Árvores B. Árvores B. Estrutura de Dados II Jairo Francisco de Souza

Transcrição

1 Árvores B Árvores B Estrutura de Dados II Jairo Francisco de Souza

2 Motivação Quando tabelas são muito grandes Armazenamento do conjunto de chaves não pode ser efetuado na memória principal Necessário uso de memória secundária Dispêndio de tempo para acesso a um nó da tabela Interesse Criação de estrutura que minimize o tempo de acesso para a busca, inserções e remoções

3 Árvore B Árvore B (Bayer e MacCreight, 1972) Nós podem ter mais de uma chave Operações de busca, inserção e remoção são executadas rapidamente Sua construção assegura que todas as folhas estão em um mesmo nível, não importando a entrada de dados. São amplamente utilizadas para armazenamento em memória secundária Ex: Banco de dados

4 Árvore B Árvore B O tamanho de cada nó pode ser tão grande quanto o tamanho de um bloco do disco. O número de chaves de um nó pode variar dependendo do: Tamanho das chaves Tamanho de um bloco (alguns autores chamam de página) Tamanho do bloco varia para cada sistema 512 bytes, 4K ou mais

5 Árvore B Propriedades A raiz é uma folha ou tem no mínimo dois filhos Cada nó diferente da raiz e das folhas possui no mínimo d + 1 filhos Cada nó tem no máximo 2d + 1 filhos d é chamado de ordem da árvore Exemplos de árvores de ordem d = 2 Raiz sem filhos Raiz com dois filhos Nó com 2d + 1 filhos

6 Árvore B Propriedades Cada nó possui entre d e 2d chaves, exceto o nó raiz que possui entre 1 e 2d chaves. Seja m o número de chaves em um nó P não folha. Então P tem m + 1 filhos Em cada página P as chaves estão ordenadas Raiz sem filhos Raiz com dois filhos Nó com 2d + 1 filhos

7 Árvore B Propriedades Seja as chaves de um nó s 1,..., s m, d m 2d, exceto para a página raiz onde 1 m 2d; p 0, p 1,..., p m ponteiros para os filhos de P p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s m p m Para qualquer chave y, pertencente ao nó apontado por p 0, y < s 1 ; Para qualquer chave y, pertencente ao nó apontado por p k, 1 k m-1, s k < y < s k+1 ; Para qualquer chave y, pertencente ao nó apontado por p m, y >s m.

8 Árvore B - Implementação Classe contendo Array de m posições para as m chaves (2d chaves) Array de m + 1 posições para os ponteiros para os outros nós Inteiro para o número de chaves do nó Booleano para indicar se o nó é folha ou nó interno

9 Árvore B - Exemplo

10 Árvore B - Busca Busca é semelhante a busca na árvore binária de busca 50 Buscar nó

11 Árvore B - Busca O algoritmo da busca compara a chave x, a chave procurada, com a chave (ou as chaves) do nó raiz. Se a chave não se encontra no nó em questão, a busca deve prosseguir em um filho deste nó, de acordo com a propriedade: Para qualquer chave y, pertencente ao nó apontado por p 0, y < s 0 ; Para qualquer chave y, pertencente ao nó apontado por p k, 1 k m, s k < y < s k+1 ; Para qualquer chave y, pertencente ao nó apontado por p m+1, y >s m. p 0 s 0 p 1 s 1 p 2... s m p m+1

12 Árvore B Busca - Algoritmo procedimento buscab(x, pt, f, g) f (resultado da busca): Se f=1 (encontrou); pt aponta para o nó; g aponta para a posição da chave dentro do nó Se f=0 (não encontrou) pt aponta aponta para o último nó pesquisado (necessariamente uma folha) g aponta informa a posição onde a nova chave deve ser inserida

13 Árvore B Busca - Algoritmo procedimento buscab(x, pt, f, g) p = ptraiz; pt=null; f :=0; enquanto p NULL faça i = g = 0; pt = p; enquanto i m faça se x > p->s[i] então i = g = i+1; senão se x = p->s[i] então f = 1; p = NULL; senão p = p->filho[i] i = m + 2 se i = m + 1 então p = p->filho[m+1];

14 Árvore B Inserção Primeiro passo: executar BuscaB Em seguida, analisar valores de f f = 1 trata-se de inserção inválida f = 0 x deve ser incluída na g-ésima posição da folha apontada por pt. Problema Folha já contém 2d chaves Inserir nova chave leva ao nó ter 2d + 1 chaves que não é permitido. Solução: reorganizar as páginas Cisão de nó p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s 2d p 2d p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s k p k... s 2d+1 P 2d+1

15 Árvore B Inserção - Cisão Cisão de páginas Seja um nó P com overflow Transforma 1 nó com excesso em 2 nós No nó P apontado por pt ficam d entradas Um novo nó Q é criado, nele são incluídas d entradas A chave central é incluída no nó pai (W) de P juntamente com um ponteiro para o nó Q P p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s d p d s d+1 p d+1 s d+1 P d+1... s 2d+1 P 2d+1 Cisão de P P p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s d p d Q p d+1 s d+1 P d+1... s 2d+1 P 2d+1

16 Árvore B Inserção - Cisão Cisão de páginas Seja um nó P com overflow Transforma 1 nó com excesso em 2 nós No nó P apontado por pt ficam d entradas Um novo nó Q é criado, nele são incluídas d entradas A chave central é incluída no nó pai (W) de P juntamente com um ponteiro para o nó Q P p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s d p d s d+1 p d+1 s d+1 P d+1... s 2d+1 P 2d+1 P Cisão de P p 0 s 1 p 1 s 2 p 2... s d p d s d+1 pt 1 Q p d+1 s d+1 P d+1... s 2d+1 P 2d+1

17 Árvore B Inserção - Exemplo Inserir

18 Árvore B Inserção - Exemplo Inserir 57 Necessidade de cisão (split) P

19 Árvore B Inserção - Exemplo Inserir 57 Necessidade de cisão (split) 50 W P d + 1 chaves

20 Árvore B Inserção - Exemplo Inserir 57 Necessidade de cisão (split) 50 W P Q

21 Árvore B Inserção - Exemplo Inserir 57 Necessidade de cisão (split) P Q

22 Árvore B Inserção - Algoritmo Passo 1: aplicar procedimento BuscaB, verificando a validade da inserção Passo 2: se a inserção é válida, incluir a nova entrada na g-ésima posição da folha F, apontada por pt. Passo 3: verificar se a página F necessita de cisão. Em caso afirmativo, propagar a cisão enquanto necessário.

23 Árvore B - Remoção 2 casos possíveis: Chave x se encontra em uma folha: a entrada é simplesmente removida Chave x não se encontra em uma folha: Chave x é substituída pela chave y imediatamente maior y necessariamente pertence a uma folha A retirada de uma chave pode levar a um nó ter menos do que d chaves. O que não é permitido

24 Árvore B - Remoção Tratamento de underflow Opção 1) Concatenação Dois nós adjacentes (irmãos), digamos P e Q podem ser juntados se tiverem menos do que 2d chaves Concatenação agrupa as entradas dos dois nós em um único nó No nó pai W deixa de existir uma entrada Justamente a chave que se encontra entre os ponteiros para os irmão P e Q Esta chave passa a fazer parte do novo nó concatenado e seu ponteiro desaparece, uma vez que o nó Q foi devolvido Como a soma do número de chaves de P e Q era menor do que 2d, o novo nó tem, no máximo, 2d chaves. Concatenação é propagável e pode atingir a raiz.

25 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave

26 Árvore B Remoção - Exemplo Resultado da remoção da chave W Q P Menos do que d chaves

27 Árvore B Remoção - Exemplo Pode concatenar nós adjacentes? 50 W Q P Quantidade das chaves dos nós irmão = 3 2d = 4 Pode fazer a concatenação.

28 Árvore B Remoção - Exemplo Todas as entradas envolvidas na concatenação 50 W Q P é a chave que está entre os ponteiros que apontam para os nós adjacentes

29 Árvore B Remoção - Exemplo Resultado final 50 W Q

30 Árvore B Remoção - Exemplo Resultado final 50 Ops, underflow! O que fazer?! 9 W Q

31 Árvore B - Remoção Tratamento de underflow Opção 2) Redistribuição Dois nós adjacentes (irmãos), digamos P e Q podem ser redistribuídos se tiverem mais do que 2d chaves Passos Concatena-se P e Q o Resultado é um nó com mais 2d chaves Executa-se a cisão Redistribuição não é propagável A página W, pai de P e Q, é modificada, mas seu número de chaves permanece o mesmo.

32 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave

33 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave W Q P

34 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave W Q P Menos do que d chaves

35 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave W Q P Quantidade de chaves de P + Q = 2d Necessário fazer redistribuição

36 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave W 9 80 Q P Concatenar P e Q.

37 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave W 9 80 Q P Aplicar cisão em P, aproveitando Q

38 Árvore B Remoção - Exemplo Remover chave W Q P Aplicar cisão em P, aproveitando Q

39 Árvore B Remoção - Algoritmo Passo 1: Aplicar o procedimento BuscaB, verificando a existência da chave x na árvore. Seja P o nó onde se encontra a chave. Passo 2: Se P é uma folha, retirar a entrada correspondente à chave x. Se não é, buscar a menor chave que se encontre em uma folha e que seja maior do que x. Seja z esta chave, e F o nó onde z se encontra. Substitua a chave x por z. Fazer P = F. Passo 3: Verificar se P contém d entradas. Em caso negativo, executar a operação de concatenação ou redistribuição.

40 Exercício Insira os valores na árvore B: 5, 1, 2, 3, 10, 7, 8, 9, 30, 13, 18, 19, 40, 46, 49, 80, 89

41 Árvore B*

42 Motivação Nó de uma árvore B representa um bloco de memória secundária Acessar um nó de uma árvore B um acesso à memória secundária Dispendioso comparado ao acesso à memória primária

43 Árvore B* Árvore B* Todos os nós, exceto a raiz devem estar pelo menos dois terços cheios Sendo m o n o máximo de entradas e k o número mínimo de entradas Ou seja, Floor[ (2 * m)/3] k m A frequência de divisão dos nós é diminuída atrasando-se a divisão Quando a necessidade de divisão aparece Dois nós são divididos em três A utilização média de uma árvore B* é de 81% (Leung, 1984)

44 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) Nó Nó 2 Nó 3

45 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) 6 deve ser inserido no Nó 2 Overflow 6 Nó Nó 2 Nó 3

46 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) 6 deve ser inserido no Nó 2 Overflow Ao invés de dividir o nó, redistribuir suas entradas com irmão adjacente. Nó Nó 2 Nó 3

47 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) Todas as chaves de Nó 2 e Nó 3 e a chave do Nó 1 maior que chaves de Nó 2 e menor do que chaves de Nó 3 são redistribuídas. A mediana, a chave 10, é colocada em Nó 1. 6 Nó 1 16 Nó 2 Nó

48 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) Todas as chaves de Nó 2 e Nó 3 e a chave do Nó 1 maior que chaves de Nó 2 e menor do que chaves de Nó 3 são redistribuídas. A mediana, a chave 10, é colocada em Nó

49 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) Todas as chaves de Nó 2 e Nó 3 e a chave do Nó 1 maior que chaves de Nó 2 e menor do que chaves de Nó 3 são redistribuídas. A mediana, a chave 10, é colocada em Nó

50 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) Todas as chaves de Nó 2 e Nó 3 e a chave do Nó 1 maior que chaves de Nó 2 e menor do que chaves de Nó 3 são redistribuídas. A mediana, a chave 10, é colocada em Nó

51 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Divisão é atrasada tentando-se redistribuir as chaves entre um nó e seu irmão Exemplo: Inserir 6 na árvore B* de ordem 8 (em uma árvore B* a ordem é o número máximo de chaves de um nó) Divisão divide homogeneamente as chaves e o espaço livre Nó que estava cheio agora consegue acomodar mais chaves

52 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Se o irmão estiver cheio? Uma divisão ocorre Um novo nó é criado As chaves do nó + do seu irmão (junto com a chave de separação do nó pai) Divididas homogeneamente em 3 nós Duas chaves de separação vão para o nó pai Exemplo: Inserir 4 na árvore B* 4 Overflow!!!

53 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Se o irmão estiver cheio? Uma divisão ocorre Um novo nó é criado As chaves do nó + do seu irmão (junto com a chave de separação do nó pai) Divididas homogeneamente em 3 nós Duas chaves de separação vão para o nó pai Exemplo: Inserir 4 na árvore B*

54 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Se o irmão estiver cheio? Uma divisão ocorre Um novo nó é criado As chaves do nó + do seu irmão (junto com a chave de separação do nó pai) Divididas homogeneamente em 3 nós Duas chaves de separação vão para o nó pai Exemplo: Inserir 4 na árvore B*

55 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Se o irmão estiver cheio? Uma divisão ocorre Um novo nó é criado As chaves do nó + do seu irmão (junto com a chave de separação do nó pai) Divididas homogeneamente em 3 nós Duas chaves de separação vão para o nó pai Exemplo: Inserir 4 na árvore B*

56 Árvore B* Quando ocorre overflow em um nó Se o irmão estiver cheio? Uma divisão ocorre Um novo nó é criado As chaves do nó + do seu irmão (junto com a chave de separação do nó pai) Divididas homogeneamente em 3 nós Duas chaves de separação vão para o nó pai Todos os três nós têm 2/3 entradas

57 Árvore B* Fator de enchimento pode variar Bancos de dados permitem variar o fator de enchimento 0,5 a 1.

58 Árvore B+

59 Motivação O que acontece se solicitarmos que todas as chaves de uma árvore B sejam impressas em ordem ascendente? Cada leitura de um nó implica em um acesso à memória secundária!!!!

60 Árvore B+ Árvore B Referências aos dados são feitas a partir de quaisquer nós da árvore Árvore B+ Referências para os dados são feitas apenas a partir das folhas Nós internos são indexados para acesso rápido dos dados Conjunto de índices Nós folha São vinculados sequencialmente para formar um conjunto de seqüência Varredura em ordem ascendente Usado no sistema de arquivos FAT e NTFS do Windows, XFS, JFS2 e ext4 do Linux e em banco de dados relacionais como PostgreSQL e MySQL para índice de tabelas

61 Exemplo Árvore B+ (Inserção)

62 Árvore B+ (Inserção) Inserção (na folha) Existe espaço no nó? SIM Inserir no nó folha e reordenar entradas Nenhuma mudança é feita no conjunto do índice NÃO Dividir folha Nova folha é incluída no conjunto de sequências Distribuir chaves Copiar primeira chave do nó novo para o ascendente (nó interno) o (importante: a chave é copiada e não movida) Ascendente está cheio? o Não: Reorganizar chaves no nó o Sim: Dividir nó da mesma forma que em uma árvore B

63 Árvore B+ (Inserção) Exemplo

64 Árvore B+ (Inserção) Exemplo Inserir

65 Árvore B+ (Inserção) Exemplo Inserir 6 29 Overflow!!!

66 Árvore B+ (Inserção) Exemplo Inserir

67 Árvore B+ (Remoção) Chave é removida do nó folha Se não há underflow Nenhuma mudança é feita no conjunto de índices Mesmo se a chave também existir no conjunto de índices o Continua separando apropriadamente as chaves do índice Exemplo: Remover

68 Árvore B+ (Remoção) Chave é removida do nó folha Se não há underflow Nenhuma mudança é feita no conjunto de índices Mesmo se a chave também existir no conjunto de índices o Continua separando apropriadamente as chaves do índice Exemplo: Remover

69 Árvore B+ (Remoção) Chave é removida do nó folha Se não há underflow Nenhuma mudança é feita no conjunto de índices Mesmo se a chave também existir no conjunto de índices o Continua separando apropriadamente as chaves do índice Exemplo: Remover

70 Árvore B+ (Remoção) Chave é removida do nó folha Se há underflow Chaves da folha e chaves de um irmão são distribuídas OU Folha é removida e chaves remanescentes são incluídas no irmão Exemplo: Remover

71 Árvore B+ (Remoção) Chave é removida do nó folha Se há underflow Chaves da folha e chaves de um irmão são distribuídas OU Folha é removida e chaves remanescentes são incluídas no irmão Exemplo: Remover

72 Árvore B+ (Remoção) Exemplo: Remover 2 Folha é removida e chaves remanescentes são incluídas no irmão

73 Árvore B+ (Remoção) Exemplo: Remover 2 Folha é removida e chaves remanescentes são incluídas no irmão A primeira chave do irmão à direita do nó que permanece depois da fusão é copiada ao nó ascendente Chaves no ascendente são colocadas em ordem Separador no ascendente deve ser atualizado Underflow pode ser propagado até a raiz