p. 2 Trechos de Material Didático (Apostila) e Conteúdo do Livro Texto, de autoria de Marcus Ramos, João José Neto e Ítalo Vega i <= 1

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Otávio Anjos Fagundes
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1 Observação: os trechos extraídos do livro apresentados a seguir já incluem as correções da errata ( Para outras passagens não incluídas nesse documento sugerimos consultar a errata para identificar e corrigir erros existentes. DEFINIÇÃO DE SÍMBOLOS INÚTEIS Diz-se que um siḿbolo naõ-terminal Y e inu til se naõ for possi vel derivar pelo menos uma cadeia formada exclusivamente por terminais (ou a cadeia vazia) a partir de Y. Caso contrário, o símbolo é dito útil. Formalmente, símbolos úteis Y são aqueles para os quais existem derivações da forma Y γ, com γ Σ. Siḿbolos terminais saõ, por definiçaõ, símbolos u teis. ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE SÍMBOLOS INÚTEIS EM LLC s Entrada: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S), tal que L(G). Saída: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S), tal que L(G ) = L(G) e Y N se e apenas se L(Y). Obs: N = V-Σ, ou seja, N é o conjunto de símbolos não-terminais da gramática. 1. N 0 ; 2. i 1; 3. N i N i 1 {Y Y α P e α (N i 1 Σ) * }; 4. Se N i N i 1, então: a) i i + 1; b) Desviar para (3); a) N N i ; b) P {A X 1 X 2... X n P A, X 1, X 2,..., X n (N i Σ)}. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO ALGORITMO Seja G = (V, Σ, P, S ), com: V = {S, A, B, C, a, b} Σ= {a, b} P = {S A B, A ab bs b, B AB Ba, C AS b} p. 1

DEFINIÇÃO DE SÍMBOLOS INÚTEIS Diz-se que um siḿbolo naõ-terminal Y e inu til se naõ for possi vel derivar pelo menos uma cadeia formada exclusivamente por terminais (ou a cadeia vazia) a partir de Y.

2 N 0 <= i <= 1 N 1 <= {A,C} = {A,C} i <= 1+1=2 N 2 <= {A,C} {A,C,S} = {A,C,S} i <= 2+1=3 N 3 <= {A,C,S} {A,C,S} = {A,C,S} V' = N Σ = {A,C,S} {a,b} = {S,A,C,a,b} P' = {S A, A bs b, C AS b} p. 2

3 DEFINIÇÃO DE SÍMBOLOS INACESSÍVEIS Símbolos inacessíveis são terminais ou não-terminais que não fazem parte de qualquer forma sentencial derivável a partir da raiz da gramática, ou seja, Y V se e apenas se S αy β, com α, β V. ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE SÍMBOLOS INACESSÍVEIS EM LLC s Entrada: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S). Saída: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S), tal que L(G ) = L(G) e Y V se e apenas se S αyβ, com α,β V. 1. V 0 {S}; 2. i 1; 3. V i V i 1 {X j V, 1 j n A X 1 X 2... X n P e A V i 1 }; 4. Se V i V i 1, então: a) i i + 1; b) Desviar para (3); a) N V i N; b) Σ V i Σ; c) P {A X 1 X 2...X n P A,X 1,X 2...X n V i }. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO ALGORITMO Seja G = (V, Σ, P, S ), com: V = {S, A, B, C, a, b} Σ= {a, b} P = {S A B, A ab bs b, B AB Ba, C AS b} -- C é claramente inacessível: por quê? V <= {S} i <= 1 V 1 <= {S} {A,B} = {S,A,B} ) i = 2 V 2 <= {S,A,B} {A,B,a,b} = {S,A,B,a,b} i = 3 V 3 <= {S,A,B,a,b} {A,B,a,b} = {S,A,B,a,b} V <= V i V = {S,A,B,a,b}; Σ <= V i Σ ={a,b} e P = {S A B, A ab bs b, B AB Ba} p. 3

Saída: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S), tal que L(G ) = L(G) e Y V se e apenas se S αyβ, com α,β V. 1. V 0 {S}; 2. i 1; 3. V i V i 1 {X j V, 1 j n A X 1 X 2... X n P e A V i 1 }; 4.

4 Teorema 4.6 (Eliminação de símbolos inacessíveis e inúteis) A obtenção de uma gramática livre de contexto G3, isenta de símbolos inacessíveis ou inúteis, a partir de uma gramática livre de contexto G1 qualquer, pode ser feita pela aplicação dos Algoritmos de Eliminação de Símbolos Inúteis (1) e de Símbolos Inacessíveis (2) uma única vez cada, em qualquer seqüência. Justificativa Seja G1 = (V1, 1,P1, S1). Os símbolos do conjunto V1 podem ser, individualmente, classificados em uma das seguintes categorias: i) Acessível e útil; ii) Acessível e inútil; iii) Inacessível e útil; iv) Inacessível e inútil. Além disso, os Algoritmos 1 e 2 não criam novos símbolos, tampouco alteram as características de acessibilidade ou de utilidade dos símbolos da gramática de entrada que foram preservados na gramática de saída. Em função dessas observações, considerem-se as duas seguintes seqüências possíveis para a aplicação dos Algoritmos 1 e 2: 1. Inicialmente o Algoritmo 1, e depois o Algoritmo 2: A aplicação do Algoritmo 1 (eliminação de símbolos inúteis) à gramática G1 resulta na gramática G2 = (V2, 2,P2, S2), em que os símbolos de V2 são apenas dos tipos (i) e (iii). Em seguida, a aplicação do Algoritmo 2 (eliminação de símbolos inacessíveis) à gramática G2 resulta na gramática G3 = (V3, 3,P3, S3), em que os símbolos de V3 são apenas do tipo (i). 2. Inicialmente o Algoritmo 2, e depois o Algoritmo 1: A aplicação do Algoritmo 2 (eliminação de símbolos inacessíveis) à gramática G1 resulta na gramática G2 = (V2, 2,P2, S2), em que os símbolos de V2 são apenas dos tipos (i) e (ii). Em seguida, a aplicação do Algoritmo 1 (eliminação de símbolos inúteis) à gramática G2 resulta na gramática G3 = (V3, 3,P3, S3), em que os símbolos de V3 são apenas do tipo (i). Logo, a ordem de aplicação dos algoritmos de eliminação de símbolos inacessíveis e inúteis é irrelevante, e a obtenção de uma gramática livre de contexto, isenta de tais símbolos, pode ser feita pela aplicação de cada um dos correspondentes algoritmos uma única vez, em qualquer ordem. p. 4

qualquer, pode ser feita pela aplicação dos Algoritmos de Eliminação de Símbolos Inúteis (1) e de Símbolos Inacessíveis (2) uma única vez cada, em qualquer seqüência.

5 ELIMINAÇÃO DE PRODUÇÕES EM VAZIO Produções em vazio são produções da forma A ε, e a total eliminação de produções desse tipo de uma gramática G naturalmente só é possível se ε L(G). ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE PRODUÇÕES EM VAZIO Entrada: uma gramática livre de contexto G=(V,Σ,P,S). Saída: uma gramática livre de contexto G =(N Σ,Σ,P,S ), tal que L(G ) = L(G) e: i) Se ε L(G), então não há produções em vazio em G', ou ii) Se ε L(G), então a única produção em vazio em G' é S' ε, onde S' é a raiz de G' e S' não aparece no lado direito de nenhuma produção. 1. E 0 {A A ε P}; 2. i 1; 3. E i E i-1 {A A X 1,X 2...X n P e X 1,X 2...X n E i 1 }; 4. Se E i E i 1, então: a) i i + 1; b) Desviar para (3); 5. P' ; a) E E i-1; 6. P' { A β P β ε }; 7. Considerem-se as produções de P' no formato: A α 0 B 1 α 1 B 2 α 2...B k α k, com α i (V-E) + e B i E A versão final do conjunto P' é obtida acrescentando-se à sua versão anterior o conjunto das produções obtidas pela substituição dos símbolos B i, 0 i k por ε, considerando-se todas as combinações possíveis, sem no entanto gerar a produção A ε. 8. Se S E, então: a) P' P' {S' S ε}; b) N' N {S'}; a) N' N; b) S' S. p. 5

Saída: uma gramática livre de contexto G =(N Σ,Σ,P,S ), tal que L(G ) = L(G) e: i) Se ε L(G), então não há produções em vazio em G', ou ii) Se ε L(G), então a única produção em vazio em G' é S' ε,

6 ELIMINAÇÃO DE PRODUÇÕES UNITÁRIAS Produções unitárias são produções da forma A B, em que A e B são não-terminais, e costumam ser descartadas das gramáticas livres de contexto porque nada acrescentam às formas sentenciais às quais são aplicadas, consituindo mera renomeação de símbolos (no caso, de A para B). ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE PRODUÇÕES UNITÁRIAS Entrada: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S). Saída: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S), tal que L(G ) = L(G) e G' não contém produções unitárias. 1. Para cada A N, constrói-se N A tal que N A = { B N A B} da seguinte forma: a) N 0 {A}; b) i 1; c) N i N i-1 { C B C P e B N i 1 }; d) Se N i N i 1, então: i) i i + 1; ii) Desviar para (1.c); i) N A N i-1 ; 2. P' { A α P α N }; 3. Para todo B N A, se B α P, e α N, então P' P' {A α}. p. 6

ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE PRODUÇÕES UNITÁRIAS Entrada: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S).

7 ELIMINAÇÃO DE RECURSÕES À ESQUERDA Eliminar recursões à esquerda de uma gramática livre de contexto G=(V,Σ,P,S) significa obter G'=(V',Σ,P',S), de modo que L(G) = L(G') e nenhum A N' seja recursivo à esquerda. ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE RECURSÕES À ESQUERDA Entrada: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S) isenta de produções unitárias, símbolos inúteis e produções em vazio. Saída: uma gramática livre de contexto G = (V',Σ,P,S) sem recursões à esquerda e tal L(G) = L(G'). 1. N' N; 2. P' ; 3. i 1; 4. Considerem-se os elementos de N ordenados segundo um crtiério arbitrário, X 1,X 2...X p ; 5. Considerem-se todas as alternativas de substituição para X i agrupadas na forma: X i X i α i... X i α m β 1... β n em que todos os α k, 1 k m, não contenham X i, e todos os β k, 1 k n, começam com símbolos diferentes de X i. Se β k = X j γ, j < i, substituir X j em X j γ pelas suas alternativas conforme as produções em que X j comparece do lado esquerdo. Ou seja, se X j δ 1... δ r, fazer β k δ 1 γ... δ r γ. Repetir este passo até que k, 1 k n, se βk X j γ, então j i. 6. Neste passo, todas as alternativas de substituição para X i podem ser reagrupadas na forma: 7. Se i p: X i X i α 1... X i α m β 1... β n em que β i se inicia com σ Σ ou X j N, j > i. Introduzir um novo não-terminal X i ' e criar as produções abaixo em substituição às acima agrupadas: X i β 1... β n β 1 X i '... β n X i ' X i ' α 1... α m α 1 X i '... α m X i ' Fazer N' N' {X i '} e acrescentar os dois conjuntos de produções acima a P'. a) i i+1; b) Desviar para (5). p. 7

Saída: uma gramática livre de contexto G = (V',Σ,P,S) sem recursões à esquerda e tal L(G) = L(G'). 1. N' N; 2. P' ; 3. i 1; 4.

8 ALGORITMO: FORMA NORMAL DE GREIBACH Entrada: uma gramática livre de contexto G = (V,Σ,P,S) isenta de produções unitárias, símbolos inacessíveis, símbolos inúteis, produções em vazio e recursões à esquerda, tal que L=L(G). Saída: uma gramática livre de contexto G = (V',Σ,P,S) na Forma Normal de Greibach, tal que L(G) = L(G'). 1. Considere-se uma ordenação dos símbolos X i N, tal que, se X i X j α, X j N e α V *, então j>i. Seja, portanto, X 1 < X 2 <... < X r. 2. N' N; 3. P' { X r β X r β P }; 4. i r-1; 5. Se i = 0 então desviar para (6). a) Considerem-se todas as produções de X i iniciadas com X j, j>i. Substituase X j pela sua definição e repita-se este passo até que todas as alternativas de substituição para X i sejam iniciadas apenas com símbolos terminais; b) i i-1; c) Desviar para (5); 6. Para cada produção da forma: X i σa 2... A k, com σ Σ, A j V, 2 j k Se A j Σ, substitua-se A j por um novo não-terminal A j ' e faça-se N' N {A j '}, obtendo-se assim X i σb 2 B 3...B k, com B j {A j,a j '}, 2 j k. Incluir em P' todas as produções assim obtidas. 7. Para cada novo símbolo não-terminal A j ' introduzido no passo anterior, criar uma nova produção A j ' A j e fazer P' P {A j ' A j }. p. 8

Considere-se uma ordenação dos símbolos X i N, tal que, se X i X j α, X j N e α V *, então j>i. Seja, portanto, X 1 < X 2 <... < X r. 2. N' N; 3. P' { X r β X r β P }; 4. i r-1; 5.

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