GT 3 Educação e Ciências Matemáticas, Naturais e Biológicas. Palavras-chaves: PIBID. Atividades matemáticas. Níveis de van Hiele.

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1 ATIVIDADES MATEMÁTICAS DO PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA À DOCÊNCIA: UM RELATO SOBRE O PENSAMENTO GEOMÉTRICO SEGUNDO A TEORIA DE VAN HIELE GT 3 Educação e Ciências Matemáticas, Naturais e Biológicas. Nailys Melo Sena Santos 1 Renata Sá de Jesus Barbosa 2 RESUMO O presente trabalho relata a aplicação de uma atividade criada e desenvolvida por bolsistas do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID)-Matemática/DMA/UFS, em duas turmas do 7º ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública, no município Barra dos Coqueiros-SE. Essa atividade nos permitiu refletir sobre o nível de conhecimento geométrico desses alunos na proposta de van Hiele, que sugere uma sequência de cinco níveis de compreensão dos conceitos geométricos. Para fundamentação, nos pautamos em van de Walle (2009), nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1998), Andrade e Nacarato (2004) e Nasser e Sant Anna (2010). Dessa experiência, percebemos que os alunos apreciam o uso das atividades, embora com dificuldades ao resolverem, visto que os níveis de conhecimento geométrico apresentamse em defasagem ao ano em que estudam. Palavras-chaves: PIBID. Atividades matemáticas. Níveis de van Hiele. ABSTRACT The present study reports the application of an activity created and developed by scholars of the Institutional Program of Initiatives for Teaching (PIBID) - Mathematics/ DMA/UFS, in two classes of the 7th grade of a public school in the Barra dos Coqueiros-SE municipality. This activity allowed us to reflect on the level of geometric knowledge of these students in van Hiele's proposal, which suggests a sequence of five levels of understanding of geometric concepts. For reasons, we are in van de Walle (2009), in the National Curricular Parameters of Mathematics (BRASIL, 1998), Andrade and Nacarato (2004) and Nasser and Sant Anna (2010). From this experience, we perceive that students appreciate the use of the activities, although with difficulties in solving them, since the levels of geometric knowledge are in phase of the year in which they study. Keywords: PIBID. Mathematical Activities. van Hiele Levels 1 Graduanda em Licenciatura em Matemática, pela Universidade Federal de Sergipe, bolsista do Pibid.. nailys_sena@hotmail.com 2 Graduanda em Licenciatura em Matemática, pela Universidade Federal de Sergipe, bolsista do Pibid. Membro do Grupo de Estudos e Pesquisa CNPq EDUCON/UFS. rssajesus@hotmail.com 1

2 INTRODUÇÃO Somos alunos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Sergipe (UFS) e bolsistas do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) do campus São Cristóvão/SE, com o objetivo de, neste texto, refletirmos sobre o nível de conhecimento geométrico dos alunos na proposta de van Hiele, por meio de uma atividade com o Tangram e de um questionário que foi aplicado aos alunos de duas turmas do 7º ano do Ensino Fundamental (chamaremos de turma 01 e turma 02), de um mesmo professor/supervisor (como é considerado no PIBID), em uma escola da rede pública da Barra dos Coqueiros-SE, parceira neste Programa. O PIBID tem uma significativa contribuição na formação dos futuros professores, possibilitando ao bolsista a oportunidade de conhecer e conviver com a realidade de uma sala de aula das escolas públicas, no decorrer da graduação, antes mesmo dos estágios obrigatórios. Os projetos devem promover a inserção dos estudantes no contexto das escolas públicas desde o início da sua formação acadêmica para que desenvolvam atividades didático-pedagógicas sob orientação de um docente da licenciatura e de um professor da escola. (BRASIL, 2008, p. 1). Com isso, nós bolsistas do PIBID-Matemática/UFS, trabalhamos com o uso dos jogos matemáticos e recursos manipuláveis nas escolas estaduais para mostrarmos que o ensino de matemática pode favorecer uma aprendizagem mais dinâmica e divertida. A proposta do nosso grupo para o trabalho em 2017 refere-se aos conteúdos geométricos da educação básica, não perdendo de vista outros conteúdos que os professores supervisores que estão trabalhando. Segundo John A. Van de Walle (2009), uma rica compreensão da geometria tem implicações claras e importantes para outros campos da matemática, como: medidas, raciocínio proporcional, álgebra e números inteiros. No Brasil, durante séculos o ensino de geometria se manteve estático por influência da obra de Euclides; nos anos de 1960, todavia, começou a sofrer mudanças significativas a partir do Movimento da Matemática Moderna. Esse movimento impôs à matemática um caráter estruturalista. Nesse contexto, houve um abandono do ensino de geometria ou uma tentativa de retorno às suas bases tradicionais. Segundo Andrade e Nacarato (2004), quando aconteceram os movimentos de questionamento da Matemática Moderna e com as tentativas de regresso do ensino da geometria, os aspectos empíricos da geometria foi realçado. Nesse movimento marcado pela busca de motivações para esse 2

3 ensino, pode-se propor uma possível explicação para o abandono do raciocínio dedutivo. No entanto, segundo Nasser e Tinoco (2001), especialmente a partir dos anos 2000, esse quadro passou a modificar por meio da avaliação nacional do livro didático na qual, vêm sendo valorizadas atividades envolvendo processos de inferência, análise, argumentação, tomada de decisões, críticas e validação de resultados assim como, por meio das produções da comunidade nacional de educadores matemáticos. O modelo de van Hiele para o desenvolvimento do raciocínio em geometria foi criado por dois educadores holandeses, Pierre van Hiele e sua esposa Dina van Hiele-Geoldof. O modelo sugere que os alunos progridam conforme uma sequência de níveis de compreensão de conceitos, enquanto eles aprendem geometria. A evolução desses níveis depende mais da aprendizagem adequada do que a idade ou maturação em que o aluno se encontra. Nesse sentido, o aluno só atinge determinado nível de raciocínio após dominar os níveis anteriores. Portanto, para que haja a compreensão, por parte dos alunos, é necessário que o professor adote o nível de raciocínio dominado por sua turma. A teoria de van Hiele estabelece uma hierarquia de cinco níveis, cada um descreve os processos de pensamento usados em contextos geométricos, os quais podem ser descritos, segundo van de Walle (2009). NÍVEL DE VAN HIELE Nível 0 Visualização Nível 1 Análise Nível 2 Dedução informal Nível 3 Dedução Quadro 1 - Caracterização dos níveis de van Hiele OBJETOS DE PENSAMENTO São as formas e "o que elas parecem". Os alunos nesse primeiro nível reconhecem e nomeiam as figuras, baseado em suas características globais e visuais. São as classes de formas, mais do que as formas individuais. Os alunos no nível de análise são capazes de considerar todas as formas dentro de uma classe, bem mais do que analisar apenas uma forma única. São as propriedades das formas. Os alunos são capazes de desenvolver relações entre essas propriedades. São relações entre as propriedades dos objetos geométricos. Os alunos são capazes de examinar PRODUTOS DE PENSAMENTOS São as classes ou agrupamentos das formas que são parecidas. Os alunos nesse nível podem criar e começar a compreender as classificações de formas, como retângulos, triângulos e assim por diante. São as propriedades das formas. Os alunos operando no nível 1 podem ser capazes de listar todas as propriedades de quadrados, retângulos e paralelogramos, mas não percebem que esses são subclasses de outra classe. São as relações entre as propriedades de objetos geométricos. Os alunos serão capazes de acompanhar e apreciar um argumento dedutivo informal sobre as formas e propriedades. São os sistemas axiomáticos dedutivos para a geometria. Os alunos constroem listas de axiomas e definições para criar teoremas. 3

4 mais do que apenas as propriedades das formas. Estabelecem relações entre as propriedades. Fonte: van de Walle (2009, p ) Eles também provam teoremas usando raciocínio lógico claramente articulado. Caracterização dos níveis de van Hiele (continuação) NÍVEL DE VAN HIELE OBJETOS DE PENSAMENTO PRODUTOS DE PENSAMENTOS Nível 4 Rigor São sistemas dedutivos axiomáticos para geometria. Esse é o nível mais elevado da hierarquia da Teoria dos van Hiele. Os objetos de atenção são os próprios sistemas axiomáticos, não apenas as deduções dentro de um sistema. Fonte: van de Walle (2009, p ) São comparações e confrontos entre os diferentes sistemas axiomáticos da geometria. Este é geralmente o nível de um especialista em matemática no ensino superior que esteja estudando geometria como um ramo da ciência matemática. Como podemos observar na tabela acima, os produtos de pensamentos em cada nível são os objetos de pensamento do nível seguinte. De acordo com van de Walle (2009), os objetos (ideias) devem ser criados em um nível de modo que as relações entre esses objetos possam se tornar o foco do nível seguinte. APLICAÇÃO DA ATIVIDADE A atividade Propriedades das peças do tangram tem nível de abrangência a partir do 6º ano do ensino fundamental, tempo previsto de 1 hora/aula, cujo material necessário para sua aplicação é um tangram, folha com contorno de figuras como uma casa (figura 1), um barco, um gato e ficha de questões. O tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa que se constitui em um quadrado formado por sete peças, sendo dois triângulos pequenos, um triângulo médio, dois triângulos grandes, um quadrado e um paralelogramo, relacionadas entre si. 4

5 Figura 1- Modelo do contorno de uma casa Fonte: Esta atividade é um quebra-cabeça desconcertante, visto o desafio que os alunos enfrentam para identificar quais peças do tangram formam cada uma das figuras apresentadas pelo quebra-cabeça, sendo dado para os alunos apenas o contorno e peças do tangram. Em relação aos Níveis de van Hiele, a atividade foi planejada nos dois primeiros níveis (0 e 1), considerando que os alunos pudessem nomear as figuras geométricas que formam o tangram (nível 0) e soubessem identificar quais as propriedades dessas figuras, para que recebam tal nomeação (triângulos, quadrado, paralelogramo). Para tanto, no plano da atividade, existem questões norteadoras que durante ou após a sua aplicação, os alunos são questionados. O objetivo é de acompanhar o raciocínio deles, observando as estratégias de solução ou necessidade de intervenção, quando demonstram dificuldades em respondê-las. A partir das respostas dos alunos, poderemos identificar o nível de pensamento geométrico de cada turma, em que a atividade estiver sendo aplicada. A melhor maneira de reconhecer em que nível um determinado aluno está raciocinando é por meio da observação direta de seu modo de raciocinar, e das estratégias que ele usa para resolver problemas. [...] O que caracteriza o nível da resposta é o modo de pensar do aluno, se ele se fixa só na aparência global (nível de reconhecimento) ou nos elementos da figura (nível de análise), se ele reconhece a inclusão de classes (nível de abstração), se consegue argumentar informal (nível de dedução) ou formalmente (nível rigor), etc. (NASSER; SANT ANNA, 2010, p. 8). Inicialmente, mostramos o tangram (figura 2) para os 17 alunos do 7º ano da turma 1 e 33 alunos do 7º ano da turma 2. Ao questionarmos se eles conheciam o material e obtivemos reposta negativa, explicamos o que significa e como é formado. Em seguida, a turma 1 foi dividida em 8 grupos, sendo 7 duplas e 1 trio. A turma 2 foi dividida em 13 grupos, sendo 6 duplas e 7 trios e entregamos os materiais. 5

6 Figura 2- Tangram Fonte: Solicitamos que os alunos montassem o quebra-cabeça respectivo a cada figura entregue aos grupos, utilizando as peças do tangram. Todos os alunos tanto do 7º ano de ambas as turmas conseguiram montar o primeiro quebra-cabeça entregue, sendo que não foi entregue a mesma figura para os grupos, ou seja, alguns grupos receberam a figura da casa, outros do barco e outros do gato. Após completa-lo (figura 3), cada dupla foi convidada a preencher a ficha de questões referente à figura que recebeu. Nesse momento, observamos que alguns grupos não conseguiam responder, necessitando de nossa para interpretar as questões e assim poder respondê-las. Figura 3- Aplicação da atividade Fonte: Acervo dos bolsistas (2017) Nessa atividade, a proposta foi dos alunos montarem três quebra-cabeças, usando as peças do tangram. Isso com o objetivo de identificarmos, nos alunos de cada turma, quais os níveis propostos pela hierarquia de van Hiele. Ao repetirmos o mesmo procedimento até todos montarem os três quebra-cabeças, constatamos que nem todos os grupos conseguiram realizar tal atividade com êxito. A tabela a seguir ilustra a situação nas duas turmas. 6

7 Quadro 2 - Situação sobre a aplicação da atividade propriedades das peças do tangram TURMAS QUANTIDADE DE QUEBRA-CABEÇAS MONTADOS Nenhum Um Dois Três Turma Turma Total de grupos Fonte: dados da aplicação da atividade Essa tabela nos fez inferir sobre a importância em aplicar uma atividade em que os alunos fazem o registro e podemos ver com mais clareza o grau de dificuldade que enfrentam durante a realização. Considerando que cada quebra-cabeça montado e cada respectiva lista de questões respondida tem como objetivo mostrar a habilidade no uso das peças do tangram e o raciocínio dos alunos. Por essa tabela, verificamos como os alunos se encontram, sob diferentes aspectos: conhecimento das formas de figuras planas, a partir das características gerais (figuras de três os triângulos e de quatro lados os quadriláteros); compreensão sobre as classes das formas de uma mesma classe (quadrado e paralelogramo). Em outras palavras, quais níveis do pensamento geométrico eles se encontram, conforme proposta de van Hiele. RESULTADOS E ANÁLISE Os alunos foram bem receptivos e se animaram para montar os quebra-cabeças, porém apresentaram dificuldades para responder a ficha de questões para cada figura. Quanto à primeira questão Quais os nomes das peças do tangram que foram utilizadas?, todos os alunos de ambas as turmas identificaram corretamente triângulo e quadrado, porém nenhum deles conseguiu identificar o paralelogramo. Para isso, fizemos intervenção, explicando e informando-lhes o nome da figura. A partir desse resultado, podemos verificar que os alunos reconhecem e nomeiam algumas figuras, baseado em suas características globais e visuais, porém como eles não foram capazes de nomear o paralelogramo, o que podemos concluir que os alunos não atingiram completamente o nível 0. Quanto à segunda questão Descreva as propriedades das peças que você citou acima?. Nem todos os grupos conseguiram identificar as propriedades das figuras. Da turma 1, quatro grupos identificaram a soma dos ângulos internos das figuras. Três grupos responderam sobre o número de lados das figuras, e quantos desses lados são iguais como, por exemplo, o quadrado que tem quatro lados iguais. E um grupo não soube identificar nenhuma propriedade. 7

8 Da turma 2, um grupo identificou o número de vértices das figuras, seis grupos responderam referente ao número de lados das figuras e quantos dos lados são iguais, e seis grupos não identificaram nenhuma propriedade. Com isso, os alunos, tanto da turma 1 quanto da turma 2, não atingem o nível 1 de van Hiele, pois não conhecem as propriedades do quadrado, triângulo e paralelogramo. De fato, se os alunos não concluíram completamente o nível 0 de van Hiele, eles não serão capazes de pensar no nível 1, pois uma das características dessa proposta é que os níveis são sequenciais, ou seja, para chegar a qualquer nível acima do Nível 0, o aluno deve percorrer todos os níveis anteriores de forma apropriada. Esta pode ser uma explicação para as dificuldades apresentadas pelos alunos nas aulas de geometria, pois se eles são ensinados num nível acima do nível em que se encontram, eles não terão condições de acompanhar as aulas. Neste caso, se os alunos não reconhecem as figuras geométricas, não serão capazes de analisar, reconhecer e fazer uso das suas propriedades para resolver problemas. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir do relato da aplicação da atividade Propriedades das peças do tangram e dos dados obtidos por meio da lista de questões foi possível identificar que os alunos das duas turmas do 7º ano do ensino fundamental dessa escola parceira reconhecem e nomeiam algumas figuras geométricas, porém não conhecem todas elas. Além das figuras que conhecem, eles não foram capazes de identificar suas propriedades. Portanto, concluímos que esses alunos tiveram dificuldades na construção de sua bagagem geométrica e que estão no Nível 0 do pensamento geométrico de van Hiele sem ter atingido completamente esse nível. Por isso, ainda não atingiram o Nível 1, uma vez que os níveis de van Hiele são contínuos. Van de Walle (2009) comenta que quando um aluno alcança um nível do pensamento geométrico é porque experimentou o nível anterior apropriadamente, fazendo uma relação entre os tipos de objetos, mentalmente, ao se deparar com situações do nível seguinte. Para auxiliar os alunos a alcançarem esses dois níveis, sugerimos que o professor desafiem os alunos a testar ideias sobre as formas geométricas para uma variedade de exemplos de uma classe particular, como por exemplo, os quadriláteros. Dessa forma, o papel 8

9 do professor destaca-se nesse modelo dos níveis de van Hiele, ao selecionar atividades que favoreçam o avanço do aluno nesses níveis (NASSER; SAT ANNA, 2010). O modelo de van Hiele nos fornece uma explicação para as dificuldades apresentadas por alunos nas aulas de geometria, visto, eles não terem condições de acompanhar essas aulas, quando são trabalhados níveis mais elevados. Assim, conhecendo o nível em que os alunos estão o professor será capaz de nivelar as turmas e de elaborar as aulas de geometria no nível de conhecimento geométrico dos alunos de forma que eles compreendam o conteúdo. REFERÊNCIAS ANDRADE, José de Araújo; NACARATO, Adair Mendes. Atuais tendências didáticopedagógicas no ensino de geometria: um olhar sobre os anais dos ENEM s. Trabalho apresentado no VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Recife-PE, jul BRASIL. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. Documento orientado do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID). Brasília- DF: MEC/CAPES/PIBID, Disponível em: Acesso em: 18/11/2016. BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais. Matemática. 5ª. a 8ª. séries. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Ensino Fundamental. Brasília-DF: MEC/SEB/SEF LORENZATO, S. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In:. (Org.). Formação de professores: o laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, p NASSER, L.; SANT ANNA, N. F. P. Geometria segundo a teoria de van Hiele. 2.ed. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, NASSER, L.; TINOCO, L. Argumentações e provas no ensino de matemática. Rio de Janeiro: Projeto Fundão, Instituto de Matemática/UFRJ, VAN DE WALLE, J. A. matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Tradução: Paulo Henrique Colonese. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, OUTROS SITES Disponível em: < Acesso em 06 jan Disponível em: < Acesso em 06 jan

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