Camada Limite na Modelagem Física da Coluna de Ar do Saxofone Luís Carlos de Oliveira 1, Ricardo Goldemberg 2, Jônatas Manzolli 1

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1 Camada Limite na Modelagem Física da Coluna de Ar do Saxofone Luís Carlos de Oliveira, Ricardo Goldemberg 2, Jônatas Manzolli Instituto de Artes e Núcleo Interdiscilinar de Comunicação Sonora Universidade Estadual de Caminas (UNICAMP) São Paulo SP Brasil 2 Instituto de Artes - Universidade Estadual de Caminas (UNICAMP) {luis, jonatas}@nics.unicam.br, rgoldem@matrix.com Abstract. Using a hysical model of a saxohone, the effect of the boundary layer on the air oscillations in the tube will be analyzed. From the laws of Acoustic two kinds of equations will be obtained: one that considers the influence of the boundary layer on the air oscillations (EC) and other that does not (ENC). We hoe that alying the model with the EC, the effective gain in the results will describe better the behavior of the saxohone sonority against the comutational effort. Resumo. A artir da modelagem física do saxofone, o efeito da camada limite sobre a oscilação do ar na arede do tubo será analisado. Partindo das leis da Acústica são aresentadas equações que consideram o efeito da arede do tubo (EC) e equações que desrezam este efeito (ENC). Eserase resonder sobre a efetiva vantagem obtida na utilização e análise dos arâmetros das EC na obtenção de resultados, que mediante um maior esforço comutacional, ossam descrever com maior recisão o comortamento sonoro do saxofone.. Introdução A modelagem física do comortamento acústico de instrumentos musicais vem recentemente ganhando maior intensidade. Benade (960), físico e músico, foi o recursor e o maior motivador da alicação desta ferramenta no tratamento dos instrumentos de soro. Princialmente ara a clarineta, oboé e saxofone. Mais recentemente, Nederveen (998), Fletcher e Rossing (998) e Smith (996) vêm estimulando o emrego da modelagem matemática na abordagem dos instrumentos de soro. Tendo como artida estas referências, este trabalho rocurará analisar como o modelo matemático descreve a acústica do saxofone quando o efeito da camada limite é levado em consideração. Para tanto, inicialmente serão exostas as equações diferenciais arciais considerando o efeito da camada limite. Em seguida, as equações obtidas serão reduzidas ara quando este efeito não é considerado. Os resultados estão em fase de elaboração. No momento serão aresentadas aenas as equações que descrevem o fenômeno e a metodologia que será emregada ara resolver este roblema.

2 2. Modelos Matemáticos A intenção rimeira é determinar a freqüência natural de um saxofone existente ou hiotético a artir de suas dimensões geométricas, roriedades do escoamento e mecânica das alhetas. O ferramental eleito ara tal finalidade será a utilização das equações mencionadas acima. Sabe-se que ara descrever o escoamento em qualquer tio de instrumento de soro, basta resolver, em rincíio, as equações de Navier- Stokes. Elas descrevem o escoamento com maior número de detalhes, incluindo as equações de conservação de energia, quantidade de movimento mais a equação de continuidade. Fletcher e Rossing (998) indicaram, orém, que mesmo ara os casos mais simlificados, a solução numérica deste sistema de equações diferenciais arciais e não-lineares requer um comutador de grande orte. O rocedimento comumente adotado consiste em utilizar equações semiemíricas. São modelos matemáticos mais simles que incororam rincíios da mecânica dos fluidos nas hióteses gerais. Ainda assim, torna-se bastante difícil descrever tal escoamento sem algumas hióteses simlificadoras. Nederveen (998) as enumeram como: i)o ar no tubo realiza vibrações aenas na direção longitudinal; ii)as dimensões transversais do tubo são equenas com relação ao comrimento de onda; iii)o coro do instrumento é modelado geometricamente como um cilindro uro ou um cone uro; iv)a arede do tubo é suficientemente rígida e esada de modo a não vibrar; v)a arede do tubo ossui condutividade térmica e caacidade calorífica suficientemente grande de modo a manter a temeratura constante (desreza a transferência de energia); vi)a camada limite é desrezível, isto é, a distância da arede (onde a velocidade é nula) ao onto da secção transversal onde a velocidade é aroximadamente constante é desrezível; vii)a geometria real do instrumento de soro é simlificada. O tubo com seus furos laterais é considerado como uma combinação de edaços de tubos, sem furo, arranjados em série e aralelo. Em conjunto com estas hióteses simlificadoras, ara os diferentes instrumentos de soro, faz-se necessário romover correções do modelo matemático referentes ao(s): Def.: a)mecanismo de excitação; b)efeitos da camada limite na arede do tubo; c)desvios da geometria real do coro do instrumento. A Freqüência Natural Calculada (FNC) a artir desta modelagem aresenta, na maioria das vezes, valor mais baixo que a Freqüência Natural do Instrumento (FNI). É comum encontrar freqüência até um semitom mais baixo que a FNI. Esta é, então, a motivação deste trabalho. Analisar a influência das hióteses simlificadoras, como também das correções necessárias, do modelo matemático com relação a uma melhor aroximação da realidade. Em articular, neste trabalho, dentre as três correções mencionadas acima na Def., aenas o efeito da camada limite será analisado na modelagem física. 3. Conceitos Acústicos e Extensão do Modelo As erdas que ocorrem nas aredes do tubo são distinguidas em erdas viscosas e térmicas. As erdas viscosas são devido ao atrito do ar com as aredes do tubo que são rugosas microscoicamente. Nederveen (998) mostrou que as erdas térmicas ocorrem 2

3 devido à arede do saxofone estar raticamente à temeratura constante enquanto a temeratura na corrente de ar flutua, rincialmente, devido a variações adiabáticas de ressão. Quanto mais róximo à arede, mais os dois efeitos são sentidos. Em instrumentos de soro a situação é tal que a influência da arede é sentida em uma estreita camada de fronteira, denominada camada limite. Fora da camada limite, a velocidade é raticamente constante através de toda a secção transversal e as mudanças de estado são raticamente adiabáticas. O saxofone assemelha-se a um tronco de cone, munido com uma boquilha que sustenta uma alheta de bambu ou material sintético como mecanismo de excitação. O truncamento do cone é aroximadamente de 0% de seu comrimento geométrico total. A distância até o áice (o qual está fora do tubo, ver figura ) do cone será denotada or r. Para incluir o efeito da camada limite sobre as oscilações do ar no tubo, as equações de quantidade de movimento e de continuidade incluem fatores de ajuste (variáveis comlexas) que descrevem a ação na arede: u u = ρ = K r w t t w r... () onde, = ressão sonora relativa, r = coordenada de osição, ρ = densidade do ar, u = velocidade da artícula, K = modulus médio ( bulk ) do ar, a = raio do tubo, η = viscosidade do ar, γ = razão entre os calores esecíficos, λ = condutividade térmica, C = calor esecífico a ressão constante, ω = freqüência angular = 2πf ρ = ρ K w w = K [ + ( j) α v ], [ ( j) α ] t α v = a α t = a 2η, ωρ ( γ ) 2λ ωρc... (2) Eliminando u entre estas duas equações e introduzindo a variável adimensional, w=kr, onde k é o número de onda ( wave number ) em m -, Nederveen (998) obteve como solução geral da equação de onda: A ε v = ex β f + β sen ln + w w onde, as constantes A e ψ são comlexas e ( w + ψ + β w βg)... (3) ϕ = ( j) ϕ = β ln ϕ, ε v ε v 2 ( w w) + g g cos2b + f sen 2B + B sen 2 w w 3

4 B = w + ψ + β ln w + βg; ( ) ( ) r 2η ( ) 2λ β = j β = j k + γ ; 2a ε v = ωρ ωρc + ( γ )( λ ηc ) 2 ABRAMOWITZ e STEGUN (965) aresentam os valores das funções f e g tabelados ou determinados analiticamente. A velocidade u da artícula ode ser encontrada substituindo esta solução na equação (). Uma variável bastante útil na análise de oscilações em tubo é a vazão volumétrica U, que é obtida multilicando-se a velocidade da artícula u ela área da secção transversal S: U = u S... (4) Figura : Tubos cilíndrico e cônico com a mesma freqüência natural Igualmente útil ara a abordagem deste roblema é a relação entre e U. Com este roósito definem-se a imedância acústica Z e a admitância Y como: Z = U U Y =... (5) Resolvendo a equação () ara u e substituindo em (4) e (5), a admitância tem or exressão: S() r Y = + cot( W w + ϕ jθ ) jρc w... (6) Nas exressões anteriores, todos os termos que ossuem β indicam que o efeito da camada limite está sendo levado em consideração. Fazendo β = 0 nas equações acima, elas são reduzidas àquelas ara o caso onde o efeito da camada limite é desrezado: A = sen( w + ψ ); w ( r) S Y = cot ψ jρc w ( w + )... (7) Da equação acima se nota a deendência da área da secção transversal S com a osição r. Esta equação é válida ara um cone exandindo-se ara a direita, denominado cone ositivo. Por convenção, ara utilizar esta mesma equação ara o cone negativo atribuem-se sinais negativos ara todas as distâncias até o áice do cone, ver figura 2. 4

5 Figura 2: Quantidades e símbolos usados ara o cone negativo, onde os valores de r são negativos (à esquerda) e ara o cone ositivo, onde os valores de r são ositivos (à direita). O onto de excitação está em E. Note que o comrimento do tubo, l =r -r 0, é ositivo em ambos os tubos. Para obter as equações da freqüência de ressonância arte-se da equação da admitância emregando duas condições de contorno. Uma no onto de excitação, r=r 0, onde a admitância de entrada é conhecida, Y E e outra na saída aberta, r=r, onde a admitância de radiação também é conhecida, Y rad. 4. Metodologia Para uma melhor comreensão das equações aresentadas e da metodologia a ser adotada, aresentamos a seguir uma noção intuitiva da camada limite. Um saxofonista iniciante ao assorar seu instrumento não obtém uma sonoridade satisfatória. Podemos suor que o ar escoando no interior do tubo não ossui velocidade constante. Mas odemos imaginar, or outro lado, que o ar não ocua homogeneamente toda a extensão diametral do tubo. À medida que o instrumentista torna-se mais exeriente, o ar escoa através do tubo com velocidade constante e ainda consegue reencher uma extensão diametral homogênea maior no interior do tubo. A região (ensando diametralmente) comreendida entre a arede até o onto onde a velocidade de escoamento é raticamente constante é denominada como camada limite. Esta região é estreita na entrada do tubo e vai alargando-se ao longo do comrimento. Utilizando as equações (6) e (7) da admitância ara os casos que consideram e desrezam, resectivamente, o efeito da camada limite juntamente com as condições de contorno descritas na seção anterior retende-se fazer uma simulação numérica que relacione o tamanho médio desta região com a sonoridade do instrumento. Para a solução e simulação do modelo físico será emregado o software MATLAB. É um rograma de grande utilidade ara estes casos. Atualmente ele também é caaz de gerar arquivos sonoros (*.wav) com as características timbrísticas do instrumento determinando as FNC ela modelagem física. Numa segunda abordagem, significativamente exerimental, consiste em fazer amostras da sonoridade de vários saxofonistas com diferentes temos de exeriências. Em seguida obter exerimentalmente as admitâncias na entrada e na saída do tubo e comarar estes valores mais as freqüências obtidas com os valores obtidos na abordagem anterior. Num terceiro tratamento, orém de ossibilidade mais remota, é gerar as amostras sonoras a artir de meios mecânicos, onde não há a interferência do músico, e fazer as mesmas comarações. 5

6 5. Discussão e Conclusão Pretende-se mostrar que a sonoridade satisfatória do saxofone é obtida quando a região comosta ela camada limite é minimizada. Isto devido ao atrito imosto elo escoamento do ar em contato com a arede do instrumento. Com os dados obtidos rimeiro, ela simulação com o emrego do MATLAB, segundo, com a gravação direta do instrumento no estúdio do NICS e finalmente com as amostras sonoras obtidas mecanicamente, esera-se determinar o esforço do músico na tentativa de obter uma sonoridade satisfatória do saxofone. 6. Referências Abramowitz, M. e Stegun, I. A. (965) Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Benade, H. A. (959) On Woodwind Instruments Bores, J. Acoust. Soc. Am., 3, Benade, H. A. (960) On the Mathematical Theory of Woodwind Finger Holes, J. Acoust. Soc. Am., 32, Benade, H. A. (985) Requirements and Techniques for measuring the musical Sectrum of the Clarinet, J. Acoust. Soc. Am., 78, Benade, H. A. (988) The Saxohone Sectrum, J. Acoust. Soc. Am., 83, Benade, H. A. (960) Horns, Strings and Harmony, Anchor, Garden City, N.Y.. Benade, H. A. (976) Fundamentals of Musical Acoustics, Oxford Univ. Press, Londres e N.Y.. Fletcher, N. H. (978) Mode Locking in Nonlinearly Excited Inharmonic Musical Oscillators, J. Acoust. Soc. Am., 64, Fletcher, N. H. e Rossing, T. D. (998) The Physics of Musical Instruments, Sringer, 2nd ed.. Gilbert, J., Kergomard, J. e Ngoya, E. (989) Calculation of the Steady-state Oscillations of a Clarinet Using the Harmonic Balance Technique, J. Acoust. Soc. Am., 86, Nederveen, C. J. (998) Acoustical Asects of Woodwind Instruments, Northern Illinois Univ. Press. Smith III, J. O. (996) Physical Modeling Synthesis Udate, htt://wwwccrma.stanford.edu/~jos/ubs.html. Stewart, S. E. e Strong, W. J. (980) Functional Model of a Simlified Clarinet, J. Acoust. Soc. Am., 68,