Métodos Baseados na Equação da Onda. Introdução. Migração de Tiro comum comparada à migração de continuação com a equação DSR.

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1 Métodos de Migração Baseados na Equação da Onda uma Comparação: Migração de Tiro Comum Versus Migração de Ondas Planas Reynam da Cruz Pestana*, CPGG/UFBa Summary We examine the differences and similarities between three common categories wave-equation migration methods: sinking migration (referred as double square root migration or DSR), shot profile migration (SPM) and plane wave migration (PWM) this also called shot delay migration. We do this by looking at their mathematical formulation and also examining their imaging results. Numerical results for the Marmousi model with MPI parallel program in PCcluster are given. Considerations of image accuracy and ability to generate prestack gathers for marine data led us to indicate that the DSR migration method, which is commonly applied in the midpoint-offset and the PWM method are faster in runtime than SPM. However, when we compared the SPM with PWM the question of whether PWM is faster then SPM depends on how many planes waves are used on plane wave migration. Introdução O desafio em realizar exploração geofísica em áreas com alta complexidade geológica tem aumentado o interesse da indústria pelos métodos de migração em profundidade baseados na solução da equação da onda. As migrações a partir da solução da equação da onda disponíveis na indústria são soluções baseadas na equação DSR, migração de tiro comum (SPM) e mais recentemente a migração de ondas planas (PWD). A equivalência matemática das migrações DSR E SPM foram apresentadas por Wapenaar and Berkhout (1987) e, posteriormente, por Biondi (2002). Quando esses métodos são implementados corretamente eles devem produzir resultados equivalentes. Também vale ressaltar ainda que uma das grandes vantagens da migração 3-D usando-se a equação de extrapolação DSR é que ela possui um grande potencial para aumentar a velocidade de computação da migração 3-D, especialmente, nos métodos Common Azimulh (Biondi and Palacharla, 1996) e Narrow Azimuth (Biondi 2001), pois eles são muitos mais rápidos, quando comparados com as implementações de migração de tiro comum. Mais recentemente a migração de ondas planas tem tido uma maior atenção (Duquet, et. al, 2001; Liu, et. al, 2002; Zhang, et. al, 2003). Nessa migração as ondas planas são geradas aplicando-se um atraso no tempo nos vários de tiros que compõem a linha sísmica. Quando os tiros estão em linha reta a aplicação desses atrasos simula uma fonte de onda plana em uma dimensão ou uma onda circular no caso 2-D. Ou seja, este processo de superposição linear de todos os tiros da linha sísmica consegue sintetizar uma onda plana que cobre toda a área a ser imageada. E migração de uma única onda plana pode apenas imagear a estrutura iluminada pelo caminho do raio, associado com a onda plana. Assim, a migração de várias ondas planas se faz necessário para produzir uma imagem comparável àquela fornecida pela migração de tiro comum. E normalmente é usado um número de migrações de ondas planas, muitas vezes, bem menor do que o número de migrações de tiro com o objetivo de produzir resultados de qualidade comparável ao da migração de tiro comum. Neste caso, surgem as seguintes questões: quantos valores de p devemos migrar? e além disso, será que a migração de ondas planas é inerentemente mais rápida que a migração de tiro comum? Então, com este trabalho tentaremos responder a essas e outras questões comparando essas duas técnicas de migração e seus resultados produzidos. Além do que, os métodos aqui discutidos foram implementados em paralelo com MPI para um cluster de micro-computadores, visando obter uma melhorar desempenho computacional desses métodos. Métodos Baseados na Equação da Onda O ressurgimento dos métodos de migração com a equação da onda, principalmente dos métodos 3-D, se deve a dois fatores: (1) algoritmos mais inteligentes; (2) computadores rápidos e mais baratos cluster de PC s. Esses métodos podem ser agrupados pela classificação dos seus domínios de implementação (tiro comum, tiro-receptor, DSR e ondas planas) e também pelo método usado para realizar a extrapolação do campo de ondas (diferenças-finitas, domínio da freqüência, Fourier e diferenças-finitas, etc). Além disso, os métodos de migração com a equação da onda podem ser soluções da equação completa da onda (migração reversa no tempo) ou soluções da equação unidirecional da onda. Os métodos com a equação completa da onda são computacionalmente mais caros, mas com grande potencial para possibilitar o imageamentos de overturned rays. Os métodos de migração, baseados na solução da equação unidirecional, em termos de extrapolador, dever ser um extrapolador de alta ordem e com eficiência tal que seja capaz de manipular fortes contrastes lateral de velocidade e mergulhos íngremes. Migração de Tiro comum comparada à migração de continuação com a equação DSR. Atualmente na indústria em termos de domínio de computação tem-se uma divisão dos métodos de migração com a equação da onda entre a migração de tiro comum (SPM) e a migração de tiro-receptor. A migração de tiroreceptor é também chamada migração da equação de raiz quadrada dupla (DSR), e apesar do nome, é aplicada no domínio ponto médio e afastamento (Claerbout, 1985, Popovic, 1996). A migração de tiro comum é usualmente implementada aplicando-se a extrapolação recursiva dos campos de ondas da fonte e do receptor individualmente, seguido pela

2 condição de imagem que é a cross-correlação dos dois campos de ondas avaliada no t=0. A imagem final é, então, construída após a soma da imagem de cada tiro migrado separadamente. Já a migração de tiro-receptor é realizada através da aplicação da equação DSR a cada passo em profundidade, e ela realiza simultaneamente a continuação do campo de onda dos receptores e do campo de onda de todos os tiros. E em seguida, a cada passo de profundidade a condição de imagem é aplicada, extraindo-se o campo de ondas no tempo t=0 e afastamento h=0. Migração de Ondas Planas: Muitos trabalhos têm investigado o potencial da migração de ondas planas para aumentar a eficiência da migração a partir da equação da onda. Como dissemos, inicialmente os dados são decompostos em ondas planas e isso envolve aplicar um atraso linear a cada tiro. Especificamente, cada seção de receptor comum é transformada em ondas planas como: i px s R ( x, z 0; ) r ( x, z 0; ) e dx s E a correspondente fonte de onda plana é: S ( x, z 0; ) i e px Desde que a equação da onda é linear, a condição de imagem de tiro comum é estendida para a migração de ondas planas. Assim, podemos escrever: I( x, z) p S * ( x, z, ) R( x, z, onde I ( x, z) é a imagem da migração de ondas planas, R ( x, z 0; ) e S ( x, z 0; ) ) representam, respectivamente, os campos de ondas planas do receptor e da fonte, de parâmetro de raio p. Análise do Número de Parâmetros de Raio Para determinar o número de p (parâmetros de raio) ou ângulos, usaremos a teoria da amostragem. No caso do conjunto de dados do modelo marmousi, considera-se a abertura máxima da migração igual a 4950 m e a velocidade de superfície igual a 1500 m/s. Além disso, se desejarmos que o imageamento considere mergulhos até 85 0 em profundidade, na qual a velocidade de propagação de 3500 m/s. Assim, de acordo com a Lei de Snell e na presença de um gradiente vertical de velocidade, a faixa de p na superfície terá a mesma faixa do nosso alvo em (1) (2) (3) profundidade. Então, para esses parâmetros considerados 0 4 acima, a faixa de p é sin ( 85 ) / ,8 e, o que corresponde a um ângulo de incidência na superfície de 4 0 aquisição de arcsin ( 2,8e *1500 ) 25. Indicando que para imagear mergulhos de o 85 em profundidade não precisamos usar a mesma faixa de ângulos especificados na superfície de aquisição. Para relacionar a amostragem espacial no domínio de Fourier com a amostragem no domínio do parâmetro do raio, usamos a relação p / e então podemos usar k x essa relação para converte a amostragem no espaço de Fourier com a amostragem no espaço do parâmetro de raio. A transformada de Fourier converte a variável espacial x do campo de onda para número de onda kx. No caso do modelo marmousi tem-se que Xmax=9900 m, amostragem horizontal de dx=25 m e o número de pontos ao longo do eixo x é nx=396. Temos assim que Kmax=0,5/dx=0,02 e dkx=0,5/(nx*dx)=5,0e -5. Se a freqüência temporal dominante for igual a 30 Hz e com pmax=2,8e -4, então nossa faixa de ângulos de interesse corresponde a Kmax=2,8e -4 *30=0,0084, que é muito menor do que o Kmax dado pela transformada de Fourier do campo de onda. Logo, podemos dizer que nossos dados estão subamostrados na direção horizontal para o ângulo máximo de mergulho de interesse. E assim, este Kmax=0,0084 corresponde a uma amostragem de dx=60,0 m, que é o limite de aliasing espacial para uma onda de 30 Hz, propagando-se em um meio de velocidade igual a 1500 m/s e incidindo com ângulo de 25 0 ( 60=1500/sin(25 0 )/30/2 ). A amostragem do número de onda (dkx=5,0e -5 ) corresponde a uma amostragem em p de dp=dkx/w=0,167e - 5. Portanto, para a freqüência de 30 Hz, uma abertura de 4950 m e um máximo mergulho de 85 0, em um meio com velocidade igual a 3500 m/s, precisamos Np parâmetros de raios, ou seja: Np=pmax/dp=2,8e -4 /0,167e -5 =167. Em termos dos parâmetros, esta equação é dada por: Np= pmax/dp=2*xmax*w*sin(max ang)/vel Onde Xmax é nx*dx que é igual a 2*abertura, ou seja, a região que desejamos imagear os dados. Custo da Migração de Ondas Planas versus Migração de tiro comum (SPM). Iremos agora estimar o custo da migração de uma linha de comprimento L, com n tiros (nshot), com espaçamento entre tiros de dxs=l/nshot e A sendo a abertura desejada para a migração dos dados.

3 Para a migração de ondas planas, cada onda plana é migrada por todo o comprimento da linha. Então, o custo da migração de ondas planas é dado por: PW custo= L*np = L*2*A*2*w*sin(max ang)/vel Para a migração de tiro comum, consideramos que cada tiro é migrado tomando-se duas vezes a abertura de migração e, então, o custo dessa migração é dado por: Shot custo =2.0*A*nshot Se o espaçamento entre tiros é dado pelo limite do aliasing espacial, ou seja, dxs= 0,5*vel/(sin(max ang)*w) e como nshot=l/dxs, temos que : Shot custo= L*2*A*2*w*sin(max ang)/vel E, portanto, o custo da migração de tiro comum é idêntico ao custo da migração de ondas planas. O que não é uma surpresa, pois os dois métodos utilizam o mesmo procedimento, porém em diferentes domínios. Resultados Numéricos: Modelo Marmousi O modelo marmousi é um modelo de referência para testar as habilidades de imageamento dos métodos de migração. Este conjunto de dados tem 240 tiros com 96 canais. O espaçamento entre tiros é de 25 m e entre receptores também de 25 m. Os traços têm 4 s de registro, amostrados a cada 4 ms. Na Figura 1 mostra-se o campo de velocidades do modelo marmousi usado nas migrações. Como podemos verificar esse modelo simula fortes mergulhos e fortes contrastes de velocidade. Na Figura 2 temos o resultado da migração dos 240 tiros do modelo marmousi,, usando-se o método Fourier Split-step (Stoffa et al.,1990) e na Figura 3 a seção migrada usando-se como extrapolador uma combinação dos métodos Phase-Shift Plus Interpolation (PSPI) e Split-step (SS) (Aldunate e Pestana, 2003 ). Também mostramos o resultado obtido com o método de migração tiro-recpetor (DSR) (Figura 4), que foi obtido através do método Split-step que é usado para realizar a correção lateral de velocidade. Infelizmente, não obtivemos os resultados esperados com essa nossa implementação. As diferenças entre os resultados devem-se a habilidade de cada técnica em acomodar as variações de velocidade e os mergulhos. Nota-se que o resultado apresentado pelo método PSPI-SS foi de melhor qualidade do que o apresentado pelo método SS, pois ele conseguiu definir mais nitidamente as falhas (F1, F2 e F4) e também mostrar a estrutura anticlinal (domo) bem melhor imageada. Já o resultado do método de migração DSR mais correção splitstep (Figura 4) não apresentou o resultado esperado. Entretanto, esperamos que uma nova implementação usando um operador extrapolação do tipo PSPI-SS possa melhorar mais o imageamento das falhas e do domo de sal. Para comparar os resultados das migrações de ondas planas e de tiro comum utilizamos os mesmos operadores de extrapolação. Aqui optamos pelos métodos de migração Split-Step e PSPI-SS. Na Figura 5 mostramos o resultado da migração de ondas planas obtido com apenas 31 ondas planas. Na Figura 6 o resultado usando 64 ondas planas e com o método SS. O resultado mostrado na Figura 7 também foi obtido com 64 parâmetros de raios, mas com o extrapolador PSPI-SS. E for fim, as Figuras 8 e 9, onde temos os resultados para 167 parâmetros de raios, com os operadores SS e PSPI-SS, respectivamente. Dos resultados conseguidos com a migração de ondas, nota-se que o método que usa o operador de extrapolação PSPI-SS apresentou os melhores resultados. Podemos ainda verificar que o aumento do número de seções de ondas planas migradas leva a uma melhor imagem de superfície do modelo marmousi, como esperado. O resultado obtido com 167 seções (Figura 9) é muito parecido com o resultado apresentado pelo método de migração de tiro comum (Figura 3). Porém, as pequenas diferenças apresentadas nas seções migradas por essas duas técnicas, apesar de serem implementadas no mesmo domínio, podem ser creditada à forma como cada uma delas realiza a correção de variação lateral de velocidade. Quanto à questão formulada inicialmente, se a migração de ondas planas é mais rápida do que a migração SPM, buscamos responder a essa questão através dos resultados das migrações para diferentes números de parâmetros de raio. E como mostramos acima, o custo da migração de ondas planas depende diretamente do número de seções de p constantes usadas. Entretanto, quando se usa um número menor de ou seja, menor do que Np como estimado pela teoria da amostragem, o resultado da migração, no caso dos dados marmousi, foi razoável, porém não tão bom quanto àquele fornecido com todos os Np (167 p s) Figura 9. Portanto, com base nos resultado obtidos, podemos afirmar que a migração de ondas planas tem um custo computacional equivalente à migração de tiro comum. Ou seja, o método de migração de ondas planas não é inerentemente mais rápido do que a migração de tiro comum. Podemos ainda afirmar, que o uso de um número de p s menor do que Np equivale a migrar os dados com o método SPM usando apenas alguns tiros.

4 Figure 1: Campo de velocidade do modelo marmousi. F1,F2 e F3 são falhas e A um resevatório. Figure 4: Resultado da migração de tiro-recptor (equação DSR), implementada em ponto-médio e afastamano usando-se o método Fourier Split-step. Figure 2: Resultado da migração de tiro comum do dado marmousi, usando-se o método Foruier Split-step. Figure 5: Resultado da migração de 31 ondas planas usando-se o operador PSPI-SS para a extrapolação dos campos de ondas. Figure 3: Resultado da migração de tiro comum do dado marmousi, usando-se o método PSPI-SS. Figure 6: Resultado da migração de 61 onplas planas com o método Split-step.

5 Conclusões: Neste trabalho procuramos comparar os principais métodos de migração baseados na equação da onda. Como não obtivemos sucesso com nossa implementação do método de tiro-receptor (DSR), que é um método consagrado e com bons resultados, acreditamos que uma melhor implementação deste método levará a resultados equivalentes aos obtidos, tanto pela migração de tiro comum (SPM) e de ondas planas. Figure 7: Resultado da migração de 61 onplas planas com o método PSPI-Split-step. Os resultados obtidos com as migrações de tiro comum e também com ondas planas, usando o extrapolador PSPI-SS, foram excelentes. Esse método conseguiu imagear nitidamente as falhas e apresenta com uma boa resolução o reservatório, na forma de lente, abaixo da estrutura anticlinal (domo). Quando às migrações de ondas planas, vimos que a migração dos dados transformados para o domínio das ondas planas (parâmetro de raio) necessariamente não diminui o custo da migração dos dados. Também constatamos que para se obter os resultados equivalentes aos fornecidos pela migração de tiro-comum, precisamos migrar todas as Np seções de parâmetro constante. Número esse fornecido pela relação entre as amostragens dos dados nos dois domínios. Por ffim, podemos concluir que a migração de ondas planas não é um método inerentemente rápido. Agradecimentos: Figure 8: Resultado da migração de 167 onplas planas aplicando-se o método Split-step. Agradeço ao CTPETRO/CNPq-FINEP pelo apoio à rede Cooperativa de Pesquisa em Risco Exploratório, a ANP (Agencia Nacional de Petróleo) e ao CPGG/UFBA pelo apoio para o desenvolvimento deste trabalho. Também agradeço ao CNPq pelo suporte, através da bolsa de pesquisa, processo /88-1 (RM) Referências: Aldunate, C. Gary e Pestana, R. C., 2004, Métodos de migração pré-empilhamento em profundidade baseados na equação da onda, I Workshop da Rede Cooperativa de Pesquisa em Risco Exploratório Natal RN. Biondi, B., 2002, Equivalence of source-receiver migration and shot-profile migration, Stanford Exploration Project Report 112, Figure 9: Resultado da migração de 167 onplas planas com o método PSPI-Split-step. Biondi, B., 2001, Narrow-azimulth migration: Analysis and test in vertically layered media, Stanford Exploration Project Report 108

6 Biondi, B. and Palacharla, G., 1996, 3-D prestack migration of common-azimulth data: Geophysics, 61, Claerbout, J. F., 1985, Imaging the Earth s Interior, Blackwell Scientific Publications. Palo Alto. Duquet B., Lailly, P., and Ehinger, A., 2001, 3-D Plane wave migration of streamer data, 71st Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, Liu, F., Stolt, R., Hanson, D. And Day, R., 2002, Plane wave source composition: An accurate phase encoding scheme for prestack migration, 72nd Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, Popovic, A. M., 1996, Prestack migration by split-step DSR, Geophysics, 61, Stoffa, P. L., Fokkema, J. T., Freire, R. M. L. and Kessinger, W. P., 1990, Split-step migration, Geophysics, 55, Zhang, Y., Sun, J. Notfors, C., Gray, S., Chernis, L. And Young, J., 2003, Delayed shot 3D Prestack depth migration, 65 th EAEG Conference & Exhibition, Extended Abstracts. Wappenar, C. P. A. and Berkout, A. J., 1987, Full prestack shot record migation, 57th Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts, sesstion S15.7

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