Técnicas de Reconstrução Algébrica Aplicadas em Tomografia

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1 Técnicas de Reconstrução Algébrica Aplicadas em Tomografia Josué Ervin Musial Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia - PPGMNE, UFPR , Curitiba, PR ajmusial@gmail.com Ademir Alves Ribeiro Universidade Federal do Paraná - Departamento de Matemática , Centro Politécnico, Curitiba, PR ademir.ribeiro@ufpr.br Resumo: O presente trabalho consiste de um estudo teórico das ferramentas matemáticas, físicas e computacionais necessárias para a reconstrução de imagens tomográficas bem como sua efetiva aplicação em algoritmos conhecidos como técnicas de reconstrução algébrica, cuja sigla em inglês é ART. Além de verificarmos a convergência analítica do algoritmo criamos algumas figuras de teste, chamadas Phantons. Desenvolvemos um aplicativo para simular medições sobre os Phantons, gerando assim um conjunto de dados sobre os quais aplicamos os algoritmos de reconstrução algébrica. Palavras-chave: Tomografia Computadorizada, Reconstrução de Imagens, Algoritmos 1 Introdução A tomografia computadorizada é uma ferramenta com um enorme potencial de aplicabilidade nos mais diferentes campos científicos. Desde o surgimento dos primeiros aparelhos utilizados no diagnóstico médico, a técnica tem se disseminado pelos mais diferentes campos científicos. Utilizada como uma ferramenta, tornou os diagnósticos mais precisos e promoveu diagnósticos que até então não eram possíveis nas áreas médicas. Destacamos também sua importância nas ciências biológicas gerando imagens das estruturas internas dos seres vivos nos estudos destas ciências. Sua utilização ainda abrange estudos nas áreas da astronomia e diferentes áreas da engenharia. Destacamos ainda sua aplicação na agronomia, onde é utilizada nos estudos de solos, germinação de sementes e conservação de alimentos. A tomografia computadorizada não é apenas uma ferramenta, mas também é tema e objeto de estudo de muitos trabalhos que fazem a mesma progredir tornando essa técnica cada vez mais eficiente e com imagens de melhor qualidade. Várias ciências como a engenharia mecânica e elétrica tem trabalhado na melhoria mecânica dos aparelhos enquanto ferramentas da Matemática, Física, Ciência da Computação e Estatística são aplicadas e testadas nos algoritmos que reconstroem as imagens visando imagens com melhor qualidade. A palavra tomografia vem do grego, tomos ( corte ou fatia ) e graphia ( escrita ), ou seja, imagens de fatias. Assim a tomografia é uma técnica que permite reconstruir imagens de seções internas do objeto em estudo medindo a atenuação sofrida pelos fótons de radiações (raios-x, raios-γ ou ainda alguma substância radioativa) ao atravessarem o mesmo. O passo inicial para o desenvolvimento das técnicas de diagnóstico por imagem foi a descoberta,pelo físico alemão Wilhelm Conrad Röntgen [7]( ), dos raios-x e suas propriedades como a atenuação após atravessarem meios materiais e impressionarem filmes compostos por sais de prata. Essas propriedades possibilitaram o desenvolvimento dos exames radiográficos. 708

2 A base matemática para a solução do problema de reconstrução de imagens em tomografia computadorizada foi desenvolvida por J. H. Radon [8] em Em seu trabalho Radon mostra como é possível reconstruir uma imagem de corte transversal utilizando suas projeções. Mais tarde em 1963 A. M. Cormack [8] descreve uma técnica para o cálculo das atenuações de raios-x no interior do corpo humano e inicia os primeiros experimentos em tomografia e somente em 1972 é que o engenheiro G. N. Hounsfield [8] desenvolve o primeiro aparelho de tomografia computadorizada. Ambos Hounsfield e Cormack receberam o prêmio Nobel de Medicina e Fisiologia em Podemos dividir as técnicas de diagnóstico por imagem em duas classes [3]: aquelas que utilizam radiação ionizante (raios-x, raios-γ), no processo de obtenção das imagens como as radiografias e tomografias computadorizadas e as técnicas que não utilizam radiação ionizante para obter as imagens cujos exemplos são a ressonância magnética e a ultrassonografia. 2 Tomografia Computadorizada Apesar do problema central da tomografia ser o mesmo que consiste em obter a imagem da seção transversal de determinado objeto em estudo, as formas de se obter as medições das atenuações bem como o tipo de radiação usado para fazer as medições podem variar bastante. A tomografia computadorizada pode ser por transmissão quando o objeto em estudo é escaneado utilizandose uma fonte de radiação (raios-x ou radiação gama), a qual trataremos nesse trabalho, ou por emissão se o interesse é o estudo de processos fisiológicos utilizam-se radio-isótopos os quais são ingeridos pelo paciente. Estes isótopos irão se concentrar em determinado órgão ou percorrer um determinado caminho no organismo emitindo radiação e sofrendo decaimento radioativo. Essas emissões são medidas e as informações utilizadas para reconstruir as imagens. Dentre as técnicas de tomografia por emissão, destacam-se PET (Positron Emission Tomography) Tomografia por Emissão de Pósitrons [5] e SPECT (Single Photon Emission Tomography) Tomografia por Emissão de Fóton Único [5]. Figura 1: Tomógrafo Desde a sua invenção em 1972 os tomógrafos, Figura 1, foram sendo melhorados em busca de um projeto mecânico que proporcionasse uma redução no tempo do exame bem como uma melhor movimentação do paciente durante o mesmo. Quanto mais rápido o exame é feito menos o paciente fica exposto às radiações e quase não se movimenta durante o exame o que melhora a qualidade das imagens. As várias gerações de aparelhos de tomografia diferem basicamente na geometria da aquisição dos dados possibilitando aumentar a resolução e a qualidade das imagens. 3 Modelagem do problema Utilizaremos a geometria de um tomógrafo de 1 a geração [7] para coletar os dados referentes a localização do feixe e as respectivas atenuações sofridas pelos raios-x ao atravessarem o objeto 709

3 em estudo. Na Figura 2 podemos observar a coleta de dados ao redor de uma seção transversal. Com o auxílio de um computador e do conjunto de informações adquiridas de cada seção devemos reconstruir individualmente cada uma das imagens das seções transversais desejadas. Figura 2: Malha. Uma imagem digital consiste de uma malha composta por pequenos quadrados denominados pixels e cada um deles possui uma cor associada. Assim como as atenuações de raios-x são representadas em tons de cinza e o mesmo deve ocorrer com as imagens tomográficas. A Figura 2 é uma malha quadrada com N quadrados numerados, 1, 2, 3,..., N. Cada uma das divisões da malha representa um pixel na imagem a ser gerada e apesar da imagem ser plana na prática se trata de uma fatia que apresenta volume e cada pixel que será representado na imagem, como podemos observar na Figura 2, como um pequeno cubo da amostra em estudo. E este cubo recebe o nome de voxel. Na prática a imagem que será reconstruída é de uma fatia, com espessura, da amostra que se está fazendo a tomografia. Quando o feixe de fótons atravessa o objeto medimos sua intensidade no ponto de entrada e no ponto onde deixa o objeto para obtermos assim uma estimativa total do coeficiente de atenuação do feixe dentro do objeto. O feixe de fótons quando atravessa um meio material segue um princípio físico conhecido como Lei de Beer Lambert descrito na equação abaixo I I 0 = e µd (1) onde I 0 é o número de fótons na entrada, I é o número de fótons que atravessou a seção, d é o comprimento da seção (a grosso modo o comprimento percorrido pelo feixe) e µ é o coeficiente de absorção linear por centímetro o qual pode ser representado por µ = 1 ( ) I d ln. (2) I 0 Para modelar o problema vamos tomar uma malha de dimensões n n com um total de incógnitas N = n 2. Considere uma fileira de voxels que são atravessados por um feixe de raiosx. Após passar pelos voxels o feixe é medido e se obtém uma medida µ j a qual denotaremos por b j. Como queremos descobrir a atenuação causada por cada voxel vamos denotar as incógnitas que representam a atenuação causada por cada voxel por x i. Como cada voxel é pequeno e cada tecido do corpo humano é homogêneo vamos considerar válida a Lei de de Beer Lambert para cada voxel, sendo o voxel tomado como um cubo homogêneo mesmo que ele na prática seja 710

4 composto por diferentes tecidos. Assim a atenuação b j medida representa a soma de todas as atenuações da fileira, ou seja, x 1 + x 2 + x x i = b j. (3) Realizando as medições em todas as fileiras da imagem na horizontal e na vertical obtemos um sistema de equações que não é suficiente para gerar uma imagem. Precisamos de mais equações, pois o número de equações é 2n, inferior ao número de incógnitas que é N = n 2, assim devemos realizar mais medições variando os ângulos percorridos pelos feixes ao redor da seção que estamos gerando a imagem. Figura 3: Discretização do problema Surge aí uma pergunta: por quais voxels passa um determinado feixe? Podemos resolver isso considerando um coeficiente a ij, 0 a ij 1 que a princípio tomaremos como sendo nulo se o feixe não passa por aquele voxel ou 1 caso passe. Mas o feixe tem uma certa espessura e pode ser que ele passe por uma pequena fatia de um voxel e por quase todo outro conforme vemos na Figura 3, o que causaria muita imprecisão. A imprecisão será reduzida se considerarmos a ij como sendo o quociente entre comprimento do feixe que atravessa o voxel e o respectivo diâmetro do voxel, Figura 3. Obviamente se o feixe não passa por um determinado voxel o valor do coeficiente a ij é nulo. Teremos mais precisão se considerarmos a ij como sendo o quociente entre a área do feixe que atravessa o voxel pela respectiva área total do voxel [1], Figura 3. Obviamente se o feixe não passa por um determinado voxel o valor do coeficiente a ij é nulo. Visando minimizar os erros práticos de medição são usados colimadores na emissão e na recepção do feixe de raios-x. Efetuando medições suficientes para que p > n 2 obtemos o seguinte sistema sobredeterminado que modela o problema da reconstrução da imagem da sessão transversal. a 11 x a 1N x N b 1 a 21 x a 2N x N b 2 (4). a p1 x a pn x N b p Resumidamente o problema da reconstrução da imagem consiste em utilizar as informações disponíveis no sistema linear para determinar o valor de cada x i, que é o mesmo que determinar a atenuação causada por cada pixel. E deste modo decidir qual é a tonalidade de cinza que cada pixel deve ser pintado na imagem. 711

5 Para atingir um detalhamento que possibilite um diagnóstico médico preciso é necessário uma resolução de imagem acima de pixels, o que resulta numa imagem que contém mais de pixels e como cada pixel corresponde a uma variável x i, o sistema tem o mesmo número de variáveis. Como o sistema é sobredeterminado o número de desigualdades p é um pouco maior que o número de variáveis. Poucos pixels são atravessados pelo feixe em cada medição o que torna o sistema de desigualdades muito esparso, normalmente menos de 1% dos coeficientes a i são não nulos. 4 Solução A localização e o valor dos coeficientes a i podem ser facilmente calculados a partir da geometria dos raios-x e dos pixels tendo em vista que a seção da a imagem está sendo reconstruída é fixa. Como o cálculo de um produto interno ou norma tem baixo custo computacional o seguinte algoritmo descrito em [4], produz uma seqüência x (0), x (1), x (2),... de estimativas da solução do sistema 4 é computacionalmente razoável para reconstruirmos essa imagem. Algoritmo 1 Inicie com x 0 arbitrário. Calcule x (k+l) = x k + c (k) a i, onde c (k) = { 0 se x (k) A i ou a i = 0 r (k) b i a i,x (k) caso contrário, a i 2 com i = (k mod p) + 1 (ou seja, a seqüência de i s é 1, 2..., p, 1, 2,..., p, 1, 2,... ), e r (k) é um parâmetro escalar de relaxamento [4]. O algoritmo parte de um ponto inicial o qual é projetado ortogonalmente sobre os conjuntos convexos definidos por cada equação do sistema linear. No plano o algoritmo funciona conforme na figura abaixo. Figura 4: Algoritmo no plano. A convergência deste algoritmo é dada no seguinte teorema [4]: Teorema 1 Considere A i = { x a T i x b i}, 1 i p. Se R = p i=1 A i é não vazio e a seqüência de r (k) s do Algoritmo 1 é tal que 0 < lim inf r (k) lim sup r (k) < 2 (5) então a seqüência x (0), x (1), x (2),... converge para algum elemento de R. 712

6 Avaliamos o desempenho desse algoritmo e simulamos várias figuras de teste, Phantons [4], seguindo os parâmetros estabelecidos pelos Números de CT [4], e depois de criar os Phantons [6] simulamos medições e aplicamos o algoritmo, acima descrito, sobre o conjunto de dados obtidos nas medições. Para tal tarefa desenvolvemos um pequeno aplicativo que nos possibilitou comparar o desempenho e os resultados gráficos obtidos, permitindo uma melhor compreensão dos mesmos. O software se tornou uma ferramenta auxiliar no nosso estudo e optamos pela linguagem de programação VISUAL BASIC 6 para fazer sua construção, pois se adapta as nossas necessidades gráficas. Abaixo seguem duas figuras com os resultados obtidos pelo aplicativo. Figura 5: Reconstrução de phantons pequenos. Figura 6: Reconstrução de um phanton maior. Como podemos observar nas figuras acima quanto maior a imagem a ser reconstruída mais erros são produzidos na imagem gerada. Durante as várias reconstruções realizadas notamos que os erros dependem do ângulo entre os feixes, do número de feixes e do parâmetro de relaxamento. Referências [1] H. Anton, Álgebra Linear com Aplicações, Bookman, Porto Alegre, [2] R. Bender, R. Gordon, e G. T. Herman, Algebric Reconstruction Techniques (ART) for Three Dimensional Electron Microscopy and X-Ray photography, Journal of Theoretical Biology, 29,(1970) [3] C.F.G.C. Geraldes, G. V. M. Simões, Ressonância Magnética Nuclear - Fundamentos, Métodos e Aplicações, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, [4] R.Gordon, G. T. Herman, e S. A. Johnson, Image Reconstruction from Projections, Scientific American, 233,(1975) e

7 [5] G. T. Herman,Performance Evaluation of an Iterative Image Reconstruction Algorithm for Positron Emission Tomography,IEEE Trars. Med. Imaging,10,(1991) [6] F. V. Salina, Reconstrução tomográfica de imagens utilizando técnicas POCS sequenciais e paralelas, Dissertação de Mestrado, UFSCar, [7] C.A. Rúbio, Estilização e Visualização Tridimensional de Tumores Intracranianos em Exames de Tomografia Computadorizada, Dissertação de Mestrado, UFPR, [8] A. C. Kak e M. Slaney, Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, New York,