Aula 4.

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1 1 Aula 4 1. Potências Radicais Expressões Algébricas Monômios ou termos algébricos Monômios ou termos semelhantes Operações com monômios Polinômios Polinômios com uma variável Operações com polinômios Divisão de polinômios por binômios do 1º grau Produtos Notáveis Problemas do primeiro grau Equação do 2º grau Relações de Girard Pares Ordenados Plano Cartesiano Funções Domínio e Imagem Reconhecimento gráfico de uma função Imagem de um elemento Zero de uma função Composição de funções Função Afim Função Quadrática Logaritmos Relação das questões comentadas nesta aula Gabaritos

2 2 1. Potências A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe: é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator Na potência se repete). 4 4 Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se: Exemplos: IMPORTANTE Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo. Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo. Toda potência de expoente 1 é igual a base. Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 1, 0 é çã á. Observação: 0 Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. Exemplos: 1

3 Propriedades Operatórias Em palavras: Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados. Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos. Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados. Exemplos a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) EC 1. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é: Qual o significado de Com dez fatores x.

4 4 Portanto, A soma dos algarismos é Letra A EC 2. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando, encontra-se: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 21 Vamos relembrar algumas propriedades das potências. Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, / E da mesma forma que, temos que (óbvio não?). Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? Observe que 20 = 18+2 e 19 = Portanto: Podemos colocar 2 18 em evidência: Letra C EC 3. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado: a) 1/3 b) 1/27

5 5 c) 3 d) 27 e) 1/9 Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior Vamos colocar 3 n em evidência no numerador e no denominador / Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil! Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos. Esta é a expressão. Vamos substituir por 3. Simplificando por Bem melhor, não?! Letra B EC 4. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10, 3. O valor de tal que é: a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

6 6 Perceba que Mas o enunciado nos disse que 3 10,. Portanto: , 10 Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes , 10 10, 10 10, 10 10, 10, , 3, Radicais Se é um número não 0) e é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de é um número não negativo ( 0) tal que. Vamos recordaro resultado de algumas raízes para fixar o conceito Raízes deíndicepar é í, é é. Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos: Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo.

7 7 Portanto: Desta maneira, é falso afirmar que Por outro lado, podemos escrever que Não é o radical que causa o sinal, e sim o sinal que o antecede. É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais). Por exemplo, 16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê 16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo. Note a diferença: Raízes de índice ímpar ã Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo Propriedades Considere, números reais não-negativos ( 0 0), um número natural maior que 1 e um número inteiro qualquer. 0

8 8 Efetue ) Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo: Potência de expoente racional , Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos: Observe: Exemplos: Racionalização de Denominadores , Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração. 3 Grosso modo, racionalizar é tirar o radical do denominador.

9 9 Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador. 1º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2 Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical. Lembre-se que se é um número não-negativo,. Veja os exemplos: O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!! 2º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2 Lembre-se que se a é um número não-negativo, Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: º caso Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um produto notável que será visto com detalhes ainda nesta aula. Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 2 2 Pois bem, vamos ver um exemplo:

10 Observe que o fator racionalizante de 5 2 é (troca o sinal). O fator racionalizante de 4 3 é. a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7 EC 5. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade é:, o valor de Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical. Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar acabar com o número irracional do denominador. Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por 2. Desta forma: Vamos lembrar o seguinte produto notável: 2 2 Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado. Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma

11 11 diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais Como 7 5, concluímos que O valor de 2 é Letra A EC 6. (APO/MPOG 2008 ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que Com essas informações, conclui se que: a) b 6 6 c) 0 d) / 6 e) Para que z sejaracional, o número que multiplica 3 deveser igual a 0. Portanto, Letra E 6 0 6

12 12 3. Expressões Algébricas Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará após alguns dias de trabalho, podemos escrever a seguinte expressão algébrica: 30 A letra representa o número de dias trabalhados. Desta maneira: Se, então a pessoa ganhará Se, então a pessoa ganhará Se, então a pessoa ganhará Observe que a letra foi substituída por vários números, ou seja, foi variando. Por essa razão, dizemos que é a variável. Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável. Vejamos alguns exemplos: 3 4 ã á: 2 5 ã ê á:,. IMPORTANTE Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre um número e uma letra ou entre duas letras. 3 Escreve se 3 2 Escreve se 2 Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos seguir os seguintes passos: 1) Substituir as letras pelos números reais dados. 2) Efetuar as operações indicadas, seguindo esta ordem: I Potenciação e radiciação II Multiplicação e divisão III Adição e subtração EP 1. Calcular o valor numérico de para 2 4. Basta trocar por 2 e por

13 13 EP 2. Calcular o valor numérico de para IMPORTANTE Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por números negativos. EP 3. Calcular o valor numérico de para 2/ IMPORTANTE Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por frações. 7 3 EP 4. Calcular o valor numérico de para 2, IMPORTANTE ? Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para determinados valores. Por exemplo, calcule o valor numérico da expressão para 3. Lembre se que não existe divisão por zero! 3 IMPORTANTE É de uso comum em álgebra usar notações do tipo para expressões algébricas. 1 1 Quando aparecer algo do tipo calcule 2, isto significa que devemos calcular o valo numérico da expressão para

14 14 EC 7. (ANEEL 2006/ESAF) Se 0, então é necessariamente verdade que: a) b) c) d) 0 e) Em qualquer fração, o denominador obrigatoriamente deve ser diferente de zero. Portanto, Para que a expressão acima seja igual a zero, o numerador deve ser igual a 0. Letra C Monômios ou termos algébricos Um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números em que alguns deles são representados por letras. Exemplos: Observe que nestas expressões não aparecem adições nem subtrações. Em um monômio, destacamos o coeficiente e a parte literal. Número Letras Nos nossos exemplos: Coeficiente: 5 5 Parte literal:

15 15 Coeficiente: Parte literal: Coeficiente: 1 Parte literal: IMPORTANTE Em álgebra, significa 1 e significa Monômios ou termos semelhantes Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplos: 4 3 são termos semelhantes. 5 3 são termos semelhantes. Lembre se que a multiplicação é comutativa, portanto não importa a ordem das letras! 2 3 são termos semelhantes. 3 7 não são termos semelhantes. 6. Operações com monômios Vamos aprender como calcular a soma, diferença, produto e quociente de monômios. Vejamos um exemplo: Devemos somar (ou subtrair) os coeficientes e repetir a parte literal. Observe que só podemos simplificar monômios semelhantes. Desta maneira, não podemos simplificar a expressão porque os termos 2 e 3 não são termos semelhantes. 2 3 EP 5. Simplifique a expressão Observe que e que A expressão não pode mais ser simplificada porque 5, 4 2 não são termos semelhantes. Para multiplicar monômios, devemos multiplicar os coeficientes e multiplicar Lembre se que para multiplicar potências de mesma base, conservamos a expoentes e para dividir potências de mesma base, conservamos a b EP 6. Simplifique a expressão 2 3.

16 IMPORTANTE Lembre se que quando o expoente não é escrito, consideramos que o expoente é igual a 1. EP 7. Simplifique a expressão Polinômios Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não semelhantes. São exemplos de polinômios: Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, devemos simplificá los. Exemplo: Este polinômio foi escrito na sua forma mais simples. Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes especiais: ô 1 ô 2 ô 3 Exemplo: 7 5 é um binômio. Os polinômios com mais de três termos não têm nome especial.

17 17 8. Polinômios com uma variável É o polinômio que apresenta uma única letra como variável. Exemplos: Geralmente os polinômios são apresentados segundo as potências decrescentes da variável polinômio ordenado polinômio não ordenado Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais potências da variável, dizemo que os coeficientes desses termos são zero e o polinômio é dito incompleto Operações com polinômios Vamos adicionar dois polinômios: Vamos subtrair dois polinômios: Devemos trocar os sinais dos termos do segundo par de parêntesis. Para multiplicar um monômio polinômio devemos multiplicar todos os termos do polinômio pelo monômio utilizando a propriedade distributiva da multiplicação Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, reduzir os termos semelhantes

18 Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio Vamos mostrar através de um exemplo a regra prática para efetuar a divisão de polinômios Termo de maior grau Termo de maior grau Os polinômios devem estar ordenados segundo as potências decrescentes da variável. O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau) 15 pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3. Obtemos O próximo passo é multiplicar 5 pelos termos do divisor, colocando o resultado com o sinal trocado abaixo do dividendo. Adicionamos os termos semelhantes e baixamos os termos seguintes

19 19 Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9 por 3 e obtemos 3. Multiplicamos 3 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial Dividimos o primeiro termo 21 pelo primeiro termo do divisor 3. Obtemos 7, em seguida multiplicamos 7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial Quociente Resto Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é exata. Desta forma, o polinômio é divisível pelo polinômio 3 4. Observe a seguinte relação importantíssima: No nosso caso, EP 8. Obtenha o polinômio que, dividido por 2, dá o quociente 1 e resto 4. Ora, sabemos que Portanto, o dividendo é Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. Desta forma, se o divisor é do 2º grau, então o divisor é, no máximo, do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então o resto é, no máximo, do 5º grau.

20 Divisão de polinômios por binômios do 1º grau Vamos dar algumas dicas em casos onde ocorre a divisão de polinômios por binômios do primeiro grau. Considere um polinômio qualquer Por exemplo Queremos obter o resto da divisão deste polinômio pelo binômio 2 4. Há uma maneira muito fácil de calcular o resto da divisão de qualquer polinômio por um binômio do 1º grau. Devemos seguir os seguintes passos: i) Igualar o binômio do primeiro grau a 0 e resolver a equação ii) Calcular o valor numérico em do valor obtido Isto significa que o resto da divisão de por 2 4 é 51. Muito fácil, não? Esta dica que acabamos de aprender tem um nome: Teorema do Resto. Entender o teorema do resto é bem fácil. Nós vimos acima que:. Ou, em símbolos: D = Q d + r Esta igualdade vale sempre!!! Ou seja, para qualquer valor de x que você usar, esta igualdade vai valer. Neste caso especial que estamos estudando, d tem grau 1. Consequentemente, r tem grau zero (pois seu grau é sempre menor que o grau do divisor). Ou seja, r é um número. Seja k o número que torna nulo o divisor. Quando fazemos x = k, temos: D ( k) = Q( k) d( k) + r D ( k) = Q( k) 0 + r

21 21 D ( k) = r Por isso que, para achar o valor do resto, basta calcular D(k), onde k é o número que torna nulo o divisor. EP 9. Determine o valor de de modo que seja divisível por 3. Para que seja divisível por 3 o resto da divisão deve ser zero, ou seja, a divisão deve ser exata. E como se calcula o resto da divisão? Primeiro, devemos igualar o divisor 3 a zero Para calcular o resto da divisão, devemos calcular 3, ou seja, devemos substituir por Como o resto da divisão deve ser zero: EC 8. (AFRFB 2009 ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x a) e (x b) com a b, então f é divisível pelo produto entre (x a) e (x b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: a) b) 13 7 x x c) x + 4 4

22 22 d) e) x x e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3). Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 1, devemos fazer o seguinte: i) Resolver a equação 1 0 Portanto, 1. ii) Calcular o valor numérico de para 1. Portanto, o resto é 1. Como este resto é igual a 5, então 1 5. Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 3, devemos fazer o seguinte: i) Resolver a equação 3 0 Portanto, 3. ii) Calcular o valor numérico de para 3. Portanto, o resto é 3. Como este resto é igual a2, então 3 2. Conclusão: f (1) = 5 e f ( 3) = 2. Queremos calcular o resto da divisão do polinômio pelo produto 1 3. Observe que o polinômio 1 3 é do segundo grau, porque Vimos anteriormente que se o divisor é do segundo grau, então o resto é, no máximo, do primeiro grau. Portanto, o resto é do tipo. Sejam q e r = a x + b, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f por ( x 1)( x + 3). Lembre-se que: f = q ( x 1)( x + 3) + ( ax + b). Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e Observe que 11 0, Assim, 1. Como 1 5, temos que Observe que 3 3 0, Assim, 3 3. Como 3 2, temos que 3 2.

23 23 Temos um sistema linear: Da primeira equação temos que 5. Da segunda equação temos que Portanto, Como a = e 4 13 b =. 4 Sabemos que o resto é, portanto: Resposta: 7 13 r = x Letra C 11. Produtos Notáveis Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na álgebra e que são chamados de produtos notáveis. Quadrado da soma de dois termos 2 2 Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 2 EP 10. Desenvolva 2 3.

24 Resposta: EP 11. Desenvolva Resposta: Note que IMPORTANTE ã, ú. ã, ú. Quadrado da diferença de dois termos 2 2 Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 2 EP 12. Desenvolva 4 3.

25 Resposta: Produto da soma pela diferença de dois termos 3 9 Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 2 2 EP 13. Desenvolva Resposta: Cubo da soma de dois termos Para calcular basta multiplicar por Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. 3 3 EP 14. Desenvolva 2 3.

26 Resposta: Cubo da diferença de dois termos Para calcular basta multiplicar por Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo. 3 3 EP 15. Desenvolva Resposta: EC 9. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 6 e. Então, é igual a: a) 12 b) 15

27 27 c) 18 d) 21 e) Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar todos os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No caso,,, 5 5 Vamos multiplicar o primeiro termo por 5. Vamos multiplicar o segundo termo por Finalmente, multiplicar o último termo por 5. E equação ficará assim: Colocando o número 5 em evidência: Como o enunciado nos informou que 6: ,5 Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a semelhança da expressão com a expressão? ã, ú.

28 28 ã, ú. Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável. Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 2 Você está lembrado qual é o valor de?o enunciado nos informou que. E o valor de, você está lembrado? Nós já calculamos e descobrimos que,. Portanto, 21. Letra D a) 5 b) 5/2 c) 2/5 d) 3 e) 1/2 2 2, EC 10. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 2 e 1/2, vale: Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos depois... A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque forneceu diretamente os valores de e de. Agressiva porque trocou o expoente da expressão pedida. Para calcular vamos ter um pouco mais de trabalho. A conversa é bem parecida com a da questão passada. Notou a semelhança da expressão com a expressão? ã, ú.

29 29 ã, ú. Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável. Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 3 3 Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova! Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal! Para calcular basta multiplicar por Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de. 3 3 Observe as duas parcelas do meio no segundo membro: 3 3 Podemos colocar a expressão 3 em evidência. Voltando ao produto notável: Sabendo que /:

30 30 Letra A Vamos agora resolver uma série de exercícios em que tenhamos que construir uma equação do 1º grau ou um sistema de equações. 12. Problemas do primeiro grau EC 11. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre: a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55 Considere um número real. Multiplicando-o por 2, obtemos 2. Somando 1 ao resultado, obtemos 2 1. Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: Este resultado é igual a 220. Vamos aplicar a propriedade distributiva. Letra B EC 12. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é: a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40.

31 31 c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo. Multiplicando o número obtemos 4. Em seguida some Depois divida por 3 Multiplique por 5 5 Subtraia O resultado é igual a Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais). Letra E EC 13. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 0,3 1,2 2,4 0,5 0,8 0,9 O valor de é: a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3

32 32 Para deixar o sistema um pouco mais limpo, podemos multiplicar as duas equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais.,3 1,2 2,4 10 0,5 0,8 0, Olhemos para a primeira equação: Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos por Multiplicando os dois membros da equação por 1: Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o numerador e o denominador por 7. Como 84: Letra A 49/

33 33 EC 14. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00. O número de mendigos era, portanto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Digamos que o homem caridoso possua reais e que existam mendigos. Vejamos a primeira situação. Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. O homem entrega 5 reais para cada um dos mendigos. Portanto, ele gastou 5 reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00. reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 5 reais. Esta O quantia homem daria possui para entregar exatamente 6 reais para cada um dos mendigos Ora, se 53 e 65, então São 8 mendigos. Letra D EC 15. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13

34 34 e) 15 Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa mania de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z... Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P. Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim,. Assim, 2. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Ora, há quatros anos, João tinha (J 4) anos e o seu pai tinha (P 4) anos. A idade João era a terça parte da idade de seu pai. ã A soma das idades dos três é 100 anos hoje. Assim, a mãe de João tem. O pai de João tem. O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe. Letra B EC 16. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a

35 35 a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos. Considere que o irmão mais novo tem anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 3,6,9 12. A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho. ã Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. O irmão mais velho está com 24 anos. Letra D ã 2 EC 17. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em Essa pessoa tem hoje: a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos. Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de Digamos que a pessoa tenha anos em Dessa maneira, terá 3anos em 2012 e 15anos em Isso porque = 3 e = 15. Ano Idade 15 3

36 36 A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em Letra C EC 18. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24 Se o primeiro número par for,então os próximos números pares sucessivos serão 2, 4 6. A soma destes 4 números deve ser igual a Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 pacotes. Letra C EC 19. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

37 37 Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos três é igual a 90. Assim, O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4. Letra C EC 20. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

38 38 O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas. Cada parte representa do tanque. Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em horas, em 1 hora encherão 1/x. Assim: Letra E 16. Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tem-

39 39 Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação: No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: EC 21. (Oficial de Chancelaria MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas

40 40 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: Letra B , EC 22. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão é dada por: a) 2 b) 2 c) 5 d) 5 e) 25 Vejamos o numerador: Vejamos o denominador: Desta forma: Como 5, podemos cortar os fatores Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. Portanto, podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, substituir x por 1. Bem melhor, não?

41 41 Letra A EC 23. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de: a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa mania de sempre usar x,y,z... No nosso caso, Carlos tem reais e Márcio tem reais. 1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui. Já que Márcio possui reais, Carlos dará reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as quantias de cada um: Carlos Márcio Início Carlos dá reais para Márcio É óbvio notar que se Carlos dá reais para Márcio, então Carlos perde reais e Márcio ganha. 1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Atualmente, Carlos possui. Portanto, Márcio dará a Carlos. Carlos Márcio Início Carlos dá reais para Márcio Márcio dá ( reais a Carlos As duas quantias são iguais a 16 reais.

42 Olhemos para a primeira equação: Podemos dividir os dois membros da equação por Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Como 8: Letra D EC 24. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00 Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui. Alice Bela Cátia Início 36 Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber reais. Para que Cátia duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais.

43 43 Alice Bela Cátia Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber 36. Para que Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais. Alice Bela Cátia Manipulando a expressão da quantia de Bela: Alice Bela Cátia Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber Para que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 36 para Alice e 3 36 para Bela, então ficou com: No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto, Multiplicando os dois membros por 1: A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: Letra B

44 44 EC 25. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00 Vamos assumir que Rui possui reais e que Pedro possui reais. Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. Ou seja, se Pedro possuía, ficará com. Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía, ficará com. Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro Rui diz a Pedro: Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Pedro ficará com 6 reais e Rui ficará com 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais Substituindo esta expressão na equação obtida acima: 5 7

45 Letra A EC 26. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00 Vamos utilizar as letras,, para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e Carlos, respectivamente. 1ª informação Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600, ª informação Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. 2 3ª informação Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Voltemos à primeira equação: Sabemos que. Portanto,

46 46 Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. Sabemos que e que Letra C EC 27. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido. Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados O número que está no primeiro quadradinho é: a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13 Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de, o segundo número de e o terceiro de. Concluímos que:

47 Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações. Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é. A equação que não aparece o é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da terceira equação por Ao somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com: Letra E EC 28. (Assistente Administrativo SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe (A) X foi m. (B) X foi m. (C) Y foi m. (D) Y foi m. (E) Z foi m. De acordo com o enunciado temos:

48 48 8,2,9 9 7 O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações. Vamos multiplicar a última equação por 1. 8,2,9 9,7 o somar as três equações, serão cancelados. Ficamos com: Substituindo este valor na primeira equação: Como 8,9: 8,2 8,9 9,7 2 7,4 3,7 3,7 8,2 4,5 3,7 8,9 5,2 Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: foi 4, foi 3, foi 5, Letra B

49 Equação do 2º grau Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a 0. Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo: ± x = 2 b b 4ac 2 Denominamos discriminante o número real Δ= b 4ac, podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira, 2a b ± x = 2a Δ Resolva as equações abaixo: a x x + = 2 ) a = 2, b = 10, c = 12 ( ) 2 Δ= Δ= 4 ( 10) ± 4 10 ± 2 x = = 22 4 x = 2 ou x = 3 S = {2;3} 2 b) x + 6 x 9 = 0 a = 1, b = 6, c = 9 ( ) 2 Δ = 6 4 ( 1) ( 9) Δ= 0 6 ± 0 6 ± 0 x = = 2( 1) 2 x = 3 ou x = 3 S = {3} 2 ) = 0 c x x a = 1, b = 4, c = 7 ( ) 2 Δ = Δ= 12 Δ= 12 R S = φ Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadascom números reais. Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar. Δ> 0 Duas raízes reais e distintas Δ= 0 Duas raízes reais e iguais Δ< 0 Não há raízes reais EC 29. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1)

50 50 d) (-7,1) e) (-1,0) Considere uma equação do 2º grau 0, com 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 4 2 Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo, Assim, x = 7 ou x = 1. Letra C EC 30. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x 4 +13x =0 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1} A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x 2 de y. Ou seja, x 2 = y. Assim, x 4 = y 2. A equação ficará Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula: 4 2

51 Assim, ou Como x 2 =y, então x 2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x 2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio. Letra B EC 31. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x 4-25x = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25 A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x 2 de y. Ou seja, x 2 = y. Assim, x 4 = y 2. A equação ficará Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:

52 Assim, ou Como x 2 =y, então x 2 = 16 ou x 2 = A soma de todas as raízes da equação é Letra A EC 32. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de é igual a: a) 6 b) 2 c) 1 d) 6 e) 13 Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo, a equação ficará:

53 53 i) ou Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a raiz quadrada de 51 não é um número real. ii) A soma dos valores reais de x é igual a Letra C EC 33. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação tenha duas raízes iguais: a) 0 b) 8 0 c) 8 d) 8 0 e) 0 8

54 54 Uma equação do tipo 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ 4 for igual a Vamos colocar em evidência Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0. Portanto, Ou seja, 0 8. Letra B EC 34. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinhase O valor de X é: a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52 De acordo com o enunciado, Vamos calcular o discriminante: Δ Temos que calcular a raiz quadrada de Observe o seguinte fato:

55 Como , então a raiz quadrada de é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). Deu errado... Só pode ser 86! Voltando à equação: Como x representa o número de soldados, obviamente 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula. Letra B x soldados EC 35. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27 Digamos que há funcionários e que cada um arquivará processos. O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma:

56 56 No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. Ou seja, cada um dos 2 funcionários arquivará 9 processos Sabemos que 108, logo: Vamos substituir o valor de por Vamos multiplicar os dois membros da equação por Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o funcionários. 18 á Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos.

57 57 Letra E 14. Relações de Girard Vamos resolver a equação Considerando a notação usual 0 0, temos que 12, Assim: Vamos calcular a soma das raízes: Vamos calcular o produto das raízes: Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim... Existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard. São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto. Vejamos: Chamaremos de as raízes da equação 0. Desta maneira: b + Δ b Δ x1 = e x2 = 2 a 2a Vamos multiplicar e somar estes dois números:

58 58 Vamos voltar ao nosso exemplo: , 10 2 Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por: O produto das raízes é dado por: EC 36. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx 2 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7 Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

59 59 A soma das raízes dessa equação é dada por e o produto das raízes é dado por 4 2 Voltemos ao problema. Na equação mx 2 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10. A soma das raízes é igual a 7, logo Letra C EC 37. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x 2 10x + 2m 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2, a soma das raízes é dada por Na questão anterior vimos que na equação 0 e o produto das raízes é dado por Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m 4. Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,

60 Letra D EC 38. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x 2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 Sejam x 1 e x 2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x 1 = 2x 2. Sabendo os valores de a e c, temos condições de calcular o produto das raízes. Como x 1 = 2x 2, Como as raízes são positivas, então 1 2 Consequentemente

61 61 Assim, a soma das raízes será igual a Letra D ,5 EC 39. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação 0 possui raízes 3 e 5. Então, é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23 Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0. A soma das raízes dessa equação é dada por e o produto das raízes é dado por Sabemos que 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é 35 8 e o produto das raízes é Letra A 815 7

62 Pares Ordenados Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no qual é irrelevante a ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o conceito de par ordenado, um ente matemático que depende da ordem em que os números a e b são considerados. Um par ordenado é indicado entre parêntesis e os elementos são separados por vírgula (ou ponto e vírgula).. O número é chamado abscissa do par e o número é chamado Considere ordenada o par ordenado do par. Dois pares ordenados são iguais se e somente se possuírem a mesma abscissa e a mesma, ordenada.,, Lembra do símbolo? Estudamos nas aulas de lógica. Ele significa o conectivo e. Exemplo: Os pares ordenados 2, 3 4, são iguais porque: Observe que em geral,,. Só teremos a igualdade,, nos casos em que. 16. Plano Cartesiano Considere duas retas e. orientadas Chamaremos estas retas de eixos coordenados. Considere ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90 o ) e se cortam no ponto O. Ponto O Origem do plano cartesiano

63 63 O eixo é o eixo das abscissas. O eixo é o eixo das ordenadas. A origem do plano cartesiano é o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário. 2º quadrante 1º quadrante 3º quadrante 4º quadrante Como representamos o par ordenado, no plano cartesiano? - Localizamos o número no eixo e desenhamos uma reta vertical passando pelo ponto encontrado. - Localizamos o número no eixo e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto encontrado. - O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto,. Localize no mesmo plano cartesiano os pontos 2,4,1, 3,3,0 0,2. 4 2,4 0, ,0 3 1, 3 3 Observações i) O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do eixo possuem a ordenada igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo possuem.

64 64 ii) O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do eixo possuem a abscissa igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo possuem. 17. Funções João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o t de matemática, pediu para o taxista explicar como funciona a corrida de táxi. O taxista explicou que ele deve pagar uma pago em qualquer corrida de táxi e mais R$ 0,50 por Como a distância da casa de João até o seu trabalho é 0,50 mais R$ 3,50. Portanto, João pagará R$ 8,00 para fazer caro e começou a fazer as contas de quanto pagaria na corrida dependendo da quantidade de quilômetros rodados decidiu que faria o restante do percurso andando. 8 quilômetros 3,50 8 0,50 7,50 7 quilômetros 3,50 7 0,50 7,00 6 quilômetros 3,50 6 0,50 6,50 5 quilômetros 3,50 5 0,50 6,00 4 quilômetros 3,50 4 0,50 5,50 está em função João percebeu que o valor a ser pago pela corrida depende da quantidade de quilômetros rodados. Quilômetros rodados Valor a ser pago?? 2,00?? 2,50 4 5,50 5 6,00 6 6,50 7 7,00 8 7,50 9 8,00 Observe que a cada quantidade dada de quilômetros rodados, podemos calcular o valor correspondente a ser pago. Obviamente todas as quilometragens possuem um, e apenas um valor a ser pago. Nem todos os valores a serem pagos possuem uma quilometragem correspondente. No exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas R$ 2,00 ou R$ 2,50.

65 65 A ,00 2,50 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 B O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis (possíveis valores a serem pagos). Observe que cada elemento de A corresponde a um único Esta relação é denominada função de A em B. Podemos garantir, matematicamente, que se trata de uma função porque: i) Todos os elementos de A participam da relação (mand ii) Os elementos de A participam da relação apenas uma Ou seja, podem acontecer duas coisas para que uma relação i) Algum elemento de A não participar da relação (não ii) Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar mais de uma flecha). A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida deve se relacionar com um elemento do conjunto imagem, e esse elemento deve ser único.

66 66 Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções? A B Não é função, pois existe elemento de A que não se relaciona. A B É função, pois todos os elementos de A se relacionam apenas uma vez. A B Não é função, pois existe elemento de A que se relaciona mais de uma vez. A B É função, pois todos os elementos de A se relacionam apenas uma vez.

67 Domínio e Imagem No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os elementos de B que recebem as flechas formam o conjunto imagem. Desta forma: í : 4,5,6,7,8,9 í : 2,00 ; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00 : 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00 Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos os elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio. 19. Reconhecimento gráfico de uma função Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma função de A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos os pontos do conjunto partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas um ponto, então a dada relação binária é uma função. Exemplos : 1,2 A curva acima representa uma função já que todas as retas verticais encontram o gráfico apenas uma vez. : 0,6

68 68 A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que encontram o gráfico mais de uma vez. EC 40. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x). O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função. Letra C

69 Imagem de um elemento. O elemento y é chamado valor de f do elemento x e escrevemos dessa forma:. Exemplo Dada a função real definida por ² +1calcule: Isto significa que o gráfico da função passa pelos pontos 0,1, 1,2, 2,3. Podemos também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o número 1 manda uma flecha para o número 2 e o número 2manda uma flecha para o número 3. EC 41. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse elemento x. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. c) f não é uma função. d) e) 5 A função associa a cada elemendo em A o número de letras distintas desse elemento. Ana possui 2 letras distintas. José possui 4 letras distintas. Maria possui 4 letras distintas. Paulo possui 5 letras distintas. Pedro possui 5 letras distintas.

70 70 A 1 B é Desta maneira, podemos afirmar que: 2 é 4 5 Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao mesmo elemento no contradomínio. Por exemplo, é 4. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado com algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado. c) f não é uma função. Esta alternativa é falsa, pois é uma função. Todos os elementos de A se relacionam uma única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e ninguém manda mais de uma flecha. d) 5 Falso. Maria tem 4 letras distintas. 4. e) Verdadeiro. Como foi visto, 5. Letra E

71 71 EC 42. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. a) O número representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto. Obviamente, este número é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 12 por um número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é positivo e maior que 3. Desta maneira, a letra A é falsa. b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos substituir por A alternativa B é falsa ,4 5 0,4 5 0, c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de por 3. A alternativa C é falsa d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de por 10. A alternativa D é falsa ,2 e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos.

72 ,5 12 0,5 0, ,5 5 Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa. Letra E 21. Zero de uma função Zero ou raiz de uma função é todo elemento do domínio tal que a sua imagem seja igual a 0, i.e., números tais que f(x)=0. Geometricamente, determinamos os zeros de uma função obtendo a interseção do gráfico com o eixo dos x. Zeros da função Exemplo: Determine os zeros da função definida por 5 6. Basta resolver a equação

73 Isto significa que o gráfico da função 5 6 toca o eixo nos pontos de abscissa 2 e 3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria sobre função quadrática). 22. Composição de funções Considere por exemplo a função : 3 2 Calcule: Considere agora a função : Calcule Dada a função : 6 1 Calcule

74 74 Vamos verificar no diagrama de flechas o que aconteceu A primeira aplicação foi a função. Ela relacionou o número 1 com o número 1, o número 2 com o número 4 e o 3 com o número 11. Em seguida, a função pegou esses valores (1,4,-11) e os relacionou com (7,13,-17) respectivamente E o que a função fez? A função utilizou um atalho relacionando o número 1 como número 7 (sem passar pelo 1), o número 2 com o número 13 (sem passar pelo 4) e o número 3 com o número 17 (sem passar pelo

75 Esta função atalho é a chamada função composta de g com f. E como descobrimos a lei de formação desta função atalho? Vejamos: A função relaciona o número com o. A função pega o resultado da função f e relaciona com a sua imagem. Ora, o resultado da função f é, portanto, a função levará o para o. Por isso o nome da função é composta de g com f (nesta ordem). Assim, definimos a função pela lei de formação. Vejamos a função. Como se calcula, por exemplo, 8? Basta substituir o por 8! Como se calcula? Basta substituir o por! Que é justamente a lei de formação da função (lê-se h! g composta com f ou g bola f ). Ou seja,. Pode-se indicar a função composta por EC 43. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Seja a função f(x) = x² + 5, e g(x) = x 4. A função composta f o g, para x = 2 é igual a a) 9. b) 5. c) 6.

76 76 e) - 4. O símbolo f o g é lido como f composta com g ou f bola g (por favor, nunca fale em voz alta fog com a letra O no meio! Heheheh). E o que significa f composta com g. Existe uma operação entre funções denominada composição. No caso,. Ou seja, primeiro aplicamos a função g. O resultado desta aplicação é colocado na função f. Assim, para x = 2, devemos calcular primeiramente g(2). Assim, Letra A Poderíamos ter calculado a lei de formação da função f o g. Sabemos que Para calcular devemos substituir o x da função f por g(x).. Lembre-se que f(x) = x² + 5 e que g(x)=x 4. Dessa forma, Para x = 2, EC 44. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Se R denota o conjunto dos números reais e e 2 3 são funções de R em R, então a lei de definição da função composta 2 7 é dada por a) 3 1 b) c) 3 9 d) e) 1

77 77 Queremos calcular a lei de formação da função Devemos substituir o da função por Letra B EC 45. (AFC-STN 2008/ESAF) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 1 t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1, isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2.... Sabendo-se que após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a: a) 0,8 b) 0,7 c) 2,5 d) 0,42 e) 0,36 Vamos começar com um exemplo numérico qualquer para entendermos bem o funcionamento da calculadora. Digamos 3. A tecla T1 transforma o número t no número 1/t. Ou seja, esta tecla inverte o número. O inverso de 3 é 1/ Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no número 1-t. Como o número que está na tela é igual a 1/3, a tecla T2 transformá-lo-á no número: Vamos novamente apertar a tecla T1. A tecla T1 transforma o número t no número 1/t. Ou seja, esta tecla inverte o número. O inverso de 2/3 é 3/2.

78 E assim sucessivamente... Vamos começar com um número genérico. Apertando a tecla T1 deveremos inverter o número obtendo 1/x. 1 Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no número 1-t. Como o número que está na tela é igual a 1/x, a tecla T2 transformá-lo-á no número: Apertando a tecla T1 deveremos inverter o número 1 1 obtendo. 1 Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no número 1-t. Como o número que está na tela é igual a, a tecla T2 transformá-lo-á no número: Apertando a tecla T1 deveremos inverter o número obtendo Vamos agora apertar a tecla T2. A tecla T2 transforma o número t que está na tela no número 1-t. Como o número que está na tela é igual a 1, a tecla T2 transformá-lo-á no número:

79 E assim, voltamos para a situação inicial: o número com a tecla T1 para ser apertada. Entramos em um loop. Resumindo: se você digita um número qualquer e aperta a sequência T1-T2-T1-T2-T1-T2 a calculadora retorna o número inicialmente digitado. São operações com as teclas. Já que elas se repetem a cada 6 operações, vamos dividir por 6. Isto significa que apertaremos a sequência T1-T2-T1-T2-T1-T2 duzentas vezes e ainda apertaremos mais 4 teclas: T1-T2-T1-T2 Ao apertar a sequência T1-T2-T1-T2-T1-T2 duzentas vezes (um total de 6 x 200 = operações) voltamos para o número inicialmente digitado. Sabemos que começando com o número e apertando a sequência T1-T2-T1-T2 obtemos: 1 Então o número da tela é igual a O enunciado nos disse que esse número é igual a ,8 Portanto, o número que Elaine digitou é igual a 0,8. Letra A Questãozinha trabalhosa, hein? Dá para entender o desespero!

80 80 EC 46. (ISS-Natal 2008/ESAF) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade 1 2, para todo inteiro. Com estas informações, conclui-se que 0 é igual a: a) 2 / b) 2 / c) 2 / d) 2 / e) 2 / Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo real. Vamos ver o caso em que 0. Substituindo por 0, temos: çã Vejamos outro caso. Vamos fazer 2. Temos: / çã Vamos substituir a equação I na equação II, ou seja, onde tem 2 substituímos por / / / 0 2/ 2/ / 2 Lembre-se que para dividir potências de mesma base, devemos conservar a base e calcular a diferença entre os expoentes.

81 / 2 2/ / 2/ Letra A 23. Função Afim A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no cotidiano muitas pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau). Uma função é chamada de função afim quando for do tipo: Vejamos alguns exemplos: :, O coeficiente é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente é chamado de coeficiente linear ou termo independente. Dependendo dos valores de e, a função afim pode receber alguns nomes especiais. Sempre que 0, a função afim é chamada de função linear. A função linear é chamada de função identidade. Ou seja, quando 1 e 0, a função é chamada de identidade. Gráfico o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos coordenados. Veremos na aula de Geometria Plana que dois pontos distintos determinam uma reta. Desta maneira, para construir o gráfico da função afim devemos seguir os seguintes passos: i) Escolher dois valores arbitrários para. ii) Calcular os valores correspondentes de. iii) Marcar os dois pontos no plano cartesiano. iv) Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados.

82 82 Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo: 2 4. Vamos utilizar 1 1. Quando 1, temos Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6). Quando 1, temos Ou seja, a reta passa pelo ponto (-1,2) Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta corta os eixos coordenados? Vimos que (na seção sobre zeros da função) para determinar o intercepto do gráfico com o eixo, devemos resolver a equação Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função, seja ela afim, quadrática, exponencial, trigonométrica, etc. Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo? Basta calcular 0, ou seja, substituir por

83 IMPORTANTE Vimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo basta calcular 0. Ora, a função afim é definida por. Desta maneira, 0 0. Resumindo: a ordenada do ponto em que a reta toca o eixo é igual a b. Note que no exemplo anterior, o valor de b é igual a 4 : exatamente o valor em que a reta toca o eixo. IMPORTANTE Vimos que a função afim é chamada de função linear quando 0. Como o valor de é o intercepto do gráfico com o eixo, concluímos que o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano. Construa o gráfico da função real definida por 3 6. Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o gráfico com um pouco mais de velocidade. 6, logo o gráfico corta o eixo no ponto de ordenada igual a 6. Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo, devemos resolver a equação

84 84 Resumindo: a reta corta o eixo no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo no ponto de ordenada igual a Vamos comparar os dois gráficos construídos Observe que: Quando 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda). Quando 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita). Construa o gráfico da função real definida por 3. Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do plano cartesiano. Além disso, como 3 0, a função é decrescente. Vamos calcular o valor da função para

85 85 Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto 1, Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos 2,5 e 1, 4. Vale a pena lembrar! O coeficiente a é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0, a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente). Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular (). Quando são dados dois pontos (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, Já que o gráfico passa pelos pontos 2,5 e 1, 4, então o coeficiente a é dado por Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo. Bom, tendo calculado o coeficiente a, a lei de formação da função afim torna-se 3. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente b. O coeficiente b é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y.

86 86 Utilizemos por exemplo o ponto 2,5. Este ponto nos informa que quando x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é 3, devemos substituir esses valores na lei Assim, a lei de formação da função é 3 1. EC 47. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x 3 (C) f(x) = x 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3 Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau. Amplamente definida, seu gráfico é uma reta. Sua lei de formação é do tipo. O coeficiente a é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0, a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente). Quando são dados dois pontos (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente a é dado por Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B. Bom, tendo calculado o coeficiente a, a lei de formação da função afim torna-se 2. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente b. O coeficiente b é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y.

87 87 Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é 2, devemos substituir esses valores na lei Assim, a lei de formação da função é 2 3. Letra B EC 48. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula, em que C é o número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm. O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial do 1º grau do comprimento do pé. Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7. Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = O 4 que está dividindo o segundo membro, passa multiplicando o 1º membro. Assim, Letra C ,2 EC 49. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma função do tipo f (x) = ax + b.

88 88 Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que (A) possui duas raízes reais. (B) a < 0. (C) b > 0. (D) ab < 0. (E) não possui raízes reais. Sua lei de formação é do tipo. O coeficiente a é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0, a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente). O coeficiente b é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y. Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O ponto em que o gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da função. Para determinar o zero ou raiz da função basta resolver a equação f(x) = 0. Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é falsa). Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que b > 0 (a alternativa C é verdadeira).

89 89 Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa). Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma raiz real (as alternativas A e E são falsas). Letra C EC 50. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r 1 = αx e r 2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 b) α > 0 e β < 0 c) α < 0 e β < 0 d) α < -1 e β < 0 e) α > -1 e β > 0 Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa (y < 0), concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro quadrante. Vejamos a reta. Seu coeficiente linear ( é igual a 0. Portanto, seu gráfico passa pela origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos duas possibilidades. Se 0, a função é crescente. Se 0, a função é decrescente. 3º quadrante Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta (função crescente). deve ser ascendente Portanto, 0. Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r 2 = -2x +β. Seu coeficiente angular é negativo e, portanto, a reta é descendente.

90 90 r 1 Sabemos que é o coeficiente linear da reta. O coeficiente linear indica onde a reta corta o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro quadrante, a reta deve cortar o eixo abaixo da origem, portanto, 0. Letra B 24. Função Quadrática A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau (muitos no cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau). Uma função é chamada de função quadrática quando for do tipo : definida por ², 0 O coeficiente é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente é o termo independente. A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais sobre a parábola).

91 91 A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem decide isso é o coeficiente dominante. Se 0,a concavidade da parábola está voltada para cima. Se 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 0 0 Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo, basta calcular o valor de 0. Como a função quadrática é regida pela lei ² : f0 a. 0² b.0c f0c Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo independente nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo. Nesta aula, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Também aprendemos nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo devemos resolver a equação 0. Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo devemos resolver a equação ² 0

92 92 Vimos que há três casos a considerar: São 6 possibilidades. 0 Δ0 4 2 Δ> 0 Duas raízes reais e distintas Δ= 0 Duas raízes reais e iguais Δ< 0 Não há raízes reais Assim, a parábola pode cortar o eixo em dois pontos distintos, pode tangenciar ( encostar ) o eixo ou pode não tocar o eixo. 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 Vértice da Parábola V V O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. Quando 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo. Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente,. As coordenadas do vértice são dadas pelas fórmulas: 2 Δ 4

93 93 Quando 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de minimante. Quando 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de maximante. Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções quadráticas. Em geral, vamos seguir os seguintes passos. i) Desenhar o eixo. ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver). iii) De acordo com o valor de e Δ desenhar um esboço da parábola. 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 0 Δ0 iv) Calcular as coordenadas do vértice. Δ 2 4 v) Traçar o eixo. vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo (lembre-se que este intercepto é dado pelo valor do termo independente). Construa o gráfico da função real definida por 6 8 Temos que 1, 6 8. Como 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Vamos calcular o valor do discriminante: Δ Como Δ 0,a parábola corta o eixo em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular as raízes:

94 94 Δ Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto: Vamos calcular as coordenadas do vértice: 6 3 Δ Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as raízes e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. Como as raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por:

95 95 Lembrando agora que o coeficiente 8 é o intercepto do gráfico com o eixo EC 51. (Secretaria de Estado da Administração Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = x x 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo. Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00 Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática com 0. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um ponto de mínimo.

96 96 Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um ponto de máximo. Se a < 0, a função quadrática admite o valor máximo á Δ 4 á b 2 Neste caso o valor Δ maximante. é denominado valor máximo da função e o valor Se a > 0, a função quadrática admite o valor mínimo í Δ 4 í b 2 Neste caso o valor Δ minimante. O ponto, Δ é denominado valor mínimo da função e o valor é denominado é denominado é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis. Obviamente, o lucro máximo é maior do que e menor do que resposta só pode ser a letra D. Assim, a Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. O valor máximo da função é dado por á Δ 4 Lembrando que Δ 4. A função lucro é dada por L(x) = x x 800. Então Δ

97 97 Assim, o valor máximo (lucro máximo) é Letra D á Δ Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo bastaríamos calcular x máx. Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x). á Observe outra coisa: o x máx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que a parábola toca o eixo x em x = 10 e em x = 80. Assim, á E, sabendo o x máx podemos calcular y máx substituindo o x na função por EC 52. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: Sabendo que A é o conjunto solução de e B o conjunto solução de, então o conjunto é igual a: a) 2 b) 2 c) 1 d) 0 e) Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos reais pela lei com 0. Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.

98 98 As raízes da função são dadas pela fórmula 4 2 O número 4 é chamado de discriminante. Se 0,então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos. Se 0,então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o gráfico tangencia o eixo x. Se 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o eixo x. Considere a função 2 1. O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla). Resolver a inequação 2 1 0, significa responder quando é que a função 2 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o gráfico exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 apenas para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é 1. Olhemos a segunda inequação O gráfico da função g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as raízes:

99 Temos o seguinte gráfico. Resolver a inequação significar responder quando a função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto 2. O enunciado pede o conjunto. A interseção resume-se ao ponto x=1. 1 Letra C EC 53. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 4 4 e 6 5. Assinale a alternativa que apresenta a solução da inequação definida por 0. a) 2 b) 1 2 c) d) 1 5 e) 2 Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das funções. i) 4 4

100 100 Cálculo das raízes: Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de é uma parábola com a concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo no ponto de abscissa igual a 4. 2 ii) Cálculo da raiz: Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função crescente) e que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1. 1

101 101 Vejamos a solução da inequação 0 lembrando as regras dos sinais na multiplicação Letra B Assim, a solução da inequação é o conjunto 1 2. ATENÇÃO!!! Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e achava que o correto era 6 5 iria marcar a letra D!!!!! Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar... Eles colocaram 65 para que você usasse 5 5. EC 54. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir representa a função, de domínio real, dada pela lei.

102 102 Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que (A) a < 0, b < 0 e c < 0 (B) a < 0, b < 0 e c > 0 (C) a < 0, b > 0 e c < 0 (D) a < 0, b > 0 e c > 0 (E) a > 0, b < 0 e c < 0 Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que 0. A parábola corta o eixo abaixo da origem do plano, portanto 0. Precisamos descobrir o sinal do coeficiente. Obviamente a coordenada do vértice é negativa. 2 0 Multiplicando os dois membros por 1 devemos inverter o sentido da desigualdade. 2 0 Como 0, então o denominador é negativo. Para que a divisão seja positiva, o numerador também deve ser negativo. Portanto, 0. Letra A

103 Logaritmos Considere dois números reais e positivos e. Por motivos que ficam além dos objetivos desta aula, consideraremos que 1. Denominamos logaritmo na base o expoente que se deve dar à base de modo que a potência obtida seja igual a. Na simbologia algébrica, temos: Nomenclaturas log Na expressão log : é a base. é o logaritmando ou antilogaritmo. é o logaritmo. Logaritmação Qual o significado da expressão log 9? Em suma, como se calcula o valor de log 9? Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que número é igual a 9? A resposta é 2. Portanto, log 9 2. Ou seja, log Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de log 125. Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que número é igual a 125? A resposta é 3. Portanto, log Ou seja, log Propriedades decorrentes da definição i) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0. log 10 Esse fato é de fácil explicação, visto que qualquer número não-nulo elevado a 0 é igual a 1. Exemplo: Qual o valor de log 1? Devemos raciocinar: 4 elevado a que número é igual a 1? A resposta é 0.

104 104 Portanto, log ii) O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1. log 1 Esse fato também é de fácil explicação, visto que qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo. Portanto, temos que: log 5 1 log 10 1 log 1 iii) Dois logaritmos são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais. log log Observe, que já que se trata de um se e somente se, podemos utilizar essa propriedade nos dois sentidos. Ou seja: Se os logaritmos são iguais, então os logaritmandos são iguais. Se os dois números são iguais (números positivos), então os logaritmos em qualquer base também são. Utilizaremos bastante este fato na solução de equações exponenciais. Bases especiais Existem dois sistemas de logaritmos que são muito importantes (inclusive em Matemática Financeira), que são: i) Sistema de logaritmos decimais É o sistema de base 10. Utilizaremos a seguinte notação: Observe que: log 10 log log log ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais. É o sistema de base 2, O número tem uma infinidade de aplicações na Matemática.

105 105 Utilizaremos o número em Matemática Financeira no estudo das Capitalizações Contínuas. Adotaremos a seguinte notação: Observe que: Propriedades operatórias log log 1 i) Logaritmo do produto O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos é igual a soma dos logaritmos dos fatores (em qualquer base). Exemplo: Sabemos que: log 8 3, 2 8. log 16 4, log log log Vamos calcular o logaritmo de na base 2. Portanto, O que é verdade, já que ii) Logaritmo do Cociente log 128 log 8 16 log 8log log O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base). log log log Exemplo: Sabemos que: log 9 2, 3 9. log 243 5,

106 106 Vamos calcular o logaritmo de /9 na base 3. Portanto, O que é verdade, já que iii) Logaritmo da potência log 27 log log 243 log 9523 log 27 3 O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Exemplo: Sabemos que: log 8 3, 2 8. log log Vamos calcular o logaritmo de na base 2. Portanto, O que é verdade, já que log 512 log 8 3 log log EC 55. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 2 t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão preocupante. (Considere: log 10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo necessário para que entre no padrão é a raiz da equação

107 O logaritmo de auxílio dado pela questão está na base 10. Podemos, portanto logaritmar ambos os membros na base 10. Lembrando que log log, Lembrando também que log 1, Letra C log 2 log log 2 log 10 log 23 log 10 0, ,3 10 EC 56. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27. Quando a base não é escrita, por convenção, utiliza-se a base 10. Portanto, os logaritmos escritos no enunciado são todos de base 10. Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo é fatorar 144. Temos então que log 144 log 2 3 Sabemos que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. log2 3 log2 log3

108 108 Sabemos também que o logaritmo da potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base. Portanto, Letra D log 2 log ,3 2 0,47 1,2 0,94 2,14 EC 57. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação ,01, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de a), b) log 2 1,01 c) 2 2 1,01 d), e) 50 Para calcular a população hoje, basta fazer t = , Portanto, queremos saber quando a população será Basta fazer N = , O que está multiplicando passa para o segundo membro dividindo. 1,01 2 i) Se dois números são iguais, então os seus logaritmos em qualquer base também são. 1,01 2 Logaritmando os dois membros: 1,01 2 1,01 2

109 109 2 log 1,01 Letra A EC 58. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano considerado ano t = 0 -, pode ser calculada pela fórmula, em que k é uma constante positiva, é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 e é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para e que a população triplique em 6 anos, então será duplicada em a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos. Quando a população for triplicada, teremos: P = 3P 0. Isto ocorrerá em 6 anos. Logo: Ou seja: 3 3 Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. Lembre-se que Quando a população for dobrada, teremos: P = 2P 0. Isso ocorrerá em t anos. Logo: 2 2 Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. 2 2 Lembre-se que 1.

110 Como sabemos que ,63 3,78. Letra E EC 59. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 3 2x x + 5 = 0 é (A) 4. (B) 0,5. (C) log 3 5. (D) log 5 3. (E) 5. Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, / E da mesma forma que, temos que (óbvio não?). Assim, o primeiro termo da equação, 3 2x + 1 =3 2x.3 1 =3.3 2x Lembremos outra propriedade das potências: Assim, 3 2x = (3 x ) 2. Podemos reescrever a equação 3 2x x + 5 = 0 da seguinte forma: Fazendo 3, a equação toma a seguinte forma:

111 111 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 3, b = -16 e c = 5) devemos utilizar a seguinte fórmula: Assim, ou Mas como 3, então 3 5 ou 3 1/3. Temos agora duas equações exponenciais para resolver. i) 3 5 Sabemos que a expressão pode ser escrita na forma log. Assim 3 5 pode ser escrito como log 5. ii) 3 1/ Assim as raízes da equação são log 5 e 1. A maior raiz é log 5 e a resposta é a letra C. EC 60. (AFC-STN 2000/ESAF) A função composta de duas funções, P(Z) e Q(Z), é definida como (PoQ) (Z) = P[Q(Z)]. Sejam as funções P(Z) = Z 3 e Q (Z) = Z 1/3. Então, (PoQ) [ ln (x + 1) ] é: a) 0 se x = 0 b) -1 se x = -1 c) ln 1 se x = -1 d) - ln 1 se x = 1 e) 1 se x = -1 Vamos descobrir a lei da função composta. Para calcular P[Q(Z)] devemos trocar Z na função P(Z) por Q(Z).

112 112 / Queremos calcular P(Q(ln(x+1)). Basta substituir Z por ln(x+1). Se 0,ln 1 ln A letra A é verdadeira. ln 1 ln 1 EC 61. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = e kx e f (2) = 5, então f(6) é igual a: a) 0 b) 5 c) 15 d) 125 e) 130 Para calcular 2 basta substituir por 2. Queremos calcular Observe que utilizamos as propriedades de trás para frente. Letra D

113 Relaçãodas questões comentadasnesta aula EC 1. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é: a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97 EC 2. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando, encontra-se: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 21 EC 3. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado: a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9 EC 4. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10, 3. O valor de tal que é: a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954 EC 5. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade, o valor de é: a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7 EC 6. (APO/MPOG 2008 ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

114 Com essas informações, conclui se que: a) b) 6 6 c) 0 d) / 6 e) 6 EC 7. (ANEEL 2006/ESAF) Se 0, então é necessariamente verdade que: a) b) c) d) 0 0 e) 200 EC 8. (AFRFB 2009 ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x a) e (x b) com a b, então f é divisível pelo produto entre (x a) e (x b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: a) b) 13 7 x x c) x d) e) x x 4 4 EC 9. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 6 e. Então, é igual a:

115 115 a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 EC 10. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 2 e 1/2, vale: a) 5 b) 5/2 c) 2/5 d) 3 e) 1/2 EC 11. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre: a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55 EC 12. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é: a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40. c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo. EC 13. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema O valor de é: a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3 0,3 1,2 2,4 0,5 0,8 0,9

116 116 EC 14. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00. O número de mendigos era, portanto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 EC 15. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 EC 16. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos. EC 17. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em Essa pessoa tem hoje: a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos. EC 18. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: a) 8 b) 12 c) 18

117 117 d) 22 e) 24 EC 19. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 EC 20. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas EC 21. (Oficial de Chancelaria MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. EC 22. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão é dada por: a) 2 b) 2 c) 5 d) 5 e) 25

118 118 EC 23. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de: a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais EC 24. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00 EC 25. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00 EC 26. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou: a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00

119 119 EC 27. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido. Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados O número que está no primeiro quadradinho é: a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13 EC 28. (Assistente Administrativo SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe (A) X foi m. (B) X foi m. (C) Y foi m. (D) Y foi m. (E) Z foi m. EC 29. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0) EC 30. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x 4 +13x =0 a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1} EC 31. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x 4-25x = 0 é igual a a) 0 b) 16

120 120 c) 9 d) 49 e) 25 EC 32. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de é igual a: a) 6 b) 2 c) 1 d) 6 e) 13 EC 33. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação tenha duas raízes iguais: a) 0 b) 8 0 c) 8 d) 8 0 e) 0 8 EC 34. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinhase O valor de X é: a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52 EC 35. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27

121 121 EC 36. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx 2 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7 EC 37. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x 2 10x + 2m 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2 EC 38. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x 2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 EC 39. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação 0 possui raízes 3 e 5. Então, é igual a: a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

122 122 EC 40. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x). EC 41. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de letras distintas desse elemento x. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. c) f não é uma função. d) 5 e) EC 42. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. EC 43. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Seja a função f(x) = x² + 5, e g(x) = x 4. A função composta f o g, para x = 2 é igual a a) 9. b) 5. c) 6.

123 123 d) - 2. e) - 4. EC 44. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Se R denota o conjunto dos números reais e 2 7 e 2 3 são funções de R em R, então a lei de definição da função composta é dada por a) 3 1 b) c) 3 9 d) e) 1 EC 45. (AFC-STN 2008/ESAF) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 1 t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1, isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2.... Sabendo-se que após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a: a) 0,8 b) 0,7 c) 2,5 d) 0,42 e) 0,36 EC 46. (ISS-Natal 2008/ESAF) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade 1 2, para todo inteiro. Com estas informações, conclui-se que 0 é igual a: a) 2 / b) 2 / c) 2 / d) 2 / e) 2 / EC 47. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(- 1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x 3 (C) f(x) = x 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3 EC 48. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula, em que C é o número do calçado e p é o comprimento do

124 124 pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm. EC 49. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma função do tipo f (x) = ax + b. Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que (A) possui duas raízes reais. (B) a < 0. (C) b > 0. (D) ab < 0. (E) não possui raízes reais. EC 50. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r 1 = αx e r 2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 b) α > 0 e β < 0 c) α < 0 e β < 0 d) α < -1 e β < 0 e) α > -1 e β > 0 EC 51. (Secretaria de Estado da Administração Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = x x 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.

125 125 Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00 EC 52. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: Sabendo que A é o conjunto solução de e B o conjunto solução de, então o conjunto é igual a: a) 2 b) 2 c) 1 d) e) 0 EC 53. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 4 4 e 6 5. Assinale a alternativa que apresenta a solução da inequação definida por 0. a) 2 b) 1 2 c) d) e)

126 126 EC 54. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir representa a função, de domínio real, dada pela lei. Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que (A) a < 0, b < 0 e c < 0 (B) a < 0, b < 0 e c > 0 (C) a < 0, b > 0 e c < 0 (D) a < 0, b > 0 e c > 0 (E) a > 0, b < 0 e c < 0 EC 55. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 2 t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão preocupante. (Considere: log 10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 EC 56. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27. EC 57. (TCM SP, 2006/CETRO) onde N é o número A população de habitantes de uma e cidade t é o aumenta tempo em segundo anos. O a valor equação de t para que a população 1,01 dobre em relação a hoje é de a),

127 127 b) log 2 1,01 c) 2 2 1,01 d), e) 50 EC 58. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano considerado ano t = 0 -, pode ser calculada pela fórmula, em que k é uma constante positiva, é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 e é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para e que a população triplique em 6 anos, então será duplicada em a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos. EC 59. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 3 2x x + 5 = 0 é (A) 4. (B) 0,5. (C) log 3 5. (D) log 5 3. (E) 5. EC 60. (AFC-STN 2000/ESAF) A função composta de duas funções, P(Z) e Q(Z), é definida como (PoQ) (Z) = P[Q(Z)]. Sejam as funções P(Z) = Z 3 e Q (Z) = Z 1/3. Então, (PoQ) [ ln (x + 1) ] é: a) 0 se x = 0 b) -1 se x = -1 c) ln 1 se x = -1 d) - ln 1 se x = 1 e) 1 se x = -1 EC 61. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = e kx e f (2) = 5, então f(6) é igual a: a) 0 b) 5 c) 15 d) 125 e) 130

128 Gabaritos 01. A 02. C 03. B 04. E 05. A 06. E 07. C 08. C 09. D 10. A 11. B 12. E 13. A 14. D 15. B 16. D 17. C 18. C 19. C 20. E 21. B 22. A 23. D 24. B 25. A 26. C 27. E 28. B 29. C 30. B 31. A 32. C 33. B 34. B 35. E 36. C 37. D 38. D 39. A 40. C 41. E 42. E

129 A 44. B 45. A 46. A 47. B 48. C 49. C 50. B 51. D 52. C 53. B 54. A 55. C 56. D 57. A 58. E 59. C 60. A 61. D