EQUAÇÃO DO 2 O GRAU, UMA ANÁLISE SOBRE SEU ENSINO E UMA NOVA PROPOSTA

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1 EQUAÇÃO DO 2 O GRAU, UMA ANÁLISE SOBRE SEU ENSINO E UMA NOVA PROPOSTA Viviane Clotilde da Silva * Universidade Regional de Blumenau Vilmar José Zermiani ** Universidade Regional de Blumenau Resumo Este artigo apresenta um trabalho sobre Equação do 2 o Grau, realizado com um grupo de alunos de 8 as séries do ensino fundamental, de escolas públicas municipais. Estes alunos participaram de um projeto de extensão da Universidade Regional de Blumenau, em colaboração com a Prefeitura Municipal de Blumenau, denominado Clubinho de Matemática. Através deste projeto os alunos desenvolveram, estudos, leituras e pesquisas em relação a Equação do 2 o Grau e estudaram algumas aplicações da mesma. No término do trabalho eles desenvolveram um material que apresentaram nas Feiras Municipal e Regional de Matemática. A empolgação dos estudantes foi tão grande que nos deixou intrigados em relação a alguns pontos, que se tornaram foco de uma outra pesquisa. Esta pesquisa visa verificar quais a diferenças entre os dois métodos de trabalho, do Clubinho de matemática e do realizado na sala de aula, visto que este mesmo assunto estava sendo trabalhado nas escolas. Para isto procuramos responder as seguintes questões: Como está sendo desenvolvido o conteúdo de Equação do 2 o Grau nas Escolas Públicas Municipais? Como este conteúdo se apresenta nos livros didáticos adotados pelas escolas da Rede Municipal de Ensino, foco de nosso estudo? Esta pesquisa seguiu dois caminhos. O primeiro foi a análise do material de sala de aula dos jovens que participavam do Clubinho de Matemática e de outros que também estudam na 8 a série da rede municipal de ensino. O segundo foi a análise de alguns dos livros adotados pelas escolas da região. Esta pesquisa abriu espaço para o novo direcionamento, o trabalho em conjunto com os professores buscando discutir o dia a dia da * Professora do Curso de Matemática vcs@furb.br ** Professor do Departamento de Matemática e Coordenador do Projeto Clubinho de Matemática logo@furb.br

2 1759 sala de aula e apresentando uma nova alternativa de desenvolvimento do tema Equação do 2 o Grau. Palavras-chave: projeto, equação do 2º grau, contextualização, aplicação. Introdução Esta pesquisa originou-se de um projeto piloto realizado com adolescentes que cursam a 8 as séries do Ensino Fundamental da Rede Municipal de Ensino de Blumenau e participam de um Projeto de Extensão denominado Clubinho de Matemática, da Universidade Regional de Blumenau e conjunto da Rede Municipal de Ensino. A partir do trabalho realizado com estes jovens e da empolgação apresentada pelos mesmos no desenvolvimento do projeto, levantou-se algumas questões que impulsionaram nossa pesquisa: Como está sendo desenvolvido o conteúdo de Equação do 2 o Grau nas Escolas Públicas Municipal do Ensino Fundamental? Como este conteúdo se apresenta nos livros didáticos adotados pelas mesmas? Clubinho de Matemática. O Clubinho de Matemática é um projeto de extensão da Universidade Regional de Blumenau, que teve seu início em 1988 e, devido a mudança no governo municipal esteve parado durante os últimos 8 anos, reiniciando este ano através de um projeto de extensão da Universidade em conjunto com a Secretaria Municipal de Educação da cidade de Blumenau. Este projeto tem como finalidade reintegrar o aluno no processo de aprendizagem e não se limitar a recuperar apenas nota ou conceitos; abrir espaço para o aluno repensar o conteúdo (auxílio mútuo e não como castigo) para descobrir os próprios erros e reconstruir o conhecimento. Inicialmente os Clubinhos de Matemática funcionavam nas escolas e os próprios alunos, com o auxílio do professor de matemática, desenvolviam projetos, de acordo com as suas realidades. Havia também um Clubinho Municipal, onde alguns alunos de várias escolas se reuniam na universidade, com professores e alunos da mesma e desenvolviam outros projetos. Devido ao fato deste trabalho estar muito tempo parado, achou-se por bem criar este ano somente o Clubinho Municipal do qual fazem parte alunos do ensino fundamental de várias

3 1760 escolas da rede pública municipal de ensino, alunos e professores da Universidade Regional de Blumenau e que também serve como sede. Como motivar um grupo de crianças e jovens, de escolas diferentes e que não se conhecem, a desenvolverem um projeto comum? Estes alunos foram divididos de acordo com as séries em que estão cursando e receberam vários livros paradidáticos que tratavam dos conteúdos das séries em questão para que escolhessem um tema no qual desejassem trabalhar. O objetivo era que os alunos, com o auxílio de um monitor (aluno ou professor do curso de matemática), desenvolvessem um projeto que envolvesse o tema escolhido. Desde então estes alunos se dirigem até a universidade, duas vezes por mês, a fim de desenvolver seus estudos. Um grupo de alunos que estão cursando a 8 a série viram vários livros e se interessaram pelo tema Equação do 2 o Grau, apesar de, no momento, não saberem muito bem do que se tratava. Optaram por estudar o seu significado, sua origem, métodos de resolução e aplicações da Equação do 2 o Grau. Trabalho realizado com os alunos das 8 as séries. A primeira atividade foi o estudo de alguns quebra-cabeças matemáticos hindus, encontrados no livro Contando a História da Matemática: História da Equação do 2 o Grau, de Oscar Guelli e um problema extraído do livro Equação do 2 o Grau. Coleção: Pra que serve a Matemática?, de Imenes, Jakubo e Lellis. Estes quebra-cabeças e o problema foram analisados e, ao escreve-los em linguagem matemática os alunos observaram que eles resultavam em Equações do 2 o Grau. Para encontrar as respostas estas equações tinham de ser resolvidas desta forma eles sentiram necessidade de estudar um pouco mais o assunto. Como os alunos ainda não estavam estudando o tema nas suas respectivas escolas, entraram em acordo e resolveram estudar a origem da famosa Fórmula de Bhaskara, que é usada na resolução de uma Equação do 2 o Grau. Iniciaram estudando, em conjunto, um texto adaptado do livro paradidático Contando a História da Matemática, de Oscar Guelli, que contava uma história sobre a possível origem da Equação do 2 o Grau. Sugerimos este tipo de trabalho aos alunos, pois a leitura nas aulas de matemática propicia: relacionar as idéias matemáticas à realidade, com as demais disciplinas; explorar problemas e descrever resultados;

4 1761 maior participação do aluno, que passa a emitir opiniões, desenvolver habilidades de pensamento, classificação, ordenação, levantamento de hipóteses, interpretação e formulação de problemas; a aprendizagem de novos conceitos e o reforço dos que foram aprendidos; estímulo para ouvir, ler e escrever sobre a Matemática. O texto estudado também trazia vários problemas que envolviam lógica e levavam os alunos a buscarem em conjunto sua resposta. É importante relatar que, quando não conseguiam encontrar a resposta correta, eles levavam o problema para suas casas e escolas envolvendo todos que conheciam, pais, colegas, professores..., no processo de aprendizagem. No final do livro os alunos verificaram que o método de resolução das equações apresentadas no mesmo era a complementação dos quadrados. Eles resolveram algumas equações por este método, relembrando o assunto estudado na 7 a série, mas fato de já estarem estudando resolução de equações do 2 o Grau em suas escolas através do Método de Bhaskara eles o acharam muito difícil. Surgiu então a questão: Qual a relação entre o Método da Complementação dos Quadrados para encontrar as raízes de uma Equação do 2 o Grau e o Método de Bhaskara? Isto nos levou a buscar a dedução da fórmula de Bhaskara através do Método da Complementação dos Quadrados de uma Equação do 2 o Grau. Os alunos acharam muito interessante pois na escola apenas tiveram conhecimento desta fórmula e como utilizá-la mas não tinham nem idéia de como ela surgiu. Terminada a leitura do livro os alunos, que já haviam visto como surgiu a fórmula de Bhaskara, decidiram seguir com seus estudos em duas direções. A primeira foi histórica. Eles decidiram que iriam pesquisar como surgiu a representação simbólica, pois eles verificaram que, antigamente os escribas utilizavam apenas a escrita para explicar as resoluções das equações e que, a representação das equações como conhecemos hoje surgiu muitos séculos depois. O outro trabalho que eles decidiram realizar foi estudar algumas aplicações práticas da equação do 2 o grau. Para isto utilizou-se o livro: Equação do 2 o Grau da coleção: Pra que serve a Matemática? Escrito por Imenes, Jakubo e Lellis. Ao final deste trabalho os alunos decidiram mostrar tudo o que eles estudaram na Feira Municipal e na Feira Regional de Matemática. O problema

5 1762 O que levantou o problema foi exatamente a empolgação apresentada pelos alunos durante o trabalho e o fato que, mesmo após terem iniciado o estudo de Equações do 2 o Grau nas suas escolas eles reagirem às atividades que estavam realizando como se um trabalho não tivesse relação com o outro, a não ser pela fórmula de Bhaskara, utilizada na resolução dos problemas. Diante deste fato uma questão veio a tona: Como está sendo desenvolvido o conteúdo de Equação do 2 o Públicas Municipal de Ensino Fundamental? Grau nas Escolas A forma de analisar o que os alunos estavam aprendendo foi observar o material dos alunos que participavam do Clubinho de Matemática, que representam algumas escolas da Rede Municipal de Ensino bem como de outros jovens conhecidos, que também estudam nesta rede, assim como o depoimento das mesmas. Analisando os cadernos e através de conversas verificou-se que, a grande maioria dos professores trabalha apenas com a resolução das equações do segundo grau, iniciando pelas incompletas e partindo para as completas com a resolução através da fórmula de Bhaskara, no final, trabalham também alguns problemas envolvendo equações do 2 o grau na sua resolução. As aulas são basicamente expositivas onde cabe aos alunos apenas resolver os exercícios propostos. Este tipo de trabalho em sala é preocupante, pois torna este o ensino de matemática completamente mecanicista o que, segundo Beatriz D Ambrósio ( 1994, p. 57) pode vir a ter como conseqüência alunos que passam a acreditar que a aprendizagem de matemática se dá através de um acúmulo de fórmulas e algoritmos, que acham que a matemática é um corpo de conceitos verdadeiros e estáticos, do que não se duvida ou questiona, acreditando e supervalorizando o poder da matemática formal e perdendo qualquer auto-confiança em sua intuição matemática. Resumindo, é devido a trabalhos deste tipo que, muitas pessoas ainda vêem a Matemática, de acordo com as Diretrizes Curriculares de Santa Catarina, como uma ciência exata pronta e acabada, cujo ensino e aprendizagem se dá pela memorização ou por repetição mecânica de exercícios de fixação, privilegiando o uso de regras e "macetes". Mas por que será que isto ocorre? Levando em consideração que a maioria dos professores tem o livro texto como seu único material de apoio e, diante desta preocupante constatação levantamos outra questão:

6 1763 Como este conteúdo se apresenta nos livros didáticos adotados pelas escolas da Rede Municipal de Ensino, foco de nosso estudo? No início do ano os alunos do Curso de Matemática da Universidade Regional de Blumenau realizaram um levantamento em 19 escolas da região em relação ao livro de matemática utilizado pelas mesmas. A tabela abaixo apresenta os títulos encontrados e o número de escolas que os utilizam: LIVRO DE MATEMÁTICA ADOTADO NÚMERO DE ESCOLAS QUE O UTILIZAM GIOVANI, J.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR., J. A 3 Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2002 IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e 1 Realidade. São Paulo: Editora do Brasil, 2002 ANDRINI, A.; VASCONCELOS, M.J. Praticando 4 Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, TOSATTO, C.M.; PERACCHI, E.P.; ESTEPHAN, V.M. 1 Idéias e Relações. Curitiba: Positivo, NETTO, S.D.P.; SOARES, E. Matemática em atividades. 2 São Paulo: Scipione, DANTE, L.R. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, FRANÇA, E. e outros. Matemática na vida e na escola. 1 São Paulo: Editora do Brasil, LELLIS, M.; JAKUBO, J. Matemática na Medida Certa. 1 São Paulo. Destas bibliografias foi possível fazer análise de 5: Praticando Matemática, Matemática em atividades, Tudo é Matemática, Matemática na vida e na escola; Matemática na Medida Certa. Isto se deve ao fato que conseguirmos exemplares apenas destas obras. Mesmo assim acreditamos que seja uma boa amostra visto que eles representam 74% das escolas

7 1764 pesquisadas e 63% das bibliografias encontradas. Abaixo apresentamos uma análise dos mesmos em relação ao conteúdo Equação do 2 o Grau, da 8 a série do Ensino Fundamental. O primeiro livro a ser analisado é o Praticando Matemática. Inicia com um problema introduzindo o tema Equações. Em seguida define Equação do 2 o Grau e, apresenta um breve relato histórico sobre François Viète e René Descartes. Apresenta problemas geométricos que recaem em Equações do 2 o grau Incompletas para serem resolvidas e introduz a resolução das mesmas. Introduz a Equação do 2 o Grau Completa e sua resolução através de Complementação de Quadrados em seguida trabalha com a resolução através da fórmula de Bhaskara e finaliza com algumas aplicações. O livro Matemática em atividades, inicia estudando Funções do 2 o Grau e seu gráfico. A partir do estudo das raízes de uma Função do 2 o Grau ele parte para o estudo das Equações do 2 o Grau. Introduz o método de Bhaskara tornando o primeiro membro da equação uma trinômio quadrado perfeito (complementação do quadrado) e, em seguida, faz a dedução de Bhaskara para utilizá-la a partir de então. É importante mencionar que sempre utiliza o recurso gráfico como apoio para mostrar o que está sendo calculado. Termina o capítulo com uma série de problemas de aplicação do 2 o grau. Analisando o livro Tudo é Matemática verificamos que ele inicia o estudo de Equações do 2 o Grau utilizando geometria e a fórmula para o cálculo do número de diagonais de figuras planas. A seguir apresenta a definição de equações do 2 o Grau. Utiliza vários problemas de aplicação e muitos deles envolvendo geometria. Apresenta a visualização geométrica da solução de uma equação do 2 o grau por fatoração e através de complementação dos quadrados. Em seguida apresenta o método de resolução através da Complementação dos Quadrados algebricamente assim como a dedução da Fórmula de Bhaskara. Termina o capítulo trabalhando algumas aplicações. Matemática na Vida e na Escola. Este livro inicia com um breve texto de História da Matemática em relação a Equação do 2 o Grau. Apresenta uma sugestão de trabalho em dupla envolvendo um texto adaptado dos livros História da Matemática de Boyer e Número: a linguagem da Ciência de Tobias Dantzig. Apresenta o método de Al-Khwãrizmi de complementação dos quadrados, utilizando a geometria como apoio. É importante ressaltar que este livro tem como ponto de apoio a História da Matemática. Finalmente, Matemática na Medida Certa. Este livro inicia o capítulo apresentado e definindo a Equação do 2 o Grau. Quanto à fórmula de Bhaskara, apenas menciona que este método foi apresentado pela primeira vez no livro de um matemático hindu chamado

8 1765 Bhaskara, que nasceu em 1114 partindo, logo em seguida para a resolução de equações através deste método. Finaliza o capítulo com alguns problemas de aplicação. Através desta análise verificamos que os livros utilizados nas escolas, em sua grande maioria, já buscam mostrar que existe outras formas de encontrar a solução de uma Equação do 2 o Grau, além da fórmula de Bhaskara inclusive apresentando a dedução da mesma. É interessante ressaltar que inclusive um deles utiliza a História da Matemática como apoio. Um ponto que deve ser levado em consideração é que a maioria apresenta os problemas com aplicações apenas no final do capítulo e não como uma motivação para se buscar a resolução de uma equação do 2 o grau. Finalizando podemos verificar que os livros, de um modo geral, estão buscando contextualizar melhor o conteúdo a ser trabalhado. Então, por que isto não está acontecendo em sala de aula? Por que vemos tantos exercícios mecânicos e poucos práticos no dia a dia dos alunos? Considerações Finais É importante verificar o porquê das aulas estarem sendo executadas desta forma. Quais os problemas estão surgindo em sala de aula? Diante dos levantamentos apresentados partiremos para um outro trabalho, junto aos professores fazendo um levantamento em relação aos problemas encontrados pelos mesmos em sala de aula e propondo um trabalho como o realizado com o grupo do Clubinho de Matemática, buscando uma maior contextualização e uma ligação do conteúdo a ser estudado com o seu desenvolvimento histórico. Sabemos que o trabalho com um grupo pequeno de alunos é diferente do realizado em uma sala de aula com 30 ou 40 alunos mas em uma escola, este trabalho pode ser interdisciplinar, envolvendo professor de português, artes, história, etc. Este tipo de trabalho está completamente de acordo com a Proposta Curricular do Estado de Santa Catarina pois segundo ela:... a Matemática, sob uma visão histórico-crítica, não pode ser concebida como um saber pronto e acabado, ou um conjunto de técnicas e algoritmos, tal como concebe o ensino tradicional e tecnicista. Pelo contrário, a Matemática deve ser entendida como um conhecimento vivo, dinâmico, produzido historicamente nas diferentes sociedades, sistematizado e organizado com linguagem simbólica própria em algumas culturas, atendendo às necessidades concretas da humanidade.

9 1766 Referências Bibliográficas: - AMBRÓSIO, B. Como ensinar matemática hoje? In: Temas e Debates. Ano 2, n. 2, São Paulo. SBEM, ANDRINI, A.; VASCONCELOS, M.J. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, DANTE, L.R. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, FRANÇA, E. e outros. Matemática na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil, GUELLI, O. Contando a História da Matemática: História da Equação do 2 o Grau. São Paulo, S.P.: Editora Ática, IMENES, JAKUBO E LELLIS. Equação do 2 o Grau. Coleção: Pra que serve a Matemática? São Paulo, S.P. - LELLIS, M.; JAKUBO, J. Matemática na Medida Certa. São Paulo. - NETTO, S.D.P.; SOARES, E. Matemática em atividades. São Paulo: Scipione, ROSA, E. As Mil e Uma Equações. Coleção: A Descoberta da Matemática. São Paulo, S.P.: Editora Ática, SANTA CATARINA, Coordenadoria Geral de Ensino. Proposta curricular de Santa Catarina: educação infantil, ensino fundamental e médio : (Formação docente para educação infantil e séries iniciais). Florianopolis : COGEN, p.