Comparação de Modelos Bayesianos na Análise de Dados de Contagem de CD4. Emílio A. C. Barros Jorge Alberto Achcar

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1 Comparação de Modelos Bayesianos na Análise de Dados de Contagem de CD4 Emílio A. C. Barros Jorge Alberto Achcar Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto-USP

2 Introdução Dados longitudinais de Contagem na presença de covariáveis.

3 Introdução Dados longitudinais de Contagem na presença de covariáveis. Diferentes modelos, com diferentes estruturas de fragilidade.

4 Introdução Dados longitudinais de Contagem na presença de covariáveis. Diferentes modelos, com diferentes estruturas de fragilidade. Métodos Bayesianos hierárquicos baseados no algoritmo Gibbs Sampling.

5 Introdução Dados longitudinais de Contagem na presença de covariáveis. Diferentes modelos, com diferentes estruturas de fragilidade. Métodos Bayesianos hierárquicos baseados no algoritmo Gibbs Sampling. Motivação;

6 Introdução Dados longitudinais de Contagem na presença de covariáveis. Diferentes modelos, com diferentes estruturas de fragilidade. Métodos Bayesianos hierárquicos baseados no algoritmo Gibbs Sampling. Motivação; Estudo prospectivo, aberto e randomizado.

7 Introdução Dados longitudinais de Contagem na presença de covariáveis. Diferentes modelos, com diferentes estruturas de fragilidade. Métodos Bayesianos hierárquicos baseados no algoritmo Gibbs Sampling. Motivação; Estudo prospectivo, aberto e randomizado. Pacientes infectados pelo HIV (Unidade Especial de Terapia de Doenças Infecciosas - UETDI/HCFMRP- USP).

8 Virgens de tratamento.

9 Virgens de tratamento. Idade superior a 18 anos.

10 Virgens de tratamento. Idade superior a 18 anos. Contagem de linfócitos T CD4+ inferior a 350 cél/mm 3.

11 Virgens de tratamento. Idade superior a 18 anos. Contagem de linfócitos T CD4+ inferior a 350 cél/mm 3. Carga viral superior a 5000 cópias/ml.

12 Virgens de tratamento. Idade superior a 18 anos. Contagem de linfócitos T CD4+ inferior a 350 cél/mm 3. Carga viral superior a 5000 cópias/ml. Características basais semelhantes, quanto à idade, sexo, mediana de CD4 e carga viral.

13 Virgens de tratamento. Idade superior a 18 anos. Contagem de linfócitos T CD4+ inferior a 350 cél/mm 3. Carga viral superior a 5000 cópias/ml. Características basais semelhantes, quanto à idade, sexo, mediana de CD4 e carga viral. Dois esquemas terapêuticos: zidovudina (efavirenz) e lamivudina (lopinavir).

14 Virgens de tratamento. Idade superior a 18 anos. Contagem de linfócitos T CD4+ inferior a 350 cél/mm 3. Carga viral superior a 5000 cópias/ml. Características basais semelhantes, quanto à idade, sexo, mediana de CD4 e carga viral. Dois esquemas terapêuticos: zidovudina (efavirenz) e lamivudina (lopinavir). Objetivo: Comparar a contagem de células CD4 considerando os dois esquemas terapêuticos (efavirenz e lopinavir).

15 Tabela 1: Contagem de CD4 em pacientes infectados pelo HIV (Colares, 2007). Ind Droga Tempo CD4 Ind Droga Tempo CD4 Ind Droga Tempo CD4 1 LPV EFV LPV LPV EFV LPV 2 N A 1 LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV LPV LPV EFV 5 N A 24 LPV LPV EFV 6 N A 24 LPV EFV EFV EFV EFV 2 N A 22 EFV EFV EFV 3 N A 22 EFV EFV EFV 4 N A 22 EFV EFV EFV 5 N A 22 EFV EFV EFV 6 N A 22 EFV EFV LPV: Lopinavir; EFV: Efavirenz; NA: Dados não observados

16 Distribuição de Poisson, Formulação do Modelo P ( ) e λ ijλ y ij ij Y ij = y ij = y ij!,

17 Distribuição de Poisson, Formulação do Modelo P ( ) e λ ijλ y ij ij Y ij = y ij = y ij! y ij = 0, 1, 2,... i = 1,..., n (tamanho amostral). j = 1,..., k (número de tempos).,

18 Modelo 1, λ ij = α j exp ( β j x ij + w i )

19 Modelo 1, λ ij = α j exp ( β j x ij + w i ) x ij = 0 indica que o indivíduo recebeu o tratamento a base de efavirenz x ij = 1 indica que o individuo recebeu o tratamento a base de lopinavir. iid w i N ( 0, τ 2)

20 Modelo 1, λ ij = α j exp ( β j x ij + w i ) x ij = 0 indica que o indivíduo recebeu o tratamento a base de efavirenz x ij = 1 indica que o individuo recebeu o tratamento a base de lopinavir. iid w i N ( 0, τ 2) Modelo 2, λ ij = w i α j exp ( β j x ij ),

21 Modelo 1, λ ij = α j exp ( β j x ij + w i ) x ij = 0 indica que o indivíduo recebeu o tratamento a base de efavirenz x ij = 1 indica que o individuo recebeu o tratamento a base de lopinavir. iid w i N ( 0, τ 2) Modelo 2, λ ij = w i α j exp ( β j x ij ), w i iid Gamma ( φ 1 ; φ 1)

22 Modelo 3, λ ij = r l=1 α lj w li exp ( ) β j x ij,

23 Modelo 3, λ ij = r α lj w li exp ( ) β j x ij, l=1 ( iid w li Gamma φ 1 l ) ; φ 1 l

24 Análise Bayesiana Para o Modelo 1 α j Gamma (a; b) ; a, b conhecidos; β j N ( c; d 2) ; c, d conhecidos;

25 Análise Bayesiana Para o Modelo 1 α j Gamma (a; b) ; a, b conhecidos; β j N ( c; d 2) ; c, d conhecidos; w i N ( 0, τ 2).

26 Análise Bayesiana Para o Modelo 1 α j Gamma (a; b) ; a, b conhecidos; β j N ( c; d 2) ; c, d conhecidos; w i N ( 0, τ 2). Segundo estágio da análise Bayesiana hierárquica, τ 2 IG (f, g) ; f, g conhecidos.

27 Análise Bayesiana Para o Modelo 2 Mesmas distribuições a priori para α j e β j.

28 Análise Bayesiana Para o Modelo 2 Mesmas distribuições a priori para α j e β j. w i Gamma ( φ 1 ; φ 1).

29 Análise Bayesiana Para o Modelo 2 Mesmas distribuições a priori para α j e β j. w i Gamma ( φ 1 ; φ 1). Segundo estágio da análise Bayesiana hierárquica, φ Gamma (f; g) ; f, g conhecidos.

30 β j N Análise Bayesiana Para o Modelo 3 ( β j, d2) ; d 2 conhecido.

31 β j N Análise Bayesiana Para o Modelo 3 ( β j, d2) ; d 2 conhecido. ˆβ j : médias a posteriori estimadas para β j do modelo 2. β j = ˆβ j.

32 β j N Análise Bayesiana Para o Modelo 3 ( β j, d2) ; d 2 conhecido. ˆβ j : médias a posteriori estimadas para β j do modelo 2. β j = ˆβ j. α lj U (a l ; b l ) ; a l, b l Conhecidos;

33 β j N Análise Bayesiana Para o Modelo 3 ( β j, d2) ; d 2 conhecido. ˆβ j : médias a posteriori estimadas para β j do modelo 2. β j = ˆβ j. α lj U (a l ; b l ) ; a l, b l Conhecidos; ( ) w li Gamma ; φ 1. φ 1 l l

34 Análise dos Dados de Contagem de CD4 Software Winbugs.

35 Análise dos Dados de Contagem de CD4 Software Winbugs. Foram simuladas amostras.

36 Análise dos Dados de Contagem de CD4 Software Winbugs. Foram simuladas amostras amostras foram descartadas ( burn-in-samples ).

37 Análise dos Dados de Contagem de CD4 Software Winbugs. Foram simuladas amostras amostras foram descartadas ( burn-in-samples ). Foram consideradas as amostras 100 a, 200 a, 300 a,....

38 Análise dos Dados de Contagem de CD4 Software Winbugs. Foram simuladas amostras amostras foram descartadas ( burn-in-samples ). Foram consideradas as amostras 100 a, 200 a, 300 a,.... Amostra final de tamanho para cada parâmetro.

39 Análise dos Dados de Contagem de CD4 Software Winbugs. Foram simuladas amostras amostras foram descartadas ( burn-in-samples ). Foram consideradas as amostras 100 a, 200 a, 300 a,.... Amostra final de tamanho para cada parâmetro. Tabela 2: Critério DIC. Modelo Deviance Information Criterion (DIC) Modelo 1 (ausência de w i ) Modelo 1 (presença w i ) Modelo Modelo 3 (r = 2) Modelo 3 (r = 3) Modelo 3 (r = 4)

40 Contagens Observadas Contagens Preditas (a) Modelo 1 (ausência de w i ) Contagens Observadas Contagens Preditas (b) Modelo 1 (presença de w i ) Contagens Observadas Contagens Preditas (c) Modelo Contagens Observadas Contagens Preditas (d) Modelo 3 (r=2) Contagens Observadas Contagens Preditas (e) Modelo 3 (r=3) Contagens Observadas Contagens Preditas (f) Modelo 3 (r=4) Figura 1: Gráficos dos valores observados versus os valores preditos.

41 Tabela 3: Soma do quadrado das diferenças entre os valores observados e os valores preditos. n Modelo (y i ŷ i ) 2 i=1 Modelo 1 (ausência w i ) Modelo 1 (presença w i ) Modelo Modelo 3 (r = 2) Modelo 3 (r = 3) Modelo 3 (r = 4) Tabela 4: Média a posteriori e intervalos de credibilidade para os parâmetros do modelo 3, r = 4. Parâmetro Média a Desvio Intervalo de Posteriori Padrão Credibilidade β ( 0.040; 0.877) β ( 0.121; 0.433) β (0.164; 0.738) β (0.193; 0.810) β (0.071; 0.624) β (0.038; 0.572)

42 OBRIGADO PELA ATENÇÃO