Raciocínio Lógico Quantitativo

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática Raciocínio Lógico Quantitativo Notas de Aula Prof. a Paula Francis Benevides

2 Conteúdo AULA PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: Proposição, declaração PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL CONSIDERAÇÒES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: VERDADE E VALIDADE: CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO ESCOPO E PAREAÇÃO: ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS: OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS Definição Conectivos: DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS: Negação Conjunção Disjunção Disjunção Exclusiva Condicional... 18

3 4.2.6 Bicondicional AULA PROCEDIMENTOS DE DECISÃO FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS: Tautologia Contradição Contingência AULA RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E DEFINIÇÃO PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE PROPOSIÇÕES IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: Propriedades: AULA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA: TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA: EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: OPERAÇÒES DERIVADAS: Negação conjunta: Negação disjunta AULA

4 8. EXERCÍCIOS GERAIS AULA ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO: Idempotência: Comutatividade: Associatividade: Identidade: PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO: Idempotência: Comutatividade: Associatividade: Identidade: PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO: Distributiva: Absorção: Leis de Morgan: NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: MÉTODO DEDUTIVO REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS: EXEMPLICIFICAÇÃO: AULA FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES DEFINIÇÃO: Forma Normal Conjuntiva: Forma Normal Disjuntiva: PRINCÍPIO DA DUALIDADE: AULA

5 12. RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO: PENSAMENTO LÓGICO FORMAL: ARGUMENTO: Validade de um Argumento: CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO: VALIDADE DOS ARGUMENTOS ATRAVÉS DE TABELA VERDADE: REGRAS DE INFERÊNCIA: EXEMPLO DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA: Regra da adição: Regra da simplificação: Regra da conjunção: Regra da absorção: Regra Modus Ponens: Regra Modus Tolens: Regra do Silogismo disjuntivo: Regra do Silogismo hipotético: Regra do dilema construtivo: Regra do dilema destrutivo: AULA VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA: EXEMPLIFICAÇÃO AULA VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIAS: EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: EXEMPLIFICAÇÃO: AULA INCONSISTÊNCIA: DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL:... 90

6 Exemplificação: DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: Exemplificação: AULA EXERCÍCIOS GERAIS... 96

7 AULA 1 Lógica Matemática Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos: Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do réu? E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de logica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentremos na argumentação subjacente. A logica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. "Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Logica e a ciência do raciocínio. 1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA 1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciência do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes correntes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal. Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo. Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas. 7

8 A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na instância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico. 1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais. No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso. Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições: Quatro e maior que cinco. Ana e inteligente. São Paulo e uma cidade da regiao sudeste. Existe vida humana em Marte. A lua é um satélite da Terra Recife é capital de Pernambuco Exemplos de não proposições: Como vai você? Como isso pode acontecer! 1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais, consideradas princípios fundamentais: Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. 8

9 Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois estados de verdade, isto é, a verdade e a não verdade. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda). Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois estados de verdade ou será correspondente a verdade ou correspondente a falsidade não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente. 2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL 2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a verdade ou a falsidade, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das denominadas primeiras verdades, primícias. 2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas). Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se verdade ou a falsidade. São exemplos de proposições em lógica: A filosofia é a lógica dos contrários Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz. Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racionais são homens solitários. 9

10 No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real. Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o número de nomes e/ou predicados que constituem as sentenças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições compostas. 2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma proposição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como: p, q, r, s, u, v, w, p 1, p 2... p n... As quais são denominadas letras proposicionais ou variáveis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: A Matemática é atributo da lógica, adota-se a seguinte notação: p: A matemática é atributo da lógica. Observe que a estrutura: A matemática não é atributo da lógica não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição. 2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo constituída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possuem como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição. As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como: P, Q, R, S, U, V, W, P 1, P 2... P n... Considere as proposições simples: p: A filosofia é arte q: A dialética é ciência. Seja, portanto, a proposição composta A filosofia é arte embora a dialética é a ciência. 10

11 Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialética é a ciência. Observe que uma fórmula proposicional pode ser constituída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo. Sejam as proposições: p: A lógica condiciona a Matemática q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo. P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialética fundamenta o pensamento ambíguo. Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialética fundamenta o pensamento ambíguo. Sejam ainda proposições compostas: S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dialética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento ambíguo. De forma simbólica tem-se que; P (p, q): p mas q Q (p, q): p e/ou q S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q). 2.5 VERDADE E VALIDADE: (Valor lógico ou valor verdade das proposições) Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois estados de verdade capazes de gerar todos os resultados possíveis, a verdade corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a falsidade a contradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao verdadeiro ou falso, segundo o referencial teórico que institui as determinadas entidades proposições ou enunciados, de um dado universo relacional. Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido. 11

12 Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simbolização: V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F. Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,..., p 1,..., p n componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotarse-á as notações: V [ P ( p, q, r,..., p 1,..., p n )] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p 1,..., p n )] = F É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da analiticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de argumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados. De forma resumida, a validade esta associada à coerência ou a consistência do raciocínio analítico. 2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: (ou conectivos proposicionais) Vejam os exemplos: A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a maturidade da matemática A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não ambos Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática. 12

13 matemática. A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da Não é fato que a matemática é a juventude da lógica Designamos as proposições simples: Tem-se que: P (p, q): p e q. Q (p, q): p ou q. R (p, q): p ou q, e não ambos. S (p, q): Se p, então q. W (p, q): p se, e somente se q. P 1 (p): não p p: A matemática é a juventude da lógica q: A lógica é a maturidade da matemática Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas. Tais conectivos lógicos correspondem, portanto as seguintes estruturas:... e... : ou... : ou..., e não ambos : se...,então... : se, e somente se... : não... : ~... Logo, tem-se que: a. P (p, q) : p q b. Q (p, q) : p q c. R (p, q) : p q d. S (p, q) : p q 13

14 e. W (p, q) : p q f. P 1 (p ) : ~ p Observe portanto, que uma fórmula proposicional ou uma proposição simples é toda a sentença declarativa constituída de pelo menos um conectivo lógico. Salienta-se, ainda que os conectivos lógicos estabelecem seis classes de fórmulas proposicionais, podendo dar origem a fórmulas proposicionais constituídas de diversos conectivos, repetidos ou não. 3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO 3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO: Seja a fórmula proposicional P(p, q): p q ~ p q ~ p q. Obviamente não se pode qualificar a fórmula acima segundo as seis classes de fórmulas proposicionais anteriormente definidas, uma vez que o nível de abrangência dos respectivos operadores não está definido. Assim, através da colocação de parênteses poder-se-á obter as seguintes fórmulas: P (p, q): (p q) (~ p ((q ~p) q) P (p, q): p (q ((~ p q) (~p q)) P (p, q): ((p q) ~ p) (q (~p q)) E outras hipóteses. Desta forma, utiliza-se o procedimento denominado pareação ou pareamento para caracterizar o escopo de uma determinada operação de uma dada fórmula proposicional. Isto é, parear significa colocar parêntese com o objetivo de delimitar o nível de abrangência dos respectivos operadores lógicos, sendo que os níveis anteriormente considerados qualificam o que se denomina escopo de uma dada operação. 3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS: Em certas situações o procedimento de pareação torna a análise de determinadas estruturas um tanto quanto complexas, tendo em vista a demasiada concentração de parênteses. Assim, para resolver, em parte tais dificuldades convencionais se estabelecem uma ordem de precedência dos conectivos lógicos em que se torna desnecessária a pareação. Adotar-se-á, portanto, a seguinte ordem de precedência usual. ~ 14

15 Logo: Dada a fórmula P (p, q): p q ~ p q ~ p v q, pareando-se vem que: P (p, q): (p q) ((~ p q) (~ p v q)) Retirar todos os parênteses desnecessários segundo a ordem de precedência usual. P (p, q): (((~ p q) ~ p) q) (~ p (~ q p)) 4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL 4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS Conforme caracterizados anteriormente, os conectivos lógicos estabelecem classes de fórmulas proposicionais específicas, as quais dão origem às operações lógicas fundamentais do cálculo proposicional. Assim tem-se que: O conectivo,... e... da origem ao operador de conjunção sendo tal operação denotada pelo símbolo. O conectivo não... da origem ao operador negador ou a operação de negação sendo denotada por ~ O conectivo... ou... da origem ao operador disjuntor inclusivo ou a operação de disjunção inclusiva sendo denotado por O conectivo... ou..., e não ambos, da origem ao operador disjuntor exclusivo ou a operação de disjunção exclusiva, cuja notação é dada por O conectivo se..., então... da origem ao operador implicador ou a operação de condicional sendo denotado por O conectivo... se, e somente se... da origem ao operador bi-implicador ou a operação bicondicional, sendo denotado por: Observe que as seis classes de fórmulas proposicionais são caracterizadas pela forma estrutural, isto é, pelas estruturas ~p, p q, p q, p q, p q, p q. Portanto uma fórmula proposicional pode ser definida da seguinte maneira: DEFINIÇÃO Uma fórmula proposicional é um conjunto ou série finita de termos constituída de pelo menos um operador lógico que incida sobre ao menos uma proposição simples componente. 15

16 É oportuno salientar-se ainda que muito embora as observações feitas até aqui se baseiam em proposições compostas, compostas de outras proposições compostas CONECTIVOS: São palavras que se usam para formar novas preposições a partir de outros conectivos usuais em lógica matemática. No caso de uma proposição composta cujas preposições simples são p e q, as possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Exprime-se que p é verdadeiro escrevendo se V (p) = V e analogamente exprime-se que p é falsa escrevendo-se V(p)=F. 4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS: NEGAÇÃO Chama-se de negação de uma proposição p a proposição representada por ~p (não p) cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeiro. Simbolicamente: ~ p = não p Tabela verdade: p V V F F ~ p F F V V 16

17 4.2.2 CONJUNÇÃO Chama-se conjunção de duas proposições p e q à proposição representada por p e q cujo valor lógico é verdadeiro quando ambas as proposições p e q são verdadeiras e falso nos demais casos. Simbolicamente: p q = p e q Tabela verdade: p q p q V V V V F F F V F F F F DISJUNÇÃO Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q cujo valor lógico é verdadeiro quando ao menos uma das proposições p e qé verdadeira e falso quando ambas as preposições são falsa. Simbolicamente: p q = p ou q Tabela verdade : p q p q V V V V F V F V V F F F DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q mas não ambas cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando as proposições p e q tem valores lógicos diferentes. Simbolicamente: p q = p ou q mas não ambos 17

18 Tabela verdade: p q p q V V F V F V F V V F F F CONDICIONAL Chama-se condicional de duas proposições p e q a proposição cujo valor lógico é falso (F) se a proposição p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira nos demais casos. Simbolicamente: p q = se p então q Tabela verdade: p q p q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL Chama-se proposição bicondicional uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e falsa (F) nos demais casos. Simbolicamente: p q = p se e somente se q Tabela verdade: p q p q V V V V F F F V F F F V 18

19 AULA 1 - Exercícios 1) Quais das sentenças abaixo são proposições? a) A lua e feita de Queijo verde. b) Ele seria um homem alto. c) Dois e um numero primo. d) O jogo vai acabar logo? 2 e) x f) 3 e raiz de x 4x 3 0 2) Sejam as proposições p: está frio e q: está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~ p b) p q c) p q d) q p e) ~ p ~ q f) p ~ q g) p ~q h) p ~ q i) p ~ q p 3) Sejam as proposições p:jorge é rico e q: Carlos é feliz. Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições: a) p q b) p q c) p ~ q d) ~ p ~q e) ~ ~ p f) ~ (~p ~q) 19

20 4) Simbolizar, utilizando a lógica, as seguintes frases: a) X é maior que 5 e menor que 7 ou X não é igual a 6. b) Se X é menor que 5 e maior que 3, então X é igual a 4. c) X é maior que 1 ou X é menor que 1 e maior que 0. 5) Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Marcos é alto e elegante. b) Marcos é alto, mas não é elegante. c) Não é verdade que Marcos é baixo e elegante. d) Marcos é alto ou é baixo e elegante. e) Marcos não é nem alto e nem elegante. f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. 6) Sejam as proposições: p : Sueli é rica q : Sueli é feliz Traduzir para linguagem simbólica (lógica) as seguintes frases: a) Sueli é pobre, mas é feliz. b) Sueli é rica o infeliz. c) Sueli é pobre e infeliz. d) Sueli é pobre ou rica, mas é feliz. 7) Dadas as seguintes proposições: p : o número 596 é divisível por 2. q : o número 596 é divisível por 4. r : o número 596 é divisível por 3. Traduzir para a linguagem simbólica: a) É falso que número 596 é divisível por 2 e por 3, ou o número 596 não é divisível por 4. b) O número 596 não é divisível por 2 ou por 4, mas é divisível por 3. c) Se não é verdade que o número 596 é divisível por 3, então ele é divisível por 2 e não por 4. d) É falso que o número 596 não é divisível por 2 e por 4, mas é divisível por 3 e por 2. 20

21 8) Sejam as proposições p: Carlos fala francês, q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão. b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão. c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão. d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês. 9) Determine o valor logico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) O numero 11 e um número primo. b) Todo numero divisível por 5 termina em 0. c) - 2 < 0. 10) Sabendo-se que V(p) = V(q) = T (true) e V(r) = V(s) = F (false), determine os valores lógicos das seguintes proposições: a) (p (q r)) (p (r q)) b) (q r) (~q r) c) (~p ~ (r s)) d) ~(q ( ~p s)) e) (p q) (q ~p) f) ~(~q (p ~s)) g) ~q ((~r s) (p ~q)) h) ~(~p (q s)) (r ~s) i) ~(p (q r)) s 11) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) Se = 6 então = 9. b) = 7 se e somente se 5 3 = 125. c) Não é verdade que 12 é um número primo. d) É falso que = 5 e = 3. e) Brasília é a capital do Brasil, e 2 0 = 0 ou 3 0 = 1. 21

22 5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO AULA 2 Denomina-se matriz de verdade ou Tabela função de verdade ou Tabela Verdade, todo procedimento de decisão que permite, num dado tempo à determinação dos valores lógicos de uma dada fórmula proposicional a partir dos valores verdade das proposições simples componentes e das operações lógicas entre tais valores, segundo o escopo de cada uma das respectivas operações lógicas. É oportuno observar dada uma fórmula proposicional se faz necessário delimitar o escopo de cada uma das operações envolvidas bem como estabelecer os respectivos arranjos de valores lógicos das proposições simples que compões a fórmula em análise. Para a determinação do número de arranjos possíveis, que correspondem às linhas da tabela verdade, adota-se a expressão 2 n, onde n é o número de proposições simples componentes e dois os valores verdade e falsidade, isto é: 2 n linhas.é possível construir a tabela verdade correspondente a qualquer proposição composta dada. Tal tabela mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F). Exemplos:Construir a tabela verdade das seguintes preposições: a) ~ (p ~ q) p q ~ (p ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V F F V F V F F F F V V F b) p q ~ p ~ p q ~ p q p q p q ~ p ~ p q ~ p q V V V F V F F V F F V F V F F V V V V F V F F F F V V F V F F F F V F F F V F V V V V F F V F V V V V F F V F F F V F F V F V V F V F F V F V F 1 7 (1+3) 1 3 (1+2) (7+6) (2+4) (5+1) 1 22

23 5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS: As fórmulas proposicionais são classificadas quanto aos valores lógicos, em proposições Tautológicas, proposições Contraválidas e proposições Contingentes, as quais são assim definidas TAUTOLOGIA Diz-se que uma fórmula proposicional é uma tautologia ou uma proposição tautológica ou ainda, uma proposição logicamente verdadeira, se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela verdade, independentemente dos valores lógicos das componentes da fórmula em análise, tem-se tão somente valores lógicos correspondentes à verdade. Uma tautologia será denotada pelos símbolos t ou T ( p, q, r,..., p 1,...,p n ) Por exemplo, a fórmula proposicional P (p, q): (p q) v (p q) é uma tautologia, pois: p q (p q) (p q) V V V F V V V V V V F V V F V V F F F V F V V V F F V F F F F F V F V F CONTRADIÇÃO Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contradição ou uma proposição contraválida ou ainda proposição logicamente falsa, se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabelaverdade figuram, independentemente dos valores particulares de suas componentes, tão somente valores lógicos correspondentes à falsidade. Em termos de notação adotam-se os símbolos c ou C ( p, q, r,..., p 1,..., p n ) Por exemplo, a formula proposicional P (p, q): (p q) p ~ q é uma contradição, pois: p q (p q) p ~ q V V V V V V V F F V V F V F F F V F V F F V F V V F F F F V F F F V F F F F V F 23

24 5.1.3 CONTINGÊNCIA Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contingência, ou uma proposição contingente se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela verdade tem-se pelo menos uma verdade e pelo menos uma falsidade, isto é, tal fórmula não é uma tautologia e não é contraválida. Por exemplo, a formula proposicional P (p, q) : (p q) (p q) é uma contingência, pois: p q (p q) (p q) V V V V V V V V V V F V F F F V F F F V F F V V F V V F F F F F V F V F AULA 2 - Exercícios 1) Construa a tabela verdade para cada uma das seguintes proposições: a) ~p q b) (p q) (p v q) c) ~ (p q) ~ (q p) d) (p q) ~ (p ~ q) e) [p ( ~ q r)] ~ [ q (p ~ r)] f) p ~r q ~r g) ~(p q) ~ (q p) h) (p q r) (~ p q ~r) 2) Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas (contradição), ou contingentes: a) p ( ~ p q) f) p q p q b) ~ p q (p q) g) p ( p q ~q) c) p ( q ( q p)) h) (q p) (p q) d) ((p q) q ) p i) ~ p ~ (p q) e) p ~q ( p ~q) j) p q ( p q r) 24

25 AULA 3 6. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA 6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E O símbolo representa uma operação entre proposições, resultando uma nova proposição. Exemplo: Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo, resultará a proposição p q O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. Exemplo Dadas as proposições p q e p q, a relação de implicação lógica entre elas é denotada por p q p q. 6.2 DEFINIÇÃO Diz-se que uma preposição P ( p, q, r,...) implica logicamente numa proposição Q ( p, q, r,...) se Q ( p, q, r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P ( p, q, r,...) é verdadeira. Nestas condições, escreve-se que P (p, q, r...) Q (p, q, r,...), que se lê: P implica em Q. Desta forma tem-se a implicação lógica entre duas dadas fórmulas proposicionais quando nas respectivas tabelas verdades, linha a linha, nas colunas resultado não ocorre simultaneamente verdade-falsidade, nesta ordem. Teorema: Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P ( p, q, r,...) e Q ( p, q, r,...) são de implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência lógica uma tautologia. 6.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA As relações de implicação lógica tem as seguintes propriedades: Reflexiva: P(p, q,...) P(p, q,...) Transitiva: Se P(p, q,...) Q(p, q,...) e Q (p, q,...) R(p, q,...) então P(p, q,...) R(p, q,...) 25

26 6.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P(p, q,...) e Q (p, q,...) são de implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência lógica uma tautologia, ou seja: i. P(p, q,...) Q (p, q,...) se, e somente se, V[P(p, q,...) Q (p, q,...)] = V para quaisquer dos 2 n arranjos de valores lógicos das n-proposições p, q,... componentes. ii. P(p, q,...) Q(p, q,...) se, e somente se, P (p, q,...) Q (p, q,...) T (p, q,...) 6.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE PROPOSIÇÕES Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q e p q, são: p q p q p q V V V V V F F V F V F V F F F F A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição p q também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a Segunda proposição, isto é, p q p q. Nota: A implicação existe não é só porque p q é verdadeira e a proposição p q é, também, verdadeira na mesma linha 1. É sobretudo, porque, nas tabelas verdade de p q e p q, não figuram alternativa VF, nessa ordem. É interessante notar que a proposição p q não implica a proposição p q porque nas tabelas verdade de p q e p q, nessa ordem, figura a alternativa VF (no caso, duas vezes). Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade de p q e p q, são: 26

27 p q p q p q V V V V V F F F F V F F F F F V A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta mesma linha, a proposição p q também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a segunda proposição, ou seja: p q p q. Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q e p q, são: p q p q p q V V V V V F F F F V F V F F F V A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1, e nesta linha, a proposição p q é verdadeira (V), portanto, não há alternativa VF. Logo, p q p q. Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q, p q e q p, são: p q p q p q q p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V 27

28 A proposição p q é verdadeira (V) nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposições q p e p q também são verdadeira. Logo, p q q p. p q p q 6.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS REGRAS DE INFERÊNCIA Adição: p p q Simplificação: p q p p q q Regra do silogismo disjuntivo: (p q) ~ p q (p q) ~ q p Regra Modus Ponens: (p q) p q Regra Modus Tolens: (p q) ~ q ~ p Regra do silogismo hipotético: (p q) (q r) p r 6.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: Dada a condicional p q, chama-se proposição associada a essa proposição as três seguintes proposições condicionais. Proposição recíproca de p q : q p proposição inversa de p q : ~ p ~ q proposição contrapositiva de p q : ~ q ~ p PROPRIEDADES: A condicional p q e a contrapositiva ~ q ~ p são equivalentes A recíproca q p e a inversa ~ p ~ q são equivalentes. 28

29 p q ~ p ~q p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V Exemplos: Determinar a contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1 Determinar a contrapositiva da inversa de x < 1 x < 3 AULA 3 - Exercícios 1) Mostrar: a) q p q b) q p q p 2) Mostrar que p não implica p q e que p q não implica p. 3) Considere a proposição: Se o Marcelo é chato, então, ele não tem namorada. Agora determine: a) a proposição recíproca. b) a proposição inversa. c) a proposição contrapositiva. 29

30 4) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições: a) p ~ q b) p v ~ q c) ~p q d) ~ p ~q e) ~ p ~ q f) p ( ~ p v q) g) (s r) (p q) h) ~((r p) (s q)) j) ~r p q j) r q (~p r) 5) Determinar V(p) e V (q) em cada um dos seguintes casos, sabendo: a) V ( p q ) = V e V(p q) = F b) V ( p q ) = V e V(p q) = F c) V ( p q ) = V e V(p q) = V d) V ( p q ) = V e V(p v q) = V e) V ( p q ) = F e V(~p v q) = V 6) Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações de implicação lógica seguintes: a) p q q p b) ~ (p q ) ~p ~q c) p q r ~q r ~p d) ~p (~q p ) ~(p ~q) 30

31 AULA 4 7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA 7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E O símbolo representa uma operação entre proposições, resultando uma nova proposição. Exemplo: Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo resultará na proposição p q. O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. Exemplo: Dadas as proposições p e ~~ p, a relação de equivalência lógica entre elas é denotada por p ~ ~ p 7.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA: Dadas as fórmulas proposicionais P (p, q, r,..., p 1,..., p n ) diz-se que todas as fórmulas são logicamente equivalentes se, e somente se, V [P (p, q, r,...)] = V [Q (p, q, r,...)] para quaisquer dos valores verdade das m-proposições simples componentes. Ou seja: P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) se, e somente se, V [P(p, q, r,...)] = V [Q (p, q, r,...)] para os 2 n arranjos possíveis de valores verdade das p, q, r,... proposições componentes. Por exemplo: p q ~ p v q, pois: p q ~ p q V V V F V V V V F F F V F F F V V V F V V F V F V F V F Ou seja: p q ~ p v q 31

32 7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: Sejam as fórmulas proposicionais P (p, q, r,...) e Q (p, q, r,...). Teorema: P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...), se e somente se, P (p, q, r...) Q (p, q, r,...) T(p, q, r,...). Exemplo: Verificar pela definição e pelo teorema se as fórmulas proposicionais a seguir são equivalentes entre si. P (p, q): p q. Q (p, q): (p q) (q p). Pela definição: p q (p q) (q p) se, e somente se V [p q] = V [(p q) (q p)]. p q ( p q) (q p) V V V V V V V V V V V F F V F F F F V V F F V F V V F V F F F V F F V F V F V F Pelo teorema: (p q) [( p q) (q p)] V V V V V V V V V V V V F F V V F F F F V V F F V V F V V F V F F F V F V F V F V F V F 32

33 7.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA: Tendo em vista as características das relações de equivalência lógica, tem-se que as mesmas se verificam as seguintes propriedades: Reflexiva: P (p, q, r,...) P (p, q, r,...) p, q. Simétrica: Se P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) então Q (p, q, r,...) P (p, q, r,...). Transitiva: Se P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) e Q (p, q, r,...) R (p, q, r,...) então P (p, q, r,...) R (p, q, r,...). 7.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: p ~ p t p ~ p c p q (p q) (q p) p q ~ p q p q ~ (p q) p q ~ q ~ p p p p ou p p p t p t t p p c p p c p c 7.6 OPERAÇÒES DERIVADAS: Tendo em vista a ocorrência com certa freqüência, de determinadas fórmulas proposicionais no cálculo proposicional tem-se estruturado dois ovos operadores, denominados de conectivos de Scheffer. Assim definem-se as operações derivadas negação conjunta e negação disjunta NEGAÇÃO CONJUNTA: Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição não p e não q : ~ p ~ q 33

34 Notação: p q Tabela verdade: p q p q V V F V F F F V F F F V NEGAÇÃO DISJUNTA Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição não p ou não q : ~ p ~ q Notação: p q Tabela verdade: p q p q V V F V F V F V V F F V AULA 04 - Exercícios 1) Verificar por tabela verdade se as seguintes equivalências são válidas: a) p ( p q) p b) p p q p q c) (p q) (p r) p q r d) ( p q) r p ~ r ~ q e) q p q p q f) (p q) (p r) p q r 34

35 2) Verificar se o conectivo ( ou exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos ~, e do seguinte modo: p q ( p q) ~ (p q) 3) Verificar seos três conectivos ~, v e exprimem-se em função do conectivos de SCHEFFER do seguinte modo: a) ~ p p p b) p q (p q) (p q) c) p q (p q) (p q) 4) Verificar se os três conectivos ~, v e exprimem-se em função do conectivo de SCHEFFER do seguinte modo: a) ~ p p p b) p q (p p) (q q) c) p q (p q) (p q) 5) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições: a) ( ~ p q) ( q ~ r) b) ((p q) (q r)) (r p) c) ( ~ p ~ q) ((q r) p) 6) Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: Quem tem dinheiro, não compra fiado e Quem não tem, compra, provando sua resposta. 35

36 AULA 5 8. EXERCÍCIOS GERAIS 1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 2) Maria tem três carros; um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto e o outro é azul. Sabe-se que: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente: a) branco, preto, azul. b) preto, azul, branco. c) azul, branco, preto. d) preto, branco, azul. e) branco, azul, preto. 3) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 36

37 4) Dizer que não é verdade que Celina é bonita ou Cristina não é loira, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Celina não é bonita ou Cristina não é loira. b) Celina não é bonita ou Cristina é loira. c) Celina é bonita ou Cristina é loira. d) Celina não é bonita e Cristina não é loira. e) Celina não é bonita e Cristina é loira. 5) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 6) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente: a) Culpado, culpado, culpado. b) Inocente, culpado, culpado. c) Inocente, culpado, inocente. d) Inocente, inocente, culpado. e) Culpado, culpado, inocente. 37

38 7) Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm, também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e que Lauro é veterinário, conclui-se corretamente que: a) Lauro é paulista e José é psicólogo. b) Mauro é carioca e José é psicólogo. c) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo. d) Mauro é paulista e José é psicólogo. e) Lauro é paulista e Mauro é engenheiro 8) A afirmação Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que: a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo. 9) Alguém, e, ninguém entraram na casa. Alguém saiu pela porta, ninguém saiu pela janela. Quem ficou na casa? 10) A mãe de Irajara tem cinco filhas: Iraná, Irané, Irani, Iranó. Qual é a quinta filha? 11) O medir-se uma vara verificou-se que ela tem 5 metros mais a metade de seu próprio comprimento. Qual o real comprimento da vara? 12) Se dois tijolos tem a massa de 1 kg e mais meio tijolo; qual a massa de um tijolo e meio? 13) Se 100 gatos comem 100 ratos em 100 minutos, 1 gato come 1 rato em quantos minutos? 38

39 14) O pai do meu neto é o neto de meu pai. Quantas pessoas estão envolvidas nesse relacionamento de parentesco? 15) O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em duas horas a cesta está cheia. A que horas estava pela metade? 16) Conversação telefonica: - Alô, é do ; com 6 casas decimais? - Sim, quem fala? - Como? Então não reconheces minha voz?!? No entanto, a minha mãe e sogra da tua mãe. Pergunta-se: a) Para qual número foi feito o telefonema? b) Qual o parentesco dos interlocutores? 17) Porque prefere um barbeiro carioca cortar o cabelo de dois capixabas a cortar o de um paulista? 18) Há mais de duas décadas, numa sufocante noite de janeiro em Brasília, chovia torrencialmente à meia noite. É possível que 96 horas depois estivesse sol em Brasília? 19) A sala tem quatro cantos. Cada canto tem um gato. Cada gato vê três gatos. Quantos gatos estão na sala???? 20) Um pai tinha dois filhos e queria igualmente bem a cada um deles. Determinou então, no seu testamento, que depois de sua morte, os dois filhos teriam que fazer uma viagem e que a fazenda com todos os seus pertences seria herdada pelo filho cujo cavalo chegasse por último na estátua do Padre Cícero, em Juazeiro, no Ceará. Depois da morte do pai, os dois filhos partiram de Brasília e se puseram a caminho muitíssimo devagar, tão devagar que nunca teriam chegado na estátua do vulnerável Padre Cícero. Resolveram, então, consultar, no caminho, o espiritualista Chico Xavier. Este, sabiamente, disse um segredo ao ouvido de cada um. De posse do segredo, os dois irmãos tomaram, o mais depressa possível, os cavalos e disputaram a mais veloz das corridas. Qual foi o segredo que Chico Xavier falou aos dois herdeiros?? 39

40 9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES AULA PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO: IDEMPOTÊNCIA: p p p p V F p p V F COMUTATIVIDADE: p q p q q p V V V V p q q p V F F F F V F F F F F F ASSOCIATIVIDADE: (p q) r p (q r) p q r (p q) r p (q r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F F V F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F 40

41 9.1.4 IDENTIDADE: p c c p t p p c t p c p t V F V F V F F F F V 9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO: Sejamp, q, r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições simples cujos valores lógicos respectivos são V e F IDEMPOTÊNCIA: p p p p V F p p V F COMUTATIVIDADE: p q q p p q p q q p V V V V V F V V F V V F F F F F 41

42 9.2.3 ASSOCIATIVIDADE: (p q) r p (q r) p q r (p q) r p (q r) V V V V V V V V V F V V V V V F V V V V V V F F V V V F F V V V V V V F V F V V V V F F V F V V V F F F F F F F IDENTIDADE: p t t p c p p t c p t p c V V F V V F V F V F V = elemento absorvente F = elemento neutro 9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO: DISTRIBUTIVA: i. p (q r ) (p q) (p r) ii. p (q r) (p q) (p r) 42

43 São idênticas as tabelas verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r), Analogamente, são idênticas as tabelas verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r). As bicondicionais p (q r) (p q) (p r) e p (q r) (p q) (p r) são tautológicas A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação a disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação a conjunção. De (i) a proposição em linguagem corrente: As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou amarelas. As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou as violetas são azuis eas rosas amarelas. De (ii); Faz calor ou chove e venta Faz calor ou chove efaz calor ou venta ABSORÇÃO: i. p ( p q) p ii. p (p q) p LEIS DE DE MORGAN: i. ~ ( p q ) ~ p ~ q ii. ~ ( p q ) ~ p ~ q As leis de De Morgan permitem definir a disjunção a partir da conjunção e da negação ou a conjunção a partir da disjunção e da negação. i. negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa ii. negar que ao menos uma entre duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas. 9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: p q ~ p q ~(p q) ~(~ p q) p ~ q Demonstração por tabela verdade: 43

44 p q p q ~ ( p q) ~ q p ~ q V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F 9.5 NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: ~ (p q) p v q p q p v q (p q) ~ (p q) V V F V F V F V F V F V V F V F F F V F 10. MÉTODO DEDUTIVO Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até aqui pelo Método das tabelas verdade. Vamos agora exemplificar a demonstração de implicações e equivalências por um método mais eficiente, denominado Método dedutivo. No emprego do Método Dedutivo desempenham papel importante as equivalências relativas a Álgebra das Proposições REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS: Entre os cinco conectivos fundamentais ( ~,,,, ). Três exprimem-se em termos de apenas dois dos seguintes pares: a) ~ e b) ~ e c) ~ e 44

45 10.2 EXEMPLICIFICAÇÃO: Demonstrar as seguintesimplicações e equivalências: 1) i) c p ii) p t onde p é uma proposição qualquer e c e t são proposições cujos valores lógicos respectivos são F (falsidade) e V (verdade), observe-se também, que as tabelas verdade de c p e p t mostram que estas condicionais são tautológicas. p c t c p p t 2) p q p (simplificação) 3) p p q (adição) 4) (p q) p q (Modus Ponens) 45

46 5) (p q) ~q ~ q (Modus Tollens) 6) (p q) ~ p q (Silogismo Disjuntivo) 7) p q p q 8) p q p 46

47 9) p ~ p q 10) p q p r q 11) p q p ~ q c (Redução ao Absurdo) 12) p q p q q 47

48 13) (p q) ( p ~q) ~ p 14) p q r p (q r) (Exportação- Importação) 15) (p r) (q r) p q r 48

49 16) (p q) (p r) p q r 17) (p r) (q s) p q r s AULA 6 - Exercícios 1) Dar a negação da proposição: Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 2) Simplificar as proposições abaixo utilizando as leis de equivalência a) ~ ( ~ p ~ q) b) ~ (p q) ( ~ p q) c) ~ (p ~ q) d) ~ (~ p q) e) ~ ( ~ p ~ q) f) ( p q) ~ p 49

50 g) (p q) (~ p q) h) p (p q) (p ~ q) i) (p q) r j) (p q) (~r ~q) k) p (p q) l) p q 3) Usar o método dedutivo para demonstrar: a) p ~ p p b) ~ p p p c) p p q p q d) (p q) q p q e) (p r) (q r) p q r f) (p q) ( p r) p q r g) p (p q) p h) p ( p q) p i) p q ((p p) (p p)) (q q) j) p q ((p p) (q q)) ((p p) (q q) 50

51 AULA FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES 11.1 DEFINIÇÃO: Uma proposição esta na forma normal (FN) se é formada apenas pelos conectivos: ~, e FORMA NORMAL COJUNTIVA: Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente se são verificadas as seguintes condições: 1. Contém, quando muito, os conectivos ~, e ; 2. ~ não aparece repetido (como ~~) e não tem alcance sobre e (isto é, só incide sobre letras proposicionais); 3. não tem alcance sobre (isto é, não há componentes do tipo p (p r)) Exemplos: Determinar a FNC das proposições: a) ~ (((p q) ~ q) (q r)) b) (p q) ( ~ q ~ p) 51

52 FORMA NORMAL DISJUNTIVA: Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se são verificadas as seguintes condições: 1. Contém, quando muito, os conectivos ~, e ; 2. ~ não aparece repetido (como ~ ~) e não tem alcance sobre e (isto é, só incide sobre letras proposicionais); 3. não tem alcance sobre (isto é, não há componentes do tipo p (p r)) Exemplos.: Determinar a FND das proposições (p q) (q p) 11.2 PRINCÍPIO DA DUALIDADE: Considerando uma proposição P em usa forma normal (FN) a dual de P é aproposição obtida trocando-se cada símbolo e por e respectivamente. Por exemplo, a dual de (p q) r é (p q) r Se P e Q são proposições equivalentes em FN, então suas respectivas duais P D e Q D também são. Exemplo: p (q q ) p deduz-se pelo princípio de dualidade que p ( p q ) p 52

53 AULA 07 - Exercícios 1) Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente para cada uma das seguintes proposições: a) p q b) p ~ p c) p ~ p d) p ~ p e) p q f) p p g) p ~ p h) p q i) (p ~ p) (q ~q) j) (p q) p k) ~ p (q v p) l) p ~ (q v r) 2) Determinara uma forma normal disjuntiva (FND) equivalente para cada uma das seguintes proposições: a) ~ ( ~ p ~ q) b) ~ (p q) c) ( p p) ~p d) ~ (p v q) e) ( p q ) ~ p f) ~ (p q) g) p v ~ p h) p ~ p i) p q j) p q k) p q l) p ~ p 53

54 AULA RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO: 12.1 PENSAMENTO LÓGICO FORMAL: Seja o raciocínio: Se a lógica é a base da Matemática e/ou não é fato que a filosofia não é a ciência dos contrários, a matemática é o ideal da ciência bem como a dialética é a base da ciência natural. A ciência natural é a dialética da filosofia assim como a lógica não é base da matemática. Se não é fato que a filosofia é a ciência dos contrários não é verdade que a matemática é o ideal da ciência embora a matemática fundamenta as ciências exatas. Não é fato que a matemática não fundamenta as ciências exatas ou a matemática é o ideal da ciência. Portanto, é natural concluir-se que a matemática não é o ideal da ciência. A partir deste ponto cabe a lógica matemática instituir os métodos e técnicas que possibilitem avaliar a legitimidade de quaisquer que sejam os raciocínios que possam ser formalizados segundo os pressupostos do cálculo proposicional. Tais métodos e técnicas constituem a base da teoria da argumentação à qual é condição necessária e suficiente para se estabelecer as regras de validade na chamada Análise Inferencial 12.2 ARGUMENTO: Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P 1, P 2,...,P n tem como conseqüência uma proposição final Q. As proposições P 1, P 2,...,P n são chamadas de premissas do argumento e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento. Um argumento de premissas P 1, P 2,...,P n e de conclusão Q é indicado de forma simbólica por P 1, P 2,..., P n Q e pode ser lida de uma das seguintes maneiras: P 1, P 2,..., P n acarretam Q Q decorre de P 1, P 2,..., P n Q se deduz de P 1, P 2,...,P n Q se infere de P 1, P 2,...,P n O símbolo é chamado traço de asserção, afirma que se a proposição Q, à sua direita, pode ser deduzido utilizando como premissas somente as proposições que estão à sua esquerda. Um argumento de premissas P 1, P 2,...,P n e conclusão Q pode também ser indicado através da forma padronizada, por: 54

55 P P 1 2 P n Q VALIDADE DE UM ARGUMENTO: Diz-se que é valido um argumento se, e somente se, a conclusão for verdadeira, toadas as vezes que as premissas forem verdadeiras. Assim o argumento P 1, P 2,..., P n Q é válido se, e somente se, a conclusão Q for verdadeira, todas as vezes que as premissas P 1, P 2,...P n forem verdadeiras. Portanto, todo argumento válido goza das seguintes propriedades: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não válido é chamado de sofisma (ou falácia). As premissas dos argumentos são verdadeiras ou,pelo menos, admitidas como verdadeiras. Aliás, a lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não cma verdade ou falsidade das premissas e das conclusões. A validade de um argumento depende tão somente da relação existe entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível Ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeira. Quando um argumento é valido a condicional da conjunção das premissas com a conclusão é tautológica. Exemplificando: Um argumento P 1, P 2,..., P n Q é válido se, e somente se a condicional (P 1 P 2... P n ) Q for tautológica. A condicional (P 1 P 2... P n ) Q é denominada condicional associada ao argumento P 1, P 2,..., P n Q. A validade de um argumento pode ser verificada, demonstrada ou testada através das tabelas-verdade ou com o uso das regras de inferência CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO: Dado um argumento qualquer P 1, P 2,..., P n Q a este argumento corresponde a condicional (P 1 P 2... P n ) Q, cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão denominada condicional associada ao argumento dado. 55

56 Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente e cuja conclusão é o consequente. Exemplificando, A condicional associada ao argumento p ~q, p ~r, q ~s ~ (r v s) é: (p ~q) (p ~r) (q ~s) ~ (r v s) 12.4 VALIDADE DOS ARGUMENTOS ATRAVÉS DE TABELA VERDADE: O procedimento consiste em construir uma tabela verdade com uma coluna para cada premissa e uma coluna para a conclusão. As linha nas quais todas as premissas são verdadeiras devem ter conclusão verdadeira para que o argumento seja válido. Se ao invés, em ao menos uma dessas linhas o valor lógico da conclusão Q for F, então o argumento dado é não válido, ou seja, é um sofisma. Uma outra alternativa para demonstrar, verificar ou testar a validade do argumento dado consiste em construir a condicional associada. Exemplos: Verificar a validade dos seguintes argumentos:p q, q p p q p q V V V V F F F V V F F V 12.5 REGRAS DE INFERÊNCIA: Inferência: passos de uma dedução ou demonstração. Adição: p p Simplificação: p q p q p q q p p q 56

57 Conjunção: p q Absorção :p q q p p (p q) p q q p Modus Ponens: p q Modus Tollens: p q p ~ q q ~ p Silogismo Disjuntivo: p q p q ~ p ~ q q p Silogismo Hipotético: p q q r p r Dilema construtivo: p q r s p r q s Dilema Destrutivo: p q r s ~ q ~ s ~ p ~ r 12.6 EXEMPLO DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA: REGRA DA ADIÇÃO: Dada uma proposição p, dela pode-se deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição. p. p ~ q 57

58 REGRA DA SIMPLIFICAÇÃO: Da conjunção p q de duas proposições pode-se deduzir cada uma das seguintes proposição, p ou q. (p q) r p q REGRA DA CONJUNÇÃO: Permite deduzir de duas proposições dados p e q (premissas) a sua conjunção p q ou q p (conclusões) (p q) ~ r. (p q) ~ r REGRA DA ABSORÇÃO: A partir de uma condicional (premissa) permite deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente é a conjunção p q das duas proposições que integram a premissa, isto e: x A x A B. x A x A x A B REGRA MODUS PONENS: Permite deduzir q (conclusão) a partir de p q e p (premissas) ~ p ~ q ~ p. ~ q REGRA MODUS TOLENS: Permite a partir das premissas p q (condicional) a ~ q (negação do consequente) deduzir como conclusão ~ p (negação do antecedente). q r s ~ s. ~(q r) 58

59 REGRA DO SILOGISMO DISJUNTIVO: Permite deduzir da disjunção p v q de duas proposições e da negação ~ p ( ou ~ q) de uma delas a outra proposição q (ou p). (p v q) v r ~ r. p v q REGRA DO SILOGISMO HIPOTÉTICO: Dadas duas condicionais p q e q r (premissa) tais que o consequente da primeira coincide como antecedente da Segunda, esta regra permite deduzir uma terceira condicional p r (conclusão) cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da premissa p q e o consequente da outra premissa. q r. ~ p ~ q ~ q ~ r ~ p ~ r REGRA DO DILEMA CONSTRUTIVO: Nesta regra as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, a conclusão é a disjunção dos consequentes dos condicionais. burro cavalo jumento elefante burro v jumento. cavalo v elefante REGRA DO DILEMA DESTRUTIVO: As premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus consequentes, a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes desta condicional. ~ q r p s ~ r ~ s ~~ q ~ p 59

60 AULA 7 Exercícios 1) Construir a condicional associada a cada um dos seguintes argumentos: a) ~p, ~q p q b) p q ~( p ~q) c) p q, ~q ( r s) r s d) x = y x = 5, x = 5 x < z x = y x < z 2) Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das seguintes condicionais: a) p ( q v ~p) q b) (p q) (p ~q) s c) ~ ( x< 0 y x) x 0 y = x 3) Indicar a Regra de Inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos: a) p q (p q) v ~ r b) ~p (q r) ~p c) p q, q ~r p ~r d) p (q r), p q r e) (q r) v ~p, p ~(q r) f) p q, r ~s (p q) (r ~s) g) (p q) ( ~p r), ~(~p r) p q h) p q r p p (q r) i) x + y = z y + x = z, x + y = z y + x = z j) x > y x = z, x z x y k) x 0, x 1 x 0 x 1 60

61 l) 3 < 5 3 <5 3 < 2 m) x < 0 x = 1, x 1 x< 0 n) x = 1 x < 3, x < 3 x + y< 5 x = 1 x + y < 5 o) n > 3 n < 4 n < 4 4) Usar a regra Modus Ponens para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) x = y y = z b) x + y = 0 x = 0 (x = y y = z x = z x + y = 0. c) ( x > y y > z ) x > z d) 2 > 1 3 > 1 x > y y > z 2 >1. e) x + 1 = 2 f) x + 0 = y x = y x + 1 = 2 y + 1 = 2 x + 0 = y. 5) Usar a regra Modus tollens para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) x 0 x + y y b) x = z x = 6 x + y = y x 6 c) (p q) ~(r s) d) x > 3 x > y (r s) x y 6) Usar a regra do Silogismo Disjuntivo para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) x + 8 = 12 x 4 b) y < b x + y < 10 x x + y 10 c) s ( r t) d) ~p ~q ~s. q 61

62 7) Usar a regra do Silogismo Hipotético para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: a) p r ~s b) x = 3 x < y r ~s t x < y x z c) s t r q d) xy=6 xy + 5= 11 r q ~s t xy + 5=11 y = 2 8) Usar a regra do Dilema Construtivo para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos de premissas: a) p r b) x = 5 x < y ~q ~s x = 5 x > 3 p ~q x < y x < 2. c) y = 0 xy = 0 d) x = 2 x 2 = 4 y > 1 xy> 3 x = 2 y = 3 y = 0 y > 1 y = 3 y 2 = 9 9) Usar a regra do Dilema Destrutivo para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos de premissas: a) p q r b) p ~r q q r s ~(~r q) ~s ~r ~(r s) ~q s. c) x < 3 x y d) y 9 y 18 x> 4 x < y x = 2 y = 9 x= y x y. x = 8 y = 18 62

63 10) Usar a tabela verdade para verificar que são válidos os seguintes argumentos: a) p q, r ~ q r ~ p b) p ~q, r p, q ~ r 63

64 c) p q r, s p q, s q r 64

65 d) p q, q r, p s, ~s r ( p q) 65

66 11) Demonstrar a não validade dos seguintes argumentos pelo Método de atribuição de valores lógicos : a) p q, r s, p s q r b) (p q), ~p ~q r s, s r r c) p q r, q p r, r p q, ~p q r 66

67 d) p q r, s r, ~p q ~p q e) (p q) r, r ~s t, (s t) u, u p q f) p (q r), s (t v), q s t, ~(q v) p r 67

68 AULA VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA: O método das tabelas-verdade permite demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso a medida que aumenta o número de proposições simples componentes dos argumentos. Assim, para testar a validade de um argumento com cinco proposições simples componentes é necessário construir uma tabela-verdade com 2 5 = 32 linhas, perspectiva nada animadora. Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um dado argumento P 1, P 2,..., P n Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir das premissas P 1, P 2,...,P n mediante o uso de certas regras de inferência EXEMPLIFICAÇÃO Verificar que são válidos os seguintes argumentos: 1. p q, p r q 2. p q, p r s p s 68

69 3. p (q r), p q, p r 4. p q, p q r, ~( p r) ~p 69

70 5. p q r, r q (p (s t)), p s s t 6. p ~q, ~p (r ~q), ( ~ s ~r) ~~ q, ~ s ~ r 70

71 7. p q r, r s, t ~u, t, ~s u ~ (p q) 8. p q, q r, s t, p s r t 71

72 9. p q, ~ r (s t), r (p s), ~ r q t 10. p q, (p r) s q, p q r, ~s q 72

73 11. p q, p ( ~~ r ~~q), s ~r, ~(p q) ~ s ~q 12. p r, q s, ~r, (p q) (r v s) s 73

74 13. p q, q r, r s, ~s, p t t 14. (p q) (r s), t u, u v, ~q ~v ~ p ~t 74

75 15. x = y x = z, x = z x = 1, x = 0 x 1, x = y x x = y x = z, x y x < z, x z y > z, y z x z y > z 75

76 AULA 8 - Exercícios Verificar que são válidos os seguintes argumentos: 1) r p q, r, ~p q 2) p ~ q, ~~ q, ~p r r 3) p q, p r, q s r s 4) p q, q ~r, p ~r 5) p q, ~ q, ~p r r 6) p q, p r, p q r 7) p q, ~q, p r r 8) p v~q, r ~p, r ~q 9) ~p ~q, ~~ q, r p ~r 10) p ~q, ~~ q, ~p r s r s 11) ~ p ~~ q, ~~ p, ~r ~q ~~ r 12) p ~q r, p, s q, s t t 13) p q, p r, r s ~t, q s ~t 14) p ~q, q ~r, s r p ~s 15) p ~q, ~q r, p s, ~r s 16) p q, q ~r, ~~ r, p ( s t) s 17) p q, q r, p s, ~s r ( p q) 18) ~p ~q, ~q ~r, ~p t, ~ t ~r ~t 19) p ~q, p r, r ~q, s q, t ~s t 20) ~p q, q r s, p t, ~t s 21) p q, q r, ~r p 22) p q, ~q ~r, ~r s ~p s 23) p q, p r, ~r q s 24) p q, q r, ( p r) ~s, s t t 25) p ~q, ~r, p r, ~q s s 26) r t, s q, t q ~p, r s ~p 27) p ~q, ~q ~s, ( p ~s) ~t, r t ~ r 28) p q ~r, s p, t q, s t u ~r 76

77 29) p q ~r, p, s r ~s 30) p (q r), q r ~s, s t t 31) p q ~r, q, s t r ~( s t) 32) p q, ~q, ~p ~r s s 33) p (q r), q s, r t, s t p r, ~p r 34) q ( r t), q s, ~s (t p), ~s r p 35) p q (p s t), p r t v u 77

78 AULA VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIAS: Há muitos argumentos cuja validade não se pode demonstrar, verificar ou testar com o uso exclusivo das dez regras de inferência dadas anteriormente, sendo necessário recorrer a um princípio de inferência adicional, a Regra de substituição de proposições equivalentes. Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P pode ser substituída por uma por uma proposição equivalente, e a proposição Q que assim obtém é equivalente a P EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: A fim de facilitar o emprego da Regra de Substituição damos a seguir uma lista de proposições equivalentes, que podem substituir-se mutuamente onde quer que ocorram: Idempotência: p p p p p v p Dupla negação: Comutativa: p ~ ~ p p q q p p q q p De Morgan: ~ (p q) ~p ~q ~ (p q) ~p ~q Associativa: p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r Condicional: p q ~p q Distributiva: p (q r) (p r) v (p q) p (q r) (p r) (p r) Contrapositiva: p q ~q ~p Bicondicional: p q (p q) (q p) p q (p q) (~p ~ q) Absorção: p q p (p q) Exportação-importação: p q r p (q r) 78

79 14.2 EXEMPLIFICAÇÃO: Demonstrar a validade dos seguintes argumentos: 1) p q, r ~ q p ~r 2) p (q r), p q s p s 79

80 3) p q r s, ~s ~q 4) (p ~q) r, ~p (q ~p) q r 80

81 5) p q, q s, t (r ~s) p t 6) p (q r), p s, s r r 81

82 7) p q ~r, r (s t), p q p s 8) p q, r s, q s ~t, t ~p ~r 82

83 9) p q, q (p (r s)), r s, ~(r s) ~p 10) p q, q r, r p, p ~r ~p ~r 83

84 11) ~p q r, r s ~t, t ~q 12) y 1 y 1, y 1 y < 1 y = 1, x = 3 x > 3, x > 3 x y, x = 3 x y ~(x = y y 1) 84

85 13) x = y x y, y = 0 x y, x = 0 xy = 0 y = 0, (x = y y = 0) x = 0 ~(x < y x = 1) 85

86 AULA 9 Exercícios DEMONSTRAR A VALIDADE DOS SEGUINTES ARGUMENTOS 1) p ~q, q, ~p r s r s 2) p q, ~p ~~ r, ~q r 3) p ~r, q r, q ~p 4) ~p ~q, ~q ~r, r p 5) ~p q, ~p r, ~r q 6) r p q, ~~r, ~q p 7) ~p q, ~q, ~(q r) p r 8) p, ~q ~p q ~s 9) ~p q, q r, ~r p 10) p q, ~q, ~ p r ~~r 11) ~p ~q, q p 12) p q, ~q, p r s s r 13) (r ~t) ~s, p s, p q ~(~t r) 14) (r s) p, q ~p, t ~p, q t s r 15) ~p ~q, ~ r p, r ~ s, s ~ q 16) p q r, ~~ p, ~ r q 17) r p ~q, r ~s, s ~ q p 18) ~(p q), ~q r, ~ p r, s ~ r ~s 19) p ~ q, p ~ r, q ~s ~(r s) 20) ~ s ~ (p ~t), t q r, ~s r q 21) ~ p q, r q, r ~p, ~ q s s 22) t p s, q ~p, r ~ s, r v q ~ t 23) r ~ p, (r s) t, t q u, ~ q ~ u ~ p 24) p q, s q r, p s, q s r q 25) ~ (p ~r), p q, r s, q s t s s t 26) p q, q r ~ p r 27) r p q, ~p v ~q, r v s s 28) p q r, ~ r, ~ p s s 29) (p q) r, ~r, (~ p q) s s 30) ~(p q) (r s), r ~s, q t t 31) p v ~ (q ~r), ~p, r s t s t 32) p q r, ~r, q (~ s t) s t 33) p (~ q r), ~(p s) ~r q 34) (p q) r, ~ r s, ~( p ~q), s t u u 35) ~ p q, ~ s ~ r, p (r t) q s 36) p ~q, p (r s) q s 37) p q r, ~r p q 38) ~p ~q r, r s ~s p 39) p q, q r, s t, ~r s p 40) p q, q v r s, ~s ~p 41) p (q r), p r s t s 42) (p q) ( r s), ~q ~p v s 43) p q, p q r s, r s ~t, (p ~t) u u 44) p q r s, ~r ~p 86

87 AULA INCONSISTÊNCIA: Duas ou mais proposições que não podem ser simultaneamente verdadeiras dizem-se inconsistentes. Também se diz que formam um conjunto inconsistente de proposições. Um argumento se diz inconsistente se as suas premissas não podem ser simultaneamente verdadeiras (inconsistentes). As proposições ~ (p ~ q), p v ~ r, q r, são inconsistentes, pois, é impossível encontrar uma atribuição de valores às proposições simples componentes p, q e r que torne essas três proposições compostas simultaneamente verdadeiras. Com efeito construindo as tabelas verdade dessas três proposições verifica-se que, em cada linha, pelo menos uma delas uma delas é falsa (F), isto é, não há uma só linha em que admitam, todas, o valor lógico V. ~ (p v ~ q) p ~ r q r F V V F V V v F V V V V F V V F V V V V F V F F F V V V F V V F V F V V F V V V F V V V F F V F V F F F V F F F V V V V V F F F V F V V F V F F F F V V F F F F V F V V F F V V F F V V F F V F Também se pode demonstrar que as três proposições dadas são inconsistentes deduzindo do seu conjunto uma contradição qualquer, do tipo, A ~ A, medianteas regras de dedução usadas para os argumentos, pois, como estas regras preservam a verdade, a contradição que se obtém prova que estar três proposições não podem ser conjuntamente verdadeiras. 87

88 (1) ~ (p ~q) (2) p ~ r (3) q r. (4) ~ p ~~ q 1. DM (5) ~ p q 4. DN (6) q 5. Simp. (7) r 3,6. MP (8) ~ p 5. Simp. (9) ~ r 2,8. SD (10) r ~r 7,9. Conj. Outros exemplos: 1) Demonstrar que são inconsistentes as três seguintes proposições: x = 1 y < x, y < x y = 0, ~(y = o x 1) 88

89 2) Demonstrar que é inconsistente o conjunto das seguintes proposições: ~p ~q, p s, ~s r, r r q 3) Demonstrar que é consistente o conjunto das seguintes proposições: ~ ( p q), r s, ~ q r 89

90 16. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: 16.1 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL: Outro método útil para demonstrar a validade de um argumento é a Demonstração condicional. Esta demonstração, todavia, só pode ser usada se a conclusão do argumento tem a forma condicional. Seja o argumento: P 1, P 2,..., P n A B (1), cuja conclusão é a condicional A B. Sabemos que este argumento é válido se e somente se a condicional associada (P 1 P 2... P n ) (A B) é tautológica. Ora, pela Regra de Importação, esta condicional associada é equivalente a seguinte: [(P 1 P 2... P n ) A] B Assim sendo, o argumento (1) é válido se e somente se também é válido o argumento: P 1, P 2,..., P n, A B, cujas premissas são todas aquelas do primitivo argumento (1), mais uma, A, e cuja conclusão é B (observa-se que A e B são respectivamente o antecedente e o consequente da conclusão do primitivo argumente (1)). Em resumo, temos a seguintes regra DC: Para demonstrar a validade do argumento (1), cuja conclusão tem a forma condicional A B, introduz-se A como premissa adicional (indicada por PA) e deduz-se B EXEMPLIFICAÇÃO: Demonstrar a validade dos seguintes argumentos usando a regra DC: 1) p (q r), ~ r q p 90

91 2) ~p ~q r, s (r t), ~ p s, ~ s q t 16.2 DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: Um outro método frequentemente empregado para demonstrar a validade de um dado argumento: P 1, P 2,...,P n Q (1), chamado de Demonstração Indireta ou Demonstração por absurdo consiste em admitir a negação ~ Q da conclusão Q, sito é, supor ~Q verdadeira, e daí deduzir logicamente uma contradição qualquer C (do tipo A ~A) a partir das premissas P 1, P 2,..., P n, ~Q, isto é, demonstrar que é válido o argumento: P 1, P 2,..., P n, ~ Q C Em resumo, temos a seguinte Regra DI: Para demonstrar a validade do argumento (1) introduz-se ~ Q como premissa adicional (indicada por PA) e deduz-se uma contradição c ( do tipo A ~A) 91

92 EXEMPLIFICAÇÃO: Demonstrar a validade dos seguintes argumentos usando a regra DI 1) p ~q, r q ~ (p r) 2) ~ p q, ~ q r, ~ r p s 92

93 3) ~ p q, ~q, ~ r s, ~ p (s ~ t) t r AULA 10 Exercícios 1) Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes deduzindo uma contradição para cada um deles: a) q p, ~(p r), q r b) p ~ q, ~(q r), p r c) ~(p q), ~q r, ~r s, ~p ~s d) p s q, q ~r, t p, t r e) x = y x < 4, x 4 x < z, ~( x< z x y) f) x = 0 x + y = y, x > 1 x = 0, x + y = y x 1 g) x = y x < z, x z (x = y y < z), y < z x < z h) x < y x y, y > z z y, x = y y > z, x < y z < y 93

94 2) Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes: a) p q, q r, ~r s b) p q, ~q r, p r c) ~p ~q, ~p r, ~r d) p q, r q, q ~s e) x = y x y, x, y x = y, x y x < y f) x = 2 x = 3, x 2 x 3 3) Usar a Regra DC (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: a) ~r ~s, q s r ~q b) p ~q, ~(r ~p) q ~r c) r t, t ~s, ( r ~s) q p p q d) p q, r p, s r s q e) ~p, ~r q, ~s p ~( r s) q f) p ~q, ~r q, ~s ~q p ~s r g) ~p ~s, q ~r, t s r t ~( p q) h) r s, s q, r ( s p) ~q p s i) r s, ~t ~p, r ~q p q s t j) r p, s t, t r s p q k) q p, t s, q ~s ~( p r) t l) p q r, s ~r ~t, s u p u m) p q, r t, s r, p s ~q t n) p q, ~r ~q ~p ~r o) ~p ~q, p (r s) q s p) p q ~r ~s, r s p ~q q) p q, p ~r, ~s t r ~s q r) (p q) r, s t ~r, s (t u) p q s) (p q) ~(r ~s), s t u, ~u r t t) p ~q, q, r ~s, p (~s t) ~t ~r 94

95 4) Usar a Regra DI (Demonstração Indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: a) ~(p q), p r, q ~r ~p b) p ~q, r ~p, q r ~p c) ~(p q), ~r q, ~p r r d) p q r, q ~p, s ~r ~( p s) e) p q, p ~r, q s ~r s f) p q, s ~p, ~(q r) ~s g) p ~q, q v ~r, ~(s ~r) ~p h) ~p ~q, ~p r, r ~s ~q ~s i) p q ~r, ~r ~p, ~q ~r q j) ~p ~q, r s p, q ~s, ~r ~(r s) k) p q r, ~r, s p ~s l) (p q) r, s t ~r, s (t u) p q m) p q, q r s, ~s ~p n) (p q) r, r s ~ t, t ~q o) (p q) (r s), ~ q p s p) p q, q s, t ( r ~s) p t q) ~p ~q r, s (r t), p s, ~ s q t r) ~(p q) (s ~r), q s, p ~s ~r ~s s) (~p q) (r s), p t v ~s, r, ~t q t) (p q) (r s t), p q r, r, ~t ~s u) ~(p ~q) ((r s) t), p. q, ~t r s 95

96 AULA EXERCÍCIOS GERAIS 1) Construa os argumentos utilizando lógica proposicional. Classifique como válido ouinválido justificando sua resposta. a) João precisa de dinheiro mas não quer baixar os preços de suas mercadorias. João baixa os preços ou não vai poder comprar os presentes de natal. Se João emprestar o dinheiro, então poderá comprar os presentes de natal. Logo, João precisa de dinheiro e não vai emprestar o dinheiro. b) Se está chovendo ou está frio então não irei viajar. Se está sol então irei viajar. Está chovendo. Logo, não está sol. c) Se papai-noel existe então Maria está feliz. Maria não está feliz. Se não existe papai-noel ou Maria não tem dinheiro então ela está triste. Logo, Maria está triste. d) Se trabalho não posso estudar. Trabalho ou passo em Lógica. Trabalhei. Logo,passei em Lógica. e) Se tenho dinheiro vou ao futebol. Se tenho dinheiro, vou à praia. Não tenho dinheiro. Logo, ou não vou ao futebol ou não vou à praia. f) Se o câmbio cair, temos inflação. Se as exportações crecerem, diminuimos o deficit. Ou o câmbio cai ou diminuimos o deficit. Logo, temos inflação ou as exportações crescem. g) Se vejo televisão aborreço-me. Se leio jornal desiludo-me. Se me aborreço ou me desiludo, fico nervoso. Eu nunca fico nervoso. Logo, ser leio jornal não vejo televisão. h) Se estudo não sou reprovado em lógica. Se não jogo sinuca, então estudo. Fui reprovado em Lógica. Logo, joguei sinuca. 2) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês. b) Pedro é português e Alberto é alemão. c) Pedro não é português e Alberto é alemão. d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês. e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês. 96

97 3) Se Luiz estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luis estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina. b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina. c) Se Luis não estuda História, então Jorge não estuda Medicina. d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matematica. e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia. 4) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia. b) O jardim é florido e o gato não mia. c) O jardim não é florido e o gato mia. d) O jardim não é florido e o gato não mia. e) Se o passarinho canta, então o gato não mia. 5) Se Maria não anda sozinha, então Pedro sabe costurar. Se Maria anda sozinha, então, Joana estuda ou Manoel trabalha. Se Manoel trabalha, Teresa faz ginástica. Mas Teresa faz ginástica se e somente se não for verdade que Ferdiando não tem uma camera. Ora, Ferdinando não tem uma camera e Joana não estuda, Logo: a) Maria não anda sozinha e Manoel trabalha. b) Joana não estuda e Manoel trabalha. c) Ferdinando não tem uma camera e Teresa faz ginástica d) Pedro não sabe costurar e Maria anda sozinha. e) Pedro sabe costurar e Manoel não trabalha. 6) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: i. se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; ii. iii. Logo: ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; o mordomo não é inocente. 97

98 a) a governanta e o mordomo são os culpados; b) somente o cozinheiro é inocente; c) somente a governanta é culpada; d) somente o mordomo é culpado; e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. 7) Uma pombinha que voava, ao ver passar um bando de pombas em revoada, assim exclamou: "Olá minhas 100 pombas!". Uma delas respondeu: "100 pombas não somos nós, mas nós, outras tantas de nós e mais o dobro de você, 100 pombas seremos nós". Quantas pombas passavam em revoada? 8) Quando uma senhora saiu com um carrinho levando uma criança a fim de tomar o sol das primeiras horas da manhã, encontrou-se com uma velha conhecida que há muito tempo não via, que, ao cumprimentá-la, indagou: Qual é seu parentesco com esta linda criança? A resposta veio logo em seguida: Sua mãe é a filha única de minha mãe. Qual é, então, seu verdadeiro parentesco? 9) Na gaveta de meu guarda-roupas há seis pares de meias pretas e seis pares de azuis. A escuridão no quarto onde está o guarda roupas é total. Qual o número mínimo de meias que devem ser apanhadas para se ter certeza de que um par seja de meias de mesma cor? 10) O vaqueiro esta tocando as vacas numa estrada. Uma delas anda na frente de duas outras, uma anda entre duas e uma anda atrás de duas. Quantas vacas eram? 11) Sabendo-se que seis raposas, em seis minutos, comem seis galinhas, pergunta-se: Quantas raposas, em sessenta minutos, comem sessenta galinhas? 98