Decisão no Espaço de Objetivos Práticos. para o Projeto de Controladores

Transcrição

1 Universidade Federal de Minas Gerais Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica Decisão no Espaço de Objetivos Práticos para o Projeto de Controladores Multi-objetivo H 2 /H por Alexandro Garro Brito Dissertação submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção de título de Mestre em Engenharia Elétrica Belo Horizonte 13 de setembro de 2004

2 Agradecimentos Aos mestres Ricardo Takahashi e Fábio Jota pela orientação presente, ensinamentos e pensamentos valiosos. Aos meus pais Osvaldo e Vilma pelo suporte, compreensão e carinho. Esse texto é para vocês! À Vívian, autora de muitas das páginas da minha vida! À Érica, companheira e inspiradora dos meus sonhos de hoje e sempre! i

3 ii São só dois lados da mesma viagem O trem que chega é o mesmo trem da partida A hora do encontro é também despedida A plataforma dessa estação é a vida! Mas é preciso ter força É preciso ter raça É preciso ter gana sempre! Não precisam mais temer Não precisam da solidão Todo o dia é dia de viver! Não precisa medo, não Não precisa da timidez Todo o dia é dia de viver! Mas é preciso ter manha É preciso ter graça É preciso ter sonhos sempre! Quem traz na pele essa marca Possui a estranha mania de ter fé na vida! Eu sou da América do Sul Eu sou o ouro, eu sou vocês Sou o mundo. Eu sou Minas Gerais!! 1 1 De Milton, Brant, Lô e Márcio

4 Resumo iii Neste trabalho, será apresentada uma metodologia de projeto misto H 2 /H que agrega critérios de desempenho de uso corriqueiro na prática de controle de processos industriais. O projeto inicia-se com a obtenção de um conjunto Pareto H 2 H para a planta. A seguir, realiza-se uma conversão do espaço de objetivos anterior para um novo, que possua como objetivos índices de cunho prático, como percentual de sobre-sinal, tempo de acomodação e integral do tempo vezes o erro absoluto. Naturalmente, este novo conjunto pode possuir soluções que não sejam eficientes e, portanto, podem ser descartadas, conduzindo a um conjunto Pareto-ótimo no espaço de objetivos práticos. Na etapa final do projeto, realiza-se o processo de decisão, que consiste na escolha, a partir deste último conjunto, do controlador que melhor se adapte às necessidades do processo. Todos os procedimentos são aplicados a modelos simplificados de um sistema de posicionamento com máquina de corrente contínua e de um avião monomotor de dupla asa. Finalmente, discutem-se alterações que podem garantir a generalização dos procedimentos ora apresentados.

5 iv Abstract In this work, a new approach to the robust H 2 /H design is presented. Practical performance criteria, commonly used by the industrial process control personnel, are incorporated to the design methodology. The proposed procedure begins by obtaining the corresponding Pareto set H 2 H of the plant. Subsequently, it is performed a conversion of robust objective space to a new practical objective space. The latter includes indices like percent overshoot, settling time and integral of time multiplied by absolute error. This new set may contain many inefficient solutions considering the new objectives. These inefficient solutions are then discarded. Lastly, in the decision process, the choice of the controller that best fits the process requirements. The proposed design methodology is tested in simplified models of a position system (using a DC motor) and of a bi-wing aircraft. Finally, considerations of possible modifications, which would lead to a more general approach, are then discussed.

6 Conteúdo 1 Introdução 1 2 Fundamentos de Controle Robusto Desigualdades Matriciais Lineares (LMI s) Definição das LMI s LMI e estabilidade de sistemas dinâmicos incertos Espaços Normados Espaços Normados Espaços normados de Hardy Cálculo das normas H 2 e H Controle H Controle H Fundamentos de Otimização Vetorial Definição do problema de otimização vetorial Dominância e conjunto Pareto-ótimo Controle Misto H 2 /H Projeto misto H 2 /H multi-objetivo Introdução v

7 vi CONTEÚDO 3.2 Projeto misto H 2 /H Índices práticos de desempenho Definição dos índices práticos Obtenção e utilização dos índices práticos Processo de decisão Decisão por avaliações sucessivas Decisão por exclusão de segmentos Conclusões do capítulo Estudo de casos Controle de posição com MCC Avião monomotor de dupla asa Conclusões 74

8 Lista de Figuras 2.1 Diagrama de blocos para o sistema de controle robusto padrão. w representa as entradas de perturbação e z as saídas para controle robusto Espaço de parâmetros x 1 x 2, X. Região interna do círculo de raio 2 centrado na origem Espaço de objetivos Y. Imagens de f 1 = x x 2 2 e f 2 = (x 1 2) 2 + (x 2 2) 2 com x 1 e x 2 limitados pelo círculo da Figura Conjunto Pareto-ótimo para o espaço de objetivos da Figura 2.3. Não há solução em Y que seja melhor que essas em ambos objetivos f 1 e f Diagrama de blocos para a planta generalizada P, exemplo deste capítulo. w representa a entrada de perturbação, z a saída para controle robusto H e z 2 as saídas para controle robusto H Conjunto Pareto-subótimo H 2 H para o exemplo 2 com norma T w,z vii

9 viii LISTA DE FIGURAS 3.3 Simulação de um sistema em malha fechada com vários controladores. A redução do PSS leva a um aumento do TAP Vista ampliada do momento em que o percentual de sobresinal não ultrapassa o limite superior da faixa de definição do TAP. Há uma queda abrupta deste índice Conjunto P SS IIT EA. Neste caso ocorre uma tradução do espaço de objetivos robustos para o espaço de objetivos práticos Conjunto P SS T AP. Aqui, algumas soluções consideradas ineficientes podem ser descartadas, devido ao salto proporcionado pelo índice TAP (t simul = 0, 5s) Conjunto Pareto-transformado PSS TAP. Houve o descarte das soluções consideradas ineficientes para este espaço Conjunto Pareto-ótimo de funções genéricas f 2 e f 1 apresentando o método de decisão por avaliações sucessivas. A solução inicial está demarcada com o símbolo. Caso um usuário opte por uma melhoria de f 1 ele escolhe uma nova solução neste sentido, que poderia ser, por exemplo, a demarcada com o símbolo À esquerda, o conjunto Pareto-transformado PSS TAP do Sistema-exemplo 2 com a quinta solução destacada. À direita, a simulação do sistema-exemplo com este controlador À esquerda, o conjunto Pareto-transformado PSS TAP do Sistema-exemplo 2 com a quarta solução destacada. À direita, a simulação do sistema-exemplo com este controlador

10 LISTA DE FIGURAS ix 3.11 Método de exclusão de segmentos. Supondo que inicialmente sejam apresentadas as soluções demarcadas com e e que o usuário opte pela, todas as soluções à esquerda de podem ser descartadas. A nova solução a ser comparada com é obtida pelo método de seção áurea e é demarcada com * Simulação da quinta (esquerda) e da vigésima primeira solução (direita) para o Sistema-exemplo 2. O usuário é questionado sobre aquela de sua preferência. De acordo com sua escolha, parte do Pareto-transformado PSS TAP é descartado pela exclusão por seção áurea Simulação da primeira (esquerda) e da quinta solução (direita) para o Sistema-exemplo Simulação da quarta (esquerda) e da quinta solução (direita) para o Sistema-exemplo Conjunto Pareto-subótimo H 2 H para o sistema de posicionamento com MCC. T w,z Conjunto P SS T AP para o sistema de posicionamento com MCC. Observe a existência de pontos ineficientes Conjunto Pareto-transformado P SS T AP para o sistema de posicionamento com MCC, obtido pelo descarte dos pontos ineficientes da Figura Processo de decisão por avaliações sucessivas. Simulação da 11 a solução da esquerda para a direita da Figura Processo de decisão por exclusão de segmentos. Simulação da 3 a e da 18 a soluções da Figura

11 x LISTA DE FIGURAS 4.6 Processo de decisão por exclusão de segmentos. Último passo da escolha entre a 11 a e a 12 a soluções Conjunto Pareto-subótimo H 2 /H para o avião monomotor de dupla asa. 0, 02 T w,z 0, Conjunto P SS T AP para o avião monomotor de dupla asa Processo de decisão por avaliações sucessivas para o avião monomotor de dupla asa. Simulação da 56 a solução da esquerda para a direita da Figura Processo de decisão por exclusão de segmentos para o avião monomotor de dupla asa. Simulação das soluções 13 a e 27 a da Figura Processo de decisão por exclusão de segmentos para o avião monomotor de dupla asa. Último passo da escolha entre a 35 a e a 36 a soluções

12 Lista de Tabelas 3.1 Faixa de valores para as normas H 2 e H para o conjunto Pareto-subótimo do Sistema-exemplo Parâmetros da máquina de corrente contínua posicionadora Faixas de valores para as normas H 2 e H do conjunto Paretosubótimo Valores do índice TAP com relação à norma H para o sistema de posicionamento com MCC. Observe que para T w,z > há uma forte violação da especificação do TAP. Esse segmento pode ser descartado Faixas de valores para as normas H 2 e H para o conjunto Pareto-subótimo do avião monomotor de dupla asa Índices PSS e TAP para alguns valores de norma H para o avião monomotor de dupla asa. Para T w,z 0, 02 há uma forte violação do índice PSS. Para T w,z 0, 5 há forte violação do índice TAP xi

13 xii LISTA DE TABELAS

14 Capítulo 1 Introdução A teoria de controle robusto, desenvolvida nas últimas décadas, apresenta diferenças marcantes com relação às metodologias até então utilizadas. Seja pelos objetivos almejados, ou pelos resultados obtidos na prática e dificuldades de implementação, as estratégias de projeto robusto e não-robusto nunca apresentaram-se em uma forma complementar, reunindo as virtudes de cada uma delas em um projeto mais completo. A teoria clássica de controle, conjunto de métodos tendo como um dos precursores o trabalho sobre estabilidade de Nyquist [19], apresentou como grande foco inicial a busca da estabilização de um sistema de controle à base de uma realimentação negativa. Descobriu-se, mais tarde, que essa realimentação trazia outros benefícios, como atuação direta sobre o comportamento dinâmico do sistema planta+controlador, rejeição de perturbações e uma certa insensibilidade a pequenas variações na planta 1. Assim, o projeto de controladores resumia-se à busca progressiva dos objetivos anteriores nessa 1 Observou-se que em sistemas com variações moderadas a estabilidade relativa poderia ser fortemente comprometida [5] 1

15 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO exata ordem partindo-se de um sistema que em malha fechada seja estável fazem-se alterações nos parâmetros do controlador que conduzam à melhoria dos demais requisitos dinâmicos. De forma a mensurar tais melhorias foram desenvolvidos os primeiros critérios de desempenho, como tempo de acomodação, percentual de sobre-sinal, índices integrais do erro, etc., ainda hoje muito utilizados seja pela sua simplicidade, seja pelos bons resultados que eles proporcionam [7]. Apesar de ter possibilitado uma enorme melhoria da resposta temporal, essa teoria não tratou de forma eficaz a questão de plantas sujeitas a fortes incertezas ou com pontos de operação distintos, a despeito de estudos de sensitividade do sistema em malha fechada elaborados por Bode [6]. Com o início da utilização da representação em espaço de estados dentro da teoria de controle, iniciou-se um ciclo denominado teoria de controle moderno, cuja principal motivação estava na facilidade com que passou a ser feito o projeto de controladores para sistemas lineares multivariáveis. Tal projeto também era possível utilizando adequações de ferramentas clássicas, mas com resultados menos eficientes. O controlador básico dessa abordagem é a realimentação estática de estados que opera na premissa de que é possível alocar os pólos de malha fechada em qualquer região do plano complexo de Laplace, desde que a planta seja controlável [4]. Dado ter essa alocação uma relação com a resposta temporal, poder-se-ia, em tese, obter um sistema com comportamento dinâmico desejável. Iniciaram-se também nesse período importantes estudos de otimização aplicados a controle cujo objetivo era obter sistemas realimentados com o melhor comportamento possível segundo algum critério. O resultado mais importante foi obtido com a criação do controle gaussiano linear quadrático (do inglês LQG) com excelentes propriedades de

16 3 robustez a incertezas e variações da planta [15]. Infelizmente, para uma realimentação estática de estados onde nem todos eles estão disponíveis para medição, devendo ser portanto estimados, esta robustez não se verifica, em muitos casos [6]. Devido à crescente complexidade das plantas a serem controladas e a importância cada vez maior de sistemas de controle com boas características de robustez, iniciaram-se, nos fins dos anos 70, estudos que marcaram a era da teoria de controle robusto. O trabalho talvez mais importante dos primórdios dessa nova abordagem foi o trabalho de Zames [29]. Apesar de desenvolvido na década de 50, o conceito de ganho pequeno (do inglês small gain) retornou como base para o critério de estabilidade robusta [6], servindo de pano de fundo para o desenvolvimento do Controle H, discutido no capítulo seguinte. Este visa ao tratamento de plantas cujas incertezas possam ser identificadas através de um limitante superior. O controle LQG, adequadamente reestruturado, foi a base do Controle H 2, também discutido no próximo capítulo, desenvolvido para tratar de sistemas com perturbações de caráter estocástico [30]. Até aquele momento, o objetivo principal era abordar a questão da robustez de forma que o comportamento dinâmico sempre era tratado em um segundo plano. Não raro, simulações do sistema em malha fechada com um controlador robusto não levam em consideração aspectos que seriam considerados relevantes na prática do controle industrial, tais como o de resposta temporal. Com o advento das desigualdades matriciais lineares (do inglês LMI) a alocação dos pólos de malha fechada e de realimentação dinâmica da saída puderam ser novamente realizadas [11]. A ligação entre os critérios de robutez e de comportamento dinâmico torna-se

17 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO novamente possível, embora haja ainda muito trabalho por fazer, no sentido de se desenvolver um projeto que possa contemplar sensibilidade a incertezas e resposta temporal adequadas. Nesse sentido, algumas estratégias vêm sendo desenvolvidas. Helton e Sideris [13] propuseram algoritmos de otimização H que utilizavam como restrições requisitos no domínio do tempo. Sznaier e Benzaid [26] adotam a mesma linha utilizando restrições de tempo e freqüência em um projeto de controle robusto via otimização convexa. Rotstein e Sideris [21] desenvolveram uma metodologia pela qual restrições no domínio do tempo pudessem ser explicitamente incorporadas no projeto H, resultando em um controlador de ordem muito elevada e com inúmeros cancelamentos entre pólos e zeros. Besson e Shenton [1] apresentaram um método gráfico iterativo para determinar conjuntos de controladores robustos estabilizantes que satisfazem a uma combinação de restrições nas funções de sensitividade complementar. Sznaier et. al. [25] propuseram um método de projeto H 2 baseado na restrição da amplitude do sinal de controle e do sinal de erro a preocupação passou a ser limitar os sinais de controle e erro e não com suas evoluções temporais propriamente ditas. Em todos os métodos citados anteriormente os requisitos de resposta temporal foram tratados apenas como restrições e não como objetivos adicionais de um problema de otimização. Há que se comentar a complexidade dos algoritmos utilizados e sua lentidão. Este trabalho visa a propor uma metodologia de projeto de controladores mistos H 2 /H que contribua para o preenchimento desta lacuna. Para tanto, primeiramente, obtém-se um conjunto de Pareto H 2 H via otimização multi-objetivo, cujas soluções representarão os melhores controladores

18 5 para estes dois critérios 2. Esse procedimento já está bastante sedimentado na literatura e há algoritmos muito eficazes para tal tarefa [11]. Dados esses controladores iniciais, calculam-se, através de simulações dos sistemas de malha fechada, os valores para índices de cunho prático, com o objetivo de auferir informações com relação à sua resposta dinâmica. Os índices escolhidos são aqueles tradicionalmente utilizados na prática de Controle de Processos Industriais, como tempo de acomodação, percentual de sobre-sinal, integral do tempo vezes o erro absoluto, etc. Com este procedimento o que se busca é a transformação do conjunto de Pareto H 2 /H para um novo espaço de objetivos práticos. A etapa final consiste em um processo de decisão junto ao usuário para obtenção do controlador final partindo-se do espaço transformado. Essa transformação de espaços entre o conjunto Pareto H 2 /H e o conjunto de objetivos práticos é de suma importância na condução do processo de decisão, sendo este totalmente guiado pelos critérios de tempo de acomodação, percentual de sobre-sinal, integral do tempo vezes o erro absoluto, etc. e não pelas normas H 2 e H. Não há nenhuma relação aparentemente geral entre tais normas e os objetivos práticos, o que impossibilitaria um processo de decisão com relação aos últimos partindo das primeiras. A etapa de decisão utiliza metodologias tradicionais do escopo de otimização multiobjetivo. Estes procedimentos são gerais, aplicáveis a qualquer problema de otimização convexa. Não se buscaram estratégias de controle robusto que 2 Na verdade, os algoritmos disponíveis são capazes de determinar aproximações dos controladores ótimos bi-critério. Para os propósitos deste trabalho, o fato de os controladores serem aproximadamente ótimos e não exatamente ótimos não afetará de maneira significativa os procedimentos propostos.

19 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO resultassem em controladores de ordem bastante elevada e com algoritmos de elevada complexidade computacional. O controlador de realimentação dinâmica da saída, obtido pela metodologia ora discutida, é de ordem equivalente à da planta, o que já é um ganho com relação a outros trabalhos. Apesar de utilizar-se apenas de modelos SISO neste texto, é provável que este procedimento seja aplicável a sistemas multivariáveis. É possível também o tratamento de sistemas incertos já que existe uma teoria bem fundamentada neste sentido. Além disso, o procedimento é expansível para um número maior de índices. O procedimento apresentou, no entanto, algumas dificuldades de utilização, conforme será discutido no capítulo de conclusões. A razão principal para estes problemas vem da própria formulação adotada para busca dos controladores robustos e nada tem a ver com a metodologia ora apresentada. Para tais plantas, apresentam-se algumas possíveis soluções que poderiam ser experimentadas em trabalhos futuros. Acredita-se que a metodologia apresentada seja uma passo inicial importante para lidar com um problema fundamental da teoria de controle robusto: tratar de forma mais relevante a questão de comportamento temporal de suas saídas, já que em grande parte das aplicações isso é um requisito de operação importante. A estruturação dos capítulos deste trabalho faz-se da seguinte forma: o capítulo 2 apresenta fundamentos de controle robusto e de otimização vetorial. O capítulo 3 apresenta a metodologia em suas minúcias, sempre com a exemplificação através de uma planta fictícia. O capítulo 4 apresenta a utilização da metodologia de projeto em dois sistemas práticos: o posicionador angular com MCC e o avião monomotor de dupla asa. Por fim, apresentamse as conclusões obtidas.

20 Capítulo 2 Fundamentos de Controle Robusto 2.1 Desigualdades Matriciais Lineares (LMI s) Definição das LMI s Definição 1 (Desigualdade Matricial Linear) Uma LMI 1 tem a forma m F (x) F 0 + x i F i 0, (2.1) onde x R m é uma variável e as matrizes simétricas F i são dadas [2]. i=1 2 Muitos problemas da teoria de controle podem ser reduzidos a problemas de otimização convexa envolvendo as desigualdades matriciais lineares, 1 A notação P 0 indica que a matriz P é definida positiva. P 0 indica que P é semidefinida positiva. Da mesma forma, P 0 e P 0, indicam que P é, respectivamente, definida negativa e semidefinida negativa 2 Os símbolos e marcam, respectivamente, o fim de uma definição ou de um teorema. 7

21 8 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO conhecidas na literatura por LMI s (do inglês linear matrix inequalities). Dado que estes problemas de otimização podem ser resolvidos numericamente com muita eficiência, as LMI s vêm tomando espaço importante no projeto de controladores, sobretudo robustos. Dentre as várias situações que podem ser resolvidas utilizando esta metodologia está a construção de funções quadráticas de Lyapunov para análise de estabilidade e desempenho de sistemas dinâmicos incertos. Este será o tópico desta seção, base para a compreensão das metodologias de análise e projeto de controladores robustos a serem tratadas nas seções seguintes. Teorema 1 (Complemento de Schur) Seja P uma matriz particionável da seguinte forma P = P 11 P 12 P12 T P 22 (2.2) P é uma matriz definida positiva se e somente se pode-se aplicar um dos complementos de Schur a seguir [2], [23]: ou P 22 0 P 11 P 12 P 1 22 P T 12 0 P 11 0 P 22 P 12 P 1 11 P T 12 0 (2.3). (2.4) O complemento de Schur é muito útil para transformar desigualdades matriciais não-lineares em LMI s, com resolução muito facilitada. Um primeiro exemplo de sua utilização é em restrições quadráticas [2]: (x T x T )Q 1 (x x) q q x T x T x x Q 0. (2.5)

22 2.1. DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES (LMI S) 9 Outro exemplo, talvez mais importante, é possibilitar uma representação em LMI para a equação de Riccati [2]: AX + XA T BB T + XC T CX 0 AX + XAT BB T XC T 0. (2.6) CX I LMI e estabilidade de sistemas dinâmicos incertos Apresentar-se-á a seguir a utilização das desigualdades matriciais lineares na análise da estabilidade de sistemas dinâmicos invariantes no tempo. Teorema 2 (Lyapunov) Seja um sistema linear autônomo de representação no espaços de estados ẋ(t) = Ax(t) (2.7) Todos os autovalores de A possuirão partes reais negativas, e portanto o sistema será assintoticamente estável, se e somente se para alguma matriz Q simétrica definida positiva, a desigualdade de Lyapunov A T P + P A Q (2.8) tenha uma única solução simétrica e positiva definida P [2]. O Teorema 2 é uma forma especial de LMI de ampla utilização em teoria de controle.

23 10 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO A definição a seguir apresenta a condição para que um sistema dinâmico com incertezas politópicas seja estável para qualquer condição no interior do politopo [2]. Definição 2 Um sistema dinâmico autônomo incerto ẋ = Ax A P {A A = k ξ i A i, ξ i 0 i=1 k ξ i = 1} (2.9) i=1 é dito ser quadraticamente estável se existe uma matriz simétrica definida positiva P tal que A T P + P A 0 A P. (2.10) Apesar de sua utilidade para análise de estabilidade, a definição anterior não provê ferramentas para síntese de controladores estabilizantes de sistemas dinâmicos politópicos. Isto é conseguido utilizando-se da definição seguinte [2]. Definição 3 Um sistema dinâmico autônomo incerto ẋ = Ax + B u u (2.11) k (A, B u ) P {(A, B u ) (A, B u ) = ξ i (A i, B ui ), ξ i 0 k ξ i = 1} i=1 i=1 é dito ser quadraticamente estabilizável por realimentação estática de estados u = Kx se existe uma matriz simétrica definida positiva P tal que (A + B u K) T P + P (A + B u K) 0 A P. (2.12)

24 2.2. ESPAÇOS NORMADOS 11 Em relação à Definição 2, substituiu-se a matriz A pela sua correspondente em malha fechada por realimentação estática de estados. Em todos os casos anteriores, a aplicação das LMI s facilita enormemente os testes de factilibilidade (existência de P) possibilitando a solução de problemas de estabilidade. Esta é apenas uma das utilidades desta ferramenta que será muito explorada para síntese de controladores robustos. 2.2 Espaços Normados Espaços Normados Um espaço normado é um espaço vetorial sobre um corpo F no qual haja uma norma definida. Um exemplo de espaço normado é o R n, com qualquer norma-p vetorial, p = 1, 2,...,, definida. Uma seqüência {x n } em um espaço normado V é chamada de seqüência de Cauchy se x n x m 0 quando n, m. Ela é dita convergente em V, denotado x n x, se x n x 0. Um espaço normado V é chamado de espaço de Banach se toda seqüência de Cauchy em V converge para um elemento de V. O R n e o C n com uma norma-p vetorial são exemplos de espaços de Banach [27]. Definição 4 Seja V um espaço vetorial sobre C. O produto interno em V é uma função complexa denotada por <, > tal que para x, y, z V e α, β C 1. < x, αy + βz >= α < x, y > +β < x, z >; 2. < x, y >=< x,ȳ >;

25 12 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO 3. < x, x >> 0 se x 0. Da definição acima, o produto interno induz uma norma x < x, x >. Assim, em V ainda são válidas as seguintes propriedades 1. < x, y > x y desigualdade de Cauchy-Schwartz; 2. x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 ; 3. x + y = x 2 + y 2, se x y. Um espaço de Hilbert é um espaço normado no qual a norma é induzida pelo produto interno. É portanto um espaço de Banach. O C n com o seu produto interno usual é um exemplo de espaço de Hilbert Espaços normados de Hardy Sejam S C um conjunto aberto e f(s) uma função complexa definida em S. Então, f(s) é dita ser analítica em um ponto z 0 de S se ela é diferenciável em z 0 e também em sua vizinhança. Teorema 3 (Módulo máximo) Se f(s) é definida e contínua em um conjunto limitado S e é analítica no interior de S, então o máximo de f(s) em S está na fronteira de S [30]. O espaço L 2 (jr) ou L 2 é um espaço de Hilbert de funções matriciais em jr e consiste de todas as funções matriciais complexas F(s) tais que a integral T r(f (jω)f (jω))dω < (2.13)

26 2.2. ESPAÇOS NORMADOS 13 seja limitada. T r( ) denota o traço de uma matriz. O produto interno para este espaço de Hilbert é definido como < F, G > 1 T r(f (jω)g(jω))dω (2.14) 2π e a norma induzida por este produto interno é dada por F 2 = < F, F >. (2.15) O espaço H 23 é um subespaço fechado do espaço L 2 com funções matriciais analíticas em Re(s) > 0 (semiplano aberto direito). Definição 5 A norma H 2 é definida como F 2 2 sup{ 1 T r(f (σ + jω)f (σ + jω))dω}. (2.16) σ>0 2π Pode ser mostrado, utilizando-se o teorema de Fatou [20], que F 2 2 = 1 T r(f (jω)f (jω))dω. (2.17) 2π O espaço L é um espaço de Banach de funções matriciais limitadas em jr com norma F sup ω R σ(f (jω)). (2.18) O subespaço racional RL consiste de todas matrizes de transferência racionais e próprias sem pólos no eixo imaginário [30]. O espaço H é um subespaço fechado do L com funções que são analíticas e limitadas no semiplano aberto direito [30]. 3 Neste trabalho, os símbolos H 2 e H denotarão tanto os espaços normados de Hardy quanto suas respectivas normas. A distinção se fará de acordo com o contexto.

27 14 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO Definição 6 A norma H é dada por F sup σ(f (s)) = sup σ(f (jω)) (2.19) Re(s)>0 ω R Cálculo das normas H 2 e H Considere a matriz de transferência G(s) = C(sI A) 1 B + D com A estável. A norma H 2 pode ser calculada por G(s) 2 2 = T r(b T W o B) = T r(cw c C T ) (2.20) onde W o e W c são, respectivamente, os gramianos de observabilidade e de controlabilidade de G(s) [30]. A norma H pode ser calculada por G = max ω R σ(g(jω)) (2.21) Numericamente, a norma H pode ser obtida da representação em espaço de estados como o menor valor γ tal que a matriz Hamiltoniana H = A + BR 1 D T C BR 1 B T (2.22) C T (I + DR 1 D T )C (A + BR 1 D T C) T não possua autovalores no eixo imaginário e R = γ 2 I D T D. Um procedimento iterativo para o cálculo da norma H consiste em iniciar com um valor elevado para γ e reduzindo-o até que H apresente valores sobre o eixo imaginário.

28 2.3. CONTROLE H 2 15 De 2.21, observa-se que minimizar a norma H consiste na minimização do pico do valor singular máximo, o que implica a otimização do sistema em sua pior direção e freqüência. A sua principal vantagem é a conveniência da representação de incertezas não-estruturadas, já que essas podem ser tratadas através de um limitante superior. Já a norma H 2 corresponde à minimização da soma dos quadrados de todos os valores singulares sobre todas as freqüências, resultando na otimização do sistema sobre a média das direções e freqüências. Toma papel importante quando na presença de perturbações modeladas através de ruído gaussiano. 2.3 Controle H 2 Definição 7 (Problema H 2 ) Seja o sistema representado em espaço de estados por ẋ = Ax + B 1 u + B 2 w z = C 1 x + D 12 u y = C 2 x + D 21 w (2.23) com diagrama de blocos como na Figura 2.1, que indica realimentação estática de estados, u = Kx. O problema de controle H 2 resume-se em encontrar um controlador estabilizante K que minimize a norma H 2 da matriz de transferência de malha fechada de w para z [23], [30]. O controle H 2 tem forte influência sobre perturbações e ruídos com características estocásticas. Seja F a matriz de transferência de malha fechada

29 16 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO Figura 2.1: Diagrama de blocos para o sistema de controle robusto padrão. w representa as entradas de perturbação e z as saídas para controle robusto. de w para z com w contaminada por ruído branco E{w(t)w(τ)} = Iδ(t τ) (2.24) onde E representando a esperança matemática. A potência esperada no sinal de erro z é dada por E { 1 T lim T z(t)dt} 2T T z(t)t = Traço(E{z(t)z(t) T }) F (jω)f (jω)t dω = 1 2π = F 2 pelo teorema de Parseval (2.25) Assim, o controle H 2 visa a minimizar a influência de ruídos estocásticos sobre a saída z, ou minimizar o seu valor médio quadrático (RMS) [11], [23].

30 2.4. CONTROLE H 17 Definição 8 (Resolução do controle ótimo H 2 via LMI s) Seja a planta P(s) descrita no espaço de estados como na Definição 7. O problema de controle H 2 pode ser solucionado via LMI s através de [11], [20] minimize o Traço(J) s. a J BT 2 B 2 X 0 (2.26) AX + XAT + B 1 Z + Z T B1 T XC1 T + Z T D12 T C 1 X + D 12 Z I 0 com J e X simétricas, K = ZX 1 e T zw 2 2 = Traço(J). 2.4 Controle H Definição 9 (Transformação Linear Fracionária) Seja P(s) uma planta com saída y realimentada dinamicamente por um controlador estabilizante K(s). Seja ainda P(s) acometida por incertezas estruturadas de z a w e particionável como Z(s) Y (s) = P 11 P 12 P 21 P 22 W (s) U(s). (2.27) A função de transferência de malha fechada de w a z é dada pela transformação linear fracionária abaixo [11]: F(P, K) P 11 + P 12 K(I P 22 K) 1 P 21. (2.28)

31 18 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO Definição 10 (Problema H ) O problema padrão de controle ótimo H consiste em encontrar todos os controladores estabilizantes K que minimizem F(P, K) = max ω ou seja a norma H de w para z [11], [30]. σ(f(p, K)(jω)), (2.29) Na prática, em geral, não é necessário obter um controlador ótimo, sendo mais simples encontrar uma solução sub-ótima de forma que F(P, K) < γ (2.30) com γ > γ min, onde γ min é o valor mínimo da norma anterior para todos os controladores estabilizantes K. O controle H é um problema de rejeição de perturbações. Ele consiste na minimização do ganho máximo de malha fechada do canal de w para z já que y 2 G = sup (2.31) u 1 u 2 em que ambos u e y estão contidos em um espaço de sinais de energia finita. Obviamente, o sinal u não pode ser nulo. Assim, a interpretação das observações acima é que esta formulação minimiza os efeitos da pior perturbação u na saída y [23]. A seguir será apresentada a formulação do problema de otimização do desempenho H baseada nas desigualdades matriciais lineares. Não será apresentada a dedução, mas apenas o resultado final, sendo aquela obtida

32 2.5. FUNDAMENTOS DE OTIMIZAÇÃO VETORIAL 19 das referências bibliográficas indicadas. Também não se preocupou em apresentar a formulação baseada nas equações de Riccati, já que estas não serão utilizadas neste trabalho. Definição 11 (Otimização do desempenho H via LMI s) Seja a planta P(s) dada no espaço de estados por ẋ = Ax + B 1 w + B 2 u z = C 1 x + D 11 w + D 12 u y = C 2 x + D 21 w (2.32) O problema de controle H pode ser solucionado minimizando-se γ com N 12 e N 21 representando, respectivamente, as bases dos espaços nulos de (B2 T, D12) T e (C 2, D 21 ) para matrizes R e S simétricas tais que [11], [20] T N AR + RA T RC1 T B C 1 R γi D 11 N I 0 I B1 T D 11 γi T N A T S + SA SB 1 C T B1 T S γi D11 T N I 0 I C 1 D 11 γi R I 0 I S 2.5 Fundamentos de Otimização Vetorial Das seções anteriores, pode-se depreender que o problema de controle H 2 e H é basicamente um procedimento de otimização escalar, ou seja, com um

33 20 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO único objetivo de minimização. Esta seção apresenta os conceitos básicos da otimização vetorial, em que se busca a minimização conjunta de mais de um objetivo. Esta abordagem é fundamental para tratar o problema de controle misto H 2 /H discutido a seguir. A definição do Conjunto Pareto-ótimo é vital nesta Dissertação, pois estará presente em todas as discussões futuras Definição do problema de otimização vetorial Seja f( ) : R n R m uma função vetorial real e X R n o domínio de f, denominado espaço de parâmetros. Ao espaço que contém o conjunto-imagem da função vetorial anterior dar-se-á o nome de espaço de objetivos Y. Desejase com o problema de otimização vetorial determinar o conjunto X X, chamado de conjunto de soluções eficientes ou de Conjunto Pareto-ótimo, que minimize em algum sentido a função vetorial f Dominância e conjunto Pareto-ótimo Definição 12 (Sinais de ordenamento vetorial) Sejam x, y R n. Os sinais de ordenamento, <, = e definem-se como i) x y {x i y i, i = 1,..., n}; ii) x < y {x i < y i, i = 1,..., n}; iii) x = y {x i = y i, i = 1,..., n}; iv) x y { i x i y i } [27].

34 2.5. FUNDAMENTOS DE OTIMIZAÇÃO VETORIAL 21 Definição 13 (Dominância) Diz-se que o ponto x 1 X domina o ponto x 2 X se f(x 1 ) f(x 2 ) e f(x 1 ) f(x 2 ). Equivalentemente, diz-se que f(x 1 ) Y domina o ponto f(x 2 ) Y, nessas mesmas condições [27]. Definição 14 (Solução Pareto-ótima) Diz-se que o ponto x X é uma solução Pareto-ótima de um problema de otimização vetorial se ele não é dominado por nenhum outro ponto em X, ou, equivalentemente, não há x X tal que f(x) f(x ) e f(x) f(x ) [27]. Definição 15 (Conjunto Pareto-ótimo) É o conjunto que reúne todas as soluções Pareto-ótimas de um problema de otimização vetorial [27]. O exemplo a seguir visa a apresentar de forma mais clara os conceitos anteriores. Exemplo 1 Seja o problema de otimização vetorial encontrar o conjunto Pareto-ótimo para f 1 = x x 2 2 e f 2 = (x 1 2) 2 + (x 2 2) 2 com x 1 e x 2 limitados pelo círculo centrado na origem de raio 2, ou seja, x x O espaço de parâmetros X, representado pela Figura 2.2, compreende todos os valores de x 1 e x 2 contidos no círculo acima. O espaço de objetivos Y, representado na Figura 2.3, compreende a imagem das funções f 1 e f 2 sobre o espaço de parâmetros, apresentados em um gráfico f 2 f 1. Já o conjunto Pareto-ótimo é apresentado na Figura 2.4 e está representado pelas soluções destacadas da borda inferior de Y.

35 22 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO 2 Espaço de parâmetros x x 1 Figura 2.2: Espaço de parâmetros x 1 x 2, X. Região interna do círculo de raio 2 centrado na origem. 25 Espaço de objetivos f f 1 Figura 2.3: Espaço de objetivos Y. Imagens de f 1 = x x 2 2 e f 2 = (x 1 2) 2 + (x 2 2) 2 com x 1 e x 2 limitados pelo círculo da Figura 2.2.

36 2.6. CONTROLE MISTO H 2 /H 23 9 Conjunto Pareto ótimo f f 1 Figura 2.4: Conjunto Pareto-ótimo para o espaço de objetivos da Figura 2.3. Não há solução em Y que seja melhor que essas em ambos objetivos f 1 e f Controle Misto H 2 /H Em muitas aplicações reais, os controladores H 2 e H não conseguem, individualmente, atender a todos os requisitos de desempenho. Em um projeto H, por exemplo, a atenuação de ruídos e a regulação sob a ação de perturbações não seriam eficientemente abordados, já que estes são melhor expressos na forma de problemas H 2. Mesmo utilizando-se uma formulação que inclua em cada uma destas metodologias um artifício de alocação de pólos de malha fechada, encontrar um controlador que atenda bem a ambos os critérios seria de grande valia. Daí surge então o Controle Misto H 2 /H. Do exposto nas seções anteriores, tanto o projeto H 2 quanto o projeto H podem ser formulados como processos de otimização convexa. É natu-

37 24 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO ral pensar-se também que cada um desses objetivos possua valores mínimos diferentes no domínio das soluções estabilizantes, já que são calculados com base em formulações diferentes. Isso levaria facilmente à dedução de que seria impossível obter um controlador que minimize simultaneamente ambos os critérios. O viável seria então obter o melhor controlador que atenda bem a ambos objetivos. Essa forma de encarar o controle misto H 2 /H é idêntica à apresentada na seção anterior. Se for possível elaborar um método de otimização multi-objetivo tendo como objetivos as normas H 2 e H, pode-se obter um conjunto de soluções eficientes composto das melhores soluções possíveis para o projeto. Felizmente, isso é possível e facilmente realizável com otimização convexa via LMI s, que possibilita ainda a inclusão de restrições de alocação de pólos de malha fechada. Dessa forma, uma definição do projeto misto H 2 /H teria a seguinte apresentação. Definição 16 (Controle Misto H 2 /H ) Sejam H um sistema em malha fechada, γ 2 o valor da norma H do sistema em malha fechada com norma H 2 ótima e γ a norma H ótima. Seja ainda S o conjunto dos controladores estabilizantes. O problema de projeto misto H 2 /H consiste em obter o conjunto K 2 tal que [11] K 2 K 2 K 2 = arg min H 2 H γ sujeito a : K S γ γ γ 2 (2.33)

38 2.6. CONTROLE MISTO H 2 /H 25 A seguir será apresentada a formulação básica LMI para o projeto de controladores mistos H 2 /H para o caso de realimentação dinâmica da saída 4. Definição 17 (Formulação LMI para controle misto H 2 /H ) [11] Seja um sistema com representação nos espaços de estados da Equação 2.34 ẋ = Ax + B 1 w + B 2 u z = C x + D 1 w + D 2 u (2.34) z 2 = C 2 x + D 22 u y = C y x + D y1 w cuja saída y está dinamicamente realimentada por um controlador K, com representação em espaços de estado da Equação ζ = A K ζ + B K y u = C K ζ + D K y (2.35) levando a um sistema em malha fechada com a representação em espaços de estado da Equação 2.36 ẋ cl = A cl x cl + B cl w z = C cl1 x cl + D cl1 w z 2 = C cl2 x cl + D cl2 w. (2.36) A estratégia de obtenção do controlador misto H 2 /H via LMI deve atender aos seguintes objetivos de desempenho, também descritos em LMI desempenho H : o ganho RMS de malha fechada entre w e z não 4 Maiores informações a respeito desta formulação e o cálculo dos controladores podem ser encontradas em Gahinet et. al. [11]

39 26 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO excede γ se e somente se existe uma matrix simétrica X tal que A cl X + X A T cl B cl X Ccl1 T Bcl T I Dcl1 T C cl1 X D cl1 γ 2 I 0 (2.37) X 0 desempenho H 2 : a norma H 2 de malha fechada entre w e z 2 não excede ν se e somente se D cl2 = 0 e existem duas matrizes simétricas X 2 e Q tais que A clx 2 + X 2 A T cl B T cl Q C cl2x 2 X 2 Ccl2 T X 2 B cl 0 I 0. (2.38) Traço(Q) < ν 2 Desta forma, uma formulação multi-objetivo LMI que atende aos requisitos anteriores, fica como a Equação 2.39

40 2.6. CONTROLE MISTO H 2 /H 27 Minimize αγ 2 + βtraço(q) com A cl X + X A T cl B cl X Ccl1 T B cl T I Dcl1 T 0 C cl1 X D cl1 γ 2 I X 0 A clx + X A T cl B T cl Q C cl2x X Ccl2 T X B cl I 0 0 (2.39) Traço(Q) < ν 2 0 γ 2 < γ 2 0 sendo X X = X 2, ν 0 um limitante para a norma H 2 e γ 0 um limitante para a norma H. A Equação 2.39 é a base para o algoritmo hinfmix do MatLab LMI Control Toolbox c. Esta função permite também a alocação de pólos de malha fechada [11]. Neste trabalho, adotar-se-á este algoritmo para a obtenção de cada controlador robusto H 2 /H componente do conjunto de Pareto. Para esta formulação LMI, não se garante que a solução obtida seja ótima, já que os valores γ 0 e ν 0 operam apenas como limites superiores para as norma H e H 2 respectivamente. Assim, um algoritmo que a utilize iterativamente para a obtenção de um conjunto de soluções eficientes, não resultará em um conjunto Pareto-ótimo. Dado ser essa a metodologia a ser empregada neste trabalho e para evitar incorreção formal, adotar-se-á para qualquer conjun-

41 28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE CONTROLE ROBUSTO to de soluções eficientes H 2 H a denominação de Conjunto Paretosubótimo [28].

42 Capítulo 3 Projeto misto H 2 /H multi-objetivo 3.1 Introdução No capítulo anterior, sedimentaram-se os conhecimentos básicos necessários para a compreensão do texto. Descreveram-se as principais metodologias adotadas em controle robusto e os fundamentos de otimização multi-objetivo. O objetivo deste capítulo é apresentar a utilização destes fundamentos no projeto de controladores mistos H 2 /H que reflitam restrições e critérios de desempenho comuns na prática tradicional de Controle de Processos Industriais, como percentual de sobre-sinal, tempo de acomodação, índices integrais sobre o erro e sinal de controle, etc. Assim, pretende-se aproximar o projeto de controle robusto do conhecimento mais geral do controle clássico, tornando a obtenção de controladores mais natural para um Engenheiro de Processos, com a vantagem de agregar robustez a incertezas e dinâmicas não-modeladas presentes na planta em questão. 29

43 30 CAPÍTULO 3. PROJETO MISTO H 2/H MULTI-OBJETIVO Este capítulo tratará inicialmente da obtenção de um conjunto Paretosubótimo H 2 H. Os controladores robustos assim obtidos representarão as soluções subótimas que atendam aos critérios robustos H 2 e H da melhor forma possível. A seguir, será descrita a conversão dos critérios acima mencionados para outros que representem o desempenho do sistema por meio de índices práticos de desempenho mais comuns e compreensíveis para um operador do sistema. Esta conversão naturalmente implicará em um conjunto de soluções em que poderá ser obtido um conjunto Pareto-transformado, conforme definido a seguir: Definição 18 (Conjunto Pareto-transformado) Seja Φ o conjunto das soluções Pareto-ótimas de um problema de projeto H 2 /H. Seja P ( ) o operador que, atuando sobre um conjunto, retorna o sub-conjunto não dominado desse conjunto. Seja f( ) uma função vetorial de índices de desempenho práticos. O conjunto Pareto-transformado do problema, Ψ, é dado por: Ψ = P (f(φ)) (3.1) Será mostrado que essa definição, aqui proposta, poderá possibilitar significativa redução do número de soluções de interesse e, mais importante, irá propiciar a ordenação das alternativas de projeto segundo índices de desempenho que têm significado claro para o projetista. Finalmente, será apresentado o processo de escolha da solução que será aplicada à planta sob análise. Este passo, comumente chamado de processo de decisão, consiste em uma apresentação sistemática do comportamento do

44 3.1. INTRODUÇÃO 31 sistema com os vários controladores e em sucessivos questionamentos ao operador de forma a chegar àquela solução que melhor atenda aos seus objetivos de desempenho. Para que este capítulo seja suficientemente autocontido, é necessário que seja apresentado um exemplo numérico para a execução de cada passo e discussão dos resultados. Este é enunciado a seguir: Exemplo 2 (Sistema-exemplo) Considere como planta para este capítulo um sistema P como o da Figura 3.1 e com representação nos espaços de estados com ẋ = Ax + B 1 w + B 2 u z = C x + D 1 w + D 2 u z 2 = C 2 x + D 21 w + D 22 u y = C y x + D y1 w + D y2 u (3.2) Figura 3.1: Diagrama de blocos para a planta generalizada P, exemplo deste capítulo. w representa a entrada de perturbação, z a saída para controle robusto H e z 2 as saídas para controle robusto H 2.

45 32 CAPÍTULO 3. PROJETO MISTO H 2/H MULTI-OBJETIVO A = , B 1 = 1, B 2 = [ ] C y = C = 1 0 0, C 2 = 0 1 0, 0 0 0, D 1 = D 2 = D y1 = D y2 = 0, 0 0 D 21 0, D 22 = Este sistema-exemplo será utilizado ao longo deste capítulo para ilustrar os procedimentos de projeto aqui propostos. 3.2 Projeto misto H 2 /H Conforme descrito no capítulo anterior, os projetos H 2 e H visam à obtenção de controladores estabilizantes para todo um conjunto incerto, que minimizem o pior caso das respectivas normas da função de transferência entre as entradas de perturbações e as saídas ou estados de interesse no conjunto incerto. Cada uma das metodologias apresenta vantagens também citadas anteriormente. Em várias situações deseja-se uma minimização conjunta de ambas as normas. Naturalmente, esta situação é impossível dado serem os objetivos formulados diferentemente e, portanto, com mínimos dis-

46 3.2. PROJETO MISTO H 2 /H 33 tintos 1. Isso descarta a possibilidade de obter-se um controlador que atenda simultaneamente a ambas minimizações. A otimização multi-objetivo é constituída de duas etapas: a primeira denominada escalarização refere-se à definição formal do problema e à escolha da metodologia de resolução. A segunda trata da elaboração de algoritmos computacionais capazes de executar as estratégias traçadas no passo anterior. Com relação à otimização multi-objetivo H 2 /H, a etapa de escalarização pode ser sintetizada pelas formulações em 1 e 2. Problema 1 (Otimização multi-objetivo H 2 /H ) O projeto misto H 2 /H para a planta P, Sistema-exemplo 2, consiste em obter um conjunto de controladores dinâmicos estabilizantes, formando um conjunto Pareto-ótimo, tal que da realimentação dinâmica da saída de P pelos mesmos produzam-se sistemas em malha fechada capazes de minimizar, no sentido da Paretootimalidade, as normas H 2 e H da perturbação w para as saídas z 2 e z respectivamente. Problema 2 (Abordagem ɛ-restrito aplicada ao problema H 2 /H ) Sejam f e f 2 funções que representem, respectivamente, as normas H e H 2 da malha fechada da planta P com um controlador dinâmico K, como descrito no Problema 1. Seja ainda ɛ j um número real com j = 1,..., m. Se α i, i = 1,..., n, pertencente ao espaço de objetivos, é uma solução eficiente e portanto pertencente também ao conjunto Pareto-subótimo, então α i resulta 1 É relativamente raro o caso em que duas funções-objetivo com significados diferentes têm ponto minimizante idêntico. Esse caso não tem relevância prática: ele apenas indica que o problema bi-objetivo pode ser substituído por um problema mono-objetivo em um dos objetivos apenas.

47 34 CAPÍTULO 3. PROJETO MISTO H 2/H MULTI-OBJETIVO do problema de otimização escalar [27]: α i = arg min f 2 sujeito a: {f ɛ j, j = 1,..., m (j i)} (3.3) Um algoritmo capaz de alcançar as diretrizes acima segue o seguinte procedimento: se ɛ j varre uma faixa de valores de interesse para a norma H, definida pelos critérios práticos de desempenho, obtêm-se, para cada um deles, os valores α i que são as normas H 2 mínimas nessas condições. Este procedimento garante a obtenção das soluções eficientes [27]. Uma questão adicional é a escolha da referida faixa de valores para a norma H. Um procedimento interessante para esse fim consiste na obtenção da solução ótima H para o problema em questão. Este será, obviamente, o limite inferior desta faixa. Obtém-se então a solução ótima H 2 e calculamos o valor de sua norma H. Este último será, em tese, o limite superior da faixa. O aplicativo MatLab c possui um repertório de funções capazes de calcular controladores nas condições do Problema 1 que minimizam a norma H 2 dado que a norma H ɛ R. Neste trabalho, em particular, utilizou-se a função hinfmix (LMI toolbox) para obter cada controlador, como exposto no Capítulo 2. Utilizando-se esta função como parte de um processo iterativo capaz de percorrer a faixa de valores da norma H descrita acima, obtém-se o conjunto Pareto-ótimo com qualquer precisão que for estabelecida. Devido à utilização de uma abordagem baseada em LMI, não se obterá o referido conjunto Pareto-ótimo, mas um conjunto de soluções subótimas que receberá a denominação de Conjunto de Pareto-subótimo 2. 2 Para maiores detalhes, refira-se à seção 2.6

48 3.3. ÍNDICES PRÁTICOS DE DESEMPENHO 35 Utilizando-se os procedimentos descritos acima para resolver os Problemas 1 e 2, considerando o Sistema-exemplo 2 deste capítulo, obtém-se o conjunto Pareto-subótimo com as faixas de valores para as normas H 2 e H apresentadas na Tabela 3.1. Na Figura 3.2, apresenta-se tal conjunto para T w,z , sendo esse limitante escolhido para melhor visualização. 3 Norma Mínimo Máximo H 2 0,2003 3,2857 H 5, ,3857 Tabela 3.1: Faixa de valores para as normas H 2 e H para o conjunto Paretosubótimo do Sistema-exemplo Índices práticos de desempenho Apesar de fundamentais para tratar com problemas de controle de plantas sujeitas a incertezas, os critérios H 2 e H não são naturalmente interrelacionados com critérios de desempenho mais comuns na prática de Controle de Processos Industriais. Sabendo que uma quantidade significativa das malhas de controle existentes nos processos industriais é composta por controladores PID mal sintonizados, é natural que a utilização de uma abordagem nova como o Controle Robusto gere desconfiança. Entretanto, muitos processos exigem, seja pela sua complexidade, seja pelo desempenho que deles se espe- 3 Neste trabalho, T w,z denotará o valor da norma H da função de transferência entre a entrada w e a saída z