Pitágoras e a Aplicação dos Números na Harmonia

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1 Pitágoras e a Aplicação dos Números na Harmonia Por Alain-Jacques L. de Burlet (RA ) Trabalho desenvolvido para a disciplina História da Física, lecionada pelo prof. Roberto Martins Resumo Pitágoras se destacou por relacionar fenômenos físicos a relações matemáticas. Segundo ele, a natureza é regida por números. Neste trabalho, vamos estudar as suas contribuições especícas na área da harmonia musical, ao estudar instrumentos de corda. 1 Introdução Como se deu o início da formalização do conhecimento sobre harmonia? Este é o tema sobre este trabalho, em que iremos explorar os primeiros estudos relacionados a harmonia registrados, feitos ainda na época da Grécia antiga, por fílósofos pitagóricos. Pitágoras de Samos, que viveu entre 571 e 496 a.c., foi um dos primeiros lósofos que fez uso da matemática para estudar fênomenos sicos. No campo da matématica e geometria, um de seus mais conhecidos trabalhos é o famoso Teorema de Pitágoras, que apesar de levar seu nome não foi criado por ele, e sim demonstrado, pois há registros que egípcios já possuíam este conhecimento, só que em forma de receita matématica. Alguns dos trabalhos de Pitágoras foi sobre a aplicação dos números à harmonia, estudando instrumentos de corda. A seguir, iremos discutir os fundamentos físicos da harmonia, um pouco da história e dos pontos de vista de pitágoras, e por m seu trabalho com instrumentos músicais de corda, cujos resultados inuenciaram o desenvolvimento da música ocidental. 1

2 Figura 1: Pulso em uma corda tensionada. 2 Fundamentos Físicos da Harmonia O oscilador harmônico aparece inúmeras vezes no estudo da física. A própria luz, objeto freqüente de estudo dos gregos, é descrita pela mecânica quântica como um oscilador harmônico. Aqui nos retringiremos a estudar as ondas. Seja uma corda tensionada a uma tração τ, conforme mostrada na gura 1. Nesta gura, estamos vendo um pulso, sendo que o observador se encontra no mesmo referencial do pulso, ou seja, se movendo com velocidade v junto com ele. Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento da corda l, parte de um círculo de raio R, compreendido por um angulo θ. A força de tração τ puxa tangencialmente o comprimento em cada extremidade. Como podemos ver, as componentes horizontais se cancelam, restando somente as componentes verticais, que se somam formando a força restauradora F. Podemos dizer que: F = 2(τ sin θ) τ(2θ) = θ l R Acima zemos a aproximação sin θ θ para θ pequeno. Também faz-se necessário observar que 2θ = l/r. Seja a massa do elemento m: m = µ l (2) Onde µ é a densidade linear da corda. No instante de tempo em que a gura ilustra, o elemento de comprimento está se movendo em um circulo de raio R. Isto implica numa força centrípeta: (1) 2

3 Figura 2: Exemplo de instrumento de cordas: guitarra. F = m v2 R = (µ l)v2 R Igualando as duas forças das equações 1 e 3, temos: (3) O que nos deixa com: τ l R = (µ l)v2 R (4) v = τ µ Ou seja: a velocidade com que uma onda se propaga em uma corda depende somente da tração e da densidade linear da corda. Para ilustrar o processo de emissão de sons, vamos utilizar o exemplo da guitarra (gura 2). Para a emissão de diferentes timbres, a guitarra tem seis cordas com densidades diferentes. Cada corda corresponde a uma nota musical, sendo que a primeira e a sexta (mais na e a mais grossa) correspondem a uma mesma nota. Notemos também que o braço da guitarra é dividido em trastes. Ao prender uma corda em um determinado trate, teremos uma nota musical. Para enteder isso invocamos a tradicionalíssima equação de ondas v = λf, em que f é a frequência 1. Quando prendemos a corda em qualquer traste, mudamos o comprimento de onda λ dos harmônicos, mudando assim a nota emitida. 1 A nota musical emitida está diretamente relacionada com a frequência de vibração da corda. 3 (5)

4 3 A História e a Filosoa de Pitágoras Nascido na pequena ilha de Samos, no mar Egeu, Pitágoras começou seus estudos na juventude sob tutela do lósofo Ferecídio, discipulo de Tales de Mileto. Ainda jovem, partiu em direção ao Egito, onde iniciou seus estudos sobre os antigos mistérios egípcios. Ainda foi até a Babilônia e Caldéia, onde aprimorou seus estudos, e por m recebeu a orientação do lósofo Epimênides, na ilha de Creta. Depois disso, voltou a ilha de Samos. Entretanto, em vista do regime tirano instalado em sua terra natal, e por suas críticas públicas a este regime foi exilado e se mudou para Crotona, no sul da Italia. Lá, fundou sua própria escola, em que aplicou as doutrinas que havia estudado em suas viagens anteriores. Sua escola inclusive iniciou 4

5 uma revolução na educação ética na época. Em sua empreitada nesta revolução, Pitágoras fez inimigos, e teve que deixar Crotona mudando-se para Metaponto, onde residiu até o nal de sua vida. A losóa pitagórica se embasa na armação de que os números constituem a substância una e essencial de todas as coisas. Esta substância seria imutável. A geometria e a música eram peças fundamentais em sua losoa. O fato das relações entre em guras geométricas poderem ser expressas como razões entre números naturais era de grande importância para os pitagóricos. Deus está continuamente medindo a Terra, dizia Pitágoras. A palavra geometria vem de geo = Terra e metria = medir. Esta harmonia matemática era a peça fundamental para explicar toda a criação, existência e operação do universo. Entretanto o fato de a diagonal do quadrado ser 2 vezes o lado causou grande consternação entre os pitagóricos, pois sua visão de perfeição divina estava embasada no fato de medidas de objetos geométricos poderem ser expressas em forma de razões de números inteiros, como mencionado anteriormente. Este problema foi a temática do Escândalo dos Irracionais. A harmonia musical entra no modelo de Pitágoras de forma curiosamente parecida com a concepção da física moderna. Para os pitagóricos, todas as coisas vibram, com seu determinado número especíco de vibrações - harmônicos. Ele armava também que todas as coisas vibram numa grande harmônia universal, assim como as notas numa música: todas as coisas tem relação númerica ou harmônica no universo. Também a relação entre os opostos (como quente e frio; duro e macio; par e ímpar; etc...) inuia fortemente na harmonia das coisas. Cada coisa em sua essência é composta de uma combinação de opostos, sendo a harmonia caracterizada quando os opostos estão balanceados. Os pitagóricos também zeram grandes realizações na área de demonstração matemática. Além do famoso teorema de Pitágoras, que foi demonstrado por ele, as seguintes realizações podem ser atribuídas aos pitagóricos: a classicação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e gurados; o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum; que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; 5

6 se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n 4) ângulos retos; Pitágoras também se aplicou muito ao tentar relacionar a matemática, geometria e até a música com a astronomia. Segundo ele, os corpos celestes estariam harmônicamente relacionados, interagindo entre si através de suas vibrações. Com os seus métodos calculou razões entre a distância Terra-Sol e Terra-Lua, entre os diâmetros da Terra e da Lua, assim como entre o da Terra e do Sol. 4 Pitágoras e a Harmonia Como vimos anteriormente, a Harmonia é uma parte importantíssima da losoa pitagórica, para não dizer essencial. Todas as coisas estariam vibrando, tendo relações harmônicas umas com as outras. O trabalho de Pitágoras no que abrange a música está muito relacionado às notas musicais tiradas de um instrumentos. Ele classicou os harmônicos, julgando quando um som era anado ou não, e usando a matemática pode fazer uma análise semelhante à feita na geometria: descrever congurações de instrumentos utilizando razões de números inteiros. Pitágoras teria feito alguns experimentos com instrumentos de corda de forma a obter as relações entre os sons anados ou agradáveis com o comprimento da corda que era posta a vibrar e com a tensão aplicada à ela. No primeiro experimento, Pitágoras teria posto a vibrar uma corda tensionada, produzindo um som anado. Depois disso, prendeu a corda na metade de seu comprimento e a pôs a vibrar novamente. Obteve a chamada Oitava, que é a mesma nota anterior, só que com o dobro de frequência. Dada a razão entre os comprimentos, ele atribuiu à Oitava a razão de 1. Testando 2 outras razões, ele também chegou à Quarta ( 3) e à Quinta ( 2 ). Ao descobrir 4 3 a razão matemática entre as frequências e as notas, Pitagoras estabeleceu a razão pela qual os intervalos são divididos em 12 semitons no ocidente, que são 2 : dó, dó#,ré, ré#,mi, fá, fá#,sol, sol#,lá,lá# e si Em instrumento de cordas atuais como violão ou guitarra, a vibração da corda solta e presa no décimo-segundo traste produz a mesma nota, mas com 2 Em notação musical # e b denotam notas sustenidas e bemóis, respectivamente. 6

7 a frequência dobrada, o que facilmente comprova que Pitágoras pode mesmo ter feito este experimento. No entanto, o experimento relativo ao estudo das diferentes tensões aplicadas à cordas é questinável. O experimento, segundo Boécius, pode ter sido feito da seguinte maneira: o instrumento era composto de quatro cordas iguais, cada uma tensionada por um peso diferente. Em uma unidade de medida de peso arbitrária, os pesos colocados nas cordas eram 6, 8, 9 e 12. A escolha por esses pesos especícos provavelmente se deu devido a suas propriedades aritméticas: 7

8 Figura 3: Relacao entre peso e frequência. o 9 é a média aritmética entre 12 e 6; o 8 é a média harmónica entre 12 e 6; 12 9 = 8 6. Os resultados obtidos seriam: Peso 6 produzia o tom; Peso 12 produzia a Oitava; Peso 9 produzia a Quinta; Peso 8 produzia a Quarta; 8

9 Como podemos ver na gura 3 corresponde a uma relação linear. Entretanto, pela equação 5 podemos tirar facilmente que a frequência varia com a raiz quadrada da tensão. Assim sendo, o experimento relatado por Boécius é inverossímil. Referências [1] [2] [3] 9