A derivada como taxa de variação em um curso de engenharia elétrica: imagem conceitual e definição conceitual

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1 A derivada como taxa de variação em um curso de engenharia elétrica: imagem conceitual e definição conceitual Samira Domingos Costa, Viviane Cota Silva Abstract This study aims to investigate aspects related to image and conceptual conceptual definition for the concept of derivative, when interpreted as a rate of change for students of Electrical Engineering of an educational institution in the state of Minas Gerais. The conceptual definition are words used to explain a concept, and it can often be learned by rote by the student. Conceptual image consists of all the cognitive structure of the mind of the individual who is associated with a given concept. The people surveyed were students who obtained grade of 8 points or more in Calculus I. The method used was a questionnaire applied to pupils. The results show that, in general, know how to apply the rules, yet deficient when exercises involve the application of the concept of derivative. Index Terms Concept image, definition of concepts, rate of change, derivative. INTRODUÇÃO Com o passar dos anos o índice de reprovação em cálculo se agrava e gera preocupações não só no Brasil, mas no mundo. Várias hipóteses e teorias tem sido levantadas para análise da mesma, propondo soluções e abrindo assim, campo de discussão. São vários os trabalhos que tem relatado esforços para solucionar os problemas relacionados à disciplina de Cálculo []-[3]. Dentro dos conceitos estudados em Cálculo I, destacamos o de derivada, por ser um conceito fundamental, talvez um dos mais importantes do Cálculo [8]. Suas aplicações abrangem a resolução de problemas não somente na área da engenharia, mas também em áreas como a física, a química, a tecnologia, as ciências, a economia, dentre outras []. Seu conceito pode ser interpretado de diversas formas, dentre elas [3]: ) a derivada como um limite; ) a derivada como declividade da reta tangente; 3) a derivada como resultado de uma fórmula; 4) a derivada como velocidade; ) a derivada como taxa de variação instantânea. Neste trabalho, a proposta é investigar o conceito de derivada como taxa de variação, visto que este aspecto do conceito de derivada é amplamente utilizado durante o curso de Engenharia Elétrica, tanto nas disciplinas de Física como naquelas que envolvem a modelagem matemática. A motivação para a realização desta pesquisa surgiu com a experiência da primeira autora deste texto no programa de Monitoria do Unileste, com as disciplinas de Cálculo e Matemática Aplicada. A principal questão observada durante esse período é que os alunos que cursavam a disciplina de cálculo, na maioria das vezes, conseguiam uma grande desenvoltura no cálculo da derivada de uma função, mas quando se tratava da aplicação do real conceito de derivada, o resultado já não era tão satisfatório. Assim, propusemo-nos a investigar aspectos da aprendizagem conceitual dos alunos que já cursaram a disciplina de Cálculo I do Unileste, utilizando o conceito de Os fundamentos teóricos que sustentam este trabalho são aqueles encontrados no trabalho de Vinner[4], que se dedicou a estudar Imagem Conceitual e Definição Conceitual. Meyer [8] nos diz que essas noções teóricas nos remetem à diferença existente entre os conceitos matemáticos, quando formalmente definidos (definição conceitual), e os processos cognitivos pelos quais eles são concebidos (imagem conceitual), distinguindo a matemática como uma atividade mental da matemática como um sistema formal. A pergunta de pesquisa que impulsionou este trabalho foi: Em que grau tem sido formadas a imagem conceitual e a definição conceitual relativas ao conceito de derivada, quando interpretado como taxa de variação, por estudantes que já cursaram a disciplina de Cálculo I? Os objetivos deste trabalho são: ) investigar elementos da imagem conceitual e definição conceitual, relativas ao conceito de derivada, quando interpretado como taxa de variação, por estudantes do curso de Engenharia Elétrica que já cursaram a disciplina de Cálculo I; ) identificar possíveis dificuldades relacionadas à aprendizagem do conceito de IMAGEM CONCEITUAL E DEFINIÇÃO CONCEITUAL Imagem conceitual e Definição conceitual [4] são uma dentre várias outras teorias que são utilizadas como respaldo na tentativa de busca por explicações e até mesmo soluções, para a deficiência do grande número de alunos com dificuldade na disciplina de Cálculo. A definição de conceitos é um assunto de suma importância na psicologia da aprendizagem, como afirma o pesquisador Souza []. Ele relata que há dificuldades para entender a noção de conceito e quando saber que este conceito está formado na mente do sujeito. Neste contexto, é muito interessante considerarmos o trabalho desenvolvido por Vinner [4]. Este autor investigou o papel das definições no ensino e aprendizagem de Matemática. Samira Domingos Costa, Centro Universitário do Leste de Minas Gerais Unileste, Av. Tancredo Neves, 300, Bairro Universitário, , Coronel Fabriciano, MG, Brazil, mirinhacosta@yahoo.com.br Viviane Cota Silva, Centro Universitário do Leste de Minas Gerais Unileste, Av. Tancredo Neves, 300, Bairro Universitário, , Coronel Fabriciano, MG, Brazil, viviane@unilestemg.br DOI /ICECE COPEC March 03-06, 03, Luanda, ANGOLA 34

2 Vinner reconhece uma distinção entre o que ele chama de contexto cotidiano e o contexto técnico. Na visão deste autor, para aprender conceitos científicos é necessário desenvolver hábitos de pensamento diferentes daqueles utilizados na aprendizagem de conceitos cotidianos. Para Vinner, a principal diferença entre os dois contextos é o fato de se consultar ou não definições ao interpretar sentenças (ou os próprios conceitos) ou resolver problemas. Segundo Vinner, muitos dos conceitos cotidianos (como casa, laranja, gato, etc.) podem ser adquiridos (e o são) sem definições. Em contextos cotidianos, na maioria das vezes, não há necessidade de consultar definições; ao passo que, em um contexto técnico, as definições devem ser consultadas, caso contrário enganos podem ocorrer. Porém, os hábitos de pensamento cotidiano podem interferir na formação de hábitos de pensamento em um contexto técnico. Como o impacto que a vida cotidiana tem nas outras situações da vida é forte, pode-se esperar que a maioria das pessoas irão ignorar as definições também em contextos técnicos. A tendência dos alunos (ou até mesmo de todos nós, quando leigos), quando se inserem em um contexto técnico, é continuar usando os mesmos hábitos de pensamento que utilizam no cotidiano, os quais são inapropriados para este contexto. Vinner também faz uma distinção entre o conceito e o que ele chama de imagem conceitual. O nome de um conceito, quando visto ou ouvido, é um estímulo para a memória e evoca dentro da memória a imagem conceitual. Essa imagem conceitual não é a definição do conceito, pelo contrário, é algo não-verbal associado na mente ao nome do conceito. Pode ser uma representação visual do conceito (se existir), ou algum tipo de impressão ou experiência. Tais representações visuais, impressões e experiências podem ser traduzidas em formas verbais, mas em um estágio posterior. Cada indivíduo possui uma imagem conceitual própria em relação a um determinado conceito. E mais: em situações diferentes, um indivíduo pode evocar imagens conceituais diferentes em relação a um mesmo conceito. Não obrigatoriamente tais aspectos são coerentes com a definição técnica ou entre si, podendo ser contraditórios. Tal conjunto de aspectos é denominado por Vinner de fator potencial de conflito. Um indivíduo pode não ser consciente dessa incoerência, que poderá ser evidenciada em situações em que ambos os aspectos da imagem conceitual são evocados simultaneamente. Para Vinner, em um contexto técnico, o papel das definições não se limita a apenas formar a imagem conceitual (como acontece no contexto cotidiano), mas é muito importante em atividades cognitivas. As definições podem livrar o sujeito de armadilhas colocadas pela imagem conceitual. Consultar a definição pode prevenir erros. Vinner explica que pode haver alguma interação entre a definição e a imagem conceitual, embora elas possam ser formadas independentemente. Quando um conceito é introduzido pela primeira vez por meio de uma definição, a imagem conceitual ainda não existe, no início. Ela passa a existir gradualmente, após vários exemplos e explicações. Se nenhum significado for associado ao nome do conceito, ou se a definição conceitual for memorizada de um modo não significativo, a imagem conceitual não se construirá significativamente. Além disso, a imagem conceitual não reflete, necessariamente, os aspectos essenciais da definição. Em um processo de resolução de problemas (tarefas cognitivas), espera-se que o aluno utilize tanto a imagem conceitual quanto a definição. O processo desejável é que o aluno formule a solução de um problema somente depois de consultar a definição. Na prática, porém, o processo é diferente: a maioria dos alunos não consulta a definição durante o processo de resolução de um problema (atividades cognitivas) em um contexto técnico. Muitos professores esperam que a imagem conceitual seja formada (e controlada) pela definição técnica. Todavia, conforme Vinner, a definição não tem poder cognitivo sobre o pensamento conceitual do aluno. É importante notar que a reconstrução de uma definição formal nem sempre indica um entendimento do conceito, visto que tal definição pode ter sido adquirida por memorização. METODOLOGIA A pesquisa foi realizada no segundo semestre de 0 no Centro Universitário do Leste de Minas Gerais - Unileste, com alunos do curso de Engenharia Elétrica. Baseando-nos no trabalho de Vinner [4], que selecionou para sua pesquisa somente alunos que haviam tirado nota A em Cálculo, convidamos para participar da pesquisa alunos cujas notas na disciplina de Cálculo I foram de 8 pontos ou mais. Não colocamos a nota A (90 pontos ou mais) como nota de corte, como fez Vinner, porque isso reduziria bastante o universo de alunos que poderiam participar da pesquisa. Foram convidados 9 alunos do º período, dos quais 9 participaram da pesquisa, e 4 alunos do 6º período, dos quais participaram, perfazendo um total de alunos participantes da pesquisa. Para facilitar a análise dos dados, dividimos os alunos em dois grupos: Grupo alunos do º período e Grupo alunos do 6º período. Escolhemos alunos do º e do 6º períodos por dois motivos: ) facilidade de acesso a eles; ) porque representam duas categorias de alunos: aqueles que acabaram de cursar a disciplina de Cálculo I e aqueles que, embora tenham cursado a disciplina de Cálculo I há mais tempo, já passaram por outras disciplinas do curso de engenharia elétrica que exigiram deles o conceito de derivada (na modelagem matemática por meio das equações diferenciais, por exemplo). A pesquisa foi feita por meio de um teste individual contendo 7 questões relativas à derivada, aplicado no dia de novembro, um sábado. Aproveitamos esse dia porque todos os alunos do curso de Engenharia Elétrica já deveriam estar presentes na instituição, pois era o dia da apresentação do Projeto Interdisciplinar (PI). Combinamos com os alunos que, assim que terminassem a apresentação do PI, se dirigissem à sala M-0, onde o questionário estaria sendo aplicado pela pesquisadora. A seguir, descreveremos cada questão utilizada no teste. Questão Tem como objetivo identificar a definição conceitual que o aluno tem do conceito derivada : O que é derivada? 03 COPEC March 03-06, 03, Luanda, ANGOLA 3

3 De acordo com Vinner [4], uma questão que auxilia nos procedimentos metodológicos de investigação da definição e da imagem conceitual é o fato de que as definições são verbais e explícitas (podem ser percebidas quando questionadas diretamente: o que é isso?). Questão Disserte sobre a importância da derivada na área de Engenharia Elétrica (para que serve a derivada?). Essa questão tende a levar o aluno a expor sobre o assunto com um pouco mais de entendimento do conteúdo, levantando aspectos da imagem conceitual que o aluno tem do conceito Questão 3 Com base no trabalho de Cassol [3], solicitamos que o aluno calculasse a derivada de uma função constante, e justificasse a resposta: O contexto da questão é mais familiar aos alunos de engenharia Elétrica do que o da questão 4. Questão 6 Foram dadas algumas funções básicas em que se solicita calcular a derivada de cada uma: O objetivo da questão é saber como o aluno resolve este problema: se pela definição conceitual, ou se pela regra. Gostaríamos de saber se o aluno está pensando no conceito ou se está resolvendo o exercício mecanicamente. Questão 4 Também foi baseada no trabalho de Cassol [3]. O objetivo da questão é justamente levar o aluno a perceber a derivada como taxa de variação: O objetivo da questão é verificar se o aluno sabe resolver exercícios mecanicamente, isto é, aplicar regras básicas de derivação. Questão 7 Solicitamos que o aluno dissertasse sobre as dificuldades encontradas ao fazer o teste, e sobre as dificuldades encontradas na aprendizagem de derivada: RESULTADOS Na Tabela I apresentamos uma síntese do resultado das questões a 6, com o percentual de acertos que cada grupo teve em cada questão: Questão É um problema típico da Física, com grandezas bastante estudadas ao longo do curso (distância, velocidade e aceleração): TABELA I SÍNTESE DO RESULTADO (ACERTOS) DAS QUESTÕES A 6 Questões Grupo Grupo Média Total 44,44%,% 83,3% 7,4% 66,66% 66,67% 46,6% 4,66% 4,66% 79,6% 6,66% 83,33%,67%,3 Na questão do questionário, em que buscamos verificar a definição conceitual, a maioria dos alunos mostrou não possuir uma definição conceitual sólida sobre a Nos dois grupos, o percentual de acertos não chega 03 COPEC March 03-06, 03, Luanda, ANGOLA 36

4 a 0%. Os alunos do º período (Grupo ) tiveram um desempenho ligeiramente melhor do que os alunos do 6º (Grupo ). Provavelmente as palavras, as definições sobre derivada estivessem mais vivas em sua memória, visto que cursaram a disciplina de Cálculo I há menos tempo. Indícios sobre a imagem conceitual foram investigados mais especificamente nas questões e. Gostaríamos de saber se os alunos associavam o significado de derivada à taxa de variação. Nessas questões, os alunos do Grupo obtiveram melhor desempenho do que os do Grupo. Pelo menos aparentemente, a imagem conceitual de derivada se encontra mais desenvolvida nestes alunos mais experientes. Mesmo assim, parece também não estar muito bem consolidada. Era esperado que os alunos do Grupo tivessem um melhor desempenho nestas questões, visto que já tiveram um maior contato com a derivada como taxa de variação nas disciplinas específicas do curso. Na questão 3, o objetivo foi identificar se o aluno deriva somente pela regra ou se ele entende, ou seja, se ele sabe dizer porque que a derivada de uma constante é zero; se possui uma imagem conceitual correta de A maioria dos alunos, tanto do Grupo quanto os do Grupo, acertaram a questão: responderam que a derivada da função é igual a zero; contudo, a maioria deles não soube explicar o porquê de ser zero. A grande maioria justificou sua resposta usando a regra de derivação. Esse resultado sugere que provavelmente os alunos não conseguiram formar uma imagem conceitual sólida de derivada, mas utilizam a regra e fazem uma resolução mecânica do exercício. De maneira geral, conforme pode ser observado na Tabela I, os alunos do Grupo tiveram um resultado melhor que os alunos do Grupo. A questão de número 4 foi incorporada ao questionário com o intuito de verificar o desempenho dos alunos ao deparar com uma situação-problema. Conforme menciona Cassol [3], situação problema quer dizer que o que interessa não é apenas a produção pura e simples de respostas numéricas, mas sim que a análise da situação preceda a possível produção de algum resultado. Ou seja, não basta produzir números como respostas, mas é importante discuti-los. Percebemos que os alunos tem grande dificuldade quando se trata de uma situaçãoproblema, inclusive de compreender o enunciado desse tipo de questão. Analisando os resultados da Tabela I, podemos perceber que os alunos do Grupo obtiveram um desempenho melhor do que os alunos do Grupo I, embora o percentual de acerto dessa questão em ambos os grupos tenha sido muito baixo (o mais baixo de todas as seis questões). Na questão 6 (que exige conhecimento sobre as regras de derivação), conforme pode ser visto na Tabela I, 66,67% dos alunos do Grupo conseguiram acertar 60% ou mais da questão, enquanto que, no Grupo,,67% dos alunos acertaram 60% ou mais dessa questão. O Grupo teve desempenho mais satisfatório do que o Grupo. Provavelmente o Grupo se lembrou com mais facilidade das regras de derivação, já que passaram pelo Cálculo I há menos tempo do que o Grupo. Na média total das questões de a 6, podemos perceber, conforme apresentado na Tabela I, que os alunos do Grupo tiveram um melhor desempenho, se comparado com o desempenho dos alunos do Grupo. O melhor desempenho em ambos os grupos foi nas questões 3, e 6, com uma média de acertos acima de 0%. Estas questões proporcionam uma resolução mais direta, com aplicação de regras já conhecidas de derivação. Na questão 7, solicitamos ao aluno que dissertasse sobre as dificuldades encontradas por ele ao aprender o conceito de derivada e suas aplicações. Na Tabela II apresentamos uma síntese das respostas: TABELA II SÍNTESE DO RESULTADO DA QUESTÃO 7 Dificuldades Grupo Grupo Total ) Dificuldade com o conceito (não lembram ou não sabem; até acham que os professores deveriam focar mais no conceito) ) Dificuldade de aplicar o conceito 3) Dificuldade de lembrar as regras de derivação 4) Dificuldade para entender o que se pedia na questão ) Dificuldade na resolução de exercícios, visto que decoraram as regras mas não aprenderam (ou porque o foco dos professores é na resolução de exercícios) Conforme podemos observar na Tabela II, agrupamos as dificuldades mencionadas pelos alunos em categorias. Houve um total de 37 menções a algum tipo de dificuldade encontrado no estudo da Desse total, a maioria (3 menções equivalente a 6% de todas as menções) refere-se a algum tipo de dificuldade de aprendizagem do conceito e de sua aplicação. É interessante observar também que os alunos mencionam que, de alguma forma, os professores focam muito na resolução de exercícios, e que deveriam focar mais no ensino do conceito. Analisando os resultados do teste de um modo geral, podemos afirmar que identificamos, em nossa pesquisa, deficiências na formação tanto da imagem conceitual quanto da definição conceitual, em ambos os grupos de alunos. Identificamos também uma dificuldade dos alunos em aplicar o conceito de derivada, já estudado em períodos anteriores do curso. Pelo menos aparentemente, a maioria dos alunos utilizou as regras de derivação já memorizadas, e não uma aplicação ou análise do conceito propriamente. Parece haver uma predominância da aprendizagem mecânica sobre a aprendizagem conceitual. E mesmo assim, tal aprendizagem mecânica também apresenta deficiências. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho, investigamos aspectos sobre a imagem conceitual e a definição conceitual do conceito de derivada, fundamentando-nos no trabalho de Vinner, dos alunos do curso de Engenharia Elétrica do Unileste. Enfatizamos especificamente o significado de derivada relacionado à taxa de variação, devido à sua importância na Engenharia Elétrica. Convidamos para participar da pesquisa alunos que podem ser considerados bons alunos, visto que foram aprovados na disciplina de Cálculo I com 8% dos pontos ou COPEC March 03-06, 03, Luanda, ANGOLA 37

5 mais. Contudo, apesar disso, os dois grupos apresentaram no teste aplicado um desempenho médio geral inferior a %, conforme foi apresentado na Tabela I. Este resultado nos permite supor, assim como Cassol [3], que o teste exigia um conhecimento maior do que o exigido para a aprovação na disciplina, ou que, com o passar do tempo, os alunos foram esquecendo o que haviam estudado sobre o conceito de Percebemos, por meio da idéia de imagem conceitual e definição conceitual, que a aprendizagem de conceitos no contexto deste curso, analisada por meio do conceito de derivada, não está bem consolidada. Certamente, o ensino de conceitos precisa ser revisto e aperfeiçoado. É necessário investigarmos formas de ensinar conceitos aos alunos, de modo a permitir que estes formem tanto a imagem quanto a definição conceitual de maneira satisfatória. Conforme mencionado pelos alunos (Tabela II), talvez seja necessário focar menos na resolução de exercícios (aprendizagem mecânica) e mais no conceito em si e na sua aplicação. É preciso desenvolver nos alunos o pensamento adequado a um contexto técnico. Eles precisam desenvolver o hábito de consultar definições para resolver atividades cognitivas e problemas relacionados aos conceitos em estudo. Talvez fosse necessário criar condições no próprio curso para que experiências neste sentido aconteçam. Porém, Vinner afirma que isso não pode ser feito em um período curto, e pode ser que não seja bem sucedido com todos os alunos. É importante também ressaltar que um sujeito pode ter uma definição conceitual formada e uma imagem conceitual vazia, e vice-versa. Nesse caso, a definição conceitual não passa de um conjunto de palavras sem o menor significado, um verbalismo vazio. A definição formal nem sempre indica o entendimento do conceito, pois tal definição pode ter sido adquirida por memorização. É por isso que o ensino de conceitos deve prover condições para que a imagem conceitual seja construída consistentemente. Somente a definição não é capaz de criála. Segundo Vinner, é necessário fornecer ao aluno vários exemplos e explicações para que esta imagem conceitual seja construída gradualmente. Esta não é uma tarefa trivial. [6] Godoy, L. F. S. de, Registros de representação da noção de Derivada e o processo de aprendizagem, Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC- SP, São Paulo, 004, 98 p. [7] Marin, D., Professores de Matemática que usam a tecnologia de informação e comunicação no ensino superior, Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 009, 6 p. 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