Adaptative and Quality Quadrilateral/Hexahedral Meshing from Volumetric Data

Transcrição

1 Geração de Malhas - SME5827 Adaptative and Quality Quadrilateral/Hexahedral Meshing from Volumetric Data Yongjie Zhang Chandrajit Bajaj Institute for Computational Engineering and Sciences The University of Texas at Austin 06 de Dezembro de 2013

2 Visão Geral Dados Volumétricos Algoritmo Octree-based Nível inicial da octree Decomposição Adaptativa Malha Quad/Hex Pre. Uniforme Método do contorno dual Malha Quad/Hex refinada Melhoria da malha Malha Quad/Hex melhorada

3 Agenda 1. Como escolher o nível inicial da octree; 2. Método de contorno dual; 3. Algoritmo para extração de malhas quadrilaterais; 4. Algoritmo para extração de malhas hexaedrais; 5. Controle da adaptatividade; 6. Controle da qualidade; 7. Resultados e aplicações.

4 Dados Volumétricos Algoritmo octree-based Nível inicial da octree Estrutura de dados: A octree é uma estrutura em que cada nó interno tem até oito filhos. A octree regular recursiva subdivide um cubo em oito cubos de tamanhos iguais. Já na octree adaptativa cada nó da árvore tem comprimeto diferente e mapeia um espaço de maneira heterogênea.

5 Dados Volumétricos Algoritmo octree-based Nível inicial da octree Algoritmo: Bottom-up surface topology preserving octree-based é utilizado para selecionar o nível inicial da octree: Dimensão dos dados volumétricos: Último nível: n (2 n +1) 3 lvl = n; while topology(lvl)==topology(lvl-1) lvl=lvl-1; end initiallevel=lvl; Dois níveis da octree são topologicamente equivalentes se e somente se: - O sinal do vértice central de cada aresta/face/cubo da malha mais grossa é igual ao sinal de ao menos um vértice da aresta/face/cubo que o contém. Garante-se, em geral, que a topologia correta será preservada ao longo do processo de refinamento adaptativo.

6 Nível inicial da octree Método do contorno dual Pre. Uniform No método do contorno dual é utilizado um algoritmo para extrair uma malha quadrilateral uniforme a partir de uma isosuperfície por meio da análise da mudança de sinais em arestas cujos vértices estão em diferentes lados da superfície. Na octree cada um desses vértices é compartilhado por 4 folhas. Para cada folha obtêm-se um ponto de minimização da função: QEF [ x]= i (n i ( x p i )) 2 Os 4 pontos de minimização constutuem um quad, a união de todos os quads formam uma aproximação para a isosuperfície.

7 Extração de quadriláteros Quad mesh Problemas: 1. Decomposição dos quadriláteros; 2. Calcular posição dos vértices. Decomposição dos quadriláteros 1. Método Indireto: O método do contorno dual utiliza uma função definida para controlar onde deve-se refinar a malha e onde ela deve ser mantida mais espessa. Com octree adaptativa a intersecção na isosuperfície pode formar triângulos ou quadriláteros. É necessário dividir cada elemento:

8 Extração de quadriláteros Quad mesh Decomposição dos quadriláteros 2. Método Direto: No nível selecionado da octree, o método do contorno dual gera uma malha quadrilateral uniforme analisando a troca de sinais nas arestas, as quais são compartilhadas por 4 células. A malha adaptativa é obtida então por meio de alguns templates. Requisitos para os templates: 1. Todos os elementos são quads; 2. Não há hanging-nodes ; 3. A malha resultante aproxima a superfície; 4. Os elementos resultantes têm bom aspecto; 5. Poucos elementos e vértices inseridos.

9 Extração de quadriláteros Quad mesh Decomposição dos quadriláteros 2. Método Direto: -Todos geram elementos quad; -Sem hanging-nodes ; -A inserção de nós torna melhor a aproximação; -Método 3 gera quads de melhor qualidade; -Método 3 é preferido por balancear os 5 critérios.

10 Extração de quadriláteros Quad mesh Calcular posição dos vértices Uma célula é dividida em 4 sub-células, três pontos de minimização são obtidos. O círculo verde representa um minimizador daquela célula, e os círculos azuis representam os novos vértices. A posição dos novos vértices são calculadas pela interpolação linear dos 4 vértices do quad origina, então são movidos em direção à isosuperfície e atualizados.

11 Extração de hexaedros Hex mesh O método do contorno dual é extendido para obter malha de hexaedros regulares analisando cada vértice interior compartilhado por 8 diferentes células. Cada ponto de minimização forma um vértice do novo hexaedro. Decomposição em malha 2D Na malha uniforme cada ponto interior é compartilhado por 4 células. Neste exemplo o Método 3 é usado para extrair a malha adaptativa. Ao analisar cada célula para calcular o ponto de minimização é preciso comparar o erro da célula com um threshold. ε

12 Extração de hexaedros Hex mesh Decomposição em malha 3D 1. Método Indireto: Malhas tetraedrais adaptativas são geradas a partir de dados volumétricos, então os hexaedros são obtidos dividindo cada tetraedro em 4 hexaedros. 2. Métodos Diretos: Nem todos os métodos 2D podem ser extendidos para o caso 3D. Método 1: Um pequeno hexaedro é inserido no interior do antigo. Caso uma face precise ser refinada, será feito como na figura ao lado. Cria-se 6 novos hexaedros e 8 novos vértices.

13 Extração de hexaedros Hex mesh Decomposição em malha 3D 2. Métodos Diretos: Método 2: Divide caso o erro seja maior que o threshold. Existem 256 configurações, eliminadas as simetrias restam apenas 22. Apenas 5 podem ser utilizadas, nem todas geram hexaedros.

14 Extração de hexaedros Hex mesh Decomposição em malha 3D 2. Métodos Diretos: Método 1 vs Método 2

15 Adaptatividade Para gerar malhas com o número mínimo de elementos e vértices, é importante ter uma boa métrica para decidir onde é preciso refinar a malha. Três modos básicos: Feature sensitive error function: é definido pela diferença entre a interpolação trilinear entre dois níveis consecutivos da octree, normalizado pela magnitute do gradiente. Sensível a áreas de grandes geometrias, pois mede diretamente a diferença entre as superfícies dada por dois níveis. Geometrias: nariz, olhos, boca, orelhas, etc.

16 Adaptatividade Áreas de interesse do usuário: para quando se está interessado em aspectos especiais em aplicações que envolvam física ou biologia uma função erro deve ser definida por regiões. Resultados de simulações em elementos finitos: a adaptatividade da malha pode ser controlada diretamente pelos resultados de elementos finitos a fim de balancear o erro em cada elemento.

17 Melhoria da malha Improved Definição da métrica: =[ x J 1 x 2 x 3 x] x 1 Objetivos: x 1 x x 2 1) Remover elementos invertidos; Averaging method é usado para remover elementos invertidos: - Calcula-se o scaled Jacobian para um vértice em cada elemento e realoca-o para a média de todos os vizinhos. x 2 2) Melhorar o pior número de condição. x x 3

18 Melhoria da malha Improved Objetivos 2) Melhorar o pior número de condição. κ(x) Calcula-se para todos vértices Realoca o vértice Sim κ ε Max( ) <? Não Calcula a nova posição do vértice com maior condição. Vértice interior? Não Move-se em direção a Isosuperfície ao longo da normal Sim Fim

19 Melhoria da malha Improved