DIFICULDADES NO CÁLCULO DE DIVISÃO NA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

Transcrição

1 DIFICULDADES NO CÁLCULO DE DIVISÃO NA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL GT 01 Educação Matemática nos Anos Iniciais e Ensino Fundamental AGRANIONIH, N. T. (nagranionih@uri.com.br) ENRICONE, J. R. B (jenricone@uri.com.br) ZATTI, F. (fernandazt@yahoo.com.br) RESUMO: O trabalho apresenta um relato parcial das dificuldades observadas em 34 alunos da 5ª série do ensino fundamental de 17 escolas públicas da cidade de Erechim/RS na resolução de cálculos envolvendo o algoritmo tradicional da divisão, em uma pesquisa realizada a partir da aplicação do subteste de aritmética do TDE (Teste de Desempenho Escolar) de Lílian Milnitsky Stein e da observação dos padrões de erros cometidos pelos alunos. A pesquisa de análise qualitativa baseia-se na metodologia de análise de conteúdo proposta por Bardin (1979) e de análise de erros conforme Cury (2007), com utilização de estatística descritiva. Emergiram, da análise dos erros no algoritmo tradicional da divisão, nove categorias de análise: ausência de respostas, reprodução errada da proposta, não domínio do algoritmo, erros de tabuada, erros estranhos, desistência, cálculo mental, reprodução errada da resposta e erro de subtração durante o cálculo. As mais significativas no contexto da pesquisa foram, nesta ordem: ausência de respostas, reprodução errada da proposta e não domínio do algoritmo. Palavras- chave: Divisão. Análise de erros. Dificuldades de cálculo. TDE. Introdução O presente trabalho relata e analisa parcialmente os dados obtidos em uma pesquisa qualitativa mais ampla, em andamento: Aprendizagem matemática: desvendando dificuldades de cálculo dos alunos, realizada com 34 alunos de 5ª série do Ensino Fundamental da rede estadual de ensino do município de Erechim-RS, que visa investigar as dificuldades apresentadas nos cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão através do algoritmo tradicional. Especificamente, apresenta as dificuldades identificadas no desenvolvimento do algoritmo da divisão. Os dados publicados pela Secretaria Estadual de Educação sobre o SAERS (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Rio Grande do Sul) demonstram que em 2007, 40,7% dos alunos de 5ª série apresentaram desempenho abaixo da média estadual, sendo que 63,5% destes alunos ficaram abaixo da média desejável em matemática (Zero Hora, 25 de abril de 2008). Muito contribui para estes índices as dificuldades de cálculo. O cálculo da divisão tem sido considerado pelos professores como um dos mais difíceis de ser assimilado pelos alunos, fato que gera preocupações e buscas por estratégias de ensino mais eficazes para a aprendizagem. Com este trabalho buscamos contribuir com este processo.

2 Partimos da perspectiva de Cury (2004, 2007) de que, a partir da identificação e análise de erros no desenvolvimento do algoritmo tradicional da divisão, pode-se investigar a fundo a natureza dos erros, fazer hipóteses sobre possíveis causas, buscar estratégias para remediá-los e também utilizá-los em sala de aula, para que os alunos possam construir novos saberes a partir da análise dos resultados errados. O erro não é necessariamente um indício de fracasso, observa Carvalho (1997) e o seu aparecimento não obrigatoriamente indica que não ocorreu a aprendizagem, ou que houve fracasso do ensino. O erro pode ser compreendido como parte do processo de aprendizagem, como afirmam vários autores. Numa abordagem psicogenética o erro é entendido como constitutivo do mecanismo funcional do processo de construção do conhecimento (MACEDO, 1990,1994; LA TAILLE, 1997). Muitas vezes são as únicas janelas pelas quais podemos ver a mente dos alunos, enfatiza Rivière (1995). Geralmente não são ilógicos, diz o autor, mas estão relacionados ao uso de algumas regras que embora não sejam corretas, indicam a apropriação de certa competência lógico-matemática (RIVIÈRE, 1995). Neste sentido, Teixeira (2006) assinala que a análise de erros como método de investigação tem colaborado significativamente na compreensão da natureza dos erros referentes ao processo de ensino e aprendizagem da matemática. Método A pesquisa envolveu 34 alunos de 5ª série do Ensino Fundamental de 17 escolas da rede pública estadual de Erechim (RS). Foram selecionados dois alunos de cada escola com dificuldades de aprendizagem na matemática, mas sem diagnóstico de déficit cognitivo, por indicação do professor de matemática. A coleta de dados foi realizada através da aplicação do subteste de aritmética do TDE (Teste de Desempenho Escolar), de Lílian Milnitsky Stein. Trata-se de um instrumento psicométrico que busca avaliar capacidades fundamentais para o desempenho escolar na escrita, aritmética e leitura. A aplicação foi feita pelas pesquisadoras, individualmente com cada aluno participante, com duração aproximada de 30 minutos. Foram considerados na análise dos erros de divisão os cinco cálculos de divisão propostos no subteste. Durante a aplicação do mesmo os alunos foram orientados a realizar os cálculos que sabiam fazer e deixar os que não haviam aprendido ou não sabiam fazer. A análise dos dados baseou-se na metodologia de análise de conteúdo proposta por Bardin (1979) e da análise de erros, conforme Cury (2007). Os dados foram analisados a

3 partir de um enfoque qualitativo com utilização de estatística descritiva. Na identificação e análise dos erros nos cálculos de divisão emergiram os padrões de erros, considerados, no trabalho, como categorias de análise. Buscou-se aproximações com categorias já descritas por Batista (1995), em trabalho semelhantes sobre padrões de erros de cálculos e por Miranda, Fortes e Gil (2000). Apresentação dos dados obtidos Os cálculos de divisão propostos no TDE aplicado aos 34 alunos foram: 6 3= (Cálculo 11 do TDE), 72 7= (Cálculo 18 do TDE), 968 6= (Cálculo 19 do TDE), = (Cálculo 22 do TDE) e 4 5= (Cálculo 30 do TDE). A Tabela 1 mostra o número de erros e acertos nestas questões. Tabela 1 Número de erros e acertos nos cálculos de divisão Cálculos TDE Cálculo Erros Acertos = 09 (26,5%) 25 (73,5%) = 17 (50%) 17 (50%) = 19 (55,9%) 15 (44,1%) = 29 (85,3%) 05 (14,7%) = 30 (88,2%) 04 (11,8%) Total 104 (61,2%) 66 (38,8%) O maior número de erros foi observado nos cálculos 30 (88,2%) e 22 (85,3%), sendo estes, portanto, os que ofereceram maior dificuldade aos alunos. Os cálculos relativos às questões 11 e 18 produziram maior número de acertos, podendo ser considerados mais fáceis para os alunos pesquisados. Já os demais cálculos produziram maior número de erros do que de acertos. É possível observar também que do total de cálculos de divisão realizados pelos alunos pesquisados houve maior número de erros (61,2%) do que de acertos (38,8%). Os erros identificados no algoritmo da divisão foram agrupados em nove categorias de análise: erros de tabuada, reprodução errada da proposta, reprodução errada da resposta, não domínio do algoritmo, erros de subtração durante o cálculo, erros estranhos, ausência de respostas, desistência e cálculo mental, conforme pode ser observado no Quadro 1, que também indica a quantidade de erros cometidos em cada uma delas.

4 Os maiores percentuais de erros correspondem às categorias: ausência de respostas (29,8%), reprodução errada da proposta (26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As demais representaram um índice menor em relação à quantidade de erros: erros de tabuada (7,4%), erros estranhos (7,4%), cálculo mental (2,1%), desistência (1,1%), reprodução errada da resposta (1,1%) e erro de subtração durante o cálculo (1,1%). Estas categorias são caracterizadas e exemplificadas a seguir: a) Ausência de respostas Esta categoria corresponde às questões deixadas em branco pelos alunos. É relevante, no contexto da pesquisa, o fato de que a ausência de respostas envolve todos os cálculos de divisão propostos, mas, de forma mais significativa o Cálculo 19 (968 6=), seguido dos cálculos 18 (72 7=), 30 (4 5=) e 22 ( = ), conforme o Quadro 1. b) Reprodução errada da proposta O aluno realiza outros procedimentos de cálculo ao invés da divisão, ou utiliza incorretamente os dados fornecidos no cálculo. Foram identificadas algumas subcategorias: - inversão do dividendo e do divisor: ao armar o cálculo o aluno considera que não é possível realizar a divisão de um número menor por um número maior. Por esta razão inverte os valores do dividendo e do divisor buscando aproximar a situação de uma outra que lhe é mais familiar, realizando o cálculo com facilidade. Foi a saída encontrada por 11 dos 34 alunos participantes da pesquisa para a realização do cálculo 30 (4 5=); CATEGORIA SUBCATEGORIA CÁLCULO (ALUNO) ERROS Nº % Erros de tabuada Reprodução Errada da proposta a) Inversão do dividendo e do divisor b) atribuição de zero ao resultado c) multiplicação, soma ou divisão ao invés de subtração. - multiplica ao invés de dividir -soma ou subtrai ao invés de dividir 18 (P16, P34, P 4, P21, P31) 19 (P34, P24) 07 7,4% 30 (P22, P09, P11, P01, P25, P31,P14, P15, P24, P03, P24) 11 11,7% 30 (P05, P19, P26) (P30, P06) 18 (P30, P11) 30 (P23, P16, P28, P27) 30 (P06) 11 (P18, P29) 3,2% 08 8,5% 03 3,2%

5 Reprodução errada da resposta Não domínio do algoritmo Erro de subtração durante o cálculo Erros estranhos Ausência de respostas Quadro 1 Categorias de análise de erros da pesquisa 18 (P27) 18 (P07) 19 (P14, P30, P07, P05, P26, P29) 22 (P26, P04, P18, P29, P01, P17, P19, P33, P14, P07,P10, P34, P25, P22, P05) 18 (P15) 11 (P07, P08) 18 (P14, P20) 19 (P10, P12) 30 ( P08) 11 (P28, P03) 18 (P08, P23, P28, P06, P09, P21) 19 (P21, P03, P06, P23, P08, P28, P02, P09) 30 (P21, P20, P17, P33, P18, P02) 01 1,1% 22 23,4% 01 1,1% 07 7,4% 28 29,8% 22 (P06, P28, P12, P03, P23, P24) Desistência 30 (P12) 01 1,1% Cálculo Mental 19 (P17, P25) 02 2,1% - atribuição de zero como resultado: embora avalie corretamente que não é possível formar grupos de cinco unidades com quatro unidades, indicando esta impossibilidade com zero no quociente, o aluno não avança no sentido de considerar a possibilidade de trabalhar com casas decimais, obtendo um resultado menor que um inteiro. O zero, neste caso, também pode ser um indicativo de uma suposta impossibilidade de realizar o cálculo, utilizado pelo aluno. Esta também foi uma saída encontrada para a resolução do cálculo 30 (4 5=) por três alunos. - ao invés de dividir o aluno multiplica, subtrai ou soma: estes erros podem ser devidos ao fato de aluno ignorar ou desconhecer o sinal de divisão o que provoca a opção pela realização de outro cálculo: multiplicação, subtração ou soma. A opção de multiplicar foi feita por dois alunos diante do cálculo 11 (6 3= ), dois alunos diante da cálculo 18 (72 7= ) e por quatro alunos diante do cálculo 30 (4 5=). Já a opção por somar ou subtrair foi feita por um aluno para o cálculo 30 e por dois alunos para o cálculo 11. c) Não domínio do algoritmo

6 Erros no procedimento de cálculo devido a não compreensão do algoritmo ou a não automatização do processo, foram considerados nesta categoria. Foi significativo o fato de que quinze alunos cometeram erros por não dominarem o algoritmo do cálculo 22 ( =). Possivelmente por se tratar de um cálculo de divisão com dois algarismos no divisor, envolvendo assim um grau maior de dificuldade. Seis alunos demonstraram não dominar o algoritmo da divisão no cálculo 19. No exemplo abaixo o aluno ignora o resto obtido 36 e considera apenas o 6 para prosseguir o cálculo. Cálculo 19 / P05 No cálculo 6630: 65, o aluno ignora o divisor 65 e realiza a divisão como se estivesse dividindo apenas por 6. Não subtrai o valor obtido, indicando resto zero. Abaixa o 3. Multiplica 1 x 65 obtém 6. Subtrai 6 de 3 e obtém 0. Demonstra não dominar vários passos do algoritmo. Cálculo 22/P10 Alguns destes erros envolvem o zero no quociente, como no exemplo abaixo, em que se verifica um erro bastante comum na divisão: após baixar um número, diante do fato

7 de o valor a ser dividido ser menor que o divisor, o aluno baixa outro número sem colocar o zero no quociente. Cálculo 22/ P01 d) Erros de tabuada Os alunos dominam o algoritmo da divisão e erram na tabuada. No exemplo abaixo o aluno equivocou-se em considerar 6 x 5 = 35 ao invés de 30 e também ao desconsiderar que 6 x 6 = 36, o que provocou o erro. Cálculo 19/ P24 No exemplo abaixo o erro foi devido ao fato de aluno pensar que 8 x 7 = 72 ao invés de 56 e também ao desconhecimento do fato 9 x 8 = 72. Cálcul o18 / P24

8 tabuada. Em ambos os exemplos os erros foram conseqüência da não memorização da e) Reprodução errada da resposta O aluno acerta o cálculo e indica o resultado incorretamente por desatenção ou não interpretação do significado da operação. Cálculo 18/P27) f) Erros estranhos Erros que não foram categorizados, uma vez que não foi possível identificar o procedimento realizado pelo aluno ao desenvolver o cálculo, nem a origem do erro. g) Erro de subtração durante o cálculo O aluno domina o procedimento da divisão, mas erra na subtração. h) Desistência O aluno considera que não é possível resolver o cálculo e escreve como resposta a expressão não dá i) Cálculo mental O aluno fez o cálculo mentalmente e reproduziu o resultado obtido, nem sempre obtendo sucesso. Discussão dos resultados Os cálculos de divisão propostos no TDE e analisados na pesquisa fazem parte dos conteúdos trabalhados nas séries iniciais do Ensino Fundamental, o que permite considerar que já haviam sido trabalhados nas turmas em que a pesquisa foi realizada, desde as séries

9 anteriores. Porém, este fato não pode ser considerado uma razão determinante da aprendizagem dos mesmos pelos alunos. O cálculo 30 (4:5=) e o cálculo 22 (6630:65=) apresentaram um maior percentual de erros (88,2% e 85,3% respectivamente). Estes cálculos são trabalhados na 4ª série, mas são mais enfatizados na 5ª série. O cálculo 30 envolve divisão de números decimais onde o dividendo é menor que o divisor, o que torna o quociente menor do que 1,ou seja, 0,8. A maior parte dos erros neste cálculo enquadra-se nas categorias reprodução errada da proposta e ausência de respostas. O fato de o dividendo ser menor que o divisor pode ter sido um fator de estranheza aos alunos, ainda não muito familiarizados com operações com números decimais, o que levou à grande parte dos mesmos a considerar o cálculo impossível ou a invertê-los, tornando o cálculo mais familiar: 5: 4 = Outros consideraram um possível erro na proposta, resolvendo o problema através da soma, subtração ou multiplicação do dividendo e do divisor. Alguns atribuíram zero como resposta, o que pode ser considerado um sinal de impossibilidade ou uma aproximação com o conceito de número decimal. A maior parte dos erros de reprodução errada da proposta foi no cálculo 30. É possível dizer que, diante da suposta impossibilidade de dividir um número menor pelo maior, os alunos buscaram estratégias de resolução para o problema: inverter dividendo e divisor, atribuir zero como resultado, multiplicar ou somar, ou seja, constrói um procedimento alternativo de resolução, mesmo que não corresponda ao solicitado. O cálculo 22, cujo quociente é 102, consiste em um dos casos da divisão em que o resto da divisão juntamente com o valor baixado produz um valor a ser dividido menor que o divisor, o que produz a necessidade de colocar zero no quociente. Muitos alunos esquecem deste zero e baixam o próximo número, prosseguindo o processo. A dificuldade pode estar na dificuldade de perceber a necessidade e o sentido deste zero no quociente do cálculo e também na dificuldade de memorizar o algoritmo da divisão. É significativo o fato de a maior parte dos erros neste cálculo enquadrarem-se nas categorias não domínio do algoritmo e ausência de respostas. O cálculo 19 (986:6= 164) apresentou um percentual de erros (55,9%) próximo ao de acertos (44,1%). Os erros observados neste cálculo enquadram-se em várias categorias: ausência de respostas, não domínio do algoritmo, erros de tabuada, erros estranhos e cálculo mental. Dentre elas as mais significativas: ausência de respostas e não domínio do algoritmo. Trata-se de um cálculo mais familiar para alunos de 5ª série, pois normalmente é trabalhado a partir da 3ª série do Ensino Fundamental e não envolve particularidades ou dificuldades

10 específicas no algoritmo, como zeros no quociente, por exemplo.porém, os resultados permitem considerar que trata-se, também, de um cálculo que oferece dificuldades aos alunos. Como referimos, tanto os cálculos 30 e 22, quanto o cálculo 19, fazem parte dos conteúdos trabalhados na 4ª e na 5ª séries do Ensino Fundamental, o que permite considerar que já tenham sido trabalhados nas turmas em que a pesquisa foi realizada, desde a série anterior. Se considerarmos as categorias em que se enquadram os erros nestes cálculos podemos pensar que o tempo de interação dos alunos com esses conhecimentos ainda não tenha sido suficiente para as aprendizagens. O que a pesquisa torna evidente é que oferecem um alto grau de dificuldade aos alunos com dificuldades de aprendizagem na matemática, entrevistados. Foi significativa a ausência de respostas, para todos os cálculos, com exceção do cálculo 11 (6:3=), fato que leva a considerar que muitos alunos não se consideram preparados para a realização destes cálculos, ou que, de certa forma, não se desafiam no sentido de realizá-los. Quando a operação é muito difícil, ou a possibilidade de fracasso é muito grande, ocorre a desistência, dado que é comumente observado nas escolas, reforçando a idéia de incapacidade para a matemática. Outro aspecto a ser considerado, diz respeito ao fato de que os alunos indicados a participar deste estudo não tinham déficit cognitivo, e, portanto, supõe-se que teriam condições para aprender. Nos resultados gerais da pesquisa e da aplicação do TDE, 41% dos alunos participantes obtiveram desempenho inferior, 38% desempenho médio, e 21% desempenho superior. Verifica-se, portanto, que a maioria dos participantes (59%), obtiveram desempenho médio e superior no teste. Esta classificação indica que estes alunos apresentam desempenho esperado para a série no TDE, denotando que possivelmente têm as capacidades fundamentais para a aritmética da 5ª série. O fato de os alunos não apresentarem déficits, leva a pensar que são alunos que poderiam ter o domínio das operações analisadas, mas que mesmo assim apresentam dificuldades esperadas para alunos de séries iniciais, no âmbito da divisão. Leva a pensar, também, na amplitude e complexidade dos fatores envolvidos nas dificuldades de aprendizagem, que não dizem respeito somente a fatores intrínsecos ao aluno. Como diz Teixeira (2006), ao analisar as possíveis causas dos erros e dificuldades dos alunos na aprendizagem da matemática, há um conjunto de variáveis em jogo, que se referem à própria natureza dos conceitos matemáticos, à forma de ensiná-los ou às condições do aluno para aprender.

11 Considerações finais De modo geral, como referimos anteriormente, a maior parte dos erros de divisão inseriram-se nas categorias: ausência de respostas (29,8%), reprodução errada da proposta (26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As demais categorias foram erros de tabuada, reprodução errada da resposta, não domínio do algoritmo, erro de subtração durante o cálculo, erros estranhos, desistência, e cálculo mental. As avaliações tradicionalmente realizadas na escola que valorizam mais o número de acertos e erros não consideram os procedimentos realizados pelos alunos, que certamente evidenciariam o desenvolvimento do seu raciocínio, o que possibilitaria uma avaliação mais consistente assim como subsídios para trabalhar com as dificuldades encontradas. Os erros e dificuldades que se evidenciaram na pesquisa levam a pensar na importância de criar estratégias que favoreçam a superação destas dificuldades, uma vez que o domínio e aplicação de alguns conceitos são fundamentais para que o aluno possa prosseguir na construção dos conhecimentos matemáticos sem comprometimentos. Espera-se que as informações obtidas através desta pesquisa possam gerar reflexões acerca das dificuldades encontradas no ensino e na aprendizagem da matemática, assim como meios que possam levar à sua superação, e principalmente a alternativas pedagógicas preventivas. Referências BARDIN, L. Análise de Conteúdo. Lisboa: Edições 70, BATISTA, C. G. Fracasso Escolar: Análise de Erros em Operações Matemáticas. Zetetiké, v. 3, n. 4, p , nov CARVALHO, J.S.F. As noções de erro e fracasso no contexto escolar: algumas considerações preliminares. In: AQUINO, J.G. (Org.), Erro e fracasso na escola; alternativas teóricas e práticas. São Paulo: Summus, 1997, p CURY, H. N. Análise de Erros em Educação Matemática. Veriati, Salvador, v.3 n.4, p , jun CURY, H.N. Análise de Erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, MACEDO, Lino de. Para uma visão construtivista do erro no contexto escolar. In: Coletânea de textos de Psicologia HEM/CEFAM, v. 1, Psicologia da Educação. São Paulo: Secretaria de Estado da Educação - Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas, 1990, p

12 MIRANDA, A.; FORTES,C. GIL,Mª D. Dificuldades del aprendizagem de las matemáticas; um enfoque evolutivo.málaga: Ediciones ALGIBE, RIVIÉRE, A. (1995). Problemas e Dificuldades na Aprendizagem da Matemática: uma Perspectiva Cognitiva. In: COLL, C.; PALACIOS, J.; MARCHESI, E. A. (Orgs.). Desenvolvimento psicológico e educação: necessidades educativas especiais e aprendizagem escolar, v. 3. Porto Alegre: Artes Médicas, STEIN, L.M. TDE - Teste de Desempenho Escolar. São Paulo: Casa do Psicólogo,1994. TEIXEIRA, L. R. M. Dificuldades e erros na Aprendizagem da Matemática. In: VII EPEM ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004, São Paulo. Anais. Disponível em :< Leny.doc>. Acesso em: 25 jul