1 Um pouco de história

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1 1 Um pouco de história Início da Probabilidade: 1654 com a troca de cartas entre Pascal e Fermat sobre o Problema dos Pontos colocado para Pascal por Chevalier de Méré. A e B jogam dados, vamos supor que A ganha 1 ponto quando o resultado pertence ao conjunto {1, 2} enquanto B ganha 1 ponto quando o resultado pertence ao conjunto {3, 4, 5, 6}. Se A precisa de n pontos para ganhar e B necessita m pontos para ganhar. Qual a probabilidade que A ganhe o jogo? O primeiro estudo sistemático de como calcular probabilidades apareceu no livro Liber de Ludo Aleae, publicado em 1663, pelo médico italiano ( e também matemático, físico e astrólogo ) Girolamo Cardano ( ). Devido a sua fama na época, Cardano foi convidado para fazer o horóscopo de Eduardo VI. Prognosticou-lhe longa vida. O rei morreu no ano seguinte. Por outro lado Cardano previu o dia exato de sua morte e acertou. Muitos dizem que cometeu suicídio para tornar realidade esta previsão. O conhecimento de como calcular probabilidades circulou entre matemáticos tais como Galileu ( ) e depois passou da Itália para a França com Fermat e Pascal. Em 1654 Fermat e Pascal trocam correspondências sobre o problema dos pontos: Dois jogadores, aos quais faltam a e b pontos, respectivamente, decidem interromper o jogo. Como as apostas devem ser divididas? A solução de Pascal pode ser exemplificada da seguinte maneira: Suponha que o primeiro jogador a obter 3 pontos vence a aposta em que cada um colocou 32 moedas de ouro. Suponhamos que o primeiro já tenha vencido duas partidas e o segundo apenas uma. Como na partida seguinte o jogador A pode vir a vencer ( ganhando todas as 64 moedas ) ou perder ( ficando ambos empatados ), A dirá: Estou seguro de receber 32 moedas caso seja derrotado na próxima, mas posso vir a ganhar e como as nossas chances são as mesmas, vamos dividir as 32 restantes. Portanto parando agora, levo 48 ( = ) moedas e você 16. Na situação em que o primeiro tenha ganho duas partidas e o outro nenhuma, o raciocínio acima levaria à seguinte conclusão: Caso o jogador A vença a próxima partida leva 64 moedas, e na hipótese de perder, temos a situação anterior, levando portanto 48 moedas. Desta forma A dirá: 48 estão 1

2 asseguradas e portanto dividimos as restantes 16 moedas, isto é, levo 56 ( = ) moedas... Na situação em que o jogador A venceu uma partida e o jogador B nenhuma, este raciocínio levaria o oponente A a ficar com 44 moedas! ( se perder faz juz a 32, mas se ganhar faz juz a 56. Portanto, 32 asseguradas e divide 24 ( = ) ao meio, isto é = 44 ). Pascal prossegue neste raciocínio e o estende para situações mais complicadas, bem como para o caso de jogadores com habilidades distintas, e portanto com chances desiguais. Sua solução faz uso do famoso triângulo de Pascal. Fermat procedeu de outra maneira. Numa carta a Pascal desenvolve seu método, que repousa em considerações sobre a análise combinatória. Vamos exemplificar: Suponha que o jogador A venceu uma partida e o jogador B nenhuma. Após quatro partidas o jogo estará fatalmente encerrado, pois um dos dois oponentes terá os três pontos necessários. Indicando por a uma partida vencida por A e por b a partida vencida por B, teríamos as seguinte possíveis situações: 1- a aaaa 9- a baaa 2- a aaab 10-a baab 3- a aaba 11-a baba 4- a aabb 12-a babb 5- a abaa 13-a bbaa 6- a abab 14-a bbab 7- a abba 15-a bbba 8- a abbb 16-a bbbb Neste caso existem 11 favoráveis para o jogador A e 5 para o jogador B do total de 16 possíveis. ( Note que = 0,6875, e que 0,6875 X 64 = 44 moedas ). ( Ou que = 5 11 ). Portanto as duas soluções ( Pascal e Fermat ) são as mesmas. Este problema interessou a Huygens ( ) que iniciou o estudo propriamente dito da Teoria das Probabilidades e incentivou Jacques Bernoulli ( ) a publicar o Teorema Central do Limite ( Teorema de Ouro ). Não é muito freqüênte o fato de um filho herdar do pai um talento fora do comum, mas mais estranho é o aparecimento de uma dinastia de sábios, que ocuparam um lugar de destaque na história da ciência. Este é o caso da família dos Bernoulli. Um grande matemático ( Leibnitz ) em uma carta a João I Bernoulli chegou a criar um verbo para se referir a ocupação matemática dos membros desta estirpe : Alegra-me saber que teu filho bernoulliza, mantendo assim a tradição da família. Neste período, Montmort ( ) e De Moivre ( ) deram fortes contribuições, mas é com Pierre Simon, Marquês de Laplace ( ), que um grande número de idéias e 2

3 resultados são introduzidos. Suas idéias dominaram durante todo o século 19. Rapidamente as idéias foram sendo aplicadas em áreas tais como finanças públicas, seguros e diversas áreas sociais. A partir da metade do século 19, gradualmente se tornaram parte da teoria física, primeiramente nos estudos da teoria de transferência de calor e depois com Maxwell que utilizou o cálculo de probabilidade em 1860 para deduzir a lei dos gases a partir da posição e das velocidades das moléculas. Boltzmann em 1877 utilizou a idéia de distribuição de probabilidade de energias das moléculas para interpretar a questão de irreversibilidade na Termodinâmica. O surgimento da mecânica quântica apoiada pela teoria da radiação colocada sobre bases probabilísticas por Max Plack em 1900 permitiu que a probabilidade invadisse a teoria atômica e seus conceitos se tornassem fundamentais para a ciência moderna. Neste período, início do século 20, principalmente as contribuições de matemáticos russos, permitiram a formalização assim como o avanço no estudo da Teoria da Probabilidade, em particular do problema central do limite e das cadeias de Markov. Considerações sobre os fundamentos, aplicações à economia e sociologia foram feitos por Bertrand Russel, Keynes e Pareto, respectivamente. A conexão estreita entre matemática e a probabilidade foi iniciada por Emile Borel, sua ligação com teoria dos jogos sedimentada por Von Neumann em 1928 e assim por diante... 2 Análise Combinatória Exemplo Sistema de comunicação n antenas alinhadas Funcional: a menos que duas antenas consecutivas estejam com defeito Se m antenas são defeituosas e as antenas são arrumadas ao acaso, qual a probabilidade do sistema ser funcional? E.g.: n = 4, m = 2 temos 6 arranjos dos quais 3 são funcionais. p = 1/2. 3

4 2.1 Princípio básico da contagem: 2 experimentos: 1. Experimento 1: m resultados 2. Experimento 2: n resultados Total: m.n formas de realizar experimento 1 seguido de experimento 2 Proof. E 1 = {1, 2,..., m}, E 2 = {1, 2,..., n}, E 1 E 2 = {(1, 1), (1, 2),..., (m, n)} Exemplo 2 Depto Estatística: 18 docentes Depto Mat. Aplicada: 43 docentes Depto Matemática: 64 docentes Comissão com 3 docentes, um de cada departamento: Exemplo = Placas antigas: 2 letras e 4 números Placas atuais: 3 letras e 4 números = = E se a repetição de letras e números não fosse permitida? =

5 Exemplo 4 Seja A um conjunto com n pontos. Quantas funções f : A {0, 1} podem ser definidas? = 2 n Seja P(A) = conjunto de todos os subconjuntos de A. Daí, P(A) = 2 n. Por que? 2.2 Permutações A = {1, 2,..., n} π : A A; tal que π(i) π(j), i j quantas permutações são possíveis? n! Exemplo 5: Temos 11 livros 4 matemática 3 química 2 história 2 inglês Todos os livros do mesmo assunto juntos: 4! (4!.3!.2!.2!) = Exemplo 6: Anagramas PIMENTA: 7! = 5040 ESTATISTICA: 11! 2!3!2!3! =

6 2.3 Combinações Conjunto: n objetos Subconjunto: k objetos n k E.g.: n = 5, k = 3 Mas {1, 2, 3} = {3, 2, 1} No. permutações = 3! ! = 5! 2!3! = 5 3 exemplo 7: Comite com 7 professores MAP 43 7 exemplo 8: Comite com 4 professores MAP e 3 Estatistica E se Ronaldo e Nancy não querem participar juntos? nem Ronaldo e nem Nancy Ronaldo, mas não Nancy ou Nancy e não Ronaldo 1) Exemplo Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( = 0) e n m não defeituosas (= n m + 1 locações 6

7 : possíveis locações para as m defeituosas. n m + 1 m Identidade: n r = n 1 r 1 + n 1 r (Fixe um dos objetos, no lado direito da equação temos o número de subconjuntos de tamanho r que contém o objeto fixado mais o número de subconjuntos de tamanho r que não contém o objeto fixado. Teorema binomial: (x + y) n = n n k x k y n k k=0 Prova: Por indução. 2.4 Coeficientes multinomiais Conjunto: n objetos Subconjuntos: k 1 objetos, k 2 objetos,..., k r objetos n n k 1 n k 1 k 2... n k 1... k r 1 = k 1 k 2 k 3 k r n! k 1!k 2!... k r! Notação : n k 1,..., k r Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores, entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B pois time A vai jogar em SP e time B vai jogar em Limeira. Quantas divisões são possíveis? 10! 5!5! Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores, entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B para jogarem entre si. Quantas divisões são possíveis? 10! 5!5!2! 7

8 Teorema multinomial: (x 1 + x x r ) n = (k 1,...,k r);k k r=n 2.5 Distribuição de bolas em urnas n k 1,..., k r x k 1 1 x k x kr r Proposição: O número de soluções inteiras positivas para a equação x 1 + x x r = n: n 1 r Temos n objetos simbolizados por 0 e temos que escolher r 1 dos espaços. Suponha n = 8 e r = 3, temos que escolher dois divisores como abaixo: Proposição: O número de soluções inteiras não negativas para a equação x 1 + x x r = n: n + r 1 r 1 Seja y i = x i + 1, i = 1,..., r. Exemplo: Um investidor tem 20 mil reais para distribuir entre 4 possíveis investimentos. Cada investimento deve ser feito em cotas de mil reais. Quantas estratégias posíveis? 23 = 1771 se ele investir todo o dinheiro 3 24 = se ele puder manter algum dinheiro para reserva 4 Exemplo: Quantos coeficientes há na expansão multinomail de (x x r ) n? 8

9 (= 1) Exemplo: Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( = 0) e n m não defeituosas n m + 1 locações : possíveis locações para as m defeituosas. n m + 1 m Objetivo: Determinar quantos destes arranjos lineares não contém antenas defeituosas consecutivas. Imagine primeiramente que as antenas defeituosas foram alinhadas sequencialmente e que depois disso as antenas funcionais vão ser alocadas. x 1 : no. de antenas não defeituosas antes da primeira defeituosa, etc. Seja y 1 = x 1 + 1, etc... x x m = n m, x 1 0, x m+1 0, x i > 0 y y m+1 = n m + 2 n m + 1 m 9