Avaliação dos algoritmos de Picard-Krylov na solução da equação de Richards

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1 Trabalho aprado o XXXV CNMAC, Naal-RN, Avaliação do algorimo d icard-rylov a olução da quação d Richard Marclo Xavir Gurr Egharia d rodução, Laboraório d modlagm Simulação, LMSC, UNIAMA, , Bagé, RS m.gurr@uipampa.du.br. João Flávio Viira Vacocllo, Aôio Joé da Silva No, UERJ- IRJ - Egharia Mcâica , Nova Friburgo, RJ jflavio@iprj.urj.br, ajo@iprj.urj.br. Rumo: No arigo pr aproximou- uma olução para a quação difrcial parcial d Richard plo méodo do volum fiio m dua dimõ, mprgado o méodo d icard com maior ficiêcia compuacioal. ara ao, foram uilizada écica iraiva d rolução d ima liar baado o paço d rylov com mariz pré-codicioadora com a biblioca umérica orabl, Exibl Toolki for Sciific Compuaio ETSc). O rulado idicam qu quado rolv a quação d Richard coidrado- o méodo d ICARD-RYLOV, ão imporado o modlo d avaliação do olo, a mlhor combiação para rolução do ima liar é o méodo do gradi bicojugado abilizado mai o précodicioador SOR. alavra-chav: Equação d Richard, icard-rylov, ETSc. 1 Irodução A gharia goécica é uma da grad ára da gharia civil qu uda a iração r a coruçõ ralizada plo homm ou d fômo aurai com o ambi gológico, qu a grad maioria da vz raa- d olo parcialm aurado. Como rulado, o dmpho d obra como abilização, coção d barrag, muro d coção, fudaçõ rada ão codicioado a uma corra prdição do fluxo d água o irior do olo, qu pod r alcaçada por mio da rolução da quação difrcial parcial d Richard, Eq. 1. θ = x ) ) + y ) ) + z ) ) z ) x x y y z z z 1) od é o mpo []; θ é o coúdo d umidad volumérico [L 3 /L 3 ]; é a carga dvida à prão [L]; x, y z ão a coduividad hidráulica ão aurada [L/] a dirçõ paciai x, y z [L], rpcivam. orém, como a ára da rgiõ a rm uda com rlação à prdição do fluxo d água ão comum da ordm d quilômro quadrado, a oluçõ do modlo mamáico xigm malha compuacioai d grad proporçõ, ocaioado éria limiaçõ aociada ao rquiio d mmória compuacioal mpo d procamo. A fim d coorar a limiaçõ, méodo umérico fici dvm r mprgado a olução do problma m aáli. orao, méodo iraivo para olução d ima ão liar liar paro DOI: / SBMAC

2 d grad por dvm r uilizado ipo d aplicação. Em uma, vio a rlvâcia do ma, a pquia aproximou uma olução para a quação difrcial parcial d Richard plo méodo do volum fiio m dua dimõ, mprgado o méodo d icard com maior ficiêcia compuacioal. ara ao, foram uilizada écica iraiva d rolução d ima liar baado o paço d rylov com mariz pré-codicioadora com a biblioca umérica orabl, Exibl Toolki for Sciific Compuaio ETSc) [12]. 2 Modlagm Numérica Compuacioal rd- a ção aprar o cocio mamáico compuacioai volvido a laboração do modlo d aproximação da olução da Equação d Richard. ara ao, coidrar--á a quação d Richard baada m, xpra pla Eq. 2. C ) = + ) 2) x x z z z m qu C ) = θ/ [1/L] é a capacidad hidráulica pcífica. Logo, para olucioar- umricam a quação d Richard é imprcidívl cohcr a rlaçõ r o coúdo d umidad volumérico θ), a carga dvida à prão ) a coduividad hidráulica d um olo ão aurado ), ou ja, f : θ, f : f : θ. N coxo, o modlo mai difudido aualm é d va Guch [9], ao para = f) θ = f). Cuja rlaçõ ão dada pla Eq. 3 4: θ ) = θ r + θ θ r [1 + α ) ] m 3) ) = { 1 α 1) [1 + α )] m} 2 [1 + α ) ] m/2 4) od θ é o or d umidad volumérico a auração [ L 3 /L 3] ; θ r é o or d umidad volumérico ridual [ L 3 /L 3] ; α é a fução didad do amaho poro [ L 1] ; m, ão parâmro adimioai do olo, com m = 1 1/. Muio mbora, apar da Eq. 3 4 rm mai complxa quado comparada com ouro modlo, la m ido vaam uilizada m imulaçõ umérica por ajuar mlhor o dado xprimai, acrcido do fao d rm coíua difrciávi, além dio por icorporarm a oria d Mual [14] modlo aíico d diribuição d amaho d poro). Complado, a capacidad hidráulica pcífica do olo C ) pod r avaliada aaliicam pla Eq. 5: [ ] C ) = θ = m θ θ r α ) 1 + α ) m+1 1 5) D ouro modo, ao rolvr problma d fluxo m mio poroo uma caracríica fudamal procurada é a obrvâcia da corvação da maa, rquiio cial para qu a olução poua corêcia fíica. Eão, vio qu a corvação da gradza fíica o ívl dicro é uma caracríica iríca do méodo d volum fiio MVF), méodo foi colhido para rolvr a quação d Richard, Eq. 2. DOI: / SBMAC

3 2.1 Méodo do Volum Fiio N rabalho a obção da quação d dicrização do MVF para o problma d fluxo m mio poroo bidimioal rai foi ralizada igrado a Eq. 2, a ua forma divrg obr um volum lmar, dfiido pla malha compuacioal, Fig. 1, o paço o mpo. Figura 1: Malha compuacioal od, S, N, W E ão o ó da malha compuacioal croid do volum d corol);,, ão a irfac do volum d corol ; x z ão o úmro oai d volum d corol a dirção x z, rpcivam; Z p X p ão a diâcia r a irfac amaho do volum d corol); p = i z + j é o ídic do volum d corol qu á do igrado, para i = 0, 1,..., x 1 j = 0, 1,..., z 1. oo io, igra- a quação govra, Eq. 2, obr cada um do volum d corol o domíio do mpo do paço para o volum iro da malha compuacioal, Fig. 1, ou ja, para 1 i < x 1 1 j < z 1, coform a Eq. 6: C ) dx dz d = dx dz d+ x x dx dz d z z Cujo rulado da igração da Eq. 6 é dado pla Eq. 7: ) dx dz d 6) z ) z + ) X x ) X x ) z + C ) +1 = C ) ) + ) 7) od é o pao mpo, com DOI: / SBMAC

4 Dua quõ impora qu põm o pr momo ão: o ívl d mpo qu rá avaliada a variávl ; como calcular a drivada a fac,,, ) do volum d corol. ara a primira quão adoa- um quma d irpolação mporal oalm implício, qu é icodicioalm ávl do pao mporal. Io qur dizr qu o amaho do pao d mpo ão irfr a rolução da quação difrcial, aim a variávl rá avaliada m + 1. Com rlação ao gudo poo, ao calcular- a drivada a fac do volum d corol,,, ) a Eq. 7, coidra- um quma d difrça crai, poi é razoávl colhr uma fução liar r o poo odai obida aravé da xpaão da éri d Taylor, dprzado- o rmo d guda ordm ou uprior. Eão, lvado- a coidraçõ a Eq. 7 chga- a Eq. 8: )) δz S ) +1 X δx E S + +1 )) δz N )) X δx W ) +1 δz N +1 N + C+1 p = C W + ) +1 )) ) +1 δz S ) +1 + X δx W + +1 )) X δx E ) E ) +1 8) A Eq 8 pod r dfiida como a quação algébrica dicrizada do fômo d fluxo bidimioal d água um mio poroo, válida para o volum iro da malha compuacioal, Fig. 1. oddo r cria d maira mai implificada coform a xprão idicada pla Eq. 9: A S +1 S A W +1 W + A +1 A E +1 E A N +1 N = S p 9) orém, é impora qu diga qu o rulado da igração da quação d Richard, dado pla Eq. 9 ambém pod r válido para o volum localizado a froira do domíio, dd qu rpi, a codiçõ d cooro fixada plo modlo mamáico. Uma quão impora diz rpio ao cálculo da coduividad hidráulica a irfac ), ), ) ). D maira gral, la podm r calculada pla média podrada, média harmôica ou média gomérica. N rabalho opou- pla média gomérica al como propoo por Havrkamp Vaucli [10] Vacocllo Amorim [2]. ) = N N ) ) ) = ) S S ) 10) ) = ) W W ) ) = E E ) ) 11) ara cocluir o problma d prdição do fluxo d água m mio poroo dv- rolvr a Eq. 9 para odo o volum d corol da malha compuacioal. N ido, a liraura idica qu o méodo mai uilizado é o méodo d aproximaçõ uciva d icard [8]. Coudo, como o problma qu á do rolvido é ão liar, a olução da Eq. 9 liarizada dá origm a um ima liar d quaçõ algébrica rprada pla Eq. 12: A m ) m+1 = b m ) 12) od A ) R N R N, quao b ) R N ; od N é a dimão do vor m o ívl d iração; ambém obrva- qu A ) b ) ão fuçõ da variávl a r drmiada. DOI: / SBMAC

5 Uma vz qu ormalm o úmro d liha da mariz A ) é igual ao úmro d ó do ima d dicrização pacial, lvado- m coa qu o úmro d ó pod r da ordm d dza d milhar para uma aplicação m dua dimõ da ordm d milhõ para uma aplicação ridimioal coidrado- qu a mariz A 1 ) prcia r drmiada divra vz dura o proco d obção da olução, idubiavlm olucioador fici dvm r mprgado. Em uma, vio qu a rolução da Eq. 12 é a par qu coom o maior mpo d procamo, procdimo iraivo dvm r adoado. or fim, plo fao vidciado ariorm coidrado qu a écica iraiva mai modra d rolução d ima d quaçõ algébrica liar ão o méodo do ubpaço d rylov S) combiado com mariz pré-codicioadora C) [3], o foco d rabalho fudamou- m rpodr o gui quioamo: Qual méodo d rolução d ima d quaçõ algébrica liar do ubpaço d rylov pré-codicioado qu, acoplado à écica d icard, é mai fici umérica compuacioalm a olução da quação d Richard? A rpoa por ua vz ão foi corada a liraura, apar d xiir alguma aiva ido. 3 Validação do Código Compuacioal ara validar o código compuacioal foram rolvido algu problma cláico da liraura, a abr: Havrkamp al. [11], hoo al. [7], Vacocllo [2], Clia al. [8] Jucu al. [5]. Igualm foram uilizada a oluçõ mi-aalíica d hilip [6], Warrick al. [1] Tracy. Em virud do rulado da imulaçõ umérica ralizada, coclui- qu o modlo umérico propoo modla bm problma d cura ifilração d loga duração. or fim, coidra- qu o programa compuacioal dvolvido para rolvr a quação d Richard baada m m dua dimõ paciai, a Eq. 2, á validado. 4 Rulado Dicuõ O cao imulado propoo coium- baicam d doi problma d ifilração m prfi d olo homogêo, o qual a pcificaçõ da propridad hidráulica foram obida m Buri, Sivakumar Hagar [13]. Solo cm/) θ r θ αcm 1 ) λ Topoil 1, , 04 0, 42 0, , , 1045 Sad 1, , 07 0, 30 0, , , 2424 Tabla 1: Valor do parâmro da amora d olo d Buri, Sivakumar Hagar [13]. O primiro problma a r imulado, digado por IA, coidra a ifilração d água uma colua com dimõ L z = 100 cm L x = 10 cm, prchida com o olo opoil vid Tab. 1), od a codição iicial a dua codiçõ d cooro do ipo Dirichl ão fixada pla Eq. 13: z, 0) = 700, 0 cm, 0 < z < 100 cm 0, ) = 10, 0 cm, > 0 100, ) = 700, 0 cm, > 0 13) do qu o fômo fíico IA foi ivigado dura um príodo d mpo d 6 h. DOI: / SBMAC

6 O gudo problma, omado d IB, coidra o domíio d fluxo um quadrado com L z = 100 cm L x = 100 cm o olo Sad, o qual o parâmro hidráulico ão dfiido a Tab. 1. A codiçõ iiciai d cooro ão ablcida pla Eq. 14: = 0, θx, z, 0) = 0, 111 z = 0, θx, 0, ) = 0, 300 z = L z, θx, L z, ) = 0, 111 x = 0, θ0, z, ) = 0, 300 x = L x, θl x, z, ) = 0, ) od o fluxo d água foi mdido para um príodo d mpo d 6 mi. Como forma d iluração a Fig. 2 rraa a volução da fr d molhamo do problma IB m difr mpo. a)360 ) 1800 c) 3600 g) 7200 Figura 2: Evolução do or d umidad volumérico do xprimo IB O rulado umérico obido a imulação do problma IA IB idicam qu: 1. O ipo d olo a codiçõ fíica impoa podm ifluciar o dmpho da combiaçõ ICARD-RYLOV-C; 2. A olução do modlo d fluxo, idpdm do modlo coiuivo acoplado, para r rolvido m mpo compuacioai aciávi, o ima liar dv r rolvido obrigaoriam pla combiação SBCGS CSOR Gradi Bicojugado abilizado mai o pré-codicioador SOR), uma vz qu, para odo o ralizado a combiação v pr r o mlhor rulado; 3. or ouro lado, cao o modlo d fluxo ja rolvido apa com a quaçõ d va Guch, a colha apropriada da combiação ICARD-RYLOV-C dv r a SCG CSOR Gradi Cojugado mai o pré-codicioador SOR). 4. O faor drmia do mpo cário para corar a olução da ED d Richard, ão é o úmro oal d ima liar rolvido por pao d mpo, ma im a vlocidad d covrgêcia do ima liar a cada iração. N ido, o pré-codicioador SOR dr o pré-codicioador ado é o qu mlhor raliza a arfa d aumar a vlocidad d covrgêcia do ima liar; DOI: / SBMAC

7 5. A combiação ICARD-RYLOV-C dada por SCGNE CBJACOBI Gradi Cojugado baado a Equaçõ Normai mai o pré-codicioador bloco Jacobi) é a qu aprou o rulado mo aifaório, porao iviabilizado a imulação d problma d fluxo, idpdm do modlo mpírico d Havrkamp al. ou d va Guch; Rfrêcia [1] A. W. Warrick; D. O. Lom; S. R. A. Ya, A gralizd oluio o ifilraio, Soil Scic Sociy of Amrica Joural ), o. 1, [2] C. A. B. d Vacocllo; J. C. C Amorim, Numrical imulaio of uaurad flo i porou mdia uig a ma-corvaiv modl, rocdig Brazilia Cogr of Mchaical Egirig ), [3] C. T. Millr, al., Numrical imulaio of ar rourc problm: Modl, mhod, ad rd, Advac i War Rourc ), o. 0, [4] F. T. Tracy, Thr-dimioal aalyical oluio of Richard quaio for a box-hapd oil ampl ih pici-coa had boudary codiio o h op, Joural of Hydrology ), o. 3, [5] G. Jucu; A. Nicola; C. opa, Noliar Muligrid Mhod for Numrical Soluio of h Variably Saurad Flo Equaio i To Spac Dimio, Trapor i porou mdia ), o. 1, [6] J. R. hilip, Th Thory of Ifilraio: 1. h Ifilraio Equaio ad I Soluio, Soil Scic ), o. 5, [7].. hoo; al., Numrical imulaio of Richard quaio i parially aurad porou mdia: udr-rlaxaio ad ma balac, Gochical ad Gological Egirig ), o. 5, [8] M. A. Clia; E. T. Bouloua ; R. L. Zarba, A gral ma-corvaiv umrical oluio for h uaurad flo quaio, War Rourc Rarch ), o. 7, [9] M. T. Va Guch, A Clod-form Equaio for rdicig h Hydraulic Coduciviy of Uaurad Soil, Sci. Soc. Am. J ), [10] R. Havrkamp; M. Vaucli, A o o imaig fii diffrc irblock hydraulic coduciviy valu for rai uaurad flo problm, War Rourc Rarch ), o. 1, [11] R. Havrkamp; M. Vaucli; J. Touma;. J. Wirga; G. Vachaud, A Compario of Numrical Simulaio Modl For O-Dimioal Ifilraio1, 1977, pp [12] S. Balay; J. Bro;. Buchlma; W. D. Gropp; D. auhik; M. G. ply; L. C. Mci; B. F. Smih; H. Zhag, ETSc Wb pag, 2013, hp://.mc.al.gov/pc. [13] T. Buri; M. Sivakumar; D. Hagar, Applicaio of Hydraulic ropri Modl o Microcopic Flo i Uaurad orou Mdia, Joural of Applid Fluid Mchaic ), o. 2, [14] Y. A. Mualm, A modl for prdicig h hydraulic coduciviy of uaurad porou mdia, War Rourc Rarch ), o. 3, DOI: / SBMAC