Ângulos, triângulos, pontos especiais num triângulo 8 o Ano. Cláudia Herdeiro Cardoso Escola E.B.2,3 Santo António

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1 14 Ângulos, triângulos, pontos especiais num triângulo 8 o Ano láudia Herdeiro ardoso Escola E..2,3 Santo António láudia ardoso, de 36 anos de idade, é licenciada em Matemática (Ramo de Formação Educacional) pela Universidade de oimbra e Mestre em idáctica da Matemática pela Universidade de Huelva. Exerce a actividade de docente desde 1996, sendo desde 2000 professora do quadro de nomeação definitiva da Escola E..2,3 Santo António de Faro. Já utiliza as TI há vários anos embora, só agora, a Escola comece a estar equipada para permitir o desenvolvimento de planos didácticos com as TI. O trabalho da láudia foi feito em parceria com o colega Nuno uarte Rodrigues. Utilizou o Sketchpad pois os alunos já tinham conhecimentos prévios sobre este software. A laudia refere que, no momento da experimentação, já estava leccionado todo o programa, portanto a utilização do computador para resolver as actividades propostas foi de consolidação dos temas e não de introdução de conceitos. omeçou com uma actividade sobre ângulos opostos e ângulos de lados paralelos, e continuou com outra actividade envolvendo ângulos de um triângulo. Nas actividades seguintes, o triângulo voltou a ser estudado tendo sido abordados os conceitos de altura, mediatriz de um lado, bissectriz de um ângulo interno e medianas. Finalizou com a resolução de alguns problemas de aplicação. Houve a preocupação com a comunicação matemática, tendo sido reservados os últimos 20 minutos de cada aula para os diferentes grupos exporem a à turma as conclusões a que tinham chegado e fazerem a consequente discussão. O interesse que as actividades despertaram e os resultados obtidos motivaram os professores para continuarem futuramente este tipo de trabalho. 181

2 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO RESUMO Este trabalho faz parte de uma série de trabalhos da Acção de Formação Tecnologias na Aprendizagem da Matemática. Pretende-se com este trabalho desenvolver e aplicar actividades para a aula de matemática com o recurso às tecnologias. Posteriormente proceder-se-á a uma reflexão conjunta sobre as vantagens e desvantagens, contrariedades e frutos de um trabalho de exploração/ investigação com o recurso às tecnologias. Não é um trabalho acabado, pois como todos, poderá sempre ser melhorado e completado com mais temas, outras tarefas e problemas. O facto de estas tarefas surgirem nesta fase do ano lectivo condicionou as abordagens, mas perfeitamente adaptável a uma fase diferente de aquisição inicial de saberes (no sentido lato). Enunciam-se objectivos, temas abordados, tarefas bem como a sua avaliação e problemas. Apesar de ser um trabalho de investigação/ exploração os professores acompanharão todos os passos e ajudarão a superar as dificuldades. omo não é possível trabalhar individualmente, recorrer-se-á ao quadro interactivo para que toda a turma consiga acompanhar o desenrolar das actividades PLANO E AULA SUMÁRIO: EOMPOSIÇÃO E TRIÂNGULOS mediana e altura em relação à hipotenusa propriedades. Resolução das tarefas 3 e 4 com o recurso ao programa de geometria dinâmica Sketchpad. OJETIVO PRINIPAL Pretende-se proporcionar aos alunos do 8 o Ano uma oportunidade de desenvolver a competência geométrica recorrendo para tal ao programa de geometria dinâmica, Sketchpad. Serão sugeridas actividades de exploração/ investigação que lhes permitam adquirir ou desenvolver competências nos seguintes temas/subtemas: 1. Ângulos 2. Triângulos 3. Propriedades dos triângulos 4. Semelhança de triângulos OJETIVOS GERAIS esenvolver a capacidade de: Entender o significado dos conceitos, relacionando-os com outros conceitos matemáticos; Perceber a razão de ser de procedimentos de rotina; Reconhecer regularidades e compreender relações; Acompanhar e analisar um raciocínio ou estratégia matemática. onhecer factos e procedimentos básicos da Matemática recorrendo à utilização de computadores esenvolver a capacidade de: Interpretar enunciados matemáticos; Usar a linguagem matemática para expressar as ideias matemáticas com precisão; escrever e explicar, oralmente e por escrito, as estratégias e procedimentos matemáticos que utilizam e os resultados a que chegam; Argumentar e discutir as argumentações de outros. esenvolver a capacidade de: ompreender problemas em contextos matemáticos e não matemáticos e de os resolver utilizando estratégias apropriadas; Apreciar a plausibilidade dos resultados obtidos e a adequação ao contexto das soluções a que chegam; OJETIVOS ESPEÍFIOS ecompor um triângulo por uma mediana e relacionar os triângulos obtidos ecompor um triângulo rectângulo pela altura referente à hipotenusa e relacionar os triângulos obtidos ORGANIZAÇÃO O TRAALHO Os alunos vão trabalhar em grupos reduzidos de 3 elementos, escolhidos por si próprios, o que corresponde a 9 grupos, uma 182

3 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO vez que a turma tem 27 alunos. Estes alunos já estão habituados a trabalhar com computadores, tanto na disciplina de Matemática como nas Áreas urriculares não isciplinares de Área de Projecto e Estudo Acompanhado, neste ano lectivo e no ano transacto. Realizaram alguns projectos recorrendo ao Excel, Word, Sketchpad, PowerPoint e alguns Applets, bem como à Internet. As aulas decorrerão em blocos de 90 minutos e terão início no final do 3 o período, numa fase em que o programa já foi integralmente leccionado e já se realizaram os testes intermédios. Terão lugar no Laboratório de Matemática e iblioteca Escolar, equipadas com computadores. Os alunos começarão com uma primeira tarefa para conhecerem de um modo geral o funcionamento do programa. No final de cada tarefa, que poderá coincidir com a fase final da aula, realizar-se-á uma pequena discussão com toda a turma para que se possam partilhar experiências e reflectir sobre o trabalho realizado por si e pelos restantes alunos da turma. Pretendíamos ainda que os alunos fizessem um pequeno relatório para cada tarefa mas considerámos demasiado exigente atendendo ao tempo disponível e à grande dificuldade que os alunos apresentam neste tipo de trabalho. TEMPO E REALIZAÇÃO E AA TAREFA Actividade Proposta Tempo 0. Guia de referência 90 min 1. Ângulos 2. Ângulos internos e âng. externos de um triângulo 90 min 3. Triângulos e altura 4. Triângulos e mediana 90 min 5. Triângulos e mediatrizes 6. Triângulos e bissectriz 90 min 7. Problemas 90 min Os alunos já conhecem e trabalharam os conceitos básicos para desenvolver a actividade. Atendendo a que os alunos poderão não lembrar os conceitos de mediana e altura é-lhes orientado o trabalho para que começam por adquirirem as noções fundamentais. Esperando que nem todos os alunos revelem a mesma habilidade na utilização do programa, os professores deverão tentar acompanhar as resoluções de cada um dos grupos, passo a passo. Pelos mesmos motivos recorrerão ao quadro interactivo para que toda a turma consiga evoluir na sua resolução, evitando um grande desfasamento entre grupos e a tendência para algum barulho. Apesar desta preocupação, os professores deverão dar alguma liberdade em termos de tempo para que os alunos tentem resolver os problemas de forma autónoma. erca de 20 minutos antes do término da aula deverão os grupos explicar como realizaram a tarefa, explicando a sequência de procedimentos. MATERIAL Ficha de actividades; 9 computadores; quadro interactivo; Sketchpad ARATERIZAÇÃO A TURMA As tarefas são dirigidas a uma turma do 8 o Ano composta por 27 alunos da Escola E..2,3 Santo António, Faro. É uma turma de nível om à disciplina de Matemática registando até ao momento apenas uma aluna com nível inferior a três e dezasseis alunos com nível 4 ou 5. O ambiente durante o desenvolvimento de actividades é geralmente calmo e nota-se um claro empenho e motivação pela realização de tarefas quer de investigação, exploração, resolução de problemas ou até mesmo rotineiras. A única face negativa é o número elevado de alunos que dificulta muito o apoio individual por parte dos professores ESTRATÉGIAS Os alunos conhecem o programa pois já tomaram contacto com a maioria das funcionalidades, em especial aquelas necessárias ao desenrolar das actividades. AVALIAÇÃO OS ALUNOS O professor terá oportunidade de avaliar em cada aula o grau de envolvimento de cada aluno quer durante a resolução da actividade quer no final desta aquando da discussão, bem como na apresentação dos trabalhos à 183

4 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO turma. A avaliação deste trabalho integrará a avaliação final do ano lectivo como elemento dos parâmetros aquisição, compreensão e aplicação de conhecimentos. REFLEXÃO evido à dimensão elevada da turma recorreuse à utilização do quadro interactivo para evitar grandes desfasamentos entre grupos, no entanto, deixou-se que os alunos desenvolvessem o trabalho de forma autónoma. Ao contrário do que se esperava os alunos não apresentaram grandes dificuldades no entendimento das funcionalidades do programa. O facto do programa ser em Inglês não foi impeditivo da compreensão de cada uma das ferramentas. Os alunos aderiram com entusiasmo às actividades propostas e sugeriram que se fizessem mais actividades em Sketchpad. onscientes do bom nível de desempenho dos alunos da turma, aplicámos estas mesmas actividades a uma aluna da mesma turma, mas com algumas dificuldades, numa aula de Estudo Acompanhado. Quanto à utilização do programa esta aluna não revelou dificuldades, no entanto, como não havia adquirido as competências específicas necessárias precisou de vários esclarecimentos. A ideia que a utilização do software educativo torna mais lento o desenvolvimento de conteúdos e procedimentos, revelou-se falsa. Este tipo de actividades já tinham sido desenvolvidas em sala de aula com o recurso a material de desenho e, podemos constatar que utilizando o Sketchpad, o tempo dispendido foi inferior. ados os francos benefícios decorrentes da utilização deste software educativo sentimonos motivados para futuros trabalhos. 184

5 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO ANEXOS Anexo I Tarefas e resoluções 185

6 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO Ano lectivo 2007/

7 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO 187

8 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO 188 A

9 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO A 189

10 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO 190

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13 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO Ano lectivo 2007/2008 m AE = 73,96 m E = 73,96 A E m E = 33,73 m F = 33,73 m EG = 146,27 m FA = 146,27 E G A F 193

14 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO m A = 62,81 m A = 71,63 m A = 45,56 m A+m A+m A = 180,00 m FA = 134,44 m E = 117,19 m = 108,37 m FA+m E+m = 360,00 Soma dos ângulos Internos de um Triângulo Soma dos ângulos Internos de um Triângulo E A F m = 44,81 m = 90,00 m = 45,19 m A = 44,81 m A = 90,00 m A = 45,19 m A = 44,81 m A = 90,00 m A = 45,19 [A]é um triângulo rectângulo em h:altura relativamente à hipotenusa h A Podemos verificar que os triângulos [A], [] e [A] têm três ângulos geometricamente iguais, entre si. Podemos dizer que: Num triângulo rectângulo a altura relativamente à hipotenusa divide o triângulo em triângulos semelhantes entre si, e ao triângulo inicial. 194

15 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO Area A = 4,02 cm 2 Area A = 1,86 cm 2 Area = 1,86 cm 2 Area = 4,02 cm 2 A Podemos dizer que: A Uma mediana de um triângulo divide-o em dois triângulos com a mesma área. 195

16 LÁUIA HEREIRO AROSO, ESOLA E..2,3 SANTO ANTÓNIO

17 ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, PONTOS ESPEIAIS NUM TRIÂNGULO 8 O ANO 3. Escada = 3,68 cm Escada 4 = 0,92 cm Escada m = 75,52 197