ANÁLISE DE ESTRATÉGIAS PARA PONDERAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES EM AJUSTAMENTO DE POLIGONAL GEODÉSICA ENQUADRADA PELO MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO

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1 ISSN 98-65,. -9 ANÁLISE DE ESTRATÉGIAS PARA PONDERAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES EM AJUSTAMENTO DE POLIGONAL GEODÉSICA ENQUADRADA PELO MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO MARIA APARECIDA ZEHNPFENNIG ZANETTI LUIS AUGUSTO KOENIG VEIGA QUINTINO DALMOLIN SÍLVIO ROGÉRIO CORREIA DE FREITAS Universidade Federal do Paraná - UFPR Setor de Ciências da Terra - SCT Deartamento de Geomática - DEGEOM {mazz, kngveiga, qdalmolin, sfreitas}@ufr.br RESUMO - Aresenta-se a seguir a análise do ajustamento de observações de uma oligonal geodésica enquadrada elo método dos mínimos quadrados, com base em equações de condição, conduzido de duas maneiras: ) atribuindo-se equirobabilidade dos erros nas observações com a matriz diagonal dos esos igual à matriz identidade; ) matriz dos esos obtida a artir da matriz variância-covariância dos valores observados (Σ Lb ) considerando as variâncias das medidas angulares e lineares. As observações utilizadas foram obtidas da imlantação de uma oligonal, com cerca de 0km de extensão, contendo 57 estações, entre os municíios de Morretes e São José dos Pinhais, no Paraná. A oligonal aresenta uma variação aroximada de em latitude e em longitude bem como um desnível entre os extremos de cerca de 940m. A coleta de dados foi realizada com uma estação total robotizada. As bases ara orientação (azimute inicial e azimute final) foram obtidas com osicionamento GPS estático usando recetores geodésicos de dula freqüência. As condições eculiares da oligonal ermitiram o teste efetivo das onderações, concluindo-se ela efetividade da formação da matriz dos esos a artir de Σ Lb. ABSTRACT - It is resented in this aer the analysis from a least square adjustment, based in equations of condition obtained from a constrained geodesic traverse. To basic hyothesis were used: ) considering all observation errors with equal robability resulting in a identity weighting diagonal matrix; ) variances of the angular and linear measures from observation Variance-Covariance Matrix (Σ Lb ) used to comose the weighting matrix. The establishment observations came from a 0 km long geodesic traverse with 57 stations, between the cities of Morretes and São José dos Pinhais, Paraná state. The traverse comrises ' variation in latitude and ' in longitude, and the level difference between the extreme oints is of about 940m. The data collection was carried through with a robotized total station. The bases for orientation (initial azimuth and final azimuth) had been gotten with static ositioning by geodetic double frequency GPS receivers. The secial characteristics of the olygonal allowed the effective test of reliminary otions of weighting, being considered the weight matrix constructed with basis in the Σ Lb matrix the best otion. INTRODUÇÃO Mensurações geodésicas e toográficas caracterizam-se ela inevitável resença de erros de medida, decorrentes de falhas humanas, imerfeição do equiamento e da influência das condições ambientais nas quais se rocessa a mensuração. Portanto, quando se reete n vezes uma medida de recisão, os n valores não são idênticos, mas estão disersos, devido a erros, numa região ou intervalo. Atualmente devido a grande evolução na construção dos equiamentos de medida os valores observados das grandezas aresentam cada vez menor disersão, se aroximando do valor mais rovável, e consequentemente dos valores observados ajustados. O ajustamento elo método dos correlatos, também chamado método das equações de condição ou das observações diretas condicionadas, tradicionalmente alicado ara ajustar as triangulações geodésicas clássicas, consiste em ajustar somente observações, no qual arâmetros não articiam do ajustamento. Foi alicado este método, ara ajustar uma oligonal geodésica enquadrada, cujas observações foram realizadas com uma estação total robotizada, emregando o conceito de busca e reconhecimento automático de alvos.

2 . AJUSTAMENTO DE POLIGONAL GEODÉSICA ENQUADRADA PELO MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO Segundo GEMAEL (994,. 7) o modelo matemático natural, do método das equações de condição, ou dos correlatos, envolve aenas os valores observados ajustados (incógnitas) e é dado or: a F ( n L ) 0 () Sendo o modelo matemático linearizado igual a: r B n n V r W r 0 () : a n L vetor dos valores observados ajustados, formado or ângulos e distâncias reduzidas ao elisóide; r B n matriz das derivadas arciais das equações de condição relativamente às observações ajustadas. (Como estes valores ajustados não são conhecidos a riori, então a solução deve ser iterativa); n V vetor dos resíduos obtido do ajustamento ara correção das observações; vetor erro de fechamento; W r De acordo com MORAES (997,. 0), devem ser estabelecidas, ara o roblema em tela r equações de condição com base nas observações de ângulos a e distâncias S: a) equação de condição de azimute: a a f ai Δα ( α f α 0 ) 80 0; i i i,, ; k i () b) equação de condição de diferença de latitude: f Δφ a ( φ φ ) 0; i,., ; k i ; (4) i c) equação de condição de diferença de longitude: f Δλ a ( λ λ ) 0; i,., ; k i. (5) i O vetor erro de fechamento inicial rwo, na rimeira iteração, é obtido substituindo o vetor dos valores observados, devidamente reduzidos à suerfície de cálculo ( L b ), formado elos ângulos e distâncias, nas equações de condição (), (4) e (5) tal que: εα b rwo F( L ) εφ (6) ε λ As equações normais em sua forma matricial são dadas or: M K W (7) Sendo a matriz r r r r r 0 r K r M r rw r M r T r Bn n Pn n Br (8) (9) r B n dada or: r Bn L L b (0) A Para o resente caso tem-se:, f f f f Bn 0, f f f f 0, () Consideradas as três equações de condição descritas, cada um dos elementos desta matriz, é dado or: a): f,, () f,, (). (4) é a derivada arcial da convergência meridiana ( Δ α ) corresondente aos ontos e em relação ao ângulo da estação inicial, obtida derivando-se a equação: Δφ ( Δλ ) Δ α Δλ senφm sec senφi cos φi (5) Tal que: Δ Δ Δ λ φ ( λ) senφm sec senφ cos φ 4 a): Δφ Δλ Δφ Δφ senφm sec tg (6). f, α Δ,,, (7) (8)

3 é a derivada arcial da convergência meridiana corresondente aos ontos e em relação à distância, obtida derivando-se a equação (5): Δ Δ Δ λ φ ( λ) senφm sec senφ cos φ 4 b): Δφ Δλ Δφ Δφ senφm sec tg (9) f Δφ, Δφ de latitude ( Δ φ Δφ f Δφ, a 0 (0) () () é a derivada arcial da diferença ) corresondente aos ontos e em relação ao ângulo da estação inicial, obtida derivandose a equação: S Δ cosα S i sen α tgφ φ M NiMi e senφi cosφis cos α ( e sen φi ) Mi Ni ( tg φi ) S cosα sen α () 6 M i Tal que: Δφ Ssen( a) M Ssen( a)cos( a) tgφ NM e S sen( a)cos( a) senφ cosφ ( e sen φ ) M S ( tg φ)[cos ( a ) sen( a) sen ( a)] 6N M b): f Δφ Δφ, (4) (5) Δφ Δ φ φ Δ,,, (6) é a derivada arcial da diferença de latitude ( ) corresondente aos ontos e em relação a distância, na forma: Δφ cos( α 0 a) S sen ( a) tgφ M NM e S cos ( a) senφ cosφ ( e sen φ) M S ( tg φ)cos( a) sen ( a)] N M c): λ f Δλ Δ, Δλ f Δλ, 0 (7) (8) (9) (0) é a derivada arcial da diferença de longitude corresondente aos ontos e, em relação ao ângulo da estação inicial, obtida derivandose a equação: c: Δλ N ( S cosφ senα k k 5 4,095 0 S sen φis sen 6Ni cos α ) tg α 5 4,095 0 S[cos ( a) sen ( a )cos( a)]} f Δλ, Δλ Δλ,,, α () () () (4)

4 Δλ é a derivada arcial da diferença de longitude corresondente aos ontos e em relação à distância, obtida derivando a equação (): Δλ S sen ( a) tg φ { sen( α 0 a) N cosφ N 4,85 0 S sen( α 0 a ) cos ( a)} (5) Para a segunda linha geodésica da oligonal acrescenta-se ao termo α a exressão da convergência meridiana relativa aos ontos da extremidade da linha geodésica anterior e assim sucessivamente. A matriz dos esos é dada or: n P n n I n ou n P n ( n ΣLbn ) (6) O vetor dos resíduos é dado or: T nv n Pn n Br r K (7) A variância da unidade de eso a osteriori é dada or: T T K W V n Pn nv ˆ r r n σ 0 (8) r r E obtém-se o vetor dos valores observados reduzidos ajustados or: a b n L n L nv (9) A artir da segunda iteração (DALMOLIN, 004,. ) o vetor erro de fechamento é obtido or : b a i W i Bi ( ( ) L L ) Woi (40) São realizadas iterações até que se verifique a igualdade da equação (), ois o vetor dos valores a observados ajustados n L deende de n V e os azimutes e coordenadas ajustadas, latitudes e longitudes geodésicas, são calculados em função de a. n L COLETA DE DADOS medidas em cada estação, sendo cada série comosta de uma Pontaria Direta e uma Pontaria Inversa a ré e a vante; em osterior análise dos dados, nenhuma série em nenhuma das estações foi rejeitada, considerando como critério de rejeição o dobro da recisão angular do equiamento, ou seja, 0 ; b) medidas da altura do instrumento e das alturas dos refletores a ré e a vante: durante toda a execução do levantamento toográfico, os refletores de ré e vante foram mantidos com alturas iguais, no mesmo lance; c) medidas simultâneas da temeratura seca e ressão: a serem utilizadas ara osterior correção das condições meteorológicas nas distâncias; Efetuou-se também osicionamento GPS estático com recetores geodésicos de dula freqüência visando obter bases ara orientação (azimute inicial e azimute final) consistentes e observação simultânea dos extremos da oligonal. Foram ocuadas as estações 88 e 89 no municíio de São José dos Pinhais e as estações e no municíio de Morretes, com recetores Leica dula freqüência. A duração do rastreio na estação 88 foi de h 4 min, na estação, 5h min, na estação 89, 5h 56 min e na estação, h 59 min. A distância entre as estações e é 4,995 m e entre as estações 88 e 89 é 744,64 m. KM 60 KM 0 Figura Local onde foi realizada a coleta de dados FONTE: < htt:// > Imlantou-se uma oligonal com 57 estações na BR77, no intervalo que comreende os km 0 e 60, entre os municíios de Morretes e São José dos Pinhais, com desnível de aroximadamente 940 m. A figura aresenta o local onde os dados de camo foram coletados. Visando minimizar a ocorrência de erros grosseiros e roorcionar dados de qualidade ara análises e comarações, a coleta de dados foi realizada com a estação total robotizada TPS00 Leica, cuja recisão angular é de 5 e recisão linear, com risma adrão, de mm m e comreendeu as seguintes etaas: a) medidas dos ângulos horizontais, verticais e distâncias da oligonal: além da série inicial ara orientação da estação total, foram efetuadas 6 séries de 4 PROCESSAMENTO DOS DADOS 4. Processamento inicial dos dados toográficos Aós a realização do levantamento de camo iniciou-se a fase de rocessamento dos dados, calculando-se: a) médias dos ângulos e das distâncias medidas; b) correção da temeratura e ressão nas distâncias médias através da utilização de ábaco aroriado; c) desníveis entre as estações através de nivelamento trigonométrico, obtidos ela técnica de alturas de refletores iguais, não sendo necessária a medida da altura do instrumento;

5 d) altitudes ortométricas, obtidas a artir dos desníveis e da altitude da RN94H do IBGE, que faz arte da oligonal. 4. Processamento dos dados GPS O rocessamento do osicionamento GPS (estações,, 88 e 89) foi realizado com o software Bernese Software Version 5.0. A tabela aresenta as coordenadas geodésicas tridimensionais das estações obtidas através do rocessamento do osicionamento GPS estático. Tabela - Coordenadas geodésicas tridimensionais Est. φ (S) λ (W) h (m) PARA 5º6'54,690" 49º'5,470" 95,770 5º'47,77" 48º47',85608" 9,80 5º'0,89900" 48º48'0,757" 7, º4',875" 48º59',9577" 96, º'57,94978" 49º00'9,0966" 98, Transorte de coordenadas geodésicas transorte de coordenadas geodésicas. Foram calculadas também as correções ara assar da seção normal à linha geodésica, que devido à magnitude das distâncias medidas, foram menores que o centésimo de segundo de arco, ou seja, não significativas. A tabela aresenta as coordenadas geodésicas dos ontos 88 e 89, obtidas através do transorte de coordenadas, Problema Direto segundo Puissant e a diferença entre essas coordenadas e as rovenientes de osicionamento geodésico rocessadas com o software Bernese (tabela ). Tabela - Comaração entre latitudes geodésicas obtidas através do software Bernese e de transorte de coordenadas Est. φ (S) Δφ (B-P) λ (W) Δλ (B-P) PUISSANT (-) PUISSANT (-) 88 5º4, ,57 48º59,99 0, º4 58,588 0,660 48º59 9,7 0, AJUSTAMENTO DA POLIGONAL GEODÉSICA ENQUADRADA PELO MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO 4.. Problema inverso Visando obter uma orientação inicial e final da oligonal enquadrada ara o transorte de coordenadas geodésicas, a artir das coordenadas das estações,, 88 e 89, obtidas or osicionamento GPS estático, efetivou-se o cálculo dos azimutes das direções - e 88-89, corresondentes às direções inicial e final, aresentados na tabela. Utilizou-se o formulário de Puissant, Problema Inverso. Tabela - Azimutes inicial e final da oligonal enquadrada obtidos através do roblema inverso Direção A g - 7º 47 05, º 0 4,9 4.. Problema direto Conhecido o azimute da direção inicial -, antes de alicar o Problema Direto foram efetuados os seguintes cálculos: a) redução das distâncias inclinadas ao elisóide, a artir das distâncias médias corrigidas dos efeitos meteorológicos; b) correção da curvatura, a artir das distâncias reduzidas ao elisóide. Alicou-se a seguir o formulário do Problema Direto segundo Puissant, obtendo-se a convergência meridiana e as coordenadas geodésicas, latitude e longitude, ara todas as estações, que foram utilizadas na ª. iteração de ajustamento. Os azimutes geodésicos em cada estação foram calculados a artir do contraazimute da direção anterior, do ângulo horizontal envolvido e da convergência meridiana, que variou entre e 0, sendo indisensável sua utilização no O ajustamento da oligonal enquadrada foi realizado considerando-se 48 estações, sendo a estação a rimeira e a estação 88 a última. São seis os arquivos de entrada de dados: 47 distâncias, 48 ângulos, 47 azimutes, 47 convergências, 48 latitudes e 48 longitudes. Os valores observados são os ângulos e as distâncias. O arquivo comosto elos ângulos corresonde à média das séries dos ângulos horizontais medidos em camo. O arquivo das distâncias corresonde à média das distâncias medidas, reduzidas à suerfície do elisóide de revolução. Os arquivos dos azimutes, convergências meridianas, latitudes e longitudes são obtidos aós a execução do roblema direto segundo Puissant, ara todas as estações. No resente trabalho o ajustamento foi realizado de duas maneiras: com a matriz diagonal variânciacovariância dos valores observados (Σ Lb ) igual à matriz identidade e com a matriz Σ Lb comosta elas variâncias das medidas angulares e lineares. 5. Solução ara a matriz Σ Lb igual à matriz identidade Executando-se o ajustamento elo método das equações de condição, obtêm-se os valores observados ajustados dos ângulos, ressaltando-se que, aós o ajustamento, não existiram correções significativas a serem efetuadas nas distâncias em nenhuma iteração, ois os valores observados ajustados das distâncias são iguais aos valores observados destas, já que as observações são exatas ou recisas. O vetor dos erros de fechamento inicial Wo, é dado or:

6 Azfinalcal Azfinal Wo φ finalcal φfinal (4) λfinalcal λfinal : Azfinalcal azimute da direção final obtido com o transorte de coordenadas elo roblema direto; Azfinal azimute da direção final obtido com o roblema inverso, com as coordenadas obtidas de rocessamento do osicionamento GPS com o software Bernese; φ finalcal e λfinalcal latitude e longitude da estação 88 obtidas com o transorte de coordenadas elo roblema direto; φ final e λfinal latitude e longitude da estação 88 obtidas com o rocessamento do osicionamento GPS via o software Bernese. A artir das distâncias e dos valores observados ajustados dos ângulos, obtidos na rimeira iteração, retorna-se ao roblema direto ara transorte de coordenadas, obtendo-se novos valores ara azimutes, convergências meridianas, latitudes e longitudes, que juntamente com as distâncias e os ângulos ajustados, são utilizados na segunda iteração do ajustamento. Considerou-se o ajustamento encerrado na segunda iteração, ois ao calcular W ela equação (), obteve-se:, BV W, , Solução ara a matriz Σ Lb comosta elas variâncias das medidas angulares e lineares Visando obter um ajustamento mais consistente em termos das observáveis, considerou-se a matriz variância-covariância dos valores observados (Σ Lb ) comosta elas variâncias dos ângulos medidos e ela recisão linear ao quadrado da estação total (mm m). O rocedimento de cálculo é o mesmo utilizado na seção 5. e igualmente não existiram correções significativas (ordens de grandeza menores que as resoluções das medidas) a serem efetuadas nas distâncias, devido à equena contribuição dos erros destas medidas no cálculo das coordenadas, em vista das medidas angulares. Na segunda iteração obteve-se:, BV W 4, , Considera-se esta solução mais consistente or concordar melhor com o rocesso real de mensuração efetivado no levantamento da oligonal. A tabela 4 aresenta os desvios adrões dos ângulos e as diferenças entre os ângulos, coordenadas, azimutes e convergências meridianas obtidos nos dois ajustamentos. Tabela 4 Comaração entre os resultados dos ajustamentos Est. σ ang Δang (") Δφ (") Δλ (") ΔAg (") Δγ (") 0,5, ,4684 0,000 0,47,758-0,0008 0, ,96 0,000 RN 0,9,497-0, , ,9649 0, ,59,044-0, ,00 0, , ,56,7608-0, ,0054,4597 0, A 0,48,46-0,007 0,007 4,9065 0,0007 4,5,566-0,005 0,005 6,775 0, ,5,9606-0,005 0,0056 8,779 0, ,68-4,4759-0,009 0,0087,766 0, ,59-8,840-0,004 0,004 5,4787 0, ,56 0,698-0,0044 0,006 6,0859-0, ,7,47-0,0050 0,0095 7, , A,06,4785-0,0057 0,0086 9,0404-0, ,0 0,845-0, ,007 9, , ,5 -, ,006 0,00 7,496 0, ,74 -,6056-0, ,007 4,565 0,0000 5,4,8955-0, ,005 6,454 0, ,94 0,86-0,007 0,009 7,6765-0, ,88-4,577-0, ,004, , ,8-0,494-0,0076 0,00,968 0, ,8-0,990-0, ,009,797 0, ,45-4,448-0,0077 0,0044 -,6508-0, ,68 0,4056-0,0075 0,00 -,4856 0, ,85-4, ,0074 0,005-6,876-0, ,59 0, ,0069 0,00-5,979-0, ,87-7,89-0, ,00 -,7-0, ,57 0,758-0,0047 0, ,5665-0,000 68A 0,90 0,68-0,004 0,0007 -,404 0, ,64 0,7674-0,0040 0,0006 -,6667 0, ,77 0, ,008 0,0006 -,0699-0, ,7 0,804-0,0045 0, ,68-0, ,6 0,7606-0,0088-0,0009-9, , ,9 0, ,00-0, ,7785 0, ,54 0, ,0075-0,0009-8,48 0, ,7 0,8947-0,004 6E-05-7,70 0, , 0, ,0007 0,000-6,665 0, ,9 0, , ,0009-5,4860 0, ,5 0,9649-8E-05 0,000-4,5-0, ,65,007 0,0004 0,0007 -,4094 0, ,57 0,9475 0,0005 0,0008 -,4774 0, ,57,944 0,00 0,0005 -,085 0,0000 8A 0,75,578 0,008 0, , , B,75, ,007 0,00056,04-0, ,7,9987 0,004 0,00046,5094-0, ,00 -,8668 0,008 0,0007,687-0, ,66,9675 0, ,0004, , ,45 0, ,0008 0,0006 4,454-0, ,4-4, E-05 0, Na tabela 4 deve-se observar que as maiores diferenças angulares corresondem, em geral, às

7 observações com maiores desvios adrões, além de situarem-se em ontos afastados dos extremos, em vista das coordenadas iniciais e finais serem fixas. 5. Alicação do teste de aderência qui-quadrado (χ ) Todo teste estatístico exige o conhecimento do valor de um arâmetro oulacional, mas este é desconhecido. Em seu lugar é utilizada uma estatística de teste amostral, ou um valor baseado em dados amostrais (estatística de teste). Utiliza-se uma estatística de teste ara tomar a decisão sobre a rejeição da hiótese nula (TRIOLA, 999,. 74). Alica-se o teste estatístico qui-quadrado (χ ) de aderência ara verificar se um modelo matemático genérico se ajusta bem aos dados observados, ou, é uma maneira de medir a discreância existente entre as freqüências observadas e eseradas (ajustadas), conforme o modelo exosto. É bem conhecido que o valor da estatística de χ é obtido or: n O i E ( i) estimado E i i χ (4) Sendo: - O i : valor observado; - E i : valor eserado; - n : número de valores observados. O teste estatístico do χ foi alicado ara testar os valores observados ajustados em relação aos valores observados obtidos na segunda iteração do ajustamento desenvolvido na seção 5., visando verificar a aderência entre ambos. A hiótese H 0 consiste em verificar a igualdade entre os valores observados de ângulos e distâncias e os corresondentes valores ajustados. O número de graus de liberdade, ν, corresonde ao número de variáveis aleatórias, envolvidas no cálculo, menos. Como são 48 ângulos e 47 distâncias tem-se: ν n Alica-se a equação (4) e calcula-se: χ 0, estimado Com nível de confiança de 95%, ortanto nível de significância de 5%, obteve-se, ara o valor crítico de χ : χ crítico,96 Como χ estimado é menor que χ crítico a hiótese H0 não é rejeitada. Alicou-se adicionalmente o teste do χ searadamente ara ângulos e distâncias. Considerando-se somente os 48 ângulos, ortanto, ν igual a 47, obteve-se ara a estatística de teste de χ estimado: χ 0, estimado Sendo o corresondente valor crítico igual a: χ crítico 59,7698 Considerando-se somente as 47 distâncias, ortanto, ν igual a 46, obteve-se ara o valor estimado de χ : χ estimado 0, Sendo o corresondente valor crítico igual a: χ crítico 58,674 Em ambos os casos χ estimado é menor que χcrítico e a hiótese H0 não é rejeitada. Alicou-se também o teste estatístico do χ ara testar os valores observados ajustados do ajustamento desenvolvido na seção 5., visando verificar a aderência entre ambos, searadamente ara ângulos e distâncias. Considerando-se somente os 48 ângulos, ortanto, ν igual a 47, obteve-se ara a estatística de teste de χ : χ estimado 0, Sendo o corresondente valor crítico igual a: χ crítico 59,7698 Considerando-se somente as 47 distâncias, ortanto, ν igual a 46, obteve-se ara a estatística de teste de χ estimado: χ estimado 0, Sendo o corresondente valor crítico igual a: χ crítico 58,674 Em ambos os casos χ estimado é menor que χcrítico e a hiótese H0 não é rejeitada. 6 CONCLUSÕES Deve-se otar ela utilização de matriz dos esos construída considerando o inverso das variâncias das observações e não em hiótese de idêntica robabilidade de erros. Mesmo existindo idêntica qualidade global evidenciada elo teste do χ ara cada uma das soluções, somente na solução aqui considerada como mais adequada foi ossível identificar as observações menos confiáveis. REFERÊNCIAS ASTRONOMISCHES INSTITUT UNIVERSITÄT BERN. Bernese GPS Software Version 5.0. Switzerland CONCESSIONÁRIA ECOVIA CAMINHO DO MAR S/A. Maa da Rodovia. Disonível em : < htt:// Acesso em jun. 006.

8 DALMOLIN, Q. Ajustamento or Mínimos Quadrados. ª. edição. Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Universidade Federal do Paraná GEMAEL, C. Introdução ao Ajustamento de Observações Alicações Geodésicas. UFPR Editora, 994, 0. MORAES, C.V. Alicação do Ajustamento às oligonais. Curitiba, Dissertação (Mestrado em Geociências). Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas, Universidade Federal do Paraná. TRIOLA, M.F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora AS