UM ALGORITMO PARA GERAÇÃO DE MALHA NÃO-ESTRUTURADA TETRAÉDRICA PARA REGIÕES ARBITRÁRIAS

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1 UM ALGORITMO PARA GERAÇÃO DE MALHA NÃO-ESTRUTURADA TETRAÉDRICA PARA REGIÕES ARBITRÁRIAS Joaquim B. Cavalcante Neto *, Marcelo T. Carvalho, and Luiz F. Martha * Departamento de Computação Universidade Federal do Ceará Centro de Ciências, Campus do Pici, Bloco 910 CEP , Fortaleza, CE, Brasil joaquimb@lcg.dc.ufc.br Departamento de Engenharia Civil e Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica (Tecgraf/PUC-Rio) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente 225, Gávea CEP , Rio de Janeiro, RJ, Brasil {tilio,lfm}@tecgraf.puc-rio.br Keywords: Mesh Generation, Unstructured Mesh, Advancing Front, Finite Elements. Abstract. This work describes an algorithm for unstructured tetrahedral mesh generation for arbitrarily shaped regions. The algorithm incorporates aspects of well known meshing procedures, but includes some original steps. It uses an advancing front approach, along with an octree to develop local guidelines for the size of generated elements. The advancing front technique is based on a standard procedure found in the literature with two additional steps to ensure valid mesh generation for virtually any domain. The first additional step is related to the generation of elements only considering the topology of the current front and the second additional step is a back-tracking procedure with face deletion, to ensure that a mesh can be generated even when problems happen during the advance of the front. To improve mesh quality (as far as element shape is concerned), a posteriori local mesh improvement procedure is used. The performance of the algorithm is evaluated by application to a number of realistically complex, three-dimensional geometries. 1

2 1 INTRODUCÃO Este trabalho descreve um algoritmo para geração de malhas não-estruturadas tetraédricas para domínios tridimensionais arbitrários. O algoritmo foi concebido para atender três requisitos específicos. Primeiro, o algoritmo deve produzir elementos de boa forma, evitando elementos com aspectos ruins. Apesar do algoritmo não garantir limites nos aspectos dos elementos, cuidados são tomados a cada passo para gerar os elementos com a melhor forma possível. Observações empíricas, descritas na Seção 3, mostram que o algoritmo é muito bem sucedido ao atender à esse requisito. O segundo requisito é que o algoritmo gere uma malha que se conforma com uma malha triangular existente no contorno da região. Isso é importante em vários contextos onde um algoritmo desse tipo é necessário, como no contexto de simulações de propagação de trincas 1, porque permite que uma geração de uma nova malha ocorra localmente em uma região próxima à uma trinca se propagando, isto é, um número relativamente pequeno de elementos próximos à trinca podem se removidos criando um vazio na malha. A trinca é então estendida e o algoritmo pode ser usado para gerar novos elementos que preencham este vazio, e que se conformem com os elementos que foram removidos. A zona onde essa nova malha é gerada é pequena e localizada, levando à uma geração de malha rápida e, para problemas não-lineares, minimizando o número de informações de estado que necessitam serem mapeadas entre a malha velha e a nova. Uma outra aplicação muito importante desse requisito acontece em problemas de simulações adaptativas, onde após uma análise de erro realizada, apenas uma parte localizada da malha pode ser removida, gerando-se igualmente um vazio na malha e consequentemente a necessidade de geração de novos elementos que se conformem com os outros elementos remanescentes da malha anterior e que atendam aos critérios de erro préestabelecidos. Muitos outros algoritmos descritos na literatura geram a malha no contorno da região junto com a geração da malha volumétrica. Como se pode deduzir acima, para este algoritmo uma malha de contorno é dado de entrada necessário. Não se considera, entretanto, que isto seja uma limitação significante, porque existe um grande número de geradores de malhas triangulares de superfícies 2,3,4 que podem ser usados para gerar a malha de contorno desejada. Além disto, este tipo de característica confere mais flexibilidade ao algoritmo, como se pode constatar nos exemplos citados, de simulações de propagação de trincas e simulações adaptativas, entre outras. O terceiro requisito do algoritmo é que ele tenha a habilidade de criar uma boa transição entre regiões com elementos de tamanhos variáveis. De novo, isto é bastante importante em vários contextos, como em simulações de propagação de trincas, pois não é incomum para os elementos perto da trinca terem ordem de grandeza duas ou mais vezes menor do que os outros elementos no modelo. Além disso, em simulações adaptativas, por exemplo, isto também é bastante importante, pois nessas simulações muitas vezes é desejado existirem elementos muito grandes em algumas regiões e elementos bem menores em outras, e a transição entre essas regiões deve ser suave, do contrário podem ocorrer problemas numéricos. Muitos outros algoritmos da literatura funcionam melhor, ou mesmo somente funcionam quando todos os elementos da malha tem tamanhos característicos semelhantes. 2

3 Isto é claramente inaceitável nos casos mencionados acima, e o algoritmo descrito neste trabalho foi concebido para gerar malhas onde existam uma boa transição entre regiões distintas do modelo. O algoritmo proposto incorpora aspectos de procedimentos de geração de malha bastante conhecidos na literatura e inclui alguns aspectos originais. Ele usa uma técnica de avanço da fronteira (advancing front technique), junto com uma árvore octária (octree) como orientação local para o tamanho dos elementos a serem gerados. A técnica de avanço de fronteira é baseada na mesma técnica padrão encontrada na literatura 6,7,8,9,10,11 com passos adicionais para garantir uma geração de malha volumétrica para virtualmente qualquer tipo de domínio. Cuidado especial é tomado durante o procedimento de avanço da fronteira para gerar elementos com a melhor forma possível. O método de avanço da fronteira é aqui dividido em duas fases: uma, chamada fase baseada em geometria, que é baseada somente na forma dos elementos; e outra, chamada fase baseada em topologia, onde os critérios de formação de elementos ótimos são menos restritivos e o algoritmo tenta criar elementos válidos somente baseando-se em topologia. Estas duas fases da técnica de avanço da fronteira é certamente uma das maiores contribuições deste trabalho. Para melhorar a qualidade dos elementos gerados (no que diz respeito à forma desses elementos), um procedimento local a posteriori de melhoramento da malha é proposto. Os passos adicionais incluídos neste algoritmo, chamados de procedimentos volta-passo, são tentativas heurísticas para evitar o problema da técnica de avanço da fronteira falhar ao tentar fechar a geração de malha de um domínio. A necessidade desses procedimentos surgem do fato de que, ao invés de triangulações em duas dimensões, a discretização de qualquer volume fornecido em tetraedros em três dimensões não é formalmente garantida, a não ser que passos adicionais sejam realizados. Vários trabalhos na literatura tem atentado para a solução deste problema recentemente. Por exemplo, o trabalho de Chan e Anastasiou 10 usa regeneração local da malha baseada em remoção de tetraedros achatados (slivers) em uma fase de pós-processamento. O procedimento a posteriori de volta-passo do algoritmo descrito aqui também tem o mesmo objetivo, mas usa um enfoque diferente. Em um outro trabalho recente, Rassineux 11 também otimiza a malha por reconstrução de sub-volumes obtidos pela remoção de um grupo de tetraedros. É importante mencionar que, no algoritmo descrito no presente trabalho, os procedimentos de volta-passo não são somente usados em um estágio de pós-processamento para melhorar a qualidade da malha, mas também durante a fase de avanço da fronteira, quando um sub-volume que não pôde ser subdividido em tetraedros é encontrado. Neste caso, não somente a validação da malha é garantida, como também a qualidade da malha é melhorada. Nas próximas seções todas essas operações serão descritas em maiores detalhes. Uma outra diferença importante do presente algoritmo para os mencionados acima é que aqueles algoritmos geram nós internos dentro do domínio em um passo anterior, enquanto que neste trabalho os nós internos são gerados simultaneamente com a geração dos elementos. Rassineux 11 usa um procedimento de octree para gerar nós internos anteriormente à geração dos tetraedros. O algoritmo descrito neste trabalho também usa uma octree, mas como uma função de espaçamento nodal. Este enfoque tende a ter um controle melhor sobre a qualidade 3

4 da malha gerada e, aparentemente, diminui a quantidade de procedimentos heurísticos de melhoria da qualidade de elementos ruins gerados no processo. Adicionalmente a tudo que já foi mencionado, o presente algoritmo especificamente gerencia discontinuidades no domínio ou no contorno do modelo, como aquelas envolvendo trincas. Isso confere um grau de complexidade maior ao problema. Recentemente este algoritmo foi utilizado em uma simulação realista de propagação de trinca 12 onde todos os aspectos mencionados tiveram importância fundamental. O corpo deste trabalho é dividido em três seções principais. A seção seguinte descreve os passos do algoritmo em detalhes. A Seção 3 mostra medidas empíricas da qualidade dos elementos gerados para um número de exemplos. A Seção 4 descreve medidas empíricas de performance assintótica do algoritmo. 2 DESCRIÇÃO DO ALGORITMO A entrada de dados para o algoritmo é a descrição faceteada do contorno da região onde a malha vai ser gerada. Isto é dado por uma lista de nós, definidos por suas coordenadas, e por uma lista de faces triangulares, definidas por sua conectividade nodal. Este tipo de entrada de dados pode representar geometrias de qualquer forma, incluindo buracos ou trincas, e pode ser facilmente incorporado em qualquer sistema de elementos finitos. O algoritmo está organizado nas seguintes fases: 1. Geração da octree 1.1. Inicialização baseada na malha de contorno 1.2. Refinamento para forçar o máximo tamanho de célula 1.3. Refinamento para garantir disparidade de tamanho mínima entre células adjacentes 2. Procedimento de avanço da fronteira 2.1. Geração de elementos baseada em geometria 2.2. Geração de elementos baseada em topologia 2.3. Geração de elementos baseada em procedimento de volta-passo com remoção de elemento 3. Melhoria local da malha 3.1. Suavização Laplaciana com testes de validação 3.2. Avaliação de qualidade e procedimento volta-passo local com remoção de elemento 2.1 Geração da octree O objetivo primário da octree é gerar orientação para o tamanho dos elementos a serem gerados durante o procedimento de avanço da fronteira. A distribuição do tamanho de elemento através de uma região é inferida pela distribuição de tamanho na malha de contorno fornecida como dado de entrada. A geração da octree envolve três passos. No primeiro passo, a octree é inicializada baseada nos dados de entrada. Nos outros dois passos, ela é refinada subseqüentemente. As Figuras de 1 a 4 são usadas para ilustrar o processo de geração da octree, o que para melhor compreensão, mostram um exemplo bidimensional usando uma árvore quaternária (quadtree). Pode-se inferir pelo exemplo bidimensional, os procedimentos analógos que acontecem em três dimensões, que são difíceis de serem mostrados em figuras. Estes procedimentos têm sido 4

5 reportados em vários trabalhos da literatura, como por exemplo no trabalho do grupo de Shephard Inicialização da octree baseada na malha de contorno Inicialmente, um cubo limitante é criado baseado no intervalo máximo de qualquer uma das três coordenadas cartesianas do modelo fornecido. Esta é a célula raiz da octree. A Figura 1 ilustra um exemplo hipotético bidimensional representado pelo seu modelo e seu refinamento do contorno. Este modelo tem uma trinca de aresta na sua extremidade direita, onde na ponta da trinca o contorno é contraído como se tivessem sido colocados elemento especiais de ponta de trinca. O objetivo deste exemplo, além de descrever o funcionamento do algoritmo, é mostrar sua eficiência em gerenciar modelos com geometrias complexas, como por exemplo com a existência de trincas. O modelo de contorno apresenta um grau de refinamento crescendo do lado esquerdo para o lado direito do modelo. Figura 1 Modelo hipotético bidimensional e seu contorno inicial. Figura 2 Modelo bidimensional e sua quadtree inicial. No primeiro passo da geração da octree, representado por sua inicialização, cada face da malha de contorno fornecida é usada para determinar a profundidade local da subdivisão. A célula da octree contendo o centróide de cada face do contorno fornecida é determinada. Se a área da face dessa célula (cada célula é um cubo com seis faces iguais, então qualquer face pode ser usada) é maior do que a área da face do contorno, então essa célula é subdividida em oito células menores. Este processo é repetido recursivamente e acaba quando a área da face da célula é menor que uma constante vezes a área da face do contorno em questão. Nesta implementação usou-se um fator de refinamento de 0.4. O uso deste fator é também recomendado por outros trabalhos encontrados na literatura 13 para evitar o refinamento excessivo na geração da octree. Este processo é repetido para todas as faces dos dados de entrada. Os resultados estão ilustrados na Figura 2 para o modelo bidimensional Refinamento da octree O passo anterior pode deixar células grandes da octree no interior da região. Em um segundo passo, a octree é refinada para garantir que não hajam células no interior maiores do 5

6 que a maior célula gerada no contorno do modelo pelos procedimentos do passo anterior. Isto irá evitar a existência de elementos excessivamente grandes no interior do domínio. A Figura 3 mostra a quadtree resultante após esta operação para o exemplo bidimensional. Figura 3 Modelo bidimensional e sua quadtree após passo de maior célula no contorno. Figura 4 Modelo bidimensional e sua quadtree após forçar um único nível de diferença. A octree é então processada em um terceiro passo, para forçar um único nível de diferença de refinamento entre células vizinhas. Isto garante uma transição natural entre regiões de graus de refinamento diferentes. Essa operação é realizada percorrendo a octree e examinado o nível de refinamento entre células adjacentes. Se a diferença for maior que um nível, as células apropriadas são refinadas até que o critério seja satisfeito. A Figura 4 mostra a quadtree gerada para o exemplo bidimensional após esse procedimento. 2.2 Procedimento de avanço da fronteira O procedimento de avanço da fronteira começa com a superfície que contorna uma região. Elementos volumétricos são extraídos da região um por vez. A cada elemento que é extraído, a superfície da fronteira é atualizada e o processo é repetido. O procedimento termina quando a malha na região inteira é gerada, ou quando restam uma ou mais cavidades internas onde não podem ser geradas malhas, de onde elementos válidos não podem ser extraídos. No presente algoritmo, o processo de avanço da fronteira é dividido em três fases para melhorar a qualidade dos elementos gerados e para garantir a geração de malhas volumétricas válidas. Em uma primeira fase, uma geração de elementos baseada em geometria é tentada, para gerar elementos de forma ótima. Após essa fase ideal ser exaurida, e elementos ótimos não poderem mais ser gerados, uma fase de geração de elementos baseada em topologia é iniciada, tentando formar elementos válidos, mas não necessariamente de boa forma, no restante da região onde a fase anterior não pôde formar elementos. Na fase final, um procedimento de volta-passo é usado para remover faces de elementos que estão atrapalhando o algoritmo para completar a malha Geração de elementos baseada em geometria 6

7 Idealmente, a malha inteira seria gerada na fase de geração baseada por geometria. Entretanto, isto depende da geometria e da topologia do contorno do modelo fornecido. Observou-se durante o desenvolvimento do algoritmo descrito neste trabalho que a qualidade dos elementos gerados é fortemente relacionada com a qualidade da malha de contorno fornecida como dado de entrada Listas de contração do contorno O processo começa com a criação de uma fronteira de avanço inicial, que é formada pela malha de contorno fornecida. A malha de contorno corrente é armazenada em duas listas separadas. A primeira é a lista de faces ativas, que incluem todas as faces da malha de contorno que ainda não foram usadas na tentativa de formar um tetraedro válido. A outra é a lista de faces rejeitadas, isto é, com as faces que falharam na geração de elementos para a fase corrente. Inicialmente, no começo do algoritmo, todas as faces da malha de contorno fornecida como dado de entrada são armazenadas na primeira lista, que é a lista usada na fase de geração de elementos baseada em geometria. A lista de faces ativas é ordenada pela área das faces. Isto assegura que a primeira face selecionada dessa lista será sempre a face com a menor área. Isto tem sido recomendado por outros autores também 6 para prevenir que grandes elementos a serem gerados penetrem em regiões com faces de áreas pequenas. Foi também considerado conveniente para algumas fases do algoritmo ter-se uma estrutura de dados adicional que contenha a lista de faces de contorno adjacentes a cada nó da fronteira de avanço corrente. Esta estrutura de dados é inicializada para todos os nós da malha de contorno fornecida e então é atualizada à medida que a contração do contorno realizada pelo procedimento de avanço da fronteira progride Geração de elementos ótimos Na fase de geração de elementos baseada em geometria, a malha de contorno corrente avança tentando formar tetraedros baseando-se principalmente em considerações geométricas. A cada passo, uma face triangular do contorno corrente, chamada de face base, é escolhida da lista de faces ativas. Esta face tem a menor área na fronteira corrente e sua normal aponta para o interior da região onde a malha está sendo gerada. A fronteira de avanço corrente é representada por todas as faces existentes a cada passo do algoritmo. O procedimento para a formação de um tetraedro nesta fase é explicado por meio da Figura 5. Este procedimento é dividido nas seguintes fases: A localização ótima N 1 para o vértice do tetraedro a ser formado é determinada com a ajuda da octree. A célula da octree contendo o centróide M da face base é determinada. O ponto ótimo N 1 se localiza na linha perpendicular à face base e passando através deste centróide. A distância deste ponto ótimo para o centróide da face base é igual ao tamanho da célula da octree. O ponto ótimo define uma região de busca onde o vértice do novo tetraedro será localizado. Esta região é um setor de esfera cujo centro é o ponto ótimo e cujo raio é 7

8 proporcional ao tamanho da célula da octree. Na implementação corrente uma constante de proporcionalidade de 1.0 foi adotada. Esta esfera define um limite superior para a distância entre o vértice alvo do tetraedro e o centróide da face base. Um limite inferior é também determinado para garantir que tetraedros gerados terão um volume maior do que o menor volume aceitável. Na implementação corrente, este limite inferior é definido por um tetraedro com altura igual a 1/10 da distância entre N 1 e M. A região ótima é usada por duas razões. Primeiro, para garantir a qualidade da forma dos elementos a serem gerados, e, segundo, para garantir que novos nós internos serão criados somente quando estritamente necessários e sempre em boas posições. A Figura 5 mostra, baseado nos limites descritos, que os pontos Q 1 e Q 2 são aceitáveis para formar um novo tetraedro, ao passo que os pontos Q 3 a Q 5 não são. Figura 5 Determinação do tetraedro ótimo em três dimensões. Se nenhum nó existente na fronteira corrente está dentro da região ótima, um novo nó é inserido na posição ótima N 1 e um tetraedro é gerado usando-se este nó. Se somente um nó existe na região ótima, então este nó é usado para formar o tetraedro. E se mais de um nó existir dentro da região ótima, estes nós são classificados segundo o ângulo sólido que eles formam com a face base. O nó que formar o maior ângulo sólido é usado para gerar o tetraedro. O ângulo sólido é avaliado projetando-se a face base em uma esfera de raio unitário cujo centro é o vértice i e computando-se a área do polígono esférico assim determinado 14, como mostrado na Figura 6. Testes geométricos adicionais são realizados para garantir que as faces do novo elemento não interceptam qualquer face existente na fronteira de avanço corrente. Se esse for o caso, o elemento é rejeitado. 8

9 Figura 6 Definição do ângulo sólido para um vértice i de um tetraedro. Para problemas com trincas podem existir dois ou mais nós com as mesmas coordenadas. A Figura 7 ilustra este caso para um exemplo bidimensional no lado esquerdo. Esta figura também mostra uma situação tridimensional, no lado direito. O algoritmo seleciona o nó apropriado usando um teste simples que é baseado nas listas de faces de contorno adjacentes ao nós na fronteira de avanço. Quando dois nós candidatos na superfície da trinca são selecionados para formar um elemento, o nó que se localiza no mesmo lado da face base com respeito à superfície da trinca é escolhido. As normais às faces da trincas adjacentes aos nós selecionados são usadas para realizar este teste. Este teste assume que todas as superfícies de trinca são suaves, o que não é uma simplificação muito grande, visto que isto acontece na maioria dos problemas deste tipo. Figura 7 Seleção de um nó candidato na superfície da trinca. Quando um tetraedro válido é formado para a face base corrente, a lista de faces ativas é atualizada. Isto é feito através dos seguinte passos. Primeiro, a face base é removida da lista. Então, para as outras faces do elemento, cada face é removida se coincide com uma face já existente na lista, ou a face é inserida na lista como uma nova face. Esta inserção é feita mantendo-se a ordenação da lista de faces ativas com relação à área das faces. Devido à limites geométricos impostos pela fronteira corrente, existem situações onde o algoritmo falha em formar um tetraedro válido para uma face base da fronteira corrente. Nestes casos, esta face base é removida da lista de faces ativas e inserida em uma lista separada de faces rejeitadas. Pode acontecer que uma face seja subseqüentemente 9

10 removida dessa lista de faces rejeitadas se ela for usada para tomar parte na formação de um tetraedro válido por uma face base adjacente à ela. Quando não existem mais faces na lista de faces ativas, o algoritmo tenta formar tetraedros usando as faces que foram rejeitadas previamente. Algumas faces que falharam previamente agora podem funcionar porque a fronteira mudou com a adição de novos tetraedros. Um procedimento similar é mencionado na literatura 9. A fase de geração de elementos baseada em geometria acaba quando, ou não existem mais faces remanescentes nas listas de contração de contorno (em cujo caso uma malha ótima for gerada), ou quando uma face rejeitada falha em formar um tetraedro pela segunda vez Geração de elementos baseada em topologia O objetivo desta fase do algoritmo é forçar a geração de tetraedros válidos se possível, mesmo que esses novos elementos não satisfaçam os limites superior e inferior usados na fase anterior para formar tetraedros. A fase de geração de elementos baseada em topologia começa quando uma face da fronteira de avanço falha duas vezes tentando formar um tetraedro ótimo. A lista de faces rejeitadas da fase anterior é transformada na lista de faces ativas e, analogamente à fase de geração baseada em geometria, uma lista de faces rejeitadas é criada para faces que eventualmente falhem na formação de tetraedros válidos. Na fase de geração baseada em topologia, qualquer nó perto da face base corrente é selecionado e armazenado numa lista de nós candidatos. O nó que forma o maior ângulo sólido com a face base é escolhido para a formação do novo tetraedro. Se as faces deste tetraedro não interceptam qualquer outra face da fronteira de avanço corrente, o tetraedro é criado e a fronteira de avanço é atualizada de acordo. Como na fase de geração baseada em geometria, a fase de geração baseada em topologia acaba quando a lista de faces ativas está vazia, ou quando uma face da fronteira de avanço é rejeitada duas vezes devido à problemas de interseção Geração de elementos baseada em volta-passo com remoção de elemento Algumas vezes os procedimentos realizados nas fases anteriores são não suficientes para gerar uma malha válida. Considere o poliedro mostrado no centro da Figura 8. A única maneira possível de se gerar uma malha sólida de tetraedros dentro deste poliedro é inserindo um novo nó no seu centro. Elementos válidos podem então ser formados conectando-se este nó às faces triangulares do contorno do poliedro. Existem casos, entretanto, em que este tipo de construção não é possível, como o do poliedro do lado esquerdo da Figura 8. Este poliedro não possui um núcleo onde qualquer ponto é visível através de uma linha reta de todos os seus vértices 15. No presente algoritmo, a solução para este problema é localmente modificar a fronteira de avanço, removendo alguns tetraedros adjacentes já formados até que um poliedro aproximadamente convexo e sem malha seja formado. É interessante observar que este problema não tem correspondência em duas dimensões, pois pode ser provado 16 que qualquer poliedro que não se auto-intercepta pode ser triangularizado sem a necessidade da inserção de vértices adicionais. 10

11 Figura 8 Transformação de um poliedro em um convexo. O procedimento usado para transformar um poliedro de má forma, onde não é possível gerar-se elementos, em um com um núcleo visível é explicado como se segue: O contorno do poliedro de má forma relacionado à face base corrente é identificado. Um teste de visibilidade é realizado. Este teste consiste em computar-se as coordenadas do centróide do poliedro e contar o número de interseções que ocorreriam, para cada face do poliedro, se retas fossem criadas do centróide para todos os vértices do poliedro. Se houver pelo menos uma interseção para qualquer uma das faces do poliedro, este poliedro deve ser modificado. Isto é feito removendo-se o elemento correspondente à face que têm o maior número de interseções. Este processo é repetido até que o centróide seja visível por todos os nós do poliedro. A Figura 8 ilustra a transformação de um poliedro de má forma em um poliedro convexo após uma face interceptada detectada pelo teste de visibilidade é removida. Neste exemplo, uma reta criada do nó b para o centróide intercepta a face acd. Isto resulta na remoção do elemento identificado pelos nós a, b, c e d. O poliedro resultante é mostrado no centro da Figura 8. Esta figura também mostra os elementos tetraédricos formados após a inserção de um nó no centróide do poliedro transformado. É possível que o processo de achar um poliedro aproximadamente convexo possa falhar se faces a serem removidas fizerem parte da malha de contorno original, onde obviamente não podem ser modificadas. Quando isto ocorre, os elementos relacionados à faces internas com número de interseções maior que zero são removidos e o processo de extração é reinicializado. Se neste poliedro ainda não se pode gerar uma malha, o algoritmo falha e termina, pois não há mais nada a ser feito. Isto, entretanto, não foi ainda observado para um sem número de exemplos já testados usando-se o algoritmo em questão. 2.3 Melhoria local da malha Nas duas últimas fases do procedimento de avanço da fronteira, tetraedros de má-forma podem ser formados. Esta seção descreve procedimentos de modificação local da malha feitos a posteriori para melhorar a qualidade desses elementos. O primeiro é uma técnica de suavização convencional baseada em relocação nodal, que usa a média das coordenadas nodais, com testes de validação. O segundo é um procedimento de volta-passo, similar ao da última fase do procedimento de avanço da fronteira, que remove faces de elementos de máforma para criar uma região onde tetraedros de melhor forma possam ser formados. 11

12 O procedimento de melhoria local da malha implica que medidas de qualidade da forma dos elementos são necessárias. Este tópico é bem representado na literatura 17,18,19,20,21,22,23, 24,25,26,27. A métrica adotada neste presente trabalho é a razão normalizada entre a raiz quadrada da média dos quadrados dos comprimentos das arestas do tetraedro (S rms ), equação (1), e o volume V do tetraedro 25, tal como mostrado na equação (2). Na definição de S rms, S i é o comprimento de uma aresta do tetraedro. S rms = γ = S 5 S (1) i i= 0 3 rms / V (2) Esta métrica gera uma boa medida de qualidade e é computacionalmente eficiente. A faixa de valores válidos varia de 1 ao infinito ([1, ]), e o valor ótimo para o tetraedro regular é aproximadamente Suavização Laplaciana com testes de validação A técnica de suavização é usada para melhorar a qualidade da malha relocando-se nós dentro de um conjunto de elementos. Uma formulação geral para esta técnica é dado através da equação (3), que é uma forma genérica da função Laplaciana 28 com pesos. X n i = X + φ m n+ 1 = 1 O O n n ϖio( Xi XO ) m ϖ (3) i= 1 Na equação (3), m é o número de nós conectados ao nó O, X O é a posição do nó O na iteração n+1, ϖ io é a função com pesos entre os nós i e O, e φ é o parâmetro de relaxação que é normalmente usado no intervalo [0, 1]. Em teoria, esta técnica de suavização providencia a relaxação dos nós interiores de uma malha e resulta em uma malha de melhor qualidade. Em três dimensões, entretanto, esta técnica pode ocasionalmente resultar em elementos inválidos com volumes negativos. Tem sido sugerido reduzir o valor do coeficiente de relaxação φ para diminuir as chances que esse problema ocorra 27. Existem casos, entretanto, onde somente isso não é suficiente para melhorar a qualidade da malha inteira. Neste trabalho, um valor de 0.5 para φ foi adotado, e o procedimento de suavização é repetido 5 vezes. A cada passo de suavização, após calcular-se a nova posição de cada nó interno, um teste de consistência é realizado. Este teste verifica se um elemento adjacente ao nó terá um volume negativo para a nova posição do nó, em cujo caso a relocação deste nó não é realizada Avaliação da qualidade e volta-passo local com remoção de elemento A suavização Laplaciana não é suficiente para melhorar a qualidade de malha. Neste trabalho, um procedimento de volta-passo é proposto para mais eficientemente melhorar a qualidade da malha volumétrica gerada. Este enfoque pode também ser usado para qualquer malha; ele não é específico para o presente algoritmo. O procedimento de volta-passo consiste em remover um elemento que é classificado como um elemento de qualidade pobre e um grupo de elementos na sua vizinhança. A io 12

13 classificação do tetraedro ruim é baseada em uma métrica específica, que neste trabalho é a métrica γ, mostrada na equação (2). Para cada elemento da malha gerada, a métrica de qualidade γ é avaliada. Se o valor desta métrica está fora de uma faixa pré-estabelecida, o elemento é classificado como de má-qualidade. Os limites superiores e inferiores para esta faixa são determinados empiricamente, baseados em experimentos e observações. Neste trabalho, o limite inferior é 5.0 e o limite superior é o valor ótimo para esta métrica de 8.5 multiplicado por um fator de 30. Esta faixa produz elementos de formas bastante razoáveis e de boa qualidade para a maioria das aplicações a que este algoritmo de destina. O objetivo do procedimento de volta-passo é remover as faces dos elementos envolvendo um elemento ruim para criar um poliedro local onde uma nova malha pode ser gerada com elementos de melhor qualidade. Um poliedro local onde será gerada uma nova malha é criado removendo-se todos os elementos adjacentes ao elemento ruim. Isto é ilustrado por meio da Figura 9, que mostra um caso bidimensional análogo. Na consideração de elementos adjacentes, o primeiro passo considera somente os elementos que compartilham uma face (aresta) com o elemento ruim. Em um segundo passo, a vizinhança é estendida para considerar também os elementos que compartilham uma face com os elementos identificados no passo anterior e uma segunda face com um outro elemento identificado neste segundo passo. Esta extensão da vizinhança tem como objetivo evitar que regiões não-convexas sejam formadas e elementos ruins sejam gerados, como se pode ver pela Figura 9, que mostra os dois casos. Figura 9 Procedimento de volta-passo bidimensional em volta de um elemento ruim. Após a criação do poliedro local, uma tentativa é feita para gerar os elementos inserindo-se um nó no centróide do poliedro, como mostrado na Figura 9. Se isto não funcionar, o procedimento de volta-passo descrito na Seção é empregado. Tem sido observado que resultados melhores são obtidos se volta-passo /regeneração é intermediado com a suavização. No presente algoritmo isto é repetido 5 vezes. 3 QUALIDADE DA MALHA Nesta seção, um estudo da qualidade de malhas geradas pelo algoritmo proposto é apresentado. Uma métrica α é usada, que é definida por 3R i /R c, onde R i e R c são os raios das esferas inscritas e circunscritas, respectivamente. Esta métrica é igual a 1.0 para o tetraedro 13

14 ótimo e elementos achatados tem valores menores que 0.1. A métrica α, ao invés da métrica γ descrita na seção anterior e usada dentro do algoritmo, foi adotada no presente estudo porque sua interpretação é mais intuitiva e é mais referenciada na literatura. Neste estudo, dois modelos foram considerados: uma parte de uma peça mecânica de fechamento de uma turbina e uma parte de uma engrenagem (mostrado nas Figuras de 10 a 13). Estes dois exemplos possuem pequenas superfícies internas com trincas, o que confere um grau maior de complexidade aos modelos. Figura 10 Malha para o exemplo da peça de turbina, com detalhe na região da trinca. Figura 11 Detalhe da malha mostrando uma trinca interna para o exemplo da peça de turbina. Na esquerda, malha da região da trinca; na direita, malha da região da trinca incluindo a malha da face da trinca. Figura 12 Malha para o exemplo da engrenagem, com detalhe na região da trinca. 14

15 Figura 13 Detalhe da malha mostrando uma trinca interna para o exemplo da engrenagem. Na esquerda, malha da região da trinca; na direita, malha da região da trinca incluindo a malha da face da trinca. Histogramas do número de elementos gerados em várias faixas de α são mostrados nas Figuras 14 e 15. Estas figuras mostram a distribuição antes (barras à esquerda, de azul), e depois (barras à direita, de vermelho) da aplicação dos procedimentos de melhoria da qualidade da malha (suavização e volta-passo ). A Tabela 1 mostra algumas estatísticas relacionadas a α para os três exemplos. Pode ser observado que a maioria dos elementos são localizados na faixa de 0.7 a 0.8 representando elementos de boa forma, mesmo antes da aplicação dos procedimentos de melhoria da qualidade da malha. Entretanto, existe um número representativo de elementos (de 1.76% a 3.77%) com α menor que 0.1 que indica elementos não desejáveis. Após a aplicação dos procedimentos de melhoria da qualidade da malha, esse número cai significativamente (de 0.49% a 0.90%). É importante mencionar que a maioria dos elementos de má-forma são localizados no interior do modelo, longe da fronteira da trinca ou de regiões de concentração de tensão no contorno, onde elementos melhores são desejados. Isto acontece porque, como o algoritmo avança do contorno, é muito provável que os melhores elementos sejam gerados perto deste contorno, onde a fase de geração de elementos baseada em geometria pode ser empregada sem maiores problemas. 15

16 Figura 14 Histograma de qualidade dos elementos para o exemplo da peça de turbina. Figura 15 Histograma de qualidade dos elementos para o exemplo da engrenagem. Exemplo Histograma #Elementos α médio α min α max Peça Turbina Antes Peça Turbina Depois Engrenagem Antes Engrenagem Depois Tabela 1 Valores estatísticos relacionados à qualidade para todos os exemplos. 4 PERFORMANCE DA GERAÇÃO DA MALHA Uma análise formal da complexidade computacional do algoritmo proposto seria difícil, especialmente considerando específicos passos como o procedimento de volta-passo. Apesar disso, uma estimativa realística da performance esperada do algoritmo é muito importante para o seu uso prático. Nesta seção um estudo empírico da performance do algoritmo é apresentado. Uma complexidade computacional O(NlogN) tem sido reportada na literatura para técnicas de avanço da fronteira, com N sendo o número de elementos gerados 7,29. Tem sido também reportado que uma performance O(N p logn), com p ligeiramente maior que 1.0 é uma medida mais realística 8,9. Esta complexidade computacional é usada aqui. Para este estudo, seis discretizações para dois exemplos foram considerados. O primeiro é um toro, onde as malhas inicial e final são mostradas na Figura 16. Um problema similar foi também analisado em outro trabalho 8, e uma performance O(N p logn) foi reportada. O segundo exemplo é um cubo com um cilindro interior inclinado representando um furo no modelo. As malhas inicial e final são mostradas na Figura 18. A performance foi medida com o uso do tempo total para o programa rodando em uma SUN SPARC STATION 20. Um ajuste de mínimos quadrados dos tempos medidos com relação à equação tempo = CN p logn foi realizado para os dois exemplos. Os parâmetros resultantes do ajuste são C = e p = 1.24 para o toro, e C = e p = 1.28 para o cubo. Isto está mostrado nos gráficos das Figuras de 17 e

17 Pode ser observado pelos gráficos que, em ambos os casos, estas equações modelam a performance do algoritmo bem acima da faixa de tamanho de malhas estudado. Entretanto, os parâmetros computados para os dois modelos diferem razoavelmente, especialmente para os valores de C. Isto enfatiza a influência dos dados de entrada na performance do algoritmo. Como esperado, mais tempo de execução é necessário para geometrias mais complexas. Figura 16 Discretização inicial e final do toro. Figura 17 Tempos de geração de malha para o toro. Figura 18 Discretizações inicial e final para o cubo com um vazio cilíndrico. 17

18 Figura 19 Tempos de geração de malha para o cubo com um vazio cilíndrico. 5 CONCLUSÕES Um algoritmo para geração de malhas não-estruturadas de tetraedros para domínios de forma arbitrária foi descrito. O algoritmo incorpora aspectos de geração de malha bem conhecidos da literatura e incorpora alguns passos originais. O algoritmo funciona para regiões arbitrárias, incluindo regiões com certas restrições geométricas, como trincas e buracos, o que confere um grau de complexidade maior a esses problemas. O algoritmo foi desenvolvido para atender a três requisitos específicos: O algoritmo evita a geração de elementos de má qualidade em relação à sua forma. O algoritmo pode gerar malhas que se conformam com malhas triangulares existentes no contorno de um domínio. O algoritmo gera malhas que exibem uma boa transição entre regiões de tamanhos de elementos distintos. A entrada para o algoritmo é uma malha triangular de superfície, que descreve o domínio onde a malha volumétrica será gerada. Os passos do algoritmo são: Uma octree é gerada para controlar a distribuição de nós gerados no interior do domínio. Um procedimento de avanço da fronteira em duas fases é usado para gerar os elementos. No primeira fase, elementos são gerados baseando-se em critérios geométricos que produzem elementos de boa forma. Na segunda fase, elementos são gerados baseando-se somente no critério de que sejam topologicamente válidos. Se o procedimento de avanço da fronteira não pode prosseguir, uma estratégia de voltapasso é empregada: alguns elementos são removidos e o avanço da fronteira é reiniciado. Sendo uma malha válida gerada, a qualidade da forma dos elementos é melhorada pelo uso de suavização Laplaciana padrão e removendo-se localmente elementos de máqualidade e os elementos a eles adjacentes, e então reiniciando-se o avanço da fronteira. Um número de exemplos realísticos foram apresentados para demonstrar a distribuição da qualidade das malhas geradas. Foi mostrado que somente uma pequena percentagem (0.49% a 0.90%) do total dos elementos gerados são de má-qualidade com relação à sua forma. Esses elementos ruins são normalmente localizados no interior do modelo, longe das trincas e das regiões de concentração de tensões onde elementos melhores são desejados. 18

19 Dois exemplos foram mostrados para determinar medidas empíricas da performance do algoritmo. Foi mostrado que o algoritmo tem a performance esperada para aplicações práticas. REFERÊNCIAS [1] P.A. Wawrzynek and A.R. Ingraffea, Interactive Finite Element Analysis of Fracture Processes: An Integrated Approach, Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 8, , (1987). [2] T.S. Lau and S.H. Lo, Finite Element Mesh Generation Over Analytical Curved Surfaces, Computers & Structures, 59, , (1996). [3] R.H. Lewis, Y. Zheng and D.T. Gethin, Three-dimensional Unstructured Mesh Generation: Part 2. Surface Meshes, Computer Methods in Applied Mechanics, 134, , (1996). [4] L.C. Gomes Coelho, Gattass M. and L.H. Figueired, Intersecting and Trimming Parametric Meshes on Finite Element Shells, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47, , (2000). [5] K. Anastasiou and C.T. Chan, Automatic Triangular Mesh Generation Scheme for Curved Surfaces, Communications in Numerical Methods in Engineering, 12, , (1996). [6] J. Peraire, J. Peiro, L. Formaggia, K. Morgan and O.C. Zienkiewicz, Finite Euler Computation in Three-dimensions, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 26, , (1988). [7] R. Lohner and P.Parikh, Generation of Three-dimensional Unstructured Grids by the Advancing-front Method, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 8, , (1988). [8] H. Jin and R.I. Tanner, Generation of Unstructured Tetrahedral Meshes by Advancing Front Techniques, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 36, , (1993). [9] P. Moller and P. Hansbo, On Advancing Front Mesh Generation in Three Dimensions, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, , (1995). [10] C.T. Chan and K. Anastasiou, An Automatic Tetrahedral Mesh Generation Scheme by the Advancing Front Method, Communications in Numerical Methods in Engineering, 13, 33-46, (1997). [11] A. Rassineux, Generation and Optimization of Tetrahedral Meshes by Advancing Front Technique, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 41, , (1998). [12] B.J. Carter, P.A. Wawrzynek and A.R. Ingraffea, Automated 3-D Crack Growth Simulation, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47, , (2000). [13] M.S. Shephard and M.K. Georges, Automatic Tri-dimensional Mesh Generation by the Finite Octree Technique, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 32, , (1991). 19

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