CÁLCULO DO ESPALHAMENTO DE PARTÍCULAS EM MODELOS DE CAMPOS QUÂNTICOS

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1 CÁLCULO DO ESPALHAMENTO DE PARTÍCULAS EM MODELOS DE CAMPOS QUÂNTICOS A. C. Sousa¹; L. A. Cabral² ¹Acadêmica do Curso de Licenciatura em Física; Campus Universitário de Araguaína, Universidade Federal do Tocantins; ²Prof. Dr. do Curso de Licenciatura em Física; Campus Universitário de Araguaína, Universidade Federal do Tocantins; e- RESUMO O Prêmio Nobel de Física em 2013 foi concedido à François Englert e Peter W. Higgs pela teoria que explica como as partículas adquirem massa. Esta ideia, construída a partir da TQC foi proposta independentemente por cada um deles em 1964 e só em 2012 foi confirmada pela descoberta da partícula de Higgs no Large Hadron Collider - LHC (Grande Colisorde Hadrón) do laboratório CERN. O LHC, por sua vez, teve sua construção motivada pela TQC que tem como objetivo descrever o decaimento de partículas e prever o surgimento de novas partículas no universo. Este trabalho objetiva estudar os aspectos físicos e matemáticos do espalhamento de partículas numa formulação elementar da TQC. Para isso, faremos uso de alguns métodos matemáticos, como a fórmula integral de Cauchy, teorema do resíduo, funções de Green e o propagador de Feynman em conjunto com o estudo de diagramas representativos de termos de uma expansão dada pela solução de parte da equação de Schrödinger independente do tempo. Nossa metodologia envolve o estudo bibliográfico em conjunto com o estudo algébrico e analítico de situações problemas do sistema complexo. Contudo, a partir dos números complexos e a função delta de Dirac, conseguimos relacionar a função de Green aos propagadores de Feynman. Esta relação nos proporcionou estudar com mais detalhes os procedimentos necessários para obtermos as amplitudes de espalhamento que estão relacionadas aos diagramas de Feynman. Palavras-chave: Cálculo; Funções de Variável Complexa; Diagramas de Feynman; Propagador de Feynman; Espalhamento de Partículas. Página 1

2 INTRODUÇÃO A Teoria Quântica de Campos (TQC) surgiu a partir da Mecânica Quântica (MQ) junto ao formalismo da teoria da relatividade de Einstein na metade do século XX. A própria mecânica quântica, enquanto percussora da TQC, contribuiu ao longo dos anos para o desenvolvimento de diversos dispositivos eletrônicos, entre eles a câmera digital que é produto do princípio fotoelétrico junto ao formalismo da mecânica quântica. Outra contribuição impactante foram os semicondutores que é um dos principais componentes dos dispositivos atuais. Mesmo com os destaques na fronteira dos conhecimentos físicos, a TQC perde visibilidade nos currículos atuais dos Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Física que exploram pouquíssimo os métodos matemáticos que sustentam a TQC. Por isso, objetivamos estudar os aspectos físicos e matemáticos do espalhamento de partículas numa formulação elementar da TQC. Contudo, o conteúdo deste trabalho será fundamental para o domínio dos métodos base deste formalismo, em vista que as principais ferramentas matemáticas utilizadas para o desenvolvimento do nosso trabalho são os cálculos de funções com variável complexa, que é ferramenta para a construção das funções de Green. Por outro lado, as funções de Green é ferramenta para o cálculo do decaimento e espalhamento de partículas. MATERIAL E MÉTODOS Todos os cálculos apresentados neste trabalho foram desenvolvidos algebricamente e analiticamente. Iniciamos este trabalho com o estudo de métodos matemáticos com aspectos físicos que fundamentam o formalismo da Teoria Quântica de Campos. Para chegarmos aos nossos objetivos finais, partimos do princípio de construir a função de Green para a equação de Schrödinger independente do tempo. Para facilitar nossos cálculos optamos por resolver a equação resultante em termos da função de Green em coordenadas cilíndricas, que nestas condições apresenta simetria azimutal cujo movimento ao longo do eixo z é conservado, em acordo com Filho et. al (1990). Destacamos que no sentido usual do termo, a função de Green não se trata de uma função, mas sim da expansão em ondas parciais que é possível ser determinada a partir da transformada de Fourier, isto concorda com os registro de Filho et. al (1988 e 1990). Nossos sistemas necessitam de um tratamento que envolva o plano complexo, que por sua vez, possui papel importantíssimo para solução dos nossos cálculos. Outras técnicas bastante úteis para os Página 2

3 nossos cálculos são a fórmula integral de Cauchy que possibilita a solução de integrais no caminho fechado no plano complexo e teorema do resíduo. Para continuidade de nossos estudos, utilizamos o propagador de Feynman junto ao método da função de Green e suas representações esquemáticas dos diagramas de Feynman. Felizmente, os diagramas de Feynman, junto a outros métodos fornecem um meio de visualizarmos cada termo na soma sobre expansões. Este método é atualmente uma das ferramentas mais importantes da física moderna. RESULTADOS E DISCUSSÃO Em nossas discussões consideramos a equação de Schrödinger independente do tempo e a reescrevemos em termos de Ψ, onde Ψ e V são ambas funções de espaço tridimensional (x,y,z) e o termo não homogêneo Q em si depende de Ψ. A partir disso, suponhamos encontrar uma função que resolva a equação resultante destas considerações, e para isso transformamos a função Ψ(r) em uma função mais sucinta, ao considerarmos o método da função de Green G(r). Desta forma, igualamos G(r) a um delta de Dirac tridimensional. Em seguida, utilizamos a transformada de Fourier para os dois lados da igualdade e obtemos uma equação algébrica para ambas. De G(r), verificamos a necessidade de mudar as coordenadas de cartesianas (x,y,z) para esféricas (s,θ,ϕ). Assim, facilmente encontramos os resultados da integral de ϕ=2π e θ=2sen(sr)/sr. Por último e pouco trivial temos a integral de s, que ao ser reescrita chegamos a uma função que se encontra sobre uma reta real, mas pertence a um plano complexo. Desta forma, resolvemos a integral em s, por meio da fórmula integral de Cauchy, em acordo com Arfken (2007) e Ávila (2008). O resultado obtido para G(r) é apenas um indicativo da solução geral e para encontra-la é necessário resolver outra integral em que o resultado de G(r) faz parte do integrando. Verificamos também que Ψ(r) é uma função que depende do próprio sistema, ou seja, seu resultado dependerá do tipo de potencial envolvido. Neste sentido, a expansão desta função apresenta a solução desta integral de Ψ(r), onde cada termo desta expansão possui um comportamento funcional representado por diagramas de Feynman. Complementamos os cálculos feitos para Ψ(r) com efeitos relativísticos e para isto, consideramos a expressão da energia relativística total dada por [E²=p²c²+m²(c²)²], em acordo com Griffiths (1987) e McMahon (2008). Página 3

4 Aproveitamos a expressão da energia relativística para introduzirmos o quadrimomento. Segundo Griffiths (1987), podemos construir uma grandeza na qual utilizamos a notação de Einstein, em que índices repetidos subentendem um somatório. Esta notação pode ser encontrada como subscrito ou sobrescrito, para mais detalhes veja Griffiths (1987) e (Kraus e Griffiths, 1992). Entretanto, para este trabalho adotamos o uso do índice subscrito. Notemos que um quadrimomento é um objeto quadridimensional que carrega informações de momento e energia da partícula. A partir disso, buscamos encontrar a relação entre os quadrimomentos, que por sua vez, aparece nas matrizes de espalhamento do diagrama de Feynman. A partir da relação dada pela expressão da energia relativística, introduzimos a métrica de Minkowiski com convenção de η µν =(+,-,-,-) e o quadrimomento em acordo com Griffiths (1987). Ainda de acordo com Griffiths (1987), o quadrado de um quadrivetor dispõem-se de sinais: positivo para um tipo-tempo e negativo para um tipo-espaço. Desta forma, obtemos o quadrado do quadrivetor para uma partícula real e em decorrência disto consideramos o espalhamento nos estados quânticos: [ f S i ]. Isto indica que um determinado processo físico pode ser considerado como uma transição de um estado inicial, i = α(t 0 ) para um estado de saída final que denotamos por f = α(t). A função delta de Dirac reforça a conservação do momento no processo. Além disso, as regras de Feynman nos permite calcular a amplitude M fi para o processo com mais facilidade, utilizando como representação gráfica, os diagramas de Feynman. De acordo com (Hawking e Mlodinow, 2011), os diagramas possuem regras que permitem extrair das linhas e dos vértices uma expressão matemática. Neste sentido, (Kraus e Griffiths, 1992) explica que cada diagrama de Feynman possui um número complexo em particular, denominado amplitude M. Para calcular esta amplitude, definiram um protocolo de seis passos que determinam a associação da amplitude a um dado diagrama de Feynman em acordo com Griffiths (1987) e (Kraus e Griffiths, 1992). Além disso, usamos também um processo perturbativo que resulta na expansão de uma série de potências em que cada termo desta série é uma integral que corresponde a um diagrama de Feynman que depende da função delta de Dirac e do propagador. Deste modo, quando for necessário resolver ambiguidades de integração, um termo iε é adicionado no denominador, onde ε é um número pequeno positivo que é levado a zero no final do cálculo. Encontramos dificuldade quando tentamos analisar diagramas mais complicados, contendo loops. Ao tentarmos resolver a amplitude para estes diagramas encontramos uma integral que para Página 4

5 determinado ponto é importante restaurar o pequeno termo imaginário no propagador. Um resultado importante associado a esta integral é que esta pode ser escrita em termos da função de Green da equação de Klein-Gordon, que descreve campos escalares em acordo com McMahon (2008). É importante notarmos que para um caminho de integração no plano complexo sem a presença de singularidades, implicaria no anulamento de outra integral. Entretanto, para o caminho de integração escolhido, a integral possui singularidades. Ao realizarmos a rotação de Wick no plano complexo, podemos reescrever esta integral e assim, obtemos a integral em quatro dimensões do propagador a menos de um número complexo i, onde a métrica é Euclidiana, e o termo q 2 presente no denominador é o quadrado de uma coordenada radial. Finalmente, temos que os termos calculados para este modelo simplifica é a base para analisar as seções de choque de espalhamento em Teoria Quântica de Campos que pode ser visto com mais detalhes no trabalho de Griffiths (1987). LITERATURA CITADA ARFKEN, G. B; WEBER, H. Física matemática: métodos matemáticos para engenharia e física. Tradução de Arlete Simille Marques.6.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações.3.ed. Rio de Janeiro: LTC, FILHO, J. B.; COVOLAN, R. J. M.; PÁDUA, A. B.; PAES, J. T. S. Uma revisão sobre as funções de Green estacionárias (I). Revista de Ensino de Física, Vol. 10, dez/88, 55/66. FILHO, J. B.; COVOLAN, R. J. M.; PÁDUA, A. B.; PAES, J. T. S. Uma revisão sobre as funções de Green estacionárias (III). Revista de Ensino de Física, Vol. 12, dez/90, 02/11. GRIFFITHS, D. J. Introduction To Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice Hall, GRIFFITHS, D. J. Introduction To Elementary Particles. Portland: John Wiley, KRAUS, P,; GRIFFITHS, D. J. Renormalization of a Model Quantum Field Theory. Am. J. Phys., Vol.60 (11), November, HAWKING, S. W.; MLODINOW, L. O grande projeto: novas respostas para as questões definitivas da vida. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, p. MCMAHON, D.; Quantum Field Theory Demystified. New York: McGraw-Hill, AGRADECIMENTOS "O presente trabalho foi realizado com o apoio da UFT Página 5