PALAVRAS-CHAVE: simulações numéricas, métodos dos elementos finitos, concentração de tensões, code_aster. INTRODUÇÃO

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1 COMPARAÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS POR MEIO DO PROGRAMA LIVRE CODE_ASTER APLICADA NA ENGENHARIA Benício Morais Lacerda Professor da UNESC Porto Velho Alex Gomes Pereira Acadêmico Engenharia Civil UNESC Porto Velho Resumo: Este estudo buscou investigar analiticamente e numericamente a validação da utilização do programa de licença livre Code_Aster aplicado em elementos estruturais na engenharia. Para isso, foram modelados quatro elementos metálicos todos submetidos ao esforço de tração, são eles: uma barra cilíndrica, duas placas com furo e um console metálico. O objetivo é validar a utilização do programa livre para análise de elementos estruturais nos projetos de escritórios de engenharia e, em pesquisas institucionais, a fim de comprovar se os resultados obtidos apresentam diferenças significativas da teoria clássica da resistência dos materiais quanto ao cálculo de tensões e deslocamentos. O programa Code_Aster é um programa de licença livre GPL (General Public License) disponibilizado na plataforma Linux e, em sua concepção de análise, utiliza o método dos elementos finitos (MEF). O método dos elementos finitos (MEF) consiste em dividir um objeto contínuo em um número finito de partes. Isto permite transformar um problema complexo em um conjunto de problemas simples (elemento finito). Observou-se que os resultados numéricos do programa livre Code_Aster foram próximos aos encontrados pelo processo analítico, o que indica a confiabilidade do uso do programa Code_Aster para análises numéricas de projetos de engenharia e, em pesquisas institucionais. PALAVRAS-CHAVE: simulações numéricas, métodos dos elementos finitos, concentração de tensões, code_aster. INTRODUÇÃO Por vários anos, o homem utilizou os conhecimentos empíricos e suas habilidades intuitivas para a elaboração de projetos de engenharia. Após o século XVII, com o desenvolvimento da matemática e da física, aliada ao advento das ciências exatas, o homem pode dar atenção à análise teórica dos processos construtivos. Desde então, o estudo voltado à mecânica dos materiais, análise estrutural e arquitetura foi pouco a pouco evoluindo e, com isso, começou a existir uma separação formal entre as atividades estruturais e as atividades arquitetônicas. Porém, somente com a evolução da informática possibilitou ao homem a desenvolver soluções analíticas e numéricas mais próximas ao da realidade construtiva.

2 A tecnologia trouxe consigo a possibilidade de elaboração de projetos de engenharia mais avançados, e também a possibilidade de aplicar técnicas de execução mais eficazes e precisas por meio de simulações numéricas. No entanto, todo engenheiro deve ser sábio ao manipular ferramentas de análise de cálculo aplicadas à engenharia, uma vez que servem apenas para agilizar a solução de problemas e, assim, torna o processo menos oneroso com a eliminação de retrabalho e com a possibilidade de simular diversas alterações em tempo hábil. Nesse sentido, o engenheiro deve ter um olhar crítico frente às respostas geradas computacionalmente, ou seja, ele deve ter uma sensibilidade de cálculo diante do problema proposto. Dentre as diversas ferramentas existente para simulações numéricas, este trabalho visa avaliar modelos estruturais como chapas, barras e console metálico por meio do programa Code_Aster e com soluções analíticas. A análise de estruturas deriva-se da mecânica que exerce papel fundamental na capacidade de realizar previsões de forças e movimentos em projetos de diversos ramos da engenharia. A capacidade do entendimento físico e matemático exige a habilidade de visualização e definição de materiais a serem utilizados, bem como impor restrições verdadeiras da estática e limitação prática dando direção e sentido no comportamento de peças de máquinas ou de estruturas. Dessa forma, tanto a mecânica quanto a análise estrutural, a física e conceitos matemáticos são essenciais na inovação de projetos mais arrojados e precisos. O progresso máximo é alcançado quando todas as áreas envolvidas para o seu desenvolvimento, tais como os seus princípios e limitações são aprendidos em conjunto dentro do contexto da aplicação em engenharia. Nenhum outro tema é mais importante do que a mecânica na maior parte de análises de engenharia. Para Merian e Kraige (009) é a mecânica que lida com as causas e consequências dos efeitos de forças sobre os objetos e permite diversas pesquisas nas áreas de robótica, máquinas, vibrações, estabilidade e resistência de estruturas. Diante das mais complexas formas geométricas que um elemento estrutural ou uma peça de máquina podem ter, em muitos casos, é necessário um trabalho exaustivo para se obter a solução analítica com base nos conceitos de mecânica dos materiais e análise estrutural, e assim, frequentemente recorre-se a simulações numéricas. Com a evolução da informática, cresce a expectativa de que ferramentas de simulações numéricas baseadas no Método dos Elementos Finitos (MEF) e utilizadas para

3 cálculos de tensões e deformações de elementos estruturais possam ser utilizados em escritórios de Engenharia e Arquitetura, além dos núcleos de pesquisas das instituições de ensino. A utilização dessas ferramentas viabilizam tempo e custo no processo de obtenção de resultados com maiores níveis de segurança e confiabilidade do que se fosse realizado em modelos de escala reduzida em ensaios experimentais laboratoriais. Segundo Alves Filho (01), várias estruturas de engenharia são muito complexas para serem resolvidas somente por soluções analíticas, tais como as encontradas em livros de resistência dos materiais que são baseadas em equações diferenciais e que descrevem o equilíbrio da estrutura. Na área de cálculo estrutural, o engenheiro deve garantir que a estrutura analisada não esteja sujeita a falhas para as diversas situações de uso. Moaveni (008) descreve que alguns problemas de engenharia podem ser resolvidos pela modelagem matemática de equações diferenciais sujeitas a uma condição de contorno. Essas equações diferenciais derivam-se de leis e princípios fundamentais da natureza de um sistema, cuja solução exata, traduz o comportamento detalhado do sistema submetido a uma determinada condição. Essas leis e princípios fundamentais, segundo Alves Filho (01), obedecem às três relações fundamentais da mecânica estrutural: equilíbrio de forças, compatibilidade de deslocamentos e lei do comportamento do material. Porém, muitas vezes, devido à complexidade de resolução do objeto em análise, a solução analítica torna-se impossível, exigindo grandes e excessivas simplificações. Assim recorrem-se frequentemente às aproximações numéricas. No esforço de se elaborar um procedimento aproximado, que reproduza numericamente o comportamento de uma estrutura, surgiu o Método dos Elementos Finitos (MEF). O MEF apresenta uma solução aproximada do objeto em estudo discretizado pela montagem de elementos de tamanho finito. De acordo com Alves Filho (01), esse sistema é subdividido em um número finito de partes ou elementos. Assim, torna-se possível a análise numérica do comportamento de cada um desses elementos finitos. A partir da contribuição de cada elemento, obtém-se o comportamento aproximado de toda a estrutura. Sabe-se que para facilitar a resolução da maioria dos problemas de engenharia, os projetistas e calculistas adotam a hipótese do comportamento linear da estrutura. O que ocorre na realidade é que as estruturas possuem comportamentos não lineares, cujas soluções são equações muito complexas.

4 Após a modelagem de uma estrutura pelo MEF, o problema fica representado por inúmeras equações algébricas geradas a partir das condições de equilíbrio. Após o processamento e o armazenamento dessas equações têm-se uma solução aproximada da estrutura em análise. A sua modelagem pode ser aplicada não só para análise estrutural como também para problemas de termodinâmica, mecânica dos fluidos, mecânica dos materiais, etc. O MEF é um modelo de cálculo cada vez mais empregado na indústria da construção civil, indústria automobilística, aeroespacial, aeronáutica, naval, telecomunicação, recursos hídricos, etc. Na engenharia estrutural, a aplicação do MEF remete-se à determinação de tensões e deformações bem como prever o comportamento estrutural, como por exemplo, deslocamentos impostos (recalques de fundações) de edifícios, barragens, pontes, passarelas, túneis. O MEF discretiza elementos construtivos por meio dos elementos finitos de viga, laje, treliças, paredes, fundações, blocos, etc. Dentro da área de mecânica dos sólidos, o MEF realiza a análise estática, estudo de vibração e instabilidade estrutural, por meio da análise modal além da análise dinâmica. CONCEITOS RELATIVOS À NÃO LINEARIDADE No setor da construção civil, devem ser feitas as análises de não linearidades principalmente em estruturas de grande porte, como por exemplo, a construção de edifícios de grandes alturas e pontes de grandes vãos. A não linearidade pode ser tanto física quanto geométrica. De acordo com Martins (1997), o comportamento não linear físico está relacionado à resposta do material quando solicitado e que permite a análise da distribuição de tensões ao longo da estrutura e seção transversal. A não linearidade geométrica, conhecida também por efeito de segunda ordem, é produzida pela mudança da geometria, gerada pelas deformações, que causam excentricidades em relação à posição inicial. A análise não linear é uma ferramenta essencial na determinação do comportamento estrutural que mais se aproxima do real, uma vez que permite levar em conta as deformações de ª ordem (não linearidade geométrica) e leis constitutivas não lineares (não linearidade física) dos materiais envolvidos. Segundo Azevedo (1985), a não linearidade geométrica é considerada quando: Para análise de grandes deformações com variações da geometria da estrutura, influenciada pelo incremento de forças que lhe é imposta. Dessa forma a relação tensão

5 deformação configura um comportamento não linear que é resolvido por meio de iterações; No estudo da instabilidade de estruturas, onde se considera as deformações de ª ordem e pretende-se determinar o fator de carga. A perda de estabilidade de estruturas, que possuem material de comportamento não linear, pode ocorrer quando ao crescer a intensidade do carregamento, o aumento da capacidade resistente da estrutura se torna menor do que o aumento da solicitação. A seguir são apresentadas as leis constitutivas não lineares dos materiais aço e concreto aplicado nas modelagens numéricas desenvolvidas neste trabalho. Não linearidade física de materiais metálicos De acordo com Faglioni (006) vários pesquisadores têm trabalhado com o objetivo de aprimorar modelos que tratam de não linearidade física. Devido à complexidade da sua fundamentação teórica, o estudo do comportamento não linear físico ainda é pouco empregado no meio técnico, sendo mais frequente na modelagem. Para introduzir a não linearidade física de um material, deve-se idealizar o comportamento do material, por meio da utilização de modelos matemáticos que permitam a simulação da relação tensão deformação real. Nos materiais metálicos tratados a quente têm-se o diagrama tensão deformação apresentado na Figura 1. Este diagrama é composto de três regiões: elástica, elastoplástica e plástica. Esses tipos de materiais possuem a característica de apresentarem uma melhor trabalhabilidade, aceitam serem soldados e resistem a incêndios moderados. Figura 1 Diagrama tensão-deformação de materiais metálicos tratado a quente Elástica Elasto Plástica Plástica Patamar de Escoamento Fonte: Faglioni (006)

6 Conforme se pode observar pelo diagrama mostrado na Figura 1, a Lei de Hooke ( E ) é válida até o nível da tensão de escoamento σ y, onde a relação tensão deformação é linear. Quando a tensão de escoamento σ y é ultrapassada, o valor do módulo de deformação longitudinal do aço E se difere do valor inicial e com isso a inclinação da curva tensão deformação começa a diminuir progressivamente, até ser atingida a tensão limite de resistência σ st. Assim, ao descarregar a barra de aço, esta não apresentará o valor do comprimento inicial L, indicando a presença de deformações residuais. Segundo Faglioni (006), para análise da tensão deformação real, destaca-se o modelo elastoplástico com endurecimento linear (Figura ). Este modelo caracteriza o comportamento não linear físico por meio de uma simplificação de diagrama bilinear. Figura Diagrama tensão-deformação do modelo elastoplástico com endurecimento linear Fonte: Faglioni (006) Assim, o módulo de deformação longitudinal E pode ser substituído pelo módulo tangente E t. Esse módulo E t é menor que o módulo longitudinal E, uma vez que a inclinação da curva tensão deformação diminui após ser atingida a tensão de escoamento. As seguintes equações podem ser aplicadas no modelo elastoplástico: σ < σ y σ σ y (1) E y y () E E t BREVE REVISÃO TEÓRICA SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O método dos elementos finitos (MEF) consiste em dividir um objeto contínuo em um número finito de partes. Isto permite transformar um problema complexo em um conjunto de problemas simples (elemento finito). Porém, a sua solução não é exata, uma vez que o MEF resolve um conjunto de elementos finitos por aproximações com boa precisão dos resultados, além de modelar o problema de maneira física mais real.

7 Esta concepção é bastante utilizada na engenharia e aplicada computacionalmente, o que torna propor várias soluções ao problema ao simular um problema real em um software. Os resultados obtidos dependem unicamente da forma de entrada dos valores dos parâmetros que o usuário insere e, exige conhecimento teórico sobre o tipo de problema a ser resolvido. A premissa básica para resolução numérica de problema complexo consiste em dividir o seu domínio em um número finito de partes (elementos), contornando a geometria do problema com continuidade em seus nós ou pontos de ligação para formar uma malha. A malha consiste em um conjunto de elementos e de nós (pontos nodais) que representam o domínio do problema, conforme apresenta a Figura 3. Figura 3 Malha de elementos finitos de um console metálico Fonte: Autor (017) A partir dos deslocamentos nodais que se torna possível determinarem os esforços internos, as tensões e também permite realizar a avaliação da resistência estrutural. Para isso deve ser feita a sua modelagem a qual estabelece inúmeras equações algébricas a partir das condições de equilíbrio do elemento estrutural. A resolução dessas equações é realizada por notações matriciais e que após processadas apresentam a solução aproximada da estrutura real. De acordo com a dimensão do problema (uni, bi ou tridimensional) existem diversas formas geométricas para compor os elementos finitos e formar a malha, pode ser citados: elemento de barra, tetraédrico, triangular, quadrilateral, etc. Cada elemento de malha apresenta graus de liberdade (gl), isto é, podem sofrer rotações e translações segundo eixos tri-ortogonais. Por exemplo, para modelos bidimensionais empregam-se malhas elementos simples como triângulos e retângulos.

8 A Figura 4 apresenta a forma dos diversos tipos de elementos finitos. Figura 4 Tipos de elementos finitos a) Elemento de barra com dois nós b) Elemento triangular com três nós c) Elemento triangular com seis nós d) Elemento tetraédrico com quatro nós e) Elemento de barra com três nós f) Elemento quadrilateral g) Elemento quadrilateral com quatro nós com nove nós Fonte: Souza (003) h) Elemento hexaédrico com oito nós Estes elementos apresentam respectivamente 3 e 4 nós definidos pelos seus vértices. Para resolução de problemas mais complexos, Gesulado (010) descreve que se costuma utilizar nós adicionais ao longo de suas arestas, sendo chamados de elementos de alta ordem e permitem representar funções polinomiais quadráticas (Figura 5). Figura 5 Elementos bidimensionais utilizados na modelagem numérica a) Comportamento linear b) Comportamento não-linear, presença de nós adicionais (alta ordem) Fonte: Gesualdo (010) No entanto, ao modelar contornos geométricos mais complexos podem-se combinar diferentes formas de elementos para formar malha. É preferível utilizar elementos de forma regular, ou seja, de mesmas dimensões. Para a modelagem de modelos em três dimensões emprega-se, comumente, o elemento hexagonal. Conforme Alves (01), a equação básica para o cálculo de forças e deslocamentos é dada por: K u F (3) Onde: K é a matriz de rigidez da estrutura, e apresenta ordem igual ao número de graus de liberdade; u é o vetor de deslocamento nodal;

9 F é o vetor de forças sobre os nós. INFORMAÇÕES A RESPEITO DO PROGRAMA CODE_ASTER De acordo com Aubry (013) Code_Aster é um acrônimo para Análise de Estruturas e Termodinâmica para Estudos e Pesquisas (Analysis of Structures and Thermomechanics for Studies and Research). É um programa de Análise de Elementos Finitos desenvolvido por EDF (Électricité De France) R&D Department. O programa permite simular problemas que envolvam mecânica, termodinâmica e fenômenos de todos os tipos de análises tais como: estática linear, estática ou dinâmica não linear. É um programa de licença GPL (General Public License), ou seja, é um programa livre. Apresentação dos modelos estruturais para a simulação Este ponto de estudo visa comparar resultados analíticos com os programas de simulações numéricas que utilizam o Método dos Elementos Finitos. Os elementos a serem simulados pelo programa de lincença livre Code_Aster e analisados analiticamente estão listados na Tabela 1. Tabela 1 Elementos estruturais simulados nos softwares, cotas em milímetros L-1 L- L-3 EL-4 Fonte: Autor (017)

10 Descrições do material, propriedades físicas, propriedades mecânicas e aplicação do carregamento na simulação As propriedades mecânicas bem como a intensidade do carregamento de tração aplicada nas simulações estão descritas na Tabela. Tabela Descrição dos materiais, das propriedades físicas, propriedades mecânicas e do carregamento Módulo de Tensão de Coeficiente Elemento Densidad Elasticidade Carregamento Modelo Material Escoamento de Poisson - Renderizado e (kg/m³) Longitudinal (kn) fy (MPa) ν - E (GPa) Aço EL-1 ASTM A ,6 100 EL- Liga de Aço ,8 0,5 EL-3 Liga de Aço ,8 10 EL-4 Liga de Aço Fundido ,6 10 Fonte: Autor (017) Soluções analíticas dos elementos estruturais submetidas à solicitações de tração Resolução analítica do modelo EL-1 A barra desse modelo está submetida, em sua extremidade, a um carregamento de tração de 100 kn. Propriedades Geométricas A maior = D maior = 50 mm 1 4 = 0, m² A menor = D menor = 35 mm 1 4 = 0, m² Tensões Normais Região da extremidade da barra 1 P A maior , ,05 kn/m² 1 50,93 MPa

11 Região central (cilíndro de 35 mm de diâmetro) P A menor 100 0, ,30 kn/m² 103,4 MPa Diâmetro de 50 mm para 35 mm (Tronco de Cone), L =,5 cm Como a tensão é medida por uma força perpendicular a seção transversal, nesse caso, há variação da seção e é considerada a ia dos diâmetros para o cálculo da área. Média dos diâmetros = (50+35)/ =4,5 mm A ia = P 3 A 1 4 = 0, m² , ,04 kn/m² 3 70,491 MPa Deslocamento da Barra Por Segmento Região da extremidade da barra com diâmetro de 50 mm e comprimento L = 5 cm 1 1 P L 100 0, , m E A , ,0173 mm ou 1, mm Região central com diâmetro de 35 mm e comprimento L = 17,5 cm P L E A 100 0,175 17,5 6 0, m , , mm ou 9, mm Região Tronco de Cone, L =,5 cm com variação do diâemtro de 50 mm para 35 mm A ia = = 0, m² P L 100 0,05, , m E A , , mm ou 8, mm Deslocamento Total da Barra total 1 3 total ( 0,0173)+0, ( 0, ) 0,0546+0, , , mm ou 1, mm total Resolução analítica do modelo EL- total Trata-se de uma placa metálica com um furo central submetida a um carregamento de tração no valor igual a 500 N aplicada na extremidade da placa.

12 As equações elementares empregadas tanto na Resistência dos Materiais como no Projeto de Elementos de Estruturas, pressupõem que os elementos analisados possuem seção transversal constante ou, que a mudança nas dimensões da seção transversal, acontece de maneira gradual. Entretanto, na prática muitas vezes acontece o contrário, como ilustra a Figura 7. Figura 7 Distribuição de tensões normais em peças com concentração de tensões Fonte: Hibbeler (01) A presença de um furo provoca uma alteração na distribuição de tensões, aparecendo um pico de tensão definido como tensão máxima, σ máx. A tensão ia, σ, é o valor de tensão que desconsidera o efeito da concentração de tensões, sendo determinada como apresentada na Figura 8. Figura 8 - Cálculo da tensão ia desconsiderando o efeito da concentração de tensões Fonte: Hibbeler (01) Propriedades geométricas do modelo EL- A = w d t = (0-5) 1 A = 15 mm² L = 75 mm; w = 0 mm, diâmetro do furo (d) = 5 mm Tensão máxima normal A tensão máxima normal ocorre de forma concentrada na região do furo e é calculada por: K (6) máx t

13 Onde: máx - Máxima tensão normal na placa - Tensão sem a consideração do furo dada por: P (7) w d t K t - Coeficiente que correlaciona a máxima tensão normal e a tensão na estrutura sem furo, ou seja: Kt máx (8) A Equação 8 é obtida apenas para o cálculo de furos central na placa. Após o cálculo é possível traçar uma curva apresentada na Figura 9: Figura 9 Ábaco para cálculo do coeficiente de concentração de furo central Modelo EL- Fonte: Hibbeler (01) Assim, considerando d/w = 5/0 = 0,5 e entrando no ábaco obtém-se K t =,45. Determinação da tensão ia: P ,333 N/mm² w d t ,333 MPa Logo a tensão máxima na região do furo: 33,333,45 80,83 MPa máx máx Deslocamento da Placa com Furo Central P L 500( N) 0,075( m) 1 0, m ou 11, mm E A 9 N ,000015( m²) m²

14 Resolução analítica do modelo EL-3 Trata-se de uma placa metálica com dois furos nas bordas submetida a um carregamento de tração no valor igual a 10 kn aplicada na extremidade da placa. Tensão máxima normal A tensão máxima normal ocorre de forma concentrada na região do furo e é calculada pela Equação 6: máx K Sendo t K t um coeficiente que correlaciona a máxima tensão normal e a tensão na estrutura sem furo, para elementos estruturais com furos nas bordas submetidos a carga normal devem ser utilizado o ábaco da Figura 10. Figura 10 Ábaco para cálculo do coeficiente de concentração de furos nas bordas Modelo EL-3 Propriedades Geométricas A = D rt = (50-5) A = 80 mm² Fonte: Hibbeler (01) D = 50 mm e d = d= 40 mm (Ver Tabela 1) L = 100 mm; w = 50 mm, diâmetro do furo = 10 mm Assim, considerando r/d = 5/40 = 0,15 e D/d = 50/40 =1,5 e entrando no gráfico obtémse K t =,7. A tensão normal ia para elemento com furos nas bordas é igual a: P, com t sendo a espessura do elemento em análise. D rt Assim, 15 N/mm² ou 15 MPa 50 10

15 Determinação da tensão máxima na região do furo: 15,7 83,75 MPa máx máx Deslocamento da Placa com Furos nas Bordas P L 10000( N) 0,10( m) 1 0, m ou 5, mm E A 9 N ,00008( m²) m² Resolução analítica do modelo EL-4 O console metálico apresenta uma base com dois furos submetida a um carregamento axial de tração no valor de 10 kn, simulando uma ligação com viga. Determinação de K t Das propriedades geométricas tem-se: d/w = 14/160 = 0,0875 e no ábaco da Figura 11, obtém-se K t =,7. Figura 11 Ábaco para cálculo do coeficiente de concentração de furos nas bordas Modelo EL-4 Fonte: Hibbeler (01) A= w d t Propriedades Geométricas Área da placa base com furo central = (160-14) 10 A = 1460 mm² ou 0,00146 m² Determinação da tensão ia: P ,191 N/mm² ou 8,191 MPa w d t Determinação da tensão máxima: A tensão máxima na região do furo é calculada conforme a Equação 6 e é igual a:

16 8,191,7 3,56 MPa máx máx Deslocamento da placa do console com furo central P L 10000( N) 0,10( m) 1 0, m ou 5, mm E A 9 N ,00146( m²) m² APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS NUMÉRICOS E ANALÍTICOS Tabela 1. Esta seção apresenta os resultados das tensões normais obtidas para os modelos da As Figuras 1 a 15 apresentam as tensões de Von Mises e deslocamentos para o modelos EL-1, EL-, EL-3 e EL-4, obtidos pelo programa Code_Aster. Figura 1 Resultados numéricos do modelo EL-1 a) Code_Aster Valor Máximo de Tensão Normal de Von Mises igual a 13,40 MPa b) Code_Aster Valor máximo de deslocamento igual a 1, mm Observa-se que os menores valores de tensões de Von Mises ocorrem nas extremidades e maiores tensões na região de transição da parte central do modelo para o tronco de cone do modelo. Figura 13 Resultados numéricos do modelo EL- a) Code_Aster Valor Máximo de Tensão Normal de Von Mises igual a 79,30 MPa b) Code_Aster Valor máximo de deslocamento igual a 9, mm Pode-se observar que os valores máximos de tensões ocorrem na região dos furos e deslocamentos máximos nas extremidades do modelo, em sua extremidade livre, na cor vermelha, com nulidade de translação na região do apoio (cor azul).

17 Figura 14 Resultados numéricos do modelo EL-3 a) Code_Aster Valor Máximo de Tensão Normal de Von Mises igual a 86,0 MPa b) Code_Aster Valor máximo de deslocamento igual a 4, mm No modelo EL-3 (placa metálica com furos nas bordas).observa-se que os maiores valores de tensões ocorrem na região crítica de falha, ou seja, na região dos furos do modelo. Os resultados numéricos do console estão apresentados na Figura 15. Figura 15 Resultados numéricos do modelo EL-4 a) Code_Aster Valor Máximo de Tensão Normal de Von Mises igual a 81,0 MPa b) Code_Aster Valor máximo de deslocamento igual a 6, mm A Tabela 3 apresenta os resultados entre o programa livre Code_Aster e os obtidos analiticamente deste estudo. Tabela 3 Resultados Numéricos e Analíticos Análise Resultados EL-1 EL- EL-3 EL-4 Code_Aster Tensão Máxima Normal (MPa) Deslocamento Máximo (mm) 13,40 79,30 86,0 81,0 1, , , , Analítico Tensão Máxima Normal (MPa) Deslocamento Máximo (mm) 103,40 80,83 83,75 3,56 1, , , , Fonte: Autor (017)

18 Análise dos resultados analíticos e numéricos A Tabela 4 apresenta a análise de diferença de resultados com a simulação do programa Code_Aster em relação à teoria clássica da resistência dos materiais. Tabela 4 Análise dos resultados numéricos e analíticos dos modelos Modelo Análise Peso relativo Diferença (%) EL-1 Tensão 1, ,34 Deslocamento 1, ,746 EL- Tensão 1,0199 1,99 Deslocamento 1,848 8,4 EL-3 Tensão 1, ,863 Deslocamento 1, ,51 EL-4 Tensão 1,5787 5,78 Deslocamento 1, ,37 Fonte: Autor (017) CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho é estudado resultados de tensões e deslocamentos de modelo de barra, placa com furo central, placa com furo de borda e console metálico para apoio de vigas. Os modelos foram submetidos à tração e foram realizadas simulações numéricas no programa Code_Aster que adota o método dos elementos em sua análise. Durante as simulações são inúmeros os fatores que podem trazer resultados mais precisos com a aplicação do método dos elementos finitos, um exemplo disso é o refinamento da malha do modelo o qual é possível especificar o tamanho da malha e as regiões onde são necessárias aprimorar os resultados manualmente. Enfim, as principais conclusões deste trabalho estão alinhadas a seguir: a) O fato dos deslocamentos dos modelos estruturais EL-, EL-3 e EL-4 apresentarem erro percentual maior do que 5 % condiz com a dispersão de resultados para deformações a partir da ordem de 10 - mm; b) Em termos de tensão, todos os elementos analisados apresentaram erros percentuais satisfatórios quando comparados os valores analíticos e numéricos. Porém, uma atenção especial na formação e escolha do tipo de elemento da malha deve ser dada ao modelo EL-4 pelo Code_Aster, o que requer maior cuidado quanto à sua confiabilidade de resultado. Para transpor erros numéricos é possível aplicar no programa os seguintes métodos de convergência de resultados:

19 Método adaptativo h o qual tenta aprimorar automaticamente os resultados de estudos estáticos através da estimativa de erros no campo das tensões, refinando progressivamente a malha nas regiões com grandes erros até alcançar um nível estimado de exatidão; Realizar iterações por meio do método adaptativo p que aumenta a ordem do polinômio dos elementos da malha a fim de aprimorar os resultados nas áreas com grandes erros de tensão. d) O maior peso entre o Code_Aster e a teoria clássica de resistência dos materiais, em relação à análise de tensões, ocorreu no modelo EL-4 com valor de diferença de 5,78 %. Essa diferença exige a necessidade de refinamento da malha nas regiões próximas aos furos. e) Os resultados apresentados indicam valores aceitáveis para cálculos analíticos e numéricos, no entanto, um estudo mais detalhado quanto ao tamanho, tipo e densidade de malha deve ser realizado para aprimoramento dos modelos. f) Finalmente, embora um maior número de simulações possa validar melhor o comportamento dos modelos estudados, é necessário ter um estudo numérico que leve em conta um comportamento mais realista do conjunto, como a não linearidade física dos materiais envolvidos, uma vez que os modelos foram simulados por meio da análise estática linear. Referências ALBRY, J.P. Beginning with Code_Aster. A practical introduction to finite elemento method using Code_Aster Gmsh and Salome. Paris: FramaBook, 013. ALVES FILHO, A. Elementos Finitos. A Base da Tecnologia CAE. 5. ed. São Paulo: Érica, 01. AZEVEDO, A. F. M. Análise Não-Linear de Estruturas Planas de Betão Armado Pelo Método dos Elementos Finitos. Dissertação (Mestrado em Engenharia Estrutural) Universidade do Porto, FAGLIONI, A. F. Análise Não-Linear Física de Vigas de Concreto Armado Utilizando o Elemento Finito Prismático Regular Linear Associado ao de Barra. 1 f. Dissertação (Mestre em Engenharia Civil) Universidade Estadual Paulista, 006. GESULADO, F. A. R. Notas de Aula: Método dos Elementos Finitos. Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Federal de Uberlândia (FECIV-UFU), 010. Disponível em: <

20 HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 01. MARTINS, J. J. G. Análise Não-Linear Geométrica de Estruturas Reticuladas Espaciais. Dissertação (Mestrado em Estruturas de Engenharia Civil) Universidade do Porto, MERIAM, J. L., KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 009. MOAVENI, S. Finite Element Analysis: Theory and Application with ANSYS. 3. ed. New Jersey: Pearson, 008. SOUZA, R. M. O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor. Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Pará, 003. Disponível em: < Publicados/Apostilias/ApostilaElementosFinitosNiCAE.pdf>. Acesso em: 0 fev. 017.