3 Blow-up Polar e Blow-up Direcional Blow-up Quase-homogêneo e o Diagrama de Newton... 54

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1 Sumário 1 Fundamentos da Teoria Qualitativa Fluxos no Plano Primeiros Exemplos: Campos de Vetores Planares O Teorema do Fluxo Tubular Estrutura Local dos Pontos Singulares Hiperbólicos: Teorema de Grobman- Hartman Estrutura Local de Órbitas Periódicas e Ciclos Limites no Plano Conjuntos α-limites e ω-limites de uma Órbita: O Teorema de Poincaré-Bendixon 2 2 Variedades Invariantes O Teorema da Variedade Estável Local Singularidades Não Hiperbólicas Selas, Nós, Focos e Centros Singularidades Não Hiperbólicas no R Teoria da Variedade Central Blow-up Polar e Blow-up Direcional Blow-up Quase-homogêneo e o Diagrama de Newton Compactificação de Poincaré e de Poincaré-Liapunov Projeção Esteriográfica e Compactificação de Poincaré Compactificação de Poincaré-Liapunov O Programa P4 79 1

2 Introdução A Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias foi inalgurada por H. Poincaré no memorável trabalho Sur les courbes par une équation différentielle. A Teoria Qualitativa estuda o Retrato de Fase de sistemas de equações diferenciais ordinárias autônomas, determinando os diferentes tipos de órbitas e de conjuntos limites e ainda investigando a configuração em torno de pontos singulares. Neste projeto vamos nos restringir ao estudo de sistemas de equações diferenciais polinomiais planares ẋ = p(x, y) X : ẏ = q(x, y) Iremos concentrar nossa atenção no esboço do retrato de fase em torno dos pontos singulares, já que em torno dos pontos regulares o Teorema do Fluxo Tubular pode ser aplicado. Vamos supor, sem perda de generalidade, que o campo apresenta uma singularidade na origem (, ). Para analisarmos o retrato em uma vizinhança da origem inicialmente consideremos a parte linear do campo JX(, ) e verificamos se a singularidade é ou não hiperbólica calculando os autovalores. Caso seja aplicamos o Teorema de Grobman-Hartman. O primeiro caso onde não temos a hiperbolicidade ocorre quando um dos autovalores da parte linear é não nulo e o outro é nulo: λ 1 = e λ. Nesse caso utilizamos o Teorema da Variedade Central e o Princípio da Redução à Variedade Central para analisarmos o retrato de fase. Para completarmos a análise precisamos tratar do caso onde ambos os autovalres saõ nulos. Neste caso usaremos o processo de desingularização conhecido como BLOW UP. Outra questão de grande importância para o entendimento do retrato de fase é o comportamento no campo no infinito. Para campos de vetores polinomiais isto pode ser feito de duas maneiras: uma delas utilizando a Compactificação de Poincaré e a outra utilizando a Compactificação de Poincaré-Lyapunov. O estudo de campos de vetores polinomiais planares é um estudo riquíssimo. Em uma primeira leitura sobre o assunto poderíamos julgar extremamante restritiva essa abordagem, 2

3 mas logo nos convencemos da complexidade dos problemas no plano. Por exemplo, a questão da finitude do número de ciclos de sistemas polinomiais planares e o 16 o Problema de Hilbert são problemas que ainda não atingiram seu desenvolvimento definitivo. Além da natureza intrínseca do assunto outro fator que nos fez escolhermos este tema foi a recente publicação de um artigo, escrito por Freddy Dumortier e Chris Herssens (DH), sobre um programa computacional, chamado de P4, que essencialmente faz uma análise detalhada das singularidades para esboçar o retrato de fase de campos polinomiais planares. Julgo ser de grande avalia para o estudo tomar conhecimento deste programa pois além de estudar resultados matemáticos profundos, também irei apender a utilizar uma ferramenta computacional de grande utilidade no meu futuro como pesquisador. 3

4 Capítulo 1 Fundamentos da Teoria Qualitativa 1.1 Fluxos no Plano Neste capítulo apresentaremos os resultados básicos da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Como nosso intuito é chegar em um algorítimo que nos auxilie no esboço do retrato de fase de um campo polinomial, restringiremos nosso estudo a classe dos campos de vetores polinomiais planares. Para isto necessitamos de algumas definições e teoremas que estaremos desenvolvendo a seguir. Um campo de vetores polinomial em R 2 é uma aplicação X : R 2 R 2 tal que X(x, y) = (p(x, y), q(x, y)), com p, q sendo polinômios. Uma trajetória de um campo de vetores polinomial X : R 2 R 2 é uma curva diferenciável γ : I R 2 definida em um intervalo real não degenerado, tal que γ(t) = X(γ(t)), t I Uma trajetória maximal de um campo de vetores polinomial é uma trajetória γ : I R R 2 tal que se ψ : J R R 2 for outra trajetória, então: J I e γ/j = ψ. O estabelecimento da existência e unicidade de trajetórias de um campo de vetores é dado pelo Teorema 1.1 (Picard). Sejam (x, y ) R 2, r >, M >, k > e X : B((x, y ), r) R 2 R 2, satisfazendo: (a) X(x, y) M, (x, y) B((x, y ), r) (b) X(x 1, y 1 ) X(x 2, y 2 ) k (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) B((x, y ), r) 4

5 então, para < a < r e t M R, existe uma trajetória γ : t a, t + a B((x, y ), r) tal que X(γ(t)) = γ(t) e γ(t ) = (x, y ). Observemos que um campo de vetores polinomial satisfaz as condições do Teorema de Picard. De fato, (a) Do Teorema de Weierstrass, temos que a imagem de uma função contínua X definida em um compacto B((x y ), r) é limitada em B((x, y ), r), isto é, M >, X(x, y) M, (x, y) B((x, y ), r) (b) Da Desigualdade do Valor Médio segue que se U R 2, U aberto e X : U R 2 diferenciável, e se o segmento de reta fechado a, a + h U, então Daí, temos: X(a + h) X(a) h sup JX(a + th) o t 1 ( ) X(x 1, y 1 ) X(x 2, y 2 ) sup JX(x 1, y 1 ) + t((x 2, y 2 ) (x 1, y 1 )) t 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = = k (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Assim sendo dado um ponto em R 2, sempre existe uma trajetória maximal passando por este ponto. Prova-se que o intervalo de definição da trajetória maximal é sempre aberto. A demonstração completa deste teorema esta feita em N. por: Seja Ω = (t, (x, y)) R R 2, t I(x, y)}. O fluxo de X é a aplicação ϕ : Ω R 2 definida ϕ(t, (x, y)) = ϕ (x,y) (t) onde ϕ (x,y) é a trajetória que em tempo está em (x, y) avaliada no tempo t. Conforme (S, pg.2, corolário 4) se I (x,y) = (α, β) R, então ϕ(t, (x, y)) quando t β, se β e ϕ(t, (x, y)) quando t α se α. Agora dado (x, y) R 2, a imagem ϕ (x,y) (I(x, y)) da trajetória maximal de X por (x, y) é denominada órbita de (x, y) e denotamos por O(x, y) = ϕ (x,y) (I(x, y)) O espaço de fase de X é o R 2. decomposição em órbitas do campo. O retrato de fase de X é o espaço de fase munido da 5

6 Considerando (x, y) R 2 um ponto dado, dizemos que este ponto (x, y) é um ponto regular de X se X((x, y)) (, ) R 2 ; (x, y) é uma singularidade de X se X((x, y)) = (, ) R 2. Analisando as órbitas, temos que O(x, y) é uma órbita regular de X se ϕ (x,y) é injetiva, O(x, y) é uma órbita singular de X se (x, y) é uma singularidade e O(x, y) é uma órbita periódica de X se ϕ (x,y) é periódica. Vamos fazer um breve comentário histórico. O estudo clássico de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) propunha resolver explicitamente as equações do tipo: d m x dt m dx dt = ẋ = f(t, x)( ) = xm = f(t, x, ẋ,..., x m 1 )( ) e ao longo dos séculos, foi desenvolvida uma quantidade enorme de técnicas para resolver vários tipos de EDO s. É interessante lembrar, por exemplo, que a função exponencial nasceu como solução do Problema de Cauchy autônomo: ẋ = x x() = 1. Teorias desenvolvidas para resolver algumas equações, como a da Transformada Integral, em particular a Transformada de Laplace, traduzem a EDO em uma equação algébrica: se esta for solúvel então a Transformada Integral Inversa produz as soluções da EDO. Abel ( ), por exemplo, entre tantas outras coisas, trabalhou em tais transformadas; acontece que se a equação algébrica resultante da transformada for de grau maior ou igual a 5, Abel mostrou que não se pode encontrar soluções explícitas por meio de radicais, o que invalida o ataque. Inúmeros casos de EDO s continuam sendo estudados até hoje, mas foi Poincaré ( ) que unificou a teoria das EDO s, desenvolvendo o que se passou a denominar a Teoria Qualitativa. O problema de Poincaré era que para as EDO s da Mecânica Celeste que estudava, os métodos quantitativos não eram suficientes sequer para começar o estudo. O que Poincaré detectou é que, se por um lado a quantidade de EDO s que se pode resolver no sentido estrito é relativamente pequeno, por outro lado, em compensação, com novos conceitos de análise, geometria e topologia, pode-se resolver uma equação no sentido qualitativo, ou seja, entender as leis gerais de comportamento das soluções, mesmo quando estas não são obtidas explicitamente. 6

7 1.2 Primeiros Exemplos: Campos de Vetores Planares Nesta seção, vamos estudar, inicialmente os campos de vetores da forma X : R 2 R 2 dados por X(x, y) = (ax + by, cx + dy) onde a, b, c, d são constantes reais. Tais campos são denominados Lineares. Encontrar trajetórias de campos de vetores deste tipo é equivalente a resolver o sistema de EDO s lineares com coeficientes constantes. ẋ = ax + by ẏ = cx + dy Exemplo 1.2. O sistema linear ẋ = 2x ẏ = y tem fluxo dado por ϕ : R R 2 R 2 A única singularidade é o ponto (, ). ϕ(t, (x, y)) = (xe 2t, ye t ). Exemplo 1.3. O sistema linear ẋ = αx ẏ = βy tem fluxo dado por ϕ : R R 2 R 2 ϕ(t, (x, y)) = (xe αt, ye βt ). (i) α =, β > ou α =, β < : neste caso o eixo X é composto de singularidades do sistema. figura 1 pg13 notas de aula (ii) α >, β = ou α <, β = : neste caso o eixo Y é composto de singularidades do sistema. figura 2 pg13 (iii) α = β > ou α > β > ou < α < β: neste caso a origem (, ) é a única singularidade. O primeiro é conhecido como fonte e os seguintes nós repulsores. Se α > β > as trajetórias (exceto as que possuem traço contido no eixo X) tangenciam o eixo Y e se < α < β as trajetórias (exceto as que possuem traço contido no eixo Y ) tangenciam o eixo 7

8 X. figura 3 pg13 (iv) α = β < ou α < β < ou β < α < : neste caso a origem (, ) é a única singularidade. O primeiro é conhecido como poço e os seguintes nós atratores. Se α < β < as trajetórias (exceto as que possuem traço contido no eixo X) tangenciam o eixo Y e se β < α < as trajetórias ( exceto as que possuem traço contido no eixo Y ) tangenciam o eixo X. figura 1 pg14 (v) β < < α ou α < < β: neste caso a origem (, ) é a única singularidade. Este caso é conhecido como sela. No primeiro caso as trajetórias aproximam-se do eixo Y quando o parâmetro t aproxima-se de e aproximam-se do eixo X quando o parâmetro t aproximase de ; no segundo caso as trajetórias aproximam-se do eixo X quando o parâmetro t aproxima-se de e aproximam-se do eixo Y quando o parâmetro t aproxima-se de. figura 2 pg14 A NOTAÇÃO MATRICIAL Para simplificar a notação representaremos os sistemas lineares na forma vetorial: x a b ẋ X =, A =, Ẋ = y c d ẏ Ẋ = AX (1.1) Nosso objetivo é estudar todos os tipos de sistemas lineares no plano. Para isso é necessário que façamos uma classificação das matrizes 2 2. O polinômio característico de A é o polinômio dado por a λ b p(λ) = c d λ = λ2 (tra)λ + deta. Assim as soluções de p(λ) = podem ser: duas raízes reais e distintas, λ 1, λ 2 ; uma raiz real dupla λ ou um par complexo conjugado α + iβ, α iβ. No primeiro caso dizemos que λ 1, λ 2 são auto-valores e podemos encontrar uma base B do 8

9 plano formada por autovetores de tal forma que λ 1 A B = λ 2. No segundo caso temos duas possibilidades. Se a multiplicidade geométrica de λ for igual a 2 então podemos encontrar uma base B do plano formado por autovetores de tal forma que λ A B =. λ Se a multiplicidade geométrica de λ for igual a 1 então podemos encontrar uma base B do plano formada por vetores u e v obtidos da seguinte maneira A u = λ u A v = u + λ v A matriz de A nesta base é: A B = λ 1 λ. No terceiro caso encontramos um vetor de C 2 satisfazendo A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv). Além disso B = u, v} é uma base do plano satisfazendo α β A B =. β α Considerando o sistema (1.1) : λ 1 (i) Se A B =, então o fluxo de (1.1) é dado por λ 2 ϕ : R R 2 R 2 (ii) Se A B = λ 1 λ ϕ(t, (x, y)) = (xe λ1t, ye λ2t )., então o fluxo de (1.1) é dado por ϕ : R R 2 R 2 9

10 ϕ(t, (x, y)) = ((x + yt)e λt, ye λt ). Se λ <, a única singularidade (, ) é chamada de nó impróprio atrator: figura 1 pg16 Se λ >, a única singularidade (, ) é chamada de nó impróprio repulsor: figura 2 pg16 α β (iii) Vamos analisar o caso A =. β α Vamos utilizar coordenadas polares para encontrarmos explicitamente o fluxo. Começamos com a mudança x = rcosθ e y = rsenθ. Assim temos x = rcosθ ẋ = ṙcosθ r θsenθ y = rsenθ ẏ = ṙsenθ + r θcosθ (1.2) Multiplicando a primeira linha por (cosθ) e a segunda por (senθ) e em seguida somando as duas linhas obtemos ẋcosθ + ẏsenθ = ṙ (1.3) Multiplicando a primeira linha por ( senθ) e a segunda por (cosθ) e em seguida somando as duas linhas obtemos Substituindo (1.2) em (1.3) e em (1.4) obtemos ẋsenθ + ẏcosθ = r θ (1.4) ṙ = αr θ = β A solução do sistema acima é dada por r = r e αt θ = θ + βt Voltando para x e y, temos x(t) = e αt (x cosβt y senβt) y(t) = e αt (y cosβt + x senβt) 1

11 O fluxo então é dado por ϕ : R R 2 R 2 ϕ(t, (x, y)) = e αt (xcosβt ysenβt, ycosβt + xsenβt). Se α = a singularidade (, ) é chamada de centro. Se β > o campo de vetores é do tipo figura 1 pg17 Se β < o campo de vetores é do tipo figura 2 pg17 Note que a diferença entre este e o de cima está na orientação. Se α > a singularidade (, ) é chamada foco repulsor, no sentido anti-horário se β > e no sentido horário se β <. Se β > o campo de vetores é do tipo figura 1 pg18 Se β < o campo de vetores é do tipo figura 2 pg18 Se α < a singularidade (, ) é chamada de foco atrator, no sentido anti-horário se β > e no sentido horário se β <. Se β > o campo de vetores é do tipo figura 3 pg18 Se β < o campo de vetores é do tipo figura 1 pg19 Observe que o sinal de α determina se a singularidade é atratora ou repulsora. Já o sinal de β esta relacionado com o sentido da rotação. Exemplos onde A não esta na forma canônica: 11

12 1) Considere o seguinte sistema Ẋ = X. Seu polinômio característico é dado por p(λ) = λ 2 λ 2, e as raízes deste polinômio são 2 e 1. Os autovetores associados aos autovalores são respectivamente (1, 1) e (1, 2). Assim, Considerando a base formada por estes autovetores: B = (1, 1), (1, 2)}. Temos então Y = y 1 y 2 Ẏ = P Ẋ = P E o fluxo é dado por = P X = P ( 2x y ϕ(t, (x, y)) = 3 x 1 x 2 X = P, P 1 = Ẋ = (y 1 (t), y 2 (t)) = (ae 2t, be t ) ϕ : R R 2 R 2 e 2t + x + y 3 e t, 2x y 3 P 1 Y = e 2t + 2 x + y ) e t. 3 Y. figura 1 pg 2 2) Considere o seguinte sistema Ẋ = X. Seu polinômio característico é dado por p(λ) = λ 2 2λ + 2, e as raízes deste polinômio são 1 + i e 1 i. O autovetor complexo associado ao autovalor 1 + i é (1 + i, i). Consideramos a base formada pelas partes real e imaginária: B = (1, ), (1, 1)}. Temos então Y = y 1 y 2 = P X = P x 1 x 2 Ẏ = P Ẋ = P 2 X = P 1 2, P =. 1 2 P Y = Y

13 Logo, (y 1 (t), y 2 (t)) = (ae t cost be t sent, be t cost + ae t sent)). (x 1 (t), x 2 (t)) = ((a + b)e t cost + (a b)e t sent, be t cost ae t sent) e o fluxo é dado por ϕ : R R 2 R 2 ϕ(t, (x, y)) = (xe t cost + (x + 2y)e t sent, ye t cost (x + y)e t sent). figura 2 pg2 Classificação dos Sistemas Lineares Dado um sistema linear no plano Ẋ = AX podemos classificar a singularidade (, ) a partir do polinômio característico de A. p(λ) = λ 2 (tra)λ + deta = (tra) 2 4detA det tr (, ) > < R SELA > > < NÓ ATRATOR > > > NÓ REPULSOR < R = CENTRO < R < FOCO ATRATOR < R > FOCO REPULSOR = R > NÓ REPULSOR = R < NÓ ATRATOR Vamos agora estudar campos de vetores do tipo X(x, y) = (p(x, y), q(x, y)) onde p e q são polinômios. Equivalentemente, queremos estudar o comportamento das soluções do sistema autônomo ẋ = p(x, y) ẏ = q(x, y) 13

14 Alguns casos particulares podem ser resolvidos explicitamente. No entanto, não existe nenhuma método geral de solução como no caso linear. 1.3 O Teorema do Fluxo Tubular Nesta seção veremos que o esboço do retrato de fase é trivial numa vizinhança de um ponto singular. Assim podemos concentrar nossa atenção no estudo em vizinhança de pontos singulares. Definição 1.4. Dado (x, y ) R 2, uma secção transversal local (STL) de X em (x, y ) de classe C k é uma aplicação diferenciável ξ : A R 2 de classe C k tal que A R é aberto, ξ() = (x, y ) e ξ (t) X(ξ(t)) = R 2, t A. Definição 1.5. Dois campos de vetores polinomiais X, Y definidos em U, V R 2, com U, V sendo abertos, dizemos que eles são topologicamente equivalentes quando existir um homeomorfismo h : U V que leva órbitas de X em órbitas de Y preservando a orientação. Se denotarmos ϕ e ψ os fluxos de X e Y, respectivamente, dizemos que h é uma conjugação topológica se h(ϕ(t, (x, y))) = ψ(t, h(x, y)) Vamos enunciar e demonstrar um lema que será utilizado na demonstração do nosso próximo teorema: Lema 1.6. Se (x, y ) R 2 é um ponto regular de um campo vetorial polinomial X, então existe uma STL de X em (x, y ). Demonstração: Sejam (x, y ) = v e π = v. Como dimπ = 1, existe um isomorfismo s : R π de modo que a transformação T : R R 2 dada por T (y) = (x, y ) + s(y) é de classe C e é um homeomorfismo sobre sua imagem T (R) = (x, y ) + π Afirmamos que existe A R, A aberto, A tal que ξ = T/A é uma STL de X em (x, y ) De fato, seja η : R R dada por η(y) =< v, X(T (y)) > contínua com η() =< v, X(T ()) >=< v, X(T (x, y )) >=< v, v >= v 2 14

15 Daí, A R A: aberto tal que η(y), y A. Mas, para y R, temos: ou seja, T (y) = s (y) = s, Im(T (y)) = Im(s) = π de modo que, para algum y A, temos: X(T (y)) / v = π já que η(y) =< v, X(T (y)) >, ou seja, Im(T (y)) X(T (y)) = π X(T (y)) = R 2 Assim, ξ = T/A é STL de X em (x, y ) Agora, vamos enunciar e demonstrar o Teorema do Fluxo Tubular, que é o nosso objetivo neste momento: Teorema 1.7 (Fluxo Tubular). Sejam X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial e (x, y ) R 2 um ponto regular de X. Então existe um difeomorfismo de classe C k que conjuga X em uma vizinhança de (x, y ) com o campo constante Y = (1, ) restrito a uma vizinhança da origem (, ). figura Demonstração: Dados X : R 2 R 2 e (x, y ) R 2 um ponto regular, sabemos pelo Lema, que existe ξ : A R 2 uma STL de X em (x, y ) R 2. Seja C A, C um aberto e limitado, com C A. Então ξ(c) R 2 é compacto e podemos encontrar um intervalo J R tal que J ξ(c) Ω X de modo que a aplicação H : J C dada por H(s, y) = ϕ(s, ξ(y)) está bem definida e é de classe C k, com H(, ) = ϕ(, ξ()) = (x, y ) 15

16 Além disso, e como temos que Logo, o que significa que H ϕ (, ) = s t (, (x, y )) = X(x, y ) H(, y) = ϕ(, ξ(y)) = ξ(y), y C H y (, ) = ξ () H (, )(λ, v) = λx(x, y ) + ξ ()v ImH (, ) = X(x, y ) + Im(ξ (y)) = R 2, ou seja, H (, ) : R R R 2 é uma transformação linear sobrejetiva, e portanto um isomorfismo. Do Teorema da Aplicação Inversa (k 1) decorre que H é um difeomorfismo de classe C k em (, ), isto é, existem um intervalo I = ( δ, δ) J R, uma vizinhança B C A R e uma vizinhança W de (x, y ) em R 2 tal que h : I B W definida pela restrição h(s, y) = H(s, y) é um difeomorfismo de classe C k. Daí, temos que: h(, ) = (x, y ) h(, y) = ξ(y) h(} B) = ξ(b) Agora como h (s, y)y (s, y) = H (s, y)(1, ) = H s ϕ (s, y) = (, ξ(y)) = t = X(ϕ(s, ξ(y))) = X(h(s, y)), (s, y) I B temos que h conjuga X e Y. 16

17 1.4 Estrutura Local dos Pontos Singulares Hiperbólicos: Teorema de Grobman-Hartman Pelo Teorema do Fluxo Tubular, sabemos que existe um difeomorfismo (de classe C r ) que conjuga X em uma vizinhança de um ponto regular (p, q) com o campo constante Y = (1, ). Daí, dois campos X e Y são localmente conjugados em torno de pontos regulares. Por esse motivo, temos um conhecimento satisfatório das órbitas de um campo vetorial polinomial planar em torno dos pontos regulares, visto que existe apenas uma classe de conjugação diferencial local. Se (p, q) é um ponto singular, a situação é bem mais complicada. Vamos então analisar nesta seção os pontos singulares hiperbólicos, isto é, os pontos onde todos os autovalores da JX(p, q) tem parte real diferente de e também o Teorema de Grobman-Hartman: Teorema 1.8 (Grobman-Hartman). Seja X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial e (p, q) um ponto singular hiperbólico. Então existem V R 2, com (p, q) V e W R 2, com (, ) W tal que X/V é topologicamente equivalente a JX(p, q)/w. Como a demonstração deste teorema é demasiadamente extensa e além disso não é um dos nossos objetivos neste trabalho, vamos dar apenas uma interpretação geométrica do que ele está dizendo. O leitor encontrará a demonstração em Pa. Interpretação Geométrica 1.5 Estrutura Local de Órbitas Periódicas e Ciclos Limites no Plano A transformação de Poincaré associada a uma órbita fechada γ de um campo vetorial polinomial planar X é um difeomorfismo π, o qual vamos definir mais a frente. Esta transformação descreve o comportamento do campo X em uma vizinhança de γ. Sejam γ = ϕ(t, (p, q)), t τ } uma órbita periódica de período τ de um campo vetorial polinomial planar X e Σ uma secção transversal a X em (p, q). Como o fluxo de X, ϕ, é contínuo, para todo ponto (p 1, q 1 ) Σ próximo de (p, q) a trajetória ϕ(t, (p 1, q 1 )) está próxima à γ, com t I, com I um intervalo pré-estabelecido. Definiremos π(p 1, q 1 ) como sendo o primeiro ponto onde esta órbita irá interceptar Σ. Sendo Σ o domínio de π, teremos que (p, q) Σ e π(p, q) = (p, q). 17

18 Muitas propriedades de X perto de γ se refletem em π. Por exemplo, as órbitas periódicas de X próximas de γ correspondem aos pontos fixos de π, que são pontos (p 1, q 1 ) Σ para os quais π(p 1, q 1 ) = (p 1, q 1 ). O comportamento assintótico das órbitas de X próximo de γ também é descrito por π. Assim, lim n πn (p 1, q 1 ) = (p, q) lim d(ϕ(t, (p 1, q 1 )), γ) = t Prova-se que π : Σ Σ é um difeomorfismo de classe C r referência J). sobre sua imagem Σ 1.(Ver Definição 1.9. Seja X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial. Uma órbita periódica γ de X é chamada ciclo limite se existe uma vizinhança V de γ tal que γ é a única órbita fechada de X que intercepta V. Proposição 1.1. Os ciclos limites são do seguinte tipo: (a) Estável, quando lim d(ϕ(t, (p 1, q 1 )), γ) =, (p 1, q 1 ) V ; t (b) Instável, quando (c) Semi-estável, quando lim d(ϕ(t, (p 1, q 1 )), γ) =, (p 1, q 1 ) V ; t e ou o contrário. lim d(ϕ(t, (p 1, q 1 )), γ) =, (p 1, q 1 ) V ext(γ) t lim d(ϕ(t, (p 1, q 1 )), γ) =, (p 1, q 1 ) V int(γ), t Demonstração: Suponha que a vizinhança V não contenha pontos singulares. Sejam (p, q) γ, uma secção transversal a X em (p, q) e π : Σ Σ a transformação de Poincaré. de γ. Suponha que Σ esteja ordenada, sendo o sentido positivo do exterior de (γ) para o interior Dado (p 1, q 1 ) Σ ext(γ), temos π(p 1, q 1 ) > (p 1, q 1 ) ou π(p 1, q 1 ) < (p 1, q 1 ). Suponhamos que π(p 1, q 1 ) > (p 1, q 1 ). Considere a região A limitada por γ, pelo arco de trajetória (p 1, q 1 )π(p 1, q 1 ) e pelo segmento (p 1, q 1 )π(p 1, q 1 ) Σ. A é positivamente invariante, isto é, dado (x, y) A, ϕ(t, (x, y)) A, para todo t. 18

19 Ainda ϕ(t, (x, y)) intercepta Σ em uma sequência estritamente monótona de pontos (x n, y n ) que converge para (p, q). Daí concluímos que lim d(ϕ(t, (x, y)), γ) = t Agora, se π(p 1, q 1 ) < (p 1, q 1 ), considere o campo X que ficará provado que lim d(ϕ(t, (x, y)), γ) =, t (x, y) A Podemos provar de maneira análoga se tomarmos (p 1, q 1 ) Σ int(γ). Assim, combinando estas possibilidades provamos a proposição. de π. Podemos observar que γ é um ciclo limite se, e somente se, (p, q) é um ponto fixo isolado Note ainda que: (a) γ é estável se, e somente se, π(x, y) (p, q) < (x, y) (p, q), (x, y) (p, q), próximo de (p, q); (b) γ é instável se, e somente se, π(x, y) (p, q) > (x, y) (p, q), (x, y) (p, q), próximo de (p, q); (c) γ é semi-estável se, e somente se, π(x, y) (p, q) < (x, y) (p, q), (x, y) Σ ext(γ), próximo de (p, q) e π(x, y) (p, q) > (x, y) (p, q), (x, y) Σ int(γ), próximo de (p, q), ou o contrário. O teorema que iremos apresentar agora vai estabelecer uma condição suficiente para que uma órbita periódica seja um ciclo limite estável. Vejamos o que ele nos diz. Teorema Sejam X = (X 1, X 2 ) : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial planar, γ uma órbita periódica de X de período T e π : Σ Σ a transformação de Poincaré em uma secção transversal Σ em (p, q) γ. onde Então, Em particular, se ( T ) π(p, q) = exp divx(γ(t))dt ; divx(x, y) = x X 1(x, y) + y X 2(x, y). T T divx(γ(t))dt <, γ é estável; divx(γ(t))dt >, γ é instável. 19

20 Um problema bastante interessante e muito famoso que podemos encontrar dentro desta teoria e que ainda não foi resolvido é o 16 o Problema de Hilbert. Na virada do século, o famoso matemático mundial David Hilbert apresentou uma lista com 23 notáveis problemas matemáticos para o Segundo Congresso Internacional de Matemática. O 16 o Problema de Hilbert pede a determinação do número máximo de ciclos limites, H n, em um sistema polinomial de n-ésimo grau ẋ = ẏ = n a ij x i y j i+j= n i+j= b ij x i y j (1.5) Para um dado (a, b) R (n+1)(n+2), seja H n (a, b) o número de ciclos limites de n-ésimo grau do sistema polinomial (1.5) com coeficientes (a, b). O teorema devido a Dulac afirma que H n (a, b) <. O número de Hilbert H n é então igual ao suph n (a, b) para todo (a, b) R (n+1)(n+2). Agora, como sistemas lineares em R 2 não tem nenhum ciclo limite, segue que H 1 =. Entretanto, mesmo para as classes mais simples de sistemas não lineares, (1.5) com n = 2, o número de Hilbert H 2, não foi determinado. Em 1962, o matemático russo N. V. Bautin provou que qualquer sistema quadrático, (1.5) com n = 2, tem no máximo três ciclos limites. E por algum tempo acreditou-se que H 2 = 3. Contudo, em 1979, os matemáticos chineses S. L. Shi, L. S. Chen e M. S. Wang produziram exemplos de sistemas quadráticos com quatro ciclos limites. Então, H 2 4. Baseado nestas várias evidências, acreditou-se que H 2 = 4 e em 1982, X. Y. Chin declarou ter provado este resultado, entretanto, foram encontrados erros em seu trabalho por Y. L. Cao. 1.6 Conjuntos α-limites e ω-limites de uma Órbita: O Teorema de Poincaré-Bendixon Sejam X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial e ϕ(t) = ϕ(t, (p, q)) a trajetória de X passando pelo ponto (p, q) definida no seu intervalo maximal I (p,q) = (ω (p, q), ω + (p, q)). Se ω + (p, q) =, definimos o conjunto ω(p, q) = (p 1, q 1 ) R 2 ; (t n ), t n e ϕ(t n, (p, q)) (p 1, q 1 ), n } como sendo o conjunto ω-limite de (p, q). 2

21 Se ω (p, q) =, definimos o conjunto α(p, q) = (p 1, q 1 ) R 2 ; (t n ), t n e ϕ(t n, (p, q)) (p 1, q 1 ), n } como sendo o conjunto α-limite de (p, q). Observemos que, em termos de α-limites e ω-limites, podemos definir os ciclos no plano como as órbitas periódicas que são α-limites ou ω-limites de todas as trajetórias passando por pontos suficientemente próximos. No entanto, se γ (p,q) é a órbita de X pelo ponto (p, q) e (p 1, q 1 ) γ (p,q) então ω(p, q) = ω(p 1, q 1 ). De fato, (p 1, q 1 ) γ (p,q) c R : ϕ(t, (p, q)) = ϕ(t + c, (p, q)) Da mesma forma, temos que α(p, q) = α(p 1, q 1 ). Daí, temos que o conjunto ω-limite de uma órbita γ é o conjunto ω(p, q), para qualquer (p, q) γ e o conjunto α-limite de uma órbita γ é o conjunto α(p, q), para qualquer (p, q) γ. Notemos que se ϕ(t) = ϕ(t, (p, q)) é a trajetória do campo vetorial polinomial X pelo ponto (p, q) e se ψ(t) = ψ(t, (p, q)) é a trajetória do campo vetorial polinomial X pelo ponto (p, q), temos que ψ(t, (p, q)) = ϕ( t, (p, q)). Logo, temos que ω-limite de ϕ(t) = α-limite de ψ(t) ω-limite de ψ(t) = α-limite de ϕ(t) Por isso iremos restringir nosso estudo das propriedades gerais dos conjuntos α-limites e ω- limites ao conjunto ω-limite. Faremos isto para facilitar e enunciar o teorema que vem a seguir de uma forma mais resumida. Teorema Sejam X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial, (p, q) tal que, ) I (p,q), γ + (p,q) = ϕ(t, (p, q)), t } a semi-órbita positiva. Se γ+ (p,q) esta contida em K R2, K compacto, então: (a) ω(p, q) ; (b) ω(p, q) é compacto; (c) ω(p, q) é invariante por X, isto é, se (p 1, q 1 ) ω(p, q), então a trajetória de X por (p 1, q 1 ) esta contida em ω(p, q); (d) ω(p, q) é conexa. Resultado análogo pode ser obtido para α(p, q). Indicamos P para a prova do teorema acima. 21

22 Vamos apresentar nesta seção o Teorema de Poincaré-Bendixson. Mas antes, para facilitar a demonstração deste teorema, vamos estudar alguns lemas. No que segue, estamos assumindo que (p, q) R 2 é tal que, ) I (p,q). Lema Sejam X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial, Σ uma secção transversal a X e γ = ϕ(t)} uma órbita de X. Se (p, q) Σ ω(γ), então (p, q) pode ser expresso como limite de uma seqüência de pontos de Σ, ϕ(t), onde t n. Demonstração: Suponhamos que γ = ϕ(t)} = ϕ(t, (p 1, q 1 ))} e (p, q) Σ ω(γ). Consideremos uma vizinhança V de (p, q) e a aplicação τ : V R tal que τ(v Σ) =. Como (p, q) ω(p, q) existe uma seqüencia ( t n ) tal que t n e ϕ( t n ) (p, q) quando n. Logo, existe n N tal que ϕ( t n ) V, qualquer que seja n n. Se t n = t n + τ(ϕ( t n )), qualquer que seja n n, temos ϕ(t n ) = ϕ(t n, (p 1, q 1 )) = ϕ( t n + τ(ϕ( t n ))), (p 1, q 1 )) = ϕ(τ(ϕ( t n )), ϕ( t n )) e por definição de τ, temos que ϕ(t n ) Σ. Como τ é contínua, temos que lim ϕ(t n) = lim ϕ(τ(ϕ( t n )), ϕ( t n )) = ϕ(, (p, q)) = (p, q) n n pois, ϕ( t n ) (p, q) e τ(ϕ( t n )) τ(p, q) =, quando n Lema Sejam X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial e Σ uma secção transversal a X. Se γ é uma órbita de X e (p, q) Σ γ, então γ + (p,q) = ϕ(t, (p, q)); t } intercepta Σ numa seqüência monótona (p 1, q 1 ), (p 2, q 2 ),..., (p n, q n ),... Demonstração: Seja D = t R +, ϕ(t, (p, q)) Σ}. Como D é discreto (pelo Teorema do Fluxo Tubular), podemos ordenar o conjunto D = < t 1 < t 2 <... < t n <...}. Seja (p 1, q 1 ) = (p, q). Definamos, caso exista, (p 2, q 2 ) = ϕ(t, (p 1, q 1 )). Por indução, definiremos (p n, q n ) = ϕ(t n 1, (p, q)). Se (p 1, q 1 ) = (p 2, q 2 ), então γ é uma trajetória fechada de período τ = t 1, e (p, q) = (p n, q n ), para todo n. 22

23 Se (p 1, q 1 ) (p 2, q 2 ), digamos (p 1, q 1 ) < (p 2, q 2 ) e se existir (p 3, q 3 ) vamos mostrar que (p 3, q 3 ) > (p 2, q 2 ). De fato, vamos então orientar Σ conforme a figura (a). Observemos que devido ao fato de Σ ser conexo e pela continuidade do campo X, as órbitas de X cruzam a secção sempre no mesmo sentido, digamos da esquerda para a direita, conforme a figura (b). Como em R 2 vale o Teorema da Curva Fechada de Jordan, que diz o seguinte: Se J é uma curva fechada, contínua e simples (J é a imagem homeomorfa de um círculo), então R 2 /J tem duas componentes conexas; S i (limitada) e S e (não-limitada), as quais tem J como fronteira comum, consideremos então a Curva de Jordan formada pela união do segmento (p 1, q 1 )(p 2, q 2 ) Σ com o arco (p1, q 1 )(p 2, q 2 ) da órbita, temos que (p1, q 1 )(p 2, q 2 ) = ϕ(t, (p 1, q 1 )); < t t 1 }, da figura (c). S i. Em particular, a órbita γ, a partir de (p 2, q 2 ), isto é, para valores de t > t 1, fica contido em De fato, ela não pode interceptar o arco (p1, q 1 )(p 2, q 2 ) devido à unicidade das órbitas e não pode interceptar o segmento (p 1, q 1 )(p 2, q 2 ), pois iria contrariar o sentido do fluxo. Daí, caso (p 3, q 3 ) exista, devemos ter (p 1, q 1 ) < (p 2, q 2 ) < (p 3, q 3 ). Seguindo este raciocínio, obteremos (p 1, q 1 ) < (p 2, q 2 ) <... < (p n, q n ) <... Portanto, (p n, q n )} é uma seqüência monótona. Caso (p 2, q 2 ) < (p 1, q 1 ) a demonstração é análoga. Lema Sejam X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial, Σ uma secção transversal ao campo X em (p, q) R 2. Então Σ intercepta ω(p, q) no máximo em um ponto. Demonstração: Pelo lema anterior, o conjunto de pontos de γ + (p,q) em Σ tem no máximo um ponto limite, pois o mesmo forma uma seqüência monótona. Daí, o resultado segue do primeiro lema, pois Σ ω(p, q) = (p, q). Lema Se o ω-limite de uma trajetória γ não contém singularidades, então ω(γ) é uma órbita fechada. Se (p, q) γ, as órbitas por pontos próximos a (p, q) tem esta mesma órbita fechada como ω-limite. Demonstração: Seja (p 1, q 1 ) ω(γ). Mostremos que a a órbita de (p 1, q 1 ) é fechada. Tomemos (x, y) ω(p 1, q 1 ) e, portanto, (x, y) não é uma singularidade. Consideremos uma secção transversal Σ contendo (x, y). Sabemos por lema anterior que a órbita positiva de (p 1, q 1 ) intercepta Σ segundo uma seqüência monótona, com (p n, q n ) (x, y). Como (p n, q n ) ω(γ), temos que (p n, q n ) = (x, y), para todo n, isto pelo lema anterior. Logo, a órbita de (p 1, q 1 ) é fechada. Tomando agora um segmento transversal contendo (p 1, q 1 ), concluímos, pelo lema 1.12, que ω(γ) se reduz à órbita de (p 1, q 1 ). Vamos agora enunciar e demonstrar o Teorema de Poincaré-Bendixson. 23

24 Teorema 1.17 (Poincaré-Bendixson). Sejam X : R 2 R 2 um campo polinomial e ϕ(t) = ϕ(t, (p, q)) uma trajetória de X, definida para qualquer t, tal que γ + (p,q) esteja contida num compacto K R 2. Suponha que o campo X possua um número finito de singularidades em ω(p, q). Então temos as seguintes situações: (a) Se ω(p, q) contém somente pontos regulares, então ω(p, q) é uma órbita periódica; (b) Se ω(p, q) contem pontos regulares e singulares, então ω(p, q) é formado por um conjunto de órbitas, onde cada uma delas tende a um desses pontos singulares quando t ± ; (c) se ω(p, q) não contém pontos regulares, então ω(p, q) é um ponto singular. Demonstração: (a) Por hipótese, temos que ω(p, q) tem somente pontos regulares e se (p 1, q 1 ) ω(p, q), então a órbita γ (p1,q 1 ) ω(p, q). Sendo ω(p, q) compacta, temos que ω(γ ( p 1, q 1 )). Daí, do lema 1.14, temos que ω(p, q) = γ (p1,q 1 ), que é uma órbita fechada e conseqüentemente periódica. (b) Como, por hipótese, temos que ω(p, q) contem pontos regulares e singulares, seja γ uma trajetória regular contida em ω(p, q). Afirmamos que ω(γ) é uma singularidade. Se ω(γ) possui algum ponto regular (p 1, q 1 ), tomemos uma secção transversal Σ a X, passando pelo ponto (p 1, q 1 ). Como γ ω(p, q), temos pelo lema 1.13, que γ intercepta apenas um ponto. Pelo lema 1.14, γ é uma trajetória fechada e ω(p, q) = γ. Isto é um absurdo, pois ω(p, q) possui singularidades. Logo, ω(γ) é uma singularidade. (c) Se ω(p, q) não contém pontos regulares, então ω(p, q)é uma singularidade, pois X tem um número finito de singularidades e ω(p, q) é conexo. 24

25 Capítulo 2 Variedades Invariantes 2.1 O Teorema da Variedade Estável Local O Teorema da Variedade Estável é um dos mais importantes resultados da teoria qualitativa local de EDO s. Ele mostra que perto de um ponto hiperbólico (x, y ), o sistema não linear (ẋ, ẏ) = X(x, y) = (p(x, y), q(x, y)) (2.1) tem variedade estável e instável S e U tangentes em (x, y ) aos subespaços estável e instável E S e E U do sistema linearizado (ẋ, ẏ) = A(x, y) (2.2) onde A = JX(x, y ). Mas vamos primeiramente definir subespaços estável, instável e central E S,E U e E C, respectivamente, para um sistema linear do tipo (2.2) acima. Seja w j = u j + iv j um autovetor generalizado da matriz A correspondente a um autovalor λ j = a j + ib j. Note que se b j =, então v j =. E seja B = u 1,..., u k, u k+1, v k+1,..., u m, v m } uma base de R 2 (com 2 = 2m k). Definição 2.1. Sejam λ j = a j + ib j, w j = u j + iv j e B descritos como acima. Então, E S = u j, v j /a j < } E C = u j, v j /a j = } 25

26 e E U = u j, v j /a j > } isto é, E S,E U e E C são os subespaços de R 2 gerados pelas partes real e imaginárias dos autovetores generalizados w j correspondentes aos autovalores λ j com partes real negativa, nula e positiva, respectivamente. No entanto, S e U tem a mesma dimensão de E S e E U, e se ϕ é o fluxo do sistema não linear (2.1), então S e U são positiva e negativamente invariantes por ϕ, respectivamente e satisfazem e lim ϕ(t, (c 1, c 2 )) = (x, y ), (c 1, c 2 ) S t lim ϕ(t, (c 1, c 2 )) = (x, y ), (c 1, c 2 ) U t Vamos apresentar estas idéias com um exemplo. Assumiremos que a singularidade (x, y ) está localizada na origem. Se este não for o caso, podemos transladar (x, y ) para a origem através de uma determinada mudança de coordenadas onde (x, y) (x, y) (x, y ). Teorema 2.2 (Variedade Estável). Seja X : R 2 R 2 um campo polinomial vetorial e ϕ o fluxo do sistema não linear (2.1). Suponhamos que X(, ) = (, ) e que JX(, ) tenha k autovalores com parte real positiva e 2 k autovalores com parte real negativa. Então, existe uma variedade k-diferenciável S tangente ao subespaço E S do sistema linear (2.2) na origem tal que para todo t, ϕ(s) S e para todo (x, y ) S lim ϕ(t, x, y ) = (, ); t e existe uma variedade (2 k)-diferenciável U tangente ao subespaço E U do sistema linear (2.2) na origem tal que para todo t, ϕ(u) U e para todo (x, y ) U Exemplo 2.3. Consideremos o sistema lim ϕ(t, x, y ) = (, ); t ẋ = p(x, y) = ax + by + ϕ(x, y) ẏ = q(x, y) = cx + dy + ψ(x, y) isto é, ( ẋ ẏ ) = ( a c b d ) ( x y ) + ( ϕ(x, y) ψ(x, y) ) 26

27 Mais precisamente, vamos tomar o sistema ẋ = λ 1 x + ϕ(x, y) ẏ = λ 2 y + ψ(x, y) (2.3) onde λ 1 < e λ 2 >. Assim, ( ẋ ẏ ) = ( λ 1 λ 2 ) ( x y ) + ( ϕ(x, y) ψ(x, y) ) Notemos que se (x, y) é solução de (2.3), então x(t) = e λ 1t x + y(t) = e λ 2t y + t t De fato, vamos escrever x(t) de uma maneira diferente x(t) = e λ 1t x + = e λ 1t x + t = e λ1t x + e λ 1t Derivando x(t) em relação a t, temos: t e λ 1(t s) ϕ(x(s), y(s))ds e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds e λ 1(t s) ϕ(x(s), y(s))ds = e λ 1t e λ 1s ϕ(x(s), y(s))ds = t e λ 1s ϕ(x(s), y(s))ds ẋ(t) = λ 1 e λ 1t x + e λ 1t e λ 1t ϕ(x(t), y(t)) + λ 1 e λ 1t t e λ 1s ϕ(x(s), y(s))ds = Isto é, = λ 1 e λ 1t x + ϕ(x(t), y(t)) + λ 1 e λ 1t = λ 1 (e λ 1t x + e λ 1t = λ 1 (e λ 1t x + t t t e λ 1s ϕ(x(s), y(s))ds = e λ 1s ϕ(x(s), y(s))ds) + ϕ(x(t), y(t)) = ) e λ1(t s) ϕ(x(s), y(s))ds } } x(t) ẋ(t) = λ 1 x(t) + ϕ(x(t), y(t)) +ϕ(x(t), y(t)) 27

28 Portanto, temos que x(t) = e λ 1t x + t eλ 1(t s) ϕ(x(s), y(s))ds é realmente uma solução de (2.3). Vamos verificar agora que y(t) = e λ 2t y + t eλ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds também é uma solução do sistema (2.3). y(t) = e λ 2t y + = e λ 2t y + t = e λ 2t y + e λ 2t Derivando y(t) em relação a t, temos: t e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds = e λ 2t e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds = t e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds ẏ(t) = λ 2 e λ 2t y + e λ 2t e λ 2t ψ(x(t), y(t)) + λ 2 e λ 2t t e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds = Isto é, = λ 2 e λ 2t y + ψ(x(t), y(t)) + λ 2 e λ 2t = λ 2 (e λ 2t y + e λ 2t = λ s (e λ 1t y + t t t e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds = e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds) + ψ(x(t), y(t)) = ) e λ2(t s) ψ(x(s), y(s))ds +ψ(x(t), y(t)) } } y(t) ẏ(t) = λ 1 y(t) + ψ(x(t), y(t)) Portanto, temos que y(t) = e λ 2t y + t eλ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds é solução de (2.3). Afirmação: Se (x(t), y(t)) é uma solução contida em W S então y(t) = t e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds De fato, se (x(t), y(t)) W S então y(t) quando t. Assim, y(t) = e λ 2t y + = e λ 2t y + t t e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds = e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds 28

29 1 e λ 2t y + Agora quando t, temos que 1 e λ 2 t Logo, o que verifica a afirmação. Então, Assim, t ( y(t) = e λ 2t = y + y = t e λ 2s ψ(x(s), y(s))ds. E como lim y(t) =, temos que t e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds = x(t) = e λ 1t x + e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds = e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds t ) e λ2s ψ(x(s), y(s))ds + e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds + e λ 1(t s) ϕ(x(s), y(s))ds t t e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds + e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds = e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds t e λ 2(t s) ψ(x(s), y(s))ds Logo, ϕ(t, (x, y)) = e λ 1t x y + t e λ 1(t s) ds ϕ ψ t e λ 2(t s) ds ϕ ψ Agora, vamos tomar um caso particular, onde λ 1 = 1, λ 2 = 1, ϕ = y 2 e ψ = x 2. Daí, temos o seguinte sistema: ẋ = x y 2 ẏ = y + x 2 Portanto, temos ϕ(t, (x, y)) = e λ 1t x y + t e λ 1(t s) ds y 2 x 2 t e λ 2(t s) ds y 2 x 2 29

30 Temos que o primeiro valor é dado por ϕ (t, (x, y)) = (, ) Continuando o processo, podemos obter o restante dos valores substituindo valores encontrados nas próximas iterações. Logo,temos ϕ (1) (t, (x, y)) = e t A próxima iteração será ϕ (2) (t, (x, y)) = e t = x y x y + e t x t t e (t s) = x 2 e t e t x e (t s) e 2s x 2 e 3t 3 ds = ds = e t x e 2t x 2 3 t e t x Para melhorarmos a aproximação, vamos fazer ainda mais duas iterações ϕ (3) (t, (x, y)) = A próxima será e t x y + e t x 4 9 t e s e 4s e t x = + e t x e 3t x 2 e t 9.3 = e t x + 1 (e t x 4 ) + e 4t x 4 27 = e t x (e 4t e t )x 4. ϕ (4) (t, (x, y)) = e t e 2t x 2 3 x y + e t x 4 9 e (t s) ds e t x 2 t e 3t 3 e 2t x 2 3 e 3s t t = = ds y 2 x 2 e t e 3t 3 x 2 ds e 3s ds = pelos = ds = 3

31 et x 2 ds = 27 2 t 27 2 e s (e 2s e 2s (e 3s 1)x 3 + (e 8s 2e 5s + e 2s )x 6 ) e t x = e t x 4 e 3t 3 x2 e t ( ( ) ( ) ) e 3t 1 + = 2.27 e 3t 1 x e 6t e 3t + 1 x e t x e 4t x 4 27 = ( ( )) ( ) = e 2t x 2 e t 1 x 3 e + 6t e 3t + 1 x = e 2t 3 ( ( e t 1 2 e t x + e 4t x 4 )) 27 x 5 + ( e 6t 3 e 3t + 1 ) x 8. Acrescentar figura 2 pg114???? As variedades estável e instável S e U são definidas somente em uma pequena vizinhança da origem na prova do Teorema da Variedade Estável. S e U são além disso referidas como as variedades estável e instável locais de (2.1) na origem ou simplesmente as variedades estável e instável da origem. Definimos as variedades estável e instável globais de (2.1) em (, ) deixando os pontos de S correrem o tempo no passado e aqueles de U correrem o tempo no futuro. Definição 2.4. Seja ϕ o fluxo do sistema não linear (2.1). As variedades globais estável e instável de (2.1) no (, ) (na origem) são dadas por W S (, ) = ϕ(t, S) t e W U (, ) = t ϕ(t, U) respectivamente. Pode ser mostrado que as variedades globais estável e instável, W S (, ) e W U (, ), são únicas e invariantes pelo fluxo ϕ. e Além disso, (x, y) W S (, ), lim t ϕ(t, (x, y)) = (x, y) W U (, ), lim ϕ(t, (x, y)) = t Pode também ser mostrado que (como na prova do Teorema da Variedade Estável) que numa pequena vizinhança, N, de uma singularidade hiperbólica na origem, as variedades locais estável 31

32 e instável, S e U, de (2.1) na origem são dadas por S = (x, y) N/ϕ(t, (x, y)) quando t e ϕ(t, (x, y)) N, t > } e U = (x, y) N/ϕ(t, (x, y)) quando t e ϕ(t, (x, y)) N, t } respectivamente. figura 3 pg.114 A figura 3 mostra uma trajetória computada numericamente para o sistema no exemplo (2.2). A variedade estável global e a variedade instável global para este exemplo esta mostrada na figura 4. Note que W S (, ) e W U (, ) se interceptam em um laço homoclínico. figura 4 pg 115, Perko. Com as hipóteses do Teorema da Variedade Estável, se S e U são as variedades estável e instável de (2.1) na origem e se Re(λ j ) < α < < β < Re(λ m ) para j = 1,..., k e m = k + 1,..., 2 então dado ɛ > existe δ > tal que (x, y ) N δ(,) S ϕ(t, (x, y )) ɛe αt, t e (x, y ) N δ(,) U ϕ(t, (x, y )) ɛe betat, t 2.2 Singularidades Não Hiperbólicas Selas, Nós, Focos e Centros Como vimos, um sistema linear (ẋ, ẏ) = A(x, y), (x, y) R 2 (2.4) apresenta uma sela, um nó, um foco ou um centro na origem se existe uma transformação linear não singular que reduz a matriz A a uma matriz canônica B = P 1 AP apresentando uma das 32

33 seguintes formas B = λ 1 λ 2, B = λ 1 λ, ou B = a b b a Definição 2.5. Uma singularidade (x, y ) do sistema linear (ẋ, ẏ) = X(x, y), (x, y) R 2 (2.5) é chamada de poço se todos os autovalores da matriz JX(x, y ) tem parte real negativa; é chamada de fonte se todos os autovalores da matriz JX(x, y ) tem parte real positiva; e é chamada de sela se existe uma singularidade hiperbólica e se JX(x, y ) tem um autovalor com parte real positiva e um autovalor com parte real negativa. Agora, vamos definir o conceito topológico de sela para o sistema não linear (2.5) com (x, y) R 2 e mostrar que se (x, y ) é uma singularidade hiperbólica de (2.5) então ele é uma sela topológica se, e somente se, é uma sela de (2.5); isto é, uma singularidade hiperbólica (x, y ) é uma sela topológica para (2.5) se, e somente se, a origem é uma sela para (2.4) com A = JX(x, y ). Podemos refinar a classificação dos poços do sistema não linear (2.5) para nós estáveis e focos, e podemos mostrar que uma singularidade hiperbólica (x, y ) é um nó estável ou um foco para o sistema (2.5) se, e somente se, ele é respectivamente um nó estável ou um foco para o sistema linear (2.4) com A = JX(x, y ). Similarmente, uma fonte de (2.5) pode ser tanto um nó instável quanto um foco de (2.5) como definiremos abaixo. Finalmente, definiremos centros e centro-focos para o sistema não linear (2.5) e mostraremos que com a adição de termos não lineares o centro do sistema linear (2.4) pode se tornar um centro, um centro-foco, uma sela ou um foco instável de (2.5). Vamos então dar definições geométricas precisas para um centro, um centro-foco, um foco estável e instável, um nó estável e instável e para uma sela topológica de um sistema não linear ẋ = p(x, y) (2.6) ẏ = q(x, y) Vamos assumir que (x, y ) R 2 é uma singularidade isolada do sistema (2.6) que foi transladada para a origem. As soluções do sistema não linear ṙ = p(rcosθ, rsenθ)cosθ + q(rcosθ, rsenθ)senθ r θ (2.7) = q(rcosθ, rsenθ)cosθ p(rcosθ, rsenθ)senθ 33

34 ou seja, dr dθ = F (r, θ) = rp(rcosθ, rsenθ)cosθ + q(rcosθ, rsenθ)senθ q(rcosθ, rsenθ)cosθ p(rcosθ, rsenθ)senθ (2.8) serão denotadas por r(t, r, θ ) e θ(t, r, θ ), com r() = r e θ() = θ. Escrevendo o sistema de equações diferenciais (2.7) em coordenadas polares vamos revelar a natureza da singularidade na origem. Isto é ilustrado pelos três exemplos seguintes Exemplo 2.6. Escreva o sistema ẋ = y xy ẏ = x + x 2 em coordenadas polares. Para r > temos, ṙ = xẋ + yẏ r = xy x2 y + xy + x 2 y r = e θ = xẏ yẋ r 2 = x2 + x 3 + y 2 + xy 2 r 2 = 1 + x > para x > 1. Assim, ao longo de qualquer trajetória deste sistema no semi-plano x > 1, r(t) é constante e θ(t) cresce sem limite quando t. Isto é, o retrato de fase numa vizinhança da origem é um centro para este sistema não linear. Exemplo 2.7. Considere o sistema ẋ = y x 3 xy 2 ẏ = x y 3 x 2 y em coordenadas polares. Para r > temos, ṙ = r 3 e θ = 1. Assim, r(t) = r (1 + 2rt) 2 1/2 para t > 1/(2r) 2 e θ(t) = θ + t. Vemos que r(t) e θ(t) quando t. O retrato de fase para este sistema não linear em uma vizinhança da origem é um foco estável. Exemplo 2.8. Considere o sistema ẋ = y + x 3 + xy 2 ẏ = x + y 3 + x 2 y 34

35 em coordenadas polares. Para r > temos, ṙ = r 3 e θ = 1. Assim, r(t) = r (1 2rt) 2 1/2 para t < 1/(2r) 2 e θ(t) = θ +t. Vemos que r(t) e θ(t) quando t. O retrato de fase para este sistema não linear em uma vizinhança da origem é um foco instável. Vamos agora dar as definições geométricas precisas de um centro, um centro-foco, um foco estável e instável, um nó estável e instável e de uma sela topológica para o sistema não linear (2.7). Iremos assumir que (x, y ) R 2 é uma singularidade isolada do sistema (2.7) que foi transladada para a origem; r(t, r, θ ) e θ(t, r, θ ) vão denotar as soluções do sistema não linear (2.8) com r() = r e θ() = θ. Definição 2.9. A origem é chamada de centro para o sistema não linear (2.5) se existe um δ > tal que toda trajetória de (2.5) numa determinada vizinhança N δ (, ) (, )} é uma curva fechada com (, ) no interior. Figura ou não???? Sim, em todas as definições!! Definição 2.1. A origem é chamada de centro-foco para (2.5) se existe uma seqüência de trajetórias fechadas γ n com γ n+1 no interior de γ n tal que γ n quando n e tal que toda trajetória entre γ n e γ n+1 se espirala na direção de γ n ou γ n+1 quando t ±. Definição A origem é chamada de foco estável para (2.5) se existe δ > tal que para < r < δ e δ R, r(t, r, θ ) e θ(t, r, θ ) quando t. É chamado foco instável se r(t, r, θ ) e θ(t, r, θ ) quando t. Qualquer trajetória de (2.5) que satisfaz r(t) e θ(t) quando t ± é dita espiral na direção da origem quando t ±. Definição A origem é chamada de nó estável para (2.5) se existe δ > tal que para < r < δ e δ R, r(t, r, θ ) quando t e lim t θ(t, r, θ ) existe; isto é, cada trajetória em uma dada vizinhança da origem se aproxima da origem ao longo de uma tangente bem definida quando t. A origem é chamada nó instável se < r < δ e δ R, r(t, r, θ ) quando t e lim θ(t, r, θ ) existe para qualquer r (, δ) e θ R. t 35

36 A origem é chamada de nó próprio para (2.5) se é um nó e se todo raio através da origem é tangente a alguma trajetória de (2.5). Definição A origem é uma sela topológica para (2.5) se existirem duas trajetórias γ 1 e γ 2 que se aproxima de (, ) quando t e duas trajetórias γ 3 e γ 4 que se aproximam de (, ) quando t e se existir um δ > tal que qualquer outra trajetória que comece numa vizinhança determinada da origem N δ (, ) (, )} afasta-se de N δ (, ) quando t ±. As trajetórias γ i, i = 1,..., 4 são chamadas de separatrizes. Para uma sela topológica, a variedade estável na origem é S = γ 1 γ 2 (, )} e a variedade instável na origem é U = γ 3 γ 4 (, )}. Se a trajetória γ i se aproxima da origem ao longo de um raio fazendo um ângulo θ i com o eixo-x onde θ i π, π, para i = 1,..., 4, então θ 2 = θ 1 ±π e θ 4 = θ 3 ± π. Isto segue por consideramos as possíveis direções nas quais a trajetória de (2.5), escritas em formas polares (2.7), pode se aproximar da origem. Os seguintes teoremas, provados em A-I, são úteis nesta observação. O primeiro teorema é devido a Bendixson B. Teorema 2.14 (Bendixson). Seja X : R 2 R 2 um campo vetorial polinomial. Se a origem é uma singularidade isolada de (2.5), então ou toda vizinhança da origem contém uma trajetória fechada com (, ) no seu interior ou existe uma trajetória se aproximando de (, ) quando t ±. Teorema Suponhamos que p(x, y) e q(x, y) em (2.6) sejam polinômios de x e y contendo a origem e que a Expansão de Taylor de p e q sobre (, ) comecem com termos de grau m p m (x, y) e q m (x, y) com m 1. Então qualquer trajetória de (2.6) que se aproxima da origem quando t ou se espirala em direção à origem quando t ou tende para a origem numa direção definida θ = θ quando t. Se xq m (x, y) yp m (x, y) não é identicamente nulo, então todas as direções, θ, satisfazem a aquação cosθ q m (cosθ, senθ ) senθ p m (cosθ, senθ ) = Além disso, se uma trajetória de (2.6) se espiraliza em direção à origem quando t então todas as trajetórias de (2.6) numa determinada vizinhança da origem se espiralizam na direção de (, ) quando t. Segue deste teorema que se p e q começam com termos de grau um, isto é, p 1 (x, y) = ax + by e q 1 (x, y) = cx + dy 36