RESUMO Revisão do Problema Abordado

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1 EXCITAÇÃO DE UMA ANTENA ESFÉRICA DE ONDAS GRAITACIONAIS POR MONOPÓLOS MAGNÉTICOS Diego S. Saito [] (IC), Oswaldo D. Miranda [] (PQ ) e Rubens M. Marinho Jr [3] (PQ) - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA - Bolsista CNPQ - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE / Divisão de Astrofísica - DAS 3 - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA / Divisão de Ensino Fundamental - IEF RESUMO Esse artigo se refere à continuação do trabalho de Iniciação Cientifíca - Excitação de uma Antena Esférica de Ondas Gravitacionais por Monopólos Magnéticos. No artigo correspondente à primeira parte desse trabalho apresentamos a solução da equação de auto-valores rege as deformações numa antena esférica de ondas gravitacionais. No presente artigo, apresentaremos a solução da parte temporal bem como a determinação do termo fonte que contém toda a influência do monopólo magnético sobre a antena. Por fim, obtemos a solução do problema como uma função do ângulo de entrada do monopólo magnético. ABSTRACT This paper is about the second part of the undergraduate study - Excitation of a Spherical Gravitational Wave Antenna by Magnetic Monopoles. In the first part, we obtained the solution of the eigenvalue equation which controls the deformation of a spherical detector of gravitational waves. Now, we study the time dependent problem as well as the source term that tell us how a magnetic monopole can excite the spherical antenna. Finally, we write the general solution of the problem as a function of the entrance angle of the magnetic monopole. - INTRODUÇÃO. - Revisão do Problema Abordado Ondas gravitacionais são uma forma de propagação de energia gravitacional que se propaga no tempo-espaço provocando, por exemplo, mudança na posição relativa entre corpos. A busca por detectar essas ondas levou à construção de antenas de massa ressonante bastante sensíveis e que, trabalhando a temperaturas muito baixas, tem o seu material atuando como supercondutor. Com essas características, esse tipo de antena tem potencial para ser, também, um detector de monopólos magnéticos - partículas previstas pela teoria da Grande Unificação. No Brasil, temos o detector esférico de ondas gravitacionais Mario Schenberg localizado na USP - Universidade de São Paulo, e visando uma possível aplicação a esse detector faremos o desenvolvimento tendo-se em vista as propriedades desse : forma, temperatura de trabalho, tipo de material utilizado na confecção da antena, dentre outros No artigo precedente, mostramos a solução da Parte Espacial da equação diferencial de deslocamentos da esfera () ρ u t = µ u + (µ + λ) (. u) + i f i ( x, t) () solução essa que engloba dois modos de vibração : Modos Toroidais de ibração u N T (r, θ, φ) = T nl (r) i L Y lm (θ, φ) () em que: T nl (r) = C (n, l) j l (k nl r) (3)

2 Modos Esferoidais com u N E (r, θ, φ) = A nl (r) Y lm (θ, φ) ˆn + B nl (r) n Y lm (θ, φ) (4) [ A nl (r) = C(n, l) β 3 (k nl R) j l (q nl r) l(l + ) q nl [ B nl (r) = C(n, l) β 3 (k nl R) j l(q nl r) q nl q nl r ( [ l(l + ) C(n, l) = C 0 β (k nl R) + Nas expressões acima utilizamos a notação : com i = q, k β (q nl R) j ] l(k nl r) k nl k nl r β (q nl R) k nlr j ] l (k nl r) + j l (k nl r) k nl k nl r ] (5) (6) β 0 (k nl R)) k nl q nl (7) β 0 (ir) = j l(ir) r (8) β (ir) = d dr j l (ir) r (9) β (ir) = d j l (ir) dr (0) ( [ ] l(l + ) q β 3 (k nl R) = β (k nl R) + β 0 (k nl R)) nl knl () Nas expressões acima, temosj l a função esférica de Bessel, q o vetor de onda tranverso e k o longitudinal []. Para encontrar a expressão do vetor deformação para a excitação por monopólos magnéticos temos como passos seguintes determinar a solução da Parte Temporal, que surge do desacoplamento de variáveis viabilizado pela solução da Parte Espacial, e encontrar a expressão do termo fonte de influência do monopólo magnético com o material da antena.. - Supercondutividade [] e [6] Muitos fatores contribuem para a resistividade elétrica do sólido, fazendo com que os elétrons sejam espalhados pelas imperfeições da rede devido a defeitos estruturais ou impurezas num cristal. Além disso, existem vibrações da rede de íons em modos normais que constituem algo como ondas de som percorrendo o sólido; denominamos tais ondas como fônons. Quanto mais alta for a temperatura, maior será o número de fônons presentes. A existência de interações elétron-fônon espalha os elétrons de condução e acarreta uma outra fonte de resistência. A resistência elétrica de um sólido deve, portanto, decrescer com a temperatura, embora deva existir, mesmo no zero absoluto, uma resistência residual devido à imperfeições da rede cristalina. Parece, portanto, notável que a resistência elétrica de alguns sólidos desapareça completamente a temperaturas suficientemente baixas. Em 933, Meissner e Oschenfeld descobriram que se uma substância supercondutora for resfriada abaixo de sua temperatura crítica na presença de um campo magnético aplicado, ela expulsa todo e qualquer fluxo magnético de seu interior. Um supercondutor age, portanto, como um material diagmagnético perfeito. Observa-se que, se o campo externo aumentar além de um certo valor limite - denominado campo crítico H c - o metal deixa de ser supercondutor, passando ao estado normal. O valor desse campo crítico depende, para um dado material, da temperatura. Conseqüentemente, quando o campo magnético externo

3 aumenta, a temperatura crítica diminui até que para H > H c não exista supercondutividade para o material a nenhuma temperatura. Existem dois tipo de Supercondutores - tipo e tipo - que se diferem pelos fenômenos que ocorrem com as supercorrentes induzidas, pelo tipo de transição entre o regime normal e o supercondutor, além dos valores de temperatura crítica que, para os supercondutores do tipo, são maiores. Podemos distinguir um tipo do outro através do parâmetro de Ginzburg-Landau, κ = λ ξ, em que : λ - espessura de penetração do campo magnético. ξ - rigidez da função de onda do par de Cooper ψ. k < - Supercondutor do tipo - e k >.3 - Interação do Monopólo com a Matéria - Supercondutor do tipo. Quando um monopólo incide num material supercondutor temos a deposição de energia através de dois fenômenos : a formação de redemoinhos de corrente que gera calor por efeito Joule e o aparecimento de um campo magnético reverso para conter as linhas de campo magnético que entram junto com a partícula, levando a um aumento local de pressão, que se traduz em aumento de energia interna. De uma forma geral podemos dizer que ambos os efeitos geram aumento de pressão sejam pelo aumento da temperatura, seja pela formação do campo magnético reverso, de forma que podemos estabelecer duas fontes de pressão distintas : uma fonte termo-acústica e outra magneto- acústica com : Fonte Termo-Acústica [6] em que : Σ th = δe δp(x) d x = γ d x = γ de dx () de dx β N /3 c ln[ k F Λ] c (3) N c = n c N A ρ A n c é o número de elétrons livres por átomo; k F = 3 3 π N c é o número de onda de Fermi ; Λ é o caminho livre médio do elétron ; N A é o número de Avogrado; ρ é a densidade do material de que é constituído o meio ; A é o número atômico ; c é a velocidade da luz ; é a constante de Planck dividida por π ; γ parâmetro de Grüneisen Fonte de Pressão Magneto-Acústica [6] : Apresentaremos somente os resultados finais fornecidos por esse método pois a dedução foge ao objetivo do presente trabalho : Supercondutor do Tipo I : κ < Σ mag = ɛ n D I n (4) 3

4 Na expressão acima temos : em que: ɛ n = φ 0 H c 4 π ν n (κ) κ (5). H c é o campo magnético crítico.. φ 0 = h c e. e é a carga do elétron 3. ν(κ) = ξ 0 r dr ( f ) r é a coordenada radial em coordenadas cilindrícas e f é a parte dependente do raio na expressão da função de onda do par de Cooper. 4. κ = π φ 0 H c λ λ é a distância de penetração do campo magnético no supercondutor. Além de : Dn I = A I n K ln T c ( ). A I n = 3 ( ρ n) + t ρ +t n + t t + B I n K ln H 0 + C I n (6). B I n = ρ n ( ) 3. Cn I = 4 9 ( ρ n) γ t ρ +t n + t t 4. H 0 é o campo magnético crítico no zero absoluto Nas expressões de A I n,b I n e C I n, acima, temos :. ρ n (κ) = d ln νn d ln k. t = T T c - temperatura reduzida = [ 0 r dr( f ) ]/[ 0 r dr( f )] Na expressão acima negligenciou-se a diferença entre o módulo de corpo adiabático e isotérmico, tratados indiferentemente como K. O valor de ρ n (κ), para n= e n=, pode ser extraído de um gráfico de [6], pag. Supercondutor do Tipo II : k > em que : K S = / ln S K T = / ln T D II n Σ mag = ɛ n D II n (7) = A II n K ln T c + Bn II K ln H 0 + Cn II (8) 4

5 . A II n = ρ n t +t + 4 t4 t 4. B II n 3. C II n = ρ n = ρ n γ A II n A simbologia utilizada foi a mesma daquela utilizada para o Supercondutor do tipo I ( vide descrição dos símbolos abaixo da equação (6)), e também negligenciamos a diferença entre K S e K T denominando-se indiferentemente de K. Para o supercondutor do tipo II podemos fazer uma aproximação considerando somente fluxo quântico unitário pois observa-se a ocorrência natural desse fenômeno no estado misto (de transição) característico do supercondutor do tipo II. Essa aproximação nos leva a obtenção de uma expressão que depende de grandezas experimentalmente mensuráveis. Σ mag (tipoii) φ 0 π K s H c + γ T H c (9) T T p - DESENOLIMENTO. - Solução Temporal Resolvida a parte espacial, passamos, então à solução da parte temporal (33) da equação de deformação de pontos do detector, sem, no entanto, especificar o termo de força. Para solucionar essa etapa baseamo-nos em [3] onde considerou-se o problema da excitação de detector esférico de ondas gravitacionais por raios cósmicos ( múons de alta energia ). Começamos pela determinação da temperatura em um ponto da esfera localizado em x e num tempo t e para tanto utilizamos a equação de difusão do calor dada por (0): T ( x, t) κ T ( x, t) = s( x, t) (0) t Como o detector está imerso num banho frio de temperatura T 0, temos como condições auxiliares: em que: τ - instante em que a partícula ( agente externo ) incide na esfera. R - ponto na superfície da esfera T ( x, τ) = T 0 () T ( R, t) = T 0 () O agente externo atua no detector num dado instante τ e numa dada posição ξ de modo que se torna conveniente utilizarmos as funções de Green G( x, ξ, t, τ) para solucionar (0). Dessa forma, fazemos G( x, ξ, t, τ) satisfazer: em que δ é o delta de Dirac. e, assim, estabelecemos a relação: T ( x, t) = T 0 + ρc v G t ( x, ξ, t, τ) κ G( x, ξ, t, τ) = δ( x ξ) δ(t τ) (3) d 3 ξ t 0 5 dτ G( x, ξ, t, τ) s( ξ, τ) (4)

6 Escrevendo a função de Green como uma série com funções somente dependentes de coordenadas espaciais e outras só do tempo G( x, ξ, t, τ) = N ν N( x) Υ N ( ξ, t, τ), podemos desacoplar a equação. A solução da Parte Espacial é : Os autovalores λ nl são obtidos a partir de : ν N ( x) = A nl j l (λ nl r) Y lm (θ, φ) (5) j l (λ nl R) = 0 (6) e a expressão de A nl é : A nl = R 3/ j l+ (λ nl R) (7) A solução da parte temporal é : Υ N ( ξ, t, τ) = ν N ( ξ) ( exp κ ) λ nl (t τ) (8) Aplicando esse resultado em (4) temos: em que: T ( x, t) = T 0 + Θ N = d 3 ξ t 0 N ( ν N ( x) exp κ ) λ nl t Θ N (9) dτ ν N( ξ) exp ( κ λ nl ) τ s( ξ, τ) (30) A influência da partícula incidente está contida inteiramente no termo Θ N. Para o nosso problema ( excitação por monopólos magnéticos ) basta determinar o termo de fonte de calor s( ξ, τ) devido a incidência dessa partícula num ponto ξ e num instante τ. Determinada a temperatura no detector ao longo do espaço e do tempo T ( x, t), podemos voltar a equação de deformação do detector esférico e resolver a parte temporal desse equação. Partimos, então, de (): ρ u t = µ u + (µ + λ) (. u) + f( x, t) Para solucionar () utilizamos a expansão por séries: u( x, t) = N u N ( x) u tn (t) (3) onde u N ( x) satisfaz a condição de normalização : ρ u N ( x) u M ( x) d 3 x = Mδ NM (3) substituindo a expressão da solução espacial, após simplifcações, temos: d u tn dt (t) + w N u tn (t) = M f N(t) (33) 6

7 que é a equação diferencial da parte temporal do problema de excitação do detector esférico livre. O nosso próximo passo é determinar a expressão de f N (t) a partir de T ( x, t). Para tanto, utilizamos a equação que fornece a força por volume devido a difusão de calor : em que reconhecemos o parâmetro de Grüneisen. Utilizando a expressão de T ( x, t) - (9): f( x, t) = γ νσµ f( x, t) = α E T ( x, t) (34) 3( σ) γ = exp α E 3( σ) ( κ λ νσµ (35) t ) Θ νσµ ν νσµ ( x) (36) Alteramos a notação do triplo índice {νσµ} para não gerar futuras confusões. com : Agora que obtemos a expressão de f( x, t), podemos obter f N (t) para então aplicá-la em (33). ( ) f N (t) = γ νσµ exp κ λ νσµ W nlν = C(n, l) β 3 (k nl R) q nl A νl R r=0 t Θ νσµ W νσµ N j l (λ nl r) j l (q nl r) r dr (37) Obtido o termo de força podemos voltar a equação da parte temporal do problema (33): obtendo, assim : com : Ω νnlm (t) = d u tn dt (t) + w N u tn (t) = M f N(t) { u tn (t) = γ } Θ νlm W nlν Ω νnlm (t) M ( ) κ λ νl + w N ν=0 [ ( exp κ ) λ νl t cos(w N t) + κ ] λ νl sin(w N t) w N (38) (39). - Determinação do Termo Fonte Para determinar o termo fonte da interação do monopólo com a matéria, primeiramente vamos resolver a equação diferencial da vibração de um meio elástico infinito, em que se supõe O meio é Isotrópico Parâmetros e coeficientes de expansão térmica que descrevem as suas propriedades de supercondutividade são escalares 7

8 As Tensões do tipo pressão: σ ij = p δ ij Desacoplando a equação diferencial de deformações com termo de força devido a um gradiente de pressão encontramos o seguinte termo fonte (s n ) : bn (t) + ωn b n (t) = s n = δp. u m ( x) d ρ Relacionando o termo fonte com a energia depositada : s n = δp. u m ( x) d = Σ ρ ρ L div u n dl (40) o vetor u n é a função cuja variável são as coordenadas espaciais da série que define a solução para o campo de deformações do detector e a integral de linha acima é feita ao longo da trajetória na antena. Definimos um fator de forma, que encerra a geometria do corpo excitado pelo monopólo. G n = c s ω n L Podemos, então reescrever o termo fonte: L div u n dl (4) s n = L ω n ρ c s Σ G n (4) O termo G n depende da direção de entrada do monopólo na antena dado que a curva da integral de linha é definida pela trajetória do monopolo no detector. Como se trata de uma reta utilizaremos coordenadas ortogonais : (x R) ˆx + y ŷ + z ẑ (x R) ˆx + y ŷ + z ẑ = λ (43) onde λ é o vetor direção de entrada. Sem perda de generalidade podemos estabelecer a entrada ocorre em x = R ˆx Podemos parametrizar essa curva denominando: t = (x R) ˆx + y ŷ + z ẑ (44) O comportamento do termo fonte com o tempo ainda não foi bem esclarecido de modo que podemos simplificar essa dependência considerando comportamento suave de s n (t) no regime transiente. Dessa forma obtemos [6] : u tn = s n ( ) ( cos(ω n t)) ω n (45) em que ω n são as auto-freqüências do problema Espacial. s n ( ) se refere ao valor estacionário do termo fonte, o qual pode se obtido através de : s n ( ) = L ω N ρ c s G n (Σ mag + Σ th ) (46) Considerando que a liga de Cu (94%) - Al(6%) do detector Mário Schenberg se comporte como um supercondutor do tipo - fazemos essa suposição a partir do fato de que os supercondutores do tipo são, em geral, metais puros - temos (9) e (3) : Σ mag + Σ th = φ 0 π K s H c + γ T H c + γ β Nc /3 ln[ k F Λ] c (47) T T p 8

9 .3 - Solução do Problema de Excitação de um Detector Esférico por Ondas Gravitacionais A solução para o problema de excitação da antena esférica é escrita em forma de um somatório triplo dos índices {nlm} : u( x, t) = u n ( x) u tn (t) (48) n l m u( x, t) = [A nl (r) Y lm (θ, φ) ˆn + B nl (r) n Y lm (θ, φ)] n l m { } L ω N φ 0 H c G n K s + γ T H c + γ β Nc /3 ln[ k ρ c s π F Λ] c ( cos(ω n t)) ωn (49) T T p a soma deve ser realizada de acordo com os modos de vibração da esfera de interesse à detecção do sinal inserido pelo monopólo magnético. 4 - CONCLUSÃO Nesse trabalho obtemos a solução na forma literal do problema de determinação do campo de deformação de uma esfera pela atuação de um monopolo magnético incidente. Devido a falta de dados acerca das propriedades supercondutoras da liga utilizada no detector Mário Schenberg e por dificuldades na solução numérica do problema apresentado nos restringimos a expressão algébrica dessa assinatura do Monopolo na antena esférica para esse artigo. Na apresentação do relatório final, porém, mostraremos a solução numérica para o caso de entrada radial do monopólo com os dados sobre propriedades supercondutoras da liga que se mostrarem disponíveis na literatura. AGRADECIMENTOS Diego Sadao Saito agradece ao CNPQ pelo apoio financeiro (Bolsa PIBIC) e dedica o trabalho a sua namorada Fernanda Borques da Silva Referências [] Sadao, D.S; Miranda, O. D.; Marinho Jr., R. M. Monopólo Magnético como Ruído na Detecção de Ondas Gravitacionais - ENCITA 004 [] Eisberg; Resnick, Física Quântica, Elsevier [3] Marinho Jr., R. M.; Magalhães, N. S.; Aguiar, O. D.; Frajuca, C.; Excitation of the modes of a spherical antenna for gravitational waves by high energy particles; Physical Review D, vol.64; 00 [4] Landau, L.; Lifshitz E.; Theory of Elasticity; Pergamon Press; ( Trad. do Russo por J. B. Sykes; W. H. Reid)959 [5] [6] A. de Rújula e B. Lautrup; Sonic Search for Monopoles, Gravitational Waves and Newtorites; North-Holand Publishing Company. 9