As produções de um grupo de pesquisa sobre o Ensino de Matemática na Perspectiva Lógico-Histórica: estudo dos elementos históricos correlatos

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1 As produções de um grupo de pesquisa sobre o Ensino de Matemática na Perspectiva Lógico-Histórica: estudo dos elementos históricos correlatos GD n 5 História da Matemática e Cultura Everaldo Gomes Leandro 1 A presente pesquisa de Mestrado em desenvolvimento tem como objetivo analisar as produções de um grupo de pesquisa constituído por licenciandos, professores da Educação Básica e pesquisadores que defendem o ensino da Matemática na Perspectiva Lógico Histórica. Ao analisar tais produções consideraremos os elementos históricos que estão sendo priorizados, de forma a compreender como a História da Matemática está sendo considerada nas produções do grupo. Para alcançar o objetivo traçado, definimos duas questões norteadoras: Quais são as produções de um grupo de pesquisa sobre o Ensino de Matemática na Perspectiva Lógico-Histórica?Que elementos históricos e como estão sendo considerados nestas produções? A pesquisa é de cunho qualitativo e consideraremos como produções as sínteses teóricas e as atividades correlatas elaboradas pelo grupo. A análise dos dados será feita a partir de categorias que serão definidas a posteriori na medida em que os dados forem sendo coletados. Ao final da pesquisa pretendemos trazer contribuições teóricas no que diz respeito às possibilidades que a História da Matemática pode indicar, para a organização do ensino de Matemática na Educação Básica. Palavras-chave: Educação Matemática. História da Matemática. Perspectiva Lógico Histórica. Teoria Histórico-Cultural. Atividades de Ensino. Introdução A presente investigação que está em desenvolvimento surgiu a partir das reflexões que temos feito sobre algumas pesquisas da Educação Matemática que se fundamentam na Perspectiva Lógico-Histórica. O problema que identificamos ao realizarmos as leituras das pesquisas de Sousa (2009), Rodrigues (2009), Rezende (2010), Abreu (2010), Vasconcelos (2012), Abreu (2013), Ferreira (2014), Panossian (2014) e Oliveira (2014) reside na constatação de que os pesquisadores parece que não deixam tão explicito como foi o processo de escolha dos elementos históricos de conceitos que julgam ser importantes para a construção lógica destes e porque tal elemento é importante para a aprendizagem daquele conceito por um estudante da Educação Básica dos dias de hoje. Sendo assim, nossa motivação consiste em acompanhar os estudos e a elaboração de atividades de um grupo de pesquisa que se fundamenta na Perspectiva Lógico-Histórica. Assim, procuraremos, a partir de suas produções (sínteses teóricas e atividades de ensino) analisar quais e como os elementos históricos de um conceito estão sendo selecionados para fazer parte das produções. 1 Universidade Federal de São Carlos UFSCAR. everaldogomesleandro@hotmail.com, Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo de Sousa.

2 Para justificar a sua importância desta investigação, fizemos um levantamento inicial dos grupos de pesquisa em Educação Matemática que desenvolveram teses e dissertações na Perspectiva Lógico Histórica e encontramos até o momento sete grupos, que se dedicam a essa temática, são eles: Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Atividade Pedagógica (GEPAPe) da Universidade de São Paulo (USP) coordenado pelo Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura; Grupo de Estudos e Pesquisas sobre a Atividade Matemática (GeMAT) da Universidade Federal de Goiás (UFG) coordenado pelo Prof. Dr. Wellington Lima Cedro; Grupo de Pesquisa Formação Compartilhada de Professores Escola e Universidade (GPEFCom) da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) coordenado pela Profa. Dra. Maria do Carmo de Sousa e pela Profa. Dra. Wania Tedeschi; Núcleo de Estudos e Pesquisas em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Federal de Lavras (UFLA) coordenado pelo Prof. Dr. José Antônio Araujo Andrade; Grupo de Pesquisa Educação Matemática: Uma Abordagem histórico-cultural da Universidade do Extremo Sul Catarinense (UNESC) coordenado pelo Prof. Dr. Ademir Damazio e pela Profa. Dra. Josélia Euzébio da Rosa; Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (GEPEMat) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) coordenado pela Profa. Dra. Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes; Grupo de Estudos e Pesquisas em Instrução, Desenvolvimento e Educação da Universidade de Uberaba (UNIUBE) coordenado pelo Prof. Dr. Orlando Fernández Aquino e pela Profa. Dra. Ana Maria Esteves Bortolanza. A partir deste levantamento, percebemos que uma comunidade de Educadores Matemáticos vem se formando e entendemos que analisar as produções de um destes grupos se torna importante, na medida em que estes pesquisadores defendem que o Ensino da Matemática possa ser pensado a partir da perspectiva Lógico-Histórica. Em particular, iremos refletir sobre como e quais elementos históricos dos conceitos estão sendo selecionados e que, fazem com que, estas produções sejam entendidas como necessárias para a aprendizagem da Matemática de crianças e jovens de hoje. Definimos assim, como objetivo desta investigação: Analisar as produções de um grupo de pesquisa constituído por licenciandos, professores da Educação Básica e pesquisadores que defendem o ensino da Matemática na Perspectiva Lógico Histórica. Ao analisar tais produções, consideraremos como objeto de estudo os elementos históricos que estas trazem e assim, procuraremos compreender como a História da Matemática se manifesta nas produções deste grupo de pesquisa. Para alcançar o objetivo traçado, definimos como questões norteadoras: Quais são as produções de um grupo de pesquisa sobre o Ensino de Matemática na Perspectiva Lógico-Histórica?Que elementos históricos e como estão sendo considerados nestas produções?

3 Nesse sentido, organizamos este texto em quatro momentos. No primeiro momento, (1) apresentaremos a problemática da pesquisa de forma a expor os caminhos percorridos para encontrar o foco desta. Posteriormente, (2) refletiremos sobre os argumentos utilizados ao longo do tempo sobre a importância da História da Matemática para a aprendizagem da Matemática, no contexto da Educação Básica. No terceiro momento (3) discutiremos a perspectiva Lógico-Histórica como perspectiva didática para o ensino de Matemática, que coloca no centro da discussão a necessidade de se pensar nos elementos históricos para compreender o constituir-se lógico dos conceitos. No último momento (4) apresentaremos os procedimentos metodológicos e o primeiro levantamento bibliográfico que poderá subsidiar as discussões e análises. Os caminhos percorridos para definir a problemática da pesquisa A partir das leituras que fizemos em relação à Perspectiva Lógico Histórica, encontramos autores como Sousa (2004), Sousa (2009), Rodrigues (2009), Rezende (2010), Abreu (2010), Vasconcelos (2012), Abreu (2013), Ferreira (2014), Panossian (2014) e Oliveira (2014) que defendem o ensino de Matemática na Perspectiva Lógico Histórica por meio de atividades de ensino que são organizadas a partir dos nexos internos do conceito, ou seja, dos nexos conceituais. Vale a pena destacar que, os nexos conceituais, são os elementos históricos que se constituem como elos entre as formas de pensar o conceito (SOUSA, 2014). Para Vasconcelos (2012), por exemplo, os nexos que possibilitam entender o conceito de função são seis: (1) interdependência e fluência; (2) isolados; (3) lei de formação e as regularidades; (4) variáveis; (5); campo de variação e a noção de infinito e, (6) representação. Se por um lado a Perspectiva Lógico Histórica, no entendimento de Sousa (2004), vislumbra compreender a relação dialética entre o lógico e o histórico e entende que o conceito matemático é imbricado de História e esta História não deve ser esquecida, por outro, os autores citados acima entendem que uma possibilidade, para se desenvolver atividades nessa perspectiva em sala de aula, reside em selecionar os elementos históricos fundamentais que possibilitaram o desenvolvimento de um determinado conceito. O processo de seleção desses elementos históricos que é o cerne de nossa inquietação nesta pesquisa fizeram com que nos questionássemos: Quais elementos históricos são selecionados? Por que estes elementos e não aqueles? Como se configura o processo de seleção?

4 Entendemos que, a forma como o pesquisador concebe a Ciência da História e a História da Matemática vai determinar a seleção dos elementos históricos que se constituirão como nexos conceituais nas atividades de ensino. Um dos exemplos que podemos citar, para compreendermos tal problemática foi constatado no estudo de Vasconcelos (2012). Nesse estudo, a referida autora objetiva entender o conceito de função, identificar os elementos históricos que podem constituir se em nexos conceituais e criar atividades de ensino para abordar tais nexos. A autora faz uso dos seguintes teóricos: Karlson (1961), Caraça (1984), Sousa (2004) e Rezende (2010) que, na nossa interpretação, veem a História como fonte para o entendimento da constituição teórica dos conceitos. Ao elaborar as atividades, a autora considera que são seis os nexos conceituais de função e inquietamo-nos novamente: Caso os historiadores e pesquisadores utilizados pela autora fossem outros, os elementos históricos selecionados seriam outros? Entendemos que a seleção dos elementos históricos poderia ser outra se os historiadores e pesquisadores utilizados pela autora entendessem o papel da História de outra maneira e desta forma, os elementos históricos selecionados entendidos como importantes para o desenvolvimento de um conceito poderiam ser outros. Sendo assim, no próximo tópico refletiremos sobre os argumentos utilizados ao longo do tempo sobre o papel da História da Matemática para a aprendizagem da Matemática, percebendo os argumentos comumente utilizados para justificar a importância da História para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Os argumentos em relação ao uso da História da Matemática em aulas de Matemática Os estudos de Miguel (1993) apontam, nos anos 90, as possibilidades existentes na História para uma mudança no ensino da Matemática. Segundo o autor o ensino da Matemática continuava não andando bem em nosso país (ibidem, p.1) e questionava: Quais as razões desse fracasso reiterado? Que rumo deveremos tomar daqui para frente? Deveremos buscar respostas e alternativas unicamente dentro dos estreitos limites da pedagogia da Matemática, através da renovação de conteúdos e métodos? (ibidem, p.1) Desta forma, Miguel (1993) coloca em discussão as possíveis maneiras de empregar a História da Matemática para o ensino, mas de uma forma que rompesse os limites habitualmente compreendidos sobre a História para o ensino e a aprendizagem da

5 Matemática e que entendesse que as dissonâncias cognitivas deveriam ser provocadas por dissonâncias históricas (MIGUEL, 1993). Em seu trabalho, Miguel (1993) acredita que a importância da História não se restringe apenas na compreensão do passado, pois se ela é instrumento de compreensão e avaliação, pode se tornar instrumento de superação e reorientação/transformação das maneiras de ação do sujeito ou de uma comunidade. Por sua vez, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) citam a importância de abordar a História em aulas de Matemática com o intuito de criar condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante dessa ciência. Deste modo, os autores dos PCN argumentam que: A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente [...] (BRASIL, 1998, p.42) Nesse sentido, para que os currículos, orientações curriculares e os próprios PCN se estruturassem com o propósito de valorizar a História em aulas de Matemática, houve a necessidade de se pensar nas diversas abordagens da História para o ensino de Matemática em sala de aula. Miguel (1993 e 1997) estrutura a partir de sua tese os argumentos em relação ao papel pedagógico da História para o ensino de Matemática. Entendemos que tais argumentos evidenciam os pensamentos e abordagens, defendidos ao longo do tempo por pesquisadores, professores de Matemática e grupos de pesquisa, em relação ao uso da História em aulas de Matemática. Enumeramos abaixo os 13 argumentos, apresentados pelo mesmo autor que ilustram como a História se configura nas aulas de Matemática: 1. Como fonte de motivação para o ensino e a aprendizagem da Matemática; 2. Como fonte de objetivos para o ensino da Matemática; 3. Como fonte de Métodos adequados de ensino da Matemática; 4. Como fonte para seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática; 5. Como instrumento que possibilita a desmistificação da Matemática e a desalienação de seu ensino; 6. Como instrumento de formalização de conceitos matemáticos; 7. Como instrumento de promoção do pensamento independente; 8. Como instrumento unificador dos vários campos da Matemática; 9. Como instrumento promotor de atitudes e valores; 10. Como instrumento de conscientização epistemológica; 11. Como instrumento que pode promover a aprendizagem significativa; 12. Como instrumento de resgate da identidade cultural;

6 13. Como instrumento revelador da natureza da Matemática. Discutiremos alguns desses argumentos, pontuando de início os pensamentos e abordagens que julgamos mais significativos para um panorama geral do entendimento da História em aulas de Matemática. O panorama possibilitará a visão do lugar em que esta pesquisa se insere e em qual perspectiva de História em aulas de Matemática se fundamenta. Em seu estudo Miguel (1993) indica que um dos primeiros argumentos em relação ao papel pedagógico da História em aulas de Matemática que evidencia a abordagem que se dá à História em sala de aula está presente no trabalho Elemantary Mathematics from and Advanced Standpoit do matemático Felix Klein ( ). Neste trabalho Klein (1945 apud MIGUEL,1993) opõe-se ao pensamento que desvincula o ensino da investigação, e sugere que um caminho para diluir essa dicotomia seria a introdução da História nas práticas pedagógicas: a História como fonte de métodos adequados de ensino da Matemática. Para Miguel (1993, p.39), Klein defende que a dimensão pedagógica da História: [...] aparece-lhe vinculada à questão da seleção de métodos adequados de ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Além disso, o modo como tenta superar a dissonância entre método histórico de produção do conhecimento e métodos de ensino-aprendizagem, consiste em atribuir ao primeiro a qualidade de método natural e verdadeiramente cientifico de instrução. Com a chegada e consolidação do Movimento da Matemática Moderna (MMM), que entendia que o ensino da Matemática deveria dar se baseado na formalidade e rigor da teoria dos conjuntos e da álgebra, Morris Kline descobre na História da Matemática argumentos que colocam em dúvida os fundamentos desse movimento. Kline sugere que os conceitos com um caráter mais intuitivo precedem os conceitos matemáticos menos intuitivos e acredita que o papel pedagógico da História se relaciona com a abordagem intuitiva da Matemática na escola opondo-se a uma abordagem dedutiva (KLINE, 1976 apud MIGUEL, 1993). O pesquisador acredita que: Parece claro que os conceitos que tem o sentido mais intuitivo, os números inteiros, frações e conceitos geométricos, foram aceitos e utilizados primeiro. Os menos intuitivos números racionais, números negativos, números complexos, o uso de letras para coeficientes gerais e conceitos de cálculo exigiram muitos séculos, quer para serem criados, quer para serem aceitos. Além disso, quando foram aceitos, não foi a lógica que induziu os matemáticos a adotá-los, mas os argumentos por analogias, sentido físico de alguns conceitos e a obtenção dos resultados científicos exatos. Em outras palavras, foi a evidência intuitiva que

7 induziu os matemáticos a aceitá-los. A lógica sempre viera muito depois das criações [...] (ibidem, p.58). Kline (1976 apud MIGUEL, 1993) entende também que, além da compreensão de conceitos intuitivos precederem dedutivos, esse processo não ocorre de forma harmoniosa e de maneira linear (entendimento da História como instrumento que possibilita a desmistificação da Matemática e a desalienação de seu ensino). Ressalta que a transposição desses conceitos demonstra o contrário, passando a impressão de que conceitos e conteúdos estão completamente prontos e acabados (uma concepção axiomática da Matemática), além de ignorarem o processo histórico de construção dos conceitos. O processo histórico por sua vez, contribui para o entendimento da Matemática como um todo, em que suas partes se relacionam e desconstrói a ideia de fragmentação dos conteúdos matemáticos (entendimento da História como um instrumento unificador dos vários campos da Matemática). Por outro lado, entre as abordagens atuais em relação à História em aulas de Matemática, temos as pesquisas de Paulus Gerdes (entendimento da História como instrumento de resgate da identidade cultural). Gerdes (1991 apud MIGUEL, 1993) queria mostrar que era equivocado o pensamento do povo moçambicano de que Matemática era uma criação e capacidade exclusiva dos homens brancos e que a capacidade dos povos colonizados estava sendo negada ou reduzida a memorização mecânica. Deste modo, o pensamento de Gerdes vai ao encontro da ideia de que é necessário proceder à incorporação no currículo das tradições Matemáticas e, para isso, se faz necessário, antes de mais nada, reconhecer o caráter matemático dessas tradições através da ampliação do que normalmente se entende por Matemática (Miguel, 1993, p.82). A partir das abordagens/argumentos utilizados para defender o uso da História em aulas Matemática, entendemos que a perspectiva dessa pesquisa tem elementos das diferentes abordagens mencionadas, mas não entendemos que se enquadra exclusivamente em uma dessas categorias estudadas por Miguel (1997). Nosso argumento em relação às possibilidades da História da Matemática fazer parte das aulas de Matemática está pautado na Perspectiva Lógico Histórica para o ensino dos conceitos. Desta forma, defendemos que, a perspectiva Lógico Histórica vem se constituindo, a partir dos grupos de pesquisa, como uma vertente além das apresentadas na pesquisa de Miguel (1997). Identificamos, pelo levantamento bibliográfico inicial

8 realizado por nós, que essa vertente se intensificou nos últimos 15 anos. Nesse sentido, na próxima sessão apresentaremos a perspectiva Lógico Histórica e os nexos conceituais como elementos históricos importantes que se apresentam em atividades de ensino de Matemática, especialmente, na Educação Básica. A perspectiva Lógico Histórica e os nexos conceituais Entendemos que a perspectiva Lógico-Histórica objetiva compreender a relação dialética entre o lógico e o histórico de um conceito. No tópico anterior, se apontamos o pensamento de teóricos sobre o papel pedagógico da História em aulas de Matemática, nesse pretendemos dar início a uma primeira compreensão da perspectiva que objetiva explicitar essa relação entre lógico e histórico para que assim, seja possível pensarmos na História para o ensino de conceitos matemáticos. Entendemos que a Matemática é uma construção humana e seus conceitos criados a partir de necessidades que surgiram em uma determinada sociedade e em um determinado período histórico. Nesse sentido, a perspectiva Lógico Histórica, fundamentada no materialismo histórico e dialético marxista 2 é entendida por Kopnin (1978) como o elemento que justifica porque o lógico não pode ser entendido sem o histórico. Nesse sentido: O lógico reflete o histórico de forma teórica. O histórico contém o processo de mudança do objeto, as etapas de seu surgimento e desenvolvimento, as casualidades dos fatos e da vida. Em suma, o lógico é o histórico despido das casualidades que perturbam o histórico (KOPNIN apud SOUSA, 2004, p.2). Rodrigues (2009, p.41) complementa esse argumento, ao defender que a perspectiva lógico-histórica apreende o conceito em seu movimento de criação e depura-o dos elementos casuais, identificando a ideia principal, o substancial, no próprio ato de criação. Defendemos que o entendimento dessa dialética entre o lógico e histórico pode orientar o ensino da Matemática em um sentido em que os estudantes tenham a oportunidade de vivenciar os dilemas históricos por traz do constituir se teórico de um conceito. Essa oportunidade, se dada ao estudante, para Gerdes (1991, p.63), é a mesma que o primeiro artesão vivenciou: 2 O materialismo histórico dialético rompe com a concepção de que a realidade estava no mundo das ideias que negava o papel das atividades práticas como modo de explicar a realidade. Na concepção de Marx, o conhecimento se dava na relação entre abstrato e o concreto, o lógico e o histórico (REZENDE, 2015).

9 O artesão que imita uma técnica conhecida, não está, geralmente a fazer (muita) Matemática. Mas o(s) artesão(s) que descobriu (descobriram) a técnica, fez(fizeram) Matemática, estava(m) a pensar matematicamente. Quando os alunos são estimulados a reinventar uma tal técnica de produção, estão a fazer e a aprender Matemática. Essa possibilidade, de fazer e aprender Matemática, através de atividades de ensino, é defendida por alguns autores como Sousa (2009), Rodrigues (2009), Rezende (2010), Abreu (2010), Vasconcelos (2012), Abreu (2013), Ferreira (2014), Panossian (2014) e Oliveira (2014), bem como por alguns grupos formados por pesquisadores, professores da Educação Básica e/ou licenciados, tais como: o Núcleo de Estudos e Pesquisas em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Federal de Lavras (UFLA) coordenado pelo Prof. Dr. José Antônio Araujo Andrade e o Grupo de Pesquisa Formação Compartilhada de Professores Escola e Universidade (GPEFCom) da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) coordenado pela Profa. Dra. Maria do Carmo de Sousa e pela Profa. Dra. Wania Tedeschi. Tais atividades são organizadas a partir dos elementos históricos que pesquisadores e professores julgam centrais para o desenvolvimento do conceito e para seu entendimento. Esses elementos históricos são definidos nas pesquisas como nexos internos/nexos conceituais. Nexo conceitual é definido por Sousa (2014, 65) como o elo entre as formas de pensar o conceito, que não coincidem, necessariamente, com as diferentes linguagens do conceito. Assim, os nexos conceituais contêm a lógica, a História, as abstrações, as formalizações do pensar humano no processo de constituir se humano pelo conhecimento (ibidem, 65). Desta forma, buscamos compreender as produções de um grupo de pesquisa para entender quais produções estão sendo feitas, quais e como os elementos históricos estão presentes nessas produções. As pesquisas que percebem, discutem e/ou ampliam os nexos conceituais e os procedimentos metodológicos Os grupos de pesquisa mapeados se concentram, em sua maioria, na região sudeste do país. Desse primeiro levantamento, encontramos até o momento cinco teses, 16 dissertações e 13 monografias defendidas entre o período de 1987 à Por sua vez, as pesquisas brasileiras da Educação Matemática na perspectiva Lógico Histórica se intensificaram nos últimos 15 anos. Até o ano de 2000, identificamos apenas duas dissertações defendidas por Duarte (1987) e Moíses (1999).

10 Em relação aos conceitos abordados nas pesquisas mapeadas temos, entre eles: medida, álgebra, número, números racionais, reta real, equações polinomiais, trigonometria, cálculo, função, limite e continuidade, números inteiros e geometria. Entendemos que essa investigação está se configurando como qualitativa e têm as características indicadas por Bogdan e Biklen (1999) quando estes entendem que (a) o investigador é o instrumento central e a fonte de dados é natural; (b) a investigação tem caráter descritivo, procurando manter a riqueza e a sutileza dos dados; (c) o foco de interesse são os processos em sobreposição ao resultado final e aos produtos; (d) os dados tendem a ser analisados de forma indutiva e; (e) é dada importância vital ao significado atribuído pelos participantes. O contexto da investigação se dará com os pesquisadores, professores da Educação Básica e licenciandos (sujeitos de pesquisa), integrantes do Grupo de Estudos e Pesquisas da História das Ciências GEPHC da Universidade Federal de Lavras - UFLA. Atualmente o grupo está em fase de renovação e conta com a coordenação do Prof. Dr. José Antônio Araujo Andrade e com a participação de duas professoras da Educação Básica e cinco licenciados em Matemática. No segundo semestre de 2015 o grupo planeja estudar a perspectiva Lógico- Histórica e analisar a evolução histórica de conceitos matemáticos. Posteriormente, os integrantes do grupo pretendem elaborar atividades de ensino nessa perspectiva. Os sujeitos do grupo de estudo escolhido serão investigados, bem como suas produções para compreendermos os elementos históricos que as compõem e como são selecionados. Ao final da pesquisa pretendemos trazer contribuições teóricas no que diz respeito às possibilidades que a História da Matemática pode fornecer para pensar o ensino de Matemática na Educação Básica. Referências ABREU, R. F. Uma abordagem lógico-histórica da geometria em atividades orientadoras de ensino. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade Federal de Lavras. Lavras, MG: ABREU, R, P. Investigando os Conceitos de Limite e Continuidade a partir da Perspectiva Lógico Histórica. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) Universidade Federal de Lavras. Lavras, MG: ANDRADE, J. A. A. et al. A Construção de Conceitos de Números Naturais Utilizando o Àbaco. Educação Matemática em Revista. V. 34, p , 2011.

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