da figura. 13) Selecionar a ferramenta Objetos finais (no sétimo ícone do software) e em seguida selecionar os quatro segmentos. 14) Selecionar a ferramenta Definir macro... (também no sétimo ícone do software), em seguida escrever Curva de Koch para o nome da construção e clicar em OK. Assim, será criada uma ferramenta Curva de Koch abaixo da ferramenta Definir macro

27 15) Selecionar a ferramenta Curva de Koch e clicar em cada um dos quatro segmentos na figura para criar o nível 2 do fractal. 16)Para criar os seguintes níveis, basta clicar em cada um dos novos segmentos formados utilizando a ferramenta Curva de Koch criada anteriormente. 27

28 IV Construção da Curva de Peano no Cabri II: Para construir alguns níveis da Curva de Peano utilizando o software Cabri-Geometry podemos seguir os passos abaixo: 1) Crie um segmento qualquer. 2) Construa uma semirreta com origem em um dos extremos do segmento formando um ângulo menor que 90º com o segmento. 3) Com a ferramenta Circunferência selecione a origem da semirreta e outro ponto qualquer da semirreta. 28

29 4) Construa mais duas circunferências de mesmo raio da anterior e com centros na intersecção da circunferência anterior com a semirreta. Para isso, com a ferramenta circunferência, basta selecionar o ponto de intersecção da última circunferência construída com a semirreta e, em seguida, selecionar o centro da mesma circunferência. 5) Em cada circunferência marque os pontos de intersecção com a semirreta. 6) Construa um segmento passando pelo ponto de intersecção da última circunferência com a semirreta e pelo outro extremo do segmento. 7) Construa duas retas paralelas a esse segmento passando pelos centros das duas últimas circunferências construídas. 29

30 8) Marque os pontos de intersecção dessas retas com o segmento inicial. 9) Utilizando a ferramenta Esconder/Mostrar, selecione a semirreta, as três circunferências e os pontos de intersecção destas com a semirreta, o último segmento construído e as duas retas paralelas a este. Assim, ficará aparecendo apenas o segmento de reta inicial e com dois pontos que o dividem em três partes iguais. 10)Selecione a ferramenta Objetos iniciais e em seguida selecione o segmento inicial. Este passo é muito importante, pois os objetos iniciais precisam ser bem definidos para que o Software possa construir o fractal da maneira correta. 11) Com a ferramenta Reta perpendicular selecione o segmento inicial e um dos dois pontos marcados entre os extremos do segmento para construir uma reta perpendicular ao segmento passando por este ponto. Em seguida, faça o mesmo para o outro ponto entre os extremos do segmento. 30

31 12) Com a ferramenta Circunferência selecione um dos pontos que marcados entre os extremos do segmento e, em seguida, selecione o outro para construir uma circunferência com centro neste ponto e raio um terço do comprimento do segmento inicial. Repita o mesmo processo para o outro ponto marcado entre os extremos do segmento. 13) Marque os pontos de intersecção destas circunferências com as retas perpendiculares ao segmento inicial. 14) Utilizando a ferramenta Esconder/Mostrar selecione o segmento inicial, as retas perpendiculares a ela e as duas circunferências. Assim, ficarão aparecendo apenas os oito pontos na figura. 31

32 15) Construa nove segmentos ligando cada um desses oito pontos. 16) Com a ferramenta Esconder/Mostrar selecione os oito pontos que são os extremos de cada segmento construído. 17) Com a ferramenta Objetos finais selecione cada um dos nove segmentos. 18) Selecione a ferramenta Definir macro e escreva Curva de Peano para o nome da construção. Neste caso, o nome pode ser qualquer outro, mas utilizaremos este para melhor visualização. 32

33 19) Utilizando a ferramenta Curva de Peano, que acabamos de criar, selecione cada um dos nove segmentos da figura para obter o nível 2 deste fractal. 20) Para construir os próximos níveis deste fractal basta selecionar os novos segmentos criados utilizando a mesma ferramenta Curva de Peano. 33

34 IV- 2.3 Construção do Triângulo de Sierpinski no Cabri II: Para construir alguns níveis do Triângulo de Sierpinski utilizando o software Cabri-Geometry podemos seguir os passos abaixo: 1) Criar um segmento qualquer. 2) Construir uma circunferência com centro em um dos extremos do segmento e raio igual à medida do segmento. Criar outra circunferência de mesmo raio, mas com centro no outro extremo do segmento. 3) Marcar um dos pontos de intersecção das duas circunferências anteriores. Em seguida, construir mais dois segmentos unindo cada um dos extremos do segmento inicial com esse ponto de intersecção. 4) Esconder as duas circunferências com a ferramenta Esconder/Mostrar. 34

35 5) Com a ferramenta Ponto médio selecionar cada um dos três segmentos para marcar o ponto médio de cada um deles. 6) Com a ferramenta Esconder/Mostrar selecionar os três segmentos. 7) Com a ferramenta Polígono criar um triângulo selecionando os três pontos que eram os extremos dos segmentos iniciais. 35

36 8) Utilizando a ferramenta Objetos iniciais selecionar esse triângulo. 9) Com a ferramenta Esconder/Mostrar selecionar esse triângulo. 10) Novamente com a ferramenta Polígono construir mais três triângulos menores unindo casa um dos vértices do triângulo maior com os dois pontos médios mais próximos a esse vértice. 11)Utilizando a ferramenta Preencher, pintar cada um dos triângulos três triângulos menores de qualquer cor. 12) Com a ferramenta Objetos finais selecionar cada um dos três triângulos menores. 36

37 13)Selecionar a ferramenta Definir macro.... Digitar Triângulo de Sierpinski para o nome da construção (o nome pode ser qualquer outro, como exemplo utilizaremos Triangulo de Sierpinski ). 14) Com a ferramenta Triangulo de Sierpinski que foi criada, selecionar cada um dos triângulos (coloridos) menores para criar o nível 2 do fractal. 15) Para criar os seguintes níveis basta selecionar cada um dos novos triângulos coloridos formados com a ferramenta Triângulo de Sierpinski. 37

38 IV- 3.GeomeTricks IV-3.1 Construção do Triangulo de Sierpinski no GeomeTricks: Para construir o Triângulo de Sierpinski utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo: 1) Com a ferramenta ponto livre ou ponto na malha, marque três pontos quaisquer, não alinhados, A, B e C para formar o triângulo inicial. 2) Utilizando a ferramenta ponto médio, selecione os pontos A e B para marcar o ponto médio D do lado AB. Repita o mesmo processo para os lados AC e BC, formando os pontos E e F, respectivamente. 3) Clique em Fractais/Definir fractal e digite 4 para o número de ternas. Após isso, selecione os pontos, de três em três, na seguinte ordem: ABC AED EBF DFC 38

39 4) Clique em Fractais/Desenhar fractal e o software começará a formar o Triângulo de Sierpinski. Para pausar a construção basta clicar no seguinte ícone:. 5) Para visualizar os níveis de 1 a 10 do fractal, primeiramente clique em Fractais/Apagar desenho do fractal e depois clique em Fractais/Níveis e digite o número do nível desejado. 39

40 IV-3.2 Construção da Ilha de Koch no GeomeTricks: Para construir a Ilha de Koch ou Floco de Neve de Koch utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo: 1) Construa um triângulo equilátero ABC. 2) Marque um ponto qualquer P no exterior do triângulo ABC e próximo ao ponto A. Em seguida, construa uma semirreta com origem em A e passando por P. 3) Utilizando a ferramenta Circunferência (po,po) selecione os pontos A e P, nesta ordem. Em seguida, utilizando a ferramenta Interseção (re,ci) marque o ponto de interseção Q da circunferência com a semirreta. Construa outra circunferência selecionando os pontos Q e P e marque o pontos de interseção R desta com a semirreta. 4) Utilizando a ferramenta Segmento (po,po) selecione os pontos R e B. 5) Com a ferramenta Paralela (po,re) clique no ponto Q e no segmento RB. Com a ferramenta Interseção (re,re) marque o ponto de interseção desta reta com o lado AB. Faça o mesmo para o ponto P. 40

41 6) Clique em Editar/Esconder um objeto e selecione a semirreta, as circunferências, as retas, o segmento RB e os pontos P, Q e R. 7) Faça o mesmo nos passos 3 a 6 para os outros vértices B e C do triângulo para dividir cada lado em três partes iguais. Na figura deverão ficar apenas o triângulo ABC e os pontos D, F, H, I, J e L como na figura abaixo. 8) Utilizando a ferramenta Circunferência (po,po) clique nos pontos D e F nesta ordem e depois construa outra circunferência clicando nos pontos F e D nesta ordem. Com a ferramenta Interseção (ci,ci) selecione as duas circunferências e marque como ponto E o ponto de interseção destas que está no exterior do triângulo ABC. 41

42 9) Faça o mesmo para os pontos H e I, marcando o ponto G e para os pontos L e J marcando o ponto K como na figura abaixo. Podemos esconder os segmentos AB, AC e BC para visualizar melhor o fractal no próximo passo. 10)Clique em Fractais/Definir fractal e digite 7 para o número de ternas. Em seguida, clique nos pontos na seguinte ordem (eles serão agrupados de três em três para formar as ternas): ABC ADH DEF GHI FBL IJC JLK Após isso, clique em Fractais/Desenhar fractal. 42

43 11)Para visualizar os níveis de 1 a 10 do fractal, primeiramente clique em Fractais/Apagar desenho do fractal e depois clique em Fractais/Níveis e digite o número do nível desejado. IV-3.3 Construção da Calda de Dragão no GeomeTricks: Para construir o fractal conhecido como Calda de Dragão utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo: 1) Clique no ícone a grade de pontos (em azul) e os eixos cartesianos. Seguindo o sistema de coordenadas cartesianas marque os seguintes pontos: A(0,0); B(10,0); C(0,10); D(5,5); E(15,5); F(10,5); G(15,10); H(5,0); I(5,-5) e J(0,-5). Após isto, clique novamente no ícone pontos e os eixos cartesianos. para remover a grade de 43

44 2) Clique em Fractais/Definir fractais e digite 3 para o número de ternas. Em seguida, selecione os pontos, formando ternas, na seguinte ordem: BED EGF IHJ IV-3.4 Construção a Samambaia fractal no GeomeTricks: Para construir o fractal conhecido como Samambaia utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo: 44

45 1) Construa um triângulo isósceles ABC. 2) Marcando pontos livres, construa mais três triângulos DEF, GHI e JKL, como na figura abaixo. 3) Clique em Fractais/Definir fractal e digite 4 para o número de ternas. Em seguida, selecione os pontos, formando ternas, na seguinte ordem: ABC DEF GHI JKL 4) Clique em Fractais/Desenhar fractal e o fractal estará pronto. Para visualizar melhor, podemos clicar em Editar/Esconder um objeto e selecionar os segmentos e pontos na figura, antes de desenhar o fractal. 45

46 IV-3.5 Construção de outros fractais no GeomeTricks: Podemos construir muitos outros fractais no Geometricks a partir de um conjunto de ternas. Por exemplo, para construir o fractal da próxima figura seguimos os passos abaixo: 1) Construa um triângulo equilátero ABC. 2) Divida cada um dos lados do triângulo ABC em três partes iguais com o mesmo procedimento feito para a Ilha ou Floco de Neve de Koch. 3) Utilizando a ferramenta Mediatriz (po,po) selecione os pontos extremos do lado AB. Repita esse mesmo procedimento para os lados AC e BC. 46

47 4) Com a ferramenta Interseção(re,re) selecione duas das retas (mediatrizes) formadas para marcar o ponto G que é o circuncentro e também baricentro do triângulo ABC. 5) Clique em Fractais/Definir fractal e digite 7 para o número de ternas. Em seguida selecione os pontos, na seguinte ordem: ABC ADI DGI JGL JLC GEK EBK 6) Clique em Fractais/Desenhar fractal e o fractal estará pronto. Para visualizar melhor, podemos clicar em Editar/Esconder um objeto e selecionar os segmentos e pontos na figura, antes de desenhar o fractal. 47

48 IV- 4. NFract IV-4.1 Construção de Fractais no NFract: Como foi fito anteriormente, o software NFract gera fractais a partir de um polinômio de 7 grau com variável complexa: Az 7 + Bz 6 + Cz 5 + Dz 4 + Ez 3 + Fz 2 + Gz + H. Na janela Gerador de Fractais podem ser alterados os coeficientes A, B, C, D, E, F, G e H pelo usuário. Por exemplo, para gerarmos o Fractal de Mandelbrot basta digitar, na janela Gerador de Fractais, F = 1 e deixarmos todos os outros coeficientes com valor zero e clicar em Calcular. Em seguida, aparecerá outra janela. Ao clicar em fx Calcular nesta janela aparecerá a figura do fractal. 48

49 Da mesma forma como feito para o fractal de Mandelbrot, pode-se gerar outras figuras fractais alterando os coeficientes do polinômio de 7 grau. Abaixo estão alguns exemplos de fractais gerados no NFract. Os valores dos coeficientes estão variando de -1 a 1, pois assim o software faz o cálculo com maior velocidade. Exemplo 1: Exemplo 2: 49

50 Exemplo 3: Nesses três primeiros exemplos pode-se perceber que conforme o grau da variável que acompanha o coeficiente com valor 1 vai diminuindo o número de divisões simétricas da figura também diminui. Na primeira (A=1) visualiza-se 6 divisões simétricas, na segunda (B=1) 5 divisões e na terceira (D=1) 3 divisões. Exemplo 4: 50

51 Exemplo 5: Exemplo 6: 51

52 Exemplo 7: Exemplo 8: 52

53 Exemplo 9: Nos exemplos 4, 5, 8 e 9 pode-se perceber que ao invertermos o sinal dos coeficientes que acompanham as variáveis com expoente de grau par obtêm-se a mesma figura, porém invertida horizontalmente. Já nos exemplos 6 e 7 percebe-se que invertendo o sinal também dos coeficientes que acompanham as variáveis de grau ímpar isso não ocorre. 53

54 V-Desenvolvendo atividades concretas para a construção de fractais. As atividades a seguir são propostas com o objetivo de construir fractais com materiais manipuláveis para que o aluno da escola possa relacionar as propriedades dos fractais com conceitos matemáticos já aprendidos. Atividade 1: Construindo Fractais 1. Usando o papel quadriculado, construa um triângulo eqüilátero. 2. Marque o ponto médio em cada um de seus lados. 3. Construa segmentos unindo esses pontos médios. 4. Quantos triângulos você possui agora? 5. Pinte os três triângulos (do exterior) de uma mesma cor e não pinte o triângulo central. 6. Para cada triângulo colorido, marque o ponto médio em cada um de seus lados e construa segmentos unindo esses pontos médios. 7. E agora, quantos triângulos você possui? 8. Qual o nome do fractal que você acabou de construir? 9. Registre na tabela abaixo o número de triângulos em cada etapa da construção. Etapa Número de Triângulos

55 A construção do triângulo de Sierpinski aborda conceitos sobre triângulos equiláteros, mediatriz, ponto médio de um segmento, potenciação, área e perímetro. Durante a realização dessa atividade, analisamos, com os alunos o que acontece a medida que as iterações da construção do triângulo de Sierpinski são realizadas, chegando a conclusão de que esse processo se repete indefinidamente, sendo que a cada nova iteração teremos uma figura com triângulos cada vez menores. Atividade 2- Fractal Triminó Para a construção primeiro: 1. Considere o triminó não-reto, construído por 3 quadrados, que serão fractal em nível O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L, teremos assim o Fractal em nível Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo assim o Fractal ao nível 3. Construção: 4. Construa o Fractal Triminó ao Nível Quantas peças foram usadas? 6. Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5, quantas peças serão necessárias? 7. E para construir um Fractal Triminó ao Nível n? 8. Agora você e capaz de descobrir que conteúdo da matemática está relacionado com esta atividade? 9. Qual o perímetro em cada nível? Considere cada peça quadrada com 2,5 cm de lado. A construção do fractal triminó prioriza alguns objetivos como: reconhecer uma sequência numérica, estimar a quantidade de peças em cada iteração, organizar dados em tabelas, calcular perímetro, etc. Com a realização desta atividade é possível perceber se alguns alunos já têm bem definido o conceito de potenciação, enquanto outros apresentam certa dificuldade em relacionar cada nível com a potenciação e também apresentam dificuldade em encontrar o perímetro. 55

56 Atividade 3- Construindo o Cartão Degraus Centrais. Construção: 1. Pegue uma folha de tamanho A4. 2. Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura. 3. Com a folha dobrada ao meio, faça dois cortes verticais simétricos a uma distância 4 x das extremidades da folha, de altura 2 a. Observe que : a = 2 x 4 x x 2 x 4. Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra. 5. Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da figura em relevo. Pode-se dizer que esta é a primeira geração do cartão fractal. 6. Dobre a folha novamente, pois as gerações serão obtidas seguindo os mesmos passos de 3 a 5, porém em uma escala menor, apenas na região dobrada. 7. Dobre o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra. 8. Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em relevo. Neste momento, tem a primeira e a segunda geração do cartão fractal. 9. Para obter mais gerações, repita esse processo enquanto for possível realizar os cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida no passo 3. Por fim, desdobre todos os recortes e puxe as figuras em relevo. A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais é uma forma interessante e motivadora de apresentar a geometria dos fractais para os alunos de Ensino Fundamental, pois é uma atividade que envolve o raciocínio e a concentração do aluno. Na realização dessa atividade esta previsto que o aluno consiga visualizar uma das propriedades dos fractais, a auto similaridade, ou seja, ele mantém a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala e complexidade infinita. Também é possível observar que as formas geométricas resultantes dos cortes e dobraduras são paralelepípedos. Por meio dessa atividade é possível explorar a quantidade de paralelepípedos que surge a cada iteração. É interessante que o aluno complete a tabela abaixo relacionando a iteração com o número de paralelepípedos novos que surja a cada nova iteração. 56

57 Iteração Número de paralelepípedos novos n Após completar a tabela observa-se que a cada iteração, o número de novos paralelepípedos dobra, porém, em escala menor. E olhando o cartão fractal já construído é possível identificar que a cada nova iteração tem um paralelepípedo cercado por dois novos paralelepípedos. Com isso pode-se concluir que o processo de construção dos paralelepípedos em cada iteração é formado pela lei da potência 2ⁿ, onde n representa o número de iterações. Nessa atividade também pode ser explorado o volume de cada paralelepípedo gerado em diferentes iterações. Porém, caso a atividade seja desenvolvida em uma turma de 8ª série (9º ano) do ensino fundamental, eles calculariam apenas o volume da primeira geração, usando a fórmula a a a V= a

58 VI-Bibliografia: 1. Alves, C., Fractais: Conceitos Básicos, Representações Gráficas e Aplicações ao Ensino não Universitário, dissertação apresentada na Universidade de Lisboa, em pdf, (2007) 2. Barbosa, R., Descobrindo a Geometria Fractal, Coleção Tendências Em Educação Matemática, Autêntica, (2002). 3. Carvalho, M.C., Fractais: uma breve Introdução, Edição Própria, Gomes, A. S., Motivação do estudo de áreas e perímetros de figuras geométricas através de fractais, dissertação monografia apresentada à Universidade Federal do Paraná UFPR, em pdf, (2007). 5. Janos, M., Geometria Fractal, Editora Ciência Moderna Ltda., Rio de Janeiro, (2008). 6. Nunes, R., Geometria Fractal e Aplicações, dissertação apresentada na Universidade de Porto, em pdf, (2006). 58