Cálculos Estatísticos

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1 Cálculos Estatísticos A palavra estatística, de origem latina, significou por muito tempo ciência dos negócios do Estado. Os que governavam, sentindo necessidade de informações, organizavam departamentos que tinham a responsabilidade de fazer essas investigações. As sociedades modernas acumulam grande quantidade de dados numéricos relativos a eventos sociais, econômicos, científicos, esportivos etc. Desse modo notamos que o uso da pesquisa é bastante comum nas várias atividades humanas. Exemplos: 1º) O índice de analfabetismo no Brasil. 2º) A mortalidade infantil no Nordeste brasileiro. 3º) A porcentagem de crianças vacinadas na última campanha de vacinação. 4º) A pesquisa realizada pelas indústrias, entre os consumidores, para o lançamento de um novo produto. 5º) As pesquisas eleitorais, fornecendo elementos para que os candidatos direcionem suas campanhas. 6º) As pesquisas utilizadas pelas emissoras de TV, mostrando a preferência dos espectadores, para organizar sua programação. A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas como: a escolha da amostra, a coleta e a organização dos dados, o resumo e a apresentação desses dados, e também a interpretação dos resultados para a obtenção de conclusões e tomada de decisões razoáveis. Todas essas etapas são trabalhadas com métodos científicos pela Estatística. O tratamento estatístico de um conjunto de dados pode envolver dois processos distintos, isto é, a descrição dos dados e o estabelecimento de conclusões sobre a população a partir dos dados obtidos por amostragem. Para tanto, temos: Estatística Descritiva: utiliza métodos numéricos e gráficos para mostrar os padrões de comportamento dos dados, para resumir a informação contida nesses dados e para apresentar a informação de forma conveniente. Inferência Estatística: utiliza dados de amostras para obter estimativas sobre a população. Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 1/16

2 ARREDONDAMENTO DE DADOS De acordo com a Fundação IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o arredondamento é feito da seguinte forma: a) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3, ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer. Exemplo: aproximação de uma casa decimal: 53,24 passa a 53,2. b) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. Exemplos: aproximação de uma casa decimal: 42,87 passa a 42,9 25,08 passa a 25,1 53,99 passa a 54,0 c) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer. Exemplos: aproximação de uma casa decimal: 2,352 passa a 2,4 25,6501 passa a 25,7 76,25002 passa a 76,3 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Exemplos: aproximação de uma casa decimal: 24,75 passa a 24,8 24,65 passa a 24,6 24,75000 passa a 24,8 24,6500 passa a 24,6 Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 2/16

3 POPULAÇÃO E AMOSTRA População: é o conjunto de todos os elementos envolvidos no fenômeno a ser estudado. Amostra: é o conjunto de elementos retirados da população para a realização do estudo. É, portanto, um subconjunto da população. Exemplos: Paulo. 1º) Queremos obter informações sobre a audiência de certo programa de TV, na Grande São População: é o conjunto de todos os domicílios da Grande São Paulo que possuem TV. Amostra: é o conjunto dos domicílios que serão visitados. 2º) Estudar a procedência dos candidatos a uma certa universidade. População: conjunto de todos os candidatos à referida universidade. Amostra: conjunto dos candidatos que serão entrevistados. 3º) Queremos fazer um estudo sobre a idade dos alunos do curso de Publicidade e Propaganda de uma determinada universidade. População: todos os alunos do curso de Publicidade e Propaganda. Amostra: uma classe do primeiro ano do curso de Publicidade e Propaganda. Quando são obtidos dados de toda uma população, dizemos que foi feito um recenseamento, e a este conjunto de dados damos o nome de censo. Quando os dados são obtidos de parte da população, foi feita uma amostragem. A Escolha da Amostra Os métodos de escolha da amostra devem garantir a representatividade do grupo. É necessário escolher, no mínimo, 10% do número total dos elementos da população e garantir por meio de um critério de seleção, que nenhum elemento tenha maior chance de ser escolhido do que outro. Desse modo, podemos recorrer a diferentes formas de amostragem: amostragem aleatória simples, amostragem sistemática e amostragem estratificada proporcional. Vejamos o procedimento através de dois exemplos. Exemplo 1: Suponhamos uma pesquisa sobre o nível de escolaridade de um grupo de Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 3/16

4 oitocentas pessoas. Vamos escolher uma amostra com no mínimo oitenta pessoas (10% de 800), selecionadas através de: a) Amostragem Aleatória Simples: em primeiro lugar, elaboramos uma lista com os oitocentos nomes dos elementos da população numerados de 1 a 800, para serem submetidos a um sorteio. Bolas ou cartões, também numerados de 1 a 800, são colocados em uma urna e bem misturados. Em cada etapa do sorteio, todo número ainda não escolhido tem a mesma probabilidade de ser sorteado. Esse processo não é muito prático para grandes populações, quando podemos então trabalhar com uma numeração de 0 a 9, sorteando os números por meio de blocos de três algarismos e tomando o cuidado de repor na urna todo algarismo dela retirado. Como temos dez algarismos, cada um deles tem 1/10 de probabilidade de aparecer em determinada posição. Sempre que um bloco de algarismos indicar um elemento já selecionado, ou um elemento que não exista na população, será descartado. Suponhamos que os seguintes algarismos foram obtidos no sorteio: Agrupando-os em blocos de três, teremos os números: Observem que devemos descartar 811, 891 e 819, porque não pertencem à população, e 643 porque já foi selecionado. Continuamos o sorteio, até completarmos os 80 elementos da amostra. b) Amostragem Sistemática: sorteamos um número de 1 a 10, ao acaso. Supondo que tenha sido obtido o número 6, ele será o primeiro elemento da amostra e os demais serão determinados em intervalos de dez unidades. Nossa amostra, então, será: Este tipo de amostragem é simples de ser realizado e, aconselhável no caso de amostras muito grandes. Exemplo 2: Na escola Sapequinha, quer fazer-se um estudo sobre o peso dos alunos de 7 anos de Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 4/16

5 idade. Existem 120 crianças na faixa de 7 anos de idade distribuídas em cinco classes, do seguinte modo: a primeira série A tem 20 alunos com 7 anos, a primeira B tem 15, a C tem 35, a D, 30 e a E tem 20. Vamos escolher uma amostra com no mínimo 12 crianças (10% de 120), selecionadas através de: c) Amostragem Estratificada Proporcional: sorteamos os nomes das crianças em quantidades proporcionais ao número de crianças com 7 anos de cada classe, que constituem os estratos da amostra. Vamos agora determinar a porcentagem de crianças com 7 anos, em cada classe, em relação à população (120 crianças). A:16,7% B: b 12,5% % % 20 a 15 b De modo análogo, determinamos as porcentagens para as classes C, D e E, obtendo: C: c = 29,2% D: d = 25% E: e = 16,7% Para calcularmos quantas crianças de cada classe serão sorteadas, para uma amostra de 12 crianças, fazemos: A: 16,7% de 12 = 0, = 2,004 = 2 B: 12,5% de 12 = 0, = 1,5 = 2 C: 29,2% de 12 = 0, = 3,504 = 3 (neste caso, arredondamos para 3, ao invés de 4, porque o total de crianças da amostra é 12). D: 25% de 12 = 0, = 3 E: 16,7% de 12 = 0, = 2,004 = 2 Deste modo, obtivemos a quantidade de elementos de cada estrato e o total da amostra. ORGANIZAÇÃO DE DADOS Dado um conjunto de dados, vamos estudar como devemos tratar os valores, numéricos ou não, a fim de extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse. Suponhamos, por exemplo, que um questionário foi aplicado a alunos do 1º ano de uma escola fornecendo as seguintes informações: Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 5/16

6 Id: identificação do aluno Turma: A ou B Sexo: feminino (F) ou masculino (M) Idade: em anos Alt: altura em metros Peso: em quilogramas Filhos: nº de filhos na família Fuma: hábito de fumar: sim (S) ou não (N) Toler: tolerância ao cigarro: (I) indiferente; (P) incomoda pouco; (M) incomoda muito Exerc.: horas de atividade física, por semana Cine: nº. de vezes que vai ao cinema por semana Op Cine: opinião a respeito das salas de cinema na cidade: (B) regular a boa; (M) muito boa TV: horas gastas assistindo TV, por semana Op TV: opinião a respeito da qualidade da programação na TV: (R) ruim; (M) média; (B) boa; (N) não sabe. O conjunto de informações, após a tabulação do questionário ou pesquisa de campo, é denominado de tabela de dados brutos e contém os dados da maneira que foram coletados inicialmente. Cada uma das características perguntadas aos alunos, tais como o peso, a idade, a altura, etc. é denominada de variável e, como podemos observar, tem naturezas diferentes quanto aos possíveis valores que podem assumir. Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 6/16

7 TIPOS DE VARIÁVEIS Existem dois tipos de variáveis: quantitativas (variáveis numéricas) e qualitativas (variáveis não numéricas). Variáveis Qualitativas Seus valores representam uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado. Exemplos: sexo, turma, estado civil, grau de instrução, hábito de fumar etc. Dentre as variáveis qualitativas, ainda existem dois tipos: Variável Qualitativa Nominal Não existe ordenação em seus possíveis resultados. Exemplos: sexo, turma, hábito de fumar. Variável Qualitativa Ordinal Existe uma certa ordem em seus possíveis resultados. Exemplos: tamanho (P, M, G); classe social (baixa, média, alta); grau de instrução (1º grau, 2º grau, grau superior); estado civil. Variáveis Quantitativas Seus valores são numéricos resultantes de uma contagem ou mensuração. Exemplos: número de filhos, salário, peso, altura etc.. Dentre as variáveis quantitativas ainda existem dois tipos: Variáveis Quantitativas Discretas Seus possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números que resultam frequentemente de uma contagem. Exemplos: número de filhos, idade (em anos), cine (número de vezes que vai ao cinema por semana). Variáveis Quantitativas Contínuas mensuração. Seus possíveis valores formam um intervalo de números reais que resultam normalmente de uma Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 7/16

8 Exemplos: peso, altura, salário. ESQUEMA Figura 1.: Classificação de uma Variável Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 8/16

9 Id Turma Sex o INFORMACOES DE QUESTIONARIO ESTUDANTIL Idade Alt Peso Filho Fuma Toler Exerc Cine OpCine TV OpTV 1 A F 17 1,60 60,5 2 Não P 0 1 B 16 R 2 A F 18 1,69 55,0 1 Não M 0 1 B 7 R 3 A M 18 1,85 72,8 2 Não P 5 2 M 15 R 4 A M 25 1,85 80,9 2 Não P 5 2 B 20 R 5 A F 19 1,58 55,0 1 Não M 2 2 B 5 R 6 A M 19 1,76 60,0 3 Não M 2 1 B 2 R 7 A F 20 1,60 58,0 1 Não P 3 1 B 7 R 8 A F 18 1,64 47,0 1 Sim I 2 2 M 10 R 9 A F 18 1,62 57,8 3 Não M 3 3 M 12 R 10 A F 17 1,64 58,0 2 Não M 2 2 M 10 R 11 A F 18 1,72 70,0 1 Sim I 10 2 B 8 N 12 A F 18 1,66 54,0 3 Não M 0 2 B 0 R 13 A F 21 1,70 58,0 2 Não M 6 1 M 30 R 14 A M 19 1,78 68,5 1 Sim I 5 1 M 2 N 15 A F 18 1,65 63,5 1 Não I 4 1 B 10 R 16 A F 19 1,63 47,4 3 Não P 0 1 B 18 R 17 A F 17 1,82 66,0 1 Não P 3 1 B 10 N 18 A M 18 1,80 85,2 2 Não P 3 4 B 10 R 19 A F 20 1,60 54,5 1 Não P 3 2 B 5 R 20 A F 18 1,68 52,5 3 Não M 7 2 B 14 M 21 A F 21 1,70 60,0 2 Não P 8 2 B 5 R 22 A F 18 1,65 58,5 1 Não M 0 3 B 5 R 23 A F 18 1,57 49,2 1 Sim I 5 4 B 10 R 24 A F 20 1,55 48,0 1 Sim I 0 1 M 28 R 25 A F 20 1,69 51,6 2 Não P 8 5 M 4 N 26 A F 19 1,54 57,0 2 Não I 6 2 B 5 R 27 B F 23 1,62 63,0 2 Não M 8 2 M 5 R 28 B F 18 1,62 52,0 1 Não P 1 1 M 10 R 29 B F 18 1,57 49,0 2 Não P 3 1 B 12 R 30 B F 25 1,65 59,0 4 Não M 1 2 M 2 R 31 B F 18 1,61 52,0 1 Não P 2 2 M 6 N 32 B M 17 1,71 73,0 1 Não P 1 1 B 20 R 33 B F 17 1,65 56,0 3 Não M 2 1 B 14 R 34 B F 17 1,67 58,0 1 Não M 4 2 B 10 R 35 B M 18 1,73 87,0 1 Não M 7 1 B 25 B 36 B F 18 1,60 47,0 1 Não P 5 1 M 14 R 37 B M 17 1,70 95,0 1 Não P 10 2 M 12 N 38 B M 21 1,85 84,0 1 Sim I 6 4 B 10 R 39 B F 18 1,70 60,0 1 Não P 5 2 B 12 R 40 B M 18 1,73 73,0 1 Não M 4 1 B 2 R 41 B F 17 1,70 55,0 1 Não I 5 4 B 10 B 42 B F 23 1,45 44,0 2 Não M 2 2 B 25 R 43 B M 24 1,76 75,0 2 Não I 7 0 M 14 N 44 B F 18 1,68 55,0 1 Não P 5 1 B 8 R 45 B F 18 1,55 49,0 1 Não M 0 1 M 10 R 46 B F 19 1,70 50,0 7 Não M 0 1 B 8 R 47 B F 19 1,55 54,5 2 Não M 4 3 B 3 R 48 B F 18 1,60 50,0 1 Não P 2 1 B 5 R 49 B M 17 1,80 71,0 1 Não P 7 0 M 14 R 50 B M 18 1,83 86,0 1 Não P 7 0 M 20 B Tabela 1: Informações de questionário estudantil dados brutos Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 9/16

10 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS A partir da tabela de dados brutos (Tabela 1), vamos construir uma nova tabela com as informações resumidas, para cada variável, denominada tabela de frequência, que conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de frequência consiste em listar os valores possíveis da variável, numéricos ou não e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de suas ocorrências. Notação: ni frequência do valor i n frequência total = Σni Para efeito de comparação com outros grupos ou conjuntos de dados, é conveniente trabalharmos com a frequência relativa, definida por fi = ni/n. Exemplos: Tabela de Frequência para a Variável Sexo (extraída da Tabela 1): Sexo: variável qualitativa nominal. Sexo ni fi=ni/n Fi. 100 (%) F 37 0,74 74 M 13 0,26 26 Total n=50 1, Tabela 2: Variável Sexo Note que, para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), incluímos na tabela de frequência uma coluna contendo as frequências acumuladas (fac) (quando o número de valores i for maior do que 2). A frequência acumulada até um certo valor é obtida pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado. Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 10/16

11 Tabela de Frequência para a Variável Toler (extraída da Tabela 1): Toler: variável qualitativa ordinal. Toler ni fac fi=ni/n f i.100 (%) Fac.100 (%) I , P , M , Total n = 50 1, Tabela 3: Variável Toler Tabela de Frequência para a Variável Idade (extraída da Tabela 1): Idade ni fac fi=ni/n fi.100(%) fac(%) , , , , , , , , , Total n = 50 1, Tabela 4: Variável Idade anos. Idade: variável quantitativa discreta. Observe através da fac que 90% dos alunos têm idades até 21 Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 11/16

12 A variável Peso, classificada como quantitativa contínua, apresenta valores que podem ser qualquer número real num certo intervalo. Pela Tabela 1, verificamos que os valores variam entre 44,0 kg e 95,0 kg e como existe um grande número de valores diferentes, vamos construir faixas ou classes de valores e contar o número de ocorrências em cada faixa. Não existe uma regra formal para determinar o número de faixas ou classes a serem utilizadas. Entretanto, deve-se observar que com um pequeno número de classes, perde-se informação, e com um número grande de classes, o objetivo de resumir os dados fica prejudicado. No geral, é conveniente trabalharmos com 5 a 8 faixas de mesma amplitude, devendo ressaltar que faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela. Para a variável Peso, usaremos faixas de amplitude 10 e iniciaremos com 40,0 kg. Tabela de Frequência para a Variável Peso (extraída da Tabela 1): Peso ni fac fi=ni/n fi 100(%) fac (%) Ponto Médio 40,0 50, , ,0 50,0 60, , ,0 60,0 70, , ,0 70,0 80, , ,0 80,0 90, , ,0 90,0 100, , ,0 Total n=50 1, Tabela 5: Variável Peso Peso: variável quantitativa contínua. Observe pela fac que 76% dos alunos pesam menos que 70,0 kg e = 12% têm peso maior ou igual a 80,0 kg. Na Tabela 5 temos 6 faixas ou classes ou intervalos. Consideremos, por exemplo, a 1ª classe intervalo: 40,0 50,0, onde temos: ou Limite inferior (li): 40,0 Limite superior (ls): 50,0 Ponto Médio (PM) = (li + ls)/2 => (40+50)/2 =45 Amplitude ou tamanho do intervalo (h): h = ls li; (h = 50,0 40,0 = 10,0) O símbolo : indica Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 12/16

13 que o intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita (40,0 faz parte dessa classe, mas 50,0 não; 50,0 está na 2ª classe). Na Tabela 1, a variável TV (quantitativa discreta) tem valores inteiros entre 0 e 30 e uma tabela representando tais valores e respectivas frequências seria muito extensa e pouco prática. Por esse motivo, trataremos essa variável como quantitativa contínua, criando, por exemplo, faixas de amplitude 6 para representar seus valores. Tabela de Frequência para a Variável TV (extraída da Tabela1): TV ni fac fi=ni/n fi 100 (%) fac (%) , , , , , Total n = 50 1, Tabela 6: Variável TV TV: variável quantitativa discreta que foi tratada como contínua. Observe que na última classe, o intervalo é fechado à esquerda e à direita, incluindo portanto, o valor 30, e não tendo assim, que abrir mais uma classe por causa de um único valor. Outra sugestão seria usar uma amplitude maior nessa última classe, por exemplo, que inclui o valor 30. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS A organização dos dados em tabelas de frequência proporciona um meio eficaz de estudo do comportamento de características de interesse. Muitas vezes, a informação contida nas tabelas pode ser mais facilmente visualizada Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 13/16

14 através de gráficos. Vamos definir quatro tipos básicos de gráficos: setores ou pizza, colunas ou barras, histograma e polígono de frequências. GRÁFICO DE SETORES OU DISCO OU PIZZA OU DIAGRAMA CIRCULAR Adapta-se muito bem às variáveis qualitativas, mas também pode ser usado para as variáveis quantitativas discretas. Fazendo uso do computador para o traçado do gráfico, basta conhecer as porcentagens de cada valor da variável. Se ao contrário, formos traçar o gráfico com o auxílio de compasso e transferidor, precisamos determinar a medida em graus, de cada setor correspondente aos valores da variável, lembrando que o disco todo mede 360. Exemplo: Gráfico de Setores para a Variável Toler (Tabela 3) I: 20% P:42% M: 38% GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS Adapta-se melhor às variáveis discretas ou qualitativas ordinais. Utiliza o plano cartesiano com os valores da variável no eixo das abscissas e as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Exemplo: Gráfico de Colunas para a Variável Idade (Tabela 4) Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 14/16

15 HISTOGRAMA É utilizado para variáveis quantitativas contínuas. Consiste em retângulos contíguos ou adjacentes onde a base, colocada no eixo das abscissas, corresponde aos intervalos das classes e a altura, colocada no eixo das ordenadas é dada pela frequência absoluta ou relativa das classes. Observação: a área de um histograma é proporcional à soma das frequências absolutas. No caso de trabalharmos com as frequências relativas, a área será igual à constante de proporcionalidade. Exemplo: Histograma para a Variável Peso (Tabela 5) POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS É também utilizado para variáveis quantitativas contínuas. Para construir o polígono de frequências, admitem-se como representantes de cada classe os pontos médios de cada intervalo que as definem. Após obter os pontos (ponto médio, frequência correspondente) em relação a cada intervalo, estes são ligados entre si por meio de segmentos de retas, sendo que o primeiro e o último deles são ligados ao eixo das abscissas, na metade de classes hipotéticas, imediatamente anterior à primeira e posterior à última. Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 15/16

16 Exemplo: Polígono de Frequências para a Variável Peso (Tabela 5) Fonte: Apostila Estatística UNISA Profª. Regina Maria Sigolo Bernardinelli Estatística ETEC GINO REZAGHI CAJAMAR 16/16