Paradoxo de Braess. PTR 5926 Equiĺıbrio Demanda-Oferta na Engenharia de Transportes. Prof. Cassiano Isler 2020

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1 Universidade de São Paulo Escola Politécnica Departamento de Engenharia de Transportes PTR 5926 Equiĺıbrio Demanda-Oferta na Engenharia de Transportes Prof. Cassiano Isler 2020

2 COMPARAÇÃO ENTRE UE E SO Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 2 / 1

3 Comparação entre UE e SO Considere uma rede em que a função de desempenho nos arcos é constante, ou seja, t a (x a ) = t a. Em outros termos, o tempo de viagem nos arcos não é função do fluxo que os atravessa. Nesse caso, os efeitos dos congestionamentos são ignorados e as soluções do UE e do SO são idênticas pois as funções objetivos são dadas respectivamente por: z(x) = a xa 0 t adw = a t a xa 0 dw = a x a t a z(x) = a x a t a As restrições de conservação e não-negatividade dos fluxos permanecem idênticas (ver slides sobre o Modelo de Equiĺıbrio do Usuário e o Modelo de Otimização do Sistema). Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 3 / 1

4 Comparação entre UE e SO O problema resolvido sob a premissa de que t a não varia em função de x a consiste em identificar os fluxos que minimizam o tempo total de viagem na rede dados os valores (fixos e conhecidos) dos tempos de viagem nos arcos da rede e a matriz OD. A solução desse problema é alocar todo o fluxo q rs entre um par OD na rota de menor tempo total de viagem entre essa origem e destino, tal que nenhuma das outras rotas têm fluxo entre r s. Sob a premissa de tempo constante, os fluxos resultantes dessa alocação estão sob a condição de equiĺıbrio (dado que nenhum motorista se beneficiaria da mudança de rota) e de alocação ótima (dado que o tempo total de viagem na rede é mínimo). O procedimento de alocação de todo o fluxo nas rotas de mínimo tempo de viagem entre os respectivos pares OD é conhecido como Alocação Tudo-ou-Nada ( All-or-Nothing Assignment ). Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 4 / 1

5 Comparação entre UE e SO As similaridades entre o UE e o SO podem ser verificadas de outras maneiras. Por exemplo, se os tempos de viagem nos arcos da rede forem expressos por t a (x a ) = t a (x a ) + x a dta(xa) x a, então a solução do UE resulta em fluxos idênticos à solução do SO. Por outro lado, se os tempos de viagem forem definidos pela função ˆt a = 1 x a x a 0 t a (w)dw, então a solução do SO resulta em fluxos idênticos à solução do UE. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 5 / 1

6 PARADOXO DE BRAESS Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 6 / 1

7 Considere a rede a seguir formada por uma freeway (arco superior) e uma via urbana (arco inferior) conectando um par OD genérico e os respectivos gráficos das funções de desempenho. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 7 / 1

8 Em situações em que o fluxo na rede é relativamente baixo, os arcos da rede não estão congestionados e, nesses casos, a contribuição de uma viagem adicional no arco sobre o seu tempo de viagem (tempo de viagem marginal) é muito pequena. Verifique que a tangente à t 1 (x 1 ) tem inclinação aproximadamente igual à de t 2 (x 2 ) quando o fluxo nos arcos é muito pequeno (próximo de zero). Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 8 / 1

9 Nas condições de baixo fluxo, as soluções do UE e do SO são semelhantes uma vez que os tempos de viagem são relativamente insensíveis à eventuais fluxos adicionais. Essa situação é próxima da solução quando os tempos de viagem nos arcos são constantes. Entretanto, quando os fluxos entre pares OD aumenta, há um crescente distanciamento entre a solução do UE e do SO devido às alterações do tempos marginais nos arcos. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 9 / 1

10 No exemplo, se o fluxo total entre OD é q, então a solução do UE é x 1 = 0 e x 2 = q, pois t 2 (q) < t 1 (0) e nenhum motorista utilizaria a freeway. Note que a inclinação da função de desempenho t 2 é acentuada sob o fluxo q, ou seja, o valor de dt 2(q) dx 2 é elevado. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 10 / 1

11 Pelo gráfico, t 1 (0) < t 2 (q) e a solução do SO não é equivalente ao UE pois naquele modelo a seguinte condição deve ser verificada. t 1 (x 1 ) + x 1 dt 1(x 1 ) dx 1 = t 2 (x 2 ) + x 2 dt 2(x 2 ) dx 2 Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 11 / 1

12 Nesse exemplo, a solução do SO deve considerar algum fluxo no arco 1 (freeway) e o motorista nesse arco experimentará um tempo de viagem t 1 (0) maior, ao passo que os motoristas no arco 2 (via urbana) terão os respectivos tempos de viagem reduzidos. Portanto, a solução do SO é a redução de x 2 (e da tangente à função de desempenho nesse fluxo) e aumento de x 1 (e da tangente à função de desempenho nesse fluxo) até que a o tempo de viagem t 2 somado ao tempo marginal no arco 1 seja igual ao tempo de viagem t 1 somado ao tempo marginal no arco 2. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 12 / 1

13 A dificuldade em diferenciar os fluxos sob o UE em relação ao SO leva a cenários paradoxais de solução de problemas de alocação. Em outro exemplo, considere a rede a seguir e os respectivos tempos de viagem e rotas possíveis entre OD. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 13 / 1

14 Se o fluxo total entre a origem e o destino deve ser de 6 unidades (q = 6), o fluxo resultante do UE é igual em ambas as rotas dada a simetria em relação aos respectivos tempos de viagem (ou seja, t 1 + t 4 = t 3 + t 2 ). Nesse caso, os fluxos e os tempos de viagem são: x 1 = 3 x 2 = 3 x 3 = 3 x 4 = 3 (unidades de fluxo) f 1 = 3 f 2 = 3 (unidades de fluxo) t 1 = 53 t 2 = 53 t 3 = 30 t 4 = 30 (unidades de tempo) c 1 = 83 c 2 = 83 (unidades de tempo) Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 14 / 1

15 Assuma que as autoridades decidiram expandir a rede de transporte com o intuito de aumentar os fluxos e reduzir os atrasos na rede pela inserção de uma nova via entre os nós intermediários conforme a figura a seguir, com indicação da respectiva função de desempenho e uma nova rota criada. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 15 / 1

16 Nesse caso, uma nova solução para o UE é obtida sob a definição do Equiĺıbrio de Wardrop, tal que: x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = 4 x 4 = 4 x 5 = 2 (unidades de fluxo) f 1 = 2 f 2 = 2 f 3 = 2 (unidades de fluxo) t 1 = 52 t 2 = 52 t 3 = 40 t 4 = 40 x 5 = 12 (unidades de tempo) c 1 = 92 c 2 = 92 c 3 = 92 (unidades de tempo) Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 16 / 1

17 O tempo de viagem nas rotas aumentou de 83 unidades para 92 unidades, e o tempo de viagem total na rede aumentou de 2 (3 83) = 498 unidades para 3 (2 92) = 552 unidades. Esse resultado demonstra que a inserção do arco na rede piorou as condições gerais da rede sob a definição de equiĺıbrio do usuário, tendo efeito contrário ao desejado pelas autoridades dado que o fluxo aumentou nos arcos 3 e 4 e o tempo de viagem aumentou em todas as rotas. Esse resultado aparentemente contra-intuitivo é conhecido como. A explicação para esse paradoxo é que cada motorista toma decisões de modo a minimizar os seus respectivos tempos de viagem tal que as decisões individuais sobre as rotas não consideram os efeitos sobre o tempo de viagem na rede. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 17 / 1

18 Do ponto de vista da modelagem matemática, a inclusão do arco na rede teve a intenção de reduzir o valor da função objetivo de SO, porém os fluxos reais são distribuídos sob as premissas do UE, resultando em uma solução desse modelo que não necessariamente reduz os tempos de viagem individuais. Do ponto de vista prático, o enfatiza a importância de uma análise sistemática de investimentos em redes. Nem todo aumento de capacidade incorre em melhora das condições individuais de viagem (podendo inclusive piorá-las como observado no exemplo anterior). Na realidade, é conhecido que restrições às alternativas de escolhas de rotas pelos motoristas e restrições à circulação em arcos específicos podem resultar em melhores padrões de distribuição de fluxos na rede. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 18 / 1

19 O conceito anterior é utilizado, por exemplo, em estratégias de controle de tráfego conhecidas como ramp metering em acessos à rodovias, estabelecidos pela instalação de semáforos nas rampas de acesso às rodovias. Os equipamentos controlam o número de veículos que acessam a rodovia em um período do dia (geralmente no horário de pico) e com isso aumentam o atraso em um arco da rede deliberadamente, causando uma mudança de rota pelos motoristas em busca de menores tempos de viagem. Esse controle resulta na redução dos atrasos dos motoristas que decidem permanecer no acesso à rodovia (pela redução do congestionamento) e do tempo de viagem daqueles que decidem por uma rota alternativa. Prof. Cassiano A. Isler PTR5926 (2020) - 19 / 1