sobre o grafo probabilístico completo de um sistema de regulação gênica

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1 Um algoritmo eficiente para o crescimento de redes sobre o grafo probabilístico completo de um sistema de regulação gênica Leandro de Araújo Lima Orientador: Junior Barrera Departamento de Ciência da Computação Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo São Paulo, 10 de agosto de 2009

2 CONTEÚDO 1 INTRODUÇÃO 2 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS 3 ESTIMAÇÃO DE PGNS 4 O SOFTWARE DE ESTIMAÇÃO E CRESCIMENTO DE REDES 5 ALGORITMO PROPOSTO PARA CRESCIMENTO DE REDES 6 RESULTADOS E CONCLUSÕES

3 INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO Motivação Fundamentos Biológicos COMPUTACIONAL Estimar o mais corretamente possível as relações de ativação/inibição entre genes através de métodos estatísticos e computacionais. BIOLÓGICA Usar esses resultados para entender a dinâmica de funcionamento das redes de regulação gênica.

4 REDE DE REGULAÇÃO GÊNICA Motivação Fundamentos Biológicos

5 TECNOLOGIA DE MICROARRAY Motivação Fundamentos Biológicos

6 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS CARACTERIZAÇÃO São um tipo de Sistema Dinâmico Discreto (discreto em tempo e com escala de valores finita), definidos por: Variáveis de estado Vetor de estados Uma função para cada variável de estado Vetor de funções, chamado função de transição do sistema

7 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS CARACTERIZAÇÃO Seja R a escala de valores (R = { 1, 0, 1}, em nosso caso). A função de transição φ de uma rede de N variáveis (genes), e memória m, é uma função de R mn em R N. Ou seja, a função de transição φ mapeia os m estados prévios x(t 1), x(t 2),..., x(t m) no estado x(t). Um sistema Dinâmico Discreto é dado por para todo tempo t 0. x(t) = φ[x(t 1), x(t 2),..., x(t m)],

8 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS CARACTERIZAÇÃO Quando a função de transição é uma função estocástica, o sistema dinâmico é um processo estocástico. Seja a seqüência X 0, X 1, X 2,..., assumindo valores em R N, com realizações denotadas, respectivamente, por x(0), x(1), x(2),... Uma seqüência de dados aleatórios (X t ) t=0 é chamada uma cadeia de Markov se, para cada t 1, P[X t = x(t) X 0 = x(0),..., X t 1 = x(t 1)] = P[X t = x(t) X t 1 = x(t 1)]

9 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS CARACTERIZAÇÃO DAS CADEIAS DE MARKOV Matriz de transição π Y X de probabilidades condicionais entre estados cujos elementos são denotados p y x Vetor aleatório π 0 representando o estado inicial. A função de transição estocástica φ no tempo t, para todo t 1, é dada por φ[x] = φ[x(t 1)] = y, onde y é uma realização do vetor aleatório Y com distribuição p x.

10 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS PROPRIEDADES Uma Rede Genética Probabilística é uma cadeia de Markov (π Y X, π 0 ), tal que: I π Y X é homogênea, ou seja, p y x é independente de t; II p y x > 0 para todos os estados x R mn, y R N ;

11 REDES GENÉTICAS PROBABILÍSTICAS PROPRIEDADES III π Y X é condicionalmente independente, ou seja, para todos os estados x R mn, y R N, N p y x = p(y i x); i=1 IV π Y X é quase determinística, i.e., para toda seqüência de estados x R mn, existe um estado y R N tal que p y x 1;

12 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes ESTIMAÇÃO DE PGNS Desejamos estimar o nível de dependência entre os genes para saber quais são os melhores preditores ou alvos de alguns genes de interesse.

13 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO DEFINIÇÃO O Coeficiente de Determinação θ 1,2,...,n de um gene alvo x t por um determinado conjunto de genes preditores x 1, x 2,..., x n pode ser definido como θ 1,2,...,n = ε 0 ε 1,2,...,n ε 0 = 1 ε 1,2,...,n, 0 θ 1,2,...,n 1, onde: ε 0 I ε 0 é o erro cometido ao estimar o alvo x t pelo seu valor médio, isto é, sem observação de outras variáveis. θ 0 é o maior pior erro de estimação do alvo, pois não são usadas outras informações além do valor dele mesmo nas amostras. II ε 1,2,...,n é o erro cometido ao estimar o alvo x t a partir dos genes preditores x 1, x 2,..., x n.

14 ENTROPIA Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes DEFINIÇÃO A entropia H(X) de uma variável aleatória X é a medida de sua distribuição p i, dada por H(x) = n p i log p i. i=1

15 ENTROPIA Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes PROPRIEDADES I) Todas as distribuições formadas por permutações de p i têm a mesma entropia; II) Concentrar a massa de probabilidade de uma distribuição implica em diminuir sua entropia.

16 INFORMAÇÃO MÚTUA Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes INFORMAÇÃO MÚTUA A informação mútua entre duas variáveis aleatórias X e Y é a medida definida por I(X, Y ) = H(Y ) H(Y X). Isso mede a concentração da massa de probabilidade de P(Y ) em P(Y X) pela observação de X. A esperança de I(X, Y ) é dada por E[I(X, Y )] = H(Y ) E[H(Y X)]. A variável aleatória Y será o valor do gene y i [t + 1] a ser predito e a variável aleatória X dada será o vetor de genes x[t].

17 CRESCIMENTO DE REDES Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes DEFINIÇÕES - FORÇA DE CONEXÃO Definimos a força de um grupo X de genes para o grupo Y = {Y 1, Y 2,..., Y m } de genes alvos como σ x (Y) = Ψ[σ x (Y 1 ), σ x (Y 2 ),..., σ x (Y m )], onde Ψ é uma função como por exemplo soma, máximo ou mínimo.

18 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E R.F. HASHIMOTO DEFINIÇÕES Força da semente S para um gene Y : σ de,s (Y ) = σ S (Y ) (todos os preditores estão em S) Força de um gene Y para a semente S: σ para,s (Y ) = σ {Y } S (S) (todos os co-preditores estão em S)

19 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E R.F. HASHIMOTO FORÇA DA SEMENTE S PARA UM GENE Y

20 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E R.F. HASHIMOTO FORÇA DE UM GENE Y PARA A SEMENTE S

21 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E R.F. HASHIMOTO ALGORITMO G S Enquanto card(g) N Ŷ arg max Y U G Ξ[σ de,g(y), σ para,g (Y)] G G {Ŷ }

22 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E N.W. TREPODE DEFINIÇÕES Força da semente S para um gene Y : σ de,s (Y ) = σ S (Y ) = max θ S(Y ) s S,card(s) p (pelo menos um co-preditor deve estar na semente, mas pode ser que todos estejam) Força de um gene Y para a semente S: σ para,s (Y) = max θ y(x) Y y,y / S,X S,card(y) p (podem haver co-preditores fora da rede e pode ser que todos estejam)

23 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E N.W. TREPODE FORÇA DE UM GENE Y PARA A SEMENTE S

24 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E N.W. TREPODE FORÇA DA SEMENTE S PARA UM GENE Y

25 Coeficiente de Determinação Informação mútua média Crescimento de redes MODELO DE E.R. DOUGHERTY E N.W. TREPODE ALGORITMO Duas condições de parada: 1 card(s) N ou y y 2 i,y / S σ S(y) y y i,y / S 1 < th de e σ para,s (Y i ) < th para. onde th de e th para são os limiares para os valores médios de predição (CoD ou inf. mútua) de e para a rede.

26 CONTRIBUIÇÕES PARA O SOFTWARE DE ESTIMAÇÃO E CRESCIMENTO DE REDES ETAPAS DO SOFTWARE Estimação de dependências Eliminação de redundâncias (top-down e bottom-up) Ordenação dos arquivos Crescimento de redes

27 CONTRIBUIÇÕES PARA O SOFTWARE DE ESTIMAÇÃO E CRESCIMENTO DE REDES LIMITAÇÕES E MELHORIAS Economia de espaço em disco Cálculo de informação mútua média Paralelização do cálculo de dependências

28 Avanços em relação aos algoritmos anteriores AVANÇOS EM RELAÇÃO AOS ALGORITMOS ANTERIORES Diminuição do espaço de busca a cada iteração Grau de confiança determinado por camadas Critério para adicionar genes à rede

29 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO ALGORITMOS ANTERIORES - PASSO 0 C9 C8 D2 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 D7

30 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO ALGORITMOS ANTERIORES - PASSO 1 C9 C8 D2 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 D7

31 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO ALGORITMOS ANTERIORES - PASSO 2 C9 C8 D2 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 D7

32 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO ALGORITMO PROPOSTO - PASSO 0 C9 C8 D2 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 D7

33 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO ALGORITMO PROPOSTO - PASSO 1 C9 C8 D2 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 D7

34 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO ALGORITMO PROPOSTO - PASSO 2 C9 C8 D2 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 D7

35 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO CÁLCULO DE DEPENDÊNCIAS COM ALGORITMOS ANTERIORES n C n,p = n n! (n p)! p!, onde n é a quantidade total de genes e p é a quantidade de preditores usados em cada predição.

36 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO CÁLCULO DE DEPENDÊNCIAS COM ALGORITMO PROPOSTO - DEFINIÇÕES k: quantidade de camadas L i : conj. de genes da camada i G i : conj. de genes já adicionados à rede até o passo i (ou i 1 seja, G i = L j ) j=0

37 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

38 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

39 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

40 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

41 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

42 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

43 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO

44 Avanços em relação aos algoritmos anteriores DIMINUIÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA A CADA ITERAÇÃO CÁLCULO DE DEPENDÊNCIAS COM ALGORITMO PROPOSTO k 1 p ( ) ( ) Li n Gi [n ( G i + L i )] + L i j p i=0 j=1 }{{} }{{} sementes como alvos sementes como preditores

45 Avanços em relação aos algoritmos anteriores GRAU DE CONFIANÇA DETERMINADO POR CAMADAS C9 C8 D2 Layer 1 C1 B1 C7 D1 D3 C2 B2 A Layer 0 C3 B3 B4 C5 D6 D4 C4 C6 D5 Layer 2 D7

46 Avanços em relação aos algoritmos anteriores CRITÉRIO PARA ADICIONAR GENES À REDE X4 X X X1 X3

47 ALGORITMO Avanços em relação aos algoritmos anteriores Entrada: S, U, k, th de, th para Saída: Conjunto L de camadas de genes e conjunto E das arestas entre as camadas L ; E ; i 0; L i S;

48 ALGORITMO (CONTINUAÇÃO) Avanços em relação aos algoritmos anteriores enquanto L i e i < [ k faça ] L i+1 arg max max [σ de,li (Y ), σ para,li (Y )] ; Y U L σ de,para th de,para E i+1 {(l i l i+1 ) : l i L i, l i+1 L i+1 }; E E {E i+1 }; L L {L i+1 }; i i + 1; fim

49 DADOS DOS EXPERIMENTOS DA MALÁRIA Duração do estágio do parasita no sangue humano: 48h Amostras: 48, feitas de hora em hora Total de genes: 6532 Grupos estudados: glicólise (10 genes) e apicoplasto (27 genes)

50 RESULTADOS GLICÓLISE - 10 MELHORES PARES OU INDIVIDUAIS Layer 0 opff72413 N132_136 I14812_1 F30473_2 opff72425 I1689_2 E2926_1 I13056_1 M11919_1 N132_40 M48835_1 N181_15 J53_48 N132_147 J2896_1 Layer 1 Ks488_1 J183_4 M43799_2 C465 opff72419 N158_6 C237 Km548_1

51 Layer 0 opff72413 I12861_2i D17715_80 N132_136 F17473_1 F13784_1 I5511_2 Ks488_1 I14812_1 J183_4 E2926_1 C465 opff72425 F30473_2 M43799_2 opfl0131 opfn0250 I1689_2 J2896_1 opfi17685 opfd66961 opfl0115 M48835_1 N170_4 F24461_1 N181_15 opff72419 I13056_1 N132_40 M58072_1 opfi17722 J53_48 N158_6 C237 N132_147 Km548_1 M11919_1 Layer 1 RESULTADOS GLICÓLISE - 20 MELHORES PARES OU INDIVIDUAIS

52 RESULTADOS APICOPLASTO - APARECIMENTO DE GENES ATRATORES B537 F960_5 N158_4 Ks44_10 A8109_21 Layer 1 Prps12 F960_4 Prpl14 J183_4 N155_35 Layer 0 Prps11 PClp I14812_1 Prpl6 D23156_33 Prps3 I16487_3

53 I13056_1 J151_6 M35930_3 Ks370_11 F28964_1 B484 opfn0276 Ks3088_1 I9876_1 C465 Ks26_5 N170_4 opfi17716 B424 opff72453 F19110_2 F54854_2 F35197_1 F64252_1 N143_16 N132_40 opfn0252 N133_7 E3038_1 F8027_3 M36754_1 C60 F46584_1 M57341_2 Layer 1 Layer 2 N161_2 M38941_10 A1411_1 M6483_1 D56950_2 Ks136_3 E7861_3 F25239_3 N131_27 E28350_2 N150_75 opfl0013 N181_18 opff72419 Kn12486_2 opfl0142 L1_96 opfblob0178 I4719_6 J53_48 I4719_2 M34107_3 I3638_1 N128_4 F31971_1 N138_90 Layer 0 E7279_3 D49176_46 Ks83_16 opfd66958 M21368_3 M48835_1 Ks545_1 F44947_3 D49176_35 I9302_5 C474 J151_11 Z_5_80 L3_25 Z_5_60 I14975_1 N181_15 M2511_2 opfblob0103 J206_2 opfi17659 F4565_1 Ks783_2 E20147_1 E12445_1 M12812_7 F70835_1 F41817_1 F16133_1 E15509_11 RESULTADOS RECUPERAÇÃO DE 6 GENES DA GLICÓLISE NA 3 A CAMADA

54 CONCLUSÕES O algoritmo agrega bons genes candidatos, ao escolher genes com força (para ou a partir da rede) alta, e não uma soma delas O algoritmo recupera a rede fazendo menos cálculos, porque não precisa verificar novamente as camadas passadas As camadas permitem diferenciarmos o grau de confiança de grupos de genes

55 Este trabalho recebeu apoio financeiro da CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

56 Perguntas?