Estudo da emissão de partículas leves em reações nucleares com núcleos não fissionáveis na faixa 0,5-2,0 GeV

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS Dissertação de Mestrado Dania Consuegra Rodríguez Estudo da emissão de partículas leves em reações nucleares com núcleos não fissionáveis na faixa 0,5-2,0 GeV Ilhéus-BA 2016

2 Dania Consuegra Rodríguez Estudo da emissão de partículas leves em reações nucleares com núcleos não fissionáveis na faixa 0,5-2,0 GeV Dissertação apresentada ao PROFÍSICA - Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Ciências Exatas y Tecnológicas da Universidade Estadual de Santa Cruz, como pré-requisito para obtenção do título de Mestre em Física Orientador: Prof. Dr. Airton Deppman Coorientador: Prof. Dr. Fermín Garcia Velasco Ilhéus-BA 2016

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5 A minha familia. A meus amigos. A todas aquelas pessoas que contribuíram com a minha formação profissional e humana.

6 Agradecimentos Ao professor Airton pelas discussões feitas do meu trabalho durante a sua visita à UESC e a minha visita na USP. Ao professor Fermin, pela orientação, paciência e por toda ajuda concedida não só no plano profissional, mas também no pessoal. Agradeço a vocês Ivonne, Clarita, Vicky e Llily por me fazer sentir em casa, pelo carinho de mãe e a preocupação constante. A Yuni e Yoel. Ao professor Luzardo e seu esposa Lucy. Ao professor Dani e seu esposa Susana. Ao professor Félix, Guzmán e Oscar. Muito obrigada!! Vocês todos me fizeram sentir perto de Cuba, mesmo na distância. Agradeço a professora Agnes e ao professor Anderson. Eu nunca esquecerei que foram vocês os primeros brasileros que eu conheci. Muito obrigada pelo carinho. Vocês são pessoas que conhecem o jeito de inspirar a outros para toda a vida. Agradeço ao professor Arturo por todo seu apoio incondicional. Agradeço a Del Moreno pelas atenções e por me fazer sentir parte da sua familia. Aos meus colegas de trabalho do CPqCTR. A Karla, Jesser, Isa, Keyla, Maria, Leandro e Filipe pela paciência e disponibilidade que foram essenciais no decorrer de minha pesquisa. Agradeço a toda a equipe de trabalho com o CRISP da USP. A Jose, Ramón e em especial a Evandro pela constante colaboração com meu projeto. A meus colegas de pós-graduação que compartilharam comigo os momentos desse mestrado: Danaisis, Gisell, Johana, Dailer, Orestes, Vitor, Jefferson, Sheldon, Gabriela e Diango. Cada um de vocês têm o seu lugar especial para mim. A todo o corpo docente e os funcionários de PROFISCA. A CAPES pelo apoio financeiro a este projeto.

7 On ne fait jamais attention à ce qui a été fait; on ne voit que ce qui reste à faire. Marie Curie

8 Estudo da emissão de partículas leves em reações nucleares com núcleos não fissionáveis na faixa 0,5-2,0 GeV Resumo Nos últimos anos a investigação de reações de spallation, fissão e fragmentação têm atraído grande atenção devido as aplicações associadas à transmutação dos resíduos nucleares com aceleradores ADS, Accelerator- Driven System. O estudo das colisões núcleo núcleo através de modelos teóricos pode fornecer informação ainda não disponível experimentalmente e é por isso que a dinâmica das reações de spallation têm sido objeto de inúmeros trabalhos utilizando códigos computacionais que tentam descrever tão realista quanto é possível, os processos microscópicos que ocorrem no interior do núcleo ao longo da reação. Entretanto, existem características da evolução dinâmica do sistema de nucleons em interação que ainda não foram estudados, e que precisam ser analisadas. Neste sentido, o objetivo geral do presente trabalho é o aprimoramento dos métodos de cálculo das reações nucleares de spallation induzidas por prótons e fótons a energias intermediarias em núcleos não fissionavéis, sendo utilizado o código de Monte Carlo: CRISP, Collaboration Rio-Ilhéus-São Paulo. Os núcleos alvos estudados foram os siguentes: 12 C, 27 Al, 40 Ca, 65 Zn, 91 Zr, 184 W, 197 Au, 208 P b fazendo-se ênfase no núcleo de 208 P b. De particular interesse neste trabalho resulto ser o estudo da produção de pions mediante a distribuição angular en que são emitidos na fase rápida da cascata intranuclear assim como a multiplicidade de partículas leves durante o processo completo da reação nuclear. Paralelamente foi estudada a termalização do núcleo composto mediante a estatística de Fermi-Dirac e os efetos que mudanças no criterio de parada da cascata intranuclear poderiam ter neste processo. O estudo de reações de spallation via modelos teóricos com base na simulação termina gerando uma base de dados mais completa, preenchendo-se assim a carência de dados experimentais, pois a medição experimental dos mesmos para todas as reações de interesse em toda a faixa de energia é inviável. Palavras-chave: spallation. CRISP. ADS. Pions. Termalização.

9 Study of the emission of light particles in nuclear reactions with non-fissionable nucleus in the energy range of GeV Abstract In recent years, the investigation of reactions of spallation, fission and fragmentation have captured great attention due to the applications associated with the transmutation of nuclear waste at ADS accelerators, Accelerator-Driven System. The study of nucleus-nucleus collisions through theoretical models can provide information not yet available experimentally and that is why the dynamics of reactions of spallation have been the subject of countless works using computer codes that attempt to describe as realistic as it is possible the microscopic processes that happen inside the nucleus throughout the reaction. However, there is characteristics of the dynamic evolution of the nucleons system interaction that have not been studied yet, and that need to be analyzed. In this sense, the general objective of this work, is the improvement of the methods of calculation of nuclear reactions spallation induced by protons and photons at intermediate energies on non-fissionable nuclei, by using the Monte code Carlo: CRISP, Collaboration Rio-Ilhéus-São Paulo.The targets nucleus were studied as follows: 12 C, 27 Al, 40 Ca, 65 Zn, 91 Zr, 184 W, 197 Au, 208 P b making up emphasis at the nucleus of 208 P b. As a particular interest in this work there is the study of pions production by the angular distribution that they are emitted in a rapid cascade phase as well as the multiplicity of light particles during the whole process of the nuclear reaction. In parallel it was studied the thermalization of the composed nucleus by the Fermi-Dirac statistics and the changes that in the intranuclear cascade have the stop criterion by time in this process. The study of spallation reactions through theoretical models based on simulation ends generating a more complete database, is filling so the lack of experimental data, because experimental measurement of the same for all reactions of interest throughout all the energy range is not feasible. Keywords: spallation. CRISP. ADS. Pions. Termalization.

10 Lista de figuras Figura 2.1 O valor médio do número de ocupação de um gás de Fermi-Dirac em função da energia do nível de ocupação Figura 2.2 Representação esquemática do mecanismo da Cascata Intranuclear Figura 2.3 Configuração inicial do núcleo em termos da posição de seus constituintes.. 8 Figura 2.4 Estrutura de camada no espaço de fase dos momentos Figura 2.5 Diagrama do potencial nuclear no modelo de gás de Fermi Figura 2.6 Representação do processo fictício de fotoabsorção onde um núcleon escapa do núcleo sem interagir com os nucleons restantes Figura 2.7 Processo competitivo Evaporação-Fissão Figura 3.1 Exemplo do arquivo de entrada input do MCMC Figura 3.2 Exemplo do arquivo de entrada input do MCEF Figura 3.3 Possível erro do código CRISP em tentativa de rodada do módulo MCEF.. 26 Figura 3.4 Exemplo de arquivo saída (.root) do código CRISP Figura 3.5 Modificação da interação inicial Figura 3.6 Seção de absorção dos píons implementada no código ajustada aos dados experimentais (OLIVE et al., 2014) Figura 3.7 Etapas em que foi dividida a cascata intranuclear para o estudo da termalização do núcleo Figura 3.8 Comando clássico de rodada da cascata intranuclear Figura 3.9 Comando de rodada da cascata intranuclear em paralelo Figura 3.10 Exemplo de duração de estudo de termalização no alvo de 197 Au Figura 3.11 Exemplo de duração do estudo de cascata intranuclear no alvo de 197 Au Figura 3.12 Arquivo Cascade.cc pertencente à pasta cascade dentro do código. Em círculo vermelho, o critério de parada por tempo da cascata intranuclear Figura 4.1 Distribuição angular dos píons negativos na reação p + 12 C Figura 4.2 Distribuição energética dos píons negativos na reação p + 12 C Figura 4.3 Reação p + 12 C. Seção dupla diferencial dos píons positivos. Cascade04 vs CRISP Figura 4.4 Seção dupla diferencial dos píons negativos na reação p + 12 C Figura 4.5 Seção dupla diferencial dos píons positivos na reação p + 12 C Figura 4.6 Seção dupla diferencial dos píons na reação p + 12 C Figura 4.7 Seção dupla diferencial dos píons na reação p + 27 Al Figura 4.8 Reação p + 27 Al. Seção dupla diferencial dos píons positivos. incl45 vs CRISP Figura 4.9 Seção dupla diferencial de píons negativos na reação p + 63 Cu Figura 4.10 Seção dupla diferencial píons negativos. Reações de p+ 12 C, p + 27 Al, p+ 63 Cu. 46

11 Figura 4.11 Seção dupla diferencial píons positivos. Reações de p+ 12 C, p+ 27 Al, p+ 63 Cu. 46 Figura 4.12 Efeitos da modificação no mecanismo de interação inicial. Reação de p + 27 Al, 1000 cascatas Figura 4.13 Efeitos da modificação no mecanismo de interação inicial. Reação de p + 27 Al, cascatas Figura 4.14 CRISP vs HSD model. Reação p + 27 Au Figura 4.15 Resultados relatados para o modelo HSD. Reação p + 27 Al Figura 4.16 Seção de choque de produção de dois píons neutros. Reação γ + 40 Ca Figura 4.17 Seção de choque de produção de dois píons, neutro e carregado. Reação γ + 40 Ca Figura 4.18 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo residual pouco provável Figura 4.19 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo alvo de 27 Al 56 Figura 4.20 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo alvo de 40 Ca 57 Figura 4.21 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo alvo de 56 F e 57 Figura 4.22 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo alvo de 197 Au para 500 MeV e 100 MeV Figura 4.23 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo alvo de 40 Ca para 500 MeV e 100 MeV Figura 4.24 Distribuição Fermi-Dirac nas três fases do estudo para um núcleo alvo de 197 Au para 500 MeV e 100 MeV Figura 4.25 Variação dos parâmetros ξe 1 2 (A, Z) T m e ξe 1 3 (A, Z) T m com o número másico do núcleo alvo Figura 4.26 Variação da multiplicidade de nêutrons emitidos com o aumento da energia do projétil para a reação p P b. Discriminação energética dos nêutrons emitidos Figura 4.27 Multiplicidade média de nêutrons vs. número mássico do núcleo alvo para prótons incidentes de 1200 MeV. CRISP vs Experimental Figura 4.28 Multiplicidade média de nêutrons vs. número mássico do núcleo alvo para prótons incidentes de 1500 MeV Figura 4.29 Multiplicidade média de prótons vs. número mássico do núcleo alvo para prótons incidentes de 1500 MeV Figura 4.30 Multiplicidade de alfa vs. número mássico do núcleo alvo para prótons incidentes de 1500 MeV Figura 4.31 Multiplicidade média de nêutrons vs o aumento da energia do projéctil. CRISP vs 15 códigos OIEA vs data experimental Figura 4.32 Multiplicidade média de nêutrons vs o aumento da energia do projéctil. CRISP vs 15 códigos OIEA vs data experimental

12 Lista de tabelas Tabela 3.1 Ressonâncias 1232 implementadas no código CRISP Tabela 3.2 Ressonâncias 1950 implementadas no código CRISP Tabela 3.3 Ressonâncias N 1440 implementadas no código CRISP Tabela 3.4 Ressonâncias N 1520 implementadas no código CRISP Tabela 3.5 Ressonâncias N 1535 implementadas no código CRISP Tabela 3.6 Ressonâncias N 1680 implementadas no código CRISP Tabela 3.7 Ressonâncias 1700 implementadas no código CRISP Tabela 4.1 Multiplicidade de píons CRISP vs HSD model. Reação p Au com energia do projétil de 0,73 GeV Tabela 4.2 Multiplicidade de píons CRISP vs HSD model. Reação p Au com energia do projétil de 2,5 GeV Tabela 4.3 Distribuição de massa, do número atômico e da energia de excitação. Reação de p + 27 Al na faixa energética de GeV. Sem fazer modificação da interação inicial Tabela 4.4 Distribuição de massa, do número atômico e da energia de excitação. Reação de p + 27 Al na faixa energética de GeV. Depois de fazer a modificação da interação inicial Tabela 4.5 Variação da temperatura nuclear com o andamento temporal da cascata para o núcleo residual da reação de p Au Tabela 4.6 Variação da temperatura nuclear com o andamento temporal da cascata para o núcleo residual de p + 65 Zn Tabela 4.7 Variação da multiplicidade das partículas na reação p Au em condições de rodada Normais (N) e com Termalização (T) Tabela 4.8 Variação da multiplicidade das partículas na reação p + 65 Zn em condições de rodada Normais (N) e com Termalização (T)

13 Lista de abreviaturas e siglas ADS BSFG CBPF CRISP CERN HSD IFUSP MCMC MCEF ETFSI OIEA UESC USP Accelerator-Driven System. Back-Shifted Fermi Gas. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas. Colaboração Rio-Ilhéus-São Pablo. Centro Europeu de Investigação Nuclear. Hadron String Dynamics model. Instituto de Física da Universidade de São Paulo. Monte Carlo Multi-Collision. Monte Carlo Evaporation-Fission. Extended Thomas-Fermi plus Strutinsky Integral. Organização Internacional da Energia Atômica. Universidade Estadual de Santa Cruz. Universidade de São Paulo.

14 Sumário 1 Introdução Fundamento Teórico O Modelo do Gás ideal de Fermi Modelo da Cascata Intranuclear Configuração inicial do núcleo. Posição e momentos dos nucleons O mecanismo do bloqueo de Pauli Potencial nuclear e barreira de Coulomb. Efeito do potencial nuclear na massa efetiva dos nucleons ligados Emissões de pré-equilíbrio A dinâmica da cascata intranuclear. Evolução temporal do sistema Criterio energetico de parada da cascata intranuclear. Cálculo da energia de excitação do núcleo residual Modelo de Evaporação/Fissão Reações nucleares induzidas por prótons. Produção de píons Reações nucleares induzidas por fótons. Produção de píons Materiais e Métodos Código CRISP Arquivos de entrada e de saída do código Ressonâcias implementadas no código Aprimoramento do código Mecanismo de interação inicial Gama produção e absorção de píons Termalização Grandezas/observaveis na análise dos resultados do código. Seção dupla diferencial. Distribuções angular e energética. Seção eficaz da reação por processo. Multiplicidade Resultados Produção de píons Próton produção de píons Distribuição angular e energética dos píons emitidos Seção dupla diferencial dos píons emitidos Efeitos da modificação no mecanismo de interação inicial 47

15 Multiplicidade de píons e outras gradezas de interesse no estudo da cascata intranuclear Gama produção de píons Termalização do núcleo Resultados obtidos para o ajuste do número de ocupação dos níveis a uma função de Fermi-Dirac Análise do critério de parada por tempo da cascata intranuclear Multiplicidade de particulas ligeras (nêutrons, protons, alfas) Análise da variação da multiplicidade com o aumento da energia do projéctil e com o aumento do número mássico do núcleo alvo Análise da comparação CRISP vs os 15 códigos relatados na base de dados da OIEA sendo empleanda a multiplicidade media de nêutrons como parâmetro Conclusão Referências

16 1 1 Introdução As reações nucleares têm sido muito estudadas pela sua importância em dissímeis estudos relacionados com: matéria condensada, estudo de materiais, astrofísica, proteçao radiológica, entre outros. Especialmente, as reações de spallation tornaram-se uma importante ferramentas no estudo da equação de estado e da instabilidade térmica da matéria nuclear. O termo spallation foi originalmente utilizado para descrever reações nucleares induzidas por prótons muito energéticos onde o núcleo alvo era quebrado em vários fragmentos. O processo de spallation pode ser dividido em duas fases. A primeira etapa com uma duração de apróximadamente s é chamada de cascata intranuclear, onde a partícula incidente efetua múltiplos espalhamentos com os nucleons no interior do núcleo dejando ele em estado excitado. A segunda etapa com uma duração apróximada de s corresponde à desexcitação do núcleo composto já seja pela emissão de partículas secundárias ou pelo processo de fissão (GONZALES; C, 2015). A radiação cósmica, por exemplo, tem sido identificada como um dos principais riscos sensíveis a tripulações, aeronaves e equipamentos eletrônicos envolvidos em missões espaciais de longa duração e até mesmo, em vôos comerciais nas altas altitudes. A exposição excessiva tenta-se evitar com a utilização de escudos, os quais visam reter a maior parte da radiação incidente sendo muito complicado garantir efectividade quando são consideradas partículas cósmicas de alta energia devido à extensa produção de partículas secundárias, causadas por reações de spallation entre a radiação corpuscular e o escudo (STRATEVA et al., 2001). Além de contar-se com dados experimentais para determinar parâmetros de avaliação na produção e emissão de partículas no material alvo como (seção de choque diferencial e a energia depositada) no escudo, alguns códigos computacionais baseados no método de Monte Carlo demonstraram ser também ferramentas adequadas para o seu estudo, devido ao fato de possuirem bibliotecas de dados nucleares avaliadas e uma extensão de modelos nucleares implementados em seu algoritmo (VITTI; G, 2012). O método de Monte Carlo tem sido amplamente utilizado no estudo de reações nucleares, pois se um grande número de processos escolhidos aleatoriamente acontecendo de forma simultánea, onde a decisão de cada passo é tomada com base estocástica. O método é muito utilizado tambén na predição das dosis recebidas pelos pacientes em medicina nuclear (CONSUEGRA et al., 2013); (CHERRY et al., 2012) em estudos ambientais (AZBOUCHE et al., 2015), na caracterização de detectores (BRENDT et al., 2012) e no estudo com fótons virtuais para colisões periféricas, (CONSUEGRA; S, 2016); (ARREBATO; D, 2015). No entanto, é o potencial de aplicabilidade das reações de spallation nos reactores ADS o que tem atraído o maior interesse em seu estudo (KELIC; A, 2007); (CHRISTOPHE; J, 2011).

17 Capítulo 1. Introdução 2 Reatores híbridos ADS, ainda em fase de pesquisa e desenvolvimento, têm sido propostos como alternativa aos reatores tradicionais. Os reatores ADS dependem de uma fonte de nêutrons para alimentar a reação em cadeia. Os nêutrons utilizados como fontes são gerados em reações de spallation induzidas por prótons de um acelerador externo. Por conseguinte, o alvo é a interface física e funcional entre o acelerador e o reactor subcrítico. O processo inteiro (a reação de spallation e as fissões no combustível) depende do contínuo bombardeamento do alvo com prótons. Isto faz com que os nêutrons gerados no processo de spallation interajam com os núcleos e mediante a fissão gerem novos nêutrons, dando início assim a uma reação em cadeia que tem uma energia liberada proporcional à intensidade do feixe de prótons do acelerador. Talvez o maior ganho no desenvolvimento desses reactores esteja na possibilidade de transmutar o lixo radioactivo tradicional em elementos com menor meia-vida. Seu funcionamento em regime subcrítico, mesmo que não é favorável à geração de energia para a rede eléctrica, seria o bastante para tornar o reactor auto-suficiente. Observe-se que simplesmente desligando o acelerador, as reações cessam, portanto não há necessidade de barras de controle como nos reactores convencionais o que traz uma consequência de segurança imediata (ANDRADE-II; E, 2012); (MARTINS; B, 2011); (MONGELLI et al., 2005). Com o objetivo de garantir uma melhor segurança do perssoal e do equipamento nos reatores ADS é necessário otimizar o seu desenho e para isso, precisa-se conhecer a multiplicidade das partículas que são emitidas, assim como a sua distribuição angular e energética. Devido ao grande espectro das partículas emitidas, é muito complicado ter medições experimentais de todas as grandezas envolvidas para todas as faixas de energia. Por isso resulta imprescindível a utilização de códigos de transporte que têm implementados modelos para descrever as reações de spallation. Isto justifica que, junto ao desenvolvimento das instalações dedicadas a obter data experimental também têm sido desenvolvidos vários modelos e códigos (IAEA,2016b) para a descrição das mesmas, os quais estão em constante aprimoramente visando que sejam capazes de ter forçã preditiva (TUMBARELL; O, 2016). Nos anos 2008 e 2010 teve lugar o Benchmark of spallation models que tinha como objetivo fundamental avaliar os diferentes códigos que tentam descrever as reações de spallation. Obteve-se como resultado principal que a multiplicidade de nêutrons é a grandeza que melhor é descrita pela maioria dos códigos. As semelhanças entre os diferentes códigos podem ser observadas no emprego do modelo do gas de Fermi na construção do estado inicial do núcleo. No caso de colisões inelásticas os modelos consideram produção de píons e ressonâncias. Os diferentes códigos de cascata intranuclear levam em conta em grau mais ou menos estrito a aplicação do principio de exclusão de Pauli para os estados finais das partículas envolvidas. As principais diferenças residem no tratamento da propagação da cascata intranuclear assim como o critério de parada da mesma que pode ser temporal, energético ou ambos. No modelo HSD (KOWALCZYK; A, 2007), Hadron

18 Capítulo 1. Introdução 3 String Dynamics, é estudado o critério de parada por tempo da fase rápida concluindo que no seu modelo não precisaba ser de mais de 35 fm/c. No presente trabalho serão analisadas reações nucleares de spallation induzidas por prótons a energías intermediárias em alvos não fissionáveis, fazendo ênfase na cascata intranuclear. Fundamentalmente serão estudadas a produção de píons, fenômeno próprio da cascata, assim como o processo de termalização do núcleo. O objetivo geral é: Estudar os mecanismos físicos da emissão de partículas leves em reações nucleares com núcleos não fissionáveis na faixa energética de 0,5-2 GeV. Para atingir o nosso objetivo geral, escolheram-se os seguintes objetivos específicos: ˆ Estudar a produção de píons em reações induzidas por prótons e fótons a partir da obtenção de grandezas tais como: a distribuição angular e energética, a seção dupla diferencial e a multiplicidade. ˆ Realizar um estudo do processo da Termalização do núcleo composto utilizando a teoria estatística de Fermi-Dirac e avaliar os efeitos que tem o critério de parada por tempo da cascata intranuclear na variabilidade dos resultados obtidos. ˆ Estudar a multiplicidade média de partículas leves fazendo ênfase no caso de nêutrons. A estructura do trabalho é a siguinte: no Capítulo 2 se faz uma introdução teórica dos tópicos mais relevantes para o entendimento do trabalho. Posteriormente, no Capítulo 3 são apresentados os principais modelos e ferramentas que ficam implementados no CRISP e são descritas as mudanças que lhe foram feitas visando o seu aprimoramento e a sua capacidade de predição dos processos físicos estudados. O Capítulo 4 é dedicado ao tratamento e análise dos resultados obtidos e o Capítulo 5 contém as conclusões finales do estudo feito assim como as recomendações para estudos posteriores.

19 4 2 Fundamento Teórico 2.1 O Modelo do Gás ideal de Fermi Um gás de Fermi considera que um conjunto de férmions não interagentes está no campo de um poço de potencial de largura R N = r 0 A 1/3. Aproximadamente 1/50 partes do volume nuclear é ocupado pelos nucleons que dentro do núcleo mantêm as suas propriedades individuais. Pode se considerar a substância nuclear por um lado, como um sistema de partículas independentes que interagem e por outro, como um sistema de partículas que dificilmente interagem e que apresentam as características de um estado gasoso. No modelo de gás de Fermi a materia nuclear é representada na forma de um gás de nucleons ideal que ocupa um determinado volume. Pelo princípio de exclusão de Pauli o número de férmions em cada estado quântico é limitado sendo a energia Fermi a energia correspondente ao último nível ocupado. A estatística que resulta deste vínculo leva o nome de estatística de Fermi-Dirac. Na Figura 2.1 é mostrado o comportamento do valor médio do número de ocupação de um gás de Fermi-Dirac em função da energia do nível de ocupação (STARIOLO; D, 2014). Figura 2.1 O valor médio do número de ocupação de um gás de Fermi-Dirac em função da energia do nível de ocupação. Geralmente, o número de ocupação de cada nível é dividido pelo máximo número de ocupação permitido para esse nível, de modo que, a função representada na Figura 2.1

20 Capítulo 2. Fundamento Teórico 5 tenha um valor de 1 nos níveis fechados e um valor menor do que 1 nos outros. No estado fundamental, deve-se ter uma função degrau, exceto quando o último nível não é fechado. O valor médio do número de ocupação vem dado pela equação (2.1). n k = 1 e (ε k ε f ) kt + 1 (2.1) onde ε f é a energia do último nível ocupado quando o núcleo está no estado fundamental o seja, a energía de Fermi, k é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta e ε k, a energia do nível de ocupação k analizado. O momento do estado de ocupação mais alto só vai depender da densidade de nucleons no volume que vem dada pela expressão (2.2). ρ = 2p3 3π 2 (2.2) Para núcleos com A 12 a densidade nuclear é practicamente constante com valor de ρ = partículas/cm 3 sendo a energia de Fermi cerca de 38 MeV, a energia cinética máxima do nêutron de 32 MeV e a energia média dos nucleons de aproximadamente 20 MeV. 2.2 Modelo da Cascata Intranuclear O modelo de cascata intranuclear é uma descrição de um sistema nuclear complexo e excitado na sua evolução no tempo. A principal diferença desta abordagem em relação aos demais modelos similares que tentam descrever a fase rápida da reação consiste na ordenação temporal da cascata onde todas as colisões binárias, reflexões na superfície nuclear e emissões diretas de pré-equilíbrio das partículas são levadas em conta sem qualquer distinção entre partículas ativas e espectadoras. O modelo tem como base fundamental as seguintes particularidades: a matéria nuclear é considerada como um gás de Fermi (modelo utilizado para a obtenção da distribuição de momento), as interações entre nucleons sao do tipo binário e obedecem o princípio de exclusao de Pauli, após cada colisão a velocidade e posição das partículas espalhadas ou produzidas são calculadas classicamente/seguindo princípios clássicos. Como a energia incidente é relativamente alta a cascata intranuclear se considera uma sequência de eventos de partículas individuais onde apenas se tem interações do tipo binário. O projetil interage com apenas um núcleon do núcleo alvo por vez. É importante ressaltar, que cada colisão é tratada independentemente. É considerado também que as partículas se movem em linha reta e que o comprimento de onda de Broglie é o

21 Capítulo 2. Fundamento Teórico 6 suficientemente pequeno em relação ao alcance efetivo das interações nucleares r eff, condição (2.3). λ << r eff << υτ << d; (2.3) onde τ é o tempo de interação, d e υ representam a distância e a velocidade relativas ente os interactuantes na colisão e λ é o comprimento de onda de Broglie. Os nucleons atingidos assim como a partícula incidente têm uma determinada probabilidade que não é desprezível de sair do núcleo carregando uma representativa fração de energia incidente. Quando o projétil é um próton, a interação primária ocorre geralmente com algum núcleon da superfície, podendo acontecer espalhamento de tipo elástico ou inelástico. No caso dos fótons, estes podem interagir mais no interior do núcleo e sua absorção dá origem a ressonâncias nucleônicas. A interação binária não é afectada pela presença de nucleons externos a ela, só vai depender de efeitos de ligação e das correlações binárias núcleon-núcleon causadas pela matéria nuclear (MARTINS; B, 2011). A fase rápida da reação nuclear Figura 2.2 é tratada com a seguinte abordagem. Depois de acontecer a interacão inicial e a correspondente transferença de energia a um ou vários nucleons eles vão a interagir, como já foi dito, mediante interacões binárias. Figura 2.2 Representação esquemática do mecanismo da Cascata Intranuclear.

22 Capítulo 2. Fundamento Teórico 7 Na medida em que o sistema evolui no tempo vai aumentando o número de partículas envolvidas nesta dinâmica multicolisional e a energia vai se distribuíndo entre todos os nucleons. Os tipos de partículas envolvidas neste processo variam de acordo com a energia do sistema; para as energias intermediárias os participantes são nucleons, píons e ressonâncias, enquanto que para as energias altas vão se criar dentro do núcleo mésons leves e pesados. O modelo da cascata intranuclear é mais adecuado para descrever reações nucleares induzidas por nucleons, mas ele pode ser extendido a reações induzidas por fótons. Nas reações induzidas por fótons a energias intermediárias, o núcleon que absorve o fóton é considerado o núcleon iniciador da cascata. A energia desse núcleon vem dada pela energia do fóton incidente e a energia cinética própria do núcleon antes da interação. Nestes casos, como a seção de choque de absorção do fóton é muito pequena, a cascata nao se origina necessariamente na superfície do núcleo, pois a absorção do fóton por um núcleon pode acontecer em qualquer posição no interior do núcleo com igual probabilidade. De modo geral, o que ocorre é a absorção dos fótons por mais de um núcleon. Se o fóton é absorvido por um par próton-nêutron correlacionado, então a energia do fóton incidente é dividida igualmente entre os dois nucleons envolvidos. A análise multicolisional anteriormente descrita é uma das abordagens da cascata intranuclear mais sofisticada em termos de modelos de transporte, já que o destino do sistema vai estar condicionado só com a interação inicial e o estado nuclear fundamental. A sequência ordenada de colisões considera a probabilidade de interação com todas as partículas, baseando-se em suas respectivas seções de choque. Tal abordagem torna natural a verificação de aspectos dinâmicos como as modificações na densidade nuclear e a evolução dos níveis de ocupação. Como ja foi dito, devido aos processos intercolisionais ocorridos, a energia depositada remanescente é redistribuída por colisões elásticas deixando um núcleo residual da cascata em equilíbrio térmico e ainda bastante excitado. Este processo será amplamente discutido no capítulo de resultados. O núcleo residual da cascata vai se desexcitar a partir da emissão de núcleons e partículas alfa, processo conhecido como evaporação e que compete com o processo de fissão nuclear. Este processo de evaporaçãofissão encontra-se incluso no CRISP mediante o módulo chamado MCEF Configuração inicial do núcleo. Posição e momentos dos nucleons Para a simulação do ambiente nuclear e a sua evolução temporal faz-se necessário definir a configuração inicial do núcleo alvo ou seja, definir as posições e momento de todos os seus constituintes, a energia de partícula incidente e o parâmetro de impacto. A configuração inicial do núcleo em termos da posição de seus constituintes é obtida supondo que a densidade nuclear, é homogenea dentro da esfera de radio R N = r 0 A 1/3 sendo r 0 = 1.18fm e A o número massa do núcleo alvo. As coordenadas esféricas de cada

23 Capítulo 2. Fundamento Teórico 8 núcleon (r i, φ i, θ i ) Figura 2.3 são obtidas via Monte Carlo sorteando φ uniformemente no intervalo [0, 2π] e o cosθ no intervalo [-1, 1]. A posição r i é calculada da seguinte forma r i = R N Y 1/3 onde Y é um parámetro sorteado uniformemente no intervalo [0, 1]. Figura 2.3 Configuração inicial do núcleo em termos da posição de seus constituintes. Finalmente, podemos afirmar que a posição inicial dos nucleons no interior do núcleo antes de interagir o projétil, no estado fundamental, só vai depender do raio nuclear, do número mássico do núcleo alvo e da geração de números aleatórios via Monte Carlo. É importante destacar que: não existem restrições desde o ponto de vista quântico em quanto as posições que podem ocupar os nucleons no interior do núcleo. Por outro lado, a distribuição inicial do momento dos nucleons no interior do núcleo é escolhida de modo tal que satisfaz uma distribuição de gás de Fermi. A energia de Fermi para nêutrons e prótons vêm dadas pelas equações (2.4) e (2.5). ɛ p f = 1 2m 0 (3π 2 ) 2 3 ( Z Ω ) 2 3 (2.4) ɛ n f = 1 2m 0 (3π 2 ) 2 3 ( A Z Ω ) 2 3 (2.5) onde Ω é o volume ésferico em que ficam confinados os nucleons 4 3 πr3 0A e m 0 é a massa em repouso do núcleon. O espaço de fase dos momentos Figura 2.4 está definido como um conjunto de camadas concêntricas com volume proprio de 4πp 2 p que satisfaz o modelo de gás de Fermi e o princípio de incerteza de Heisenberg.

24 Capítulo 2. Fundamento Teórico 9 Figura 2.4 Estrutura de camada no espaço de fase dos momentos. No CRISP, os nucleons, ficam confinados num poço de potencial quadrado de comprimento L. Os números quânticos possíveis são caracterizados pelos números inteiros n x, n y, n z e os níveis quânticos são caracterizados pelas componentes p i = n i p. O momento total é dado pela ecuação (2.6) com n inteiro. A condição de n inteiro restringe o número de estados que são possíveis. Por exemplo, para n=1 são possíveis três combinações que multiplicadas pelo grau de liberdade do spin resulta em 6 estados prováveis para o primeiro nível dos prótons e 6 estados prováveis para o primeiro nível dos nêutrons. p 2 = p 2 x + p 2 y + p 2 z = (n 2 x + n 2 y + n 2 z)( p) 2 = n 2 p 2 (2.6) A distribuição anteriormente descrita em termos de posição e momento é uma das características do código CRISP que o diferencia de códigos onde os nucleons são distribuídos uniformemente, entre pótons e nêutrons, para um valor medio da energía de Fermi O mecanismo do bloqueo de Pauli As simulações de reações nucleares tentam representar sistemas fermiônicos em interação. É por isso que tornou-se tão importante tempo atrás desenvolver uma abordagem para tratar a cascata com a inclusão de fenômenos quânticos, como o princípio de exclusão de Pauli. No CRISP, o princípio de exclusão de Pauli está incorporado ao tratamento multicolisional na estrutura das camadas nucleares simétricas do espaço de fase que foram apresentadas en la Figura 2.4. Especificamente o mecanismo fica implementado

25 Capítulo 2. Fundamento Teórico 10 no código da seguinte maneira: Após a interação entre duas partículas o algum processo de decaimento no núcleo, é verificado se houver células disponíveis para os momento dos nucleons obtidos no estado final da reação. Caso não houver, a interação é bloqueada. Se todos os nucleons secundários puderem ser corretamente colocados em algum nível, a interação então será permitida. Quando uma colisão não é bloqueada, o número de ocupação de cada camada é atualizado. Este tratamento implica que não vai ser possível exceder o número de nêutrons e prótons com valor de momento entre [p, p+ p] para uma camada associada a um determinado valor do momento. Este processo vai ser levado em conta em cada passo da cascata e também na fase de construção do estado fundamental inicial do núcleo (GONZALES; C, 2015) Potencial nuclear e barreira de Coulomb. Efeito do potencial nuclear na massa efetiva dos nucleons ligados Embora o potencial de Wood-Saxon descreve melhor a distribuição da densidade nuclear experimental, apresenta a desvantagem prática de que a solução da equação de Schrödinger não resulta ser uma função analítica. Para núcleos pesados, é conhecido que o potencial de Wood-Saxon pode ser substituido com boa aproximação pelo poço quadrado. Estas condições fazem do poço de potencial quadrado um ótimo candidato para que, no cálculo feito pelo código, seja levado em conta o efeito do potencial nuclear médio e possa se descrever de uma forma mais realista a dinâmica do processo da cascata. É importante mencionar que esta abordagem do poço do potencial quadrado tem pouca influência sobre os efeitos quânticos do mecanismo de exclusão de Pauli. Para os mecanismos de excitação nucleares, a aproximação fica bastante razoável, considerando que as emissões durante o pré-equilíbrio não devem ser afectadas significativamente pelo campo médio nuclear. O potencial que finalmente decidiu-se implementar no código para levar em conta o efeito de confinamento é um poço quadrado como é mostrado na Figura 2.5. O pontencial nuclear é da forma V 0 = ɛ f + B onde ɛ f é a energia de Fermi e B é a energia de ligação dos nucleons ao núcleo que é determinada a partir de dados experimentais e é de aproximadamente 8 MeV. Para que os nucleons sejam emitidos devem ter energia suficiente para ultrapassar o valor do potencial. No caso dos prótons, estes devem ultrapassar a energia adicional do potencial coulombiano. A altura da barreira de Coulomb V c é calculada sobre a superfície nuclear e é dada pela equação (2.7). V c = e2 Z 1 Z 2 R N (2.7) onde e 2 = 1.44 MeV/fm e Z 1 e Z 2 são as cargas das partículas respectivamente e R N é o o raio do núcleo.

26 Capítulo 2. Fundamento Teórico 11 Figura 2.5 Diagrama do potencial nuclear no modelo de gás de Fermi. No CRISP também é considerado o efeito de tunelamento através da barreira Coulombiana. Ou seja que é possível a emissão de partículas com energia cinética insuficiente para ultrapassar a barreira calculada pela equação (2.7). Em resumo pode se dizer que o CRISP foi desenvolvido tendo como base fundamental a hipótese de que o potencial nuclear é constante no espaço e no tempo, o seja que é estático e que as trajetórias dos nucleons entre duas interações consecutivas são retilíneas. No caso dos nucleons ligados ao núcleo o Hamiltoniano efetivo vem dado pela equação (2.8). H = T + V = p 2 + m 2 0 V 0 (2.8) Devido à própria complexidade algébrica para tratar a raiz quadrada definida na ecuação (2.8), é conveniente a definição de um novo operador H dado pela equação (2.9). H = p 2 + (m 0 S) 2 (2.9) Se H = H e a massa efectiva dos nucleons ligados fica definida como m = m 0 S sendo S e o potencial escalar a ser determinado. O problema se reduz a resolver o problema

27 Capítulo 2. Fundamento Teórico 12 associado a um núcleon livre mas utilizando o valor da massa reduzida cuja solução imediata é função do momento total do nucleon e vem dada pela ecuação (2.10). m (p) = m V 2 0 2V 0 p 2 + m 2 0 (2.10) A ecuação (2.10) termina representando o efeito dos potenciais nucleares correspondentes frente a uma diminuição de massa dos nucleons na matéria nuclear. No código CRISP a massa efetiva fica sempre fixa durante o cálculo com um valor de m = 0.95 m 0 sendo m 0 a massa livre do núcleon Emissões de pré-equilíbrio Como já foi dito anteriormente o código CRISP assume a altura do potencial nuclear como a soma da energia de Fermi e a energia de ligação dos nucleons ao núcleo. De forma consistente o código simula na fase dinâmica da cascata intranuclear os processos de espalhamento binários, os decaimentos de partículas assim como os processos de transmissão e de reflexão de nucleons na superfície nuclear. As partículas neutras vão ser emitidas quando a sua energia cinética seja maior do que o potencial T cin > V 0, enquanto que as partículas carregadas serão emitidas se a sua energia cinética excede o valor do potencial nuclear e da barreira de Coulomb T cin > V 0 + V c. Na simulação da cascata, se leva em conta que as partículas carregadas têm uma probabilidade real de serem emitidas pelo efeito túnel mesmo quando a emissão é energeticamente impossível. No cálculo feito pelo código é assumido que nas emissões de pré-equilíbrio, a partícula emitida não interage mais com o núcleo e que, a energia de recuo do mesmo e insignificante A dinâmica da cascata intranuclear. Evolução temporal do sistema No código CRISP o processo da cascata intranuclear começa logo após que o projétil interage com um nucleon do núcleo alvo. Uma vez que acontece a interação inicial e são modificados os momentos dos nucleons e/ou são criadas novas partículas fica configurando o estado excitado inicial do núcleo. As partículas do núcleo excitado vão evoluir pelo algoritmo da dinâmica da cascata intranuclear, cujos aspectos básicos serão abordados nesta seção. Uma característica importante do código CRISP é a total independência que existe entre o mecanismo de interação inicial e o algoritmo da dinâmica da cascata intranuclear. Isto facilita muito a capacidade do código de ser adaptado ao estudo de novos processos, só modificado o mecanismo de interação inicial. O processo da dinâmica da cascata intranuclear inclui a evolucão temporal de colisões binárias múltiplas, assim como as emissões de pré-equilíbrio. Como já foi dito

28 Capítulo 2. Fundamento Teórico 13 anteriormente, o MCMC adota apenas colisões binárias entre as partículas. Por isso, o andamento temporal de cada história simulada da colisão entre nucleons é feito por passos, onde o sistema evolui a intervalos de tempo associados na colisão que possui a menor distância de aproximação. A colisão é tratada como um processo instantâneo e para determinar os momentos e energias finais das partículas envolvidas fez-se uso dos princípios de conservação de energia e momento. Enquanto ao ângulo de espalhamento, este é escolhido aleatoriamente seguindo a distribuição angular extraída de dados experimentais para iterações núcleon-núcleon. A evolução temporal do sistema é tratada da seguinte forma. Seja t 0 o tempo inicial onde estabelece-se a configuração da excitação nuclear e t c o instante de tempo de ocorrência de todas as possíveis colisões entre as partículas ligadas i e j então são cumplidas as relações (2.11), para θ < π, e (2.12), para θ π. 2 2 t c t 0 = r ijcosθ v ij (2.11) t c t 0 (2.12) onde, cosθ = r ijv ij r ij v ij, r ij = r ij = r i r j e v ij = v ij = v i v j são as distâncias e velocidades relativas das partículas envolvidas em uma colisão binária. Pode se conhecer usando um tratamento semiclássico se vai haver uma interação entre as partículas i e j. A condição que tem que se cumplir para que os partículas i e j interajam vem dada relação (2.13). πb 2 ij σ ij (2.13) onde b ij é o parâmetro de impacto e σ ij representa a seção de choque total de interação nucleon-nucleon em função da energia no centro de massa do sistema binário. O código calcula os intervalos de tempo (t c t 0 ) para todos os pares de partículas i e j. Depois faz a escolha do menor dos tempos calculados e é verificado se o par de partículas associadas a esse tempo mínimo cumplem a condição (2.13). O próximo passo é comprovar se o momento das partículas associadas ao estado final cumprem ou não o princípio de exclusão de Pauli. Se a colisão for bloqueada, se procura o próximo par de partículas para o qual a relação (2.11) seja mínima e se verifica novamente a condição (2.13) e o princípio de exclusão de Pauli para as partículas geradas no estado final. No caso em que a colisão não é bloqueada, são actualizadas as posições e os momentos de todas as partículas dentro do núcleo.

29 Capítulo 2. Fundamento Teórico Criterio energetico de parada da cascata intranuclear. Cálculo da energia de excitação do núcleo residual No último estágio da cascata, em que nenhuma partícula possui energia suficiente para escapar do núcleo, uma sequência de colisões distribui a energia de excitação nuclear entre todos os nucleons num processo conhecido como termalização. Este processo vai ser avaliado com maior profundidade no capítulo de resultados. Geralmente, as principais características do núcleo não vão mudar neste estágio da cascata, de modo que seu número atômico, número de massa e energia de excitação permanecem os mesmos até o fim do processo. Uma das características do modelo CRISP é a condição de parada da cascata intranuclear que é baseado num critério totalmente energético livre de parâmetros. Na Figura 2.6 é mostrado o processo fictício em que toda a energía de um fóton é transferida a um núcleon ligado, o qual logo após da absorção do fóton escapa do núcleo sem interagir com os nucleons restantes. A cascata intranuclear vai continuar evoluindo enquanto exista pelo menos uma partícula que tenha a energia suficiente para sair do núcleo. Figura 2.6 Representação do processo fictício de fotoabsorção onde um núcleon escapa do núcleo sem interagir com os nucleons restantes. Quando todos os nucleons possuim uma energia cinética menor do que o potencial nuclear do sistema, a fase da cascata intranuclear é encerrada deixando o núcleo num

30 Capítulo 2. Fundamento Teórico 15 estado estacionário. Cada cascata termina tendo o seu próprio tempo de parada, mesmo sendo inicializada pelo mesmo mecanismo de interação e a mesma energia. A existência de píons e ressonâncias fazem parte do critério energetico. No caso de que energeticamente os píons possam se formar é necessário acrescentar critérios de parada adicionais, e assim evitar a existência de mésons e ressonâncias no meio nuclear, quando encerrada a cascata. Por tal motivo decidiu-se forçar às ressonâncias decairem e todos os mésons presentes no meio nuclear serem emtidos, uma vez que a cascata chegasse a seu fim. A energía de exitação do sistema (E*) depois de que é emitida alguma partícula j, vem dada pela equação (2.14). E = E 0 j (T 0 j + B) (2.14) onde E 0 é a energia de exitação inicial do sistema antes de que foram emitidas as j partículas e Tj 0 é a energia cinética assintótica da j-ésima partícula para r (GÓNZALEZ; I, 2014). 2.3 Modelo de Evaporação/Fissão Nesta seção vão ser descritos os métodos de cálculo que foram utilizados no processo de competição entre a evaporação/fissão do núcleo composto. A desexcitação do núcleo Figura 2.7 envolve processos de evaporação, onde só nucleons e partículas alfas escapam do ambiente nuclear e ou processo de fissão, onde são formandos dois núcleos mais leves. Este processo é governado pelas probabilidades relativas dos processos individuais que são determinadas pelos modelos teóricos baseados nas propiedades físicas do sistema (DEPPMAN et al., 2004). Figura 2.7 Processo competitivo Evaporação-Fissão.

31 Capítulo 2. Fundamento Teórico 16 A cadeia evaporativa é governada pelas probabilidades relativas de evaporação nuclear das partículas (nêutron, próton ou alfa) escolhidas aleatoriamente via Monte Carlo, seguindo as taxas relativas dos canais de decaimento e da fissão. A equação (2.15) representa a probabilidade de emissão de qualquer partícula k sobre à probabilidade de emissão da qualquer partícula j seguindo o modelo estatístico de Weisskopf (CUGNON et al., 1987). Γ k = γ k Ek a j exp { 2 [ ]} (a Γ j γ j Ej k E k ) 1 2 (aj E j ) 1 2 a k (2.15) A razão de probabilidade de emissão entre duas partículas emitidas é usualmente expresada em relação a probabilidade de emissão dos nêutrons. Para o caso dos prótons esta vem dada pela equação (2.16) e para o caso das partículas alfa pela equação (2.17). Γ p = E p exp { [ ]} 2(a n ) 1 2 (rp E Γ p) 1 2 (E n ) 1 2 n E n Γ α = 2E α exp { [ ]} 2(a n ) 1 2 (rα E Γ α) 1 2 (E n ) 1 2 n E n (2.16) (2.17) Somente no caso de emissão de partículas, o número atômico, o número de massa e a energia de excitação do núcleo avaliado são atualizados considerando o tipo de partícula que foi emitida. Os parâmetros das densidades de níveis equações (2.18) - (2.21) vêm dados pelas fórmulas empíricas de Dostrovsky onde as a i são parâmetros livres e r f um parâmetro com dependência Z2 A que representa a razão de fissão (DEPPMAN et al., 2006). a n = A a 1 (1 a 2 A 2Z A 2 ) 2 (2.18) a p = A a 3 (1 + a 4 A 2Z A 2 ) 2 (2.19) a α = A a 5 (1 a 6 A )2 (2.20) a f = r f a n (2.21) O potencial de Coulomb para o próton é dado pela equação (2.22) e para a partícula alfa pela equação (2.23). V p = C k p(z 1)e 2 r 0 (A 1) R p (2.22)

32 Capítulo 2. Fundamento Teórico 17 V α = C k α(z 2)e 2 r 0 (A 4) R α (2.23) onde os coeficientes de penetrabilidade da barreira de Coulomb para prótons e partículas alfa são K p = 0.70 e K α = 0.83, respectivamente. Os raios envolvidos são R p = 1.14 fm, R α = 2.16 fm e r 0 = 1.2 fm. A constante C é uma constante relacionada com a correção do potencial devido a temperatura nuclear. No cálculo é usado o valor da unidade tanto para r p como para r α. Com o núcleo filho depois da emissão da partícula evaporada, inicia-se um novo processo de competição evaporação-fissão. Se o canal escolhido fosse a fissão, o ramo de evaporação é interrompido. Dessa forma, com o método adotado, a cadeia evaporativa chega ao fim somente quando a energia de excitação é muito baixa, e nenhuma das partículas podem ser emitidas, ou quando a fissão ocorre. O modelo da gota líquida de Bohr-Wheeler é o modelo utilizado para o cálculo da probabilidade da fissão nuclear. A taxa de probabilidade de fissão em relação a probabilidade de emissão de nêutrons vem dada pela equação (2.24). Sendo K f calculada pela equação (2.25). Γ f = K f exp { 2 [ ]} (a f E Γ f) 1 2 (an En) 1 2 n K f = K 0a n [ 2(af E f) ] 4A 2 3 a f E n (2.24) (2.25) onde E f = E B f, K 0 = MeV e B f é a altura da barreira de fissão. E i está diretamente relacionada com a energia de excitação do núcleo no estado inicial. Para o caso de nêutrons, prótons e alfa vêm dada pelas equações (2.26)-(2.28) onde V i representa o potencial de Coulomb correspondente em cada caso (DEPPMAN et al., 2002). E n = E B n (2.26) E p = E B p V p (2.27) E α = E B α V α (2.28) A energia de ligação dos prótons, equação (2.29), e das partículas alfa, equação (2.30) podem ser calculadas diretamente da definição, mas para o caso do cálculo da energia

33 Capítulo 2. Fundamento Teórico 18 de ligação dos nêutrons é utilizada a fórmula empírica dada pela equação (2.31) que é bem mais precisa. B p = m p + m A 1,Z 1 m A,Z (2.29) B α = m α + m A 4,Z 2 m A,Z (2.30) B n = C [0.22(A Z) 1.40Z ] MeV (2.31) A barreira de fissão é calculada pelo modelo de Nix, que emplea o modelo da gota líquida vem dada pela ecuação (2.32). B gl (N, Z, f) = [B s (f) 1] + 2x 0 [B c (f) 1] E 0 s (2.32) O parâmetro f se refere à forma do núcleo, B s e o termo da superfície que é uma integral unidimensional quando o problema é limitado a uma simetría axial e B c é o termo coulombiano. Estes parâmetro são ajustados em comformidade com dados experimentais obtendo-se que a energia de superfície para um núcleo esférico E 0 s, equação (2.33), vem dada pela parametrização de Nix sendo κ a costante que determina a diminuição na energia de superfície com o aumento do excesso de nêutrons (DEPPMAN et al., 2003). O parâmetro I vem dado pela relação N Z e x A 0 é o parâmetro de fissilidade, que relaciona as energias de superfície e coulombiana. Quanto menor seja seu valor, maior deve ser a deformação do núcleo no ponto de sela para que haja fissão. [ Es 0 = a ] s 1 κi 2 A 2 3 (2.33) Usando os pesos estatísticos de cada canal é selecionada a partícula que vai ser evaporada. Quando uma dessas partículas é escolhida, o número de massa atômica, equação (2.34), e de carga, equação (2.35), é recalculado. A i+1 = A i A i (2.34) Z i+1 = Z i Z i (2.35) A energia de excitação é modificada de acordo à expressão (2.36) onde B i é a energia de ligação e T i a energia cinética da partícula emitida, respectivamente. De esta forma é garantido que a energia seja sempre menor depois de cada passo de evaporação

34 Capítulo 2. Fundamento Teórico 19 sendo o processo continuo até que o sistema não tenha mais energia suficiente para emitir partícula alguma. E i+1 = E i B i T i (2.36) A abordagem que se faz no código leva em conta que a fissão é um processo competitivo com a evaporação no sentido de que cada núcleo na seqüência de evaporação pode se fissionar, formando dois fragmentos de massas diferentes. Por isso a cada passo da evaporação i o MCEF calcula a probabilidade de fissão, dada pela equação (2.37) onde as quantidades Γp Γ n, Γα Γ n, Γ f Γ n foram definidas previamente equações (2.16), (2.17), (2.24). No processo pode ser calculado o coeficiente de fissibilidade, que vem dado pela equação (2.38) onde F j é a probabilidade de fissão no passo j do processo da evaporação. F i = ( Γ f Γ n ) i 1 + ( Γ f Γ n ) i + ( Γ p Γ n ) i + ( Γ α Γ n ) i (2.37) W = i 1 (1 F j ) F i (2.38) j=0 Como o MCEF trata processos essencialmente estatísticos, é preciso executar várias vezes o algoritmo descrito anteriormente. Assim, os resultados finais representam valores médios dos parâmetros físicos de interesse (DANILO; ALMEIDA, 2011). 2.4 Reações nucleares induzidas por prótons. Produção de píons. A produção de pions envolvida na dinâmica multicolisional do modelo da cascata intranuclear acontece em colisões binárias p-p e p-n quando incide un próton no núcleo alvo. O limiar necessário para a ocorrência destes processos é de cerca de 290 MeV. Nas reações núcleon-núcleon para energias maiores dos 600 MeV, a produção de dois píons torna-se possível. p + p p + p + π 0 p + p p + n + π + p + n p + n + π 0 p + n p + p + π p + p p + p + π + + π

35 Capítulo 2. Fundamento Teórico 20 p + p p + p + π 0 + π 0 p + p p + n + π 0 + π + p + p n + n + π + + π + Os píons criados na interação inicial do próton incidente (na interação p-p ou na interação p-n), começam a gerar sua própria cascata de píons e assim por diante até que é impossível energeticamente que sejam criados. Os processos píon-nucleon que produzem píons podem ser elásticos, inelásticos ou de transferência de carga. π + + p π + + p π + p π + p π + + p π + + π 0 + p π + + p π + + π + + n π + p π 0 + n Colisão elástica Colisão elástica Colisão inelástica Colisão inelástica Transferência de carga O limiar energético para o espalhamento inelástico é de 170 MeV. Os outros processos píon-nucleon ocorrem mesmo que a energia incidente dos píons seja muito baixa (KRANE; K, 1988). A seção de choque e resultado da soma das contribuições da seção de choque elástica nucleon-nucleon (HAYAKAWA et al., 1955) e a seção de choque inelástica nucleon-nucleon (VERWEST et al., 1982). 2.5 Reações nucleares induzidas por fótons. Produção de píons. A seçao de choque de fotoabsorção total nuclear corresponde a 1-2 % da seção de choque de fotoabsorção total atômica que é obtida usando o método de transmissão. O método de transmissão consiste em medir o fluxo de fótons com e sem alvo diante do feixe sendo a diferença entre os fluxos proporcional a seção de choque de fotoabsorção total. Uma vez obtida essa seção de choque deve-se subtrair a parte atômica que é dominante para finalmente obter a seção de fotoabsorção total nuclear (DEPPMAM et al., 2004); (MONGELLI et al., 1993). O mecanismo de absorção de fótons pelo núcleo vai depender da faixa de energia do fóton incidente. O formalismo para a obtenção da seção eficaz gama-nucleon para múltiplos píons encontra-se detalhado no trabalho de (ILJINOV et al., 1997). Nesta sub-seção serão apresentados de forma resumida a fenomenologia relacionada a diferentes intervalos de energia relacionada a cada processo.

36 Capítulo 2. Fundamento Teórico 21 A baixas energias ocorre a excitação de graus de liberdade coletivos do sistema nuclear porém, para energias intermediárias e altas, são os graus de liberdade de subsistemas nucleares como o quase-dêuteron e os nucleons os que são excitados. Para energias do fótons incidentes na faixa comprendida entre os 5-50 MeV, faixa de energia conhecida com Região de Ressonância Gigante, a seção de choque caracteriza-se por apresentar um pico de fotoabsorção. Esse fenômeno é descrito pelos modelos de Goldhaber-Teller (1948) e de Steinwedel-Jensen (1959). Ambos são modelos clássicos vibracionais do núcleo, destacados no estudo das excitações nucleares coletivas. Para energias dos fótons incidentes entre os MeV, predomina a absorção dos fótons por pares de nucleons, quase-dêuterons, mecanismo descrito por Levinger em 1951, (SILVA; G, 2004). Nessa região o comprimento de onda do fóton é bem menor do que as dimensões nucleares; razão pela qual os efeitos de coerência que produzem as ressonãncias gigantes não estão mais presentes. Apesar disso, esse comprimento de onda ainda é maior do que as dimensões do nucleon, estando fechados todos os seus canais de excitação. Nessa faixa de energias a distância internucleônica é comparável ao comprimento de onda do fóton incidente pelo que o fotón vai interagir preferencialmente com um par próton-nêutron correlacionado de modo a poderem ser tratados como um quase-dêuteron ligado ao núcleo. Para energias do fótons incidentes na faixa entre os MeV, o mecanismo de fotoabsorção ocorre por um único nucleon do alvo, o qual comporta-se como una partícula complexa, sendo possível a produção de mésons e ressonâncias nucleônicas ou de modo geral, ressonâncias bariônicas. Os estados intermediários na produção de píons ou mesmo no espalhamento Compton dos fótons são as ressonâncias. Embora as ressonâncias sejam bem conhecidas quando são produzidas no vácuo, a suas propriedades quando criadas no meio nuclear ainda devem ser mais estudadas visando investigar eventuais modificações das propiedades nucleônicas no meio nuclear. A estrutura ressonante pode ser observada através da seção de choque da reação. Efeitos de caráter nuclear como o movimento de Fermi dos nucleons ligados e o bloqueio de Pauli dos estados finais do decaimento das ressonâncias podem variar a forma da seção de choque da reação (CHUNG; K, 2001). γ + N γ + N γ + N γ + π γ + N γ + π + π Para energias incidentes acima dos 1500 MeV, após a interação inicial do fóton com o núcleo ocorre o processo conhecido como cascata intranuclear. O nucleon ou os nucleons, no caso do absorção do fóton por o quase-dêuteron, sofrem sucessivas colisões

37 Capítulo 2. Fundamento Teórico 22 dentro do núcleo e a sua energia cinética é distribuida entre diversos nucleons sendo possível emissões de pré-equilíbrio. Após as emissoes de pré-equilíbrio, o núcleo fica em um estado excitado chamado de núcleo residual. O limiar de fotoprodução de píons é de aproximadamente 140 MeV (DEPPMAM et al., 2004).

38 23 3 Materiais e Métodos 3.1 Código CRISP O código CRISP, empregado na simulação de todas as reações nucleares estudadas, é um pacote de rotinas que se originou fruto de uma colaboração entre membros do CBPF e o IFUSP. Ferramentas matemáticas presentes na plataforma de cálculo ROOT, desenvolvida pelo laboratório CERN, foram em parte integradas ao CRISP para compor a suas rotinas de simulação e utilizadas no final para o processamento dos resultados obtidos. A seguir serão descritas cada uma das ferramentas usadas. O ROOT é um framework criado pelo CERN especialmente para experimentos na área da física de altas energias, embora também seja muito utilizado em outros ramos da física pois tem ferramentas de análise básicas que servem em qualquer campo. Entre os pontos fortes que este software tem encontram-se os geradores de números aleatórios, assim como a grande capacidade de criar, manipular e interpretar histogramas. Neste trabalho, a versão do ROOT utilizada foi a versão (ROOT v5.34/23) disponível em ( 2016). Existem varias versões do código CRISP sendo utilizadas, ao mesmo tempo, pelos diferentes grupos de pesquisa envolvidos. Neste trabalho, foi utilizada a versão do código na linguagem C ++. O CRISP é um código de Monte Carlo que simula reações nucleares utilizando um processo de cálculo dividido em duas etapas: ˆ A primera etapa, o MCMC (Monte Carlo Multi-Collision, em inglês) descreve o proceso da cascata intranuclear. ˆ A segunda etapa, o MCEF (Monte Carlo Evaporation-Fision, em inglês) descreve a desexcitação do núcleo composto através do processo competitivo entre evaporação e fissão. Embora não seja possível experimentalmente a distinção das duas etapas acima descritas de uma reação nuclear, o recurso é de muita utilidade no estudo teórico e fenomenológico dos processos físicos envolvidos (ANDRADE-II; E, 2012). Recentemente foram desenvolvidos novos módulos no código que aumentam a sua capacidade predictiva. Os mesmos foram multimode fission, para o estudo da fissão binária e o Langevin, para o estudo dinâmico do processo de competição Evaporação-Fissão. Os módulos do código utilizados neste trabalho foram o MCMC e o MCEF fazendo ênfase no módulo que descreve a Cascata Intranuclear.

39 Capítulo 3. Materiais e Métodos Arquivos de entrada e de saída do código No código CRISP cada módulo é rodado a partir de um arquivo de entrada que especifica o núcleo alvo, o projétil assim como o número de histórias realizadas em cada rodada. Na Figura 3.1 e Figura 3.2 são apresentados os arquivos de entrada input do MCMC e do MCEF para o caso de uma reação induzida por prótons no alvo de 208 P b. Figura 3.1 Exemplo do arquivo de entrada input do MCMC. As primeras linhas do arquivo de entrada do MCMC correspondem as características do núcleo alvo (número de massa A e carga Z). As linhas que seguem especificam as características do projéctil. No caso do exemplo utilizado, o código foi rodado para prótons de 800 MeV. O CRISP tem implementado também o canal de fóton, hyperon e BREMSSTRAH- LUNG. Trabalha-se no desenvolvimento de outros canais tais como dêuteron, neutrino, colisões íon-íon e fótons virtuais para colisões ultraperiféricas (ANDRADE-II et al., 2015); (GONZALEZ et al., 2014). Se o usuário for rodar o código para diferentes energias com um incremento fixo da mesma, deveria se colocar o incremento no (StepEnergy, em inglês) e o número de vezes em que se deseja aumentar o passo energético no (EnergiesNumber, em inglês). O número de histórias com a qué o código é rodado coloca-se no (SimulationCases, em inglês). O número de histórias vai ter implicação direta na estatística associada aos resultados obtidos para algumas grandezas. De fato, conhecer antes de cada rodada até que ponto o número de histórias tem influência na grandeza que está sendo estudada é muito importante, pois nem sempre um aumento do número de histórias equivale a uma melhoria estatisticamente significativa. O código deve ser usado garantindo uma estatística razoável para um mínimo de tempo de rodada. Os últimos três parâmetro são do tipo (true/false, em inglês). Se o usuario quiser salvar a infromação das partículas emitidas ou seja: a identidade da partícula, o momento assim como a sua energia cinética deveria colocar o parâmetro (UndbindParticles, siglas

40 Capítulo 3. Materiais e Métodos 25 em inglês) no modo verdadeiro. No exemplo note-se que fica no modo falso o parámetro (InternalCascadeHistory, em inglês). Se for colocado em modo verdadeiro, o código gravaria toda a história da cascata intranuclear em cada momento. O último parâmetro do arquivo (VariableSeed, siglas em inglês) foi adicionado recentemente. Se é colocado no modo verdadeiro garantiza-se geradores de números aleatórios diferentes para cada rodada pelo que, embora seja rodado o código duas vezes com o mesmo arquivo de entrada, nas mesmas condiciones computacionais o resultado vai ser diferente. Este recurso é importante se o usuario quer unir as diferentes corridas em busca de uma melhor estatística. Por outro lado, se o usuario está desenvolvendo ou fazendo alguna mudança dentro do código, deixar o parâmetro no modo falso garante que qualquer variação do resultado das grandezas estudadas seja só produto da mudança que está sendo inserida. No caso do arquivo de entrada do MCEF pode ser observado que até o parâmetro (SimulationCases, em inglês), a informação é a mesma do arquivo de entrada do MCMC. A primera coisa que o MCEF faz é procurar un arquivo de saída da cascata rodando sob condições específicas. Se o arquivo correspondente de saída da cascata não for encontrado, o código da o erro mostrado na Figura 3.3 e a rodada do módulo do MCEF fica interrompida. No parâmetro (NumberOfRuns, em inglês) coloca-se, o número de vezes que se procura rodar o MCEF por cada cascata. No exemplo da Figura 3.2 o código roda 100 vezes cada uma das 1000 cascatas. Os dois parâmetros que seguem são do tipo (true/false, em inglês). Se o usuario colaca eles no modo verdadeiro, o código vai utilizar a distribuição de Weisskopf da energia cinética para as partículas emitidas e vai salvar ela, no arquivo de saída do MCEF. Serão salvas também as probabilidades de emissão das partículas e a probabilidade de fissão relativa à probabilidade de emissão do nêutron. No parâmetro (ModelBarrier, em inglês) pode ser escolhido pelo usuário o modelo para a determinação da barreira de fissão. As duas opções disponíveis, por enquanto, saõ (nix e ETFSI ), (TUMBARELL; O, 2016). Figura 3.2 Exemplo do arquivo de entrada input do MCEF.

41 Capítulo 3. Materiais e Métodos 26 O modelo nix é baseado no trabalho (NIX; J, 1969) e o modelo ETFSI está baseado no modelo (Extended Thomas-Fermi plus Strutinsky Integral, em inglês); (MAMDOUH et al., 2001). No parâmetro (ModelLevelDens, em inglês) pode ser escolhido pelo usuário o modelo de densidade de níveis a ser empleado pelo código. As duas opções disponíveis, por enquanto, saõ (dostrovsky e BSFG), (DOSTROVSKY et al., 1959); (EGIDY et al., 2005). Note-se que na frente de cada parâmetro dos arquivos de entrada tem que ser colocado o símbolo ($) para que o código interprete o parâmetro como uma ordem a ser ejecutada. Se não for colocado, o código lerá a linha como se fosse um comentario do usuário. O arquivo de saída como já foi dito é um arquivo (.root) que organiza a saída de dados em forma de histogramas como pode ser observado na Figura 3.4. Figura 3.3 Possível erro do código CRISP em tentativa de rodada do módulo MCEF. Figura 3.4 Exemplo de arquivo saída (.root) do código CRISP.

42 Capítulo 3. Materiais e Métodos Ressonâcias implementadas no código O código CRISP simula os processos nucleares envolvidos nas reações nucleares de forma realista, é por isso que inclui a formação e desintegração de ressonâncias cujos decaimentos com tempo característico de s vêm dado pela equação de Breit-Wigner, equação (3.1). σ = σ 0 M 2 0 Γ 2 (S M 2 0 ) 2 + M 2 0 Γ 2 (3.1) onde S é a energia no centro de massa, M 0 é a largura da ressonância, Γ é o comprimento do canal e σ 0 é o valor máximo da seção de choque. Nas seguintes tabelas são mostrados os canais de decaimento para as ressôancias delta e as ressôancias nucleônicas assim como a suas respectivas probabilidades (HAGIWARAET et al., 2002). As ressonâncias nucleônicas que são formadas em espalhamentos N-N, e-n, π-n e γ-n, são estados excitados dos nucleons. Estes mecanismos acabam tendo uma maior influência em reações fotonucleares na faixa de energia entre MeV. No meio nuclear, as ressonâncias têm suas intensidades atenuadas e suas larguras aumentadas (SILVA; G, 2004); (DEPPMAM et al., 2004). Ressonâcias Decaimentos n + π 0 (>50%) p + π n + γ 1232 n + π 0 (100%) p + π 0 (>50%) n + π p + γ p + π + (100%) Tabela 3.1 Ressonâncias 1232 implementadas no código CRISP. Ressonâcias Decaimentos p + π (>25%) n + π n + γ π π π p + ρ

43 Capítulo 3. Materiais e Métodos n + ρ n + π (>50%) π π n + ρ p + π 0 (>25%) n + π + (>25%) p + γ π π π p + ρ p + ρ p + π + (>25%) π + Tabela 3.2 Ressonâncias 1950 implementadas no código CRISP. Ressonâcias Decaimentos N p + π (>25%) N n + π 0 (>25%) N π N π 0 N π + N p + π 0 + π N n + π + + π N n + π 0 + π 0 N p + π 0 (>25%) N n + π + (>25%) N π 0 N π N π + N p + π + + π N n + π + + π 0 N p + π 0 + π 0 Tabela 3.3 Ressonâncias N 1440 implementadas no código CRISP.

44 Capítulo 3. Materiais e Métodos 29 Ressonâcias Decaimentos N p + π (>30%) N n + π 0 (>25%) N π N π 0 N π + N p + π 0 + π N n + π + + π N n + π 0 + π 0 N p + ρ N n + γ N p + π 0 (>25%) N n + π + (>25%) N π 0 N π N π + N p + π + + π N n + π + + π 0 N p + π 0 π 0 N n + ρ + N p + ρ 0 N p + γ Tabela 3.4 Ressonâncias N 1520 implementadas no código CRISP. Ressonâcias Decaimentos N p + π (>30%) N n + π 0 (>30%) N π N π 0 N π + N p + π 0 (>30%) N n + π + N π 0 N π N π + Tabela 3.5 Ressonâncias N 1535 implementadas no código CRISP.

45 Capítulo 3. Materiais e Métodos 30 Ressonâcias Decaimentos N p + π (>30%) N n + π 0 N π N π 0 N π + N p + ρ N n + ρ 0 N p + π 0 + π N n + π + + π N n + π 0 + π 0 N n + γ N p + π 0 (>30%) N n + π + N π 0 N π N π + N p + ρ 0 N n + ρ + N p + π + + π N n + π + + π 0 N p + π 0 + π 0 N p + γ Tabela 3.6 Ressonâncias N 1680 implementadas no código CRISP. 3.2 Aprimoramento do código Mecanismo de interação inicial Foi estudado o efeito da interação inicial na distribuição angular em que são emitidos os píons para núcleos leves. Foi acrescentada a condição (3.2) que garante que a interação inicial aconteça com o nucleon mais perto a superficie. d 2 d 1 (3.2) Na Figura 3.5 é mostrado o processo da interação inicial onde o nucleon incidente, ubicado na superfície do núcleo faz a sua escolha do nucleon mais próximo com o qual pode colidir.

46 Capítulo 3. Materiais e Métodos 31 Figura 3.5 Modificação da interação inicial. Enquanto mais perto da superfície ocorre a interação inicial é mais provável a emissão de píons já que, praticamente estes não interagem com o resto dos nucleons, apenas alcançam a superfície e saem Gama produção e absorção de píons Com o objetivo de melhorar os resultados que o código relata para a gamma produção de píons foi implementada a produção de ressonâncias sendo estas produzidas pelos próprios píons gerados no andamento temporal da cascata intranuclear. É importante destacar que a maior parte destas ressonâncias Tabelas ( ) já faziam parte da implementação do código, mas sendo produzidas só por fótons ou por decaimento de ressonâncias mais pesadas. Apenas a delta era produzida em colisões nucleon-nucleon. Na Figura 3.6 é mostrado o ajuste feito aos dados experimentais para a seção de absorção de píons. Os píons positivos podem gerar as seguintes ressonâncias 1232, 1700, 1950 enquanto que os píons negativos podem gerar as mesmas que os píons positivos mais também as seguintes ressonâncias nuclêonicas N 1440, N 1520, N 1535, N 1680 (OLIVE et al., 2014). No caso da ressonância 1700, que não fazia parte das ressonâncias produzidas pelas interações entre os nucleons que já o código tinha implementadas, foi acrescentada com seus respectivos decaimentos apresentados na (Tabela 3.7). Ela é produzida pela interação dos píons com os nucleons. Píons que foram gerados na faixa energética dos gama incidentes compreendida entre os MeV.

47 Capítulo 3. Materiais e Métodos 32 Figura 3.6 Seção de absorção dos píons implementada no código ajustada aos dados experimentais (OLIVE et al., 2014). Ressonâcias Decaimentos p + π n + π n + γ π (25%) π π + (25%) p + ρ n + ρ n + π π (30%) π 0 (30%) 1700 n + ρ p + π n + π p + γ π π π p + ρ 0 (>10%) n + ρ + (>10%) p + π + (>100%) Tabela 3.7 Ressonâncias 1700 implementadas no código CRISP.

48 Capítulo 3. Materiais e Métodos Termalização A aplicação de modelos estatísticos parte da consideração de que o núcleo composto não lembra sua origem devido ao estabelecimento do equilíbrio termidinâmico. Nesta subseção será detalhada a metodologia utilizada no estudo da termalização do núcleo. Conhecendo que a cascata intranuclear tem um critério de parada por tempo que por default no código é de 2000 fm/c, a mesma foi dividida para uma melhor análise dos resultados em três etapas que são apresentadas esquematicamente na Figura 3.7. Figura 3.7 Etapas em que foi dividida a cascata intranuclear para o estudo da termalização do núcleo. A seguir, serão descritas, cada uma das etapas do esquema anterior da Figura 3.7. ˆ Etapa 1: No inicio da cascata quando ela começa uma vez que já aconteceu a interação inicial. ˆ Etapa 2: No meio da cascata quando o Monte Carlo verifica que não há mésons ou ressonâncias e nenhum núcleon tem energia suficiente para escapar que, no caso da simulação convencional, o cálculo acaba nesse instante. ˆ Etapa 3: O código é forçado a continuar.

49 Capítulo 3. Materiais e Métodos 34 Neste último ponto referente à etapa 3, é importante destacar algumas questões. O código geralmente vai parar pelo criterio de energia mas tem também um critério de parada por tempo que pelo default, como já foi dito, é de 2000 fm/c. Pode acontecer formação de ressonâncias muito pouco energéticas cujos decaimentos sejam proibidos pelo princípio de exclusão de Pauli e o código ficaria rodando indefinidamente. Por isso, estabelecer um critério de parada do código além do critério de parada energético, é necessário. Neste sentido, deixar o código redistribuir a energia entre todos os constituintes do núcleo permite que a termalização do núcleo aconteça. Quando o código é rodado procurando estudar termalização do núcleo composto, não é usado o comando clássico de rodada da cascata intranuclear Figura 3.8. O código é rodado em paralelo com o comando da Figura 3.9. É importante destacar que estes estudos de termalização só podem ser rodados com o código em paralelo. A rodada para um mesmo núcleo alvo pode ter mais de 15 horas de diferença entre um estudo de temalização Figura 3.10 e uma cascata intranuclear comun Figura Figura 3.8 Comando clássico de rodada da cascata intranuclear. Figura 3.9 Comando de rodada da cascata intranuclear em paralelo. No estudo convencional quando a cascata não pode terminar pelo critério energético então para pelo critério de tempo. No estudo de termalização mesmo a cascata possa concluir pelo critério energético o código é forçado sempre a continuar com a redistribuição da energia entre os nucleons. A continuação será explicado o significado físico do tempo limite dos 2000 fm/c que o código emprega por default como critério de parada por tempo. Na subseção foi abordado como o código encontra o tempo mínimo de interação entre dois nucleons, tempo que vem dado pela equação (2.11). Uma vez que o código é forçado a continuar rodando pelo estudo de termalização, ele vai calcular o tempo mínimo de interação entre os nucleons da mesma forma pela equação (2.11) e cada partícula do núcleo vai avançar um r determinado associado a esse tempo mínimo de interação que foi escolhido. O sistema todo acaba tendo um avanço no tempo, que vai depender para cada partícula de

50 Capítulo 3. Materiais e Métodos 35 Figura 3.10 Exemplo de duração de estudo de termalização no alvo de 197 Au. Figura 3.11 Exemplo de duração do estudo de cascata intranuclear no alvo de 197 Au. seu momento e sua energia (3.3). O processo descrito anteriormente é repetido múltiplas vezes até que a condição (3.4) seja cumprida e a cascata intranuclear é detida. (P/E) t = r (3.3) t = 2000fm/c (3.4) Além de rodar o código em paralelo para o estudo de termalização com o tempo que por default o código tem como critério de parada o código também foi rodado para outros possíveis tempos de parada sendo estes de 1500 fm/c, 1000 fm/c e 500 fm/c. O objetivo é avaliar o efeito que esta mudança tem no valor de ocupação dos níveis de Fermi em cada uma das etapas relatadas na Figura 3.7. Na Figura 3.12 se mostra o lugar dentro do código onde se muda o critério de parada temporal. È importante destacar que depois de fazer qualquer mudança dentro do código, ele tem que ser executado novamente antes de colocar a rodar o arquivo de entrada input específico para a cascata de interesse. Os gráficos que serão analisados no capítulo de resultados relatam informação do valor da ocupação em função da energia de cada nível de Fermi. Neste trabalho, o valor de ocupação de cada nível é dividido pelo valor de ocupação que esse nível permite, no estado fundamental do núcleo em particular, que está sendo analisado. Durante a cascata, os níveis ficam desorganizados por causa da energia de excitação mas na medida que essa energia se distribui, os níveis deveriam se reorganizar e assumir uma forma sigmóide,

51 Capítulo 3. Materiais e Métodos 36 Figura 3.12 Arquivo Cascade.cc pertencente à pasta cascade dentro do código. Em círculo vermelho, o critério de parada por tempo da cascata intranuclear. dada pela distribuição de Fermi-Dirac equação (2.1) abordada na seção 2.3 do presente trabalho. No estudo de termalização foram estudados tanto núcleos leves como núcleos pesados para diferentes energias do projétil e projéteis diferentes. Procura-se com o estudo, poder estabelecer que o núcleo começou a cascata em completa desordem e que depois do encerramento da mesma, a energia de excitação do núcleo fica igualmente distribuida entre todos os nucleons. Para o estudo de termalização foram definidos os seguintes parâmetros, equação (3.5) e equação (3.6). ξ 1 2 E (A, Z) = T 1(A, Z) T 2 (A, Z) T 1 (A, Z) (3.5) ξ 1 3 E (A, Z) = T 1(A, Z) T 3 (A, Z) T 1 (A, Z) (3.6) Os mesmos são utilizados para descrever tanto núcleos prováveis como núcleos poco prováveis resultantes da cascata intranuclear. O valor de T 1 (A,Z) assim como o valor de T 2 (A,Z) e T 3 (A,Z) correspondem à temperatura do núcleo que está sendo analisado em cada uma das etapas em que a cascata foi dividida. Como o objetivo é caracterizar o sistema de forma geral em cada etapa, o mais consistente é trabalhar com os valores medios da temperatura nuclear de todos os núcleos resultantes da cascata intranuclear em cada uma das etapas em questão. Para isso, foram definidos os parâmetros ξ 1 2 E (A, Z) Tm, equação (3.7) e ξ 1 3 E (A, Z) Tm, equação (3.8). ˆ A equação (3.7) estima a influença da segunda etapa definida no estudo. ξe 1 2 (A, Z) Tm = T 1(A, Z) T 2 (A, Z) T 1 (A, Z) (3.7)

52 Capítulo 3. Materiais e Métodos 37 ˆ A equação (3.8) estima a influença da terceira etapa em que foi dividida a cascata intranuclear para o estudo de termalização do núcleo composto. ξe 1 3 (A, Z) Tm = T 1(A, Z) T 3 (A, Z) T 1 (A, Z) (3.8) Alternativamente como forma de caracterizar o sistema como um todo, podem ser calculados os parâmetros (3.5) e (3.6) em cada etapa para cada núcleo resultante da cascata e depois o parâmetro ξ 1 2 T E (A, Z), (3.9) e o parâmetro ξ 1 3 T E (A, Z), (3.10). Na prática, neste trabalho o sistema foi caracterizado usando o a equação (3.7) e (3.8). ξ 1 2 T E (A, Z) = ξe 1 2 (A, Z) (3.9) (A,Z) ξ 1 3 T E (A, Z) = ξe 1 3 (A, Z) (3.10) (A,Z) 3.3 Grandezas/observaveis na análise dos resultados do código. Seção dupla diferencial. Distribuções angular e energética. Seção eficaz da reação por processo. Multiplicidade. Para o caso da determinação da seção dupla diferencial assim como a distribuição angular e energética das partículas emitidas foi utilizada a definição de seção eficaz (SATCHLER; G, 1980) dada pela equação (3.15) onde r 0 = 1.18fm, A é o número de massa do núcleo e N sucesso é o número de eventos de interesse que foram produzidos a partir do N tentativas que é o número de tentativas de cascatas que o código fez para obter o número de histórias. O número de histórias é o número de cascatas que são fixadas no arquivo de entrada do MCMC. A seção dupla diferencial assim como as distribuições angular e energética foram calculadas utilizando as equações (3.12) - (3.14) sendo: Ω = 2πsin(θ 0 + θ 2 ) θ (3.11) onde: θ 0 é o ângulo do estudo e θ 0 é a largura do bin angular ao redor de θ 0. São contadas todas as partículas de interesse emitidas na faixa angular (θ 0 ± θ 2 ). d 2 θ dωde = πr2 0A 2 N sucesso 3 N tentativas Ω E dθ dω (θ 0) = πr0a 2 2 N sucesso 3 N tentativas Ω (3.12) (3.13)

53 Capítulo 3. Materiais e Métodos 38 dθ dω (E) = πr2 0A 2 N sucesso 3 N tentativas E (3.14) A seção de choque de produção de uma partícula qualquer vem definida pela equação (3.15) onde N sucesso é o número de eventos onde só se produziram nêutrons. σ r (p, n) = πr 2 0A 2 3 N úmero de partículas de interesse emitidas N tentativas (3.15) A multiplicidade de cada partícula de interesse, nêutrons, prótons, partículas alfa ou píons foi calculada pela equação (3.16). M x = Número de partículas de interesse emitidas Número de cascatas efetivas (3.16) O número de cascatas efetivas é o número de cascatas que no final da rodada do MCMC produziram núcleos cuja energia de excitação não foi negativa. O número de partículas de interesse emitidas é a contagem neta da partícula, da qual se deseja conhecer a multiplicidade levando em conta só as que foram produzidas nas cascatas efetivas. A multiplicidade média é o valor comparado com a data experimental e com a data relatada por outros códigos disponíveis em ( 2016) é calculada como a suma da contribuição da cascata que vem dada pelo módulo do MCMC e a contribuição do processo de evaporação-fissão que vem dada pelo módulo MCEF.

54 39 4 Resultados No presente capítulo são mostrados os resultados obtidos com o código CRISP para os núcleos de 12 C, 27 Al, 40 Ca, 62 Zn, 91 Zr, 184 W, 197 Au, 208 P b assim como a comparação dos mesmos com os resultados experimentais e os obtidos por códigos similares relatados todos na base de dados do Organismo Internacional da Energia Atômica disponíveis em ( 2016). Os resultados vão ser apresentados em conformidade com a seguinte ordem. ˆ Produção de píons. Próton-produção de píons. * Distribuição angular e energética dos píons emitidos. * Seção dupla diferencial dos píons emitidos. * Multiplicidade de píons e outras gradezas de interesse no estudo da cascata intranuclear. Gama produção de píons. ˆ Termalização do núcleo. Resultados obtidos para o ajuste do número de ocupação dos níveis a uma função de Fermi-Dirac. Análise do critério de parada por tempo da cascata intranuclear. ˆ Multiplicidade média de particulas leves. Análise da variação da multiplicidade com o aumento da energia do projéctil e com o aumento do número mássico do núcleo alvo. Análise da intercomparação CRISP vs 15 códigos relatados na base de dados da OIEA sendo empleanda a multiplicidade média de nêutrons como parâmetro. Observou-se com particular interesse como variam as diferentes grandezas com o aumento do número de histórias rodadas. O objetivo é poder recomendar os parâmetros óptimos de funcionamento para cada grandeza que garantam um mínimo de flutuações devido à geração de números aleatórios.

55 Capítulo 4. Resultados Produção de píons Próton produção de píons Distribuição angular e energética dos píons emitidos Nas figuras Figura 4.1 e Figura 4.2 apresentam-se a distribuição angular e energética dos píons negativos para a reação p + 12 C. Figura 4.1 Distribuição angular dos píons negativos na reação p + 12 C. Figura 4.2 Distribuição energética dos píons negativos na reação p + 12 C.

56 Capítulo 4. Resultados 41 O código CRISP foi rodado variando o número de histórias desde 10 4 até Para ambas distribuições e não só para os píons negativos, mas também para as outras partículas de interesse observa-se como são as rodadas com mais de 1 milhao de histórias as que garantem uma boa estatísitca nos resultados destas grandezas. É válido destacar que os resultados obtidos com o código CRISP reproduzem o comportamento esperado para ambas as distribuições no caso dos píons negativos nesta reação, pois a emissão é favorecida para ângulos pequenos e a maior quantidade de píons é emitida com energias próxima dos 100 MeV Seção dupla diferencial dos píons emitidos No caso da seção dupla diferencial obtida para píons positivos a 15 Figura 4.3 são comparados os resultados obtidos pelo CRISP com os dados experimentais e com o código cascade04. Figura 4.3 Reação p + 12 C. Seção dupla diferencial dos píons positivos. Cascade04 vs CRISP. Embora o código CRISP tenha subestimando a produção de píons. A comparação entre as seções duplas diferenciais de píons negativos y positivos com data experimental para diferentes ângulos (15, 45, 90 e 135 ) na reação de p + 12 C são apresentadas nas Figura 4.4 e Figura 4.5. De forma geral, para a seção dupla diferencial de pions na reação de p + 12 C foram obtidos resultados conforme era esperado embora os mesmos subestimam os resultados experimentais para baixas energias tanto dos píons positivos como dos píons negativos. A subestimação é maior no caso de píons positivos.

57 Capítulo 4. Resultados 42 Figura 4.4 Seção dupla diferencial dos píons negativos na reação p + 12 C. Figura 4.5 Seção dupla diferencial dos píons positivos na reação p + 12 C.

58 Capítulo 4. Resultados 43 Na Figura 4.6 se faz uma comparação entre a seção dupla diferencial de píons positivos e negativos para o menor ângulo estudado. De forma geral, para a seção dupla diferencial de píons na reação de p + 12 C foram obtidos resultados conforme a como era esperado embora os mesmos subestimam os resultados experimentais para baixas energias tanto dos píons positivos como dos píons negativos sendo a subestimação maior no caso de píons positivos. Figura 4.6 Seção dupla diferencial dos píons na reação p + 12 C. A mesma análise feita anteriormente para a reação p + 12 C, se fez também para os núcleos alvos de 27 Al e 63 Cu. As figuras Figura 4.7 e Figura 4.8 mostram a comparação entre a seção dupla diferencial de píons positivos e negativos para 15 e uma comparação entre os resultados experimentais e os obtidos pelo código CRISP e o código incl45 para a seção dupla diferencial a 15 para píons positivos na reação de p + 27 Al. A Figura 4.9 apresenta os resultados da seção dupla diferencial de píons positivos e negativos para os ângulos extremos (15 e 135 ) no caso da reação p + 63 Cu. Em ambos os dois casos mentém-se o comportamento já observado no caso da reação com 12 C: O CRISP subestima a seção dupla diferencial de produção de píons fundamentalmente para baixas energias e para grandes ângulos de espalhamento.

59 Capítulo 4. Resultados 44 Figura 4.7 Seção dupla diferencial dos píons na reação p + 27 Al. Figura 4.8 Reação p + 27 Al. Seção dupla diferencial dos píons positivos. incl45 vs CRISP.

60 Capítulo 4. Resultados 45 Figura 4.9 Seção dupla diferencial de píons negativos na reação p + 63 Cu. A comparação final entre a seção dupla diferencial obtida pelo CRSIP para o menor e o maior ângulo estudado com os três núcleos alvos e os dados experimentais (Figura 4.10 e Figura 4.11) mostram como o código descreve correctamente a tendência experimental com o aumento do número de massa. Foi possível observar também, que a contribuição que têm os píons positivos é maior do que a contribuição que têm os píons negativos para a seção dupla diferencial o que está em conformidade com os resultados obtidos no trabalho (PEDOUX et al., 2011). A autora argumenta que é esperado que um próton incidente tenha uma maior probabilidade de produzir píons positivos que negativos em uma só colisão porque ele traz uma carga positiva extra sendo este efeito mais fraco para o caso de núcleos pesados com riqueza de nêutrons porque este é atenuado nas múltiples colisões.

61 Capítulo 4. Resultados 46 Figura 4.10 Seção dupla diferencial píons negativos. Reações de p+ 12 C, p + 27 Al, p+ 63 Cu. Figura 4.11 Seção dupla diferencial píons positivos. Reações de p+ 12 C, p+ 27 Al, p+ 63 Cu. É importante ressaltar que o código, rodado em todos os casos para uma energia do próton incidente de 700 MeV, não tem implementado os canais diretos de produção de múltiples píons processo que torna-se possível para energias superiores aos 600 MeV. Para energias acima desse valor os píons formados do decaimento das ressonâncias podem produzir outros píons. O CRISP não tem implementada a colisão inelástica de formação de dois pions nas reações π + + p sendo o limiar energético do espalhamento inelástico de 170 MeV. Embora os resultados obtidos sejam razoáveis, fica pendente para trabalhos futuros aprimorar estas limitações do código que de fato poderiam ter influência não desprezível na melhoria dos resultados na faixa energética que foi estudada. Analisou-se também o efeto que tem a modificação da interação inicial na distribuição angular dos pions emitidos chegando-se à conclusão de que para a reação p + 12 C estudada, não tinha a menor influência. Fica pendente para estudos posteriores avaliar a influência que tem para núcleos mais pesados modificar a interação inicial.

62 Capítulo 4. Resultados Efeitos da modificação no mecanismo de interação inicial Na interação inicial, a probabilidade de interação do próton com o núcleo era uniforme por todo o seu volume. A alta seção de choque faz com que interacções na superficie sejam mais prováveis. Para o estudo da interação inicial, o código foi rodado com e sem modificação para o alvo de Al com 1000 e cascatas para uma energia do próton incidente de 1600 MeV. Na Figura 4.12 e Figura 4.13 são amostrados os resultados obtidos para cada rodada acima mencionada sendo em ambas ocações a primera grafica à correspondente aos resultados do código sem ser modificada a interação inicial. Os gráficos representam a posição em que ocorre a primeira interação. Figura 4.12 Efeitos da modificação no mecanismo de interação inicial. Reação de p + 27 Al, 1000 cascatas.

63 Capítulo 4. Resultados 48 Figura 4.13 Efeitos da modificação no mecanismo de interação inicial. Reação de p + 27 Al, cascatas. Foi possível verificar que o próton podia interagir na interação inicial com qualquer nucleão não necessariamente sendo este o mais próximo à superfície. Note-se que a distribuição da posição onde a interação inicial ocorre é sempre mais homogénea antes da modificação que depois. Com a modificação feita à interação inicial tende a ser mais próxima da superfície o que é mais consistente com o fenômeno físico estudado. Por outro lado, é conhecido que um píon produzido em uma interação mais perto da superficie do núcleo tem maior probabilidade de ser emitido do que um píon produzido em uma interação inicial mais interna onde o píon pode ser absorvido embora isso dependa de onde o píon é produzido. Por esse motivo, o código foi rodado para a reação de p + 12 C com 10 6