A partir disso, podemos definir a intensidade da radiação como a derivada de u ν com respeito ao ângulo sólido da densidade de energia multiplicado

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1 Métodos de determinação de distâncias astronômicas Quartuccio, J. T IFGW Instituto de Física Gleb Wataghin Universidade Estadual de Campinas Instituto de Pesquisas Científicas Introdução Quando ensinamos a respeito de cosmologia, lemos um artigo ou livro didático, nos deparamos com as dúvidas a respeito de como são obtidos os valores das distâncias e tamanhos dos objetos. Para corpos celestes relativamente próximos, não é tão difícil de imaginar e explicar como medimos suas distâncias. Em termos astronômicos, objetos do sistema solar estão bem próximos para que suas medidas apresentem alta precisão. Mas com o aumento da distância, os métodos de medida têm de sofrer alterações. Começando com o método simples de medida do fluxo e paralaxe, podemos encontrar distâncias até estrelas próximas. Com a descoberta da relação entre o período e luminosidade das estrelas Cefeídas, descoberto por Henrietta Leavitt, foi possível determinar a distância até galáxias próximas. Essa descoberta permitiu que Hubble derivasse sua importante lei, que auxilia na medida, através de Doppler, de distâncias mais longínquas. 1. Radiação de Corpo Negro Todo corpo que absorve toda a radiação que incide em sua superfície é denominado corpo negro. Quando se aquece um objeto, o mesmo começa a emitir ondas eletromagnéticas em um vasto espectro de frequências. Escrevemos a densidade de energia irradiada por um corpo negro como: u ν = 8πv2 hν c 3 e hν/κt 1 (1.1) A partir disso, podemos definir a intensidade da radiação como a derivada de u ν com respeito ao ângulo sólido da densidade de energia multiplicado por c: I ν = c du ν (1.2) dω Se assumirmos que a energia se propaga em todas as direções, de forma esférica, o ângulo sólido será dado por 4π: du ν dω = u ν 4π (1.3) Com isso, obtemos o resultado: I ν = c 4π u ν = 2hν3 1 c 2 e hν B ν (1.4) κt 1 Representamos B ν como sendo a intensidade da radiação do corpo negro. A figura 1.1 nos mostra que um corpo negro de temperatura T emite um espectro contínuo com certa energia em todos os comprimentos de onda, com um pico máximo λ máx que se torna mais curto a medida que a temperatura aumenta. A relação entre o pico máximo e a temperatura é dada pela lei de Wien: λ máx T =, (1.5) Agora, vamos olhar para o fluxo que emerge do interior de uma esfera. Vamos tomar uma área unitária no centro, de modo que integraremos o termo I ν através do ângulo sólido. Figura 1.2 O ângulo θ é obtido entre a direção da intensidade e a direção perpendicular à área. O fluxo será: π/2 f ν = I ν cosθdω = I ν 2π 1 2 = πi ν (1.6) f ν = c 4 u ν = 2πhν3 1 c 2 e hν/κt 1 (1.7) Definimos como luminosidade, L ν, a potência total irradiada por uma estrela esférica de raio r como: 2 L ν = f ν (r )4πr (1.8) Logo, o fluxo pode ser definido como: f ν = L A (1.9) Se estivermos à uma distância d da estrela, a área considerada deverá ter raio d. Com isso, o fluxo medido será: Figura 1.1 Espectro de corpo negro (Carrol & Ostlie)

2 L ν f ν (d) = 4πd 2 = f ν(r ) r d (1.1) 2 Experimentos realizados por Josef Stefan mostraram que a luminosidade de um corpo negro de área A e temperatura T é dado por: L = AσT 4 (1.11) Mais tarde, Boltzmann demonstrou essa mesma equação usando as leis da termodinâmica e a expressão da pressão de radiação obtida por Maxwell. A equação ficou conhecida como lei de Stefan-Boltzmann e podemos representa-la como: u = at 4 (1.12) Usando o fluxo dado por (1.7): 2 f ν = c 4 at4 (1.13) A constante a é dada por: a = 8π5 κ 4 15c 3 h 3 (1.14) A constante σ de (1.11) é denominada constante de Stefan-Boltzmann: σ = c 4 a = 5, Wm 2 K 4 (1.15) A partir de (1.11) podemos definir o fluxo como: f ν = σt 4 (1.16) Por fim, combinando (1.8) com (1.16), obtemos uma expressão para a luminosidade: L = 4πr 2 σt 4 (1.17) Que é análogo à (1.11). A medida do fluxo de uma estrela é feita experimentalmente, usando uma câmera CCD acoplada ao telescópio. 2. Determinação trigonométrica Um método de determinar a distância até objetos relativamente próximos é usando a triangulação através da paralaxe. A paralaxe pode ser entendida como a mudança aparente da posição de um objeto quando observado de diferentes posições. O exemplo mais básico é quando esticamos o braço com o polegar levantado. Se olharmos para o polegar, fixando um objeto ao fundo, e fecharmos um olho, veremos que o polegar está em determinada posição. Se olharmos com o outro olho, então a posição do polegar irá mudar com respeito ao objeto (Figura 2.1). Através de trigonometria básica, podemos obter o ângulo da paralaxe (que é a medida do deslocamento aparente da estrela). A figura 2.2 nos fornece uma ideia de como determinação o ângulo de paralaxe p. O que queremos fazer é determinar a distância d até O, onde está o objeto. A base do triângulo, D, corresponde à distância entre os dois pontos de observação (no caso da figura 2.1, D seria a distância entre os olhos). Um ponto mede, com respeito à um objeto mais ao fundo de O, um ângulo Â1 e o outro ponto mede um ângulo Â2. Usando a relação de ângulos alternos internos, vemos que: p = Â1 + Â2 (2.1) A tangente do ângulo é dada por: D Â1 + Â2 tan ( ) = 2 2 d = D 2d (2.2) Figura 2.2 Método de triangulação. O que nos fornece: tan(â1 + Â2) = tan p = D d (2.3) O ângulo de paralaxe é tão pequeno que podemos recorrer à aproximação tan p p. Com isso, a equação (2.3) se torna: p = D d (2.4) Como queremos a distância d: d = D p (2.5) Como p possui um valor pequeno, é comum medi-lo em segundos de arco (arcseg). Essa medida equivale a 1/6 de um minuto de arco ou 1/36 de grau (levando em conta que um grau possui 6 minutos e 6 minutos possuem 6 segundos). Portanto, 1 arcseg =,278 graus. A partir da definição de segundo de arco, podemos introduzir o conceito de parsec (pc). O Figura 2.1 Mudança aparente da posição do polegar.

3 parsec é a distância na qual uma unidade astronômica (UA) é vista com um diâmetro de um segundo de arco. A relação com anos-luz é: 1 pc = 3,26 anos luz Quanto maior a distância de uma estrela, menor será seu ângulo de paralaxe. Para medir distâncias até as estrelas mais próximas usamos o fato de que D = 1 UA. Logo, a equação (2.5) pode ser reescrita como: d = 1 p (2.6) Ou seja, para medir a paralaxe de uma estrela devemos esperar com que a Terra dê meia volta em torno do Sol. 3. O movimento próprio e as magnitudes 3.1 O movimento próprio das estrelas As estrelas possuem um movimento próprio independente do movimento do observador (o que não é o caso da paralaxe). Esse movimento altera, com o tempo, a forma aparente das constelações. A mais notável estrela com movimento próprio foi descoberta em 1916 por Edward Emerson Barnard. Essa estrela está a uma distância de 1.8 pc. A mudança de posição dessa estrela é mostrada na imagem a seguir. km/s, é a componente da velocidade v perpendicular à velocidade radial (ou à linha de visada). Essa velocidade é medida através do movimento próprio e da distância da estrela (essa é medida através da paralaxe). O movimento próprio da estrela μ, medido em segundos de arco por ano, é o movimento que a estrela faz no plano da esfera celeste, perpendicular à linha de visada. Supondo que a estrela se desloque por um ângulo Δθ em um intervalo de tempo Δt, o movimento próprio será dado por: μ = Δθ Δt = v t d (3.1.1) A figura a seguir representa um aglomerado estelar que se afasta de nós com velocidade v. Essa velocidade pode ser decomposta em velocidade tangencial e radial. Como em um aglomerado as estrelas estão ligadas gravitacionalmente, todas movem-se juntas pelo espaço. O movimento das estrelas no aglomerado aparenta que todas estão se movendo para um único ponto, chamado de ponto de convergência. Na verdade, esse ponto é apenas uma ilusão, visto que linhas paralelas parecem convergir para o infinito. Figura 3.1 A estrela de Barnard possui o maior movimento próprio conhecido, com 1 segundos de arco por ano. Embora a Terra esteja a uma distância de 15 milhões de quilômetros do Sol, essa distância é pequena se comparada a distâncias às outras estrelas. Por essa razão, quando analisamos o movimento próprio, fazemos isso com respeito ao Sol e não à Terra. As velocidades das estrelas com respeito ao Sol são divididas em duas, sendo elas a velocidade radial e a velocidade tangencial. Velocidade radial v r, medida em km/s, é a velocidade de aproximação ou de afastamento com respeito à linha de visada do observador. Essa velocidade é obtida a partir do efeito Doppler. Já a velocidade tangencial v t, medida também em Figura 3.2 Aglomerado estelar se afastando de nós com velocidade v. A partir da geometria da figura temos: v r = v cos φ v t = v sin φ Fazendo v = v r / cos φ obtemos: v t = v r tan φ (3.1.2) Como μ = v t /d, substituindo em (3.1.2): d = v r tan φ (3.1.3) μ O ângulo φ é pequeno, de modo que podemos usar a aproximação por pequenos ângulos, de modo que sin φ tan φ φ e cos φ 1. Isso nos fornece que v r = v e v t = vφ = v r φ, de modo que: μ = v rφ d Ou então: d = v rφ (3.1.4) μ Representando d, v r e μ em unidades de pc, km/s e arcseg/ano, respectivamente, temos: d(pc) = v r(km/s)φ μ( /ano) = v rφ (3.1.5) 4,74μ O termo 4,74 provém do fato de que 1 pc equivale a UA e que 1 UA/ano é igual a

4 4,74 km/s. Esse resultado nos fornece a distância até o aglomerado estelar. Um importante aglomerado a qual a distância foi determinada é Hyades, na constelação de touro. A partir da distância, foi possível encontrar a magnitude absoluta das estrelas desse aglomerado. Comparando as magnitudes aparentes de outros aglomerados com Hyades, é possível encontrar suas distâncias. Definindo a magnitude absoluta de uma estrela como a magnitude que ela apresenta à uma distância de 1 pc e sendo uma diferença de 5 magnitudes igual a uma diferença de 1 vezes o brilho, temos: F 2 F 1 = 1 (m 1 m 2 )/5 (3.1.6) De modo que F representa o fluxo da estrela. Tomando o logaritmo em ambos lados: m 1 m 2 = 2,5 log 1 ( F 1 ) (3.1.7) F 2 O fluxo é dado por (1.1): F = L 4πr 2 (3.1.8) Onde L é a luminosidade e r é a distância até a estrela. A partir disso podemos fazer uma conexão entre as magnitudes aparente e absoluta e encontrar a distância. Combinando a equação (3.1.8) com a (3.1.6) encontramos: 1 (m M)/5 = F 1 F = ( d 2 1pc ) (3.1.9) De modo que F 1 é o fluxo de uma estrela à 1 pc. Sendo d a distância e isolando: d = 1 (m M+5)/5 pc (3.1.1) O termo m M é denominado módulo de distância. 3.2 As magnitudes estelares Agora, vamos analisar um pouco melhor as magnitudes. O fluxo de um objeto celeste medido na Terra é normalmente expresso em termos da magnitude aparente m. Por definição ela é dada por: m = 2,5 log F + C (3.2.1) Como apresentado anteriormente, diferença de 5 magnitudes é igual à diferença de 1 vezes o brilho. Portanto, a diferença de magnitude de dois astros é dada pela equação (3.1.7). A constante C da equação (3.2.1) é o que define o ponto zero da escala de magnitude. Para tal, utiliza-se a magnitude da estrela Vega (m = ). Com isso: m Vega = = 2,5 log F Vega + C (3.2.2) C = 2,5 log F Vega (3.2.3) A magnitude de uma estrela é dada por: m = 2,5 log ( F Vega F ) (3.2.4) Quando observamos uma estrela, o fluxo obtido depende da sensibilidade do detector. Sendo φ(λ) a eficiência do detector, temos: F obs = φ(λ)f(λ)dλ F(λ ) φ(λ)dλ (3.2.5) O termo F(λ ) é o fluxo no comprimento de onda efetivo do filtro usado para a observação. Um sistema de magnitudes é definido pela eficiência do detector. Um dos sistemas mais utilizados é o UBV, que utiliza três bandas espectrais: U para violeta, B para azul e V para visível (ou amarelo). Essas magnitudes possuem seus comprimentos de onda efetivos em 36A (U), 42A (B) e 55A (V). Para a banda V, a magnitude aparente é: m V = 2,5 log F V + C (3.2.6) Assim, o fluxo medido na Terra da estrela Vega é: F V λ = 3, Jm 2 s 1 μm 1 (3.2.7) Medindo o fluxo de outras estrelas e tomando Vega como padrão, podemos encontrar a distância até esses astros utilizando (3.1.1). 3.3 A magnitude bolométrica Os equipamentos utilizados para medir o fluxo das estrelas não são 1% sensíveis para todos os comprimentos de onda. A magnitude da energia de todos os comprimentos de onda é chamada magnitude bolométrica. A luminosidade é dada por: L = 4πR 2 = F ν dν = 4πR 2 F bol (3.3.1) A atmosfera terrestre bloqueia a passagem de certos intervalos espectrais. Por essa razão, obtemos a magnitude bolométrica como: m bol = m ν C. B. (3.3.2) O termo C. B. é a correção bolométrica, que possui, por definição, valor zero para estrelas iguais ao Sol e valor positivo para estrelas diferentes. O termo m ν é a magnitude visual. Sendo a magnitude bolométrica do Sol M bol = 4,72, a magnitude bolométrica de uma estrela qualquer é: M bol = 4,72 2,5 log ( L ) (3.3.3) L Porém, além da atmosfera terrestre bloquear boa parte da luz, também existe o material interestelar. A correção desses efeitos, chamados de extinção atmosférica e extinção interestelar, é melhor analisada na fotometria, o que não será discutido nesse artigo. A medida da magnitude de uma estrela depende do tipo de filtro usado para observá-la. Esses filtros seguem o sistema fotométrico, os quais são de três tipos:

5 U (ultravioleta), B (azul) e V (visível). A diferença da observação da magnitude utilizando dois filtros é denominada índice de cor. Assim, temos os índices B-V e U-V. Por exemplo, uma estrela vermelha é mais brilhante no filtro V do que no filtro B. A diferença de magnitude dessa estrela entre esses dois filtros é o índice de cor B-V. 4. Medidas extragalácticas 4.1 As variáveis Cefeidas No tempo em que permanecem na sequência principal, as estrelas variam seu brilho muito pouco e de maneira lenta. Quando a estrela evolui para o próximo estágio, sua luminosidade varia drasticamente com o tempo, em períodos que podem durar horas ou anos. Estrelas que mudam seu brilho são chamadas de estrelas variáveis. Um tipo importante de estrelas variáveis são as chamadas estrelas pulsantes. Essas possuem variações periódicos de modo que podemos prevê-las. Dois tipos de estrelas pulsantes são as Cefeidas e as RR Lyrae. Esses dois tipos apresentam estrelas que estão na fase de queima do hélio em seus núcleos. pulsação e sua magnitude aparente. Para a banda V, a relação entre a magnitude absoluta, média, entre uma Cefeída e o período de pulsação, em dias, é: M V = 2,78 log P dias 1,35 (4.1.1) Como vimos, se uma restela está a uma distância de 1 pc, então sua magnitude aparente m é igual à sua magnitude absoluta M. A magnitude absoluta, por sua vez, é a medida da luminosidade da estrela. Se conhecermos, então, a luminosidade de uma Cefeída podemos determinar sua distância: L cef = F4πD 2 (4.1.2) D = L cef F4π (4.1.3) 4.2 Galáxias a menos de 2 Mpc Galáxias que estão a uma distância menor que 2 Mpc estão próximas o suficiente para que a luminosidade individual das Cefeídas, juntamente com seus períodos, seja determinada. Assim, a distância até essas galáxias é obtida pela equação (4.1.3). Figura Estrelas variáveis pulsantes na faixa de instabilidade do diagrama H-R. A figura mostra o diagrama H-R, no qual podemos perceber que as estrelas vaiáveis Cefeidas (em verde) e RR-Lyrae (em azul) estão em uma região conhecida como faixa de instabilidade. As variáveis Cefeidas possuem esse nome devido à primeira estrela desse tipo observada, em 1784, por John Goodricke. Goodricke percebeu uma variação periódica de brilho da estrela Delta Cephei, na constelação de Cefeu. Estrelas desse tipo são massivas e supergigantes de tipo espectral F, G ou K. Já as estrelas RR Lyrae provêm da estrela RR da constelação de Lira. As estrelas variáveis pulsantes apresentam uma relação entre suas luminosidades e períodos de variação. A relação período-luminosidade das estrelas Cefeidas foi descoberta por Henrietta Leavitt, em 198. Essa relação é importante, pois a partir dela é possível determinar a distância da estrela, medindo seu período de Figura Os gráficos representam as propriedades das Cefeídas. À esquerda estão representados períodos diferentes para Cefeídas de luminosidades diferentes. À direita temos a relação período-luminosidade. Uma vez que essa relação é determinada para Cefeídas próximas, podemos usá-la para estudar Cefeídas de outras galáxias. Usando a luminosidade com o fluxo observado, podemos determinar a distância até essas galáxias (Astrophysics in a Nutshell, página 181). Para a Grande Nuvem de Magalhães (GNM) e o Grupo Local podemos observar binárias eclipsantes através da espectroscopia. Medindo a velocidade orbital em torno de um centro de massa dos componentes do sistema binário e a duração dos eclipses, obtendo o raio de cada uma das duas estrelas. Observando o espectro da distribuição de energia encontramos a temperatura efetiva T E de cada membro do sistema. Logo, a luminosidade de cada estrela é dada por L = 4πr 2 σt E 4. Combinando a luminosidade das duas estrelas e comparando com o fluxo medido, podemos derivar diretamente a distância.

6 Outro modo de medir a distância até as galáxias, em especial a GNM, é através da luz emitida por supernovas. Uma dessas supernovas foi a 1987 A. Figura Os anéis da supernova 1987 A provém do gás expelido pela estrela que explodiu. O anel em torno da estrela que explodiu foi analisado em comprimentos de UV e mostrou ter um raio angular θ =,85 arcseg. A luz da supernova viajou por um período de tempo Δt até nós, percorrendo uma distância R. Assim: Δt = R c = θd GNM (4.2.1) c D GNM = cδt (4.2.2) θ O anel ejetado pela supernova foi observado cerca de 24 dias após a explosão. Com isso, podemos estimar a distância até a GNM: D GNM = cδt θ = 3 18 ms s,85 36 π 18 = 1, m = 5 kpc 4.3 O Efeito Doppler como medida de distâncias Na física ondulatória, quando tratamos a respeito do som vemos que as ondas geradas por uma fonte e que chegam à um detector podem apresentar frequências diferentes à original se a fonte, ou o detector, estão em movimento relativo um em relação ao outro. Essa variação da frequência é denominada de efeito Doppler. A luz é uma onda eletromagnética e por essa razão apresenta uma frequência associada. Se a fonte de luz apresenta um movimento relativo, então podemos medir uma variação de frequências através do efeito Doppler. Vamos supor que v seja a velocidade relativa entre a fonte e o observador. Vamos supor, também, que o movimento relativo seja radial. Com isso, a equação para a frequência f medida da luz emitida com frequência original f é: (c ± v) f = f (c v) (4.3.1) Se a fonte estiver se afastando, a equação (4.3.1) é reescrita como: c v f = f (4.3.2) c + v Se a fonte estiver se aproximando: c + v f = f c v (4.3.3) Usando a relação entre a velocidade da onda, sua frequência e seu comprimento (c = λf) na equação (4.3.1), obtemos: c ± v λ = λ c v (4.3.4) Para λ > λ temos um afastamento da fonte (chamado de redshift). Para λ < λ, temos uma aproximação da fonte (chamado de blueshift). A figura mostra um exemplo de cada caso. Figura A partir da análise de um espectro conhecido, podemos estudar o deslocamento de linhas de absorção. Linhas deslocadas para o vermelho representam galáxias que estão mais afastadas. O deslocamento para o vermelho, definido como z, é a razão entre o deslocamento do comprimento de onda da luz emitido e o comprimento de onda da luz observado quando a fonte se encontra em repouso. Assim: z = Δλ λ = λ λ λ c ± v = c v 1 (4.3.5) Para velocidades radiais bem menores que a velocidade da luz, a equação (4.3.5) pode ser escrita como: z = Δλ = v (4.3.6) λ c Na seção seguinte irei analisar o famoso paradoxo de Olbers, o qual irá abrir espaço para a compreensão da expansão do universo, que deve ser levada em conta na determinação de distâncias. 5. O Paradoxo de Olbers O paradoxo de Olbers foi discutido durante muito tempo e permanece até os dias atuais como um assunto filosófico/científico. Ele pode ser descrito da seguinte maneira: por que a noite

7 o céu é escuro, sendo o universo infinito, estático e uniformemente preenchido com estrelas? Nessas condições, o céu deveria ser de tal modo que para qualquer lugar que olhássemos veríamos uma estrela. Isso faria com que nosso céu noturno fosse mais brilhante que a superfície do Sol. Mas logicamente isso não condiz com a realidade. A questão a respeito do número total de estrelas brilhantes foi primeiramente analisada por Halley, Newton, Leibnitz e mais tarde por Olbers. Irei começar analisando o trabalho de Olbers publicado em A luminosidade absoluta de uma estrela é definida como a quantidade de energia luminosa radiada por tempo. A partir disso é possível definir o brilho superficial B como sendo a luminosidade por área. Vamos supor que o número de estrelas com uma luminosidade média L seja N, e que a densidade média por volume V sena n = N/V. Numa casca esférica de raio r e espessura dr, o número de estrelas é dado por 4πr 2 ndr. A radiação total que seria observada no universo, partindo do ponto como origem até uma extensão infinita (supondo que o universo seja infinito e estático), é dada pela integração da casca esférica: 4πr 2 nddr = nldr = (5.1) Porém, um número finito de estrelas que se estendem por um ângulo A/r 2 (ângulo sólido) cobre o brilho de estrelas mais distantes. Logo, não é correto integrar de zero a infinito. Na verdade, a integração deve ser feita até uma distância R, onde estão essas estrelas. Integrando o brilho dessas estrelas obtemos: R nldr = L A (5.2) Esse resultado nada mais é do que o brilho superficial já mencionado. Para nosso caso o brilho superficial é o do Sol, visto que é uma estrela próxima, de modo que podemos calcular com bastante exatidão. Entretanto, o céu continua sendo escuto, e é aí que chegamos ao paradoxo. Olbers tentou responder esse paradoxo dizendo que o universo não é transparente, mas possui poeira interestelar de modo a esconder as estrelas mais distantes. Porém, para que isso seja verdade, a quantidade de poeira necessária escureceria até mesmo a luz do nosso Sol. Outro problema é que a radiação proveniente das estrelas iria dar conta de aquecer essa poeira, fazendo com que ela passasse a emitir radiação na faixa do infravermelho. A primeira resposta essencialmente correta para o paradoxo de Olbers foi dada pelo poeta e escritos norte americano Edgar Alan Poe. Poe propôs que, pelo fato da velocidade da luz ser finita e o universo não ser eterno, a luz vinda das estrelas mais distantes ainda não chegaram até nós. Essa mesma resposta foi colocada, de forma independente e em um contexto mais científico, por William Thomson, o Lorde Kelvin. A análise de Kelvin se baseou no seguinte: uma estrela que esteja a uma distância r cobre uma fração do céu correspondente a A/4πr 2. Se multiplicarmos esse valor pelo número de estrelas presentes à essa distância obteremos a fração do céu coberto por elas, de modo que o observador esteja bem no centro do sistema. Nosso resultado será dado por Andr, onde dr é a espessura da casca esférica onde estão as estrelas. O inverso desse resultado é dado por: l = 1 An (5.3) que nada mais é do que a distância radial entre as estrelas. Esse resultado também pode ser entendido como o caminho livre que um fóton percorre até ser absorvido por outra estrela. Podemos definir o tempo médio do percurso do fóton como: t = l c (5.4) Podemos estimar o valor de t utilizando os dados do Sol. Tomemos que a densidade média de matéria luminosa do universo seja ρ e que a distância até as estrelas mais longínquas seja r. Com isso, o tempo médio de percurso dos fótons no volume de nossa casca esférica é dado por: t ~t = 1 A nc = 1 4πr 3 2 πr 3Nc = 4ρ R (5.5) 3ρ c Utilizando os valores do Sol, o tempo médio será em torno de 1 23 anos. A probabilidade de um fóton colidir ao percorrer uma distância r é dada pela seguinte distribuição exponencial: P(r) = 1 l e r l (5.6) Esse resultado nos mostra que para distâncias cada vez maiores, a probabilidade é cada vez menor. Aplicando esse resultado aos fótons presentes em uma casca esférica de espessura dr e integrando de zero a r, obtemos a fração de fótons chegando até o centro do sistema (onde está o observador): r f(r ) = 1 l e r ldr = 1 e r l (5.7) Esse resultado só será igual à unidade (1% dos fótons alcançando o observador) se o valor de l for infinito. Em outras palavras, a fração só será máxima se o universo for infinito em tamanho. Com isso, para cada ponto do céu devería-

8 mos encontrar uma estrela e, portanto, o céu seria sempre brilhante. Como isso não é verdade, devemos concluir que o fator r /l tem de ser pequeno. Esse resultado mostra que o universo possui um volume finito. O resultado original obtido por Lorde Kelvin é dado pelo limite de r /l: f(r) r l (5.8) Podemos expressar a equação (5.7) utilizando o tempo médio da equação (5.4) de modo a analisar a fração de fótons com respeito à idade t do universo: f(r ) = g(t ) = 1 e t t (5.9) Se assumimos u como a densidade de radiação média na superfície das estrelas, então a densidade u medida pode ser reduzida a: u = u (1 e t t ) (5.1) A partir disso vemos que a idade do universo deve ser da ordem do tempo de colisão encontrado anteriormente, ou seja, 1 23 anos. Porém, esse resultado é incorreto. Na verdade, esse resultado é muito superior a idade atualmente estimada, que é na faixa de 1 1 anos. Portanto, as estrelas ainda não tiveram tempo de tornar o céu brilhante. Algo que Olbers e os outros não levaram em conta é que as estrelas queimam seu combustível e chegam ao fim. Elas morrem e não brilham eternamente. Mesmo que o universo seja eterno, as estrelas não são. O tempo no qual as estrelas e galáxias irradiam é finito. Outro fator não conhecido na época diz respeito à expansão do universo, descoberta por Hubble na década de 192. Com a expansão, os fótons provenientes das galáxias distantes sofrem o redshift, de modo a perderem energia no percurso até nós. Boa parte das galáxias observadas apresentam fótons na faixa do infravermelho. 6. O universo em expansão Quando utilizamos as Cefeídas para determinar distâncias, temos uma limitação devido ao fato de ser necessário identificar cada estrela individualmente. Para distâncias muito grandes (que vão além de 1 Mpc) isso se torna um grande problema. Porém, a expansão do universo é uma ferramenta muito útil na determinação dessas grandes distâncias. Na seção 4.3 discutimos como o estudo do espectro de uma galáxia nos fornece a velocidade dela. A determinação independente da velocidade e da distância de cada galáxia nos permite concluir que as mais distantes se afastam mais rapidamente. Essa conclusão foi apresentada por Hubble em A lei de Hubble é descrita como: v = H d (6.1) onde H é uma constante de proporcionalidade (a constante de Hubble). A velocidade é medida em km/s e a distância em Mpc. Logo, a unidade da constante H é km s 1 Mpc 1. O valor inicial de H calculado por Hubble foi de 6 km s 1 Mpc 1, um valor muito alto devido à problemas de calibração e identificação das Cefeídas. Através de dados do telescópio espacial Hubble e de grupos de estudos de supernovas, temos que o valor de H está entre 5 e 1 km s 1 Mpc 1. Enquanto existem dúvidas com relação ao valor exato dessa constante, utilizamos uma normalização dada por: H = h1km s 1 Mpc 1 (6.2) Onde h tem valor entre,5 e 1. De acordo com os dados do telescópio Hubble, obtemos: h =,72 ±,5 A taxa de expansão é quase que perfeitamente isotrópica, salvo regiões com perturbações devido à gravidade de grandes aglomerados. 6.1 A galáxia GN-z11 Um dos objetos mais distantes observados até o momento é a galáxia GN-z11. O redshift dessa galáxia situada na constelação de Ursa Maior foi medido como sendo z = 11,1. Com base nesse valor, e utilizando a equação (4.3.5), pude calcular sua velocidade de recessão no momento em que seu redshift foi medido. O valor obtido foi de v =,986c, o que equivale a aproximadamente 99% da velocidade da luz. Usando H = 71 km s 1 Mpc 1 e substituindo na lei de Hubble, obtive o valor de d = 13,6 1 9 anos-luz. Isso implica que o fóton que chegou até nós vindo dessa galáxia foi emitido há 13,6 bilhões de anos. Ocorre que a lei de Hubble é linear, de modo que a velocidade de recessão aumenta com a distância. Quando o fóton foi emitido, GN-z11 continuou a se afastar durante esse intervalo de tempo. Sabendo disso, calcula-se que a distância que essa galáxia estava de nós no momento de sua detecção era de, no mínimo, 27 bilhões de anos-luz. Esse resultado não leva em conta a variação da velocidade a cada Mpc.

9 Figura O gráfico mostra a linearidade da lei de Hubble para aglomerados próximos. O quadrado no canto inferior à esquerda mostra as medidas originais de Hubble para os aglomerados de Virgem e Perseu. Partindo da lei de Hubble, podemos tomar a velocidade de recessão como sendo igual a velocidade da luz. Usando H = 71 km s 1 Mpc 1 obtemos: d 4, Mpc Em anos-luz, esse valor é em torno de 14 bilhões. Isso implica que a essa distância o universo possui uma velocidade de expansão igual a da luz. Definimos d = c H (6.1.1) como a distância de Hubble. Note que GN-z11 está a uma distância superior à distância de Hubble. Isso implica que essa galáxia está se afastando de nós a uma velocidade superior à da luz. Isso contradiz a teoria da relatividade especial. Qual o problema com nossos cálculos? Estamos diante de um paradoxo? A resposta para esse quase paradoxo é que a expansão do universo não viola a relatividade. Não são as galáxias que se movem pelo espaço com velocidades maiores que c, mas sim o espaço entre elas que está aumentando. A relatividade diz que nenhum objeto com massa maior que zero pode possuir uma velocidade maior que a da luz no vácuo. Porém, o que está em movimento aqui não são os objetos, mas o espaço em si. As galáxias não se movem com velocidades superiores à da luz. Nada no universo pode fazer isso a não ser o próprio universo. Figura O gráfico superior mostra a representação errônea de que a velocidade de recessão vai se tornando assintótica à velocidade da luz. Nesse modelo, a velocidade da luz sempre aumenta, mas nunca chegará ao valor de c. No gráfico inferior a velocidade de recessão excede a da luz ao cruzar a distância de Hubble. Conclusão Medir distâncias de galáxias e até mesmo de objetos na Via-Láctea não é uma tarefa muito fácil. A impossibilidade de realizar medidas diretas faz com que desenvolvamos vários métodos que complementam um ao outro. Medidas da paralaxe só funcionam para objetos relativamente próximos, mas mesmo assim não é uma medida 1% eficaz. A dispersão da luz pela atmosfera dificulta a determinação precisa da posição do objeto. Medidas através da magnitude estelar dependem, também, do tipo de filtro utilizado (U-B-V). Relacionando medidas feitas com filtros diferentes podemos fazer uma média das estimativas das distâncias. Essa análise das magnitudes, quando observadas para estrelas Cefeídas ou supernovas, nos auxiliam na determinação da distância até galáxias próximas. Já com a espectroscopia de galáxias mais distantes, podemos utilizar a lei de Hubble. O problema maior dessa lei é determinar com uma precisão cada vez maior o valor da constante H. Referências Astrophysics in a Nutshell Maoz, D. An Introduction to Modern Astrophysics, Second Edition Carrol, B. W.; Ostlie, D. A.

10 Introduction to Cosmology, Third Edition Ross, M. Astronomia e Astrofísica, Segunda Edição Filho, K. S. O.; Saraiva, M. F. O. Foundations of Astrophysics Ryden, B.; Peterson, B. M. Física para universitários: ondas, termodinâmica e relatividade Bauer, W.; Westfall, G. D.; Dias, H. Introdução à Cosmologia de Souza, R. E. Equívocos sobre o Big-Bang Lineweaver, C, H; Davis, T. M. Scientific American Brasil Edição Especial de Aniversário n 5 páginas