O que é uma lógica? What is a logic? Resumo. Palavras-chave
|
|
- Yago Amarante Antunes
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 What is a logic? Newton C. A. da Costa Décio Krause Universidade Federal de Santa Catarina 1 1 Resumo Neste artigo pretendemos oferecer uma noção minimamente rigorosa do que seja uma lógica. A ideia central é que uma lógica, estritamente falando é um sistema lógico. Entenderemos um sistema lógico como formado, grosso modo, por um conjunto de fórmulas e um conjunto de regras de inferência. A partir daí veremos duas noções fundamentais: dedutibilidade e consequência lógica. Palavras-chave Lógica. Sistema lógico. Dedutibilidade. Consequência lógica. 1 - Grupo de Estudos em Lógica e Fundamentos da Ciência. Departamento de Filosofia Universidade Federal de Santa Catarina (Julho 2013). 11
2 Abstract Our aim in this paper is to provide a minimal rigorous understanding of a logic. The main idea is that a logic is, strickly speaking, a system of logic. Roughly, a system of logic will be taken as a set of formulas and a set of rules of inference. Then, we will look at two fundamental notions: deductibility and logical consequence. Keywords Logic. System of logic. Deductibility. Logical consequence. Lógica (disciplina) e lógica (sistema lógico) A palavra lógica tem diversos significados. Comumente, ouve-se falar da `lógica do mercado, ou da `lógica da criança (em distinção à `lógica do adulto ), etc. Todas essas denominações são imprecisas e necessitam ser vistas com cautela. Mas Lógica é também uma disciplina que é parte tanto da filosofia quanto da matemática, e tem se infiltrado em praticamente todas as áreas da investigação humana. Neste artigo, não falaremos da história da lógica, nem de suas aplicações, que hoje em dia vão da ciência da computação à medicina, passando pela matemática, pelas ciências empíricas (física, biologia), pela filosofia, pela economia, filosofia do direito e da psicanálise. Ficaremos restritos a desvendar o que se entende por lógica não como disciplina, mas como sinônimo de sistema lógico. Porém, algumas palavras devem ser ditas sobre esta distinção. Vários textos que se encontram na praça (livros introdutórios, principalmente) classificam a disciplina Lógica como o estudo de inferências válidas, e que seus princípios fundamentais seriam os princípios da identidade, da contradição e do terceiro excluído. (Quadro 1) Nada mais falso e desprovido de sentido do que isto. Basta que o leitor consulte o item 03 da Mathematics Subject Classification, editada pela American Mathematical Society em parceria com sua coirmã alemã Zentralbat für Mathematik, (Quadro 2) (para constatar que a Lógica vai muito além disso, envolvendo a teoria da recursão, a teoria dos modelos, os fundamentos da teoria de conjuntos, dentre outras variadas áreas, que nem de perto se assemelham a estudo de raciocínios (aliás, o que seria um raciocínio, precisamente?). Aquela parte da lógica que 12
3 Newton C. A. da Costa e Décio Krause poderíamos chamar de teoria da argumentação, com certa condescendência, talvez pudesse se aproximar do que apregoam esses autores. Ademais, os três mencionados princípios não são os únicos que vigoram na lógica clássica, havendo muitos outros (dupla negação, lei de Peirce, lei de Scotus, etc); por fim, basta notar que não se pode fundar a parte mais básica da lógica (dita) clássica nesses três princípios. Eles não bastam para axiomatizar o cálculo proposicional clássico, por exemplo. E depois, porque identificar lógica com lógica clássica? Na lógica intuicionista de Brouwer e Heyting, o terceiro excluído não vale; nas lógicas paraconsistentes, o princípio da contradição não vale em geral, e nas lógicas nãoreflexivas o princípio da identidade é que é restringido. (Quadro 3) Assim, como sustentar a afirmação acima? Afirmá-la constitui pura e simplesmente um erro conceitual. Mais à frente, alguns dos termos deste parágrafo ficarão mais claros. Lógica não é apenas linguagem Outro vício que encontramos nos livros e textos é a afirmativa de que lógica (no sentido de sistema lógico) identifica-se com linguagem. Talvez isso se deva a uma tradição, que remonta a Frege e Russell, de apresentar uma lógica (no caso deles, a que chamamos de `clássica ) iniciando pela descrição de uma linguagem (símbolos primitivos, regras gramaticais de formação das expressões bem formadas, e depois o seu aparato dedutivo, composto por axiomas e regras de inferência). Mas este é apenas um dos lados da história. Com efeito, como mostraram os poloneses no início do século XX, uma lógica pode ser identificada com uma álgebra, e uma linguagem formal também é um tipo de álgebra ---trata-se de uma álgebra livre com um determinado conjunto de geradores, esses conceitos devendo ser entendidos no sentido que se lhes dá em álgebra. Lógica como uma álgebra Do ponto de vista algébrico, podemos ver uma lógica como um par ordenado L = F,T, onde F é um conjunto não vazio (a natureza dos elementos não importa em uma primeira instância) e T é uma coleção de subconjuntos de F. Os elementos de F são denominados de fórmulas, e os de T, de teorias. Os seguintes axiomas devem ser satisfeitos: (1) F pertence a T, ou seja, o conjunto das fórmulas é uma teoria; (2) se T 1, T 2,... são teorias (o conjunto pode ser qualquer, não necessariamente enumerável, ou seja, não precisa admitir uma 13
4 correspondência um a um com o conjunto dos números naturais), então a sua interseção, que consta daquelas fórmulas que pertencem a todas essas teorias, também é uma teoria. Isso pode parecer difícil, mas não é; tudo o que se pede é concentração e capacidade de raciocínio abstrato. Vamos em frente. Dado um conjunto de fórmulas Γ e uma fórmula A, escrevemos Γ A para indicar que toda teoria que contenha as fórmulas de Γ contém A. Neste caso, dizemos que A é dedutível, ou que é consequência sintática, das fórmulas de Γ. As fórmulas de Γ denominamse de premissas da dedução e A é a conclusão. Escrevemos Γ A em caso contrário. É simples mostrar que o operador, que chamamos de operador de dedução, tem as seguintes propriedades: (a) {A} A (autodedutibilidade), (b) se Γ A, então Γ UΔ A, sendo Δ um conjunto qualquer de fórmulas (monotonicidade), e (c) se Γ A e se Δ B para toda B em Γ, então Δ A (lei do corte). A autodedutibilidade é óbvia: toda fórmula é dedutível dela mesma (ou de seu conjunto unitário). A monotonicidade significa que se deduzimos A de Γ, continuaremos deduzindo A não importa quantas premissas adicionemos às que já tínhamos. A lei (ou regra) do corte também é bastante intuitiva. Repare que na maioria dos raciocínios que fazemos, ferimos a monotonicidade. Por exemplo, se sempre que uma criança houve seu pai buzinar, sabe que precisa ir correndo abrir o portão da garage para ele entrar, não implica que hoje, ouvindo a buzina, deva fazer isso, pois sabe uma coisa a mais, a saber, que seu pai não esqueceu o controle do portão. Uma premissa a mais derrota (defeat) a derivação. Tais formas de inferência são extremamente importantes, mas não trataremos delas aqui. A partir dessas definições, podemos introduzir todo o aparato sintático usual, bem como provar seus resultados correspondentes, mas também não é disso que queremos falar. Um outro conceito importante é o de consequência lógica; sendo Γ um conjunto de fórmulas, escrevemos Cn(Γ) para representar o conjunto de todas as fórmulas de F que são dedutíveis das fórmulas de Γ. Em outras palavras, A estará em toda teoria que contenha as fórmulas de Γ, e somente nessas teorias. Se dispusermos do símbolo de dedução, podemos definir Cn(Γ) = {A : Γ A}. O operador Cn é chamado de operador de consequência de Tarski. É imediato provar que ele satisfaz as seguintes condições: (i) Γ está contido em Cn(Γ); (ii) se Γ está contido em Δ, então Cn(Γ) está contido em Cn(Δ), e (iii) Cn(Cn(Γ)) está contido em Cn(Γ), ou seja, aquilo que se deduz do que já foi deduzido, pode ser obtido apenas das premissas originais. Vamos ver algumas formas alternativas de dizer a mesma coisa, talvez mais intuitivas à maioria dos leitores. A primeira inverte a situação acima. Dizemos que uma lógica é um par L = F, 14
5 Newton C. A. da Costa e Décio Krause composto por um conjunto F como acima e por uma relação entre conjuntos de fórmulas e fórmulas, satisfazendo a autodedutibilidade, a monotonicidade e a lei do corte. Com isso, podemos agora definir teoria; uma teoria é um conjunto de fórmulas fechado por deduções, ou seja, é um conjunto T tal que tudo o que for deduzido de fórmulas de T ainda pertence a T. Podemos agora mostrar que as condições (1) e (2) impostas acima podem ser obtidas como teoremas. As duas abordagens são equivalentes. Mas há uma terceira que vale a pena mencionar. Pomos agora que uma lógica é um par L = F, Cn, sendo F como acima e Cn uma relação entre conjuntos de fórmulas e fórmulas, satisfazendo (i)-(iii) acima. Podemos agora definir a partir de Cn do seguinte modo: Γ A se e somente se A pertence a Cn(Γ) e provar que valem (a)-(c) acima. A partir disso, voltamos a definir teoria e provar que as condições (1) e (2) são satisfeitas. Isso mostra que as três formas de abordagem são equivalentes. Uma quarta, também equivalente às anteriores é a seguinte. Dizemos que uma lógica é uma tripla ordenada L = F, A, R, onde F é como antes, A é um subconjunto de F, dito conjunto dos axiomas de L e R é uma coleção de relações entre conjuntos de fórmulas (as premissas da regra) e fórmulas, ditas regras de inferência de L. Suporemos que as regras são finitárias, ou seja, há sempre um número finito de premissas, mas isso poderia ser generalizado. Se A 1, A 2,..., A n forem as premissas de uma regra R e A for a conclusão, diremos que A é consequência imediata das A j pela regra R. Agora podemos introduzir a noção de dedução, Γ A, do seguinte modo. Dizemos que A é dedutível de Γ se existe uma sequência (no nosso caso, finita, mas isso pode ser estendido para casos mais gerais) de fórmulas B 1, B 2,..., B n tal que (I) B n é A; (II) cada B j, para j<n, é um axioma (elemento de A), ou pertence a Γ, ou é consequência imediata de fórmulas precedentes da sequência por uma das regras de inferência. Claro que (a)-(c) acima valem e que podemos definir facilmente Cn(Γ) para qualquer Γ, de forma a valerem (i)-(iii). Teorias também podem ser definidas sem dificuldade (o leitor deveria tentar), de modo a cumprir (1) e (2). Vamos ver um exemplo simples de uma lógica. Tomemos F = {0,1,2,3,4,...} (o conjunto dos números naturais) e seja A={0,2,4,6,8,...} (o conjunto dos números pares). As regras são duas, definidas fazendo-se uso das operações conhecidas com números: (R 1 ) de A e B, inferimos A+B e (R 2 ) de A e B, inferirmos A.B. É imediato constatar que {1,2} 1, {1,3} 4, {2,3} 6, bem como que Cn(A) = A F, etc. Esta lógica, apesar de interessante para exercícios, não tem muita utilidade. Uma mais poderosa é obtida acrescentando-se à estrutura L = F,T um operador binário definido sobre F, denotado. Escreveremos A B para indicar que A e B estão relacionados por. Pomos agora a seguinte definição: L é uma lógica implicativa intuicionista se forem satisfeitas 15
6 as seguintes condições, para toda teoria T de L, e todas A, B, C em T: (I 1 ) A (B A) pertence a T; (I 2 ) (A B) ((A (B C)) (A C)) pertence a T, e (I 3 ) se A e se A B pertencem a T, então B pertence a T. (Quadro 4) Obtém-se uma lógica implicativa clássica se a essas condições impusermos uma a mais, conhecida como Lei de Peirce: (P) ((A B) A) A pertence a T. O caminho está traçado. Acrescentando-se à estrutura L = F,T outros operadores, como ʌ (conjunção), (disjunção) e (negação) obedecendo axiomas pertinentes, obtemos as lógicas conjuntiva, disjuntiva, da negação (minimal, por exemplo) ou então, colocando-se esses conectivos todos, obtendo L= F,T,, ʌ,, com axiomas adequados, obtemos as lógicas usuais positiva intuicionista, positiva clássica (essas duas sem o operador unário de negação), de Johansson-Kolmorov, de Brouwer-Heyting, e a clássica. Claro que podemos estender essas estruturas para obter as correspondentes lógicas quantificacionais (isso daria um pouco mais de trabalho, e não dispomos deste espaço aqui). Operadores convenientes como (possibilidade), (obrigatoriedade), (bom comportamento) nos permite obter com facilidade os sistemas modais, deônticos e muitos cálculos paraconsistentes, seja de nível proposicional ou quantificacional. Adicionandose um operador binário (pertinência), podemos obter as teorias de conjuntos usuais, como o sistema Zermelo-Fraenkel. As propriedades sintáticas e semânticas de todos esses sistemas podem ser estudadas como se faz usualmente. Saliente-se que mesmo lógicas indutivas podem ser estudadas via esta abordagem. Como se vê, não se pode antecipar uma definição de lógica sem que se conheça a fundo os sistemas que são trabalhados pelos lógicos. Assim, ao se dizer que a lógica trata de raciocínios, do que se está falando? Um brouweriano não aceitaria uma redução ao absurdo, como faz um clássico. Um lógico paraconsistente não vê problema em derrogar o mais certo de todos os princípios, como se referiu Aristóteles ao princípio da contradição, e assim por diante. Da mesma forma, a lógica (qual lógica?) não pode ser vista como algo a priori. Temos mais familiaridade com a lógica (dita) clássica por questões culturais, mas nada impede que, em princípio, nossas categorias do entendimento nos tivessem levado a uma lógica distinta da clássica. Ademais, o que é a lógica clássica? Para alguns, como Quine, ela deve se restringir à logica quantificacional elementar (de primeira ordem), mas porque isso tem que ser assim? Vimos acima que, procedento adequadamente, podemos obter sistemas tão fortes como as teorias de conjuntos. Qual o critério para excluí-las daquilo que denominamos lógica, relegando-as a serem matemática, como apregoava Quine? Qualquer resposta não passará de mero palpite, opinião. Lógica é aquilo que faz parte da atividade do lógico, e como se constata verificando-se a Mathematical Subject Classification, 16
7 Newton C. A. da Costa e Décio Krause este campo do conhecimento, como qualquer outro, está em constante alteração (itens entram e saem dessa classificação quando ela é reavaliada, a cada 10 anos), o que atesta ser uma área viva e saudável de nossa atividade científica. Quadro 1 Os três mais célebres princípios da lógica tradicional (mas não os únicos) admitem cada um uma variedade de formulações não equivalentes. Por exemplo, o princípio da identidade pode ser A A (lógica proposisional), ou x(x=x) (lógica de primeira ordem), todo objeto é idêntico a si mesmo (formulação semântica). Versões do princípio da contradição são: (Aʌ A), dentre duas proposições contraditórias (uma sendo a negação da outra), uma delas é falsa. Quanto ao terceiro excluído, temos Aʌ A, e dentre duas proposições contraditórias (uma sendo a negação da outra), uma delas é verdadeira. Outros princípio são: a dupla negação (clássica) diz que A A, a redução ao absurdo clássico é ( A B) (( A B) A)), e assim por diante. Quadro 2 No site da Mathematics Subject Classification msc2010.html, o leitor encontrará as subdivisões datadas de 2010 da matemática presente. A seção 03 intitula-se Mathematical Logic and Foundations, e engloba, dentre várias outras, a teoria dos modelos, a teoria da prova, a teoria dos conjuntos, a teoria da computabilidade, a lógica algébrica. Como dizer que a lógica ocupa-se meramente do estudo de raciocínios válidos? Quadro 3 Lógicas que derrogam o principio da identidade (em alguma de suas formas) ou que restringem o conceito de identidade da lógica clássica são denominadas de não-reflexivas. Por exemplo, as lógica da implicação causal, que interpretam A B como A causa B, em geral não aceitam que uma coisa possa ser a causa dela mesma. O princípio x(x=x) é 17
8 enfraquecido nas Lógicas de Schrödinger e nas teorias de quase-conjuntos, que operam sobre domínios nos quais se admite que a relação de identidade não de aplica para determinados objetos. As lógicas que derrogam o princípio do terceiro excluído são chamadas de paracompletas, estando entre elas a lógica intuicionista e as lógicas polivalentes. Quadro 4 Um exemplo de uma derivação na lógica positiva intuicionista. Provaremos que A A é uma tese desta lógica, em estrita conformidade com a definição de dedução dada no texto (neste caso, não há premissas além dos axiomas da lógica em questão). Temos a seguinte derivação, na qual indicamos à direita o que se passa com cada fórmula da sequência: 1. A (A A) instancia do axioma I1 2. (A (A A)) (A ((A A) A) (A A)) axioma I2 3. (A ((A A) A)) (A A) 1,2, axioma I3 4. A ((A A) A) axioma I1 5. A A 3,4, axioma I3 Referências Da Costa, N. C. A. [1980], Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo, Hucitec- EdUSP. Newton C. A. da Costa Aposentado dos departamentos de matemática e de filosofia da USP, é um dos criadores das lógicas paraconsistentes e tem dado colaboração em diversas áreas do conhecimento, tendo sido agraciado e reconhecido no Brasil e no exterior. Atualmente é professor do programa de pós-graduação do departamento de filosofia da UFSC. É pesquisador do CNPq. 18
9 Newton C. A. da Costa e Décio Krause Décio Krause Aposentado do departamento de matemática da UFPR, é atualmente professor do departamento de filosofia da UFSC. É pesquisador do CNPq. 19
3.3 Cálculo proposicional clássico
81 3.3 Cálculo proposicional clássico 3.3.1 Estrutura dedutiva Neste parágrafo serão apresentados, sem preocupação com excesso de rigor e com riqueza de detalhes, alguns conceitos importantes relativos
3.4 Fundamentos de lógica paraconsistente
86 3.4 Fundamentos de lógica paraconsistente A base desta tese é um tipo de lógica denominada lógica paraconsistente anotada, da qual serão apresentadas algumas noções gerais. Como já foi dito neste trabalho,
Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6)
Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6) LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto Estrutura 1. Definições 2. Dedução Natural 3. Sistemas axiomático Pa 4. Lista
A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA
MAT1513 - Laboratório de Matemática - Diurno Professor David Pires Dias - 2017 Texto sobre Lógica (de autoria da Professora Iole de Freitas Druck) A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA Iniciemos
Introdução ao Curso. Área de Teoria DCC/UFMG 2019/01. Introdução à Lógica Computacional Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG /01 1 / 22
Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG Introdução à Lógica Computacional 2019/01 Introdução à Lógica Computacional Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG - 2019/01 1 / 22 Introdução: O que é
UMA PROVA DE CONSISTÊNCIA
UMA PROVA DE CONSISTÊNCIA Felipe Sobreira Abrahão Mestrando do HCTE/UFRJ felipesabrahao@gmail.com 1. INTRODUÇÃO Demonstradas por Kurt Gödel em 1931, a incompletude da (ou teoria formal dos números ou aritmética)
Revista de Pesquisa em Filosofia FUNDAMENTO
Revista de Pesquisa em Filosofia FUNDAMENTO Ouro Preto - Minas Gerais - Brasil Fundamento Revista de Pesquisa em Filosofia / Universidade Federal de Ouro Preto / Grupo de Pesquisa em Filosofia Contemporânea.
RETICULADOS: NOTAS DO SEMINÁRIO DE 7/03/03
RETICULADOS: NOTAS DO SEMINÁRIO DE 7/03/03 PEDRO A. TONELLI 1. Introdução: o esqueleto do espírito E ainda mais remoto que o tempo em que as coisas não tinham nome, é o tempo em que as coisas nem existiam,
SOBRE O OPERADOR DE CONSEQÜÊNCIA DE TARSKI
VELASCO, Patrícia Del Nero. Sobre o operador de conseqüência de Tarski. In: MARTINS, R. A.; MARTINS, L. A. C., P.; SILVA, C. C.; FERREIRA, J. M. H. (eds.). Filosofia e história da ciência no Cone Sul:
Lógica Proposicional Métodos de Validação de Fórmulas. José Gustavo de Souza Paiva. Introdução
Lógica Proposicional Métodos de Validação de Fórmulas José Gustavo de Souza Paiva Introdução Análise dos mecanismos que produzem e verificam os argumentos válidos apresentados na linguagem da lógica Três
Afirmações Matemáticas
Afirmações Matemáticas Na aula passada, vimos que o objetivo desta disciplina é estudar estruturas matemáticas, afirmações sobre elas e como provar essas afirmações. Já falamos das estruturas principais,
Introdu c ao ` a L ogica Matem atica Ricardo Bianconi
Introdução à Lógica Matemática Ricardo Bianconi Capítulo 4 Dedução Informal Antes de embarcarmos em um estudo da lógica formal, ou seja, daquela para a qual introduziremos uma nova linguagem artificial
Lógica Computacional
Aula Teórica 2: Sintaxe da Lógica Proposicional António Ravara Simão Melo de Sousa Departamento de Informática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa Departamento de Informática,
4 AULA. Regras de Inferência e Regras de Equivalência LIVRO. META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência.
1 LIVRO Regras de Inferência e Regras de Equivalência 4 AULA META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Teoria Elementar dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Conjuntos Este capítulo visa oferecer uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Além de conceitos básicos importantes em matemática, a sua imprtância reside no fato da
Neste artigo, a título de sugestão de abordagem do tema, apresentamos exemplos de explicitação e utilização de algumas dessas regras.
Somo Gilda de La Roque Palis e Iaci Malta PUC - RJ Em sua autobiografia, Carl Gustav Jung 1, um dos grandes pensadores da Psicanálise, lembrando de seus tempos de colégio, diz:... o que mais me irritava
Lógicas Construtivas: Intuicionismo, uma
Lógicas Construtivas: Intuicionismo, uma Introdução Ricardo Bianconi 1 Introdução Vamos tratar agora de Lógicas Construtivas, ou seja, aquelas em que se admitem apenas argumentos construtivos. O que seriam
Teoria Elementar dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Conjuntos Última revisão em 27 de fevereiro de 2009 Este texto é uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Em particular, importam-nos os aspectos algébricos no estudo
Completude diz-se em Vários Sentidos
Completeness can be said in Several Meanings Edelcio Gonçalves de Souza Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) edelcio@pucsp.br Resumo: A partir de um raciocínio equivocado acerca do significado
traço de inferência, premissas conclusão rrt
Introdução Como vimos antes, quando da exposição informal, uma das importantes noções lógicas é a de regra de inferência. gora introduziremos essa noção de maneira formal (mais precisamente, considerando
Espaços quase topológicos: o caso em que cada conjunto fechado é também aberto. Introdução. Hércules de A. Feitosa, Mauri C.
Espaços quase topológicos: o caso em que cada conjunto fechado é também aberto Hércules de A. Feitosa, Mauri C. do Nascimento, Departamento de Matemática, FC, UNESP, 17033-360, Bauru, SP E-mail: haf@fc.unesp.br,
Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas.
Teoria dos Conjuntos Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas. Porém, não é nosso objetivo ver uma teoria axiomática dos conjuntos.
Aula 6: Dedução Natural
Lógica para Computação Primeiro Semestre, 2015 DAINF-UTFPR Aula 6: Dedução Natural Prof. Ricardo Dutra da Silva Em busca de uma forma de dedução mais próxima do que uma pessoa costuma fazer, foi criado
Axiomas de corpo ordenado
Axiomas de corpo ordenado 2 a lista de exercícios Análise real A abordagem axiomática dos números reais previne erros que a intuição pode ocasionar e torna mais rigoroso o processo de demonstração matemática,
Fórmulas da lógica proposicional
Fórmulas da lógica proposicional As variáveis proposicionais p, q, são fórmulas (V P rop ) é fórmula (falso) α e β são fórmulas, então são fórmulas (α β), (α β), (α β) e ( α) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional Lógica Computacional Carlos Bacelar Almeida Departmento de Informática Universidade do Minho 2007/2008 Carlos Bacelar Almeida, DIUM LÓGICA PROPOSICIONAL- LÓGICA COMPUTACIONAL 1/28
Lógica Computacional DCC/FCUP 2017/18
2017/18 Raciocínios 1 Se o André adormecer e alguém o acordar, ele diz palavrões 2 O André adormeceu 3 Não disse palavrões 4 Ninguém o acordou Será um raciocínio válido? Raciocínios Forma geral do raciocínio
Lógica Computacional
Aula Teórica 2: da Lógica Proposicional António Ravara Simão Melo de Sousa Departamento de Informática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa Departamento de Informática, Faculdade
Quantificadores Modulados e o Método da Semântica de Sociedades
Trabalho apresentado no XXXV CNMAC, Natal-RN, 2014. Quantificadores Modulados e o Método da Semântica de Sociedades Luiz Henrique C. Silvestrini Departamento de Matemática, FC, UNESP 17033-360, Bauru,
Lógica Computacional. Métodos de Inferência. Passos de Inferência. Raciocínio por Casos. Raciocínio por Absurdo. 1 Outubro 2015 Lógica Computacional 1
Lógica Computacional Métodos de Inferência Passos de Inferência Raciocínio por Casos Raciocínio por Absurdo 1 Outubro 2015 Lógica Computacional 1 Inferência e Passos de Inferência - A partir de um conjunto
Dedução Natural LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO. Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto
Dedução Natural LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto Estrutura 1. Definições 2. Dedução Natural 3. Lista Um dos objetivos principais da lógica é o estudo de estruturas
LÓGICA I. André Pontes
LÓGICA I André Pontes 1. Conceitos fundamentais O que é a Lógica? A LÓGICA ENQUANTO DISCIPLINA Estudo das leis de preservação da verdade. [Frege; O Pensamento] Estudo das formas válidas de argumentos.
Apresentação do curso
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica
Unidade 5 - Subespaços vetoriais. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 5 - Subespaços vetoriais A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013 Às vezes, é necessário detectar, dentro
Aula 1: Introdução ao curso
Aula 1: Introdução ao curso MCTA027-17 - Teoria dos Grafos Profa. Carla Negri Lintzmayer carla.negri@ufabc.edu.br Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC 1 Grafos Grafos
Aula 6: Dedução Natural
Lógica para Computação Segundo Semestre, 2014 DAINF-UTFPR Aula 6: Dedução Natural Prof. Ricardo Dutra da Silva Em busca de uma forma de dedução mais próxima do que uma pessoa costuma fazer, foi criado
Lógica Proposicional Parte 2
Lógica Proposicional Parte 2 Como vimos na aula passada, podemos usar os operadores lógicos para combinar afirmações criando, assim, novas afirmações. Com o que vimos, já podemos combinar afirmações conhecidas
IME, UFF 3 de junho de 2014
Lógica IME, UFF 3 de junho de 2014 Sumário A lógica formal e os principais sistemas A lógica formal Um dos objetivos da lógica formal é a mecanização do raciocínio, isto é, a obtenção de nova informação
Lógica. Professor Mauro Cesar Scheer
Lógica Professor Mauro Cesar Scheer Objetivos Reconhecer e manipular com os símbolos formais que são usados no Cálculo Proposicional (CPC) e Cálculo de Predicados (CP). Determinar o valor de verdade de
Sistema dedutivo. Sistema dedutivo
Sistema dedutivo Estudaremos um sistema dedutivo axiomático axiomas lógicos e axiomas não lógicos (ou esquemas de axiomas) e regras de inferência (ou esquemas de regra) do tipo de Hilbert para a lógica
Lógica Matemática 1. Semana 7, 8 e 9. Material Previsto para três semanas
Lógica Matemática 1 Semana 7, 8 e 9. Professor Luiz Claudio Pereira Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Material Previsto para três semanas Implicação e equivalência
Lógica proposicional
Lógica proposicional Sintaxe Proposição: afirmação que pode ser verdadeira ou falsa Proposições podem ser expressas como fórmulas Fórmulas são construídas a partir de símbolos: De verdade: true (verdadeiro),
Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril
1 Conjuntos Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril Um conjunto é uma coleção de objetos. Estes objetos são chamados de elementos do conjunto. A única restrição é que em geral um mesmo elemento não pode contar
LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos
LFA Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos Técnicas de Demonstração Um teorema é uma proposição do tipo: p q a qual, prova-se, é verdadeira sempre que: p q Técnicas de Demonstração
Referências e materiais complementares desse tópico
Notas de aula: Análise de Algoritmos Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Profa. Carla Negri Lintzmayer Conceitos matemáticos e técnicas de prova (Última atualização:
Lógica Computacional
Aula Teórica 13: Dedução Natural em Lógica Proposicional António Ravara Simão Melo de Sousa Departamento de Informática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa Departamento de
NHI Lógica Básica (Lógica Clássica de Primeira Ordem)
NHI2049-13 (Lógica Clássica de Primeira Ordem) página da disciplina na web: http://professor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica O assunto O que é lógica? Disciplina que se ocupa do estudo sistemático
LÓGICA I ANDRÉ PONTES
LÓGICA I ANDRÉ PONTES 3. Introdução à Teoria dos Conjuntos Um conjunto é uma coleção ou um agregado de objetos. Introduzindo Conjuntos Ex.: O conjunto das vogais; O conjuntos de pessoas na sala; O conjunto
ENTREVISTA COM A PROFESSORA ITALA MARIA LOFFREDO D OTTAVIANO: UMA INTRODUÇÃO À LÓGICA, ÀS LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS E À TEORIA DE SISTEMAS
COM A PROFESSORA ITALA MARIA LOFFREDO D OTTAVIANO: UMA INTRODUÇÃO À LÓGICA, ÀS LÓGICAS NÃO CLÁSSICAS E À TEORIA DE SISTEMAS Professora do Departamento de Filosofia da Universidade Estadual de Campinas
Lógica Computacional
Lógica Computacional 3.ano LCC e LERSI URL: http://www.ncc.up.pt/~nam/aulas/0304/lc Escolaridade: 3.5T e 1P Frequência:Semanalmente serão propostos trabalhos aos alunos, que serão entregues até hora e
Um pouco de história. Ariane Piovezan Entringer. Geometria Euclidiana Plana - Introdução
Geometria Euclidiana Plana - Um pouco de história Prof a. Introdução Daremos início ao estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Faremos uso do
n. 18 ALGUNS TERMOS...
n. 18 ALGUNS TERMOS... DEFINIÇÃO Uma Definição é um enunciado que descreve o significado de um termo. Por exemplo, a definição de linha, segundo Euclides: Linha é o que tem comprimento e não tem largura.
A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. SANDRO MARCOS GUZZO RESUMO. A construção dos conjuntos numéricos é um assunto clássico na matemática, bem como o estudo das propriedades das operações
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1
Lógica e Metodologia Jurídica
Lógica e Metodologia Jurídica Argumentos e Lógica Proposicional Prof. Juliano Souza de Albuquerque Maranhão julianomaranhao@gmail.com Quais sentenças abaixo são argumentos? 1. Bruxas são feitas de madeira.
Aula 2: Linguagem Proposicional
Lógica para Computação Primeiro Semestre, 2015 Aula 2: Linguagem Proposicional DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Linguagens naturais, como o nosso Português, podem expressar ideias ambíguas ou imprecisas.
Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Lógica Formal Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza Implicação As proposições podem ser combinadas na forma se proposição 1, então proposição 2 Essa proposição composta é denotada por Seja
Números Inteiros Axiomas e Resultados Simples
Números Inteiros Axiomas e Resultados Simples Apresentamos aqui diversas propriedades gerais dos números inteiros que não precisarão ser provadas quando você, aluno, for demonstrar teoremas nesta disciplina.
Generalidades sobre conjuntos
Generalidades sobre conjuntos E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Conjuntos e a noção de pertinência Na teoria dos
PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA
PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA Concurso Público 2016 Conteúdo Teoria dos conjuntos. Razão e proporção. Grandezas proporcionais. Porcentagem. Regras de três simples. Conjuntos numéricos
Generalidades sobre conjuntos
Generalidades sobre conjuntos E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Conjuntos e a noção de pertinência Na teoria dos
Matemática para Ciência de Computadores
Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Teoria de Conjuntos Um conjunto é uma colecção de objectos/elementos/membros. (Cantor
No. Try not. Do... or do not. There is no try. - Master Yoda, The Empire Strikes Back (1980)
Cálculo Infinitesimal I V01.2016 - Marco Cabral Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ Monitor: Lucas Porto de Almeida Lista A - Introdução à matemática No. Try not. Do... or do not. There is no try.
Lógica para Computação
Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. celsokaestner (at) utfpr (dot) edu (dot) br Sistemas Dedutivos Um Sistema Dedutivo (SD) tem por objetivo obter, a partir de um conjunto
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Medida e Probabilidade
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Medida e Probabilidade Aluno: Daniel Cassimiro Carneiro da Cunha Professor: Andre Toom 1 Resumo Este trabalho contem um resumo dos principais
A2. Cada operação é distributiva sobre a outra, isto é, para todo x, y e z em A, x (y + z) = (x y) + (x z) e x + (y z) = (x + y) (x + z)
Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, que é baseada em um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis ou propriedades de álgebras booleanas.
Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução
Lógica Cálculo Proposicional Introdução Lógica - Definição Formalização de alguma linguagem Sintaxe Especificação precisa das expressões legais Semântica Significado das expressões Dedução Provê regras
Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos
Pode-se dizer que a é em grande parte trabalho de um único matemático: Georg Cantor (1845-1918). noção de conjunto não é suscetível de definição precisa a partir d noções mais simples, ou seja, é uma noção
Um espaço métrico incompleto 1
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Um espaço métrico incompleto
Cálculo proposicional
O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais
Matemática Discreta - 04
Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 04 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav
Instituto de Matemática e Estatística, UFF Abril de 2013
Instituto de Matemática e Estatística, UFF Abril de 2013 Sumário.... Hermann Grassmann Famoso em sua época como linguista, somente hoje é valorizado como matemático. Foi o primeiro a usar o método de prova
Sumário Algumas Demonstrações CONCLUSÃO RESUMO ATIVIDADES... 34
Sumário Aula 11: Relações Binárias 9 11.1 Introdução... 10 11.2 Relações Binárias... 10 11.2.1 Propriedades das Relações Binárias... 13 11.3 Algumas Demonstrações... 16 11.4 CONCLUSÃO... 18 11.5 RESUMO....
JOÃO NUNES de SOUZA. LÓGICA para CIÊNCIA da COMPUTAÇÃO. Uma introdução concisa
JOÃO NUNES de SOUZA LÓGICA para CIÊNCIA da COMPUTAÇÃO Uma introdução concisa 21 de maio de 2008 1 A linguagem da Lógica Proposicional Introdução Alfabeto da Lógica Proposicional Definição 1.1 (alfabeto)
Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações
Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações Nina S. T. Hirata Depto. de Ciência da Computação IME / USP Este texto é uma referência-base para o curso de MAC0329 (Álgebra Booleana e Aplicações).
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos 1 Conjuntos Um conjunto está bem caracterizado quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou não
MDI0001 Matemática Discreta Aula 01
MDI0001 Matemática Discreta Aula 01 e Karina Girardi Roggia karina.roggia@udesc.br Departamento de Ciência da Computação Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa Catarina 2016 Karina
1 Lógica de primeira ordem
1 Lógica de primeira ordem 1.1 Sintaxe Para definir uma linguagem de primeira ordem é necessário dispor de um alfabeto. Este alfabeto introduz os símbolos à custa dos quais são construídos os termos e
Lógica para computação
Lógica para computação PROPRIEDADES SEMÂNTICAS DA LÓGICA PROPOSICIONAL Professor Marlon Marcon Introdução Esta seção considera a análise de algumas propriedades semânticas da LP que relacionam os resultados
Teoremas de Incompletude de Gödel e os Fundamentos da Matemática
Teoremas de Incompletude de Gödel e os Fundamentos da Matemática Rogério Augusto dos Santos Fajardo MAT554 - Panorama de Matemática 6 e 8 de agosto de 2018 Lógica e Teoria dos Conjuntos servem como: Lógica
Produtos de potências racionais. números primos.
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e
Capítulo 2: Procedimentos e algoritmos
Capítulo 2: Procedimentos e algoritmos Para estudar o processo de computação de um ponto de vista teórico, com a finalidade de caracterizar o que é ou não é computável, é necessário introduzir um modelo
Lógica. Abílio Rodrigues. FILOSOFIAS: O PRAZER DO PENSAR Coleção dirigida por Marilena Chaui e Juvenal Savian Filho.
Lógica Abílio Rodrigues FILOSOFIAS: O PRAZER DO PENSAR Coleção dirigida por Marilena Chaui e Juvenal Savian Filho São Paulo 2011 09 Lógica 01-08.indd 3 4/29/11 2:15 PM 1. Verdade, validade e forma lógica
Aula 2, 2014/2 Sintaxe da Lógica dos Conectivos
Notas de aula de Lógica para Ciência da Computação Aula 2, 2014/2 Sintaxe da Lógica dos Conectivos Renata de Freitas e Petrucio Viana Departamento de Análise, IME UFF 27 de agosto de 2014 Sumário 1 Sintaxe
Teoria Ingênua dos Conjuntos (naive set theory)
Teoria Ingênua dos Conjuntos (naive set theory) MAT 131-2018 II Pouya Mehdipour 5 de outubro de 2018 Pouya Mehdipour 5 de outubro de 2018 1 / 22 Referências ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática,
Lógica Proposicional. LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08. c Inês Lynce c Luísa Coheur
Capítulo 2 Lógica Proposicional Lógica para Programação LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08 c Inês Lynce c Luísa Coheur Programa Apresentação Conceitos Básicos Lógica Proposicional ou Cálculo
a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os números naturais. c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Introdução aos conjuntos No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos,
Programação em Lógica. UCPEL/CPOLI/BCC Lógica para Ciência da Computação Luiz A M Palazzo Maio de 2010
Programação em Lógica UCPEL/CPOLI/BCC Lógica para Ciência da Computação Luiz A M Palazzo Maio de 2010 Roteiro Introdução Conceitos Básicos Linguagens Lógicas Semântica de Modelos Semântica de Prova Programação
Matemática I. 1 Propriedades dos números reais
Matemática I 1 Propriedades dos números reais O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 x +
Teoria dos Conjuntos. (Aula 6) Ruy de Queiroz. O Teorema da. (Aula 6) Ruy J. G. B. de Queiroz. Centro de Informática, UFPE
Ruy J. G. B. de Centro de Informática, UFPE 2007.1 Conteúdo 1 Seqüências Definição Uma seqüência é uma função cujo domíno é um número natural ou N. Uma seqüência cujo domínio é algum número natural n N
01/09/2014. Capítulo 3. Propriedades semânticas da Lógica Proposicional
Capítulo 3 Propriedades semânticas da Lógica Proposicional 1 Introdução Propriedades Definição 3.1 (propriedades semânticas básicas da Lógica Proposicional) Sejam H, G, H 1, H 2,...,H n, fórmulas da Lógica
A LÓGICA PROPOSICIONAL DO QUASE SEMPRE
Revista Eletrônica de Filosofia Philosophy Eletronic Journal ISSN 1809-8428 São Paulo: Centro de Estudos de Pragmatismo Programa de Estudos Pós-Graduados em Filosofia Pontifícia Universidade Católica de
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o Cálculo Proporcional ou Cálculo Sentencial ou ainda Cálculo das Sentenças.
NE-6710 - SISTEMAS DIGITAIS I LÓGICA PROPOSICIONAL, TEORIA CONJUNTOS. A.0 Noções de Lógica Matemática A,0.1. Cálculo Proposicional Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o Cálculo
Construção dos Números Reais
1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Construção dos Números Reais Célio W. Manzi Alvarenga Sumário 1 Seqüências de números racionais 1 2 Pares de Cauchy 2 3 Um problema 4 4 Comparação
1. Métodos de prova: Construção; Contradição.
Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Bacharelado em Ciência da Computação Fundamentos Matemáticos para Computação 1. Métodos de prova: Construção; Contradição.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA12 - Matemática Discreta - PROFMAT Prof.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA - Matemática Discreta - PROFMAT Prof. Zeca Eidam Lista Números Naturais e o Princípio de Indução. Prove que
Lógica e Matemática Discreta
Lógica e Matemática Discreta Teoria Elementar dos Conjuntos Prof Clezio 04 de Junho de 2010 Curso de Ciência da Computação Noções básicas Um conjunto designa-se geralmente por uma letra latina maiúscula: