Telmo Egmar Camilo Deifeld. Sobre a Análise e os Processos Construtivos das Estruturas Tensegrity

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1 Telmo Egmar Camilo Deifeld Sobre a Análise e os Processos Construtivos das Estruturas Tensegrity Texto apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Engenharia. Área de concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti São Paulo 2005

2 Telmo Egmar Camilo Deifeld Sobre a Análise e os Processos Construtivos das Estruturas Tensegrity Texto apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Engenharia. Área de concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti São Paulo 2005

3 À Laize.

4 II AGRADECIMENTOS A Deus, por tudo o que Ele é na minha vida. Ao professor Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti, por, primeiramente, sugerir um tema desafiador para o meu doutoramento, posteriormente, pela orientação deste trabalho, e, sem dúvidas, pela amizade que hoje temos. Ao professor Reyolando M. L. R. F. Brasil, pelas valiosas contribuições e também pela amizade. Ao professor Paulo de Mattos Pimenta, pelas contribuições, pela amizade e pelas conversas descontraídas. Ao professor Edgard Sant Anna de Almeida Neto que, na condição ou não de diretor do LMC, mostrou-se sempre prestativo e disposto a uma boa conversa. Aos demais professores do PEF, que contribuíram para este trabalho e para a minha formação. A CAPES, pela bolsa de estudos concedida para a realização deste trabalho. Ao LMC e ao LEM, pela infraestrutura necessária para a realização deste trabalho. A Laize, pelo auxílio na compreensão de textos relacionados à biomecânica, pelo incentivo, pelo apoio, pelo carinho e atenção dispensados. Pela compreensão... A minha família, pelo apoio e incentivo. Ao José Cristiano Schmidt grande amigo, pelo apoio contínuo, pelo coleguismo e, principalmente, pela amizade. Ao Eduardo Campello o cara!, pela parceria de longa data, pelas boas risadas e, sem sombra de dúvidas, pela amizade. Ao Wayne Santos de Assis amigo e irmão, pela pronta disposição, a qualquer hora para o que der e vier e pelas conversas filosóficas sobre tudo e qualquer coisa, se possível ao mesmo tempo...

5 III Ao Daniel Lepikson grande professor, pela parceria que formamos no estágio PAE e pela amizade. Ao Roque Arantes Jr. (in memorian), pela grande amizade, pelo incentivo, pela mútua confiança... Ao Franz Villarroel, César Sanches, ao Henrique Campelo Gomes, ao Christian Furukawa, a Adriane Costa, a Carla Neves Costa, a Eri Sato Kreis, a Mauren Aurich, ao Rodofo Horvath Jr., a Liliana Sholz e aos demais colegas de laboratório, pelas contribuições, pelo coleguismo e pelas amizades proporcionadas. A Marly grande Marly!, pela disponibilidade constante, paciência e boa vontade na solução de problemas e... pelo cafezinho! A Juliana e a Janete a dupla competente de secretárias pelas amizades, pelas risadas, pelos cafezinhos e... pelo (ufa!) que garantiu minha última matricula! Aos funcionários do LEM, que sempre foram prestativos todas as vezes que usei o laboratório. Ao Rubens esse cara é gente fina! pela amizade, pela parceria na APG, na representação discente e nas discussões sobre pós-graduação, tanto aqui como por este Brasil afora... Aos demais colegas do Grupo InterUnidades, pelas amizades que formamos. A Claudia Renata, pelas valiosas contribuições na compreensão do comportamento celular. Ao Waldir e a Julia, pelas amizades e pelas boas conversas. Aos colegas que dividiram apartamento comigo ao longo deste período, pela camaradagem, parceria, em especial ao Paulo e a Ania grandes amigos! Aos demais amigos e colegas que, de alguma forma, contribuíram para este trabalho e para a minha formação.

6 IV S U M Á R I O LISTA DE FIGURAS...VI LISTA DE TABELAS...VIII LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS...I RESUMO...I ABSTRACT...II INTRODUÇÃO ESTADO DA ARTE ORIGEM DOS TENSEGRITY APLICAÇÕES EM OUTRAS ÁREAS Tensegrity nas artes Tensegrity na biomecânica Tensegrity na robótica Tensegrity na engenharia aeroespacial Mastros Antenas refletoras DEFINIÇÃO DE TENSEGRITY NO CAMPO DA ENGENHARIA ESTRUTURAL OBRAS TENSEGRITY MAIS RELEVANTES JÁ REALIADAS ESTUDOS DAS ESTRUTURAS TENSEGRITY Tensegrity e o conceito de estaticidade Mecanismos infinitesimais Métodos de busca da forma PROCESSOS DE MONTAGEM Processo de montagem utilizado por Geiger Processo de montagem utilizado por Terry Simulação numérica da montagem do Georgia Dome FERRAMENTAS MATEMÁTICAS MÉTODO DE NEWTON ELEMENTO DE TRELIÇA GEOMETRICAMENTE EATO Matriz de rigidez do elemento de treliça ESPECIALIAÇÕES DO ELEMENTO DE TRELIÇA Elemento "atuador"... 43

7 V Elemento de densidade de força ELEMENTO DE CABO DESLIANTE (SEM ATRITO) MÉTODOS DE BUSCA DA FORMA MÉTODOS DE BUSCA DA FORMA APLICADOS AOS TENSEGRITY Métodos cinemáticos Soluções analíticas Programação não-linear Relaxação dinâmica Métodos estáticos Soluções analíticas Método das densidades de forças Método da minimização da energia Redução de coordenadas PROPOSTA DE UM MÉTODO PARA A BUSCA DA FORMA Exemplos de aplicação do método COMPARAÇÃO DO MÉTODO PROPOSTO COM OUTROS MÉTODOS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS MONTAGEM DE ESTRUTURAS TENSEGRITY Tensegrity simplex Domo de cabos tensegrity Descrição da estrutura Simulação da montagem EFEITOS DE PROTENSÃO NÃO-SINCRONIADA ANÁLISE DE UM DOMO TENSEGRITY CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 90

8 VI LISTA DE FIGURAS Figura 1 Esculturas de Snelson Figura 2 Monument à la Forme Futile Figura 3 Outras esculturas de Snelson Figura 4 Monumento à Forma Fútil II Figura 5 Citoesqueleto Figura 6 Algumas formas da utilização de tensegrity em robôs Figura 7 Montagem do modelo reduzido de um mastro tensegrity, em oito estágios Figura 8 Antena refletora AstroMesh TM Figura 9 Antena refletora tensegrity Figura 10 Domo de cabos ancorado em um anel tensegrity e detalhe do anel tensegrity Figura 11 Olympic Gymnastics Arena Figura 12 Redbird Arena Figura 13 Tropicana Field Figura 14 Amagi Dome Figura 15 Georgia Dome Figura 16 Taoyuan Sports Arena Figura 17 Crown Coliseum Figura 18 Projeto estrutural da cobertura do La Plata Stadium Figura 19 Ilustração do processo de montagem de domo de cabos tensegrity utilizado por Geiger. 34 Figura 20 Ilustração do processo de montagem de domo de cabos tensegrity utilizado por Terry Figura 21 Montagem do Georgia Dome Figura 22 Elemento finito, indicando-se a correspondência entre a numeração local do elemento e a numeração global do sistema reticulado Figura 23 Elemento de cabo escorregando por uma polia (elemento de cabo ideal ) Figura 24 Prisma com base triangular Figura 25 Prisma com base quadrada Figura 26 Prisma com base hexagonal Figura 27 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um prisma com base triangular Figura 28 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um prisma com base hexagonal Figura 29 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um tetraedro truncado Figura 30 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um octaedro expandido Figura 31 Domo de cabos tensegrity Figura 32 Modelo para a simulação da montagem do domo e esquema de aplicação das forças de protensão com elementos de cabos e VIL Figura 33 Montagem do domo em 5 estágios Figura 34 Configuração próxima à configuração inicial de montagem do domo... 70

9 VII Figura 35 Montagem do domo em quatro estágios Figura 36 Magnitude dos deslocamentos horizontais (m) na configuração final, para os dois casos de não-sincronia de protensão Figura 37 Magnitude dos esforços normais (N) no anel de tração interno, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 38 Magnitude dos esforços normais (N) no anel de tração externo, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 39 Magnitude dos deslocamentos verticais (m) no anel interno de tração, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 40 Magnitude dos deslocamentos verticais (m) no anel externo de tração, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 41 Magnitude dos esforços normais (N) nos mastros volantes que formam a circunferência interna, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 42 Magnitude dos esforços normais (N) nos mastros volantes que formam a circunferência externa, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 43 Magnitude dos esforços normais (N) nos cabos superiores internos e intermediários, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 44 Representação esquemática da variação das forças normais agindo nos cabos superiores, na configuração final, para os dois casos de protensão não-sincronizada Figura 45 Esquema de modelagem domo de cabos tensegrity ancorado em anel treliçado Figura 46 Deslocamentos do domo, em módulo, para os carregamento considerados Figura 47 Distribuição da forças normais nos elementos do domo tensegrity e do anel de compressão Figura 48 Primeiros modos de flambagem do anel treliçado... 86

10 VIII LISTA DE TABELAS Tabela 1 Classificação dos métodos de busca de forma para estruturas tensegrity, segundo Tibert & Pellegino Tabela 2 - Propriedades geométricas dos cabos Tabela 3 - Propriedades geométricas dos mastros volantes Tabela 4 Máximas variações, positivas e negativas, de tensões nos elementos do domo, submetido aos carregamentos de vento, comparadas com as forças correspondentes à ação do peso próprio Tabela 5 Tensões máximas nos cabos... 85

11 I LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS Escalares A Área da seção transversal de um elemento E Módulo de elasticidade longitudinal N Esforço interno agindo em um elemento 0 N b d el el l Esforço interno agindo em um elemento na configuração inicial Número de barras da estrutura Densidade de força do elemento el -ésimo elemento de uma estrutura el -ésimo elemento de uma estrutura Comprimento de um elemento na configuração corrente r l m n nel σ Comprimento indeformado (ou de referência) de um elemento Número de mecanismos da estrutura ou número de linhas de uma matriz Número de nós da estrutura ou número de colunas de uma matriz Número de elementos de uma estrutura Número de estados e auto-tensão (retesamento) da estrutura Vetores p Vetor que armazena as forças internas que atuam nos nós de um elemento N Vetor que armazena os esforços internos que atuam nos elementos de uma estrutura P U u v x Vetor que armazena as forças internas que atuam nos nós de uma estrutura Vetor coluna que armazena os deslocamentos nodais dos elementos de uma estrutura Vetor coluna que armazena as coordenadas cartesianas dos elementos de uma estrutura Vetor que armazena os deslocamentos nodais de um elemento Versor de um elemento Vetor que armazena as coordenadas cartesianas de um elemento estrutural Matrizes C Operador geométrico ou matriz diagonal que armazena os coeficientes de amortecimento artificial F I n Vetor que armazena as forças externos que atuam nos nós de uma estrutura Matriz identidade de ordem n

12 K e K g K t M k e k g k t Matriz de rigidez elástica de uma estrutura Matriz de rigidez geométrica de uma estrutura Matriz de rigidez tangente de uma estrutura Matriz diagonal que armazena as massas artificiais concentradas Matriz de rigidez elástica de um elemento Matriz de rigidez geométrica de um elemento Matriz de rigidez tangente de um elemento

13 I RESUMO Neste trabalho, inicialmente, apresenta-se o surgimento das estruturas tensegrity, destacando-se o contexto e as pessoas envolvidas, relacionam-se aplicações destas estruturas em outras áreas, discutem-se as definições apresentadas no contexto da engenharia de estrutura, relatam-se as principais obras estruturais já realizadas, resumem-se alguns estudos relacionados com este sistema estrutural e abordam-se os métodos construtivos utilizados na montagem destas estruturas. Posteriormente, revê-se alguns conceitos matemáticos necessários para a melhor compreensão do texto e apresentam-se as formulações dos elementos de treliça e duas de suas especializações e de cabo ideal. A seguir, faz-se uma revisão dos métodos de busca da forma encontrados na bibliografia e propõe-se um novo método, o qual é comparado com dois dos métodos mais usados. Na seqüência, sugere-se uma metodologia para a simulação numérica de um dos métodos de montagem de estruturas tensegrity, aplicando-a a uma série de módulos básicos e a um domo de cabos tensegrity. Estuda-se, ainda, o comportamento estrutural deste domo, submetido a carregamentos estáticos de vento. Finalmente, apresentam-se as conclusões e discutem-se os passos a serem seguidos na continuação deste trabalho.

14 II ABSTRACT This work presents an overview of tensegrity structures with main focus on its origins, applications, numerical models and related construction methods. As truss and cable entities are essential parts of a tensegrity, special finite element formulations for truss and cable elements are presented, in which both mathematical and computational aspects are addressed. Methods for finding the tensegrity structural shape are discussed and a new methodology is herein proposed, together with an efficient approach for numerical simulations. Assessment of the theory is made through a series of numerical examples, which illustrate the accuracy of the formulation.

15 1 Introdução Ao se observar o desenvolvimento das estruturas ao longo do tempo, verifica-se que o aumento da eficiência das mesmas só foi possível com o domínio das técnicas de construir, com descobrimento de novos materiais e com o surgimento de novos sistemas estruturais. Se a análise se detiver nos períodos de maior uso de um determinado material, constatar-se-á que a medida em que se adquire o conhecimento, qualitativo e quantitativo, da resistência desse material, constroem-se estruturas mais altas e esbeltas [1]. Em outras palavras, têm-se estruturas de menor peso por área construída. A busca pela utilização de novos materiais tem-se mostrado importante na solução de problemas da engenharia estrutural. Um novo material pode substituir materiais já usados em um determinado sistema construtivo, ou pode identificar-se como o material mais usado em um novo sistema estrutural. O descobrimento dos metais como material de construção, por exemplo, possibilitou não somente a construção de estruturas aço (ou ferro fundido, como inicialmente) como a utilização do aço no concreto armado e, posteriormente, com a melhora da qualidade do aço, a efetivação do concreto protendido como um novo sistema construtivo. No entanto, às vezes, é difícil dissociar a utilização de novos materiais do desenvolvimento de novos sistemas estruturais. Um exemplo, é o desenvolvimento das estruturas de membrana como um sistema construtivo moderno e atraente o que é recente pois, segundo Pauletti [2], "manifestações relevantes requerem materiais, técnicas de construção e teorias sofisticadas, disponíveis desde há apenas um século ou mesmo desde há

16 2 poucas décadas, no caso dos materiais sintéticos, dos cabos de aço de alta resistência e das simulações computacionais necessárias ao projeto". Dessa forma, pode-se afirmar que, ao longo da história da engenharia estrutural, através do uso mais racional dos materiais, aliado às melhorias nas técnicas de construir, com a descoberta de novos materiais e pelo desenvolvimento de novos sistemas estruturais, busca-se a maior leveza das estruturas. Nesse sentido, destacam-se os sistemas estruturais retesados, pois têm como características intrínsecas uma leveza e a capacidade de vencer grandes vãos, distingüindo-se pela simplicidade dos seus elementos estruturais e pela rapidez de montagem. As estruturas que compõem esse sistema, as estruturas retesadas, ou tensoestruturas, como são mais conhecidas isto é, estruturas que têm rigidez dependente, basicamente, do estado de tensão, têm suas origens nas mais remotas tendas, que acompanham o homem desde os primórdios da civilização. O peso específico destas estruturas pode ser, grosso modo, até duas ordens de grandeza menor do que o das estruturas convencionais de concreto armado. Em contrapartida as vantagens do baixo peso próprio, têm como críticos os carregamentos devido à ação do vento, principalmente os efeitos de instabilidades aeroelásticas [2]. As estruturas tensegrity são classificadas como estruturas retesadas, pois são estruturas cuja existência depende da aplicação de um campo equilibrado de tensões, existindo uma clara dependência entre a geometria assumida e a protensão aplicada, onde a forma inicial da estrutura é obtida em uma etapa conhecida por busca da forma. São estruturas reticuladas, articuladas, formadas por elementos submetidos à tração (cabos) e à compressão (barras) ou, mais precisamente, flexo-compressão. Por essas características, elas constituem, também, um subgrupo dos sistemas espaciais reticulados. Tendo em vista que as estruturas tensegrity constituem um sistema construtivo relativamente novo, entende-se como necessária uma melhor compreensão do seu comportamento enquanto estrutura, bem como dos processos construtivos que a elas se aplicam. Essas necessidades são motivadas pelas aplicações que têm sido dadas às estruturas tensegrity, não só no campo da engenharia estrutural, mas também em outras áreas do conhecimento. Aplicações em

17 3 diferentes áreas exigem compreensão de fenômenos característicos dos campos envolvidos, interpretações diversas, adaptações... Cabe a nós, engenheiros, ampliar a compreensão que temos sobre esse sistema estrutural, aplicá-lo da melhor forma possível em nosso campo de conhecimento, além de estarmos preparados para auxiliar profissionais de outras áreas nas quais os tensegrity podem ser úteis. Este trabalho apresenta, no primeiro capítulo, o estado da arte das estruturas tensegrity: discorre-se sobre a origem desse sistema estrutural; mostra-se como os tensegrity podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento; faz-se uma discussão sobre as definições de estruturas tensegrity encontradas na literatura; relatam-se as principais obras realizadas com esse sistema estrutural; relata-se, de forma sucinta, os estudos desenvolvidos até o presente momento no campo das estruturas tensegrity 1 e descrevem-se os métodos de montagem utilizados nas principais obras estruturais. No segundo capítulo, são apresentados, de forma sucinta, o método de Newton e formulações de elementos matriciais usados nas análises numéricas (elemento de treliça e duas de suas especializações: o elemento atuador e o elemento de densidade de força e do elemento de cabo ideal). No terceiro capítulo, discorre-se sobre os métodos de busca da forma aplicados às estruturas tensegrity encontrados na literatura, apresenta-se uma proposta para o processo de busca da forma, aplicando-a a busca da forma equilibrada de alguns módulos básicos tensegrity, e faz-se uma comparação do método proposto com dois dos métodos mais usados o da densidade de força e o da relaxação dinâmica. No quarto capítulo, apresenta-se uma metodologia para a simulação numérica da montagem das estruturas tensegrity, seguindo-se um dos métodos descritos, usando como exemplos de aplicação uma série de módulos básicos tensegrity e 1 A citação de estudos desenvolvidos, mesmo que não tenham ligação direta com o tema apresentado no decorrer desta tese, se deve por entender-se como uma necessidade mostrar a amplitude dos conhecimentos necessários para a melhor compreensão desse sistema estrutural e a existência de fatores importantes não abordados no texto. Essa necessidade é justificada por tratar-se de um dos primeiros, se não o primeiro, trabalhos sobre estruturas tensegrity desenvolvidos no Brasil, em nível de pós-graduação.

18 4 um domo de cabos tensegrity 2. Posteriormente, simula-se numericamente o comportamento estrutural desse domo submetido a cargas estáticas correspondentes à ação de ventos. No quinto capítulo, apresentam-se as considerações finais e sugestões para trabalho futuros. 2 Nesta tese, a simulação da montagem do domo não contempla o efeito do atrito que surge quando cabos escorregam sobre nós da estrutura.

19 5 1 Estado da arte Ao se estudar a história da engenharia em geral, busca-se a definição de uma data, de uma obra marcante (a primeira ou a maior estrutura de um sistema estrutural, ou construída com um determinado material). Essa busca, no entanto, muitas vezes, ofusca o que é de fato importante, ou seja, a crítica dos conceitos e procedimentos de projeto. E difícil afirmar quando as estruturas tensegrity surgiram e quem teria sido o precursor desse sistema estrutural. Pode-se citar alguns fatos e pessoas que contribuíram grandemente para o desenvolvimento inicial e divulgação dessas estruturas, mas nenhuma delas pode ser apontada, de forma convicta, como o marco inicial. 1.1 Origem dos tensegrity Se, por um lado, é difícil definir um marco inicial para as estruturas tensegrity, por outro, pode-se afirmar que Richard Buckminster Füller foi um dos grandes mentores desse sistema estrutural. Ele tinha uma certa preferência por estruturas nas quais os elementos atuam somente tracionados ou somente comprimidos. Essa predileção foi responsável, pelo menos em parte, pela sua criação mais conhecida, o domo geodésico. A invenção do domo geodésico, por sua vez, foi propulsora para o convite que Füller recebeu para ser o professor de um curso de verão no Black Mountain College (Asheville, North Carolina,USA) em 1948, onde montou, junto com seus alunos, o primeiro protótipo de um domo geodésico. Devido às dificuldades de montagem, o domo ficou em pé apenas por alguns minutos. Nessa turma estava Kenneth Snelson,

20 6 aluno que desenvolveu um estudo de modelos para esculturas envolvendo os conceitos transmitidos por Füller [3]. Snelson criou uma série de esculturas formadas por fios contínuos separados por estroncas descontínuas, usando o que ele denominou de compressão flutuante, como a -column (1948), esquematizada na Figura 1(a). Em 1968, construiu uma escultura em forma de torre, medindo 18,2mx6mx6m, a qual ficou conhecida como Needle Tower (Figura 1(b)) e, posteriormente, em 1969, montou outra torre com 30m de altura ("Needle Tower II") [4]. Outro marco das estruturas tensegrity foi a escultura construída próximo a Rambouillet, na França, conhecida como Monument à la Forme Futile (Figura 2). Foram essas algumas das obras que mais divulgaram o comportamento das estruturas tensegrity. (a) -column (b) Needle Tower (c) Needle Tower II 3 Figura 1 Esculturas de Snelson 4. Figura 2 Monument à la Forme Futile 5. 3 A Needle Tower faz parte do acervo do Kröller Müller Museum, Otterlo - Holland e a Needle Tower II pertence ao Hirshhorn Museum & Sculpture Garden, Washington, DC, USA. 4 Extraídas de e

21 7 Richard Buckminster Füller e Kenneth Snelson disputaram a autoria das estruturas tensegrity, como pode ser visto na carta de Snelson para R. Motro [5], embora Snelson tenha afirmado que o princípio que mantinha suas esculturas em pé não tivesse aplicação prática na engenharia estrutural. Independente da disputa, sabe-se que houve contribuição de ambos para o surgimento e desenvolvimento desse novo sistema estrutural. Por outro lado, Emmerich [6] apud [7] atribuiu o surgimento desse sistema ao trabalho do escultor Johansen, em Em 1962, Richard Buckminster Füller patenteou o sistema nos EUA. Ao mesmo tempo, segundo Kahla [7], David Georges Emmerich também o patenteou na França. Ainda que as estruturas tensegrity tenham surgido como manifestação artística, sem intenção de aplicação na engenharia estrutural, e que uma obra tão qualificada para exemplificar o comportamento que apresentam tenha sido relacionada com a futilidade, elas têm se mostrado como um sistema estrutural confiável e vêm despertando o interesse de pesquisadores e projetistas. Füller parece ter percebido isto, pois ele declarou, logo no primeiro parágrafo da sua patente sobre tensegrity, que o sistema tem aplicação a estruturas especiais que, com vãos livres, poderiam abrigar uma cidade inteira [8]. 1.2 Aplicações em outras áreas O princípio que rege o comportamento estrutural das esculturas criadas por Snelson e das estruturas de Füller tem aplicação em outras áreas do saber além da engenharia de estruturas. Citam-se as artes, a biomecânica, a robótica e a engenharia aeroespacial Tensegrity nas artes Depois daquelas primeiras invenções artísticas de Kenneth Snelson, muitas outras esculturas foram criadas, usando um conjunto de elementos comprimidos isolados entre si envolvidos por uma rede de elementos tracionados. A escultura mostrada anteriormente na Figura 2 é um exemplo dessas manifestações artísticas. Snelson continuou seu trabalho como escultor e hoje museus e 5 Extraída de [5].

22 8 colecionadores de vários países do mundo exibem esculturas suas que contemplam o conceito de estruturas tensegrity. Algumas dessas esculturas estão reunidas na Figura 3. (a) Northwood 1969 (b) Easy Landing 1977 (c) B-Tree 1981 (d) Mozart I 1982 (e) Dragon 2000 (f) Rainbow Arch 2001 Figura 3 Outras esculturas de Snelson 6. Mais recentemente, Pauletti, Titotto e Deifeld construíram uma escultura (Figura 4) a partir de um módulo tensegrity, um prisma com base triangular conhecido na literatura como tensegrity Twist, ao qual introduziram uma membrana, que insinua-se entre as suas barras sem, no entanto, tocá-las. Denominaram-na Monumento a Forma Fútil II, título dado em consideração ao Monument à la Forme Futile [9]. Figura 4 Monumento à Forma Fútil II. 6 Extraídas de

23 Tensegrity na biomecânica Segundo Ingber [10], o mesmo princípio que estabiliza as estruturas tensegrity é aplicado essencialmente na estruturação do corpo humano, em todas as suas escalas. No nível macroscópico, a forma do corpo é garantida pelo equilíbrio entre as forças de compressão que agem no esqueleto e as forças de tração dos músculos, tendões e ligamentos. No outro extremo da escala, as proteínas e outras moléculas estabilizam-se também pelo mesmo princípio. Assim como os homens, os animais apresentam um sistema músculo-esqueleto com o mesmo princípio dos tensegrity altamente bem sucedido. Os gatos podem saltar vários metros de altura sem causar danos a sua estrutura e as chitas (leopardos de caça da Índia) atingem velocidades máximas superiores a 95 km/h. Essas marcas são possíveis graças à presença de elementos tracionados em seus sistemas músculo-esqueleto [11] constituído por elementos comprimidos (ossos) conectados por uma rede altamente redundante de elementos tracionados (tendões e músculos). Os elementos tracionados mantêm a integridade da forma e armazenam energia, tornando possível resistir a grandes impactos, saltar, correr, etc. A seguir, apresentam-se, de forma sucinta, os princípios de uma estrutura tensegrity no nível celular. Um dos modelos teóricos mais conhecidos de representação de uma célula viva 7 envolve modelos mecânicos que tratam o citoesqueleto 8 como uma estrutura passiva [13]. Em 1993, Donald Ingber [14] apud [13] supôs que o citoesqueleto responde a estímulos mecânicos externos de forma ativa e muito 7 Células eucarióticas, mais precisamente. 8 A capacidade que as células eucarióticas possuem de adotar uma variedade de formas e de executar movimentos coordenados e direcionados depende de uma rede complexa de filamentos de proteínas que se estendem por todo citoplasma. Essa rede é chamada de citoesqueleto embora seja, ao contrário de um esqueleto ósseo, uma estrutura altamente dinâmica que se reorganiza continuamente sempre que a célula altera a forma, se divide ou responde ao seu ambiente. De fato, o citoesqueleto poderia ser denominado "citomusculatura", pois ele é o responsável direto por movimentos tais como os deslocamentos das células sobre um substrato e a contração muscular. Ele também fornece a infraestrutura necessária para movimentos intracelulares, tais como o transporte de organelas de um lugar a outro no citoplasma e a segregação dos cromossomos na mitose. Os filamentos estruturais do citoesqueleto - microtubulos, microfilamentos e filamentos intermediários - são constituídos essencialmente por moléculas protéicas - tubulina, actina e uma mistura de várias proteínas diferentes, respectivamente. O citoesqueleto forma um arcabouço interno para o grande volume do citoplasma, sustentando-o da mesma forma que uma estrutura sustenta um prédio [12].

24 10 semelhante ao comportamento estrutural de módulos tensegrity. Corrobora com essa suposição o fato de haver uma clara ligação entre a forma assumida pela célula e as tensões nela atuantes (Figura 5). Muitos artigos 9 foram publicados posteriormente mostrando vantagens, desvantagens, limitações e avanços alcançados com estudos motivados pela suposição de Ingber, dentre os quais destaca-se o trabalho de Volokh & Vilnay [20], onde se simulou numericamente o comportamento do citoesqueleto usando o conceito de estrutura tensegrity. Concluiu-se que a simulação confirma a suposição de Ingber, além de apontar um comportamento da célula não observado diretamente nos experimentos até então: a perda de rigidez quando as tensões são reduzidas. Entretanto, segundo os autores, alguns resultados experimentais recentes podem prontamente ser explicados através desse comportamento. Essa observação contribui para o entendimento do citoesqueleto como um módulo tensegrity. (a) (b) Figura 5 Citoesqueleto. (a) Filamento de actina (um dos componentes do citoesqueleto) de um condrócito (célula de cartilagem) articular bovino, marcado com Fluoresceína. 10 (b) Actina (em vermelho) e microtúbulo (em verde) aumentado 63x. Observa-se a tubulina originada a partir do centrossomo (centro de organização de microtúbulos) e envolvendo o núcleo. A actina está localizada próximo à membrana plasmática Dentre outros, pode-se citar, trabalhos do próprio Ingber [15,16], de Stamenovic [17] e de Wendling [18,19]. 10 Extraída 11 Extraída de

25 11 O modelo tensegrity sugere que a estrutura do citoesqueleto pode sofrer mudanças causadas pela ação de forças externas transmitidas ao interior da célula através de pontos específicos da superfície celular (receptores de membrana). Essa é uma descoberta importante, pois muitas enzimas e outras substâncias que controlam a síntese protéica, a conversão de energia e o crescimento celular podem ficar imobilizados fisicamente no citoesqueleto. Dessa forma, mudanças geométricas e mecânicas no citoesqueleto poderiam afetar reações bioquímicas e até mesmo alterar a ativação de genes e a elaboração de proteínas [10]. O nível hierarquicamente superior à célula é a formação dos tecidos, que são criados pela junção de várias células através da matriz extracelular. Uma propriedade interessante dos tecidos é a forma como eles respondem aos estímulos mecânicos externos. Ao puxar a própria pele, por exemplo, sente-se que ela aumenta a resistência à medida que é mais solicitada. Muitos tipos diferentes de tecidos, como músculos, cartilagens, vasos sangüíneos assim como a pele apresentam um comportamento conhecido como enrijecimento linear. Esse comportamento é, na linguagem estrutural, expresso por rigidez dependente, basicamente, do estado de tensão, o que nos remete às estruturas retesadas e, conseqüentemente, aos tensegrity. A interpretação da célula como uma estrutura tensegrity chamou a atenção da NASA (National Aeronautics and Space Administration) [21], pois o estudo pode ser aplicado na compreensão do seu comportamento quando submetida à ação da microgravidade [22]. Observou-se que astronautas submetidos a vôos espaciais por longo tempo sofrem reestruturação óssea. A matriz óssea é estruturada em linhas de tração e compressão, traçadas com o objetivo de responder, de forma inteligente, a ação do campo gravitacional atuante na superfície terrestre. Se a intensidade do campo gravitacional é alterada, o traçado das linhas de tração e compressão precisa ser modificado. Sabe-se que as células vivas internas aos ossos são responsáveis pela remodelagem óssea. Isso significa que essas células são capazes de sentir a variação gravitacional e responder da forma mais eficiente possível: realocando a matriz celular (pondo

26 12 seus materiais constituintes onde são necessários e retirando de onde são subutilizados). No entanto, a sensibilidade à ação de forças mecânicas (como a resultante da ação do campo gravitacional) não é uma propriedade exclusiva de células ósseas, mas sim de todas as células vivas. Quando os organismos são expostos à microgravidade, sofrem uma diminuição aguda das tensões internas como conseqüência das variações na estrutura e nos mecanismos no nível celular. A importância dos tensegrity neste estudo está na capacidade de permitir uma compreensão da energia mecânica em componentes moleculares específicos e integrar as partes ao todo, ou seja, ajustando o comportamento celular à resposta dos tecidos, dos órgãos e, conseqüentemente, do organismo [10] Tensegrity na robótica O primeiro trabalho a propôr a utilização dos tensegrity na robótica foi apresentado por Aldrich et al., em 2003 [23]. Na visão dos autores, a utilização dos tensegrity tem muito a contribuir com a forma como os sistemas de controle são projetados, controlados e utilizados abrindo caminho para uma nova tecnologia comparada aos projetos tradicionais de robôs. A Figura 6 ilustra algumas formas de utilização de tensegrity em robôs. Figura 6 Algumas formas da utilização de tensegrity em robôs Extraídas de [23].

27 13 Baseado no trabalho de Aldrich et al., Paul et al. [24] estudaram o projeto mecânico da locomoção de robôs, no qual as pernas são formadas por módulos tensegrity. Eles enfatizaram que a utilização dos tensegrity, no contexto da locomoção de robôs, assemelha-se à arquitetura estrutural de sistemas biológicos que mostram habilidade na locomoção. Devido a essa equivalência arquitetônica, sugerem os autores que seja provável que as estruturas tensegrity possam permitir que os robôs demonstrem alguma tolerância à falha, pois os organismos biológicos que se locomovem apresentam um elevado grau de tolerância à falha na produção das formas de locomoção. Insetos, quadrúpedes, e mesmo seres humanos podem continuar andando com um ou mais de seus membros de locomoção danificados. Eles apresentam uma variedade de formas de movimentos que compensam às várias condições possíveis de danos físicos. Os robôs modernos, entretanto, não apresentam essa capacidade e seu desempenho locomotor é geralmente catastroficamente afetado por uma falha do atuador. Uma fonte desse problema encontra-se na filosofia de projeto mecânico que governou a produção de robôs no passado. Usualmente, a locomoção dos robôs é projetada baseada em uma série de barras rígidas conectadas por peças articuladoras gerenciadas por um atuador elétrico, hidráulico ou pneumático. Não obstante, cada junção é geralmente responsável por um único grau de liberdade e, se falhar, não há nenhuma outra unidade que possa fazer sua função [24]. Considerando que em um módulo tensegrity um atuador pode afetar múltiplos graus de liberdade, e que um único grau de liberdade pode ser afetado por múltiplos atuadores, a utilização dos tensegrity pode tornar a locomoção de robôs menos susceptível a falhas, pois os robôs tensegrity podem apresentar múltiplas formas de locomoção. Algumas vantagens da utilização dos tensegrity na locomoção de robôs são: a) a falha de um atuador pode ser compensada pela ação de outro, pois a atuação em um nó produz movimento em posições múltiplas, com movimentos com um certo grau de acoplamento; b) pequeno número de atuadores pode causar uma forma de locomoção global; c) redução de peso próprio; d) melhor absorção de impactos; e também e) baixo volume de estocagem, pois os tensegrity podem

28 14 ser facilmente montados e desmontados. A maior desvantagem é a não adequação a movimentos de alta precisão, pois para se obter maior mobilidade, as forças de protensão não podem ser muito elevadas. Outra desvantagem é a maior complexidade de programação dos movimentos, advinda justamente da vantagem de que um atuador produz movimentos em posições múltiplas, com movimentos acoplados [24]. Alguns trabalhos estão sendo desenvolvidos e muitos outros ainda serão necessários para o uso racional dos tensegrity na robótica. No entanto, as perspectivas são boas. Duas questões importantes que necessitam de resposta podem ser já apontadas: a primeira diz respeito a melhor morfologia a ser utilizada em cada caso e a segunda está relacionada ao nível de protensão adequado a ser aplicado ao sistema [24] Tensegrity na engenharia aeroespacial O compartimento de carga do lançador espacial da NASA tem um diâmetro de 4,6 m e comprimento de 18,3 m e o lançador Ariane-5 da Arianespace e da ESA (European Space Agency) tem diâmetro de 4,56 m e, aproximadamente, 11 m de comprimento [25]. Por essas dimensões serem reduzidas, alguns componentes da nave espacial têm de ser dobrados para caber no compartimento de carga do lançador e ser desdobrados quando a nave estiver em órbita. Na indústria aeroespacial há três principais tipos de estruturas que podem ser montadas no espaço: mastros, antenas e painéis solares. Os mastros são usados, principalmente, para separar instrumentos eletrônicos, com o intuito de reduzir a interferência, ou para suportar outras estruturas. As antenas são usadas para a comunicação dos satélites com a terra e para a observação da terra e estudos astronômicos. Os painéis solares são necessários para captação de energia para instrumentos a bordo de um satélite ou da uma nave [26]. A utilização dos tensegrity na engenharia aeroespacial une, necessariamente, as características das estruturas tensegrity com as das estruturas pantográficas.

29 Mastros Mastros podem ser divididos em quatro grupos: os tubulares de parede fina, os telescópicos, os helicoidais e os treliçados [26]. Com relação ao uso dos tensegrity, uma etapa crucial do projeto é a criação dos mecanismos que permitem um processo de montagem e desmontagem confiável. Tibert & Pellegrino [27] apresentaram uma proposta envolvendo uma dobradiça de travamento automático. A análise estrutural mostrou que os mastros são relativamente rígidos axialmente, mas apresentam flexibilidade relativamente alta. A pouca rigidez à flexão deve-se ao fato que os mastros tensegrity não têm longarinas contínuas. A maneira natural de aumentar a rigidez estrutural é considerar barras conectadas, mas então algumas outras características também desejáveis, como a alta capacidade de compactação na desmontagem, podem ser perdidas. A Figura 7 ilustra a montagem de um modelo físico do mastro tensegrity estudado por Tibert & Pellegrino. Figura 7 Montagem do modelo reduzido de um mastro tensegrity, em oito estágios Antenas refletoras As antenas refletoras podem ser divididas, basicamente, em três categorias: as de malha, as de superfície sólida e as infláveis [26]. Em 1990, a Astro Aeroespacial Corporation desenvolveu uma antena refletora de malha baseada no conceito de treliça de cabos a AstroMesh TM (Figura 8). Duas redes triangulares parabólicas espelhadas são unidas a um anel treliçado. Esse conjunto é retesado por cabos conectados a nós espelhados nas duas redes. A malha refletora de radiofreqüência (RF) é unida à parte traseira da rede frontal. A antena é montada pelo encurtamento do cabo contínuo que forma as 13 Extraída de [27].

30 16 diagonais do anel treliçado, tem diâmetro de 12,25 m e pesa 55 kg. Na configuração desmontada, o diâmetro e a altura são de 1,3m e 3,8m, respectivamente. A última aplicação da AstroMesh TM no espaço foi no satélite de telecomunicação Thuraya, lançado em 5 de dezembro de 2000 [26]. Figura 8 Antena refletora AstroMesh TM 14. Para pequenos satélites, pode-se construir uma antena semelhante a AstroMesh TM, usando uma estrutura tensegrity ao invés do anel treliçado (Figura 9). As vantagens de usar um módulo tensegrity é a maior simplicidade da estrutura da antena e a sensível diminuição do número de elementos comprimidos [28,29]. (a) modelo numérico 15 (b) modelo físico 16 Figura 9 Antena refletora tensegrity. 1.3 Definição de tensegrity no campo da engenharia estrutural O termo tensegrity uma contração de tensional integrity foi criado por Richard Buckminster Füller [30, p. 372] para descrever o princípio estrutural em que a forma da estrutura é garantida pela interação entre uma rede contínua de cabos tracionados e um conjunto de elementos comprimidos. Para Füller, 14 Extraída de [26]. 15 Extraída de [28]. 16 Extraída de [29].

31 17 tensegrity é como uma ilha de compressão flutuando em um mar de tração. No entanto, essa descrição é insuficiente para expor todas as peculiaridades, possibilidades e limitações que caracterizam um sistema estrutural. Por essa razão, posteriormente, vários autores propuseram outras definições na tentativa de elucidar quais estruturas poderiam ser classificadas como tensegrity. Pugh [31], em 1976, descreveu sistema tensegrity como um conjunto de elementos descontínuos comprimidos interagindo com um conjunto contínuo de elementos tracionados que definem um volume estável no espaço. O autor prefere usar os termos componentes tracionados e componentes comprimidos ao invés de cabos e estroncas (ou barras), pois os componentes tracionados não são necessariamente cabos, assim com os componentes comprimidos podem não ser barras. Mas nota-se algo ainda mais abrangente: o autor não emprega na definição o termo estrutura. Na época, as maiores aplicações dos tensegrity ainda eram as esculturas. Segundo Wang [32], as idéias fundamentais que caracterizavam uma estrutura tensegrity, até o início da década de 90, poderiam sem resumidas em: (a) compostas por elementos comprimidos (estroncas) e tracionados (cabos); (b) elementos comprimidos são descontínuos e elementos tracionados formam um conjunto contínuo; e (c) auto-equilibradas 17. Destacam-se, nas características acima citadas, a descontinuidade dos elementos comprimidos e a necessidade do auto-equilíbrio da estrutura. No entanto, a caracterização ou não de estruturas que transmitem esforços diretamente entre os elementos comprimidos, ou que necessitem um sistema de ancoragem portanto não auto-equilibradas como tensegrity ainda não é um consenso entre pesquisadores e projetistas. Em 1992, Motro [33] apud [32] sugeriram a alteração do item (b) para estruturas articuladas. Com a alteração, a transmissão de esforços diretamente entre elementos comprimidos é aceita, no entanto, o auto-equilíbrio da estrutura é ainda necessário. No referido artigo, Motro definiu sistema tensegrity como estruturas espaciais reticuladas compostas por membros retilíneos, barras e cabos que definem um volume estável no espaço pelo efeito do equilíbrio entre tração e compressão. 17 Nesta tese o uso do termo estrutura auto-equilibrada está condicionado a desconsideração da ação do peso-próprio.

32 18 Wang [32] considera que estruturas não auto-equilibradas, como os domos de cabos, são uma extensão do conceito tensegrity. Para o autor, estruturas tensegrity podem ser definidas por: (i) redes de cabos auto-equilibradas nas quais um sistema contínuo de cabos é retesado por um sistema descontínuo de estroncas; ou (ii) composta de módulos tensegrity simplex 18. Em (i), estão inclusos todas as formas (módulos) básicas de tensegrity e os domos de cabos, sem considerar, portanto, estruturas nas quais esforços são transmitidos diretamente entre elementos comprimidos. Todavia, em (ii), essa transmissão de esforços é aceita. Em 1996, Motro [34] apud [33] apresentou uma nova versão da definição de tensegrity: "Sistemas tensegrity são sistemas reticulados espaciais em um estado de auto-tensão. Todos seus componentes são retilíneos e de comprimentos equivalentes. Elementos tracionados (cabos) não têm rigidez na compressão e constituem um conjunto contínuo, elementos comprimidos (estroncas) não têm rigidez a tração e constituem um conjunto descontínuo". Nessa versão, ignorando-se as imprecisões de linguagem técnica 19, considerase apenas estruturas auto-equilibradas e aquelas em que não há transmissão de esforços diretamente entre elementos comprimidos. Mais recentemente, Motro [35] apud [36] descreveu tensegrity como um "sistema em um estado de auto-tensão estável, incluindo um conjunto descontínuo de componentes comprimidos dentro de um conjunto contínuo de componentes tracionados". Com essa definição, Motro reafirma sua posição de não considerar como tensegrity estruturas que não sejam auto-equilibradas, nem tampouco aceitar que a definição de tensegrity contemple estruturas que transferem forças diretamente entre elementos comprimidos. Irving Oppenheim & William Williams [37] não apresentaram uma definição propriamente dita, mas destacaram aspectos que ressaltam, de forma apropriada, características desse sistema estrutural ao afirmar que estruturas tensegrity necessitam de um processo para encontrar uma forma inicial 18 Módulos tensegrity formados por relativamente poucos elementos, normalmente gerados a partir de poliedros convexos. 19 Os elementos tracionados (cabos) não oferecem rigidez à flexão, e por isso não suportam a compressão, pois a carga crítica de flambagem é insignificante.

33 19 equilibrada, deixam de ser hipostáticas pela ação de um campo de tensões e que a forma somente é encontrada quando a matriz de rigidez estática tem posto menor do que a sua ordem. Outras definições podem ser encontradas na literatura, mas, assim como essas, sem uniformidade no que diz respeito ao auto-equilíbrio, nem quanto à transmissão direta de esforços entre elementos comprimidos. No entanto, todas definições podem ser resumidas em dois grupos: a definição restrita, que considera apenas as redes de cabos retesadas auto-equilibradas, nas quais se incluem barras rígidas comprimidas, isoladas entre si, e a definição abrangente, na qual são consideradas também as estruturas que transmitem esforços diretamente entre os elementos comprimidos e as que transferem cargas de retesamento a um sistema de apoios, não sendo, portanto, autoequilibradas [38]. Y Figura 10 Domo de cabos ancorado em um anel tensegrity e detalhe do anel tensegrity. A polêmica envolvendo a definição das estruturas tensegrity atinge as aplicações mais prósperas desse sistema, os domos de cabos, que são ancorados em anéis de compressão, normalmente formados por peça única de concreto ou por treliça de aço. Todavia, a discussão é perfunctória, pois é possível definir um anel de compressão formado por módulos tensegrity e ancorar nele o domo de cabos, como mostra a Figura 4. Esse arranjo, por mais que não seja tão eficaz como a solução usual pois o anel tensegrity é mais instável, atende ao quesito de estrutura auto-equilibrada. A não consideração dos domos de cabos como estruturas tensegrity assim como qualquer outra estrutura que necessite de um sistema de ancoragem para transferir cargas de retesamento não é justificável, pois, na maioria das vezes, é possível definir

34 20 uma estrutura maior auto-equilibrada, que englobe a primeira, respeitando, assim, ao quesito de auto-equilíbrio. Além do mais, não considerar domos de cabos como estruturas tensegrity seria tirar dessa classe as obras mais relevantes já construídas com base nesse sistema estrutural. 1.4 Obras tensegrity mais relevantes já realizadas Richard Buckminster Füller foi também pioneiro ao definir domos de cabos tensegrity. Para ele, as redes de cabos tracionados deveriam obedecer a um critério de triangulação. Essa restrição, em muitos casos, impedia o uso efetivo desse sistema estrutural. Geiger, em 1984, disse que a triangulação não é uma parte necessária da estrutura de cabos, pois a torna redundante. Ele, então, definiu uma estrutura que não é baseada na triangulação, mas que tem as mesmas propriedades. Na verdade, Geiger desejava criar um sistema estrutural tão econômico quanto uma estrutura de membrana inflada, mas sem a necessidade de um sistema mecânico para derreter a neve ou mesmo para inflar a estrutura. Simplificando a rede de cabos de Füller e fazendo um domo com perfil muito mais baixo e aerodinâmico, Geiger pôde projetar uma estrutura que pesa pouco mais que suas estruturas pneumáticas [38,39]. Os principais domos tensegrity já construídos são as coberturas dos estádios esportivos abaixo descritos. Olympic Gymnastics Arena e Olympic Fencing Arena (Seoul, South Korea 1986) Foram construídos para os Jogos Asiáticos (1986) e os Jogos Olímpicos de Seul (1998), com projetos arquitetônicos de Space Group of Korea (Gymnastics) e Dong Myeong Architects and Planners (Fencing). Suas coberturas, com projeto e execução de David Geiger, constituem as primeiras estruturas a utilizar o sistema tensegrity em grande escala. São dois domos circulares que têm diâmetros de 119,8m e 89,9m, respectivamente cada qual composto por um anel de tração central, um anel periférico de compressão, além de anéis intermediários de tração (todos concêntricos), cabos radiais, diagonais intermediárias e mastros volantes 20 (Figura 11). Painéis de membrana 20 O Olympic Gymnastics Arena tem 3 anéis intermediários de tração, 16 cabos radiais, 48 diagonais intermediárias e 48 mastros volantes enquanto que o Olympic Fencing Arena apresenta 2 anéis intermediários de tração, 16 cabos radiais, 36 diagonais intermediárias e 36 mastros volantes.

35 21 cobrem as estruturas, seguindo as superfícies delineadas pelos cabos radiais [33,34,42,43]. Figura 11 Olympic Gymnastics Arena 21. Redbird Arena (Normal, Illinois, USA 1988) Construído na Illinois State University, com projeto arquitetônico de Paul Kennon, tem como cobertura um domo de cabos tensegrity, projetada e executada por David Geiger e David Campbell (Figura 12). Esse foi o primeiro domo tensegrity construído em formato oval, medindo 92,6m por 78,0m, com altura total de 24,3m [42,43,44]. Figura 12 Redbird Arena 22. Tropicana Field (Saint Petersburg, Florida, USA 1989) Construído inicialmente para a prática de beisebol, hoje abriga competições de vários esportes. Sua cobertura é um domo de cabos em formato circular, com diâmetro de 207,3m, também projetada e executada por Geiger. Chamado inicialmente de Florida Suncoast Dome, foi renomeado duas vezes: em 1993 tornou-se ThunderDome e em 1996 assumiu a atual denominação [33,34,42]. 21 Extraídas de 22 Extraídas de e

36 22 Figura 13 Tropicana Field 23. Amagi Dome (Shizuoka, Japan ) Com projeto arquitetônico de Fumitaka Hashimoto e projeto estrutural de SDG (Structurel Design Group) e Tension Strud Dome Structure & Membrane, o Amagi Dome é um domo circular que cobre uma área de 2.982m 2 (diâmetro de 60,6m, aproximadamente). Figura 14 Amagi Dome 24. O projeto estrutural apresenta uma solução diferenciada dos demais domos, pois a rede é composta por cabos superiores radiais (como os domos de Geiger) e uma malha inferior triangularizada (como sugerido por Füller). É composto por apenas um anel de tração, um de compressão, duas 23 Extraídas de Fotos extraídas de

37 23 circunferências formadas por mastros volantes os mastros da circunferência interna não se apóia em um anel de tração, como é usual e um mastro volante central. A extremidade inferior do mastro volante central é interligada às extremidades inferiores dos mastros volantes que formam a circunferência interna, não havendo diagonais centrais, como mostram os esquemas e as fotos da Figura 14. Georgia Dome (Atlanta, Georgia, USA 1992) Foi construído para ser o centro das atividades dos Jogos Olímpicos de Atlanta em Sua cobertura, o maior domo tensegrity construído até hoje, foi projetada por Matthys P. Levy and Weidlinger Associates e construída por Wesley R. Terry, combinando uma estrutura metálica tensegrity com 114 painéis hiperbólicos de membranas. Os painéis de membrana têm dimensões variadas, sendo que os maiores medem aproximadamente 25x55m 2. Em planta, tem formato oval, consistindo de duas semi-circunferências separadas por um segmento reto de 56m, medindo 240m por 193m. A rede de cabos é ancorada, nas suas extremidades, a um anel de compressão de concreto armado. Os 52 pilares que sustentam esse anel permitem que ele tenha deslocamentos radiais, de forma a minimizar os efeitos das variações de temperatura e da ação do vento. O ginásio tem altura total de 82,5m. Figura 15 Georgia Dome. Do ponto de vista de projeto, por apresentar formato elíptico e com uma treliça central disposta na direção longitudinal da construção, a cobertura do Georgia Dome é consideravelmente mais complicada do que as dos domos circulares, pois as tensões não são uniformes. Por essa razão, Levy optou por considerar a

38 24 idéia inicial de Füller, que propôs uma rede de cabos baseada na triangulação. Foram usados 15 diferentes diâmetros de cabos, variando de ¼ a 4. O orçamento total do ginásio foi de US$175 milhões, sendo que o telhado custou US$20 milhões. O custo da cobertura, por metro quadrado, foi de aproximadamente US$443 [43,45,46,47]. TaoYuan Sports Arena (Taoyuan, Taiwan 1993) Com projeto arquitetônico de H. C. Chen, tem diâmetro de 136,2m e altura de 29,6m. Sua cobertura foi projetada, fabricada e erigida em 14 meses. Idealizada por Geiger, tem um vão livre de 120m [43,44,48]. Figura 16 Taoyuan Sports Arena 25. Figura 17 Crown Coliseum 26. Crown Coliseum (Fayetteville, North Carolina, USA 1997) Esse ginásio tem uma estrutura circular, com vão livre de 99,7m, que combina as vantagens dos domos de cabos com uma estrutura convencional. Enquanto todos os domos anteriores eram cobertos por membranas, esse apresenta uma cobertura metálica. Cada painel da cobertura tem quatro pontos de apoio, sendo que os 25 Extraídas de 26 Extraídas de

39 25 painéis não têm função estrutural, servindo apenas como vedação. São em número de três os seus anéis de tração. O anel de compressão externo, formado por uma treliça cônica, é completamente exposto, aumentando o impacto arquitetônico, pois essa configuração tem o aspecto de uma coroa. As diagonais mais externas atravessam a cobertura, saindo do interior da construção, para conectar-se à parte superior da treliça (Figura 17)[44]. Figura 18 Projeto estrutural da cobertura do La Plata Stadium 27. Em fase de desenvolvimento de projeto, tem-se a cobertura do La Plata Stadium (La Plata, Buenos Aires, Argentina 2000) Esse estádio tem projeto arquitetônico de Roberto Ferreira y Arquitectos Associados e projeto estrutural de Weidlinger Associates. A planta da cobertura mede 238,1m por 187,5m, sendo uma interseção de dois círculos com raio de 85,6m cujos centros distam um do outro de 48m. A altura total da construção será de 65m. O domo de cabos terá três anéis internos de tração e será ancorado em uma treliça de aproximadamente 9m de largura e 13m de altura, apoiada no alto da arquibancada do estádio. A malha de cabos superior formará uma rede triangularizada, duplamente simétrica, como no Georgia Dome, com a diferença 27 Extraída de [49].

40 26 de que o domo do La Plata terá dois grandes mastros centrais e não uma treliça central cada qual no centro de um dos círculos que definem a forma do estádio. Uma membrana de fibra de vidro deverá cobrir a estrutura [43,49]. 1.5 Estudos das estruturas tensegrity Neste item apresenta-se um resumo do conhecimento teórico mais relevante das estruturas tensegrity. Abordam-se a estabilidade estrutural dos tensegrity, os mecanismos infinitesimais, os métodos utilizados na busca de formas equilibradas e os dois processos de montagem utilizados na montagem dos domos de cabos tensegrity Tensegrity e o conceito de estaticidade Em 1890, J. Clerk Maxwell [50] apud [51] analisou o comportamento de estruturas compostas por barras retas conectadas em suas extremidades por nós articulados, estabelecendo a relação que ficou conhecida como regra de Maxwell. Por essa regra, uma estrutura espacial reticulada e articulada requer, para ser rígida, em geral, o número de barras obtido pela expressão b= 3n 6, onde n é o número de nós 28. Analisando treliças espaciais pela regra de Maxwell mesmo sem citá-las como tal 29, Timoshenko [52, pág. 249], em 1945, afirma que esse número de barras é sempre necessário e, quando dispostas convenientemente, são suficientes para a ligação rígida entre si e à base dos n nós no espaço. Treliças que obedecem a essa regra são estaticamente determinadas 30, e as exceções se devem aos casos em que o determinante das equações de equilíbrio se anula. Nesses casos excepcionais, denominados de formas críticas, as equações de 28 No plano esta relação reduz-se a b= 2n Timoshenko deduziu a relação de Maxwell considerando o teorema geral da estereometria e o caso particular de um poliedro fechado com as faces triangulares, ou divididas em triângulos. Esse teorema foi enunciado por Euler e reza que um poliedro qualquer tem o número de arestas determinado pela expressão b n ( f 2) = +, onde n é o número de vértices e f o número de 3 b= f. 2 faces. Para o caso particular de poliedro citado acima, tem-se que o número de barras é Eliminando-se f entre as duas equações, obtêm-se a expressão da regra de Maxwell. 30 Ou seja, o sistema de equações da estática tem o mesmo número de equações e de incógnitas, tendo solução única.

41 27 equilíbrio não dão uma solução definida para as forças axiais. Essa circunstância, segundo Timoshenko, será sempre uma indicação de que a treliça não é rígida e, portanto, desaconselhável para fins estruturais [52, pág. 252]. A treliça em que o número de barras b é maior do que o dado pela regra de Maxwell (estrutura hiperestática) é considerada estaticamente indeterminada 31, e nesse caso as deformações elásticas das barras devem ser consideradas para que as forças internas possam ser calculadas. Caso contrário, se o número de barras for menor do que o determinado pela regra de Maxwell (estrutura hipostática), a estrutura não é rígida e desmoronará, provavelmente, sob a ação de cargas aplicadas exteriormente, afirmou Timoshenko [52, pág. 252]. Essas considerações clássicas sobre a estabilidade das estruturas reticuladas por muito tempo limitaram as investigações de estruturas classificadas como formas hipostáticas ou críticas. No entanto, livres da influência dos textos de engenharia e das responsabilidades técnicas, alguns artistas plásticos construíram esculturas usando cabos e barras, com formas que não obedeciam à regra de Maxwell. Ou seja, verificou-se empiricamente que estruturas espaciais reticuladas e articuladas poderiam ter um número de barras menor do que o necessário para satisfazer a regra de Maxwell, sem contudo desenvolverem mecanismos, como a tradição usava supor. Dentre essas estruturas, pode-se citar as esculturas mostradas nas Figuras 1, 2 e 3. Na verdade, Maxwell antecipou casos especiais dessa classe, estados em que a rigidez será de baixa ordem,... uma pequena força perturbadora poderia produzir um deslocamento infinito em comparação a si mesma. De fato, as condições em que ocorrem os casos excepcionais de Maxwell também permitem um estado de retesamento da estrutura. Mais recentemente, demonstrou-se como a álgebra linear permite a obtenção do número inicial de modos de rigidez de baixa ordem da estrutura, em termos do número de barras e nós, e independentemente do estado de retesamento. O retesamento tem o efeito de proporcionar rigidez de primeira ordem à estrutura [51]. 31 Ou seja, o sistema de equações da estática tem número maior de incógnitas do que de equações independentes, portanto não tem solução única.

42 Mecanismos infinitesimais As estruturas de barras articuladas exibem uma grande escala de fenômenos mecânicos. Tais estruturas são geralmente geometricamente descritas em termos do número das barras e de articulações (como, por exemplo, na regra de Maxwell), mas sua eficiência mecânica pode somente ser compreendida corretamente em termos do número de mecanismos indeformáveis 32 e de estados de retesamento [53]. Em muitos casos práticos evitam-se as estruturas com mecanismos, visto que elas não serão rígidas, pois podem apresentar deslocamentos ou giros indesejados. Normalmente, o que se faz nos casos em que são detectados mecanismos é refazer o projeto a fim eliminá-los. No entanto, existem exemplos bem conhecidos em que, fisicamente, a aplicação por meio de um tensor, por exemplo de um único estado de retesamento em uma estrutura torna rígidos, ou estabiliza, todos os mecanismos independentes [54]. É obviamente desejável para o engenheiro poder identificar uma dada estrutura como tendo um mecanismo finito 33, distingüindo-a de uma que se torne rígida quando seus mecanismos forem mobilizados. Segundo Calladine & Pellegrino [54], Mohr (1885) 34 e FöppI (1912) 35 já haviam demonstrado interesse na detecção de casos especiais de estruturas reticuladas articuladas. No entanto, o primeiro método analítico para a verificação de uma estrutura com essas características foi apresentado por Kötter [55] apud [54], em 1912, no qual ele admitiu que os mecanismos são infinitesimais de primeira ordem, ou seja, estão associados às variações de segunda ordem de comprimentos das barras. Para Kötter, uma estrutura com mecanismos indeformáveis e estados de retesamento é rígida, de acordo com 32 Entende-se, neste texto, como indeformável o mecanismo que, quando mobilizado, distorce a estrutura sem causar variações, ou causando variações desprezíveis, nos comprimentos dos elementos da mesma. 33 Entende-se por mecanismo finito aquele em que as articulações podem mover-se livremente para uma distância finita com absolutamente nenhuma mudança nos comprimentos das barras. Por outro lado, mecanismo infinitesimal é aquele no qual as barras têm, em geral, algumas pequenas variações em seus comprimentos quando as articulações se movem. Essas variações podem ser de segunda ordem em termos de deslocamentos ou, em geral, de terceira ordem, ou de ordens mais elevadas. Mecanismos infinitesimais indeformáveis tornam-se rígidos quando mobilizados de uma maneira que depende quantitativamente das propriedades elásticas das barras. 34 Mohr, O. Beitrag zur Theorie des Fachwerkes. Der Civilengeniuer, vol. 31, FöppI, A., Vorlesungen über Technische Mechanik, vol. 2. Teubner, Leipzig and Berlin.

43 29 as regras gerais do cálculo de variações. Ele estudou uma estrutura reticuladaarticulada tridimensional geral e, fundamentado em trabalhos anteriores publicados por Mohr e por Föppl, baseou sua análise em uma função que considera, para pequenas mudanças na configuração, a energia de deformação armazenada na estrutura. Kötter mostrou em seu trabalho que as estruturas rígidas são aquelas para as quais a segunda derivada direcional da função por ele especificada é sempre positiva, ou sempre negativa, e também que somente os deslocamentos que não causam deformações necessitam ser considerados ao se verificar o sinal da segunda derivada. Essa observação é relevante ao estudo atual, embora a implementação prática desse esquema possa parecer particularmente difícil. Posteriormente, também Pollaczek-Geiringer [56], em 1927, e Levi-Civita & Amaldi [57], em 1930, (ambos citados em [54]) estudaram o problema de mecanismos em estruturas reticuladas articuladas. Levi-Civita & Amaldi conduziram uma investigação puramente geométrica de um conjunto de equações de restrições cada uma correspondendo a uma barra que devem ser satisfeitas por todos os deslocamentos que não causam deformações. Essa aproximação é mais fácil de implementar e mais geral do que proposta por Kötter. Outra vantagem da proposta é que, existindo graus de liberdade de qualquer consideração estática, ela não oferece nenhuma dificuldade extra nos casos em que há pelo menos um retesamento na estrutura. Contudo, para mecanismos infinitesimais de primeira ordem, resulta em uma função quadrática equivalente à segunda derivada direcional da função de Kötter, aumentando, portanto, significativamente o número de variáveis envolvidas 36. Mais recentemente, Kuznetsov (1975) [58,59] reduziu o tamanho da forma quadrática usada por Levi-Civita & Amaldi, após ter notado que um mecanismo infinitesimal teria um estado de equilíbrio estável se um estado de retesamento for introduzido nas barras. O esquema resultante é uma versão moderna do algoritmo de Kötter, no entanto, na prática, o seu uso está restrito às estruturas sujeitas apenas a um estado de retesamento. 36 Esse acréscimo corresponde a diferença entre 2n e b, onde b é o número de barras e n o número de nós.

44 30 Besseling (1979) [60] e Tanaka & Hangai (1986) [61], segundo [54], usaram uma aproximação baseada na álgebra linear para derivar de um critério de estabilidade uma função quadrática para a detecção de mecanismos em estruturas reticuladas articuladas. No entanto, uma comparação dos resultados obtidos por Kötter com publicações subseqüentes mostra que pouco progresso foi alcançado até os fins da década de 1980, apesar de diversas tentativas intermitentes. Segundo Pellegrino & Calladine, para uma dada estrutura, os números de mecanismos e de estados de retesamento necessários para dar rigidez à estrutura podem ser determinados por técnicas da álgebra linear para encontrar a matriz de equilíbrio correspondente à configuração inicial. Antes disso, entretanto, esses autores [53] desenvolveram um algoritmo para discernir entre os tipos de mecanismos que podem existir em uma certa estrutura articulada, considerando apenas pequenos deslocamentos. Por conseguinte, os mecanismos por eles analisados não causam nenhuma variação de primeira ordem no comprimento das barras. Mostraram que, para uma dada estrutura com mecanismos e estados de retesamento, se um único estado de retesamento puder dar a rigidez positiva de primeira ordem a todos os mecanismos, então os mecanismos são infinitesimais de primeira ordem, isto é, estão associados às variações de segunda ordem de comprimentos das barras. Se, por outro lado, houver alguns mecanismos que não podem ser estabilizados por um único estado de retesamento, esses mecanismos são infinitesimais de segunda ordem (pelo menos), isto é, estão associados às variações de terceira ordem dos comprimentos (ou mais elevadas), ou são finitos. No primeiro estágio do algoritmo matricial proposto pelos autores, calculam-se o número de estados independentes de retesamento e o número de mecanismos independentes indeformáveis. Um retesamento é imposto então à estrutura e, no segundo estágio do algoritmo, calcula-se, para cada mecanismo, o conjunto de forças nodais não equilibradas que são necessárias para restaurar o equilíbrio 37, após impor um deslocamento unitário na direção de maior mobilidade do mecanismo escolhido. Um total de forças-produto igual ao 37 Aqui chamadas de forças-produto.

45 31 número de mecanismos indeformáveis é obtido dessa maneira. No terceiro estágio, deve-se montar e analisar a matriz de rigidez de equilíbrio modificada, ou seja, a que dê a resposta da estrutura sob a ação de cargas externas arbitrárias. Se essa matriz tiver posto 38 completo, então os mecanismos são infinitesimais de primeira ordem. Porém, esse cálculo deve ser complementado por uma verificação de sinal, tal que o produto escalar de todos os mecanismos com as correspondentes forçasproduto seja sempre um número positivo, pois somente nessa condição pode-se afirmar que todas os deslocamentos que não provocam deformações são estáveis. Em outras palavras, a condição de que o posto da matriz de equilíbrio modificada deve ser completo é necessária, mas não suficiente, para estabilizar estruturas com mecanismos infinitesimais de primeira ordem. Em exemplos relativamente simples é fácil reconhecer um mecanismo existente para o qual a verificação de sinal não seria satisfeita. Porém, como alertou Kuznetsov [61], algumas estruturas com dois ou mais mecanismos independentes e também, possivelmente, mais de um estado de retesamento independentes, justificam um procedimento mais formal. Posteriormente à crítica de Kuznetsov, os autores discutiram a consideração do sinal do produto escalar de todas as forças-produto por seus correspondentes mecanismos [54]. Essa aproximação produz uma forma quadrática, que deve ser testada para a determinação do sinal. As verificações são diretas no caso das estruturas que têm um único estado de retesamento, mas se houver diversos estados independentes de retesamento, há a necessidade de fazer uma combinação linear de formas quadráticas. Destacam-se duas vantagens nesse método. A primeira é o emprego de quantidades físicas pois é função, por exemplo, de mecanismos e estados de retesamento o que é particularmente melhor do que uma análise de segunda ordem das equações de restrições, além de oferecer recursos para uma melhor compreensão do método. A segunda vantagem é a possibilidade de analisar estruturas com 38 Posto de uma matriz é a dimensão da sua maior submatriz positiva definida. [Strang, G. Introduction to applied mathematics. Wellesley-Cambridge Press. Cambridge, 1990]

46 32 qualquer número de indeterminação estática, como pela proposta de Levi-Civita & Amaldi, entretanto requer matrizes muito menores para análise. Um subproduto desse método é o conjunto de tensões que, agindo nas barras, fornece a rigidez de primeira ordem para todos os mecanismos finitos. Essa informação pode ser de valor considerável no projeto de mecanismos protendidos Métodos de busca da forma Forma e distribuição de tensões nas estruturas retesadas são aspectos fortemente acoplados, pois em um estágio muito anterior a quanto se dá com as estruturas convencionais, o projeto arquitetônico deve interagir com a análise estrutural. A determinação da configuração geométrica equilibrada é uma fase muito importante no projeto dessas estruturas e é conhecida como busca de forma [2]. Pugh [31] reuniu trabalhos de Füller, Snelson [5] e Emmerich [6] sobre a forma de estruturas tensegrity básicas, nos quais esses autores usaram, principalmente, poliedros convexos regulares como base para encontrar novas configurações. Pugh identificou três tipos de forma padrão: diamante, circuito e zigue-zague. No entanto, modelos físicos e numéricos mostraram que a forma retesada de um tensegrity pode não ser idêntica àquela do poliedro regular. Essa diferença pode ser também evidenciada pela simples verificação do equilíbrio nos nós. Conseqüentemente, métodos apropriados são necessários para encontrar a configuração de equilíbrio mais simples da estrutura tensegrity [53]. Métodos de busca de forma para estruturas tensegrity foram estudados por muitos autores. Em 1994, Motro et al. [64] classificaram os métodos de busca de forma em: geométricos, analíticos e numéricos. Mais recentemente, Connelly & Terrell [65], Vassart & Motro [66] e Sultan et al. [67] propuseram métodos diferentes, mas sem a preocupação da ligação entre o proposto e o já existente. Tibert & Pellegrino [63], fazendo uma revisão do estado da arte, os classificaram

47 33 em dois grupos cinemáticos e estáticos e buscaram identificar as vantagens e as limitações de cada um, procurando identificar ligações entre eles. Pela classificação de Tibert & Pellegrino, os métodos cinemáticos se caracterizam por determinar a geometria de uma estrutura tensegrity maximizando os comprimentos das barras ao manter constantes os comprimentos dos cabos 39, enquanto que os métodos estáticos buscam uma relação entre as configurações de equilíbrio de uma estrutura em uma topologia e as forças atuantes em seus membros. A Tabela 1 mostra a classificação proposta por esses autores. Tabela 1 Classificação dos métodos de busca de forma para estruturas tensegrity, segundo Tibert & Pellegino. Métodos cinemáticos Soluções analíticas Programação não-linear Relaxação dinâmica Métodos estáticos Soluções analíticas Método da densidade de força Método da energia Redução de coordenadas 1.6 Processos de montagem Uma etapa chave no projeto de estruturas tensegrity é a definição do processo de montagem. Cada passo desse processo deve ser rigorosamente planejado. Uma forma de encontrar um procedimento eficiente é, a partir de uma estrutura montada, imaginar a sua desmontagem, invertendo-se o processo na hora de construir. Esse foi o ponto de partida para Geiger para determinar o processo de montagem dos seus primeiros domos [40]. A seguir, descrevemos resumidamente dois processos de montagem: o primeiro foi usado inicialmente na construção dos domos de cabos em Seul e, posteriormente, nas demais obras projetadas por Geiger; e o segundo foi adotado por Terry na construção do Georgia Dome [45] Processo de montagem utilizado por Geiger A conexão dos cabos dos domos construídos em Seul foi executada gradualmente. Iniciou-se conectando os cabos radiais ao anel central. Embora 39 Alternativamente, os comprimentos das barras podem ser mantidos constantes enquanto os comprimentos dos cabos forem diminuídos até que alcancem um mínimo.

48 34 esse conjunto pudesse ser levantado desde o chão, uma torre central de apoio foi construída para sustentá-lo inicialmente a uma altura intermediária. Geiger havia pensado inicialmente em levantar de uma só vez o anel central, tracionando-se os cabos radiais. Estimou-se que o ganho de tempo de construção que se conseguiu ao utilizar a torre central foi de quatro semanas. Os mastros volantes que compõem a circunferência externa foram içados e suspensos nos cabos radiais e, na seqüência, foram conectados os cabos que formam o anel de tração externo e as diagonais a ele ligadas, retesando-se posteriormente o conjunto. O mesmo procedimento foi adotado para cada conjunto de mastros volantes, anel de tração e diagonais até a montagem final da estrutura [40,41,42]. A Figura 19 ilustra o processo. Figura 19 Ilustração do processo de montagem de domo de cabos tensegrity utilizado por Geiger Processo de montagem utilizado por Terry Até a construção do Georgia Dome, o procedimento adotado na montagem dos domos tensegrity incluía o corte dos cabos no local da obra. Mesmo na montagem do Tropicana Field a maior cobertura tensegrity até então esse procedimento foi utilizado. No entanto, os cabos da cobertura do Georgia Dome

49 35 foram pré-fabricados. Essa mudança melhorou o controle de qualidade, permitiu maior rapidez na execução e propiciou uma melhor organização do canteiro de obras. Figura 20 Ilustração do processo de montagem de domo de cabos tensegrity utilizado por Terry 40. Figura 21 Montagem do Georgia Dome 41. A estrutura toda foi montada no chão e posteriormente levantada de uma só vez, inclusive com a treliça central. Era como erguer uma teia de aranha gigantesca puxando em suas extremidades, disse Terry, a seqüência e o 40 Adaptada de [38]. 41 Extraídas de

50 36 sincronismo eram críticos. Através da tração aplicada aos cabos externos, conectados ao anel de compressão, a rede de cabos foi erguida até sua posição final, em oito intervalos, no período de uma semana. O último passo seria erguer a treliça central a sua posição final. Usando-se cabos temporários presos aos topos dos mastros que formam a circunferência interna e içando-se a treliça em múltiplos pontos inferiores, ela foi levantada e conectada aos cabos definitivos [45,47]. A Figura 20 ilustra o processo de içamento e a Figura 21 mostra uma foto da estrutura já com todas as conexões prontas, mas ainda no solo, e outra da estrutura já em sua posição final Simulação numérica da montagem do Georgia Dome A montagem da cobertura do Georgia Dome diferenciou-se da montagem dos domos tensegrity que o antecederam não só por conectar-se todos os elementos da estrutura no solo e içá-los até a posição final, de uma só vez, toda a estrutura e pela pré-fabricação dos cabos, mas também porque simulou-se numericamente o processo de montagem, usando-se um computador. Do ponto de vista de projeto, esse é um avanço significativo, pois possibilita acompanhar os deslocamentos de cada elemento da estrutura em todas as etapas da montagem consideradas. O deslocamento máximo sofrido pela treliça central aproximou-se de 80m, sendo que 20 estágios intermediários foram calculados. A simulação numérica considerou análise não-linear geométrica em 2D [45,68]. Essa simulação numérica foi feita em 1992, sendo que não encontramos outro registro de simulação numérica da montagem de uma obra tensegrity na literatura.

51 37 2 Ferramentas matemáticas Neste capítulo relembra-se, inicialmente, o método de Newton para a resolução de sistemas algébricos não-lineares. Posteriormente, apresentam-se formulações de elementos que serão usados ao longo deste trabalho. 2.1 Método de Newton O Método de Newton 42 é um método de resolução de problemas matemáticos. É da adoção desse método para a resolução de sistemas não-lineares que se deriva o conceito de matriz de rigidez tangente. Considere-se a função vetorial: ( ) ( ) g = g u =P u F=0, n n g : V V (2. 1) onde F é um vetor n dimensional das forças externas que atuam sobre os n graus de liberdade de um sistema estrutural discreto, P( u ) o vetor correspondente aos esforços internos desse mesmo sistema estrutural, g ( u ) o vetor que contém as forças residuais e n V o espaço vetorial de dimensão n. Seja um ponto n m u V a solução de g( u) 0 V = e u 0 = u δu uma estimativa inicial de u, tal que g ( u 0 ) 0. O problema estático desse sistema estrutural u = u x V, constitui em encontrar o vetor de deslocamentos ( ) n 3 x V tal que 42 Para um estudo aprofundado do Método de Newton no contexto da análise não-linear de estruturas, sugere-se Pimenta [69].

52 38 g( u) = 0. (2. 2) Se g( u ) for suave numa vizinhança de u que contém u 0, expandindo-se numa série de Taylor e, por admitir que os termos de ordem superior sejam pequenos em relação ao termo de primeira ordem, (suposição válida para δ u suficientemente pequeno), tem-se: g u =u g u -1 ( ) i+ 1 i i u ui. (2. 3) Definindo-se a matriz de rigidez tangente K i t g =, u (2. 4) ui tem-se: i -1 ( ) ( ) u i+ 1 =ui Kt g u i. (2. 5) Pode-se usar o Método de Newton combinado com um método incremental de soluções, dividindo-se o carregamento total em incrementos de carga. Em cada incremento de carga é aplicado o Método de Newton, sendo usado como valor inicial desse incremento os deslocamentos da solução encontrada no incremento anterior. O valor de u 0 é arbitrado (normalmente nulo). Esse procedimento melhora a convergência da resolução do problema. 2.2 Elemento de treliça geometricamente exato 43 Sistemas estruturais de comportamento não-linear podem ser matematicamente descritos por equações diferenciais cuja resolução requer, na maioria dos casos, algum processo de discretização. Reduz-se, então, a descrição a um sistema de equações algébricas não-lineares. 43 Neste item expõe-se uma abordagem resumida do elemento de treliça geometricamente exato, apresentada por Pauletti [2].

53 39 No entanto, no caso de estruturas de cabos, pode-se tornar o problema naturalmente discreto ao assimilá-los a uma sucessão encadeada de barras articuladas, carregadas exclusivamente nos pontos de articulação. Esse é um procedimento mais direto, contudo, igualmente eficiente para se derivar o sistema de equações algébricas correspondente. Dessa forma, pode-se empregar o elemento de treliça para representar uma ampla gama de estruturas, incluindo-se os sistemas tensegrity. Apresenta-se, a seguir, a formulação da matriz de rigidez tangente do elemento de treliça Matriz de rigidez do elemento de treliça Define-se a matriz de rigidez tangente de um elemento de treliça como k t p = u. (2. 6) onde p é o vetor das forças internas e u é o vetor dos deslocamentos desse elemento. Os nós i e j do elemento na numeração global correspondem aos nós 1 e 2, respectivamente, na numeração do elemento (Figura 22). Considere-se, então, a obtenção da matriz de rigidez tangente elemento. k t deste Figura 22 Elemento finito, indicando-se a correspondência entre a numeração local do elemento e a numeração global do sistema reticulado 44. O vetor das forças internas é: 44 Extraída de [2].

54 40 vn p= = N N C. v (2. 7) onde v = l l, o escalar N é esforço interno e C um operador geométrico dado pelo vetor v C = v (2. 8) l x x, = ( ) 12 sendo = j i l l l, x i e x j os vetores de posição dos nós i e j, respectivamente. Substituindo (2. 7) em (2. 8), obtém-se as parcelas elásticas e geométricas da matriz de rigidez tangente, tal que T N C kt = ke + kg = C + N. (2. 9) u u Considere-se primeiramente a obtenção da parcela elástica presente em (2. 9), admitindo linearidade física, ou seja: N = EA r r ( ), (2. 10) onde r é o comprimento do elemento na configuração de referência, na qual o elemento está sujeito a uma tração 0 N, dado por EA = EA+ N r 0. 0 (2. 11) Tem-se, depois de algumas operações algébricas 45, que 45 Dedução completa pode ser encontrada na referência [2]

55 41 N EA = C. r (2. 12) u Resulta, para a parcela elástica da rigidez tangente, k N EA e = C = r u C C T T, (2. 13) onde fica ressaltada a simetria de k e. Levando em conta a definição do operador geométrico C, tem-se, portanto, k T T EA vv vv =. vv vv (2. 14) e r T T Considere-se, agora, a obtenção da parcela geométrica presente em (2. 9): v C u k g = N = N. u v (2. 15) u Depois de algumas operações algébricas semelhantes ao caso da parcela elástica, tem-se que k g T T ( I3 vv ) ( I3 vv ) T T ( 3 ) ( 3 ) C N = N =, u (2. 16) I vv I vv onde I 3 é a matriz identidade de ordem 3. Finalmente, combinando (2. 14) e (2. 16) em (2. 9), obtém-se a matriz de rigidez do elemento de treliça geometricamente exato:

56 42 T T ( I3 vv ) ( I3 vv ) ( 3 ) ( 3 ) T T EA vv vv N kt = ke + k g = r + T T, T T vv vv (2. 17) I vv I vv onde as parcelas k g e k e correspondem, respectivamente, a uma relutância do elemento em mudar de geometria, dado um certo estado de solicitações e a uma relutância do elemento a mudar de estado de solicitação, dada uma certa configuração geométrica. Pauletti [2] afirma que os problemas de estruturas retesadas são caracterizados justamente pela importância da rigidez geométrica para a estabilização da estrutura, podendo-se em alguns casos até mesmo desprezar-se rigidez elástica. Sabe-se ainda que, por conta do enrijecimento crescente proporcionado pelo retesamento, os sistemas de equações de equilíbrio associados a uma estrutura completamente retesada são geralmente bem condicionados. Entretanto, segundo Cook [70], os processos iterativos de solução para esse tipo de sistema estrutural, no qual a rigidez aumenta com o aumento da solicitação ( hardening structures ), provavelmente convirjam mais lentamente, em comparação com estruturas que apresentem o comportamento contrário ( softening structures ). Conforme Souza Lima & Brasil [71], a formulação direta da teoria não linear, geometricamente exata das treliças, para o caso plano, e adotando medidas lineares de deformação, foi apresentada pela primeira vez por Turner et al., ainda no início dos anos 60 [72] trabalho em que se consideram, também pioneiramente, grandes deflexões e análises térmicas por meio de elementos finitos. A generalização da formulação deste elemento para o caso espacial apresentada inicialmente por Argyris [73], em 1964.

57 Especializações do elemento de treliça Elemento "atuador" Ao se considerar, na formulação do elemento de treliça [equação (2. 7)], a ação de uma força normal de tração constante, durante um certo estágio, tem-se, nesse estágio, que k = 0. A rigidez tangente resume-se, então, à parcela e k g da equação (2. 17). k t = k = g T T ( I3 vv ) ( I3 vv ) T T ( I3 vv ) ( I3 vv ) N. (2. 18) O comprimento inicial do elemento, variável, é calculado para cada configuração de equilíbrio, reordenando a equação (2. 11) de modo a obter-se E = E + N i. 0 (2. 19) Trata-se de um elemento fisicamente correspondente, por exemplo, à ação de um acionador hidráulico ideal. Esse elemento foi proposto inicialmente por Meek, em 1971, que o denominou variable initial length element (VIL) [74] de onde adotamos a nomenclatura. A aplicação desse elemento se dá no contexto da busca da forma equilibrada da estrutura Elemento de densidade de força Considere-se para um dado elemento a densidade de força d el, tal que d = el j N x x. (2. 20) i Assim, a força agindo no elemento, antes dada pela equação (2. 10), será reescrita como

58 44 N = d el. (2. 21) Refazendo-se as derivadas da equação (2. 9), obtém-se, para a parcela elástica da matriz de rigidez, k T T d vv = vv, (2. 22) vv vv e el T T e, para a parcela geométrica, k g = d el T T ( I3 vv ) ( I3 vv ) T T ( I3 vv ) ( I3 vv ). (2. 23) Da soma das parcelas elástica e geométrica obtém-se k t 3 3 = del I 3 I3 I I. (2. 24) A aplicação desse elemento se dá no contexto da busca da forma, abordado, com maior detalhamento, no item 3, mais especificamente na discussão do método das densidades de forças (item ). Note-se que k t = cte e, com isso, a busca da forma torna-se um problema linear. 2.4 Elemento de cabo deslizante (sem atrito) O elemento de cabo ideal (ou elemento de cabo que não considera o atrito) foi inicialmente considerado por Aufaure [75], em Pauletti [76], em 1994, generalizou o elemento para incluir o deslizamento não-ideal, ou seja, considerando o atrito. Em 2003, Pauletti [2] reescreveu a formulação em uma nova notação, diferenciando parcelas constitutiva e geométrica da matriz de rigidez tangente. O que segue é uma apresentação compacta da formulação apresentada por Pauletti.

59 45 Considere-se, inicialmente, o elemento de cabo ideal (cabo infinitamente flexível, finitamente extensível, escorregando sem atrito), conforme ilustrado na Figura 23. Associados aos trechos 1 e 2 do elemento, em uma dada configuração corrente, têm-se os vetores dados por: ; l1 = x1 + u1 x3 u3 l2 = x2 + u2 x3 u 3, (2. 25) onde: l 1 e l 2 correspondem, respectivamente, aos comprimentos 1 e 2; e 0 x 3 às coordenadas iniciais do nós 1, 2 e 3 como; e u 1, u 2 e u 3 expressam os correspondentes deslocamentos nodais (Figura 23). 0 x 1, 0 x 2 Figura 23 Elemento de cabo escorregando por uma polia (elemento de cabo ideal ) 46. O comprimento total do cabo, na configuração corrente, é dado pela soma dos comprimentos de cada um dos trechos, e pode ser calculado por meio de T T = 1+ 2 = l1 l1 + l2 l2, (2. 26) Onde: l1 = x1 + u1 x3 u3 ; l2 = x2 + u2 x3 u 3. (2. 27) O elemento é definido em uma configuração inicial, já sujeito a uma força normal 0 N, constante ao longo de todo o elemento. O comprimento do cabo, na configuração inicial, é dado por: l1 = x1 x3 ; l2 = x2 x 3. (2. 28) 46 Adaptada de [2].

60 46 O comprimento total indeformado do elemento de cabo, considerando um material elástico-linear, é dado por EA = EA + N r 0. 0 (2. 29) A força normal atuando no elemento na configuração corrente é então escrita na forma N = EA r r ( ). (2. 30) As forças internas agindo sobre os nós do elemento, na configuração corrente, em equilíbrio, são: N ; N e ( ) p1 = v1 p2 = v2 p3 = p1+ p 2. (2. 31) onde v 1 e v 2 são os versores direcionais dos trechos 1 e 2, dados por v 1 = l 1 1 v 2 e 2 2 = l. (2. 32) O vetor das forças nodais é definido como p1 v1 p= p2 = N v2 = CN, (2. 33) p v + v ( ) onde a força normal N é um escalar e C é um operador geométrico dado por C v 1 = v2 ( v v ) (2. 34) O vetor de deslocamentos nodais do elemento é:

61 47 u u 1 = u2 u 3. (2. 35) A matriz de rigidez tangente do elemento será, portanto, p N C k = = C + N = k + k u u u T t e g, (2. 36) onde k e e k g são as parcelas elásticas e geométricas da matriz de rigidez tangente, respectivamente. Tem-se que, como nos elementos anteriores, corresponde a uma relutância da estrutura em mudar de geometria, dado um certo estado de solicitações corresponde e mudar de estado de solicitação, dada uma certa configuração. k e k g a uma relutância da estrutura a Denotando, por concisão, M = M = v v ; M = M = I v v T T T T M = M = v v ; M = M = I v v T T T T M = M = v v T T , (2. 37) a matriz de rigidez tangente do elemento de cabo ideal pode ser escrita como t EA N EA EA N M + M M ( M + M ) M r 11 1 r 12 r EA EA N EA N ( ) r r EA N EA N EA N N ( M + M ) M ( M + M ) M ( M + M + M + M ) + + r r r M M k = M M + M M + M M (2. 38)

62 48 3 Métodos de busca da forma Vários métodos numéricos para a busca de uma forma equilibrada de estruturas retesadas são encontrados na literatura. A maioria deles foi proposta no contexto da busca de forma das redes de cabos, sendo que alguns foram posteriormente adaptados para estruturas de membranas ou tensegrity. Neste capítulo apresentam-se, inicialmente, os métodos de busca da forma aplicados aos tensegrity. Posteriormente, propõe-se um método para a busca da forma baseado na aplicação de um elemento matricial com a característica de manter constante a tensão nele atuante, variando o comprimento inicial necessário para satisfazer as equações constitutivas. Algumas aplicações a módulos tensegrity são apresentadas. A proposta é comparada, então, com alguns dos métodos mais usados. 3.1 Métodos de busca da forma aplicados aos tensegrity No decorrer deste item, segue-se a classificação proposta por Tibert & Pellegrino (ver Tabela 1 - item 1.5.3) Métodos cinemáticos A característica desses métodos é que os comprimentos dos cabos são mantidos constantes quando os comprimentos das barras forem aumentados até que um (comprimento) máximo seja alcançado. Alternativamente, os comprimentos das barras podem ser mantidos constantes quando os comprimentos dos cabos forem diminuídos até que alcancem um mínimo [63].

63 Soluções analíticas Consiste de encontrar-se analiticamente um ângulo de rotação para cada barra, a partir da configuração de referência, em função do número de nós de uma dada estrutura. O ângulo corresponde ao giro causado pela maximização dos comprimentos dos elementos comprimidos, mantendo-se constantes os comprimentos dos elementos tracionados. Connelly & Terrell [65] apud [63] apresentaram a solução analítica para um módulo tensegrity simétrico, consistindo de cabos arranjados ao longo das arestas de um prisma regular e um número de barras que conectam os vértices inferiores do polígono aos correspondentes vértices superiores do polígono. Entretanto, para casos não-simétricos, essa formulação torna-se inviável devido ao grande número de variáveis necessárias para descrever uma configuração genérica. Outra desvantagem desse método é o desconhecimento das tensões atuantes na estrutura na configuração equilibrada Programação não-linear Proposto por Pellegrino [77] apud [63], esse método transforma a busca de forma de um tensegrity qualquer em um problema de minimização. Partindo-se de um sistema para o qual as conectividades dos elementos e as coordenadas nodais são conhecidas, uma ou mais barras são alongados, mantendo fixas as relações de comprimento entre elas, até que uma configuração de equilíbrio seja alcançada na qual o seu comprimento é maximizado. O problema geral tem a forma: onde a função objeto f (,, ) das barras. ( x y z) minimizar - f,, submetido a g x, y, z, = 0 para i = 1,..., n (3. 1) i ( ) xyz é, por exemplo, o comprimento negativo de uma Uma vantagem dessa programação não-linear aproximada é que pode ser implementada em um software qualquer de programação algébrica. Entretanto,

64 50 o número de equações aumenta com o número de elementos, tornado-a inviável para sistemas maiores. Também, embora diferentes configurações geométricas de estruturas com a mesma topologia possam ser encontradas, especificando-se diferentes relações entre os comprimentos das barras, não há nenhuma maneira direta de controlar a correspondente variação do estado de retesamento da estrutura Relaxação dinâmica O método da relaxação dinâmica consiste na obtenção de uma solução para o problema do equilíbrio, por meio de uma análise dinâmica com integração explícita, empregando-se matrizes diagonais de massa e amortecimento. Considerando-se um meio já discreto, define-se as matrizes M e C ambas de ordem n n, onde n é a dimensão do vetor de deslocamentos u que expressam a massa e o amortecimento, tais que M M ij = 0 para i j = M ij = mk para i = j e C Cij = 0 para i j = Cij = ck para i = j, (3. 2) onde m k e c k correspondem, respectivamente, à massa artificial concentrada e ao coeficiente de amortecimento associados ao grau de liberdade k. Esses parâmetros podem ser escolhidos de forma arbitrária, buscando-se, no entanto, controlar a estabilidade e a convergência da integração. Resultando, então, em um problema pseudo-dinâmico, na forma 2 d u du M + C + P 2 ( u) = F, (3. 3) dt dt que pode ser resolvido por meio da manipulação exclusiva de vetores, o que torna o cálculo dos incrementos temporais muito rápido. Usualmente, a precisão somente é obtida com um número grande de incrementos no tempo [2]. Assim como o método de Newton, o método da relaxação é um dos métodos clássicos de análise não-linear estática muito usado para resolver problemas de equilíbrio que expressam o comportamento das estruturas. Foi proposto no

65 51 contexto da busca de forma de estruturas de membrana e redes de cabos [78,79], e posteriormente adaptado por Motro [80] e Belkacem [81] como um método geral para a busca de forma para estruturas tensegrity. Há diversas maneiras de realizar uma análise de busca de forma, por exemplo, prescrevendo para cada elemento da estrutura uma relação constitutiva 47. Em uma configuração corrente qualquer da estrutura, as equações nodais de equilíbrio são usadas para verificar o auto-equilíbrio das forças. Motro [64] conclui que o método da relaxação dinâmica tem boas propriedades de convergência para estruturas com somente alguns nós, mas não é eficaz quando o número de nós aumenta. Também, o método torna-se especialmente enfadonho se diversas relações diferentes entre comprimentos de barra e comprimentos de cabo forem desejadas, o que restringe sua aplicabilidade às formas estruturais mais regulares. Entretanto, a mesma limitação aplica-se aos métodos cinemáticos em geral Métodos estáticos A característica geral desses métodos é que uma relação é encontrada entre as configurações de equilíbrio de uma estrutura com dada topologia e as forças em seus membros. Essa relação é analisada então por vários métodos Soluções analíticas Pode-se usar o equilíbrio do nó e a simetria para encontrar analiticamente a configuração de módulos tensegrity simplex, como fez Kenner [82] apud [63] com o octaedro expandido 48, ou, a exemplo de Connelly & Terrell [65], usar uma aproximação do equilíbrio para encontrar a forma retesada estável de tensegrity simétricos. Ambos usaram o conceito de densidade de força para encontrar um sistema de equações lineares de equilíbrio. 47 Uma relação constitutiva é, por exemplo, dada por N = Np + kaδ l, onde N é a força axial e Δ l o alongamento medido a partir da configuração inicial do elemento; N é a protensão desejada e p k a uma pequena rigidez axial fictícia. 48 O Monument à la Forme Futile tem esta forma.

66 Método das densidades de forças O método das densidades de forças foi proposto em 1971 por Linkwitz [83,84] apud [85] e estendido posteriormente (1974) por Sheck [86] para a busca da forma de redes de cabos. O procedimento considera o equilíbrio de cada nó de uma malha de cabos, para o qual convergem cabos partindo dos demais nós. Resulta, como mostrou Pauletti [2], para o equilíbrio de todos os nós da malha, um sistema de 3n equações não-lineares, em termos das coordenadas nodais: nel j i N vel = Nel = Fi, i= 1,, n, el x x (3. 4) nel x x el= 1 j= 1 j i onde N el é a força no elemento que liga os nós i e j, x i e x j são as coordenadas dos respectivos nós, e orientada ligando esses dois nós. v el é o versor do segmento de reta Porém, fixando-se para cada trecho de cabo a densidade de força d el, tal que d = el j N el x x, (3. 5) i obtém-se um sistema de 3n equações lineares: nel el= 1 ( ) del xi x j = F i, i = 1,, n. (3. 6) No contexto das estruturas tensegrity, pode-se ter o caso em não há cargas externas, tornando o problema conservativo. Sob essa hipótese, a equação da matriz de rigidez tangente da estrutura pode ser escrita como a soma das parcelas correspondentes à rigidez elástica e à rigidez geométrica: Kt = Ke + K g. (3. 7) Ao considerar um conjunto de densidades de forças constantes, organizado vetorialmente, agindo em todos os elementos da estrutura, tais que

67 el nel d d d d = d, (3. 8) pode-se reescrever o vetor do esforços internos como segue: nel nel nel d d d = N, (3. 9) onde el l é o comprimento do el -ésimo elemento. O vetor das forças internas, é escrito por n n = P P P P, (3. 10) onde n el el el j x n i el el el j y n el el el j z d l d l d l = = = = v P v v, (3. 11) tem-se, então, a matriz de rigidez global obtida por

68 54 nel T t = el t el el= 1 K A k A, (3. 12) onde A el é a matriz de conectividade, ou de incidências, e rigidez do elemento de densidade de força, como na equação (2. 24). Note-se que a matriz k t é a matriz de K t será sempre quadrada e singular, com uma nulidade 49 de pelo menos 1 visto que a soma das linhas e das colunas é zero. Diferentemente do caso de uma rede de cabos fixa a nós de uma fundação, que é positiva definida 50, a matriz de K t para um tensegrity é semi-definida e, devido à presença de elementos comprimidos, com d el < 0, diversas complicações podem surgir durante a busca da forma. Um procedimento prático para encontrar um conjunto de densidades de força que produza uma matriz K g com posto requerido foi dado por Vassart [66]. Essas características tornam o método das densidades das forças uma atraente alternativa às análises nãolineares de equilíbrio, para os procedimentos de busca da forma das estruturas retesadas [85] Método da minimização da energia Uma configuração de n pontos ordenados num espaço d -dimensional pode ser denotada por [ ] = x x x 1 2 T n. (3. 13) Uma estrutura tensegrity T ( ) pode ser expressa como um gráfico em onde cada aresta é designada como um cabo, uma estronca ou uma barra ; sendo que os cabos não podem aumentar, as estroncas não podem diminuir e as barras não podem mudar seus comprimentos. Um conjunto de forças por unidade de comprimento atuantes d para T ( ) é auto-equilibrado se a seguinte condição for possível em cada nó i : 49 Nulidade de uma matriz é a dimensão do seu núcleo. 50 Veja pág. 120 de [86].

69 55 ( ) nel del xj xi = 0, (3. 14) el= 1 onde o del 0 para os cabos, del 0 para estroncas, e nenhuma circunstância é estipulada para as barras. Comparando a equação (3.14) com as equações de equilíbrio do nó escritas em termos da densidades de força (3.6), observa-se que são idênticas para F=0. No entanto, satisfazer a condição de equilíbrio acima é uma condição necessária mas não suficiente para que uma estrutura tensegrity esteja em uma configuração estável de equilíbrio. Um princípio básico na análise da estabilidade das estruturas é que a função da energia potencial total deve estar em um mínimo local para que uma dada configuração seja estável. Analogamente à energia potencial total, Connelly [87] apud [63] define uma forma de energia associada ao conjunto de forças por unidade de comprimento d por: E nel 1 2 = del xj x i. 2 (3. 15) ( ) el= 1 A idéia é que, quando os pontos de extremidade de um elemento são deslocados, a energia cresça proporcionalmente ao quadrado do alongamento. O mínimo absoluto da equação (3.15) correspondente ao comprimento de repouso do elemento, ou seja, quando os cabos, que são somente tracionados, têm comprimento zero e quando as estroncas, que são sempre comprimidas, tiverem um comprimento infinito. Considerando x1 = x 2, (3. 16) x 3

70 56 um vetor coluna de dimensão 3n contendo as coordenadas em x 1, x 2 e x 3 de todos os nós da estrutura, então a equação (3.15) pode ser reescrita na forma quadrática: E k t 1 T = 2, (3. 17) k t ( ) de onde os elementos de k t são dados por k t 3 3 = del I 3 I3 I I. (3. 18) Note-se que a matriz de rigidez encontrada em (3.18) é idêntica à apresentada em (2. 24). Entretanto, a forma acima fornece uma introspecção mais profunda nas características do método das densidades de força e como pode ser usado para encontrar configurações estáveis de equilíbrio de estruturas tensegrity. Segundo Tibert & Pellegrino [63], a ligação entre o método das densidades de força e o da minimização da energia foi inicialmente indicada por Kötrer [47], em 1912, e, posteriormente, por Schek [86], em Redução de coordenadas Esse método foi introduzido por Sultan et al. [67] apud [63]. Nele, entendem-se as barras como um conjunto de confinamento bilateral que age na estrutura de cabos. Considerando um estado de retesamento agindo na estrutura, onde não agem forças externas, tal que as forças agindo nos cabos estejam em equilíbrio com correspondentes forças nas barras, pode-se obter, pelo teorema do trabalho virtual, um conjunto de equações de equilíbrio que relaciona as forças nos cabos, mas sem mostrar explicitamente as forças nas barras. Para tanto, deve-se considerar um deslocamento virtual da estrutura de tal forma que não haja nenhum alongamento das barras. Calcula-se a mudança nos comprimentos dos cabos em função do deslocamento virtual.

71 57 O trabalho virtual nas barras é nulo, pois os alongamentos das barras são nulos, e assim determina-se uma expressão para o trabalho total das forças internas (dos cabos somente). Para que a estrutura esteja em equilíbrio, essa expressão deve anular-se para qualquer deslocamento virtual, obtendo-se, então equações reduzidas de equilíbrio. Esse método tem as vantagens de, mesmo considerando o teorema do trabalho virtual, usar um número reduzido de equações e ser implementado em um programa que faça cálculos simbólicos. Entretanto, torna-se extremamente dispendioso, hoje muito mais na programação do que no tempo de processamento, à medida que forem consideradas estruturas com maior número de elementos, principalmente se elas não apresentarem planos de simetria. 3.2 Proposta de um método para a busca da forma O elemento atuador (VIL), apresentado no item 2.3.1, conjuntamente com elementos de treliça e de cabo com dois nós [2], pode ser usado para se encontrar a forma equilibrada de uma estrutura tensegrity. O método consiste em especificar as tensões (de tração ou compressão) que devem agir sobre um conjunto previamente selecionado de elementos da estrutura na sua configuração de equilíbrio final e, partindo-se de uma configuração inicial, buscar a configuração que corresponde ao equilíbrio da estrutura. O conjunto de elementos, cujas tensões finais são pré-estabelecidas, é simulado numericamente por elementos VIL, enquanto que os demais são representados por elementos que melhor simulam suas funções estruturais (ou cabos ou treliças). Monta-se um sistema de equações algébricas correspondentes ao equilíbrio entre as forças internas e externas, na forma ( ) ( ) g u =Pd u + Pa F=0, (3. 19) onde P ( ) d u é o vetor das forças internas que dependem dos deslocamentos, P a agrupa as forças internas arbitradas e F contém as forças externas. O vetor

72 58 Pd ( ) u, que agrupa os esforços internos atuantes nos elementos de cabo e de treliça (barra), é montado, para cada elemento, como mostrado nas equações (2. 7) e subseqüentes. Por outro lado, P a reúne os esforços arbitrados que atuam nos elementos do tipo VIL. O sistema de equações (3.19) pode ser resolvido, por exemplo, pelo Método de Newton (ver item 2.1). A resolução convergirá, com alguma sorte, para uma forma de equilíbrio da estrutura. Todavia, se a configuração inicial, ou as tensões impostas, não forem convenientemente arbitradas, será impossível encontrar uma forma equilibrada, ou encontrar-se-á uma forma de equilíbrio indesejada [3]. Se a estrutura for auto-equilibrada, conseqüentemente F=0, o equilíbrio ocorrerá entre as forças internas arbitradas e as dependentes dos deslocamentos. No entanto, adotando-se o método de Newton para resolver o sistema de equações, faz-se necessário, mesmo para estruturas autoequilibradas, a adoção de uma vinculação mínima suficiente para impedir deslocamentos de corpo rígido da estrutura, não podendo, portanto, ser considerado nulo o vetor das forças externas. Pela classificação dos métodos de busca da forma apresentada por Tibert & Pellegrino [63], o método acima proposto pode ser classificado tanto como cinemático quanto como estático. Considerando que a forma equilibrada é encontrada mesmo se arbitradas forças de pouca intensidade o que produz variações de comprimento suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas, é possível afirmar que, mantendo-se constante os comprimentos dos cabos, encontra-se a forma equilibrada maximizando os comprimentos das barras 51. Por essa razão, o método é cinemático. Mas, por outro lado, arbitram-se valores de forças atuantes em um conjunto de elementos e então busca-se uma configuração equilibrada, estabelecendo uma relação entre geometria e forças atuantes. Assim sendo, o método é estático. 51 Ou, inversamente, mantendo-se constantes os comprimentos das barras, encontra-se a forma equilibrada minimizando os comprimentos dos cabos.

73 59 Convém ressaltar que têm-se, como um sub-produto do método, as forças atuantes em cada um dos membros da estrutura na forma equilibrada Exemplos de aplicação do método Neste item, usa-se o código PEFSYS [88] um programa de elementos finitos para análises não-lineares, estáticas e dinâmicas, de estruturas para a simulação numérica e o software ANSYS na apresentação dos resultados. No procedimento de análise estática não-linear o PEFSYS adota o método de Newton exato, o qual requer a montagem da matriz de rigidez tangente da estrutura, obtida através da soma das contribuições de cada elemento da estrutura. As Figuras 24 a 26 apresentam exemplos de busca de forma de alguns módulos tensegrity básicos, ou tensegrity simplex como são conhecidos na literatura onde, por simplicidade, foram arbitradas as tensões agindo nos elementos rígidos (barras). Partindo-se de uma forma geométrica conhecida, busca-se a configuração de equilíbrio. Em cada figura são mostradas as configurações inicial e equilibrada, em perspectiva e na vista topo Y 6 5 (a) configuração inicial, em perspectiva 4 Y (b) configuração equilibrada, em perspectiva 2-5 (c) configuração inicial, vista de topo Figura 24 Prisma com base triangular. Y 4 Y 1 (d) configuração equilibrada, vista de topo Y (a) configuração inicial, em perspectiva 5 Y 8 6 (b) configuração equilibrada, em perspectiva Y (c) configuração inicial, vista de topo Figura 25 Prisma com base quadrada Y 2 (d) configuração equilibrada, vista de topo 6 7

74 Y Y 7 12 Y (a) configuração inicial, em perspectiva 7 12 Y 8 10 (b) configuração equilibrada, em perspectiva (a) configuração inicial, vista de topo Figura 26 Prisma com base hexagonal (b) configuração equilibrada, vista de topo 3.3 Comparação do método proposto com outros métodos Dentre os métodos de busca da forma encontrados na literatura, os mais usados são o das densidades de forças e o da relaxação dinâmica. Ambos são relativamente fáceis de implementar computacionalmente. No entanto, no âmbito das estruturas tensegrity, o método das densidades de forças necessita de um procedimento para encontrar um conjunto de densidades que produzam uma matriz de rigidez com posto requerido, pois, como já visto, é semi-definida. Além disso, assim como os demais métodos encontrados na literatura, estes limitam-se a encontrar uma forma equilibrada, ou seja, fornecem as coordenadas nodais, sem, contudo, oferecer qualquer informação sobre as forças atuantes nos elementos da estrutura. Portanto, mesmo conhecendo-se uma forma equilibrada de uma determinada estrutura que satisfaça as expectativas arquitetônicas, faz-se necessário cálculos adicionais, ou até outra análise estrutural, para conhecer os esforços que deverão ser aplicados nos elementos, ou em um subconjunto deles, para que a forma desejada seja alcançada no momento de construir. A vantagem de destaque do método de busca da forma proposto nesta tese é fornecer, além das coordenadas de cada nó da estrutura, as forças atuantes em cada um dos elementos que a compõem, na configuração de equilíbrio encontrada. Com esse resultado é possível impor forças atuantes em alguns elementos e assim alcançar a configuração desejada, sem nenhum cálculo adicional. Outra vantagem do método é que ele não é limitado a pequenas

75 61 estruturas, nem tampouco a estruturas simétricas. Pode-se citar, ainda, como uma excelente vantagem, a possibilidade de ser facilmente incorporado por programas de elementos finitos.

76 62 4 Simulações Numéricas A decisão mais importante a ser tomada na construção de uma estrutura tensegrity é a forma com que ela será montada. A definição de um processo de montagem, com etapas planejadas e bem definidas, é, portanto, condição necessária para o sucesso da construção de estruturas retesadas. Dois métodos de montagem de estruturas foram apresentados no item 1.6. No primeiro, usado por Geiger, os elementos são conectados ao restante da estrutura à medida que é içada, enquanto que, no segundo, usado por Terry, a estrutura é conectada inteiramente no solo e depois içada de uma única vez. Nesta tese, todas as simulações adotam como método de montagem a alternativa utilizada por Terry. Apresenta-se, neste capítulo, uma metodologia para encontrar uma configuração na qual seja possível conectar todos os elementos da estrutura e, a partir dela, iniciar o processo de montagem (içamento). Essa metodologia é testada em alguns módulos básicos tensegrity e depois aplicada no estudo da montagem de um domo de cabos tensegrity circular. Estudam-se, também, efeitos de protensão não-sincronizada aplicada em alguns cabos do domo tensegrity. Finalmente, apresenta-se a simulação do domo de cabos tensegrity submetido à ação de um carregamento estático de vento. Não são investigados os possíveis contatos entre os elementos da estrutura e o contato da estrutura com o solo, pois requereriam a introdução de análise de contato considerada como fora do escopo desta tese.

77 63 Em todos os exemplos deste capítulo, usa-se o código PEFSYS na análise e o software ANSYS na apresentação dos resultados, com exceção da análise da flambagem do anel de compressão, quando a análise também é realizada no ANSYS. 4.1 Montagem de estruturas tensegrity O elemento atuador (VIL), apresentado no item 2.3.1, pode ser usado também para estudar o processo de montagem de estruturas tensegrity. A partir da configuração final da estrutura, simula-se numericamente o deslocamento que a mesma sofreria com o afrouxamento gradual de um conjunto de cabos previamente selecionados. Encontram-se configurações equilibradas, tantas quantas forem necessárias, até obter-se uma na qual o afrouxamento do conjunto selecionado de cabos não mais altere a configuração da estrutura, ou, então, uma configuração equilibrada próxima a essa. Inverte-se o processo para obter-se a seqüência de montagem da estrutura. Essa metodologia mescla a idéia de David Geiger com o processo de montagem usado por Terry para a construção do Geórgia Dome. A idéia de Geiger consiste em imaginar a desmontagem de uma estrutura tensegrity e inverter o processo na hora de construir. O processo de montagem usado no Georgia Dome consiste em conectar inicialmente todos os elementos da estrutura e fazer o içamento da estrutura de uma única vez, aplicando a ela as cargas de retesamento Tensegrity simplex Como primeiros exemplos de aplicação da metodologia proposta, mostram-se seqüências de configurações equilibradas de alguns módulos tensegrity. A Figura 27 ilustra o processo de montagem de um módulo tensegrity construído com 3 barras e 9 cabos, formando um prisma com base triangular (tensegrity Twist). Em (a), mostra-se o posicionamento inicial das barras e dos cabos, em (b), algumas configurações de equilíbrio intermediárias tendo-se como partida o esquema mostrado em (a) e a configuração final. Em (c), o módulo já montado (Monumento à Forma Fútil II).

78 64 A Figura 28 ilustra o processo de montagem de um módulo tensegrity construído com 6 barras e 18 cabos, formando um prisma com base hexagonal. (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo (b) configurações equilibradas intermediárias e final (c) módulo já montado Figura 27 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um prisma com base triangular. (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para (b) configurações equilibradas intermediárias e final a montagem vista de topo Figura 28 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um prisma com base hexagonal. (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo (b) configurações equilibradas intermediárias e final (c) módulo já montado Figura 29 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um tetraedro truncado.

79 65 A Figura 29 ilustra o processo de montagem de um módulo tensegrity construído com 6 barras e 18 cabos, formando um tetraedro truncado. O exemplo seguinte (Figura 30) é também um tensegrity simplex construído com 6 barras e 18 cabos, formando um octaedro expandido a forma do Monument à la Forme Futile (Figura 2). Mostra-se em (a) o posicionamento inicial dos cabos das barras para a montagem, em (b) uma seqüência de configurações equilibradas, tendo-se como partida o esquema mostrado em (a), e em (c) o módulo montado. Y Y Y (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo Y Y Y (b) configurações equilibradas intermediárias e final (c) módulo já montado Figura 30 Montagem de um módulo tensegrity com a forma de um octaedro expandido. Em todos as simulações acima apresentadas, o cabo que na modelagem foi gradualmente afrouxado está destacado em vermelho. Partindo-se da posição de repouso (a), basta retesar esse cabo para erigir a estrutura Domo de cabos tensegrity Mostra-se, a seguir, a aplicação da metodologia proposta para a montagem de estruturas tensegrity em uma estrutura de grande porte, um domo de cabos. Primeiramente, faz-se uma descrição da estrutura, onde informam-se as dimensões da estrutura, as dimensões e os pesos dos elementos, as características do materiais usados. Posteriormente, mostram-se as características do modelo numérico e os resultados obtidos.

80 Descrição da estrutura Considera-se um domo circular com raio de 100 m, ancorado a um anel de aço de compressão treliçado, composto por um mastro volante central, 2 conjuntos de 24 mastros volantes, dois anéis de tração e por uma rede de cabos triangularizada. A altura do domo é de 30 m (Figura 31). 66,67m 133,33m 200,00m 224,00m (a) Dimensões horizontais (b) dimensões verticais (c) vinculação do anel de compressão Anéis Cabos Mastros volantes internos intermediários externos * Central de tração * Círculo interno * externo Y * interno de compressão * Círculo externo (d) vista inclinada Figura 31 Domo de cabos tensegrity Os nós contidos no plano 0 tem, também, os deslocamentos na direção Y impedidos, assim como os contidos no plano Y0 tem os deslocamentos na direção impedidos.

81 67 As propriedades geométricas dos cabos e dos mastros volantes estão descritas nas tabelas 2 e 3, respectivamente. O material dos cabos é de baixa relaxação, tem módulo de elasticidade longitudinal de N m e tensão de ruptura de 1900MPa. O módulo de elasticidade longitudinal e a tensão de ruptura do material que compõe os mastros volantes são, respectivamente, e 500MPa. Cabos Tabela 2 - Propriedades geométricas dos cabos 54. Diâmetro ( mm ) Área cm 2 ( ) Massa ( kg m ) Comprimento total ( m ) N m Peso próprio total ( tf ) Centrais* 31,75 7, ,32 Intermediários* 38,10 11, ,43 Externos* 50,80 20, ,86 Anel de tração interno** 38,10 11,400 8, ,05 Anel de tração externo** 50,80 20,269 15, ,84 * Os cabos centrais conectam o mastro central aos mastros que compõe a circunferência interna de mastros volantes, enquanto que cabos intermediários ligam duas circunferências de mastros volantes e cabos externos ligam a circunferência externa de mastros volantes ao anel de compressão, como pode ser visto na Figura 31. ** Os anéis de tração são formados por quatro cabos, mas as colunas Diâmetro, Área e Massa relacionam os valores por cabo. Mastros volantes Tabela 3 - Propriedades geométricas dos mastros volantes. Diâmetro externo ( mm ) Espessura ( mm ) Comprimento ( m ) Peso próprio ( kgf ) Peso próprio total ( tf ) Central , ,26 Círculo interno , ,89 Círculo externo , ,64 O peso próprio dos cabos 55 é de 1.292,50tf, enquanto que os mastros volantes pesam 43,79tf. Portanto, o peso do domo de cabos é 1.336,29tf. Sabendo-se que a área do domo é de m, obtém-se a relação de peso por área coberta igual a 2 42,54kgf m. Ressalta-se que, para o Georgia Dome, essa relação foi de 2 30kgf m [68]. O anel treliçado é formado 96 módulos tridimensionais com largura e altura de 12m, cujos elementos são tubos cilíndricos de aço com diâmetro externo de 610mm e espessura de 59,51mm com comprimentos que variam entre 6,54m e 15,10m. Consideram-se os mesmos valores do módulo de elasticidade e da 53 Para melhor visualização, as espessuras foram aumentadas 6 vezes. 54 Não estão contemplados os cabos auxiliares, necessários para a montagem do domo. 55 Para o cálculo do peso total, consideram-se apenas cabos listados na tabela 2.

82 68 tensão de ruptura usados para os mastros volantes. A otimização do anel de compressão externo foi entendida como fora do escopo deste trabalho Simulação da montagem Para simplificar a simulação da montagem, o anel (de compressão) externo é considerado infinitamente rígido. Assim todos os graus de liberdade dos nós de ancoragem do domo são impedidos, e os cabos externos deslizam sobre eles quando as forças de protensão são aplicadas em suas extremidades. O sistema de protensão do domo é simulado por uma combinação de elementos de cabos deslizando e elementos de VIL, como mostrado na Figura 32. (a) vista inclinada (b) vista lateral (c) início da simulação (d) final da simulação Figura 32 Modelo para a simulação da montagem do domo e esquema de aplicação das forças de protensão com elementos de cabos e VIL. No início da simulação, na configuração de referência, apenas as forças de protensão agem na estrutura. A partir de então, considera-se, primeiramente, a ação do peso próprio e, posteriormente, reduz-se gradualmente as forças normais nos elementos de VIL, fazendo com que os cabos exteriores deslizem para dentro do domo, sobre os nós fixos do anel de compressão. Diversas configurações intermediárias equilibradas são encontradas por uma série de análises estáticas não-lineares, até que uma configuração imediatamente antes do contato com o solo (caracterizada por pequenas forças de protensão) seja alcançada. A montagem do domo pode agora ser obtida simplesmente invertendo-se o processo, partindo-se da configuração final da simulação e progredindo até a configuração correspondente à aplicação da protensão e peso próprio, como ilustra a Figura 33.

83 69 Y MN M Y MN M Y MN M Y M MN M Y MN Figura 33 Montagem do domo em 5 estágios. Magnitude dos deslocamentos ( m ), em relação à configuração de referência. As forças normais nos cabos externos são 2, 21kN, 9,75kN, 14,00kN ; 16,50kN e 75,00kN de cima para baixo 56. O deslocamento máximo obtido na simulação, da configuração de referência à final, foi de 90m mesma ordem de grandeza do raio do domo. Esse valor 56 Nessa figura e na seguinte, por uma questão de clareza, os elementos VIL não são mostrados.

84 70 compara-se com os valores empíricos observados. Por exemplo, na montagem do Georgia Dome, o deslocamento máximo da treliça central foi, aproximadamente, 77m [45]. A Figura 34 mostra uma vista inclinada da configuração final da simulação. Y MN M Figura 34 Configuração próxima à configuração inicial de montagem do domo. 4.2 Efeitos de protensão não-sincronizada Um fator importante no processo de montagem de domos tensegrity é a aplicação sincronizada das forças de protensão. Se a sincronização não for alcançada, a estrutura pode perder a simetria, e com isso ter uma distribuição de esforços diferente daquela estimada no projeto. Com o objetivo de investigar os efeitos da perda da sincronização, simulou-se a montagem do domo considerando variações de ±10% nas forças de protensão impostas a dois cabos superiores, que convergem ao mesmo ponto de ancoragem 57. Os resultados são sempre comparados entre os dois casos de protensão não-sincronizada e o caso de protensão simétrica (item ). A Figura 35 mostra seqüências de configurações equilibradas, para variações negativas e positivas da protensão. Pode-se verificar que, quando os cabos 57 Todas as figuras que ilustram essa simulação estão posicionadas de forma que este ponto localizase na extrema direita.

85 71 discrepantes têm força de protensão menor, o mastro volante central inclina-se na direção da ancoragem desses cabos. Coerentemente, quando as forças de protensão discrepantes são maiores, o mastro inclina-se na direção oposta. O controle da verticalidade desse elemento pode ajudar a detectar variações no valor da força de protensão. Entretanto, a verticalidade do mastro volante central pode também ser decorrente da variação da força de protensão nos cabos inferiores. Conseqüentemente, um conjunto maior de casos deve ser estudado para se ter uma compreensão mais detalhada do comportamento do domo. Y MN Y MN M M Y M MN Y M MN M Y MN M Y MN Y M MN M Y MN (a) força de protensão menor (-10%) (b) força de protensão maior (+10%) Figura 35 Montagem do domo em quatro estágios As cores mostram a magnitude dos deslocamentos (m), para os dois casos de não-sincronia de protensão A inclinação do mastro volante central no final da montagem é melhor visualizada na Figura 36, que mostra os deslocamentos horizontais do domo na direção de inclinação do mastro central. Na primeira coluna, são mostrados os deslocamentos do domo e, na segunda, apenas do mastro central. Observa-se

86 72 que há um deslocamento do domo no sentido de afastar-se no caso de protensão menor ou aproximar-se no caso de protensão maior da ancoragem dos cabos com protensão discrepante. O maior deslocamento é o do mastro central e a magnitude nos demais pontos é maior no topo dos mastros e têm a direção definida pelos cabos com forças de protensão discrepantes. YMN M MN MN = M = (a.1) força de protensão menor (-10%) (b.1) mastro central - força de protensão menor (-10%) Y MN M E E E E (a.2) protensão sincronizada E E E-03 Y.260E (b.2) mastro central - protensão sincronizada Y M MN M Y (a.3) força de protensão maior (+10%) (b.3) mastro central - força de protensão maior (+10%) (a) domo completo (b) apenas mastro volante central Figura 36 Magnitude dos deslocamentos horizontais (m) na configuração final, para os dois casos de não-sincronia de protensão..113

87 73 M Y MN (a) Força de protensão menor (-10%) MN Y M (b) Protensão sincronizada Y M MN (c) Força de protensão maior (+10%) Figura 37 Magnitude dos esforços normais (N) no anel de tração interno, na configuração final, para os três casos de protensão considerados. Y M MN (a) Força de protensão menor (-10%) MN Y M (b) Protensão sincronizada Y MN M (c) Força de protensão maior (+10%) Figura 38 Magnitude dos esforços normais (N) no anel de tração externo, na configuração final, para os três casos de protensão considerados.

88 74 M Y MN (a) Força de protensão menor (-10%) MN Y M (b) Protensão sincronizada MN Y M (c) Força de protensão maior (+10%) Figura 39 Magnitude dos deslocamentos verticais (m) no anel interno de tração, na configuração final, para os três casos de protensão considerados. Y MN M (a) Força de protensão menor (-10%) Y M MN (b) Protensão sincronizada Y M MN (c) Força de protensão maior (+10%) Figura 40 Magnitude dos deslocamentos verticais (m) no anel externo de tração, na configuração final, para os três casos de protensão considerados. As Figuras 37 e 38 mostram os esforços normais agindo nos anéis de tração, e as Figuras 39 e 40 os deslocamentos verticais, para os três casos de protensão considerados. A distribuição dos esforços normais nos anéis de tração depende

89 75 do sinal da variação da protensão (positiva ou negativa). No caso de variação negativa da protensão, os maiores esforços no anel de tração interno ocorrem na região oposta à ancoragem dos cabos subprotendidos. No caso de variação positiva, os maiores esforços ocorrem na região próxima aos cabos mais protendidos. No anel de tração externo, a distribuição de esforços ocorre sempre de forma inversa à solicitação do anel interno. Observa-se que a inclinação dos anéis internos de tração também pode auxiliar na detecção de discrepâncias de protensão. Para os dois casos de variações na força de protensão, os anéis inclinam aproximando-se um do outro na região de maiores esforços no anel de tração externo. No entanto, a inclinação do anel de tração interno é sempre maior do que a do anel externo, determinando a inclinação do mastro central. MN Y M (a) Força de protensão maior (+10%) M MN Y (b) Protensão sincronizada M Y MN (c) Força de protensão maior (+10%) Figura 41 Magnitude dos esforços normais (N) nos mastros volantes que formam a circunferência interna, na configuração final, para os três casos de protensão considerados

90 76 As Figuras 41 e 42 mostram as forças normais agindo nos mastros volantes. A distribuição dos esforços normais nos mastros volantes que formam a circunferência interna também depende do sinal da variação da protensão. Para o caso de variação negativa, os valores máximos ocorrem nos mastros próximos à região de maiores esforços no anel de tração interno, ocorrendo o inverso para os valores mínimos. Os esforços normais máximos e mínimos nos mastros volantes externos estão sempre na região próxima à ancoragem dos cabos com discrepância na força de protensão, alternando máximos e mínimos entre si, dependendo do sinal da variação de protensão considerada. Y M MN (a) Força de protensão menor (-10%) Y MN M (b) Protensão sincronizada Y MN M (c) Força de protensão menor (+10%) Figura 42 Magnitude dos esforços normais (N) nos mastros volantes que formam a circunferência externa, na configuração final, para os três casos de protensão considerados.

91 77 No entanto, compreende-se melhor as forças que agem nos mastros volantes ao compará-las com as que agem nos cabos superiores. A Figura 43 mostra a distribuição das forças normais agindo nos cabos superiores internos e intermediários. Comparando-se a Figura 43 com as Figuras 41 e 42, é possível identificar uma correlação das forças que agem nos mastros volantes com as forças normais que agem nos cabos superiores. E 3 (NOAVG) =3.764 =10143 =35475 MN Y M = (a) Força de protensão menor (-10%) M MN Y (b) Protensão sincronizada (NOAVG) MN Y M (c) Força de protensão maior (+10%) Figura 43 Magnitude dos esforços normais (N) nos cabos superiores internos e intermediários, na configuração final, para os três casos de protensão considerados

92 78 A Figura 44 mostra uma representação esquemática da variação das forças normais agindo em todos os cabos superiores para os dois casos de protensão não-sincronizada. Comparando-a com a Figura 42, observa-se que há correlação entre os esforços normais que agem nos cabos superiores e nos mastros volantes que formam a circunferência externa. (a) Força de protensão menor (-10%) (b) Força de protensão maior (+10%) Figura 44 Representação esquemática da variação das forças normais agindo nos cabos superiores, na configuração final, para os dois casos de protensão não-sincronizada Análise de um domo tensegrity Neste item, tem-se como objetivo verificar a eficiência e as limitações do uso das ferramentas computacionais apresentadas neste trabalho no estudo do comportamento estrutural de domos de cabos tensegrity. Para tanto, simula-se o domo de cabos apresentado no item submetido à ação de um carregamento estático de vento. A Figura 45 ilustra o modelo considerado. Y Y (b) vista lateral (a) vista inclinada Figura 45 Esquema de modelagem domo de cabos tensegrity ancorado em anel treliçado. 58 As cores vermelha e azul representam as maiores variações positivas e negativas, respectivamente.

93 79 Quatro casos de carregamento são considerados. O primeiro carregamento consiste apenas do retesamento do domo e da aplicação do peso próprio, enquanto que o segundo carregamento corresponde à ação de uma carga de vento atuando em toda a superfície do domo, succionando-o com uma pressão de 2 1kN m. O terceiro carregamento consiste da mesma carga considerada no segundo carregamento, no entanto, agindo sobre apenas uma metade ( Y > 0 ) da superfície do domo. O quarto e último carregamento considerado consiste de um carregamento de vento succionando uma metade ( Y > 0 ) do domo e pressionando a outra metade ( Y < 0 ), com a mesma intensidade de pressão dos casos anteriores. Na etapa de retesamento da estrutura, são utilizados elementos VIL para aplicação da protensão nos cabos. Nas etapas posteriores, o programa faz a substituição automática dos elementos VIL por elementos de cabo. A Figura 46 ilustra os deslocamentos obtidos em cada um dos casos de carregamento considerados. As escalas dos deslocamentos foram aumentadas para melhor visualização da deformada da estrutura. Nesta Figura, mostra-se, em (a), a configuração de equilíbrio correspondente ao primeiro carregamento. O deslocamento máximo, em relação à configuração de referência (onde apenas a protensão é aplicada), é de 3,37m (para baixo) e localiza-se no centro do domo. Nas demais configurações mostradas nessa figura, considerou-se, para melhor compreensão dos efeitos dos carregamentos, a configuração apresentada em (a) como referência. A configuração deformada da estrutura para o segundo caso de carregamento é mostrada em (b), com deslocamento máximo de 1, 34m (para cima). No terceiro caso de carregamento, cuja configuração é mostrada em (c), o deslocamento máximo é de 2,14m (para cima), e ocorre, como era de se esperar, na região onde a sucção é aplicada. Em (d), mostra-se a configuração correspondente ao quarto caso de carregamento, com deslocamento máximo de 3, 23m (para baixo) na parte pressionada e de aproximadamente 2,80m (para cima) na parte succionada. O valor da força de protensão é de 10tf para cada cabo externo. Ressalta-se que

94 80 a amplitude dos deslocamentos está intrínsicamente ligada, como não poderia deixar de ser, à intensidade da protensão. M Y MN (a) Peso próprio (b) Vento sucção em todo domo* M Y MN.367E (c) Vento sucção na metade direita do domo* MN M Y (d) Vento sucção na metade direita do domo e pressão na metade esquerda* * Deslocamentos medidos a partir da configuração correspondente à ação do peso próprio. Figura 46 Deslocamentos do domo, em módulo, para os carregamento considerados. A Figura 47 mostra, em (a), as forças atuantes nos elementos em cada caso de carregamento e, em (b), para os casos de carregamento em que considera-se a ação do vento, as variações dessas forças comparadas com a atuantes no caso em que age apenas o peso próprio. Em outras palavras, em (b) são mostradas apenas as forças causadas pela ação do vento, em cada carregamento considerado. Faz-se, a seguir, uma análise da distribuição dos esforços internos para cada um dos carregamentos considerados e compara-se os esforços internos obtidos nos segundo, terceiro e quarto carregamento com os do primeiro.