R+ -Tree THE R+-TREE: A DYNAMIC INDEX FOR MULTI-DIMENSIONAL OBJECTS

Transcrição

1 Universidade Federal de São Carlos - UFSCar Departamento de Computação - DC Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação - PPGCC R+ -Tree THE R+-TREE: A DYNAMIC INDEX FOR MULTI-DIMENSIONAL OBJECTS Aluno: Marcos Daniel Cano Professor: Dr. Ricardo R. Ciferri Área: Banco de Dados Não Convencionais

2 Manuseio de objetos multi-dimensionais minimum bounding rectangle (MBR) 2

3 R-Tree R-Tree 3

4 cobertura(coverage) e sobreposição(overlap) Cobertura de um nível de uma R-tree é definido como a área total de todos os retângulos associados com o nó daquele nível; Sobreposição de um nível de uma R-tree é definida como a área total contida em um ou mais nós. cobertura sobreposição dead space 4

5 Tipos de consulta Consultas de ponto: Dado um ponto no espaço, localizar todos os objetos que contêm este ponto. Consultas de região: Dada uma região (janela de consulta), encontre todos os objetos que interceptam-no. 5

6 Estrutura R+ -Tree Oid Xhigh,Yhigh Nó-folha ( Oid, RECT) database Xlow, Ylow Nó-intermediário ( p, RECT) p Xhigh,Yhigh Xlow, Ylow Xhigh,Yhigh p Xhigh,Yhigh Xlow, Ylow Xlow, Ylow 6

7 R+ - Tree Variação da R-Tree Altura Balanceada Evita sobreposição de MBR em nós intermediários Nós sem garantia M/2 Objeto-id pode ser armazenado em mais do que um nó-folha Aproximadamente 10% a mais de espaço para a árvore R+ -Tree 7

8 R-Tree X R+ Tree R -Tree Acesso aos nó A e B R+ -Tree Acesso somente ao nó P 8

9 Propriedades Para cada entrada (p, RECT) em um nó intermediário, a sub-árvore com raízes pelo nó apontado por p contém um retângulo R se e somente se é coberta pelo RECT. A única exceção é quando R é um retângulo em um nófolha; neste caso, R deve somente ser sobreposto por RECT; Para qualquer duas entradas (p 1, RECT 1 ) e (p 2, RECT 2 ) de um nó intermediário, a sobreposição entre RECT 1 e RECT 2 é zero; A raiz tem ao menos dois filhos a menos que seja uma folha; Todas as folhas têm o mesmo nível. 9

10 Algoritmo Busca (Search) Algoritmo Busca(R,W) Entrada: Uma árvore R+ com raízes no nó R e uma janela de busca (retângulo) W. Saída: Todos os objetos que sobrepõem W. Método: Decompor o espaço de busca e a árvore de busca recursivamente. S1. [Busca nós-intermediários] Se R não é uma folha, então para cada entrada (p,rect) de R verifique se RECT sobrepõe W. Se sim, Busca(FILHO,S RECT), onde FILHO é o nó apontado por p. S2. [Busca nós-folha] Se R é uma folha, verifique todos os objetos RECT em R e retorne aqueles que sobrepõem com W. 10

11 Algoritmo Inserção(Insert) Algoritmo Insere(R,IR) Entrada: Uma árvore R+ com raízes no nodo R e uma entrada retângulo IR Saída: A nova árvore R+ resultada após a inserção do retângulo IR Método: Encontre onde IR deve ir e adicione-a no nó-folha correspondente. I1. [Busca nós-intermediários] Se R não é uma folha, então para cada entrada (p,rect) de R verifique se RECT sobrepõe IR. Se sim, Insere(FILHO,IR), onde FILHO é o nó apontado por p. I2. [Insere nos nós-folha] Se R é uma folha, adicione IR em R. Se após o novo retângulo ser inserido R ter mais do que M entradas, chama DivideNo(R) para reorganizar a árvore. 11

12 Algoritmo Deleção(Delete) Algorithm Delete (R,IR) Entrada: Uma árvore R+ com raízes no nodo R e uma entrada retângulo IR Saída: A nova árvore R+ resultada após a deleção do retângulo IR Método: Encontre onde IR deve ir e remova-o do nó-folha correspondente. D1. [Busca nós-intermediários] Se R não é uma folha, então para cada entrada (p,rect) de R verifique se RECT sobrepõe W. Se sim, Delete(FILHO,IR), onde FILHO é o nó apontado por p. D2. [Delete dos nós-folha] Se R é uma folha, remova IR em R e ajuste o retângulo pai que inclui os retângulos filhos restantes. OBS: Devido inserção em mais de um nó folha, Guttman sugere uma reorganização da árvore para reinserir nós órfãos no topo da árvore. 12

13 Algoritmo Divide-nó(SplitNode) Algoritmo DivideNo(R) Input: Um nó R ( folha ou intermediário) Output: A nova árvore R+ Method: Encontre uma divisória para o nó ser dividido, crie dois novos nós e, se necessário propagar a divisão para cima e para baixo 13

14 Algoritmo Divide-nó(SplitNode) SN1. [Encontre uma partição] Divida R usando a rotina de partição do algoritmo de empacotamento. Deixe RECT e p ser o retângulo e ponteiro respectivamente associados com o nó R. Também, deixe S1 e S2 denotar as duas sub-regiões resultadas após a partição. Crie n 1 =(p 1, RECT 1 ) e n 2 =(p 2, RECT 2 ), os dois nós resultantes da divisão de R, onde RECT i =RECT S i, para I = 1,2 SN2. [Popule novos nós] Coloque em n i todos os nós (p k, RECT k ) de R tal que RECT k esteja completamente em RECT i, para i=1,2. Para aqueles nós que RECT k RECT i RECT k (i.e. Ele somente sobrepõe com a sub-região. a) Se R é uma nó-folha, então coloque RECT k em ambos os novos nós. b) Senão, use SplitNode para recursivamente dividir os nós filhos ao longo da partição. Deixe (p k1, RECT k1 ) e (p k2, RECT k2 ) ser os dois nós após divisão (p k, RECT k ), onde RECT ki esteja completamente em RECT i, i=1,2. Adicione aqueles dois no nó correspondente n i. SN3. [Propagar a divisão do nó para cima] Se R é a raiz, crie uma nova raiz com dois filhos, n 1 e n 2. Senão, deixe PR ser parente do nó R. Substitua R em PR com n 1 e n 2. Se PR tem agora mais doque M entradas, chame SplitNode(PR) 14

15 Critérios Particionamento Redução da área de cobertura de dead space nearest neighbors (Menor Dead Space) minimal total x- and y-displacement minimal total space coverage accrued by the two sub-regions ( Mínimo espaço de cobertura ) Minimização de recortes em objetos minimal number of rectangle splits ( Limita altura da árvore ) 15

16 Algoritmo Particionar(Partition) Algoritmo Particiona(S,ff) Entrada: Um conjunto de S retângulos e o fator-preenchimento ff da primeira sub-região. Saída: Um nó R contendo os retângulos da primeira sub-divisão e o conjunto S dos retângulos restantes. Método: Decomponha o espaço total em um ótimo local na primeira sub-região e as regiões restantes. 16

17 Algoritmo Particionar(Partition) PA1. [Sem partição requerida] Se o espaço total a ser particionado contém menos que ou igual a ff (fill-factor) retângulos, nenhuma outra decomposição é feita; um nó R armazenando as entradas é criado e o algoritmo retorna (R, Ø). PA2. [Computar menor valores x- and y-] Deixe Ox e Oy ser as menores coordenadas x- e y- de um dado retângulo PA3. [Varrer ao longo da x-dimensão] (Cx,x_cut) = Sweep("x",Ox,ff) Cx é o custo para dividir na direção de x. PA4. [Varrer ao longo da y-dimensão] (Cy,y_cut) = Sweep( y",oy,ff) Cy é o custo para dividir na direção de y. PA5. [Escolher o ponto de partição] Selectione o corte que dê o menor Cx e Cy, divida o espaço e distribua os retângulos e suas divisões. Um nó R que armazena todas as entradas da primeira sub-região é criado. Deixe S denotar o conjunto de retângulos tendendo a segunda sub-região. 17

18 Algoritmo Varrer(Sweep) Algoritmo Varre(eixo,Oxy,ff) Entrada: o Eixo em que a varredura será realizada, o ponto Oxy daquele eixo onde a varredura inicia e o fator-preenchimento ff. Saída: Propriedades computadas da primeira sub-região e o x_ ou y_cut Método: Varrer do Oxy e computar a propriedade até ff for atingido. SW1. [Encontrar a primeiros retângulos ff] Iniciando de Oxy, escolha o próximo retângulo ff ao longo da lista de retângulos classificados no eixo de entrada. SW2. [Avalie Partições] Compute o custo total do valor de propriedade medida usada para organizar retângulos( nearest neighbor, minimal coverage, minimal splits, etc.). Retorne (Custo, mais larga coordenada x e y dos ff retângulos). 18

19 Algoritmo Empacotar(Pack) Algoritmo empacota(s,ff) Entrada: Um conjunto S de retângulos para ser organizado e o fator-preenchimento ff de da árvore. Saída: Uma boa R+ -tree. Método: Recursivamente empacotar as entradas de cada nível da árvore. P1. [Empacotamento não necessário] Se N= S é menor ou igual que ff, então construa uma raiz R da R+-tree e retorne-a P2. [Inicialização] Configure AN=Ø. AN mantém o conjunto de retângulos do próximo nível para ser empacotado depois. P3. [Espaço de partição] (R, S ) = Particiona(S,ff) - Se estamos particionando nós-intermediários e alguns dos retângulos têm sido dividido por causa da partição escolhida, recursivamente propague a divisão abaixo e se necessário propague as mudanças também para cima. AN=append(AN,R). Continuar passo P3 até S = Ø. P4. [Recursivamente empacote os nós-intermediários] Return empacota(an,ff) 19

20 Análise 2 conjuntos distribuídos uniformemente no espaço para um ponto, D é número de segmentos que contém-o Total = segmentos conjunto de segmento N1 = conjunto de segmento N2 = nº acesso disco busca point query nº acesso disco busca segment query 20

21 Conjuntos N1 N2 21

22 Análise acesso a disco 22

23 Análise acesso a disco 23

24 Conclusões Vantagens: A principal vantagem das R+-tree é a melhora da performance de busca, especialmente nos casos de consultas de pontos(50% menos acessos ao disco) R-tree sofre no caso de alguns objetos grades, o que força muita bifurcação durante a busca. A R+-tree lida mais facilmente com esses tipos de dados, pois os objetos são separados em partes menores. O único caminho é seguido e menos nós são visitados comparado com a R-tree. Desvantagens: Uma vez que retângulos são duplicados, uma R+ -tree pode ser maior do que uma árvore R construída com o mesmo conjunto de dados. Construção e manutenção de árvores R+ é mais complexa que a árvores R e outras variantes da árvore-r. Um poblema para a duplicação de retângulos é que durante as inserções, um aumento de MBR pode levar a operações de atualização em uma reação em cadeia. 24

25 Implementações R-Tree e R+-Tree

26 Referências The R+-Tree: A Dynamic Index for Multi-Dimensional Objects. Timos K. Sellis, Nick Roussopoulos, Christos Faloutsos. VLDB R-trees Have Grown Everywhere YANNIS MANOLOPOULOS. Alexandros Nanopoulos, Apostolos N. CiteSeerX R+-Tree acessado no dia 23 de setembro de