Formação e Propagação de sólitons ópticos em meios homogêneos e periódicos usando a equação não linear de Schrodinger.

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1 Área: CV ( ) CHSA ( ) ECET ( ) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UFPI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA Coordenadoria de Pesquisa CPES Campus Universitário Ministro Petrônio Portela, Bloco 06 Bairro Ininga Cep: Teresina-PI Brasil Fone (86) pesquisa@ufpi.edu.br Formação e Propagação de sólitons ópticos em meios homogêneos e periódicos usando a equação não linear de Schrodinger. José Augusto da Silva Júnior (bolsista do PIBIC/CNPq), Hans Andersor Garcá Mejía (Orientador, Departamento da Física UFPI) INTRODUÇÃO Em 1834 começa o estudo sobre sólitons devido às observações de Jomes Scott Russell. Os sólitons têm sido objeto de estudos teóricos e experimentais de varias áreas, nos estudos sobre eles foram introduzidos modelos matemáticos com a finalidade de melhorar a compreensão sobre o assunto. O termo Sóliton é usado com a finalidade de se referir a partículas semelhantes a ondas solitárias que permanecem intactas após diversas perturbações. A classificação dos sólitons depe se o confinamento da onda ocorre no tempo ou no espaço durante sua propagação. Por exemplo, os temporais são pulsos que mantêm a sua forma com o passar do tempo e os espaciais são auto guiadas que permanecem confinadas. O sóliton espacial é formado quando a auto focagem de um feixe óptico compete como sua dispersa natural, isso contraria a modulação de auto fase (SPM). Nossos estudos são limitados ao estudo da formação e propagação de sólitons espaciais através de um meio não linear tipo Kerr. Este estudo será feito usando as técnicas de split step de Fourier e método de diferenças finitas. METODOLOGIA De início estudamos as equações de Maxwell, a transformada de Fourier, os sólitons espaciais, a propagação do feixe gaussiano. Com o intuito de construir ferramentas computacionais que permitam resolver o problema do valor inicial, bem como o caso estacionário em modelos não lineares que descrevem a propagação da luz em meios periódicos e homogêneos. Nosso estudo foi baseado na literatura contida nas referências. Após esse estudo da literatura partimos posteriormente para resolver a propagação de um

2 feixe em meios homogêneos e periódicos implementação do Split Step Fourier Method (SSFM) e soluções estacionarias: método do gradiente conjugado. 1. Método de diferença finita compacta para resolver a equação não linear de Schrödinger Esse método melhora a precisão da diferença finita sem que aja um aumento no custo computacional, assim tornando bastante viável sua aplicação. A maioria das equações físicas não linear reais possuem coeficientes variáveis. A propagação da óptica soliton rege-se geralmente pela equação não linear de Schrödinger [7]. Que é dada por (1) com a condição inicial (2) onde temos,, e são delimitada funções reais e também é uma função de onda e é relacionado com a segunda ordem de coeficiente de dispersão. A equação (1) é uma forma geral da equação cubica não linear de Schrödinger, que é representa dada por (3) e da equação Gross-Pitaevskii (4) A equação (1) do ser dividida em equação linear e não linear, a equação linear é dada por (5) e a equação não linear e dada por (6) de acordo como a referência [7]. 1.1 Compacta diferença finita de Scheme Aproximando a dispersão da equação linear como visto anteriormente é to como condição inicial e como condição de contorno (7)

3 A região da malha que iremos trabalhar é dado por R={(x, t)/(x, t) [a,b] X [0,T]} onde ([a, b] X [0,T], significa que toda a malha é formada por um domínio formado pelo intervalo [a, b] e contradomínio e formado pelo intervalo [0,T]), so que os pontos das coordenadas é dado por, (8) onde e, são respectivamente espaço e grado do passo do tempo. To como a aproximação de o termo, e é a aproximação de. O erro é dado pela diferença entre da função de onda aproximada com a função de onda exata Aproximando a derivada espacial da equação (75) usando a quarta ordem da diferença finita compacta, obtemos (9) (10) aplicando a equação anterior o método de Crank-Nicolson, chegamos a onde. (11) RESUTADOS Para sintetizar a teoria pegaremos como exemplo uma função de onda, demostrando em forma gráfico a comparação entre os resultados obtidos entre o valor real e o aproximado. A seguir temor o programa feito com base na teoria, discutido anteriormente Método de diferença finita compacta para resolver a equação não linear de Schrödinger : clear all; clc; a=-20; b=20; m=400; h=(b-a)/m k=0.01 %K=T/N t=1 xj = linspace(a,b,m)'; %L(xj,tn)=sech(xj).*exp^(2*xj*i) for n=0:1:100

4 tn = linspace(0,t,n); for j=0:1:m L=sech(xj).*exp^(2.*xj*(-1)^(1/2)); % função de onda Uj=exp*((-1)^(1/2)/2*(abs(L)^2)).*L; for j=1:1:m-1 U4=(1+3*s*2*i).*(Uj)+2*(5-3*s*2*i).*(Uj)+(1+3*s*2*i).*(Uj); for j=0:1:m U5= exp(i/2*abs(u4)).*u4 ; ue = sech(x-4*t)*exp(i*(2*x-3*t)); err = U5-ue; figure (1) plot (U5,'b',ue,'r') o gráfico a seguir mostra a margem de erro entre os valores aproximados e os valores reais Fig 1 : margem de erro entre entre a aproximação e o valor real [7] CONCLUSÃO Até agora trabalhamos com o feixe gaussiano propaga-se em um meio não homogêneo, e podemos constatar que ao se propagar nesse meio se comporta como um sóliton espacial, que é nosso objeto de estudo, e como tal sofre a competição entre os processos de auto focalização e difração através do meio no qual se propaga. Vimos tanto por meio de simulações como na teoria que ao se propagar o feixe gaussiano ao longo de um eixo como referencia, no caso o eixo z sofre mudanças no perfil espacial, contudo essas alterações te a se equilibrar devido à competição entre difração e auto focalização. BIBLIOGRAFIA

5 [1].Poon,Ting-Cung ; Kim, Taegeun. ENGIEERRING OPTICS WITH MATLAB. Ed: World Scientific; [2]. Georger B. ARFKEN; Hans J. WEBER. Física Matemática, Métodos Matemático Para Engenharia e física. Ed. CAMPUS; [3]. H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, Vol. 3, Editora Blucher, (2010). [4]. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 25, no. 3, Setembro, [5]. Lyra, Jorge L. de: Transformada de Fourier, vol 2. Ed: Editora Livraria da Física, [6]. Estrela, Duarte Manuel Esteves. Progagação de Feixes Ópticos em Meios Não- Lineas. INSTITUDO SPERIOR TÉCNICO ( Universidade Técnica de Lisboa) [7]. Mehdi Dehghan, Ameneh Taleei, A compact split-step finite difference method for solving the nonlinear