SCC 5789 Base de Dados Profa. Dra. Cristina Dutra de Aguiar Ciferri. Árvore R. Luiz Olmes Carvalho / 120

Transcrição

1 S 5789 ase de ados Profa. ra. ristina utra de guiar iferri Árvore R Luiz Olmes arvalho / 120

2 presentação onceitos introdutórios. Estrutura da Árvore R. onsulta. Inserção. Split. Variações da Árvore R. emonstração: applet. 2 / 120

3 Árvore R onceitos Introdutórios 3 / 120

4 Tipos de dados espaciais Ponto: unidade mínima representativa de um objeto espacial. Linha: sequência de pontos retilíneos. Linha poligonal: sequência de pontos não retilíneos. Polígono: sequência fechada de linhas ou linhas poligonais. Polígono complexo: polígono com buracos e/ou partes disjuntas. Poliedro: sólido composto por um número finito de faces. 4 / 120

5 Tipos de dados espaciais linha ponto segmentos de linha linha poligonal polígono (simples) poliedro (cubo) polígono complexo com buraco polígono complexo com ilha polígono complexo com buraco e ilha 5 / 120

6 Representação dos dados 6 / 120

7 Representação dos dados 7 / 120

8 Mininum ounding Rectangle MR 8 / 120

9 Mininum ounding Rectangle MR 9 / 120

10 Outras representações conservativas retângulo envolvente mínimo retângulo envolvente mínimo rotacionado círculo envolvente mínimo polígono envolvente mínimo com 6 vértices casco convexo elipse envolvente mínima 10 / 120

11 Árvore R Estrutura da Árvore R 11 / 120

12 Árvore R ntonin Guttman / 120

13 Árvore R plicações Sistemas de Informações Geográficas (GIS). Sistemas. rquiteturas VLSI. Sistemas P2P, ioinformática, ata Streams. 13 / 120

14 Árvore R inâmica Permite novas inserções e remoções. Hierárquica Nós folhas e nós índices. rmazenamento Secundário Nós são páginas de disco de tamanho fixo. onstrução ottom-up Todos os objetos são inseridos nas folhas. alanceada Folhas no mesmo nível. 14 / 120

15 Estrutura Árvore R de ordem (m, M). Número máximo de entradas por nó: M Número mínimo de entradas por nó: m M 2 ltura máxima da árvore: h max = log m N 1 N: número de objetos inseridos. 15 / 120

16 Estrutura O número mínimo de entradas permitido na raiz é 2, a menos que a raiz seja uma folha. Nesse caso, ela pode conter apenas uma ou nenhuma entrada. Todas as folhas estão no mesmo nível. 16 / 120

17 Estrutura dos nós Folha: <mbr, oid> mbr: retângulo n-dimensional que delimita o objeto indexado. oid: valor de identificador de objeto. Índice: <mbr, ptr> ptr: referência ao nó do nível imediatamente inferior. mbr: <d 0, d 1, d 2,..., d n 1 > d i = [a, b] 17 / 120

18 Exemplo: Árvore R(2, 4) 1 G H J I 3 2 F E E F G H I J 18 / 120

19 Representação dos nós 1 G H J I E F G H I J 2 F E Leaf α β espaço livre Index b1 b2 b4 esp. livre / 120

20 Representação dos nós 1 G H J I E F G H I J 2 F E MR Leaf α β espaço livre OI Index b1 b2 b4 esp. livre / 120

21 Representação dos nós 1 G H J I E F G H I J 2 F E Leaf α β espaço livre PTR MR Index b1 b2 b4 esp. livre / 120

22 Representação dos nós J I 1 H 3 G E 2 F E F G H I J H b L α β γ δ 2 L ε δ F E 3 I b1 b2 b L ε ζ μ ω J I H G 22 / 120

23 Árvore R onsultas 23 / 120

24 onsultas espaciais Point Query Window Query Region Query djacency Query 24 / 120

25 Operadores de onsulta Topológicos: encontra todos os objetos que interceptam um dado objeto. irecionais: encontra todos os objetos que, por exemplo, estão ao norte de um dado objeto. istância: encontra todos os objetos que estão a menos que uma distância d de um dado objeto (range query) ou os k objetos mais próximos de um dado objeto (k-nearest-neighbors query). 25 / 120

26 onsulta lgoritmo (Range Query) Encontra todos os objetos interceptados pelo retângulo de busca Q. evolve um conjunto S de objetos candidatos. Para todas as entradas de um nó índice, a partir da raiz: Verifica se existe sobreposição. Se sim, verifica a respectiva sub-árvore. Se é um nó folha: Verifica todas as entradas que interceptam Q. diciona no conjunto resposta S. 26 / 120

27 onsulta Exemplo h i a c b d F e g f G j E F l m G E a b c d e f g h i j l m 27 / 120

28 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G uscar o objeto "e" E a b c d e f g h i j l m 28 / 120

29 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "F" intercepta "e". Então verifica sub-árvore. E a b c d e f g h i j l m 29 / 120

30 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "G" intercepta "e". Então verifica sub-árvore. E a b c d e f g h i j l m 30 / 120

31 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "" não intercepta "e". Então não verifica subárvore. E a b c d e f g h i j l m 31 / 120

32 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "" intercepta "e". Então verifica sub-árvore. E a b c d e f g h i j l m 32 / 120

33 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "" não intercepta "e". Então não verifica subárvore. E a b c d e f g h i j l m 33 / 120

34 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "" não intercepta "e". Então não verifica subárvore. E a b c d e f g h i j l m 34 / 120

35 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G "E" não intercepta "e". Então não verifica subárvore. E a b c d e f g h i j l m 35 / 120

36 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G Verifica cada objeto armazenado na folha. E a b c d e f g h i j l m 36 / 120

37 onsulta Exemplo 1 h i G j l d a e E F c f b g F m G Encontra o objeto procurado ("e"). E a b c d e f g h i j l m 37 / 120

38 onsulta Exemplo h i a c b d F e g f G j E F l m G E a b c d e f g h i j l m 38 / 120

39 onsulta Exemplo 2 h i G j l d a w e E m F c f b g F G evolver os objetos que estão na região de busca w. E a b c d e f g h i j l m 39 / 120

40 onsulta Exemplo 2 h i G j l d a w e E m F c f b g F G "F" não intercepta "w". Então não verifica subárvore. E a b c d e f g h i j l m 40 / 120

41 onsulta Exemplo 2 h i G j l d a w e E m F c f b g F G "G" intercepta "w". Então verifica subárvore. E a b c d e f g h i j l m 41 / 120

42 onsulta Exemplo 2 h i G j l d a w e E m F c f b g F G "" não intercepta "w", mas E sim. Então verifica a sub-árvore de E. E a b c d e f g h i j l m 42 / 120

43 onsulta Exemplo 2 h i G j l d a w e E m F c f b g F G "j" não intercepta "w", mas "l" e "m" sim. Então devolve "l" e "m" como resposta da consulta. E a b c d e f g h i j l m 43 / 120

44 Filtragem e Refinamento Filtragem (menor custo) onsulta Índice Espacial onjunto de candidatos Resposta da consulta 44 / 120

45 Filtragem e Refinamento Filtragem (menor custo) onsulta Refinamento (maior custo) cesso à geometria exata do objeto Índice Espacial Teste da geometria do objeto. onjunto de candidatos Resposta da consulta certos Falsos positivos 45 / 120

46 Filtragem e Refinamento 46 / 120

47 Filtragem e Refinamento 47 / 120

48 Filtragem e Refinamento São arlos 48 / 120

49 Árvore R Inserção 49 / 120

50 Inserção lgoritmo Percorrer a árvore, a partir do nó raiz, até o nó folha F mais apropriado. cada nível, escolher a entrada cujo MR necessita do menor aumento de área. Resolver empates selecionando o de menor área. Se o nó folha F contém espaço suficiente, inserir a nova entrada em F e parar o processo de inserção. aso contrário, dividir a folha F em F1 e F2. justar a entrada de F no seu nó pai P de modo que seu MR cubra apenas F1. dicionar uma entrada em P para F2. Este passo pode fazer o nó P pode splitar recursivamente. Propagar as alterações para os níveis superiores. 50 / 120

51 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 3 G F I E 2 J H E F G H I J 51 / 120

52 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I Novo objeto E 2 J H E F G H I J 52 / 120

53 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 3 L G 2 E F J H I 4 escolher a entrada cujo MR necessita do menor aumento de área E F G H I J 53 / 120

54 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I E 2 J H 4 escolhe a entrada 1, pois seu MR necessita do menor aumento de área: E F G H I J 54 / 120

55 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I E 2 J H 4 como a folha contém espaço, insere a nova entrada e pára L E F G H I J 55 / 120

56 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I E 2 J H L E F G H I J 56 / 120

57 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H 4 Novo objeto L E F G H I J 57 / 120

58 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H escolher a entrada cujo MR necessita do menor aumento de área L E F G H I J 58 / 120

59 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H 4 Ganho de área de L E F G H I J 59 / 120

60 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I Ganho de área de 2 M E 2 J H L E F G H I J 60 / 120

61 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H Ganho de área de 3 L E F G H I J 61 / 120

62 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I Ganho de área de 4 M E J H 4 L E F G H I J 62 / 120

63 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 3 L G 2 E M F J H I 4 escolhe a entrada 2, pois seu MR necessita do menor aumento de área L E F G H I J 63 / 120

64 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H 4 aumenta a área de 2 de modo a cobrir a nova entrada L E F G H I J 64 / 120

65 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H 4 como a folha contém espaço, insere a nova entrada e pára L E M F G H I J 65 / 120

66 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M E 2 J H L E M F G H I J 66 / 120

67 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I Novo objeto M N E 2 J H L E M F G H I J 67 / 120

68 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M N E 2 J H 4 os MRs 1 e 2 têm o mesmo aumento de área: zero L E M F G H I J 68 / 120

69 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 3 L G N 2 E M F J H I 4 escolhe o MR de menor área, que é o MR 1 L N E M F G H I J 69 / 120

70 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M N E 2 J H 4 e se os dois MRs tivessem também a mesma área?? L N E M F G H I J 70 / 120

71 Inserção Exemplo: R(2, 4) L e se os dois MRs tivessem também a mesma área?? M 1 N E 3 G F J H I 4 escolhe aquele com o menor número de entradas. Se empatar novamente, escolhe qualquer um deles. L N E M F G H I J 71 / 120

72 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M N E 2 J H L N E M F G H I J 72 / 120

73 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 3 L G N 2 E M F J H I 4 ordem de inserção afeta a disposição dos MRs na árvore R. L N E M F G H I J 73 / 120

74 Inserção Exemplo: R(2, 4) 1 L 3 G F I M N E 2 J H 4 Qualquer nova entrada inserida nos MRs 1 e 2 causará divisão do nó (split) L N E M F G H I J 74 / 120

75 Árvore R Split 75 / 120

76 Split istribui as M entradas de um nó mais a nova entrada em dois nós. Reduzir a área de cobertura. Seleção dos primeiros objetos de cada grupo: seeds. Na árvore R, dois objetos são promovidos ao nó índice. istribuição dos objetos restantes. lgoritmos: quadrático, linear, exaustivo. 76 / 120

77 Split: lgoritmo Quadrático Parte 1: Seleção das seeds. Selecionar dois objetos como seeds de modo que esses objetos, se colocados juntos, criam o maior dead space possível. ead space é a área restante no MR se as áreas das seeds forem ignoradas. omplexidade de tempo: O(M 2 ) Parte 2: Redistribuição das M 1 entradas. té que não reste mais entradas (O(M)), selecionar a entrada E cuja diferença de dead space para cada um dos dois nós N1 e N2 seja máxima (O(M 2 )). Inserir E no nó que requer o menor aumento de seu MR (O(1)). omplexidade total de tempo: O(M 2 + M + M 2 + 1) = O(M 2 ) 77 / 120

78 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo Suponha uma árvore R (1, 3). 78 / 120

79 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo Primeiro passo Seleção das seeds: dois objetos com o maior dead space. 79 / 120

80 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo omputando os MRs e. Primeiro passo Seleção das seeds: dois objetos com o maior dead space. 80 / 120

81 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo ead space (, ) = Área(MR(, )) Área() Área() omputando os MRs e. 81 / 120

82 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo omputando os MRs e. ead space (, ) = Área(MR(, )) Área() Área() 82 / 120

83 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo pós computar todos os pares, acha e como resposta (maior dead space). ead space (, ) = Área(MR(, )) Área() Área() 83 / 120

84 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo os MRs e são as seeds. 84 / 120

85 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo Segundo passo Redistribuição ordenada das M 1 entradas. 85 / 120

86 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo ead space (, nó()) ead space (, nó()) Ordenação: maior diferença de dead space com os dois novos nós. 86 / 120

87 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo ead space (, nó()) ead space (, nó()) Ordenação: maior diferença de dead space com os dois novos nós. 87 / 120

88 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo Pela ordenação, primeiro aloca o a entrada. 88 / 120

89 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo entre os nós de e, vai para o nó de, que é o que sofre menor aumento. 89 / 120

90 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo entre os nós de e, também vai para o nó de, que é o que sofre menor aumento (zero). 90 / 120

91 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo, que é seed, fica sozinho em seu nó. 91 / 120

92 Split: lgoritmo Quadrático Exemplo / 120

93 Split: lgoritmo Linear Parte 1: Seleção das seeds. long each dimension, find the entry whose rectangle has the highest low side, and the one with the lowest high side. Record the separation. omplexidade de tempo: O(M * d) d = nº dimensões Normalize the separations by divinding the width of the entire set along the corresponding dimension (O(d)). hoose the pair with the greatest normalized separation along any dimension (O(d)). Parte 2: Redistribuição das M 1 entradas. té que não reste mais entradas (O(1)), selecionar uma entrada E e inserir no nó que requer o menor aumento de seu MR (O(M)). omplexidade total de tempo: O(M * d) 93 / 120

94 Split: lgoritmo Linear Exemplo Suponha uma árvore R (1, 3). 94 / 120

95 Split: lgoritmo Linear Exemplo Legenda: Low Side High Side 95 / 120

96 Split: lgoritmo Linear Exemplo Em X: Highest Low side Em X: Lowest High side 96 / 120

97 Split: lgoritmo Linear Exemplo Em X: e são os extremos 97 / 120

98 Split: lgoritmo Linear Exemplo istância de separação (S X ) istância total (T X ) ist. Normalizada em X: N X = S X / T X 98 / 120

99 Split: lgoritmo Linear Exemplo Legenda: Low Side High Side 99 / 120

100 Split: lgoritmo Linear Exemplo Em Y: Lowest High side Em Y: Highest Low side 100 / 120

101 Split: lgoritmo Linear Exemplo Em Y: e são os extremos 101 / 120

102 Split: lgoritmo Linear Exemplo ist. de separação (S Y ) istância total (T Y ) ist. Normalizada em Y: N Y = S Y / T Y 102 / 120

103 Split: lgoritmo Linear Exemplo Sendo N X a maior ist. Normalizada, escolhe e como seeds. 103 / 120

104 Split: lgoritmo Linear Exemplo Redistribui as entradas e. 104 / 120

105 Split: lgoritmo Linear Exemplo vai para o nó de, que é o que sofre menor aumento. 105 / 120

106 Split: lgoritmo Linear Exemplo vai para o nó de, que é o que sofre menor aumento. 106 / 120

107 Split: lgoritmo Linear Exemplo / 120

108 Split: lgoritmo Exaustivo Testa todos os agrupamentos possíveis com relação ao menor aumento de MRs e área de sobreposição. omplexidade temporal: O(2 M 1 ). Fins de comparação. 108 / 120

109 Árvore R Variações: R +, R* 109 / 120

110 Árvore R + (1987) Timos Sellis Nick Roussopoulos hristos Faloustos 110 / 120

111 Árvore R + Motivação: Uma consulta pontual na Árvore R pode percorrer vários caminhos, da raiz até as folhas. lguns MRs grandes podem aumentar o grau de sobreposição significativamente, devido ao dead space. Estas características causam uma degradação de desempenho das consultas, especialmente quando a sobreposição dos MRs é significativa. Solução: a Árvore R + não permite sobreposição de MRs no mesmo nível: técnica de clipping. 111 / 120

112 Árvore R + E 1 G F E F G 112 / 120

113 Árvore R + E 1 F F 2 Região de sobreposição no mesmo nível. 1 2 E F G 113 / 120

114 Árvore R + E 1 F F 2 uplica a entrada nas folhas e elimina a sobreposição. 1 2 E F G 114 / 120

115 Árvore R + onsiderações: usca: deve eliminar as duplicatas. Inserção: maior complexidade em relação à árvore R. Remoção: deve eliminar o objeto de todas as folhas em que aparece. onsumo de espaço físico: é problema? 115 / 120

116 Árvore R* (1990) Norbert eckmann Hans-Peter Kriegel Ralf Schneider ernhard Seeger 116 / 120

117 Árvore R* árvore R é baseada na minimização de área de seus MRs. árvore R* considera minimizar: área dos MRs. área de sobreposição entre MRs. margens dos MRs: deixar os MRs mais "quadrados" ajusta melhor o espaço nos níveis superiores. Principal alteração em relação à árvore R original: inserção. reinserção. parâmetro: cerca de 30% da capacidade do nó. 117 / 120

118 Referências GUTTMN,. R-trees: dynamic index structure for spatial searching. M SIGMO Record, M, New York, NY, US, v. 14, n. 2, p , jun SELLIS, T. K.; ROUSSOPOULOS, N.; FLOUTSOS,. The R + -tree: dynamic index for multi-dimensional objects. In: Proceedings of 13th International onference on Very Large ata ases. righton, England: Morgan Kaufmann Publishers Inc., (VL '87), p EKMNN, N.; KRIEGEL, H.-P.; SHNEIER, R.; SEEGER,. The R*-tree: n efficient and robust access method for points and rectangles. M SIGMO Record, M, New York, NY, US, v. 19, n. 2, p , maio / 120

119 Referências MNOLOPOULOS, Y.; NNOPOULOS,.; PPOPOULOS,. N.; THEOORIIS, Y. R-Trees: Theory and pplications. Springer, LIU, L; ÖZSU, M. T. Encyclopedia of atabase Systems. Springer, SHEKHR, S.; XIONG, H. Encyclopedia of GIS, Springer, KO, M.-Y. Encyclopedia of lgorithms. Springer, / 120

120 emonstração / 120