Diego Aranha, Danilo Câmara, Julio López, Leonardo Oliveira, Ricardo Dahab. Instituto de Computação - UNICAMP

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1 Ipleentação eficiente de criptografia de curvas eĺıpticas e sensores se fio Diego Aranha, Danilo Câara, Julio López, Leonardo Oliveira, Ricardo Dahab Instituto de Coputação - UNICAMP Financiado por FAPESP, processo 27/695-. Redes de sensores se fio Ua rede de sensores se fio é ua rede ad hoc de dispositivos configurados para realizar onitoraento cooperativo.

2 O problea Desafio Proteger ua rede de sensores se fio, onde os nós são escassos e recursos e de natureza descartável. Contribuições Ipleentação eficiente de aritética no corpo F 2 163; Ipleentação eficiente de criptografia de curvas eĺıpticas. A platafora Características do MICAz Mote: Processador ATMega128, MHz; 4KB eória RAM, 128KB eória ROM; Pipeline de 2 estágios; Alto custo de instruções de acesso à eória.

3 Trabalhos relacionados Tabela: Tepos publicados para a ultiplicação de ponto e u MICAz Mote para o nível de segurança de 16 bits. Corpo Trabalho Tepo de execução (s) [Malan et al. 24] 34 [Yan and Shi 26] 13.9 Binário [Eberle et al. 25] 4.14 [Szczechowiak et al. 28] 2.16 [Seo et al. 28] 1.14 [Wang and Li 26] 1.35 [Szczechowiak et al. 28] 1.27 Prio [Gura et al. 24].81 [Uhsadel et al. 27].76 [GrobSchadl 26].745 Frases para lebrar In this paper we consider only prie integer fields since binary polynoial field arithetic, specifically ultiplication, is insuficiently supported by current icroprocessors and would thus lead to lower perforance. This is not the case for arithetic operations over fields GF(2 ). Though these operations could be ipleented in hardware rather efficiently, executing the on standard processors is prohibitively slow.

4 Curvas eĺıpticas Ua curva eĺıptica binária é o conjunto de soluções (x, y) F 2 F 2 que satisfaze a equação y 2 xy = x 3 ax 2 b, onde a, b F 2 co b, e u ponto no infinito. O conjunto de pontos sob a operação (secante e tangente) fora u grupo aditivo. A ultiplicação de ponto é definida pela relação de recorrência: kp =, se k = ; ( k)( P) se k 1; (k 1)P P se k 1. Corpo finito F 2 Base polinoial: a(z) F 2 = 1 i= a iz i. Representação e software: vetor de /8 bytes.

5 Adição e F 2 b a c Quadrado e F 2 a(z) 2 = 1 i= a iz 2i = a 1 z 2 2 a 2 z 4 a 1 z 2 a T 1 a a

6 Multiplicação Karatsuba e F 2 a(z)b(z) = a1b1z [(a1a)(b1b)a1b1ab]z /2 ab a b a1 b1 a b ab (a1 a)(b1 b) ab a1b1 a1b1 c Multiplicação López-Dahab e F 2 T b a c

7 Otiização proposta para Multiplicação López-Dahab b T a c Análise da ultiplicação e F 2 Tabela: Custo e instruções dos algoritos de ultiplicação e F 2. Instruções e função do núero de palavras n Alg. Leituras Escritas XOR LD 4n 2 9n 1 2 t n 2n 2 6n 2 2n 2 13n LD reg. 2n 2 4n 1 2 t n 5n 1 2n 2 11n KaratM 11n 3M(n/2) 7n 3M(n/2) 4n 3M(n/2) Instruções e função de n = 21 Algorito Leituras Escritas XOR López-Dahab LD co registradores KaratsubaLD KaratsubaLD co reg

8 Redução odular Algorito 1 Redução rápida para f (z) = z 163 z 7 z 6 z 3 1. Entrada: a(z) = a[..2n 1]. Saída: c(z) = a(z) od f (z). 1: for i 41 to 21 do 2: t c[i] 3: c[i 21] c[i 21] (t 5) 4: c[i 2] c[i 2] (t 4) (t 3) t (t 3) 5: c[i 19] c[i 19] (t 4) (t 5) 6: end for 7: t c[2] 3 8: c[] c[] (t 7) (t 6) (t 3) t 9: c[1] c[1] (t 1) ( 2) 1: c[2] c[2] & x7 11: return c Otiização para redução odular Algorito 2 Otiização proposta para redução odular rápida. Entrada: a(z) = a[..2n 1]. Saída: c(z) = a(z) od f (z). 1: r b, r c 2: i 21, j 4 3: while i > 3 do 4: R(r b, r c, r a, c[j]), c[i] c[i] r b 5: R(r c, r a, r b, c[j 1]), c[i 1] c[i 1] r c 6: R(r a, r b, r c, c[j 2]), c[i 2] c[i 2] r a 7: i i 3, j j 3 8: end while 9: R(r b, r c, r a, c[22]), c[3] c[3] r b 1: R(r c, r a, r b, c[21]), c[2] c[2] r c 11: c[1] c[1] r a 12: c[] c[] r b 13: return c

9 Análise da redução odular e F 2 Tabela: Custo e instruções dos algoritos de redução odular. Instruções executadas Algorito Leituras Escritas Original Otiização Inversão e F 2 Duas alternativas: Algorito Estendido de Euclides; Modificação do Algorito de Quase Inverso. Segundo algorito executa apenas deslocaentos de 1 bit!

10 Aritética na curva eĺıptica A ultiplicação de ponto foi ipleentada co os algoritos: 4-TNAF e curvas de Koblitz; Método López-Dahab e curvas binárias genéricas. Ipleentação Material: GCC para ATMega128; MIRACL; AVR Siulator Linguagens: C; Assebly. Curvas padronizadas: Curva de Koblitz sect163k1; Curva binária genérica sect163r2.

11 Resultados Tabela: Custo dos algoritos de aritética e F C Assebly Ganho Algorito Ciclos Ciclos % Quadrado Mult. LD co reg Mult. LD (variante) Mult. KaratLD co reg Redução Modular Inversão Resultados Tabela: Custo da ultiplicação de ponto. C Assebly Ganho Algorito Tepo (s) Tepo (s) % 4-TNAF na curva sect163k LD na curva sect163k LD na curva sect163r

12 Coparação - Eficiência Tabela: Coparação entre ipleentações distintas. Os tepos são fornecidos e quantidades de ciclos (c) ou segundos (s). Proposta TinyECCK Linguage C Assebly C Algorito Tepo Ganho Tepo Ganho Tepo Quadrado 725 c 12% 456 c 45% 825 c Multiplicação 9752 c 51% 5433 c 72% 1967 c Redução 621 c 67% 69 c 68% 194 c Inversão c 32% c 57% c 4-TNAF.95 s 17%.69 s 39% 1.14 s LD sect163k1 1.3 s -12%.83 s 27% LD sect163r2 1.6 s -29%.98 s 14% Coparação - Meória Tabela: Custo e bytes de eória para ipleentações distintas. Meória ROM Meória RAM 4-TNAF - versão C TNAF - versão CAssebly LD - versão C LD - versão CAssebly TinyECCK

13 Conclusões e Trabalhos Futuros Novo estado-da-arte para ipleentação de ECC e sensores: Ipleentação eficiente de aritética no corpo F 2 163: Ipleentações ais eficientes de quadrado, ultiplicação e redução odular já publicadas para a platafora; Ipleentação eficiente de criptografia de curvas eĺıpticas: Multiplicação de ponto 39% ais rápida que a elhor ipleentação binária; Multiplicação de ponto 7% ais rápida que a elhor ipleentação pria. Trabalho futuro: ipleentação de eparelhaentos! Conclusões Corpo Trabalho Tepo de execução (s) [Malan et al. 24] 34 [Yan and Shi 26] 13.9 Binário [Eberle et al. 25] 4.14 [Szczechowiak et al. 28] 2.16 [Seo et al. 28] 1.14 Proposta.69 [Wang and Li 26] 1.35 [Szczechowiak et al. 28] 1.27 Prio [Gura et al. 24].81 [Uhsadel et al. 27].76 [GrobSchadl 26].745