Lógica Fuzzy Aplicada à Geologia

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1 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Lógica Fuzzy Aplicada à Geologia Vinícius Francisco Wasques Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática - Mestrado Prossional como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre. Orientadora Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira 2015

2 W319L Wasques, Vinícius Francisco Lógica Fuzzy Aplicada à Geologia/ Vinícius Francisco Wasques- Rio Claro, f. : il., gs., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Orientadora: Renata Zotin Gomes de Oliveira 1. Conjuntos. 2. Teoria de conjuntos Fuzzy. 3. Conjuntos Fuzzy. 4. Lógica Fuzzy. 5. Método de Mamdani. 6. Sistemas baseados em regras Fuzzy. I. Lógica Fuzzy Aplicada à Geologia Ficha Catalográca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Câmpus de Rio Claro/SP

3 TERMO DE APROVAÇÃO Vinícius Francisco Wasques Lógica Fuzzy Aplicada à Geologia Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, pela seguinte banca examinadora: Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira Orientadora Profa. Dra. Magda da Silva Peixoto Ufscar - Sorocaba Prof. Dr. Laécio Carvalho de Barros IMECC - Unicamp Rio Claro, 31 de julho de 2015

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5 Dedico este trabalho à Patrícia Iwagaki, aos meus pais Luiz e Terezinha, ao meu irmão Lucas, e à família Ogando.

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7 Agradecimentos Penso que tudo o que fazemos, nunca deve ser creditado apenas para nós e sim a um conjunto de pessoas que de alguma forma nos inuenciou. Por isso, gostaria de agradecer a todos que contribuiram de alguma maneira para que esse trabalho fosse realizado, seja diretamente ou indiretamente. Dentre eles: À minha orientadora, Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira, pelos ensinamentos, apoio, paciência e toda contribuição. Foi um enorme prazer. Aos funcionários do LEBAC, em especial, ao Prof. Dr. Chang Hung Kiang pelas oportunidades, à Andresa Oliva por todo apoio, incentivo e contribuição e aos irmãos Gilson e Aldo Leite de Barros por todo apoio e motivação. Ao corpo docente deste programa, em especial, à Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira, Profa. Dra. Alice Kimie Miwa Libardi, Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti e ao Prof. Dr. Vanderlei Marcos do Nascimento por todos os ensinamentos que me proporcionaram. Aos colegas de mestrado e de graduação da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, por todo o apoio. Aos meus pais, Luiz Carlos Wasques e Terezinha de Jesus Francisco Wasques, e ao meu irmão Lucas Francisco Wasques por todo apoio e incentivo que uma família poderia dar. À Patricia Iwagaki Braga Ogando, por todo apoio, incentivo, motivação, paciência e todo o amor. Foi uma enorme alegria passar essa fase ao seu lado. A Deus, por sempre iluminar meu caminho.

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9 Focalize-se no software, isto é, nas idéias, utilize o hardware, a forma, lembrando-se que este passa e se vai, apenas o primeiro permanece. Sec. V. Braitenberg.

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11 Resumo Neste trabalho são apresentadas algumas denições básicas da Teoria de Conjuntos Fuzzy e alguns exemplos teóricos que, na maioria dos textos, são deixados como exercício para o leitor. Dessa forma, pretende-se que o texto que mais didático e completo, podendo ser aproveitado para cursos introdutórios da teoria. Algumas aplicações, voltadas para a área de Geologia, também são apresentadas. Destacamos a proposta de modelagem realizada utilizando-se informações geofísicas [1] e um sistema baseado em regras fuzzy para o estudo de locais na região de Rio Claro (São Paulo - Brasil) que são mais propícios para se perfurar poços com boas vazões. Palavras-chave: Fuzzy, Método de Mamdani. Conjuntos, Teoria de conjuntos Fuzzy, Conjuntos Fuzzy, Lógica

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13 Abstract This work presents some basic denitions of fuzzy set theory and some theoretical examples that in most of the texts are left as an exercise for the reader. Thus, it is intended that the text is more didactic, complete and can be used to introductory courses theory. Some applications, focused on the Geology eld, are also presented. Highlight the proposed modeling performed using geophysical [1] and a system based on fuzzy rules for study sites in Rio Claro region (São Paulo - Brazil) that are more conducive to drill wells with good ow. Keywords: Sets, Theory of Fuzzy sets, Fuzzy sets, Fuzzy logic, Mamdani Method.

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15 Lista de Figuras 2.1 Suporte de F (clássico) Números próximos de dois Classicação crisp da profundidade da água Funções de pertinência para classicações fuzzy da profundidade Funções de pertinência para classicação fuzzy de partículas Funções de pertinência de A e B Função de pertinência de A B Função de pertinência de A B Função de pertinência de A Função de pertinência do complemento fuzzy A' Funções de pertinência para classicações fuzzy da temperatura α-nível para o exemplo Intervalos encaixantes determinados pelos α-níveis Extensão de Zadeh Número fuzzy Número fuzzy triangular Número fuzzy trapezoidal Número fuzzy na forma de sino Funções de pertinência de A1 e A Funções de pertinência de B1 e B Funções de pertinência de C1 e C Região min{ 2, φ 3 C 1 (z)} Região min{ 1, φ 3 C 2 (z)} Região φ C (z) Base de regras no MATLAB Sistema fuzzy para o rio Gin Funções de pertinência para classicações fuzzy de CH Funções de pertinência para classicações fuzzy de VAC Funções de pertinência para classicações fuzzy de VAB Superfície VAB em função de VAC e Chuva

16 6.6 Funções de pertinência dos conjuntos fuzzy assumidos por ESP Funções de pertinência dos conjuntos fuzzy assumidos por RES Funções de pertinência dos conjuntos fuzzy assumidos por RTF

17 Lista de Tabelas 5.1 Tabela verdade do conectivo e Tabela verdade do conectivo ou Tabela verdade do conectivo não Tabela verdade do conectivo implicação Base de regras Rio Gin Classicação da espessura Classicação da resistividade Classicação da resistência transversal Resistência transversal (RT) para dados de [1] e para o modelo fuzzy (RTF) Classicação da RT Classicação da RTF RTF x RT Base de regras fuzzy Aquífero Rio Claro

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19 Sumário 1 Introdução 19 2 Conjuntos Fuzzy Conjuntos Fuzzy Operações com subconjuntos fuzzy O conceito de α-nível O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy O Princípio de extensão de Zadeh Números fuzzy Operações aritméticas com números fuzzy Relações Fuzzy Formas de representações e propriedades das relações binárias Composição entre relações fuzzy binárias Noções da Lógica Fuzzy t-normas e t-conormas Raciocínio aproximado e variáveis linguística Controladores fuzzy Aplicações Um sistema baseado em regras fuzzy proposto em [2] Sistema baseado em regras fuzzy na escolha de perfuração de poços profundos - uma proposta Conclusão 115 Referências 117

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21 1 Introdução A disponibilidade, o uso e o controle de recursos hídricos se tornaram uma preocupação constante ao longo da história e o crescimento econômico fez com que muitas regiões no mundo se defrontassem com disponibilidades hídricas insucientes. Desta forma, torna-se necessária a realização de estudos mais detalhados sobre aquíferos exploráveis, visando principalmente melhorar o seu uso. Em [1] é realizado um levantamento geofísico na região de Rio Claro (São Paulo - Brasil) de modo a obter parâmetros que permitam identicar se um local é adequado para se perfurar poços com boas vazões. Neste estudo os parâmetros espessura e resistividade do solo foram medidos pois permitem calcular a resistência transversal que, quando mais alta, indica que há melhores chances de se obter poços com boas vazões. Observa-se no texto [1] informações como: valores de resistividade altos, típicos de sedimentos predominantemente arenosos...,...valores de resistividade baixos, associados aos siltitos..., os valores de resistividade obtidos apresentam uma ampla gama de variação... Motivados pelos termos linguísticos altos, baixos e até por subdivisões do parâmetro resistividade, apresentamos aqui uma proposta de modelagem para o fenômeno em questão, utilizando a Teoria de Conjuntos Fuzzy, mais especicamente, controladores fuzzy. A teoria conjuntista clássica baseia-se em dois valores lógicos, isto é, tudo se resume ao verdadeiro ou falso, sim ou não. Na prática, as situações cotidianas não respeitam essa precisão; os termos linguísticos como em torno de ou próximo de são exemplos disso. As fronteiras de conjuntos clássicos são bem determinadas, isto é, dado qualquer conjunto é possível caracterizá-lo a partir de seus elementos, determinando se os mesmos pertencem ao conjunto ou ao seu complementar. Desse modo, a partir de pequenas perturbações em um elemento de um conjunto clássico pode-se haver uma drástica mudança, de modo que este deixe de pertencer a este conjunto. Na prática, isso nem sempre ocorre, se fazendo necessário utilizar a subjetividade que aparece em problemas reais para fazer com que essa transição de um conjunto para um outro se torne mais suave. Com o objetivo de formalizar essa imprecisão o matemático Lofti Asker Zadeh introduziu, em 1965, a Teoria de Conjuntos Fuzzy. Para isso, tomou como base o fato 19

22 20 Introdução de que cada conjunto crisp pode ser caracterizado dentro de um conjunto universo por sua função característica, isto é, a função assume o valor 1 quando o elemento pertence ao conjunto e 0 quando não pertence ao conjunto. Sendo assim, Zadeh caracterizou um conjunto fuzzy de maneira similar: quanto mais zesse sentido um elemento estar no conjunto fuzzy, mais próximo de 1 será o valor da função nesse elemento. Para entender melhor essa ideia pense em uma foto que esteja em preto e branco. Observando atentamente, você verá que essas não as únicas cores que estão na foto pois existe uma coleção de tons de cinza que a preenche. Um pixel tem o brilho entre 0 e 255. Quando o pixel assume brilho 0 então a cor associada a ele é o preto enquanto que a cor branca é associada ao brilho de valor 255. Qualquer valor entre 0 e 255 são os diferentes tons de cinza, de tal forma que quanto mais escuro for o cinza, mais próximo do valor 0 ele estará. Por outro lado, quanto mais claro o tom cinza for, mais próximo do valor 255 ele assumirá [3]. A teoria de conjunto fuzzy tem sido aplicada nas mais diversas áreas, dentre elas, na Engenharia Civil [4], na Química [5], nas Ciências da Computação [6], na Economia [7], na Medicina [8] e na Geologia [9]. De uma maneira geral, indicamos [10] que contém diversas referências de aplicações fuzzy. Durante o desenvolvimento do trabalho, por ter sido um primeiro contato com a Teoria de Conjuntos Fuzzy, optamos, com o objetivo de tornar esse texto mais didático, apresentar uma base teórica com alguns exemplos na área de Geologia bem como demonstrar algumas armações que, em geral, são deixadas como exercício ao leitor em algumas referências consultadas. Assim, este texto está estruturado da seguinte forma: Capítulo 2 - Denição de conjuntos fuzzy bem como exemplos, propriedades, e o conceito de α-níveis que caracterizam os conjuntos fuzzy. Capítulo 3 - Princípio de Extensão de Zadeh, o conceito de números fuzzy e operações entre eles. Capítulo 4 - Conceito de relações fuzzy. Capítulo 5 - Conceitos de t-normas, t-conormas, raciocínio aproximado, controladores fuzzy e como estas ferramentas serão usadas nas aplicações. Capítulo 6 - Aplicação presente no artigo [2] e uma modelagem proposta para o problema de perfuração de poços com boas vazões. Capítulo 7 - Conclusão deste trabalho.

23 2 Conjuntos Fuzzy Nesse capítulo apresentaremos o conceito de conjunto fuzzy, relacionando-o com conjuntos clássicos aos quais chamaremos de conjuntos crisp. Conjuntos clássicos, como sabemos, podem ser caracterizados através da seguinte função: Denição 2.1. Seja U um subconjunto e A U. Associamos ao conjunto A a função χ A : U {0, 1} por: 1, se x A χ A (x) = 0, se x / A. Tal função é chamada de função característica de A. A função característica descreve completamente o conjunto A clássico, uma vez que indica quais elementos do conjunto universo U pertencem ou não pertencem ao subconjunto A. No entanto existem conjuntos onde essa caracterização não é muito precisa. Para denir conjuntos fuzzy, usaremos uma ideia similar a de função característica. 2.1 Conjuntos Fuzzy Os termos linguísticos como aproximadamente e em torno de não são exatos. Sendo assim, se queremos dar um tratamento matemático em situações que exigem tais conceitos subjetivos então nossa caracterização, de certa forma, também deve ser subjetiva. Para esclarecer, veja o seguinte exemplo: Exemplo 2.1. [11] Seja A o seguinte conjunto: A = {x R : x é próximo de 2}. Tome os números reais 7 e 2, 001. Agora, não podemos dizer ao certo se os elementos 7 e 2, 001 pertencem ou não pertencem ao conjunto A. Pelo que conhecemos de conjuntos clássicos, a caracterização próximo de 2 é subjetiva e sendo assim, depende de cada um considerar tais números próximos ou não próximos de 2. A única coisa que podemos armar de fato é que o número 2, 001 está mais próximo de 2 do que o número 7. 21

24 22 Conjuntos Fuzzy Veja que nesse exemplo a função característica não é a melhor maneira de descrever o conjunto A dado, uma vez que não saberíamos dizer para quais x R teríamos χ A (x) = 1. Baseado na função característica, Zadeh (1965) apresenta a denição de conjuntos fuzzy, tomando uma função similar a esta e estendendo o conjunto imagem da mesma. Denição 2.2. Seja U um conjunto (clássico). Um subconjunto fuzzy F de U é caracterizado por uma função φ F dada por: φ F : U [0, 1] chamada de função de pertinência do subconjunto fuzzy F. O índice F na função de pertinência é usada em analogia à função característica de subconjunto clássico. O valor φ F (x) [0, 1] será chamado de grau de pertinência com que o elemento x de U estará no conjunto fuzzy F e assim, quanto mais próximo de 1 for o valor φ F (x), maior é a pertinência deste elemento ao conjunto F. Da mesma forma, quanto mais próximo de 0 for o valor de φ F (x), menor é a pertinência deste elemento ao conjunto F. Fazendo uma análise mais formal, vemos que a função pertinência nada mais é que a função característica com o contradomínio {0, 1} estendido para o intervalo [0, 1]. Sendo assim, todo conjunto clássico é um conjunto fuzzy, cuja função pertinência pré-xada é a própria função característica com seu contradomínio estendido para o intervalo [0, 1]. Observamos que todo conjunto fuzzy é denido através de sua respectiva função de pertinência. Desse modo, podemos identicar o subconjunto fuzzy de U pelo subconjunto clássico de U [0, 1]: F = {(x, φ F (x)); x U}. A seguir deniremos um conjunto crisp que será muito útil para nós mais adiante. Denição 2.3. Sejam U um universo e F um subconjunto fuzzy de U. Deniremos o suporte de F por suppf = {x U : φ F (x) > 0}. Um fato importante é que o suporte de um conjunto crisp é igual ao próprio conjunto, isto é, F = suppf. De fato, como F é um conjunto clássico então sua função pertinência é dada por: φ F : U [0, 1] 1, se x A φ F (x) = 0, se x / A

25 Conjuntos Fuzzy 23 Assim, se x F então φ F (x) = 1 > 0 logo x suppf. Por outro lado, se x suppf então φ F (x) > 0, que implica φ F (x) = 1 e portanto x F. Assim, segue a igualdade. Figura 2.1: Suporte de F (clássico). No entanto, para conjuntos fuzzy este resultado não é válido. Exemplo 2.2. Considere A o conjunto fuzzy dado pelo Exemplo 2.1. Uma função pertinência para este conjunto pode ser dada pelo seguinte gráco. Figura 2.2: Números próximos de dois.

26 24 Conjuntos Fuzzy A função de pertinência φ A : R [0, 1] é dada por: 1 x 2, se 1 x 3 φ A (x) = 0, se x / [1, 3] Assim, A = [1, 3] e o suppa = (1, 3), já que φ A (x) > 0 1 x 2 > 0 1 > x 2 1 < x 2 < 1 1 < x < 3. Logo, para conjuntos fuzzy, a igualdade nem sempre é válida. Neste exemplo que acabamos de ilustrar, os números 7 e 2, 001 possuem os respectivos graus de pertinência φ A (7) = 0 e φ A (2, 001) = 0, 999. Assim, dizemos que para esta função de pertinência, o valor 2, 001 está próximo de 2 com grau de pertinência 0,999 enquanto que 7 não é próximo de 2. Percebemos também que o grau de pertinência de um elemento a um conjunto é totalmente subjetiva, tendo em vista que para uma outra função, poderíamos obter outros graus de pertinência para estes mesmos elementos. Observamos que em todos os exemplos dados, o conjunto universo U é fácil de ser identicado. No entanto, nem sempre isso ocorre e em boa parte da modelagem matemática é necessário decidir qual é o conjunto universo U que vamos trabalhar. Exemplo 2.3. [9] (Profundidade da água) A maioria das variáveis utilizadas nas ciências da Terra são contínuas, como por exemplo, temperatura, pressão, profundidade do oceano, dentre outras. No caso da profundidade da água, faremos uma classicação para exemplicar e comparar exemplos de conjuntos crisp e fuzzy. Tal classicação será feita tomando como o parâmetro o nível da água do mar, que no caso será de 2 metros abaixo do nível do mar até 2 metros acima do nível do mar. Por essa razão tomaremos como conjunto universo U = [ 2, 2]. Essa classicação é dada por 5 níveis, inframaré (de -2 m até m), maré baixa (de m até m), maré média (de m até 0.25 m), maré alta (de 0.25 m até 0.75 m) e supramaré (de 0.75 m até 2 m). Desse modo, podemos ver tal conjunto na forma crisp: Figura 2.3: Classicação crisp da profundidade da água.

27 Conjuntos Fuzzy 25 No entanto, a mudança de classicação do nível da água acontece de forma abrupta, ou seja, se tomarmos como exemplo uma profundidade de 0,23 m, ela é considerada média, enquanto que uma profundidade de 0,27 m é considerada alta. Dessa forma, a profundidade pode ser considerada como um subconjunto fuzzy, cuja mudança de uma classicação para outra ocorre de maneira mais suave. Uma escolha para as funções de pertinência poderia ser a que segue. Figura 2.4: Funções de pertinência para classicações fuzzy da profundidade. Neste exemplo tomamos o conjunto universo como sendo U = [ 2, 2] mas poderíamos tomar um conjunto mais amplo, ou até mesmo restringí-lo, dependendo do fenômeno estudado. Exemplo 2.4. [9] (Tamanho de partículas sedimentares) Na área da Geologia alguns termos como cascalho, areia e silte são usados para descrever o tamanho de uma partícula. Esses tamanhos, normalmente, são descritos de forma crisp, isto é, se uma partícula tem tamanho entre 2 mm a 64 mm então ela é considerada como sendo cascalho, se tem tamanho entre 0,0625 mm a 2 mm então ela é considerada como sendo areia, se o tamanho está entre 0,0039 mm a 0,0625 mm então ela é considerada como sendo silte. Essa classicação também pode ser dada pela escala phi, que nada mais é que o logarítmo negativo do tamanho da partícula na base 2. Assim, na escala phi uma partícula é considerada cascalho se estiver entre -6 e -1, areia se estiver entre -1 e 4 e silte se estiver entre 4 e 8.

28 26 Conjuntos Fuzzy Da mesma forma, podemos descrever tais elementos através de subconjuntos fuzzy, conforme a gura a seguir. Figura 2.5: Funções de pertinência para classicação fuzzy de partículas. As funções de pertinência φ C, φ A e φ S, cascalho, areia e silte são dadas, respectivamente por: 1, se 3 x 2 φ C (x) = x, se 2 x 0 2 0, caso contrário x+2, se 2 x 0 2 1, se 0 x 3 φ A (x) = 5 x, se 3 x 5 2 0, caso contrário x 3, se 3 x 5 2 φ S (x) = 1, se 5 x 6 0, caso contrário 2.2 Operações com subconjuntos fuzzy Após apresentarmos alguns exemplos de conjuntos fuzzy na seção anterior, deniremos e exibiremos alguns resultados sobre operações entre conjuntos fuzzy.

29 Operações com subconjuntos fuzzy 27 Sejam A e B conjuntos fuzzy com φ A e φ B suas respectivas funções de pertinência. Dizemos que A é subconjunto fuzzy de B e denotamos por A B, se φ A (x) φ B (x), para todo x U. Veja que é um subconjunto de qualquer conjunto fuzzy F, já que o cojunto vazio é um conjunto crisp e portanto sua função pertinência é dada pela função característica, onde χ (x) = 0 para todo x U. Assim, para todo x U temos: χ (x) = 0 φ F (x). É interessante notarmos também que, todo conjunto fuzzy F é um subconjunto do conjunto universo U, uma vez que o conjunto universo U é um conjunto crisp onde sua função pertinência é dada pela característica χ U (x) = 1 para todo x U. Assim, para todo x U temos: χ U (x) = 1 φ F (x). Portanto, concluimos que para todo conjunto fuzzy F sempre temos: F U Denição 2.4. Os subconjuntos fuzzy A e B de U são iguais se suas funções de pertinência coincidem, isto é, φ A (x) = φ B (x), x U. Dados dois conjuntos fuzzy A e B, com funções de pertinência dadas na gura 2.6 a seguir. Analisaremos outros conjuntos fuzzy que podem ser obtidos a partir deles. Figura 2.6: Funções de pertinência de A e B.

30 28 Conjuntos Fuzzy Denição 2.5. (União) A união entre dois conjuntos fuzzy A e B é o subconjunto fuzzy de U, A B, cuja função pertinência é dada por: φ A B (x) = max{φ A (x), φ B (x)}, x U. Figura 2.7: Função de pertinência de A B. Veja que essa denição nada mais é que a extensão do caso clássico de conjuntos, pois para quaisquer conjuntos crisp A e B temos: 1, se x A B χ A B (x) = 0, se x / A B 1, se x A ou x B = 0, se x / A e x / B =max{χ A (x), χ B (x)} Denição 2.6. (Intersecção) A intersecção entre dois conjunto fuzzy A e B é o subconjunto fuzzy de U, A B cuja função pertinência é dada por: φ A B (x) = min{φ A (x), φ B (x)}, x U.

31 Operações com subconjuntos fuzzy 29 Figura 2.8: Função de pertinência de A B. De maneira similar, essa denição também é uma extensão da denição para conjuntos clássicos já que para todo conjunto fuzzy A e B, temos: min{χ A (x), χ B (x)} = 1 χ A (x) = 1 e χ B (x) = 1 Também, x A e x B x A B. min{χ A (x), χ B (x)} = 0 χ A (x) = 0 ou χ B (x) = 0 x / A ou x / B x / A B. Logo, 1, se x A B min{χ A (x), χ B (x)} = 0, se x / A B. Denição 2.7. (Complementar de subconjuntos fuzzy) O complementar de um conjunto fuzzy A é o subconjunto fuzzy A de U cuja função de pertinência é dada por: onde φ A é a função pertinência de A. φ A (x) = 1 φ A (x), x U, Assim, se a função de pertinência de um conjunto A é representado pelo gráco

32 30 Conjuntos Fuzzy Figura 2.9: Função de pertinência de A. então o gráco da função de pertinência de A é dado por: Figura 2.10: Função de pertinência do complemento fuzzy A'. Para exemplicarmos algumas diferenças que existem entre os conjuntos fuzzy e os conjuntos crisp, mostraremos algumas propriedades que são válidas para os conjuntos clássicos mas que não se estendem aos conjuntos fuzzy. Proposição 2.1. Sejam A e B conjuntos crisp, então são válidas as seguintes propriedades: 1. χ A B (x) = χ A (x).χ B (x), x U.

33 Operações com subconjuntos fuzzy χ A A (x) = 0, x U. 3. χ A A (x) = 1, x U. Demonstração. Para mostrarmos a primeira propriedade veja que para todo x U temos: χ A (x).χ B (x) = 0 χ A (x) = 0 ou χ B (x) = 0 x / A ou x / B x / A B. Por outro lado, χ A (x).χ B (x) = 1 χ A (x) = 1 e χ B (x) = 1 x A e x B x A B. Logo, 1, x A B χ A (x).χ B (x) = 0, x / A B =χ A B (x). Para mostrarmos as outras duas propriedades basta notarmos que para conjuntos clássicos são válidas: e A A = A A = U Logo, χ A A (x) = χ (x) = 0 e χ A A (x) = χ U (x) = 1. Para conjuntos fuzzy as três propriedades descritas acima não são necessariamente verdadeiras. Vejamos: Exemplo 2.5. Sejam A e B os seguintes conjuntos fuzzy e suas respectivas funções de pertinência: A = {x R x é próximo de 2} e e 1 x 2, x [1, 3] φ A (x) = 0, x / [1, 3] B = {x R x é próximo de 2, 5}

34 32 Conjuntos Fuzzy 1 x 2, 5, x [1, 5; 2, 5] φ B (x) = 0, x / [1, 5; 2, 5]. Assim, tomando x = 2, 6 temos que: φ A B (2, 6) =min{φ A (2, 6), φ B (2, 6)} =min{0, 4, 0, 9} =0, 4.. Por outro lado, φ A (2, 6).φ B (2, 6) = 0, 4.0, 9 = 0, 36. Exemplo 2.6. Seja U o conjunto universo das temperaturas de uma determinada região. Intuitivamente, se pensarmos em um dia quente com uma certa função de pertinência φ Q, então seria válido pensar que o conjunto fuzzy complementar deste, é o conjunto fuzzy frio com sua função de pertinência φ F, isto é, φ F (x) = 1 φ Q (x). Dessa forma, essa operação permuta os graus de pertinência dos subconjuntos fuzzy Q e F, isto é, enquanto φ Q indica o grau de compatibilidade de uma temperatura x ao conjunto da temperatura quente, a função φ F indica justamente a incompatibilidade do mesmo. No entanto, uma particularidade dos conjuntos fuzzy é que um elemento pode estar em um conjunto A e também ao seu complementar A', sendo eles com graus de pertinência distintos ou iguais. Na verdade, pode ocorrer de os conjuntos fuzzy quente e frio não serem complementares, mesmo que intuitavamente pensarmos que são. Tomemos U = [ 10, 40] e classiquemos tais temperaturas por frio, normal e quente, com respectivas funções de pertinência φ F, φ N e φ Q : 1, se x 10 φ F (x) = 20 x, se 10 x 20, 10 0, se x 20 x 10, se 10 x φ N (x) = 30 x, se 20 x 30 e 10 0, caso contrário

35 Operações com subconjuntos fuzzy 33 0, se x 20 φ Q (x) = x 20, se 20 x , se x 30 Figura 2.11: Funções de pertinência para classicações fuzzy da temperatura. Desse modo, consideremos um dia com temperatura de 27 C, assim no conjunto fuzzy da temperatura quente esse elemento possui o seguinte grau de pertinência: φ Q (27) = = 7 10 = 0, 7 Se de fato os dois conjuntos fuzzy, Frio e Quente, fossem complementares então deveríamos ter φ F (27) = 1 φ Q (27) = 0, 3, no entanto, φ F (27) = 0 pela denição da função de pertinência tomada. Isso nos diz que nesse contexto os conjuntos fuzzy Quente e Frio não são complementares. Ainda, em um dia com temperatura de 18 C temos que φ F (18) = 0, 2, φ N (18) = 0, 8 e φ Q (18) = 0, portanto concluímos que, para os parâmetros adotados, um dia com temperatura 18 C possui um grau de pertinência ao conjunto fuzzy Normal maior do que aos conjuntos fuzzy Quente e Frio. Observemos também que, nesse caso, quanto mais próximo o grau de pertinência estiver de 0.5 maior é a incerteza da pertinência desse elemento ao conjunto fuzzy analisado. Na denição de complementar de um conjunto fuzzy A em U, vimos que A' tem como função pertinência φ A (x) = 1 φ A (x) que pode ser visto também como φ A (x) = φ U (x) φ A (x). Tendo isso em vista generalisaremos então o conceito de complemento.

36 34 Conjuntos Fuzzy Denição 2.8. Sejam A e B subconjuntos fuzzy em U, o complementar do conjunto fuzzy A em B, denotado por A B, é dado por: φ A B (x) = φ B (x) φ A (x), x U. Proposição 2.2. As operações entre subconjuntos fuzzy satisfazem as seguintes propriedades: 1. A B = B A 2. A B = B A 3. A (B C) = (A B) C 4. A (B C) = (A B) C 5. A A = A 6. A A = A 7. A (B C) = (A B) (A C) 8. A (B C) = (A B) (A C) 9. A = e A = A 10. A U = A e A U = U 11. (A B) = A B e (A B) = A B A propriedade 11 é chamada lei de De Morgan. Demonstração. Dados subconjuntos fuzzy A, B e C de U mostremos então que estas 11 propriedades são válidas: 1. φ A B (x) = max{φ A (x), φ B (x)} = max{φ B (x), φ A (x)} = φ B A (x) A B = B A 2. Análogo ao anterior. 3. φ A (B C) (x) = max{φ A (x), φ B C (x)} = max{φ A (x), max{φ B (x), φ C (x)}} Por outro lado,

37 Operações com subconjuntos fuzzy 35 φ (A B) C (x) = max{φ A B (x), φ C (x)} = max{max{φ A (x), φ B (x)}, φ C (x)} Devemos então considerar os possíveis casos: (a) φ A (x) > φ B (x) > φ C (x) (b) φ A (x) > φ C (x) > φ B (x) (c) φ B (x) > φ A (x) > φ C (x) (d) φ B (x) > φ C (x) > φ A (x) (e) φ C (x) > φ B (x) > φ A (x) (f) φ C (x) > φ A (x) > φ B (x) Mostraremos que essa propriedade é válida no caso (a) e nos outros casos a análise é feita de maneira análoga Assim, se (a) acontecer, então: φ A (B C) (x) = max{φ A (x), φ B C (x)} = max{φ A (x), max{φ B (x), φ C (x)}} = max{φ A (x), φ B (x)} = φ A (x) φ (A B) C (x) = max{φ A B (x), φ C (x)} = max{max{φ A (x), φ B (x)}, φ C (x)} E assim segue a igualdade. 4. Análogo ao anterior = max{φ A (x), φ C (x)} = φ A (x). 5. φ A A (x) = max{φ A (x), φ A (x)} = φ A (x). Portanto, A A = A 6. Análogo ao anterior

38 36 Conjuntos Fuzzy 7. φ A (B C) (x) = max{φ A (x), φ B C (x)} = max{φ A (x), min{φ B (x), φ C (x)}} Por outro lado, φ ((A B) (A C)) (x) = min{φ A B (x), φ A C (x)} = min{max{φ A (x), φ B (x)}, max{φ A (x), φ C (x)}} Considerando novamente os casos que vimos em 3, mostraremos que a propriedade é válida para (a) e os outros seguem de maneira análoga. Assim, se (a) acontecer, então: φ A (B C) (x) = max{φ A (x), φ B C (x)} = max{φ A (x), min{φ B (x), φ C (x)}} = max{φ A (x), φ C (x)} = φ A (x) φ ((A B) (A C)) (x) = min{φ A B (x), φ A C (x)} = min{max{φ A (x), φ B (x)}, max{φ A (x), φ C (x)}} E assim segue a igualdade. 8. Análogo ao anterior. = min{φ A (x), φ A (x)} = φ A (x) 9. φ A (x) = min{φ A (x), φ (x)} = min{φ A (x), 0} = 0 = φ (x) Portanto, A = φ A (x) = max{φ A (x), φ (x)} = max{φ A (x), 0} = φ A (x) Portanto, A = A

39 Operações com subconjuntos fuzzy Análogo ao anterior 11. Leis de DeMorgan Para quaisquer funções com valores reais f e g, temos: max[f(x), g(x)] = 1 [f(x) + g(x) + f(x) g(x) ] 2 Assim, min[f(x), g(x)] = 1 [f(x) + g(x) f(x) g(x) ] 2 φ A B (x) = min{φ A (x), φ B (x)} = min{1 φ A(x), 1 φ B (x)} = 1 2 [(1 φ A(x)) + (1 φ B (x)) (1 φ A (x)) (1 φ B (x)) ] = 1 2 [(2 (φ A(x) + φ B (x) + φ A (x) + φ B (x) )] = [φ A(x) + φ B (x) + (φ A (x) φ B (x)) ] = [φ A(x) + φ B (x) + φ A (x) φ B (x) ] = 1 max{φ A (x), φ B (x)} = 1 φ A B (x) Portanto, A B = (A B). = φ (A B) (x) φ A B (x) = max{φ A (x), φ B (x)} = max{1 φ A(x), 1 φ B (x)} = 1 2 [(1 φ A(x)) + (1 φ B (x)) + (1 φ A (x)) (1 φ B (x)) ] = 1 2 [(2 (φ A(x) + φ B (x) φ A (x) + φ B (x) )] = [φ A(x) + φ B (x) (φ A (x) φ B (x)) ]

40 38 Conjuntos Fuzzy = [φ A(x) + φ B (x) φ A (x) φ B (x) ] = 1 min{φ A (x), φ B (x)} = 1 φ A B (x) Portanto, A B = (A B). = φ (A B) (x) 2.3 O conceito de α-nível Dado um subconjunto fuzzy A de U, podemos classicar seus elementos através de uma hierarquia denida pelo grau de pertinência desse elemento. Um elemento x U estará em uma classe se seu grau de pertinência for maior que um certo nível α [0, 1] que dene esta classe. O conjunto desses elementos será denido por: Denição 2.9. Seja A um subconjunto fuzzy de U e α [0, 1], o α-nível de A é o subconjunto clássico de U denido por: [A] α = {x U; φ A (x) α}, 0 < α 1 Para α = 0, o conjunto [A] 0 é denido pelo menor subconjunto (clássico) fechado de U que contém o suporte de A, isto é, [A] 0 = suppa Denição Um subconjunto fuzzy A é dito normal se todos os seus α-níveis forem não vazios, isto é, se [A] 1. O exemplo a seguir mostra os α-níveis de um conjunto fuzzy e também mostra que nem sempre temos, [A] 0 = U Exemplo 2.7. [11] Seja U = R e A R um subconjunto fuzzy com a seguinte função pertinência: x 1, se 1 x 2 φ A (x) = 3 x, se 2 < x < 3 0, se x / [1, 3)

41 O conceito de α-nível 39 Assim, para 0 < α 1 temos: [A] α = {x U; φ A (x) α}. Logo, φ A (x) α > 0 = φ A (x) > 0 = x (1, 2] ou x (2, 3). Para x (1, 2] temos: φ A (x) = x 1 α = x 1 + α. Para x (2, 3) temos: φ A (x) = 3 x α = 3 α x. Logo, 1 + α x 3 α = x [1 + α, 3 α]. Portanto, [A] α = [1 + α, 3 α]. Para α = 0, temos: [A] 0 = suppa, onde suppa = {x U; φ A (x) > 0} = (1, 3) Logo, [A] 0 = suppa = (1, 3) = [1, 3] Figura 2.12: α-nível para o exemplo 2.7. Vejamos um outro exemplo onde [A] 0 = U. Exemplo 2.8. [11] Sejam U = [0, 1] e A U subconjunto fuzzy cuja função de pertinência é data por φ A (x) = 4(x x 2 ). Calculemos os α-níveis do conjunto fuzzy A que são dados por: [A] α = {x [0, 1] : φ A (x) α}, 0 < α 1.

42 40 Conjuntos Fuzzy Assim, Portanto, Logo, Para α = 0 temos que: 4(x x 2 ) α = x 2 x α 4 ( = x 1 ) α 4 ( = x 1 ) 2 1 α 2 4 = x 1 1 α α x 1 α [ ] 1 α α + 1 [A] α =, 2 2 4(x x 2 ) > 0 x x 2 > 0 x(1 x) > 0 Assim, x > 0 e 1 x > 0 ou x < 0 e 1 x < 0. Como x [0, 1] então ocorre a primeira condição, isto é, x > 0 e x < 1. Logo, suppa = (0, 1). Assim, [A] 0 = suppa = (0, 1) = [0, 1] = U Observação Se A for um cojunto clássico então [A] α = A, para todo α (0, 1]. De fato, se x [A] α então χ A (x) α > 0 χ A (x) > 0 assim χ A (x) = 1 x A. Por outro lado, se x A então χ A (x) = 1 α x [A] α. 2. No caso geral, uma propriedade interessante sobre os α-níveis é que se α β então x [A] β φ A (x) β α para todo x U. Logo, x [A] α. Portanto, [A] β [A] α.

43 O conceito de α-nível 41 Figura 2.13: Intervalos encaixantes determinados pelos α-níveis. Assim os conjuntos crisp denidos pelos α-níveis é uma sequência de conjuntos clássicos decrescentes, e ainda, o teorema a seguir mostra que a família de conjuntos [A] α determina completamente o subconjunto fuzzy A. Teorema 2.1. Sejam A e B subconjuntos fuzzy de U. Então A = B se, e somente se, [A] α = [B] α para todo α [0, 1]. Demonstração. [11] Suponha A = B então [A] α = {x U : φ A (x) α} = {x U : φ B (x) α} = [A] β. Por outro lado, se [A] α = [B] α para todo α [0, 1], suponhamos A B. Logo existe x 0 U tal que φ A (x 0 ) φ B (x 0 ), isto é, φ A (x 0 ) > φ B (x 0 ) ou φ A (x 0 ) < φ B (x 0 ). Sem perda de generalidade, suponhamos φ A (x 0 ) > φ B (x 0 ). Então, tomamos α = φ A (x 0 ). Se x [A] φ A(x 0 ) e como φ B (x 0 ) < φ A (x 0 ) = α então x / [B] φ A(x 0 ). Assim, existe um α-nível φ A (x 0 ) tal que [A] φ A(x 0) [B] φ A(x 0 ), contradizendo a hipótese. Portanto, A = B. Proposição 2.3. Sejam A e B subconjuntos fuzzy. propriedades para α-níveis: Então são válidas as seguintes 1. [A B] α = [A] α [B] α. 2. [A B] α = [A] α [B] α. Demonstração.

44 42 Conjuntos Fuzzy 1. Se x [A B] α então φ A B (x) α. Como φ A B (x) = max{φ A (x), φ B (x)} então: φ A (x) φ A B (x) = φ B (x), se φ A (x) > φ B (x), se φ A (x) < φ B (x) Logo, φ A (x) α ou φ B (x) α. Assim x [A] α [B] α. Por outro lado, se x [A] α [B] α então x [A] α ou x [B] α. Logo, φ A (x) α ou φ B (x) α. Desse modo, max{φ A (x), φ B (x)} α e assim segue que φ A B (x) α x [A B] α. Portanto, [A B] α = [A] α [B] α. 2. Raciocínio análogo usado no item anterior. Quando o suporte de um conjunto fuzzy A é enumerável, é comum usarmos a notação a seguir para descrever tal conjunto, no caso em que suppa for nito, digamos com n elementos, então: Caso contrário, A = φ A (x 1 )/x φ A (x n )/x n = n φ A (x i )/x i i=1 A = φ A (x 1 )/x 1 + φ A (x 2 )/x = φ A (x i )/x i Sendo o símbolo / representa a associação de um elemento com seu respectivo grau de pertinência e os símbolos + e Σ representam todos os elementos de U que estão em A. A partir dessa notação, é possível também representarmos o complementar de um subconjunto fuzzy A em U. Vejamos: Exemplo 2.9. [11] Seja A um subconjunto fuzzy dos reais representados por: A = 6 φ A (x i ) = 0, 1/1 + 0, 2/2 + 0, 25/3 + 0, 7/5 + 0, 9/8 + 1/10 i=1 Como φ A (1) = 0, 9, φ A (2) = 0, 8,..., φ A (10) = 0 então denotamos A por: A = 6 φ A (x i ) = 0, 9/1 + 0, 8/2 + 0, 75/3 + 0, 3/5 + 0, 1/8 + 0/10 i=1 Neste caso, o 0, 15-nível de A e A são dados respectivamentes, i=1

45 O conceito de α-nível 43 [A] 0,15 = {2, 3, 5, 8, 10} [A ] 0,15 = {1, 2, 3, 5} Neste capítulo apresentamos conceitos de conjuntos fuzzy bem como operações que podem ser realizados com esses conjuntos. Algumas propriedades envolvendo essas operações também foram apresentadas, procurando sempre observar se são válidas no caso crisp. No próximo capítulo apresentaremos o princípio de extensão de Zadeh e também o conceito de números fuzzy bem como operações entre eles.

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47 3 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy 3.1 O Princípio de extensão de Zadeh O princípio de extensão de Zadeh para uma função f : X Z tem por objetivo indicar como deve ser a imagem de um subconjunto fuzzy A de X, por meio da f, esperando-se que o mesmo seja um novo subconjunto fuzzy de Z. Denição 3.1. (Princípio de extensão de Zadeh) Sejam A um subconjunto fuzzy de X e f uma função tal que f : X Z. A extensão de Zadeh de f é a função f que aplicada a A, fornece o subconjunto fuzzy f(a) de Z, cuja função pertinência é denida por: sup φ A (x), se f 1 (z) φ f(a) (z) = f 1 (z) 0, se f 1 (z) = onde f 1 = {x : f(x) = z} é a pré-imagem de z. Observamos que se f for uma bijeção de X em Z, então a função pertinência de f(a) é dada por φ f(a) (z) = sup φ A (x), já que dado z Z existe um único x X com f 1 (z) f(x) = z. Logo, f 1 (z). A unicidade deste elemento garante que sup φ A (x) = f 1 (z) φ A (f 1 (z)) e assim φ f(a) (z) = φ A (f 1 (z)). Neste caso, o processo para obter a extensão f de f está ilustrado gracamente na gura a seguir: 45

48 46 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy Figura 3.1: Extensão de Zadeh. Observação 3.1. Quando a função f for injetora, é interessante observarmos: 1. A condição de injetividade garante que um elemento z = f(x) pertence ao subconjunto fuzzy f(a) com o mesmo grau α que x pertence a A. De fato: x [A] α φ A (x) α, com 0 < α 1. Assim, φ A (f 1 (z)) α φ f(a) (z) α z [ f(a)] α. 2. Seja A um subconjunto fuzzy de X enumerável dado por A = i=1 φ A(x i )/x i. Então, o princípio de extensão garante que f(a) é um subconjunto fuzzy de Z, dado por: ( ) f(a) = f φ A (x i )/x i = i=1 φ A (x i )/f(x i ). i=1 Este princípio estende o conceito de uma função aplicada a um subconjunto clássico de X, ou seja, seja f : X Z e A X um subconjunto clássico. Assim, a extensão de Zadeh de f aplicada a A, é o subconjunto f(a) de Z, cuja função característica é dada por:

49 O Princípio de extensão de Zadeh 47 1, se f 1 (z) A φ f(a) (z) = sup χ A (x) = f 1 (z) 0, se f 1 (z) / A 1, se z f(a) = 0, se z / f(a) =χ f(a) (z) Assim, para todo z Z temos que φ f(a) (z) = χ f(a) (z) f(a) = f(a), onde f(a) = {f(a); a A}. Consequentemente, temos: [ f(a)] α = [f(a)] α = f(a) = f([a] α ) Este resultado não só vale para conjuntos crisp, também segue para conjuntos fuzzy. Teorema 3.1. Sejam f : X Z uma função contínua e A um subconjunto fuzzy de X. Então, para todo α [0, 1] temos: Demonstração. [12] [ f(a)] α = f([a] α ) Seja z f([a] α ) então existe x 0 X tal que f(x 0 ) = z e φ A (x 0 ) α, como x 0 pertence ao conjunto das imagens inversas de z, então: Logo, z [ f(a)] α. φ f(a) (z) = sup φ A (x) φ A (x 0 ) α f 1 (z) Por outro lado, seja x [ f(a)] α, isto é, φ f(a) (x) α. Assim f 1 (x) e [A] 0 f 1 (x). Portanto, φ f(a) (x) = sup z f 1 (x) φ A (z) = Sabemos que existe y f 1 (x) [A] 0 tal que sup φ A (z). z f 1 (x) [A] 0 sup φ A (z) = φ A (y) [13]. z f 1 (x) [A] 0 Logo φ A (y) α. Como φ A (y) α e f(y) = x. Segue que x f([a] α ). Este resultado nos diz que os α-níveis de um conjunto fuzzy obtidos pelo Princípio de Extensão de Zadeh, coincidem com as imagens dos α-níveis pela função crisp. Exemplo 3.1. [11] No exemplo 2.7 vimos que os α-níveis de A são dados por: [A] α = [ 1 2 (1 1 α), 1 2 (1 + ] 1 α)

50 48 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy onde, 4(x x 2 ), se x [0, 1] φ A (x) =. 0, c.c Façamos então a extensão de Zadeh pela função f dada por f(x) = x 2 para todo x 0. Logo: [ 1 f([a] α ) =f 2 (1 1 α), 1 2 (1 + ] 1 α) [ ( 1 = f 2 (1 ) ( 1 1 α), f 2 (1 + )] 1 α [ (1 = 2 (1 ) 2 ( 1 1 α), 2 (1 + ) ] 2 1 α [ ] 1 ( ) 2 1 ( ) 2 = 1 1 α, α 4 4 =[ f(a)] α. Desse modo, os níveis 0, 3 e 1 de [ f(a)] α são dados respectivamente por [0, 1], [ 4 1, ] e { 1 }. 4 Observamos também que a hipótese da função f ser contínua é essencial para a veracidade desse teorema: Exemplo 3.2. [14] Seja f : X Y, com X = N e Y = {a, b} dada por: a, se n 10 f(n) = b, se n > 10. Seja também A um conjunto fuzzy, com a seguinte função de pertinência: φ A (n) = 1 1 n, n N Então, φ f(a) (a) = sup φ A (n) = 9 f 1 (a) 10 φ f(a) (b) = sup φ A (n) = 1. f 1 (b) Assim, para α = 1 temos que [ f(a)] 1 [A] 1 =. Portanto f([a] α ) [ f(a)] α. = {b} enquanto que f([a] 1 ) = já que

51 Números fuzzy 49 Denição 3.2. Sejam f : X Y Z e A, B subconjuntos fuzzy de X e Y, respectivamente. A extensão f de f, aplicada a A e B é o subconjunto fuzzy f(a, B) de Z cuja função de pertinência é dada por: sup min[φ A (x), φ B (x)], se f 1 (z) φ f(a,b) (z) = f 1 (z) 0, se f 1 (z) = onde, f 1 (z) = {(x, y) : f(x, y) = z}. Exemplo 3.3. [11] Seja f : R R R dada por f(x, y) = x 2 + y. Consideremos A = 0, 4/3 + 0, 5/4 + 1/5 + 0, 5/6 + 0, 2/7 e B = 0, 2/6 + 0, 5/7 + 1/8 + 0, 5/9 + 0, 2/10. Vejamos qual é o grau de pertinência dos elementos z=10 e z=25 em f(a, B) Como f 1 (10) = então φ f(a,b) (10) = 0. Por outro lado, φ f(a,b) (25) = sup (φ A (4), φ B (9)) f 1 (25) = sup (0, 5; 0, 5) f 1 (25) =0, Números fuzzy Denição 3.3. (Números fuzzy)um subconjunto fuzzy A é chamado de número fuzzy quando o conjunto universo no qual φ A está denida é o conjunto dos números reais R e satisfaz as seguintes condições: 1. Todos os α-níveis de A são não vazios com 0 α 1; 2. Todos os α-níveis de A são intervalos fechados de R; 3. suppa = {x R : φ A (x) > 0} é limitado. Como os α-níveis de um número fuzzy A são intervalos fechados de R, denotaremos esses α-níveis por: [A] α = [a α 1, a α 2 ]. Observamos que para todo número real r, temos que 1, se x = r χ {r} (x) = 0, se x r

52 50 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy Denimos uma função de pertinência para {r}. Desse modo, todo número real r é um número fuzzy, ao qual denotaremos por r. Figura 3.2: Número fuzzy 2. A família dos números fuzzy será indicada por F(R) onde R é um subconjunto clássico de F(R). Queremos agora caracterizar e classicar esses números. Para isso deniremos alguns tipos de números fuzzy baseados na sua função de pertinência. Denição 3.4. Um número fuzzy A é dito triangular se sua função de pertinência é da forma: 0, se x a x a, se a < x u u a φ A (x) =. x b, se u < x b u b 0, se x > b Gracamente A possui a forma dada na gura 3.3.

53 Números fuzzy 51 Figura 3.3: Número fuzzy triangular Como os números reais a, u e b denem A então denotaremos esse número fuzzy pela terna (a; u; b). Existem outros tipos de números fuzzy, dentre eles classicaremos mais dois, os da forma trapezoidal e os da forma de sino. Denição 3.5. Um número fuzzy A é dito trapezoidal se sua função de pertinência possui gracamente a forma de um trapézio, isto é, x a, se a x < b b a 1, se b x c φ A (x) =. d x, se c < x d d c 0, se c.c Neste caso, A será representado por: A = (a; b; c; d).

54 52 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy Figura 3.4: Número fuzzy trapezoidal. Denição 3.6. Um número fuzzy tem a forma de sino se sua função de pertinência for suave e simétrica em relação a um número real. Isto é, dados u, a, δ R então φ A é da forma ( exp ( ) ) x u 2, se u δ x u + δ a φ A (x) = 0, c.c Figura 3.5: Número fuzzy na forma de sino. Para cada tipo de número fuzzy, analisemos os seus respectivos α-níveis. Proposição 3.1. Seja (a; u; b) um número triangular então seus α-níveis são dados por:

55 Números fuzzy 53 Demonstração. Seja (a; u; b) um número triangular. [a α 1, a α 2 ] = [a + α(u a), b + α(u b)]. Assim, para todo x a ou x b temos φ A (x) = 0. Assim, consideremos apenas o intervalo (a, b). Para x (a, u]: φ A (x) = x a u a = α x = a + α(u a). Como φ A é crescente em (a, u] então para que φ A (x) α para todo x (a, u] devemos ter x a + α(u a). Por outro lado, em (u, b) temos: φ A (x) = x b u b = α x = b + α(u b) Como φ A é decrescente em (u, b) então para que φ A (x) α para todo x (u, b) devemos ter x b + α(u b). Portanto, [a α 1, a α 2 ] = [a + α(u a), b + α(u b)] Observamos que não necessariamente devemos ter que b u e u a sejam iguais. Por isso, nem sempre teremos que um número triangular é simétrico, porém φ A (u) = 1 sempre. A imposição de simetria acarreta uma simplicação na função de pertinência de A, pois sendo u simétrico em relação a a e b, isto é, a = u δ e b = u + δ, então: 1 x u, se u δ x u + δ δ φ A (x) = 0, c.c Obtemos assim que os α-níveis são dados por: [a α 1, a α 2 ] =[(u δ) + αδ, (u + δ) α(δ)] =[u + δ(α 1), u + δ(1 α)]. Proposição 3.2. Se (a; b; c; d) é um número trapezoidal então os seus α-níveis são dados por: [a α 1, a α 2 ] = [a + α(b a), d α(d c)].

56 54 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy Demonstração. Seja (a; b; c; d) um número trapezoidal. Assim, para todo x a ou x d temos φ A (x) > 0 e portanto consideremos então apenas o intervalo (a, d). Logo, para x (a, b]: φ A (x) = x a b a = α x = a + α(b a) Como φ A é crescente em (a, b] então para que φ A (x) α para todo x (a, b] devemos ter x a + α(b a). Em (b, c] temos φ A (x) = 1 α. Logo x [A] α para todo α [0, 1]. Para x (c, d) temos que: φ A (x) = d x d c = α x = d α(d c) Como φ A é decrescente em (c, d) então para que φ A (x) α para todo x (c, d) devemos ter x d α(d c). Portanto, [a α 1, a α 2 ] = [a + α(b a), d α(d c)] Proposição 3.3. Seja A um número na forma de sino então seus α-níveis são dadas por: onde α é um nível xado. Demonstração. [ ( ) ( ) ] 1 1 u ln, u + ln, α α [a α 1, a α α 2 ] = a2 α a2 [u δ, u + δ], α < α Seja α um nível xado. Assim, para todo x α temos: ( ( ) ) 2 ( ) 2 x u x u φ A (x) = exp = α = ln α a a ( ) 2 ( ) x u = ln(α 1 ) x u 1 a a = ln α x = u ± a x = u ± ln ln ( ) ( ) 1 1 x = u ± a α 2 ln α ( ) a 2 ( ) 1 1 x = u ± ln α α a2

57 Operações aritméticas com números fuzzy 55 Para x < α temos que φ A (x) > 0 para todo x [u δ, u + δ]. Logo, [ ( ) ( ) ] 1 1 u ln, u + ln, α α [a α 1, a α α 2 ] = a2 α a2. [u δ, u + δ], α < α 3.3 Operações aritméticas com números fuzzy Primeiro, deniremos operações entre intervalos fechados da reta e depois estenderemos este conceito para números fuzzy. Denição 3.7. Sejam λ R e A,B intervalos fechados da reta dados por A = [a 1, a 2 ] e B = [b 1, b 2 ]. Denimos: 1. A soma entre A e B é o intervalo fechado A + B = [a 1 + b 1, a 2 + b 2 ] 2. A multiplicação de A por um escalar λ é o intervalo fechado [λa 1, λa 2 ], se λ 0 λa = [λa 2, λa 1 ], se λ < 0 3. A diferença entre A e B é o intervalo fechado A B = [a 1 b 2, a 2 b 1 ] 4. A multiplicação de A por B é o intervalo fechado A.B = [min P, max P ], onde P = {a 1 b 1, a 2 b 1, a 1 b 2, a 2 b 2 } 5. A divisão de A por B, se 0 / B, é o intervalo fechado A B = [a 1, a 2 ].[ 1 b 2, 1 b 1 ] fuzzy. Vejamos agora de que maneira podemos relacionar intervalos da reta com conjuntos Teorema 3.2. (Princípio de extensão para intervalos da reta) Sejam A e B dois intervalos fechados de R e uma das operações aritméticas entre números reais. Então: Demonstração. χ A B (x) = sup min[χ A (y), χ B (z)] {(y,z):y z=x} Veja que min{χ A (y), χ B (z)} = 1 y A e z B. Por outro lado min{χ A (y), χ B (z)} = 0 y / A ou z / B. Assim,

58 56 O Princípio de extensão de Zadeh e números fuzzy 1, y A e z B min{χ A (y), χ B (z)} = 0, y / A ou z / B. Desse modo, olhando para todos os x tais que x = y z obtemos sup min{χ A (y), χ B (z)} = {(y,z):y z=x} 1, y A e z B 0, y / A ou z / B, isto é, o supremo do mínimo será 1 se x = y z A B e 0 caso contrário. Logo sup {(y,z):y z=x} 1, se x A B min{χ A (y), χ B (z)} = 0, se x / A B =χ A B (x). Este teorema nos diz que as operações aritméticas para intervalos estendem as respectivas operações para números reais. Para isso basta ver que cada número real pode ser considerado um intervalo fechado com extremos iguais. Também, as funções características de cada um dos intervalos obtidos, por meio das operações aritméticas de intervalos, podem ser obtidas das respectivas operações para números reais. Corolário 3.1. Os α-níveis do conjunto A + B, com função característica χ A+B, são dados por: [A + B] α = A + B, α [0, 1] Demonstração. Basta notar que o conjunto A + B é um conjunto clássico e portanto [A + B] α = A + B, α [0, 1] Agora vejamos essas operações para números fuzzy. Denição 3.8. Sejam A e B dois números fuzzy e λ um número real. 1. A soma dos números fuzzy A e B é o número fuzzy, A + B, cuja função pertinência é sup min{φ A (x), φ B (y)}, se ϕ(z) 0 φ A+B (z) = ϕ(z) 0, se ϕ(z) = 0 onde ϕ(z) = {(x, y) : x + y = z}.

59 Operações aritméticas com números fuzzy A multiplicação de λ por A é o número fuzzy λa, cuja função pertinência é sup φ A (x), se λ 0 φ λa (z) = {x:λx=z} χ {0} (z), se λ = 0 φ A (λ 1 z), se λ 0 = χ {0} (z), se λ = 0, onde χ {0} é a função característica de {0}. 3. A diferença A-B é o número fuzzy cuja função de pertinência é dada por: sup min{φ A (x), φ B (y)}, se ϕ(z) 0 φ A B (z) = ϕ(z), 0, se ϕ(z) = 0 onde ϕ(z) = {(x, y) : x y = z}. 4. A multiplicação de A por B é o número fuzzy A.B, cuja função pertinência é dada por: sup min{φ A (x), φ B (y)}, se ϕ(z) 0 φ A.B (z) = ϕ(z), 0, se ϕ(z) = 0 onde ϕ(z) = {(x, y) : x.y = z}. 5. A divisão é o número fuzzy A/B cuja função de pertinência é sup min{φ A (x), φ B (y)}, se ϕ(z) 0 φ A/B (z) = ϕ(z), 0, se ϕ(z) = 0 onde ϕ(z) = {(x, y) : x/y = z}. Teorema 3.3. Os α-níveis do conjunto fuzzy A B são dados por [A B] α = [A] α [B] α, para todo α [0, 1], sendo uma das operações aritméticas fuzzy. A demonstração deste teorema pode ser encontrado em [12]. Os teoremas 3.1 e 3.3 produzem métodos práticos para se obter os resultados de cada operação entre números fuzzy. Tais métodos serão enunciados assim: Proposição 3.4. Sejam A e B números fuzzy com α-níveis dados, respectivamente por [A] α = [a α 1, a α 2 ] e [B] α = [b α 1, b α 2 ] então valem as seguintes propriedades: