Minicurso. Sistemas Dinâmicos: Contínuo e Discreto. Raul Felipe Appis, Wesley de Oliveira Tavares. Novembro de 2015

Transcrição

1 Minicurso Sistemas Dinâmicos: Contínuo e Discreto Raul Felipe Appis, Wesley de Oliveira Tavares Orientadora: Prof. a Dr. a Luci Any Francisco Roberto Novembro de 2015 Departamento de Matemática Pura IBILCE UNESP, São José do Rio Preto, Brasil

2 Sumário 1 Introdução 1 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 2 3 Uma Breve Introdução aos Sistemas Dinâmicos Caóticos 21 4 Três Propriedades de um Sistema Dinâmico Caótico 23 Referências Bibliográficas 30

3 1 Introdução O estudo geométrico-qualitativo de fluxos em sistemas dinâmicos tem sido durante décadas objeto de grande interesse em vários setores da matemática pura e aplicada. Hoje em dia esta teoria é acessível a uma enorme e heterogênea audiência em muitos ramos da ciência. Até a publicação do livro Mèthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste [6] de Poincaré as equações diferenciais que apareciam nos problemas de Mecânica Celeste eram tratadas do ponto de vista quantitativo. Poincaré deixou os métodos clássicos de resolução de equações diferenciais e começou a trabalhar com o método qualitativo para dar uma descrição qualitativa completa das órbitas em um espaço de fase (o espaço onde as equações diferenciais estão definidas). Podemos dizer que Poincaré iniciou a teoria qualitativa moderna das equações diferenciais. Desta forma, temos como objetivo apresentar tópicos básicos e necessários para o estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Já em relação aos sistemas dinâmicos discreto, apresentaremos o comportamento caótico da família quadrática Q c (x) = x 2 + c, onde c é um parâmetro real. Para isto, primeiro introduziremos alguns conceitos básicos como os de iteração e órbita de uma função. Posteriormente trabalharemos com análise gráfica de uma função. Com o estudo das bifurcações teremos compreendido completamente o comportamento da família quadrática quando c > 5 4. Então, passaremos a estudar o comportamento desta função para valores de c menores ou iguais a 2. Feito isso, estudaremos a dinâmica simbólica, que nos auxiliará na prova de que a família quadrática tem um comportamento caótico. 1

4 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem e Teoria Qualitativa As equações diferenciais de primeira ordem são equações que envolvem funções e suas derivadas de primeira ordem. A critério de motivação, consideramos a equação (x, y) = (x, y ) = ( y, x). (1) A equação (1) associa a cada ponto (x, y) o vetor ( y, x) cuja base tomamos no ponto (x, y) e não na origem. Particularmente, (1, 0) (0, 1); (0, 1) ( 1, 0); ( 1, 0) (0, 1); (0, 1) (1, 0). Analisando os demais pontos (x, y) R 2, concluímos que (1) tem a seguinte configuração Formalmente definimos a seguir equação diferencial de primeira ordem. Sejam R R n, X : R n uma aplicação contínua (campo vetorial) e I um intervalo da reta. Consideramos a equação x = X(t, x), (2) chamada de equação diferencial ordinária de primeira ordem. Definição 2.1. Consideramos uma aplicação diferenciável ϕ : I R n, I R. Dizemos que ϕ é solução de (2) se: i) o gráfico de ϕ está em, ou seja, {(t, ϕ(t)); t I} ; ii) para todo t I, ϕ (t) = X(t, ϕ(t)), ou seja, ϕ satisfaz a igualdade (2). Dizemos que ϕ é periódica se existe τ > 0 tal que ϕ(t) = ϕ(t + τ) para todo t I. Consideramos o conjunto D = {(t, x); x, t I}. Chamamos de fluxo gerado por X a aplicação ϕ : D. Geometricamente, a equação (2) nos diz qual o vetor tangente a solução ϕ no ponto ϕ(t). 2

5 Consideramos X i : R as componentes de X, onde i = 1,..., n. Dizemos que ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ), com ϕ i : I R, é solução de (2) se, e somente se, cada ϕ i é diferenciável, {(t, ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)); t I} e ϕ 1(t) = X 1 (t, ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)) ϕ 2(t) = X 2 (t, ϕ 1 (1),..., ϕ n (t)) para todo t I... ϕ n(t) = X n (t, ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)) Definição 2.2. Seja ϕ : I Ω uma solução da equação (2). Se ϕ (t) = X(t, ϕ(t)), ϕ( ) = x 0, (3) dizemos que ϕ é uma solução do problema com condições iniciais (, x 0 ) para (2). problema de Problema de Cauchy, ou problema de valor inicial (PVI). Chamamos este O caso mais simples de equações diferenciais de primeira ordem são as lineares dadas da forma x 1 = a 11 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t).... x n = a n1 (t)x a nn (t)x n + b n (t) onde a ij e b j são funções contínuas definidas em I R. Tais equações ainda podem ser simplificadas quando as funções a ij s e b j s são constantes. As linhas de (4) podem ser escritas da forma x i = n a ij (t)x j + b i (t), i = 1, 2,..., n. j=1 Uma solução do sistema (4) é um conjunto de funções {ϕ 1,..., ϕ n } de classe C 1 definidas em I 0 I, se para todo t I 0 com i = 1,..., n, temos Observamos que o sistema ϕ i(t) = n a ij (t)ϕ j (t) + b i (t), i = 1, 2,..., n. j=1 x = A(t)x + b(t), (5) onde A(t) = (a ij (t)) é uma matriz função n n e b(t) = (b i (t)) é um vetor função n 1, é equivalente ao sistema (4). (4) 3

6 Chamamos de sistema de equações diferenciais lineares um sistema da forma (4). Se b i (t) = 0, tal sistema é dito homogêneo. Observamos que as componentes X i s da aplicação X dada em (2) são contínuas, já que tomamos X contínua. Além disso, suponhamos que todas as derivadas parciais X i x j (t, x) existem e são contínuas num aberto de R n+1, com x = (x 1,..., x n ) R n. Diante destas considerações, segue o seguinte resultado. Teorema 2.3 (Existência e Unicidade de Soluções). Para todo (, x 0 ) R R n, existe uma única solução ϕ de (2), definida em I tal que ϕ( ) = x 0, isto é, existe uma única aplicação ϕ de tal forma que Demonstração ϕ (t) = X(t, ϕ(t)), ϕ( ) = x 0. (6) Para determinarmos as soluções de (6), utilizamos os passos a), b) e c) a seguir. a) Construímos uma sequência de funções y n (t) que se aproxima de uma solução de (6). b) Provamos que a sequência y n (t) converge para y(t) no intervalo t + α, convenientemente escolhido. c) Mostramos que neste intervalo, y(t) é solução de (6). Temos passos de a) a c) desenvolvidos. a) Consideramos uma aplicação y(t) tal que y (t) = X(t, y(t)). Integramos ambos os lados desta equação no intervalo [, t] e daí, dy t (s) ds = X(s, y(s)) ds y(t) = y 0 + X(s, y(s)) ds. (7) ds Observamos que na implicação utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Observamos também que em (7), y( ) = y 0. Desta forma, y(t) é solução de (6) se, e somente se, é solução contínua de (7). Suponhamos que y 0 (t) = y 0 é solução de (7) e denotamos y 1 (t) = y 0 + X(s, y 0 (s)) ds. Desta forma, se y 1 (t) = y 0, então y 1 (t) é uma solução de (7). Se não, suponhamos que y 1 (t) é solução de (7), isto é, y 2 (t) = y 0 + X(s, y 1 (s)) ds, e assim sucessivamente. Assim, construímos uma sequência y 1 (t), y 2 (t),..., tal que y n+1 (t) = y 0 + X(s, y n (s)) ds. Chamamos de iteradas de Picard as funções y n (t) e observamos que tais funções convergem para uma solução y(t) de (7), em um intervalo convenientemente escolhido. b) Sabemos que as soluções de equações diferenciais não lineares podem não existir para todo t R. Consequentemente, não podemos afirmar que as iteradas de Picard y n (t) convergem para todo t. Assim, procuramos um intervalo onde as iteradas de Picard convergem. Particularmente, procuramos um retângulo R que contém os gráficos de y n (t). A seguir, enunciamos e demonstramos um resultado que nos apresenta uma maneira de encontrar R. 4

7 Teorema 2.4. Consideramos a e b números positivos e, a partir deles, consideramos o retângulo R dado da forma t + α, y y 0 b. Tomamos, para uma função X qualquer, M = max { X(t, y), (t, y) R} e denotamos Então, para todo t + α. ( ) b α = max a,. M y n (t) y 0 M(t ) (8) Demonstração Provamos (8) por indução sobre n. Primeiramente, observamos que (8) é verdadeira para n = 0, pois y 0 (t) = y 0. Suponhamos que (8) é verdadeira para n = k, ou seja, y k (t) y 0 M(t ). Verificamos que a equação (8) é verdadeira para n = k + 1. De fato, y k+1 y 0 = X(s, y k (s)) ds X(s, y k (s)) ds M ds = M(t ) para t + α. Portanto, (8) é verdadeira para todo n. Agora, escrevemos y n (t) da forma y n (t) = y 0 (t) + [y 1 (t) y 0 (t)] [y n (t) y n 1 (t)]. Temos que y n (t) converge se, e somente se, y n (t) y n 1 (t) <. (9) n=1 Pelo Teorema do Valor Médio, y n (t) y n 1 (t) = = [X(s, y n 1 (s)) X(s, y n 2 (s))] ds X(s, y n 1 (s)) X(s, y n 2 (s)) ds = X(s, ξ(s)) y y n 1(s) y n 2 (s) ds, com ξ(s) entre y n 1 (s) e y n 2 (s). Pelo Teorema 2.4, todos os pontos (s, ξ(s)) pertencem ao retângulo R com s < + α e y n (t) y n 1 (t) L y n 1 (s) y n 2 (s) ds, (10) para todo t entre e + α e L = max X(t,y) y, (t, y) R. Da equação (10) e considerando n = 2 em (10), temos y 2 (t) y 1 (t) L y 1 (t) y 0 ds L M(s ) ds = LM(t )

8 Para n = 3, y 3 (t) y 2 (t) L y s (s) y 1 (s) ds ML2 (s ) 2 ds = ML2 (t ) ! Indutivamente, Logo, y n (t) y n 1 (t) MLn 1 (t ) n. n! y n (t) y n 1 (t) M(t ) + ML(t ) 2 n=1 2! + ML2 α 3 3! +... Mα + MLα2 + ML2α = 2! 3! = M ] [αl + (αl)2 + (αl) = M L 2! 3! L (eαl 1). Portanto, vale a equação (9) e então as iteradas de Picard y n (t) convergem para cada t com t +α. Denotamos lim n y n(t) = y(t). c) Mostramos que lim X(s, y(s)) ds n Como y(t) está no retângulo R, temos X(s, y(s)) ds X(s, y n (s)) ds Como obtemos que Daí, Assim, y(s) y n (s) M y(s) = y 0 + y n (s) = y 0 + y(s) y n (s) = j=n+1 X(s, y(s)) ds X(s, y n (s)) ds = 0. L X(s, y(s)) X(s, y(s)) ds [y j (s) y j 1 (s)] j=1 n [y j (s) y j 1 (s)] j=1 j=n+1 L j 1 (s ) j j! y(s) y n (s) ds. [y j (s) y j 1 (s)]. M j=n+1 L j 1 α j j! X(s, y n (s)) ds Mα j=n+1 = M L j=n+1 (αl) j. j! (αl) j. j! 6

9 Quando n, obtemos que Pela definição das iteradas de Picard temos e obtemos lim y n+1(t) = lim y 0 + n n lim n X(s, y n (s)) ds = X(s, y(s)) ds. y(t) = y 0 + Portanto, y(t) é solução de (7). y n+1 (t) = y 0 + X(s, y n (s)) ds X(s, y n (s)) ds y(t) = y 0 + lim n X(s, y(s)) ds. X(s, y n (s)) ds Definição 2.5. Chamamos de ponto regular um ponto p R n tal que X(p) 0. Caso contrário, p é um ponto singular. Um ponto singular também é chamado de ponto de equilíbrio. Definição 2.6. Sejam X 1 : 1 R n e X 2 : 2 R n campos vetoriais e ϕ 1 : D 1 R n e ϕ 2 : D 2 R n seus fluxos gerados, respectivamente. Dizemos que X 1 é topologicamente conjugado a X 2 se existe um homeomorfismo h : 1 2 tal que h(ϕ 1 (t, x)) = ϕ 2 (t, h(x)) para todo (t, x) em D 1. Analogamente, dizemos que X 1 é C r conjugado a X 2 se existe um difeomorfismo h que satisfaz as condições anteriores. Chamamos h de conjugação topológica ou C r conjugação entre X 1 e X 2. Observação 2.7. Observamos que a aplicação h, dada na definição anterior, preserva o tempo t das soluções. Definição 2.8. Seja X : R n um campo de classe C k, com R n aberto e k 1. Consideramos A R n 1 um conjunto aberto. Definimos por seção transversal local de X uma aplicação f : A de classe C k tal que, para todo a A, Df(a)(R n 1 ) e X(f(a)) geram o R n. Seja Σ = f(a) munido da topologia induzida. Se f : A Σ é um homeomorfismo então chamamos Σ de seção transversal de X. A seguir, apresentamos o Teorema do Fluxo Tubular que essencialmente, caracteriza o fluxo de um sistema em torno de pontos regulares. Teorema 2.9 (Teorema do Fluxo Tubular). Seja p um ponto regular de um campo vetorial X : R n de classe C r. Consideramos uma seção transversal local f : A Σ de X com f(0) = p. Desta forma, existe uma vizinhança V de p e um difeomorfismo h : V ( ε, ε) B de classe C r, com ε > 0 e B(0) R n 1 tal que a) h(σ V ) = 0 B; b) h é uma C r conjugação entre X V e o campo constante Y (1, 0,..., 0) R n. 7

10 Demonstração Consideramos ϕ : D o fluxo do campo X. Tomamos o conjunto D A = {(t, u) R R n 1 ; (t, f(u)) D}. Definimos a função F : D A tal que F (t, u) = ϕ(t, f(u)). Observamos que F leva linhas paralelas em trajetórias de X. Veja a figura abaixo. Mostremos que F é um difeomorfismo local em 0 = (0, 0) R R n 1. Observamos que Como ϕ(0, f(u)) = f(u) para todo u A, D 1 F (0) = d dt ϕ(t, f(0)) t=0 = X(ϕ(0, p)) = X(p). D j F (0) = D j 1 ϕ(0, f(0)) = D j 1 f(0), com j = 2, 3,..., n. Como f é uma seção transversal, segue que os vetores D j F (0), j = 1, 2,..., n, geram o R n. Logo, DF (0) = 0 e daí, DF (0) é um isomorfismo. Portanto, pelo Teorema da Aplicação Inversa, F é um difeomorfismo local em 0 = (0, 0), ou seja, existem ε > 0 e uma bola aberta B R n 1 de centro em 0 tais que F/( ε, ε) B é um difeomorfismo sobre V = F (( ε, ε) B). a) Consideramos h a inversa da F ( ε,ε) B. Desta forma, como (0, u) = F 1 (ϕ(0, f(u)) = F 1 (f(u)), para todo u B, h(σ V ) = {0} B. 8

11 b) Temos, para todo (t, u) ( ε, ε) B, Dh 1 (t, u) Y (t, u) = DF (t, u) (1, 0,..., 0) = D 1 F (t, u) = = X(ϕ(t, f(u))) = X(F (t, u)) = X(h 1 (t, u...)), ou seja, h 1 é uma C k conjugação entre X e Y. Definição Seja p um ponto singular de um campo vetorial X de classe C r. hiperbólico se todos os autovalores de DX(p) possuem parte real não nula. Dizemos que p é A seguir apresentamos o Teorema de Hartman-Grobman, cuja demonstração encontra-se em [5], que nos diz que o comportamento de um campo vetorial não linear próximo de um ponto singular hiperbólico, é conjugado ao comportamento do campo de sua parte linear no ponto singular hiperbólico. Teorema 2.11 (Teorema de Hartman-Grobman). Consideramos um campo vetorial X : R n de classe C 1 e um ponto singular hiperbólico p. Logo, existem vizinhanças V de p e W de 0 tais que X V é topologicamente conjugado a DX(p) W. Exemplo Consideramos X = (X 1, X 2 ) onde X 1 = x e X 2 = y + x 3 e = R n. Para todo t R e (a, b) R 2, o fluxo de X é ( ) ) ϕ(t, (a, b)) = ae t, (b a3 e t + a3 4 4 e3t. ( ) Mostremos que h : (x, y) x, y + x3 4 satisfaz h(ψ(t, p)) = ϕ(t, h(p)) onde ψ(t, p) é o fluxo da sela Y = (x, y). Vamos determinar o fluxo ψ de Y = (x, y). O sistema correspondente à Y é dado por Denotamos A = seguinte forma, [ [ ] x y = ] [ x e v = y [ ] [ ] 1 0 x. 0 1 y ]. Assim, se Av = λv, determinamos os autovalores de A da Av = λv (A λi)v = 0 det(a λi) = 0 λ = 1 ou λ = 1. Logo, ( os autovalores ) de A são λ 1 = 1 e λ 2 = ( 1. ) Desta maneira, o autovetor v 1 associado a λ 1 é 1 0 v 1 = e autovetor associado a λ 0 2 é v 2 =. Assim, a solução geral é dada por 1 ( ψ(t) = c 1 e t v 1 + c 2 e t c1 e v 2 = t c 2 e t ). 9

12 Para ψ(0) = (a, b) = p, o fluxo de Y é ψ(t; p) = (ae t, be t ). Mostremos que h(ψ(t; p)) = ϕ(t; h(p)). De fato, ( )) ( ) ) ϕ(t, h(p)) = ϕ t; (a, b + a3 = ae t, (b + a3 4 4 a3 e t + a3 = 4 4 ) = (ae t, be t + a3 4 e3t = h(ψ(t, p)). Portanto, ϕ(t, h(p)) = h(ψ(t, p)). Veja a figura a seguir. Um dos aspectos da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias, estudados por Poincaré, visa descrever o comportamento assintótico das soluções e a estrutura de seus conjuntos limites. O comportamento assintótico de uma solução se obtém quando se faz a variável independente (em geral, o tempo) tender para o infinito. O conjunto limite pode ser um ponto de equilíbrio, uma solução periódica ou outro conjunto mais complexo. A seguir, vemos algumas definições e apresentamos alguns lemas a fim de enunciarmos e demonstrarmos o Teorema de Poincaré-Bendixson. Definição Seja X : R n, com R n aberto, um campo vetorial de classe C k, k 1. Consideramos ϕ(t, p) a trajetória de X que passa pelo ponto p definida para todo t R. Definimos os conjuntos ω(p) = {q : {t n } tal que t n + e ϕ(t n, p) q, quando n + } e α(p) = {q : {t n } tal que t n e ϕ(t n, p) q, quando n + }. Chamamos ω(p) e α(p) de conjuntos ω limite e α limite de p, respectivamente. Exemplo Consideramos o campo X : R 2 R 2 definido por X(x, y) = (x, y). Equivalentemente a este campo, temos o sistema [ ] [ x 1 0 = 0 1 Sabemos que o retrato de fase deste sistema é uma sela. y ] [ x y ]. 10

13 Assim, Se p = 0, então ω(p) = α(p) = {0}; Se p E 1 \{0}, então ω(p) = e α(p) = {0}; Se p E 2 \{0}, então ω(p) = {0} e α(p) = ; Se p / E 1 E 2, então ω(p) = α(p) =. Definição Chamamos de semi-trajetória positiva o conjunto γ + p = {ϕ(t, p) : t 0}. Analogamente, chamamos de semi-trajetória negativa o conjunto γ p = {ϕ(t, p) : t 0}. A seguir, enunciamos e demonstramos alguns resultados necessários para provarmos o Teorema de Poincaré-Bendixson. O teorema que segue apresenta algumas propriedades do conjunto ω limite. Analogamente temos um resultado para o conjunto α limite, trocando γ + por γ. Teorema Sejam X : R n um campo vetorial de classe C k, com k 1 e R n, e p. Seja ϕ(t, p) a trajetória de X pelo ponto p. Consideramos a semi-trajetória positiva γ + (p) de p, ou seja, γ + (p) = {ϕ(t, p); t 0}. Suponhamos que γ + (p) está contida em um conjunto compacto K. Então, a) ω(p) ; b) ω(p) é invariante pelo fluxo; c) ω(p) é compacto; d) ω(p) é conexo. Demonstração a) Consideramos a sequência {t n } = {n; n N}. Por hipótese, {ϕ(t n, p)} K, onde K é compacto. Então, existe uma subsequência {ϕ(t nk, p)} que converge para algum ponto q K, onde {t nk } é uma subsequência de {t n }. Desta forma, quando m +, t nk + e ϕ(t nk, p) q. Assim, pela definição de conjunto ω limite, q ω(p). Portanto, ω(p). 11

14 b) Seja q ω(p). Definimos q 1 = ϕ(, q), com R. Como q ω(p), existe {t n } tal que t n + e ϕ(t n, p) q, quando n +. Pela continuidade da ϕ, lim ϕ(t n +, p) = n + lim ϕ(, ϕ(t n, p)) = ϕ(, lim ϕ(t n, p)) = ϕ(, q) = q 1. n + n + Definimos a sequência {s n } = {t n + } e daí, quando n +, Portanto, q 1 ω(p). Veja a figura abaixo. s n + e ϕ(s n, p) q 1. c) Pela definição de conjunto ω limite e fecho de um conjunto, observamos que ω(p) γ + (p). Como K é compacto temos γ + (p) K e daí, ω(p) K. Logo, ω(p) é limitado e basta mostrarmos que ω(p) é fechado. Seja q o limite de uma sequência de pontos {q n } com q n q e q n ω(p). Queremos mostrar que q ω(p). Para cada q n, existe uma sequência {t mn } tal que t mn + e ϕ(t mn, p) q n, quando m +. Tomamos, para cada sequência {t mn }, um ponto t m > n que satisfaz d(ϕ(t m, p), q n ) < 1 n. Desta forma, d(ϕ(t m, p), q) d(ϕ(t m, p), q n ) + d(q n, q) < 1 n + d(q n, q). Assim, quando n +, tiramos que d(ϕ(t m, p), q) 0. Logo, ϕ(t m, p) q e, daí, q ω(p). Portanto, ω(p) é fechado. d) Suponhamos, por absurdo, que ω(p) não é conexo. Logo, ω(p) = A B onde A e B são abertos, disjuntos e não vazios. Consideramos a A e b B. Assim, Desta maneira, obtemos uma sequência {t n }; t n + e ϕ(t n, p) a e {s n }; s n + e ϕ(s n, p) b. 0 < t 1 < s 1 < t 2 < s 2 <... t n < s n < t n+1 <... tal que ϕ(t n, p) a e ϕ(s n, p) b. Para cada n N, existe u n (t n, s n ) tal que ϕ(u n, p) / A B. Como t n + e s n +, tiramos que u n +. Observamos que existe ponto de acumulação de ϕ(u n, p), pois ϕ(u n, p) K e K é compacto. Logo, seja r um ponto de acumulação de ϕ(u n, p). Daí, r ω(p). Por outro lado, r / A B pois como A e B são abertos, tiramos que (A B) c é fechado. Assim, ϕ(u n, p) (A B) c e r (A B) c, isto é, r / A B. Absurdo, pois ω(p) = A B. 12

15 Lema Consideramos um campo X : R 2 de classe C k, com k 1 e R 2 aberto. Sejam Σ uma seção transversal ao campo X e γ q = {ϕ(t, q) : t 0} a trajetória de X por q. Consideramos p Σ ω(γ q ). Então, existe uma sequência {t n }, com t n +, tal que p é o limite de uma sequência de pontos ϕ(t n ) Σ. Demonstração Consideramos uma vizinhança V de p e a aplicação τ : V R ρ τ(ρ) tal que ϕ(τ(ρ), ρ) Σ. O valor τ(p) é o tempo que a trajetória por p leva para interceptar Σ. Como p ω(γ q ), existe uma sequência { t n } tal que t n + e ϕ( t n, q) p quando n +. Pela definição de convergência, existe n 0 N tal que, para todo n n 0, ϕ( t n, q) V. Definimos para todo n n 0, t n = t n + τ(ϕ( t n, q)). Assim, ϕ(t n, q) = ϕ( t n + τ(ϕ( t n, q)), q) = ϕ(τ(ϕ( t n, q)), ϕ( t n, q)). Pela definição de τ, segue que ϕ(t n, q) Σ. Pela dependência das soluções com relação às condições iniciais, tiramos que a aplicação τ é contínua e daí, e daí, ϕ( t n, q) p e τ(ϕ( t n, q)) τ(p) = 0 lim ϕ(t n, q) = lim ϕ(τ(ϕ( t n, q)), ϕ( t n, q)) = ϕ(0, p) = p. n + n + Portanto, p é o limite de uma sequência de pontos de Σ. Veja a figura a seguir. Lema Seja X : R 2 um campo de classe C k, com k 1 e R 2. Consideramos Σ uma seção transversal a X e γ uma trajetória de X. Seja p Σ γ. Então, γ p + intercepta Σ em uma sequência monótona de pontos. Demonstração Consideramos o conjunto D = {t R + ; ϕ(t, p) Σ}. Do Teorema do Fluxo Tubular segue que D é um conjunto discreto. Logo, ordenamos o conjunto D da seguinte forma D = {0 < t 1 < t 2 <... < t n <...}. 13

16 Definimos p 1 = p e p 2 = ϕ(t 1, p). Por indução, definimos p n = ϕ(t n 1, p). Orientamos a seção Σ e pelo Teorema do Fluxo Tubular, as trajetórias de X cruzam a seção Σ sempre no mesmo sentido. Veja a figura abaixo. Se p 1 = p 2, tiramos que p 2 = p = ϕ(t 1, p) e daí, Seguimos desta forma e assim p 3 = ϕ(t 2, p) = ϕ(t 2, ϕ(t 1, p)) = ϕ(t 2 + t 1, p). p n = ϕ(t n 1 + t 1, p), ou seja, γ é uma trajetória periódica de período τ = t 1 e, para todo n N, obtemos que p = p n. Agora, suponhamos que p 1 p 2. Sem perda de generalidade, tomamos p 1 < p 2. Assim, consideramos a curva formada pela união do p 1 p 2 Σ com o arco p 1 p 2 = {ϕ(t, p); 0 t t 1 }. Veja a figura a seguir. Particularmente, a trajetória γ a partir de p 2 não intercepta o arco p 1 p 2 diante à unicidade das trajetórias e não intercepta p 1 p 2 pois contraria o Teorema do Fluxo Tubular. Veja a figura abaixo. Desta forma, obtemos que p 1 < p 2 < p 3. Assim, procedemos com o raciocínio e obtemos a sequência crescente p 1 < p 2 < p 3 <... < p n <.... Portanto, {p n } é uma sequência monótona. Veja a figura a seguir. 14

17 Lema Consideramos um campo vetorial X : R 2, com R 2 aberto. Sejam Σ uma seção transversal a X e p. Então, ω(p) intercepta Σ em no máximo um ponto. Demonstração Pelo Lema 2.18, o conjunto de pontos de γ p + Σ tem no máximo um ponto limite, pois tais pontos formam uma sequência monótona. Logo, pelo Lema 2.17, {t n }; t n + e ϕ(t n, p) q onde q é o ponto limite. Portanto, q é único e daí, Σ intercepta ω(p) no máximo em um ponto. Lema Sejam X : R 2, com R 2 aberto, um campo vetorial e p. Suponhamos que γ + p está contida num compacto. Tomamos γ uma trajetória qualquer de X tal que γ ω(p). Se ω(γ) contém pontos regulares, então γ é uma trajetória periódica. Além disso, γ = ω(p). Demonstração Consideramos q ω(γ) um ponto regular. Sejam V a vizinhança de q tomada no Lema 2.17 e Σ q a seção transversal correspondente. Pelo Lema 2.17, existe {t n } tal que γ(t n ) Σ q. Pelo Lema 2.19 e como γ(t n ) ω(p), a sequência {γ(t n )} reduz-se a um ponto. Portanto, γ é uma trajetória periódica. Agora, consideramos um ponto p γ. Sejam V p uma vizinhança de p como no Lema 2.17 e Σ p a seção transversal correspondente. A seguir, mostramos que V p γ = V p ω(p). Seja q V p γ. Daí, q V p e q γ, e como γ ω(p), temos q ω(p). Assim, q V p ω(p), ou seja, V p γ V p ω(p). Agora, suponhamos por absurdo que q V p ω(p) e q / γ. Como ω(p) é invariante pelo fluxo, existe t R tal que ϕ(t, q) ω(p) Σ p e ϕ(t, q) p. Logo, ϕ(t, q) e p são dois pontos distintos de ω(p) em Σ p e pelo Lema 2.19 isso é um absurdo. Portanto, V p γ = V p ω(p). Por hipótese, γ ω(p). Como ω(p) é conexo, todo subconjunto de ω(p) que é aberto e fechado ao mesmo tempo é o vazio ou o próprio ω(p). Como γ é fechado e não vazio, basta mostrarmos que γ é aberto em ω(p). Tomamos o conjunto U = V p, p γ. Como γ U, obtemos U ω(p) = U γ = γ. Como U é aberto, concluímos que γ é aberto em ω(p). Portanto, y = ω(p). 15

18 Agora estamos aptos a demonstrar o Teorema de Poincaré - Bendixson. Teorema 2.21 (Teorema de Poincaré-Bendixson). Sejam X : R 2, com R 2 aberto, um campo vetorial de classe C k, com k 1 e p. Tomamos ϕ(t, p) a trajetória de X pelo ponto p e suponhamos que γ p + K, onde K é um conjunto compacto. Suponhamos que ω(p) tem um número finito de pontos de equilíbrio. Assim, a) Se ω(p) tem somente pontos regulares, então ω(p) é uma trajetória periódica; b) Se ω(p) tem pontos regulares e pontos de equilíbrio, então ω(p) é um conjunto de trajetórias, onde cada uma delas tende a um dos pontos de equilíbrio; 16

19 c) Se ω(p) não tem pontos regulares, então ω(p) é um ponto de equilíbro. Demonstração a) Tomamos um ponto q ω(p). Pelo Teorema 2.16, temos γ q ω(p) e, como ω(p) é compacto, segue que ω(γ q ). Além disso, temos que ω(γ q ) ω(p). Logo, pelo Lema 2.20, concluímos que ω(p) é uma trajetória periódica e ω(p) = γ q ; b) Seja q ω(p) e suponhamos que q não é um ponto de equilíbrio. Pelo Teorema 2.16 temos γ q ω(p). Se γ q é uma trajetória periódica, então ω(γ q ) = γ q. Logo, ω(γ q ) contém somente pontos regulares e pelo Lema 2.20 segue que γ q = ω(p), ou seja, ω(p) só tem pontos regulares. Absurdo, pois ω(p) contém pontos regulares e pontos de equilíbrio. Assim, γ q não é uma trajetória periódica e portanto, pelo Lema 2.20 obtemos que α(γ q ) e ω(γ q ) são pontos singulares do campo X; c) Como ω(p) tem um número finito de pontos de equilíbrio e ω(p) é conexo, concluímos que ω(p) é um ponto de equilíbrio. A Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias visa a descrição da configuração global das soluções e o efeito de pequenas pertubações das condições iniciais. O estudo da estabilidade de um sistema teve sua origem em questões de Mecânica Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma pequena perturbação na posição e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma trajetória que o afasta ou converge para a trajetória original. O problema geral de estabilidade foi estudado por Liapounov e Poincaré. A seguir, estudamos o conceito de estabilidade segundo Liapounov. Consideramos a equação (2) e as trajetórias ϕ(t) e ψ(t) de (2) definidas para todo t 0. Definição Dizemos que ϕ(t) é estável se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo t 0. ψ(0) ϕ(0) < δ ψ(t) ϕ(t) < ε, Geometricamente, a estabilidade nos diz que dado ε > 0, existe uma bola aberta B δ (ϕ(0)) com ψ(0) B δ (ϕ(0)) tal que as trajetórias ϕ(t) e ψ(t) permanecem próximas para todo t 0. 17

20 Definição Dizemos que ϕ(t) é assintoticamente estável se ϕ(t) é estável e além disso, para todo ε > 0, existe δ 1 > 0 tal que quando t +. ψ(0) ϕ(0) < δ 1 ψ(t) ϕ(t) 0 Geometricamente, uma trajetória é assintoticamente estável se, dado ε > 0, existe uma bola aberta B δ1 (ϕ(0)) que contém ψ(0) e a distância entre as trajetórias ϕ(t) e ψ(t) tende a 0 quando t +. Agora, consideramos o sistema autônomo onde X : R n é uma aplicação contínua, com R n aberto. x = X(x) (11) Definição Seja x 0 um ponto de equilíbrio de (11). Se para toda vizinhança U de x 0 existe outra vizinhança U 1 de x 0 onde toda órbita ϕ(t) de (11), com ϕ(0) U 1, pertence a U para todo t 0, então dizemos que x 0 é estável. Se, além disso, ϕ(t) x 0 0 quando t +, então dizemos que x 0 é assintoticamente estável. Dizemos que x 0 é instável quando não é estável. 18

21 Exemplo Consideramos o pêndulo simples. Escolhemos a extremidade fixa da haste, ou seja, o ponto de suspensão do pêndulo, como origem de um sistema cartesiano, com eixo y apontando verticalmente para cima. As coordenadas (x, y) da massa estão relacionadas uma à outra pela relação x 2 + y 2 = L 2. Por convenção, φ > 0 0 quando a massa se encontra à direita do eixo y e φ < 0 quando a massa se encontra à esquerda. Daí, x = L sen φ e y = L cos φ. Derivando, temos x = Lφ cos φ, x = L[φ cos φ (φ ) 2 sen φ], y = Lφ sen φ, y = L[φ sen φ + (φ ) 2 cos φ]. Podemos decompor em componentes nas direções dos eixos coordenados as forças peso P = m g e a tração T agindo sobre massa. Assim, P x = 0, P y = mg, T x = T sen φ e T y = T cos φ. Pela segunda lei de Newton temos F = m a = m(x i + y j ). Logo, mx = T sen φ e my = mg + T cos φ. Desta forma, mx sen φ = T = my + mg mx cos φ = m(y + g) sen φ cos φ L cos φ[φ cos φ (φ ) 2 sen φ] = L sen φ[φ sen φ + (φ ) 2 cos φ] g sen φ φ (t) + g sen φ = 0. L Portanto, a equação que governa o movimento do pêndulo é dada por φ (t) + g l sen φ(t) = 0, 19

22 que é equivalente ao sistema [ φ ω ] [ = ω g l sen φ ]. Assim, as soluções obedecem o seguinte comportamento 20

23 3 Uma Breve Introdução aos Sistemas Dinâmicos Caóticos O estudo de Sistemas Dinâmicos Discretos é baseado em iteração de funções, aliado a alguns conhecimentos de Cálculo Diferencial e Espaços Métricos, obtendo objetos como: a órbita de um ponto, pontos fixos e periódicos. Nesta seção abordaremos um pouco do Caos de Devaney, mas para isso trabalharemos com o sistema dinâmico discreto e o nosso principal alvo será o estudo da família quadrática Q c (x) = x 2 + c onde c é um parâmetro real. Veremos para qual valor de c que temos o início do caos, porém antes disso abordaremos definições necessária para o compreendimento do nosso estudo. Definição 3.1. (Iteração) Seja X um conjunto e f : X X uma função. Definimos a Iterada de f em x 0 X por: f 0 (x 0 ) = x 0, f 1 (x 0 ) = f(x 0 ), f 2 (x 0 ) = f f(x 0 ) = f(f(x 0 )),..., f n (x 0 ) = f f n 1 (x 0 ). Definição 3.2. (Ponto Fixo e Ponto Periódico): Dizemos que x 0 é um ponto fixo para a função F se F (x 0 ) = x 0 e dizemos que x 0 é um ponto periódico de período n (ou a órbita de x 0 é um n-ciclo), se F n (x 0 ) = x 0 para algum n > 0 e F i (x 0 ) x 0 para todo i < n. Definição 3.3. (Ponto Fixo e Ponto Periódico): Dizemos que x 0 é um ponto fixo para a função F se F (x 0 ) = x 0 e dizemos que x 0 é um ponto periódico de período n (ou a órbita de x 0 é um n-ciclo), se F n (x 0 ) = x 0 para algum n > 0 e F i (x 0 ) x 0 para todo i < n. 21

24 Definição 3.4. (Órbita): Seja F uma função e x 0 um número real, a órbita de x 0 por F é definida por uma sequência de pontos da seguinte forma, x 0, x 1 = F (x 0 ), x 2 = F 2 (x 0 ),..., x n = F n (x 0 ),..., onde F i (x 0 ) = (F o F o... o F )(x 0 ), i vezes. Notações: α β rel{0, 1} ou α β rel{x 0, x 1 }. A partir dos exemplos a seguir, faremos uma análise gráfica de algumas funções. Exemplo 3.5. Considere a função F (x) = x 3. Neste caso, conseguimos descrever todas as órbitas através da análise gráfica. O gráfico de F nos mostra que existem 3 pontos fixos: 0, 1 e -1 e que, se x 0 < 1, então a órbita de x 0 tende à zero e se x 0 > 1, então a órbita de x 0 tende à ±, como mostra a figura. As seguintes figuras mostram que F (x) = x admite um 2-ciclo, ilustrado pelo quadrado obtido na análise gráfica e que muitas órbitas de F tendem a este ciclo. 22

25 Não podemos entender o comportamento de todas as funções através da análise gráfica. Por exemplo, na figura 3.5 mostramos a análise gráfica da função quadrática F (x) = 4x(1 x). Observe que a órbita de x 0 é muito complicada. Este é um exemplo do comportamento caótico. 4 Três Propriedades de um Sistema Dinâmico Caótico Há muitas definições possíveis para o caos. Na verdade não existe um acordo geral dentro da comunidade científica quanto ao que constitui um sistema dinâmico caótico. Daremos aqui uma definição possível de caos. Porém antes de definir o caos precisamos de uma noção preliminar de topologia sobre conjuntos densos. Mostraremos que há muitos sistemas dinâmicos que são caóticos e que, apesar disso, podem ser completamente compreendidos. Definição 4.1. (Densidade): Suponha que X seja um conjunto e que Y seja um subconjunto de X. Dizemos que Y é denso em X se, para todo ponto x X, existe y Y arbitrariamente próximo de x. Equivalentemente, Y é denso em X se, para todo x X podemos encontrar uma sequência de pontos {y n } Y que converge para x. Definição 4.2. (Transitividade): Um sistema dinâmico é transitivo se para qualquer par de pontos x e y e ɛ > 0, existe um terceiro ponto z tal que a distância entre x e z é menor do que ɛ e, existe n 0 > 0 tal que, para todo n n 0 a distância entre a órbita de z e a de y é menor do que ɛ. Em outras palavras, um sistema dinâmico transitivo tem a propriedade que, dados dois pontos, podemos encontrar uma órbita que está arbitrariamente próxima de ambos. Claramente um sistema dinâmico que tem uma órbita densa é transitivo, além disso, porém mais complicado de se ver (usa resultados mais avançados de topologia), um sistema dinâmico transitivo tem uma órbita densa. 23

26 Como já vimos que σ possui um ponto com órbita densa, segue que σ é transitivo. A terceira propriedade exibida pela aplicação deslocamento é a dependência sensitiva das condições iniciais. Definição 4.3. (Dependência Sensitiva): Um sistema dinâmico F depende sensitivamente das condições iniciais, se existe β > 0 tal que, para qualquer x e qualquer ɛ > 0, existe y tal que a distância entre x e y é menor do que ɛ e existe k tal que a distância entre F k (x) e F k (y) é de pelo menos β. Nesta definição é importante compreender a ordem dos quantificadores. A definição diz que não importa com qual x começamos e não importa quão pequena é a região que escolhemos ao redor de x, sempre podemos encontrar y nesta região cuja órbita eventualmente se separa da órbita de x por pelo menos β unidades de distância. Além disso, a distância β não depende de x. Como consequência, para cada x existem pontos arbitrariamente próximos de x cujas órbitas estão eventualmente longes das órbitas de x. Observações 4.4. A definição de dependência sensitiva não exige que a órbita de y esteja longe da de x para todas as iterações. Só precisamos que um ponto da órbita de y esteja longe da iterada correspondente de x. Observações 4.5. A definição de dependência sensitiva não exige que a órbita de y esteja longe da de x para todas as iterações. Só precisamos que um ponto da órbita de y esteja longe da iterada correspondente de x. Existem outras definições possíveis para dependência sensitiva. Por exemplo, uma definição comum exige que certas órbitas próximas divirjam exponencialmente. Isto é, as vezes, é necessário que a distância entre F k (x) e F k (y) cresça como cµ k, para algum µ > 1 e c > 0. Há três propriedades que são ingredientes básicos para um sistema dinâmico caótico. Definição 4.6. Um sistema dinâmico F é caótico se: (1) Os pontos periódicos de F são densos; (2) F é transitiva; (3) F depende sensitivamente das condições iniciais. Assim, já provamos o seguinte teorema. Teorema 4.7. Se F : X X é transitiva e tem pontos periódicos densos então F depende sensitivamente das condições iniciais. Demonstração: Suponha que F : X X seja transitiva e tenha pontos periódicos densos. Primeiro observe que existe um número δ 0 > 0 tal que para todo x X existe um ponto periódico q X cuja órbita O(q) tem distância de pelo menos δ 0 de x. 2 Na verdade, escolha dois pontos periódicos arbitrários q 1 e q 2 com órbitas O(q 1 ) e O(q 2 ) disjuntas. Seja δ 0 a distância entre O(q 1 ) e O(q 2 ). Em seguida, pela desigualdade triangular, cada ponto x X tem distância de pelo menos δ 0 de uma 2 das duas órbitas periódicas dadas anteriormente. Vamos mostrar que F tem dependência sensitiva das condições iniciais com constante de sensitividade igual a β = δ 0 8. Seja x um ponto arbitrário de X e seja N uma vizinhança de x. Como os pontos periódicos de F são densos, existe um ponto p periódico na intersecção U = N B β (x), de N com a bola B β (x) de raio β e centro em x. Seja n o período de p. 24

27 Como vimos anteriormente, existe um ponto periódico q X cuja distância da órbita O(q) a x é de pelo menos 4β = 4 δ 0 8 = δ 0 2. Seja V = n F i (B β (f i (q))). i=0 Claramente V é aberto, pois F é contínua, e não vazio pois q V. Como F é transitivo existe y U e um número natural k tal que F k (y) V. k Agora, seja j a parte inteira de n + 1. Então Por construção, temos k n < j k + 1 k < nj k + n 0 < nj k n 1 nj k n. n F nj (y) = F nj k (F k (y)) F nj k (V ) B β (F nj (q)). Agora, F nj (p) = p, pois p é um ponto periódico de período n, e assim, pela desigualdade triangular d(f nj (p), f nj (y)) = d(p, f nj (y)) d(x, f nj k (q)) d(f nj k (q), f nj (y)) d(p, x) onde d é a métrica em X. Consequentemente, como p B β (x) e F nj (y) B β (F nj k (q)), temos ou d(f nj (p), f nj (y)) < 4β β β = 2β. Assim, usando a desigualdade triangular novamente, d(f nj (x), f nj (y)) > β d(f nj (x), F nj (p)) > β Em ambos os casos temos um ponto em N cuja nj-ésima iterada tem uma distancia maior que β de F nj (x). Isso completa a demonstração. Note que, existe um intervalo aberto em I, contendo o zero que é levado para fora de I por Q c. Em particular, a órbita de qualquer ponto deste intervalo escapa de I e tende para o infinito. Chamaremos este intervalo de A 1. Assim, A 1 é o conjunto dos pontos que escapam de I depois de apenas uma iteração de Q c. No intervalo I há um subintervalo A 1 que consiste de todos os pontos que deixam I sob uma iteração de Q c. O conjunto Λ é formado por todos os pontos x I cujas órbitas nunca escapam de I, portanto estão em I A 1. O conjunto I A 1 é formado por dois intervalos fechados que são denotados 25

28 por I 0 e I 1, com I 0 à esquerda de I 1. Tanto I 0 quanto I 1 dependem de c, e para c < 2 estes intervalos são disjuntos e localizados simetricamente em torno do zero. Toda órbita que eventualmente deixa I tende para o infinito. Portanto, para entendermos o comportamento das órbitas de Q c, com c < 2 devemos entender o comportamento das órbitas que nunca escapam de I. Denotaremos este conjunto por Λ, Λ = {x I; Q n c (x) I, n N}. Observações 4.8. Suponha c < 2. Então, o conjunto de pontos Λ cujas órbitas de Q c não tendem para o infinito é um conjunto não vazio, fechado, situado em I que não contém intervalos. Proposição 4.9. (A Proposição da Densidade): Suponha F : X Y uma função contínua e sobrejetora e suponha também que D X é um subconjunto denso. Então, F (D) é denso em Y. Demonstração: Suponha y 0 Y e ɛ > 0. Temos que produzir um ponto z F (D) com distância menor do que ɛ de y 0. Considere a pré-imagem x 0 X de y 0, isto é, F (x 0 ) = y 0. Podemos fazer isto pois F é sobrejetora. Como F é contínua, existe δ > 0 tal que se a distância entre x e x 0 for menor do que δ então a distância entre F (x) e F (x 0 ) é menor do que ɛ. Como D é denso em X, podemos escolher x em D de modo que a distância entre x 0 e x seja menor do que δ. Assim, F ( x) está em F (D) a menos de ɛ unidades de distância de y 0. Então, definimos z = F ( x). Como ɛ e y 0 são arbitrários segue o requerido. Teorema Suponha c < Então o mapa quadrático Q c (x) = x 2 +c é caótico no conjunto 4 Λ. Demonstração: Como o itinerário S : Λ Σ é uma conjugação segue que S?1 : Σ Λ é um homeomorfismo. Portanto, a proposição da densidade garante que o conjunto dos pontos periódicos de Q c é denso em Λ uma vez que S 1 leva os pontos periódicos de σ nos pontos periódicos de Q c. Além disso, se ŝ é uma órbita densa de σ então a proposição da densidade também garante que a órbita de S 1 (ŝ) é uma órbita densa de Q c. Assim, para provar que Q c é caótica, basta mostrar a dependência sensitiva. Para isso, precisamos encontrar um β > 0. Escolha um β que seja maior do que a distância mínima entre I 0 e I 1. Afirmação: Quaisquer duas Q c -órbitas são eventualmente separadas por pelo menos β unidades de distância. Para verificar este fato, considere x, y Λ com x y. Como S é um homeomorfismo, S(x) S(y). Como consequência, essas duas sequências diferem em alguma entrada, digamos que no k-ésimo termo. Isto significa que F k (x) e F k (y) estão cada uma em um intervalo I j diferente, com j = 0 ou 1. Por isso a distância entre F k (x) e F k (y) é de pelo menos β. Dessa forma, qualquer órbita perto de x é eventualmente separada da órbita de x por uma distância de pelo menos β. Portanto, provamos que existe S 1 (ŝ) em Λ tal que a órbita de S 1 (ŝ) é densa, ou seja, provamos que Q c é transitiva. Já mostramos que o mapa quadrático Q c é caótico no conjunto Λ quando c é suficientemente pequeno. Nosso Nosso objetivo agora é verificar que Q 2 (x) = x 2 2 é caótica no intervalo [ 2, 2]. Em vez de lidar diretamente com a função x 2 2 vamos considerar um sistema dinâmico mais simples que acaba sendo equivalente a esta aplicação. Considere a função V (x) = 2 x 2. O gráfico de V é mostrado na figura Note que este gráfico leva o intervalo [ 2, 2] nele mesmo, da mesma forma que Q 2 faz. A análise gráfica mostra que se x > 2 a órbita de x por V tende para o infinito como acontece com Q 2. 26

29 Figura 1: Gráfico de V (x) = 2 x 2. Para computar iteradas superiores de V, primeiro fazemos uso da definição de valor absoluto para escrever: { V 2 4 x 6 se 4 x 4 0 x 1 (x) = 2 2 x 2 2 = 4 x 4 2 = 4 x + 2 se 4 x 4 < 0 x < 1. Por sua vez, isso pode ser decomposto em 4x 6 se x 1 V 2 4x + 2 se 0 x 1 (x) = 4x + 2 se 1 x 0 4x 6 se x 1 Figura 2: Gráficos de V 2 e V 3. A figura 11.2 mostra os gráficos de V 2 e V 3. Note que o gráfico de V 2 é composto por quatro partes lineares, cada um com inclinação ±4 e o gráfico de V 3 é composto por oito partes lineares, cada uma com inclinação ±8. Em geral, o gráfico de V n é formado por 2 n partes lineares, onde cada parte tem inclinação de ±2 n 1. Cada uma dessas porções lineares do gráfico é definida em um intervalo de comprimento 2 n 2. Este fato nos mostra, imediatamente, que V é caótica em [ 2, 2]. Para ver isso, considere um subintervalo J em [ 2, 2]. A partir da observação acima podemos sempre encontrar um subintervalo de J de 1 comprimento 2 n 2 em que o gráfico de V n se estende de -2 a 2, veja figura Em particular, V n tem um ponto fixo em J, então isso prova que os pontos periódicos são densos em [ 2, 2]. Além disso, as imagens de J abrangem todo o intervalo [ 2, 2], então V é transitiva. Finalmente, para qualquer x J, 27

30 Figura 3: O gráfico de V n em J se estende sobre todo o intervalo [-2,2]. Figura 4: C(x) = 2 cos ( πx ) leva o intervalo [-2,2] nele mesmo. 2 Figura 5: Diagrama entre as funções C e V. existe y J tal que V n (x) V n (y) 2. Assim, podemos escolher β = 2 e temos a dependência sensitiva de V. ( πx ) Usaremos este fato para provar que Q 2 também é caótica. Considere a função C(x) = 2 cos. 2 Essa função mapeia o intervalo [ 2, 2] sobre ele mesmo como mostra a figura Todos os pontos em [ 2, 2] tem exatamente duas pré-imagens, com exceção do -2 que tem apenas uma. Agora suponha que nós aplicamos C para x e V (x). O resultado é o diagrama apresentado na figura Qual a aplicação F que completa o diagrama? Ou seja, qual função realiza o seguinte: ( πx ) 2 cos 2 cos(π x π). 2 Usando relações trigonométricas, temos: ( ) 2πx 2 cos(π x π) = 2 cos(π x ) = 2 cos(πx) = 2 cos 2 ( πx = 2 cos 2 + πx ) = 2 28

31 ( ( = 2 cos 2 πx ) ( sin 2 πx )) = 2 cos 2 πx πx πx 2 + 2cos2 = 4 cos = ( = 2 cos πx ) 2 ( 2 = 2 cos πx ) Portanto F é a função que satisfaz: fazendo u = 2 cos F ( 2 cos ( πx )) ( = 2 cos 2 ( πx ) temos os seguinte diagrama comutativo 2 ( πx )) 2 2, 2 Figura 6: Diagrama comutativo entre as funções V, C e Q 2 Parece que C é uma conjugação de V e Q 2. No entanto C não é um homeomorfismo pois C não é injetora. Mas, o diagrama mostra que C leva órbitas de V em órbitas de Q 2. Como C é no máximo dois-para-um segue que leva ciclos em ciclos, contudo, não é necessariamente verdade que C preserva o período dos ciclos. No entanto, como C é contínua e sobrejetora, a proposição da densidade nos diz que Q 2 possui pontos periódicos que são densos, assim como órbitas densas e portanto Q 2 é transitiva. Finalmente, como n pode ser escolhido de modo que aplica o intervalo V n, arbitrariamente pequeno, em todo o intervalo [ 2, 2] o mesmo é verdadeiro para Q 2. Isto prova a dependência sensitiva de Q 2 e o seguinte teorema. Teorema A função Q 2 (x) = x 2 2 é caótica no intervalo [ 2, 2]. 29

32 Referências [1] Chicone, C.. Ordinary Differential Equations with Applecations, Springer, Missouri, second edition, [2] Devaney, R.L., A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment, Addilson- Wesley, California, [3] Doering Doering, C I.; Lopes, A O. Equações Diferenciais Ordinárias, IMPA, Rio de Janeiro, third edition, [4] Hirsch, M. W.; Smale, S.; Devaney, R. L. Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos, Elsevier Academic Press, USA, second edition, [5] Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems. Texts is Applied Mathematics 7, Springer- Verlag, New York, second edition, [6] H. Poincaré, Les Mèthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, 3 Vols., Gauthier-Villars, Paris, , reprinted by Dover, New York, [7] J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro,